В окружность вписан угол асв величиной 126. Тема урока: "Углы, вписанные в окружность". Вычисление углов II

Зависимость одной случайной величины от значений, которые прини- мает другая случайная величина (физическая характеристика), в статистике называется регрессией. Если этой зависимости придан аналитический вид, то такую форму представления изображают уравнением регрессии.

Процедура поиска предполагаемой зависимости между различными числовыми совокупностями обычно включает следующие этапы:

установление значимости связи между ними;

возможность представления этой зависимости в форме математиче- ского выражения (уравнения регрессии).

Первый этап в указанном статистическом анализе касается выявления так называемой корреляции, или корреляционной зависимости. Корреляция рассматривается как признак, указывающий на взаимосвязь ряда числовых последовательностей. Иначе говоря, корреляция характеризует силу взаимосвязи в данных. Если это касается взаимосвязи двух числовых массивов xi и yi, то такую корреляцию называют парной.

При поиске корреляционной зависимости обычно выявляется вероятная связь одной измеренной величины x (для какого-то ограниченного диапазона ее изменения, например от x1 до xn) с другой измеренной величиной y (также изменяющейся в каком-то интервале y1 … yn). В таком случае мы будем иметь дело с двумя числовыми последовательностями, между которыми и надлежит установить наличие статистической (корреляционной) связи. На этом этапе пока не ставится задача определить, является ли одна из этих случайных величин функцией, а другая – аргументом. Отыскание количественной зависимости между ними в форме конкретного аналитического выражения y = f(x) - это задача уже другого анализа, регрессионного.

Таким образом, корреляционный анализ позволяет сделать вывод о силе взаимосвязи между парами данных х и у, а регрессионный анализ используется для прогнозирования одной переменной (у) на основании другой (х). Иными словами, в этом случае пытаются выявить причинно-следственную связь между анализируемыми совокупностями.

Строго говоря, принято различать два вида связи между числовыми совокупностями – это может быть функциональная зависимость или же статистическая (случайная). При наличии функциональной связи каждому значению воздействующего фактора (аргумента) соответствует строго определенная величина другого показателя (функции), т.е. изменение результативного признака всецело обусловлено действием факторного признака.

Аналитически функциональная зависимость представляется в следую-щем виде: y = f(x).

В случае статистической связи значению одного фактора соответствует какое-то приближенное значение исследуемого параметра, его точная величина является непредсказуемой, непрогнозируемой, поэтому получаемые показатели оказываются случайными величинами. Это значит, что изме-нение результативного признака у обусловлено влиянием факторного признака х лишь частично, т.к. возможно воздействие и иных факторов, вклад которых обозначен как є: y = ф(x) + є.

По своему характеру корреляционные связи – это соотносительные связи. Примером корреляционной связи показателей коммерческой деятельности является, например, зависимость сумм издержек обращения от объема товарооборота. В этой связи помимо факторного признака х (объема товарооборота) на результативный признак у (сумму издержек обращения) влияют и другие факторы, в том числе и неучтенные, порождающие вклад є.

Для количественной оценки существования связи между изучаемыми совокупностями случайных величин используется специальный статистический показатель – коэффициент корреляции r.

Если предполагается, что эту связь можно описать линейным уравне- нием типа y=a+bx (где a и b - константы), то принято говорить о существовании линейной корреляции.

Коэффициент r - это безразмерная величина, она может меняться от 0 до ±1. Чем ближе значение коэффициента к единице (неважно, с каким знаком), тем с большей уверенностью можно утверждать, что между двумя рассматриваемыми совокупностями переменных существует линейная связь. Иными словами, значение какой-то одной из этих случайных величин (y) существенным образом зависит от того, какое значение принимает другая (x).

Если окажется, что r = 1 (или -1), то имеет место классический случай чисто функциональной зависимости (т.е. реализуется идеальная взаимосвязь).

При анализе двумерной диаграммы рассеяния можно обнаружить различные взаимосвязи. Простейшим вариантом является линейная взаимосвязь, которая выражается в том, что точки размещаются случайным образом вдоль прямой линии. Диаграмма свидетельствует об отсутствии взаимосвязи, если точки расположены случайно, и при перемещении слева направо невозможно обнаружить какой-либо уклон (ни вверх, ни вниз).

Если точки на ней группируются вдоль кривой линии, то диаграмма рассеяния характеризуется нелинейной взаимосвязью. Такие ситуации вполне возможны

Величинами являются количественные значения предметов, длин отрезков, времени, углов и т.д.

Определение. Величина - результат измерения, представленный числом и наименованием единицы измерения.

Например: 1 км; 5 ч. 60 км/ч; 15 кг; 180 °.

Величины могут быть независимыми или зависимыми одна от другой. Связь величин может быть жестко установлена (как. например, 1 дм = 10 см) или может отражать зависимость между величинами, выраженную формулой для определения конкретного численного значения (так, например, путь зависит от скорости и продолжительности движения; площадь квадрата — от длины его стороны и т. д.).

Основа метрической системы мер длины - метр - была введена в России в начале XIX века, а до этого для измерения длин использовались: аршин (= 71 см), верста (= 1067 м), косая сажень (= 2 м 13 см), маховая сажень (= 1 м 76 см), простая сажень (= 1 м 52 см), четверть (= 18 см), локоть (приблизительно от 35 см до 46 см), пядь (от 18 см до 23 см).

Как видим, было много величин для измерения длины. С вводом метрической системы мер жестко закреплена зависимость величин длины:

• 1 км = 1 000 м; 1 м = 100 см;
• 1 дм = 10 см; 1 см = 10 мм.

В метрической системе мер определены единицы измерения времени, длины, массы, объема, площади и скорости.

Между двумя и более величинами или системами мер тоже можно устанавливать зависимость, она зафиксирована в формулах, а формулы выведены опытным путем.

Определение. Две взаимно зависимые величины называются пропорциональными , если отношение их значений остается неизменным.

Неизменное отношение двух величин называется коэффициентом пропорциональности. Коэффициент пропорциональности показывает, сколько единиц одной величины приходится на единицу другой величины. Если коэффициенты равны. То и отношения равны.

Расстояние есть произведение скорости и времени движения: отсюда вывели основную формулу движении:

где S - путь; V - скорость; t - время.

Основная формула движения — это зависимость расстояния от скорости и времени движения. Такая зависимость называется пряно пропорциональной .

Определение. Две переменные величины прямо пропорциональны, если с увеличением (или уменьшением) в несколько раз одной величины другая величина увеличивается (или уменьшается) во столько же раз; т.е. отношение соответствующих значений таких величин является величиной постоянной.

При неизменном расстоянии скорость и время связаны другой зависимостью, которая называется обратно пропорциональной .

Правило. Две переменные величины обратно пропорциональны, если с увеличением (или уменьшением) одной величины в несколько раз другая величина уменьшается (или увеличивается) во столько же раз; т.е. произведение соответствующих значений таких величин является величиной постоянной.

Из формулы движения можно вывести еще два соотношения, выражающих прямую и обратную зависимости входящих в них величин:

t = S: V - время движения прямо пропорционально пройденному пути и обратно пропорционально скорости движении (для одинаковых отрезков пути чем больше скорость, тем меньше времени требуется для преодоления расстояния).

V = S: t - скорость движения прямо пропорциональна пройденному пути и обратно пропорциональна времени движения (для одинаковых отрезков пути чем больше
времени движется предмет, тем меньшая скорость требуется для преодоления расстояний).

Все три формулы движения равносильны и используются для решения задач.

Информатика и ИКТ 10-11 класс Семакин, Информатика 10-11 класс Семакин, Моделирование зависимостей между величинами, Величины и зависимости между ними, Различные методы представления зависимостей, Математические модели, Табличные и графические модели

Величины и зависимости между ними
Содержание данного раздела учебника связано с компьютерным математическим моделированием. Применение математического моделирования постоянно требует учета зависимостей одних величин от других. Приведем примеры таких зависимостей:
1) время падения тела на землю зависит от его первоначальной высоты;
2) давление газа в баллоне зависит от его температуры;
3) уровень заболеваемости жителей города бронхиальной астмой зависит от концентрации вредных примесей в городском воздухе.
Реализация математической модели на компьютере (компьютерная математическая модель) требует владения приемами представления зависимостей между величинами.
Рассмотрим различные методы представления зависимостей.
Всякое исследование нужно начинать с выделения количественных характеристик исследуемого объекта. Такие характеристики называются величинами.
С понятием величины вы уже встречались в базовом курсе информатики. Напомним, что со всякой величиной связаны три основных свойства: имя, значение, тип.
Имя величины может быть смысловым и символическим. Примером смыслового имени является «давление газа», а символическое имя для этой же величины — Р. В базах данных величинами являются поля записей. Для них, как правило, используются смысловые имена, например: ФАМИЛИЯ, ВЕС, ОЦЕНКА и т. п. В физике и других науках, использующих математический аппарат, применяются символические имена для обозначения величин. Чтобы не терялся смысл, для определенных величин используются стандартные имена. Например, время обозначают буквой t, скорость — V, силу — F и пр.
Если значение величины не изменяется, то она называется постоянной величиной или константой. Пример константы — число Пифагора π = 3,14259... . Величина, значение которой может меняться, называется переменной. Например, в описании процесса падения тела переменными величинами являются высота Н и время падения t.
Третьим свойством величины является ее тип. С понятием типа величины вы также встречались, знакомясь с программированием и базами данных. Тип определяет множество значений, которые может принимать величина. Основные типы величин: числовой, символьный, логический. Поскольку в данном разделе мы будем говорить лишь о количественных характеристиках, то и рассматриваться будут только величины числового типа.
А теперь вернемся к примерам 1-3 и обозначим (поименуем) все переменные величины, зависимости между которыми нас будут интересовать. Кроме имен укажем размерности величин. Размерности определяют единицы, в которых представляются значения величин.
1) t (с) — время падения; Н (м) — высота падения. Зависимость будем представлять, пренебрегая учетом сопротивления воздуха; ускорение свободного падения g (м/с 2) будем считать константой.
2) Р (н/м 2) — давление газа (в единицах системы СИ давление измеряется в ньютонах на квадратный метр); t °С — температура газа. Давление при нуле градусов Ро будем считать константой для данного газа.
3) Загрязненность воздуха будем характеризовать концентрацией примесей (каких именно, будет сказано позже) — С (мг/м 3). Единица измерения — масса примесей, содержащихся в 1 кубическом метре воздуха, выраженная в миллиграммах. Уровень заболеваемости будем характеризовать числом хронических больных астмой, приходящихся на 1000 жителей данного города — Р (бол./тыс.).
Отметим важное качественное различие между зависимостями, описанными в примерах 1 и 2, с одной стороны, и в примере 3, с другой. В первом случае зависимость между величинами является полностью определенной: значение Н однозначно определяет значение t (пример 1), значение t однозначно определяет значение Р (пример 2). Но в третьем примере зависимость между значением загрязненности воздуха и уровнем заболеваемости носит существенно более сложный характер; при одном и том же уровне загрязненности в разные месяцы в одном и том же городе (или в разных городах в один и тот же месяц) уровень заболеваемости может быть разным, поскольку на него влияют и многие другие факторы. Отложим более детальное обсуждение этого примера до следующего параграфа, а пока лишь отметим, что на математическом языке зависимости в примерах 1 и 2 являются функциональными, а в примере 3 — нет.
Математические модели
Если зависимость между величинами удается представить в математической форме, то мы имеем математическую модель.
Математическая модель — это совокупность количественных характеристик некоторого объекта (процесса) и связей между ними, представленных на языке математики.
Хорошо известны математические модели для первых двух примеров. Они отражают физические законы и представляются в виде формул:

Это примеры зависимостей, представленных в функциональной форме. Первую зависимость называют корневой (время пропорционально квадратному корню высоты), вторую — линейной.
В более сложных задачах математические модели представляются в виде уравнений или систем уравнений. В конце данной главы будет рассмотрен пример математической модели, которая выражается системой неравенств.
В еще более сложных задачах (пример 3 — одна из них) зависимости тоже можно представить в математической форме, но не функциональной, а иной.
Табличные и графические модели
Рассмотрим примеры двух других, не формульных, способов представления зависимостей между величинами: табличного и графического. Представьте себе, что мы решили проверить закон свободного падения тела экспериментальным путем. Эксперимент организуем следующим образом: будем бросать стальной шарик с 6-метровой высоты, 9-метровой и т. д. (через 3 метра), замеряя высоту начального положения шарика и время падения. По результатам эксперимента составим таблицу и нарисуем график.

Если каждую пару значений Н и t из данной таблицы подставить в приведенную выше формулу зависимости высоты от времени, то формула превратится в равенство (с точностью до погрешности измерений). Значит, модель работает хорошо. (Однако если сбрасывать не стальной шарик, а большой легкий мяч, то равенство не будет достигаться, а если надувной шарик, то значения левой и правой частей формулы будут различаться очень сильно. Как вы думаете, почему?)
В этом примере мы рассмотрели три способа моделирования зависимости величин: функциональный (формула), табличный и графический. Однако математической моделью процесса падения тела на землю можно назвать только формулу. Формула более универсальна, она позволяет определить время падения тела с любой высоты, а не только для того экспериментального набора значений Н, который отображен на рис. 6.1. Имея формулу, можно легко создать таблицу и построить график, а наоборот — весьма проблематично.
Точно так же тремя способами можно отобразить зависимость давления от температуры. Оба примера связаны с известными физическими законами — законами природы. Знания физических законов позволяют производить точные расчеты, они лежат в основе современной техники.
Информационные модели, которые описывают развитие систем во времени, имеют специальное название: динамические модели. В примере 1 приведена именно такая модель. В физике динамические информационные модели описывают движение тел, в биологии — развитие организмов или популяций животных, в химии — протекание химических реакций и т. д.
Система основных понятий

Моделирование зависимостей между величинами
Величина -	количественная характеристика исследуемого объекта
Характеристики величины
		Значение
отражает смысл величины	определяет возможные значения величины	константа
Виды зависимостей:
Функциональные
Способы отображения зависимостей
Математическая	Табличная модель		Графическая
Описание развития систем во времени - динамическая модель

МОДЕЛИРОВАНИЕ ЗАВИСИМОСТЕЙ МЕЖДУ ВЕЛИЧИНАМИ

ТЕХНОЛОГИИ ИНФОРМАЦИОННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

• Величина
• Характеристики величины: имя, тип, значение
• Функциональные и иные виды зависимостей
• Математические модели
• Динамические модели

Ключевые понятия

Применение математического моделирования

Применение математического моделирования постоянно требует учета зависимостей одних величин от других.

Примеры зависимостей:

• время падения тела на землю зависит от его первоначальной высоты;
• давление газа в баллоне зависит от его температуры;
• уровень заболеваемости жителей города бронхиальной астмой зависит от концентрации вредных примесей в городском воздухе.

Реализация математической модели требует владения приемами представления зависимостей между величинами.

Методы представления зависимостей

Величина – количественная характеристика исследуемого объекта

Характеристики величины

отражает смысл величины

определяет возможные значения величины

Значение

константа

переменная

Основные типы величин:

Пример константы – число Пифагора

Имя величины может быть

смысловым

смысловым

числовой

«давление газа»

В описании процесса падения тела переменными величинами являются высота H и время падения t

символьный

символическим

логический

Виды зависимостей

Функциональной зависимостью называется связь между двумя величинами, при которой изменение одной из них вызывает изменение другой.

Пример 1: t (c) – время падения; H (m) – высота падения. Зависимость будем представлять, пренебрегая учетом сопротивления воздуха; ускорение свободного падения g (м/с 2) будем считать константой.

Пример 2: P (н/м 2) – давление газа (в единицах системы СИ давление измеряется в ньютонах на квадратный метр); t °C – температура газа. Давление при нуле градусов P 0 будем считать константой для данного газа.

определенной .

Виды зависимостей

Иная зависимость носит более сложный характер, одна и та же величина может принять разные значения, поскольку на нее могут оказывать влияния и другие показатели.

Пример 3: Загрязненность воздуха характеризуется концентрацией примесей – С (мг/м 3). Единица измерения – массы примесей, содержится в 1 кубическом метре воздуха, выраженная в миллиграммах. Уровень заболеваемости будет характеризовать числом хронических больных астмой, приходящихся на 1000 жителей данного города P (бол./тыс.)

Зависимость между величинами является полностью определенной .

Математические модели

Математические модели - это совокупность количественных характеристик некоторого объекта (процесса) и связей между ними, представленных на языке математики.

Математические модели отражают физические законы и представляются в виде формул:

Линейная зависимость

Корневая зависимость (время пропорционально квадратному корню высоты)

В сложных задачах математические модели представляют в виде уравнений или систем уравнений.

Табличные и графические модели

Экспериментальным путем проверим закон свободного падения тела

Эксперимент: стальной шарик сброшен с 6-метровой, 9-метровой высоты и т.д. (через 3 метра), замеряя высоту начального положения шарика и время падения

Результат эксперимента представлен в таблице и графике

Н , м

t , c

Табличное и графическое представление зависимости времени падения тела от высоты

Динамические модели

Информационные модели, которые описывают развитие систем во времени, имеют специальное название: динамические модели .

В физике это движение тел, в биологии – развитие организмов или популяций животных,

в химии – протекание химических реакций.

Самое основное

• Величина – количественная характеристика исследуемого объекта.
• Характеристики величины:

Имя – отражает смысл величины

Тип – определяет возможные значения величин

Значение: постоянная величина (константа) или переменная

• Имя – отражает смысл величины Тип – определяет возможные значения величин Значение: постоянная величина (константа) или переменная

• Функциональной зависимостью называется связь между двумя величинами, при которой изменение одной из них вызывает изменение другой.
• Существует три способа моделирования величин: функциональный (формула), табличный и графический
• Формула более универсальна; имея формулу, можно легко создать таблицу и построить график.
• Описание развития систем во времени – динамическая модель.

Вопросы и задания

• Какие вам известны формы представления зависимостей между величинами?
• Что такое математическая модель?
• Может ли математическая модель включать в себя только константы?
• Приведите пример известной вам функциональной зависимости (формулы) между характеристиками какого-то объекта или процесса.
• Обоснуйте преимущества и недостатки каждой из трех форм представления зависимостей.
• Представьте математическую модель зависимости давления газа от температуры в виде табличной и графической модели, если известно, что при температуре 27 °С давление газа в закрытом сосуде было 75 кПа.

• Информатика и ИКТ. Базовый уровень: учебник для 10-11 классов / И.Г. Семакин, Е.К. Хеннер. – 7-е изд. – М. : Бином. Лаборатория знаний, 2011. – 246. : ил.

Иллюстрации:

Источники

• http://1.bp.blogspot.com/-u7m70qcqIdw/Ukh9R4Ga-9I/AAAAAAAAEkk/wIqkfCqOgGo/s1600/%25D0%2593%25D0%25B0%25D0%25BB%25D0%25B8%25D0%25BB%25D0%25B5%25D0%25BE.gif
• http://ehsdailyadvisor.blr.com/wpcontent/uploads/2015/11/EHSDA_110615.jpg
• http://himki.blizhe.ru/userfiles/Image/MIL-GRAFIK/dop-photo/PRIMESI.JPG
• http://f.10-bal.ru/pars_docs/refs/12/11350/11350_html_mbb50c21.jpg

Предмет: математика
Класс: 4
Тема урока: Зависимости между скоростью, длиной пройденного пути и временем
движения.
Цель: выявить и обосновать зависимости между величинами: скорость, время,
расстояние;
Задачи: способствовать развитию нестандартного мышления, умение делать выводы,
рассуждать; содействовать воспитанию познавательной активности.
Оборудование: индивидуальные карточки разных цветов, критерии оценивания,
карточка для рефлексии, круги двух цветов.
Ход урока.
1. Орг.момент.
Карточка двух цветов: желтая и синяя. Показать с помощью карточки свое настроение
в начале и конце урока.
Заполнение карточки на начало урока (Приложение 1.)
№ Утверждение
Конец урока
Начало урока
Да
Нет
Не знаю Да
Нет Не
знаю
1. Я знаю все формулы
задач на движение
2. Я понимаю решение
задач на движение
3. Я могу сам решать эти
задачи
4. Я умею составлять
схемы к задачам на
движение
5. Я знаю, какие ошибки
допускаю в решении
задач на движение
2. Повторение.
­ Как найти скорость? Время? Расстояние?
­ Назовите единицы измерения величины скорости, расстояние, время.
3. Сообщение темы урока.
­ Чему будем учиться на уроке?
4. Работа в группе.
­ Соединить объекты движения (Приложение 2)
Пешеход 70км/ч
Лыжник 5км/ч

Автомобиль 10км/ч
Реактивный самолет 12км/ч
Поезд 50км/ч
Улитка 900км/ч
Лошадь 90 км\ч
Проверка работ.
5. Математическая головоломка(самостоятельная работа)
­ Во сколько скорость велосипедиста меньше скорости поезда?
­ На сколько км скорость лыжника больше скорости пешехода?
­ Во сколько раз скорость автомобиля меньше скорости реактивного самолета?
­ Найди общую скорость самого скоростного движущегося средства и самого
медленного.
­ Найди общую скорость поезда велосипедиста и лыжника.
6. Самопроверка работ по критериям.
7. Физминутка.
Красный цвет квадрата­ стоим
Зеленый – идем
Желтый – хлопаем 1 раз в ладоши
8. Работа в группе. (Карточка желтого цвета) (метод Джегсо)
Задача.
Две бабы­яги поспорили, что быстроходнее ступа или помело? Одну и ту же
дистанцию в 228км баба­яга в ступе пролетела за 4ч, а баба­яга на помеле за 3ч. Что
больше, скорость ступы или помела?
9. Работа в паре «Эксперимент».
Придумать задачу на движение, используя величины: 18км/ч, 4ч, 24 км, 3ч.
Проверка работ.
10. Тест.
1.Записать формулу нахождения скорости.
2. Записать формулу нахождения времени.
3. Как найти расстояние? Запиши формулу.
4. Запиши 8 км/мин в км/ч
5. Найди время, за которое пройдет пешеход 42 км, двигаясь со скоростью 5км/ч.
6. Какое расстояние пройдет пешеход, двигаясь со скоростью 5км/ч в течение 6 часов?
11. Итог урока.
Заполнить таблицу, с какими результатами мы пришли к концу урока.
Показать карточку, которая соответствует вашему настроению.

Начало урока
Да
Нет
Приложение 1.
Конец урока
Не знаю Да
№ Утверждение
1. Я знаю все формулы
задач на движение
2. Я понимаю решение
задач на движение
3. Я могу сам решать эти
задачи
4. Я умею составлять
схемы к задачам на
движение
5. Я знаю, какие ошибки
допускаю в решении
задач на движение
Соединить объекты движения.
Пешеход 70км/ч
Лыжник 5км/ч
Автомобиль 10км/ч
Реактивный самолет 12км/ч
Поезд 50км/ч
Улитка 900км/ч
Лошадь 90 км\ч
Нет Не
знаю
Приложение 2.