Главная » Советы » Прямоугольный треугольник вращается вокруг внешней оси. Большая энциклопедия нефти и газа. Цилиндр, конус и усечённый конус

Прямоугольный треугольник вращается вокруг внешней оси. Большая энциклопедия нефти и газа. Цилиндр, конус и усечённый конус

При изучении материала темы необходимо усвоить:

· виды тел вращения;

· определения тел вращения;

· определения элементов тел вращения;

· понятия развёртки цилиндра и конуса;

· определение и вычисление боковой и полной поверхности цилиндра и конуса;

· определение касательной плоскости к сфере и её свойства;

· понятие площади поверхности сферы;

· определение многогранника, вписанного в сферу, и описанного около неё.

В процессе решения задач проверяются следующие умения:

· изображать тела вращения;

· вычислять элементы тел вращения;

· изображать сечения тел;

· вычислять площади боковой и полной поверхности цилиндра и конуса;

· составлять уравнение сферы.

Вопросы теоретического зачёта

Вариант 1

1. Понятие цилиндрической поверхности и её элементов. Сформулируйте определение цилиндра и его элементов.

2. Выведите формулу для вычисления площади поверхности сферы.

3. Найдите отношение площади боковой поверхности и осевого сечения конуса.

Вариант 2

1. Понятие конической поверхности. Сформулируйте определение конуса и его элементов.

2. Определите положение центра сферы, описанной около правильной четырёхугольной пирамиды. Докажите своё утверждение.

3. Найдите отношение площадей боковой поверхности и осевого сечения цилиндра.

Вариант 3

1. Сформулируйте определение усечённого конуса и его элементов.

2. Определите положение центра сферы, вписанной в правильную треугольную пирамиду. Докажите своё утверждение.

3. Докажите, что полная поверхность равностороннего конуса равновелика поверхности шара, имеющего диаметром высоту конуса.

Вариант 4

1. Сформулируйте определения сферы и шара. Запишите уравнения сферы радиусом R с центром в точке О(0; 0; 0) и в точке А(x0; y0; z0).

2. Выведите формулу для вычисления боковой поверхности конуса.

3. Докажите, что площадь полной поверхности цилиндра равна площади боковой поверхности другого цилиндра того же радиуса, высота которого равна сумме радиуса и высоты данного цилиндра.

Самостоятельная работа 17

Вариант 1

1. Площадь осевого сечения цилиндра равна 16. Найдите площадь сечения этого цилиндра, которое параллельно оси и находится от неё на расстоянии, равном половине радиуса основания цилиндра.

2. Полукруг свёрнут в коническую поверхность. Найдите угол между образующей и высотой конуса.

3. Радиусы двух шаров 16 и 20 дм, расстояние между их центрами 25 дм. Найдите длину окружности, по которой пересекаются их поверхности.

Вариант 2

1. Радиус основания цилиндра 26 см, образующая 4,8 дм. На каком расстоянии от оси цилиндра следует провести сечение, параллельное оси и имеющее форму квадрата?

2. Радиус сектора равен 3 м, его угол 120°. Сектор свёрнут в коническую поверхность. Найдите радиус основания конуса.

3. Диагонали ромба 30 и 40 см. Шаровая поверхность касается всех сторон ромба. Найдите расстояние от центра шара до плоскости ромба, если радиус шара равен 13 см.

Вариант 3

1. Радиус основания цилиндра равен 12 см. Найдите расстояние между осевым сечением и сечением с вдвое меньшей площадью.

2. Угол развёртки боковой поверхности конуса равен 120°. Образующая конуса 15 см. Вычислите диаметр основания конуса.

3. На шар, радиус которого 10 см, наложен ромб так, что каждая сторона его, равная 12,5 см, касается шара. Плоскость ромба удалена от центра шара на 8 см. Найдите площадь ромба.

Вариант 4

1. Через образующую цилиндра проведены два взаимно перпендикулярных сечения, площади которых равны 60 и 80 дм. Найдите площадь осевого сечения.

2. Радиус основания конуса равен 12 см, образующая 40 см. Вычислите угол развёртки этого конуса.

3. Стороны треугольника 10 дм, 10 дм и 12 дм. Найдите расстояние от плоскости треугольника до центра шара, касательного к сторонам треугольника. Радиус шара 5 дм.

Самостоятельная работа 18

Вариант 1

1. Диагональ осевого сечения цилиндра на 25 \% превышает диаметр его основания. Найдите полную поверхность цилиндра, если расстояние между его центрами равно 15 см.

2. Развёртка боковой поверхности цилиндра – квадрат со стороной 4 дм. Найдите объём цилиндра.

3. Диагонали осевого сечения усечённого конуса взаимно перпендикулярны, высота конуса H, образующая l. Найдите боковую поверхность конуса.

4. Радиус основания конуса равен 12 см, образующая 40 см. Найдите угол развёртки боковой поверхности конуса.

5. Образующая усечённого конуса 10 см, разность оснований 6 см, площадь осевого сечения 112 см2. Найдите боковую поверхность конуса.

6. Параллелограмм, у которого стороны равны 21 см и 89 см, а диагональ равна 100 см, вращается вокруг меньшей стороны. Найдите объём тела вращения.

7. Прямоугольный треугольник с катетами 16 и 12 см вращается вокруг гипотенузы. Найдите объём и площадь вращения.

Вариант 2

1. Боковая поверхность цилиндра составляет половину его полной поверхности. Найдите полную поверхность цилиндра, если диагональ осевого сечения 10 дм.

2. Полная поверхность цилиндра 500 p см2, диаметр его основания 20 см. Найдите объём цилиндра.

3. Образующая усечённого конуса относится к высоте его как 41:40. Радиусы оснований равны 24 и 6 см. Найдите боковую поверхность конуса.

4. Угол развёртки боковой поверхности конуса равен 120°. Образующая конуса 15 см. Найдите полную поверхность конуса.

5. Найдите высоту усечённого конуса, если его боковая поверхность равновелика сумме площадей оснований, а радиусы оснований R и r.

6. Равнобедренная трапеция с основаниями 12 и 18 см и острым углом 60° вращается вокруг меньшего основания. Найдите поверхность и объём тела вращения.

7. Треугольник, у которого две стороны равные 5 см и 8 см, заключают угол 60°, вращается вокруг наибольшей стороны. Найдите поверхность и объём тела вращения.

Самостоятельная работа 19

Вариант 1

1. Прямоугольный треугольник с катетами 16 и 12 см вращается вокруг гипотенузы. Найдите поверхность тела вращения.

2. Радиусы оснований шарового пояса равны 63 и 39 см, высота его равна 36 см. Найдите поверхность шарового пояса.

3. Высота правильной треугольной пирамиды h. Боковые рёбра взаимно перпендикулярны. Найдите радиус описанного шара.

4. В правильной треугольной усечённой пирамиде высота 17 см, радиусы окружностей, описанных вокруг оснований, 5 и 12 см. Найдите радиус описанного шара.

5. Квадрат со стороной равной а вращается вокруг перпендикуляра к диагонали, проведённого через её конец. Найдите поверхность полученного тела.

Вариант 2

1. Треугольник, у которого две стороны равны 5 и 8 см, заключают угол в 60°, вращается вокруг наибольшей стороны. Найдите поверхность тела вращения.

2. Полная поверхность шарового сегмента равна S. Определите высоту сегмента, если радиус шара равен R.

3. Основанием пирамиды служит правильный треугольник, сторона которого равна 3 дм. Одно из боковых рёбер равно 2 дм и перпендикулярно основанию. Найдите радиус описанного шара.

4. Стороны оснований правильной четырёхугольной усечённой пирамиды 7 и 1 дм. Боковое ребро наклонено к основанию под углом 45°.Найдите радиус описанного шара.

5. Правильный шестиугольник со стороной а вращается вокруг внешней оси, которая параллельна стороне и отстоит от неё на длину апофемы. Найдите поверхность полученного тела.

Самостоятельная работа 20

Вариант 1

1. Боковое ребро правильной треугольной пирамиды равно b и образует с плоскостью основания угол a. В пирамиду вписан равносторонний цилиндр так, что плоскость основания лежит в плоскости основания пирамиды. Найдите объём цилиндра.

2. Основание пирамиды правильный треугольник. Одно боковое ребро перпендикулярно к плоскости основания и равно l, а два других с плоскостью основания образуют угол a. В пирамиду вписана прямая призма, три вершины которой лежат на боковых рёбрах пирамиды, а три другие – на основании пирамиды, диагональ боковой грани призмы составляет с плоскостью основания Ð b. Найдите высоту призмы.

3. В правильной четырёхугольной призме площадь боковой грани равна q. Найдите площадь диагонального сечения.

4. Плоскость, перпендикулярная диаметру шара, делит его на части 3 и 9 см. На какие части делится объем шара?

Вариант 2

1. Угол при вершине осевого сечения конуса равен 2b. Длина окружности основания равна c. Определить площадь боковой поверхности конуса.

2. Диагонали осевого сечения усечённого конуса точкой пересечения делятся в отношении 2: 1, считая от большого основания. Угол между диагоналями, обращённый к основанию, равен a. Диагональ равна l. Найдите объём конуса.

3. Боковое ребро прямого параллелепипеда равно 5 см, стороны основания 6 и 8 см, одна из диагоналей основания 12 см. Найдите диагонали параллелепипеда.

4. Какую часть объёма шара составляет объём шарового сегмента с высотой 0,1 диаметра шара?

Вариант 3

1. Образующая конуса равна l и наклонена к плоскости основания под углом a. Определите площадь полной поверхности вписанного куба.

2. В основание конуса вписан квадрат, сторона которого a. Плоскость, проходящая через одну из сторон этого квадрата и вершину конуса, при пересечении с поверхностью конуса образует равнобедренный треугольник с углом при вершине равным a. Найдите объём конуса.

3. Сторона основания правильной четырёхугольной призмы 15 см, а высота 20 см. Найдите кратчайшее расстояние от стороны основания до непересекающей её диагонали призмы.

4. Два равных шара расположены так, что центр одного лежит на поверхности другого. Как относится объём общей части шаров к объёму целого шара?

Вариант 4

1. В конус, образующая которого наклонена к плоскости основания под углом a, вписана прямая треугольная призма с равными ребрами. Найдите объём призмы, если радиус основания конуса равен R.

2. Объём конуса равен V. В конус вписана пирамида, в основании которой лежит равнобедренный треугольник с углом a между боковыми сторонами. Найдите объём пирамиды.

3. В прямом параллелепипеде боковое ребро равно 1 м, стороны основания 23 дм и 11 дм, диагонали основания относятся как 2: 3. Найдите площади диагональных сечений.

4. По стороне основания a и боковому ребру b найдите полную поверхность правильной шестиугольной призмы.

Конус. Усеченный конус

Конической поверхностью называется поверхность, образованная всеми прямыми, проходящими через каждую точку данной кривой и точку вне кривой (рис.32).

Данная кривая называется направляющей , прямые – образующими , точка – вершиной конической поверхности.

Прямой круговой конической поверхностью называется поверхность, образованная всеми прямыми, проходящими через каждую точку данной окружности и точку на прямой, которая перпендикулярна плоскости окружности и проходит через ее центр. В дальнейшем эту поверхность будем кратко называть конической поверхностью (рис.33).

Конусом (прямым круговым конусом ) называется геометрическое тело, ограниченное конической поверхностью и плоскостью, которая параллельна плоскости направляющей окружности (рис.34).

Рис. 32 Рис. 33 Рис. 34

Конус можно рассматривать как тело, полученное при вращении прямоугольного треугольника вокруг оси, содержащей один из катетов треугольника.

Круг, ограничивающий конус, называется его основанием . Вершина конической поверхности называется вершиной конуса. Отрезок, соединяющий вершину конуса с центром его основания, называется высотой конуса. Отрезки, образующие коническую поверхность, называются образующими конуса. Осью конуса называется прямая, проходящая через вершину конуса и центр его основания. Осевым сечением называется сечение, проходящее через ось конуса. Разверткой боковой поверхности конуса называется сектор, радиус которого равен длине образующей конуса, а длина дуги сектора равна длине окружности основания конуса.

Для конуса верны формулы:

где R – радиус основания;

H – высота;

l – длина образующей;

S осн – площадь основания;

S бок

S полн

V – объем конуса.

Усеченным конусом называется часть конуса, заключенная между основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию конуса (рис.35).

Усеченный конус можно рассматривать как тело, полученное при вращении прямоугольной трапеции вокруг оси, содержащей боковую сторону трапеции, перпендикулярную основаниям.

Два круга, ограничивающие конус, называются его основаниями . Высотой усеченного конуса называется расстояние между его основаниями. Отрезки, образующие коническую поверхность усеченного конуса называются образующими . Прямая, проходящая через центры оснований, называется осью усеченного конуса. Осевым сечением называется сечение, проходящее через ось усеченного конуса.

Для усеченного конуса верны формулы:

(8)

где R – радиус нижнего основания;

r – радиус верхнего основания;

H – высота, l – длина образующей;

S бок – площадь боковой поверхности;

S полн – площадь полной поверхности;

V – объем усеченного конуса.

Пример 1. Сечение конуса параллельное основанию делит высоту в отношении 1:3, считая от вершины. Найти площадь боковой поверхности усеченного конуса, если радиус основания и высота конуса равны 9 см и 12 см.

Решение. Сделаем рисунок (рис. 36).

Для вычисления площади боковой поверхности усеченного конуса используем формулу (8). Найдем радиусы оснований О 1 А и О 1 В и образующую АВ.

Рассмотрим подобные треугольники SO 2 B и SO 1 A , коэффициент подобия , тогда

Отсюда

Так как то

Площадь боковой поверхности усеченного конуса равна:

Ответ: .

Пример2. Четверть круга радиуса свернута в коническую поверхность. Найти радиус основания и высоту конуса.

Решение. Четверить круга является разверткой боковой поверхности конуса. Обозначим r – радиус его основания, H – высота. Площадь боковой поверхности вычислим по формуле: . Она равна площади четверти круга: . Получим уравнение с двумя неизвестными r и l (образующая конуса). В данном случае образующая равна радиусу четверти круга R , значит, получим следующее уравнение: , откуда Зная радиус основания и образующую, найдем высоту конуса:

Ответ: 2 см, .

Пример 3. Прямоугольная трапеция с острым углом 45 О, меньшим основанием 3см и наклонной боковой стороной равной , вращается вокруг боковой стороны перпендикулярной основаниям. Найти объем полученного тела вращения.

Решение. Сделаем рисунок (рис. 37).

В результате вращения получим усеченный конус, чтобы найти его объем вычислим радиус большего основания и высоту. В трапеции O 1 O 2 AB проведем AC^O 1 B . В имеем: значит, этот треугольник равнобедренный AC =BC =3 см.

Ответ:

Пример 4. Треугольник со сторонами 13 см, 37 см и 40 см вращается вокруг внешней оси, которая параллельна большей стороне и находится от нее на расстоянии 3 см (Ось расположена в плоскости треугольника). Найти площадь поверхности полученного тела вращения.

Решение . Сделаем рисунок (рис. 38).

Поверхность полученного тела вращения состоит из боковых поверхностей двух усеченных конусов и боковой поверхности цилиндра. Для того чтобы вычислить эти площади необходимо знать радиусы оснований конусов и цилиндра (BE и OC ), образующие конусов (BC и AC ) и высоту цилиндра (AB ). Неизвестной является только CO . это расстояние от стороны треугольника до оси вращения. Найдем DC . Площадь треугольника ABC с одной стороны равна произведению половины стороны AB на высоту, проведенную к ней DC , с другой стороны, зная все стороны треугольника, его площадь вычислим по формуле Герона.

§ 24. Тела вращения.

Цилиндр, конус и усечённый конус.

1. Квадрат со стороной а вращается вокруг перпендикуляра к диагонали, проведённого через её конец. Определить объём и поверхность полученного тела.

2. Квадрат со стороной а вращается вокруг внешней оси, которая параллельна его стороне и отстоит от неё на длину стороны. Требуется: 1) определить объём и поверхность полученного тела; 2) определить, в каком отношении объём, образуемый вращением квадрата, разделится поверхностью, которую опишет его диагональ.

3. Равносторонний треугольник вращается вокруг перпендикуляра к стороне, проведённого через её конец. Как относятся между собой поверхности, описываемые сторонами треугольника?

4. Равносторонний треугольник вращается сначала вокруг стороны, а потом вокруг параллели к стороне, проведённой через вершину. Во второй раз получаются объём и поверхность, вдвое большие, чем в первый раз. Доказать.

5. Равносторонний треугольник со стороной а вращается вокруг внешней оси, которая параллельна стороне и удалена от неё на расстояние, равное апофеме треугольника. Определить объём и поверхность полученного тела.

6. Одна из сторон а равностороннего треугольника продолжена на равную ей длину, и через конец продолжения проведён перпендикуляр к нему. Определить объём и поверхность тела, которое получится, если вращать треугольник вокруг этого перпендикуляра.

7. Высота равностороннего треугольника продолжена за вершину на свою длину, и через конец продолжения проведён перпендикуляр к нему. По стороне а определить объём и поверхность тела, образуемого вращением треугольника вокруг этого перпендикуляра.

8. Стороны квадрата служат сторонами равносторонних треугольников, построенных снаружи, и образовавшаяся фигура вращается вокруг прямой, соединяющей наружные вершины двух противоположных треугольников. Сторона квадрата равна а . Определить объём и поверхность полученного тела.

9. По стороне а правильного шестиугольника определить объём и поверхность тел, образуемых его вращением: 1) вокруг диаметра; 2) вокруг апофемы.

10. По стороне а правильного шестиугольника определить объём и поверхность тела, образуемого его вращением вокруг стороны.

11. а вращается вокруг оси, проходящей через его вершину перпендикулярно к радиусу, проведённому в эту вершину. Определить объём и поверхность тела вращения.

12. Правильный шестиугольник со стороной а вращается вокруг внешней оси, которая параллельна стороне и отстоит от неё на длину апофемы. Определить объём и поверхность полученного тела.

13. Прямоугольный треугольник с катетами 5 см и 12 см вращается вокруг внешней оси, которая параллельна большему катету и отстоит от него на 3 см. Определить объём и поверхность тела вращения.

14. Прямоугольный треугольник с катетами 15 см и 20 см вращается вокруг перпендикуляра к гипотенузе, проведённого через вершину большего острого угла. Определить объём и поверхность тела вращения.

15. Треугольник со сторонами 9 см, 10 см и 17 см вращается вокруг высоты, проведённой из вершины его меньшего угла. Определить объём и поверхность полученного тела.

16. Треугольник со сторонами 8 см и 5 см, заключающими угол в 60°, вращается вокруг оси, проходящей через вершину этого угла перпендикулярно к меньшей из его сторон. Определить объём и поверхность тела вращения.

17. Объёмы, образуемые вращением параллелограмма последовательно вокруг двух смежных сторон, обратно пропорциональны этим сторонам. Доказать.

18. Ромб, площадь которого равна Q, вращается вокруг стороны. Определить поверхность полученного тела.

19. 1) Ромб со стороной а и острым углом в 60° вращается вокруг оси, проведённой через вершину этого угла перпендикулярно к стороне. Определить объём и поверхность тела вращения.

2) Такая же задача для угла в 45°.

20. Равнобедренная трапеция, у которой острый угол равен 45° и боковая сторона равна меньшему основанию, вращается вокруг боковой стороны. По её длине а определить объём и поверхность тела вращения.

21. В полукруг радиуса R вписана трапеция так, что её нижним основанием служит диаметр этого круга, а боковая сторона стягивает дугу в 30°. Определить объём и поверхность тела, образуемого вращением этой трапеции вокруг радиуса, перпендикулярного к её основанию.

22. АВ - диаметр данной полуокружности радиуса R; ВС-дуга, содержащая 60°. Проведены хорда АС и касательная CD, где D - точка на продолжении диаметра АВ. Определить объём и поверхность тела, получаемого при вращении треугольника ACD вокруг оси AD.

Шар и его части.

23. На полуокружности радиуса R от конца её диаметра АВ отложена дуга ВМС в 60°, и точка С соединена с А. Определить объём и поверхность тела, которое образуется, если вращать вокруг АВ фигуру, ограниченную диаметром АВ, хордой АС и дугой ВМС.

24. На полуокружности радиуса R от конца её диаметра АВ отложена дуга ВМС в 45°, из точки С проведена касательная, пересекающая продолжение диаметра АВ в точке D. Фигура, ограниченная прямыми BD и CD и дугой ВМС, вращается вокруг BD. Определить объём и поверхность полученного тела.

25. О - центр дуги АМС радиуса R; В-точка на продолжении радиуса ОА; ВС-касательная к дуге АМС; CD - перпендикуляр на радиус ОА. Фигура вращается вокруг оси ОВ. Определить расстояние OD, если поверхность, образуемая вращением дуги АМС, делит пополам объём, образуемый вращением треугольника ОСВ вокруг оси ОВ.

26. АМС, CND и DPB - последовательные трети полуокружности с диаметром АВ и центром О. Проведены радиусы ОС и OD и хорды АС и AD, и фигура вращается вокруг диаметра АВ. Доказать, что фигурами ACND и OCND будут описаны равные объёмы, составляющие каждый половину объёма шара.

27. Круговой сегмент вращается вокруг параллельного хорде диаметра. Доказать, что полученный объём равен объёму шара с диаметром, равным хорде сегмента.

28. 1) АОВ - квадрант с центром О и радиусом R; АМС - дуга, содержащая 60°; AD- касательная, причём D точка её пересечения с продолжением радиуса ОС. Фигура, ограниченная отрезками AD и CD и дугой АМС, вращается вокруг радиуса ОВ. Определить объём и поверхность полученного тела.

2) Такая же задача для дуги АМС, равной 45°.

Теоремы Гюльдена.

29. Проверить обе теоремы Гюльдена для случаев вращения:

1) прямоугольника вокруг одной из его сторон;

2) ромба со стороной а и высотой h вокруг одной из его сторон;

3) правильного треугольника со стороной а вокруг оси, проходящей через вершину параллельно основанию;

4) прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов;

5) прямоугольного треугольника вокруг гипотенузы.

30. Поперечное сечение железного кольца - квадрат со стороной а = 4 см; средний диаметр кольца d = 80 см и удельный вес его 8,6. Найти вес кольца.

31. Спасательный круг, поперечное сечение которого - окружность, можно рассматривать как тело, получившееся от вращения круга вокруг некоторой оси. Диаметр сечения d =12 см; внешний диаметр спасательного круга D = 75 см. Вычислить поверхность спасательного круга и его объём.

32. Паровозное депо имеет в плане вид полукольца (черт. 44), внутренний диаметр которого равен 20 м; ширина полукольца 9 м; в поперечном сечении депо имеет вид прямоугольной трапеции ABCD, параллельные стороны которой равны 4,25 м и 6,5 м. Найти объём депо.

33. Стороны треугольника 9 см, 10 см и 17 см. Треугольник вращается около большей своей высоты. Определить объём поверхность тела вращения.

34. Доказать, что объёмы, полученные при вращении треугольника вокруг основания и вокруг прямой, параллельной основанию проходящей через вершину треугольника, относятся как 1: 2.

Рисуем

6.1. Пусть - правильная призма. Перенос задается вектором: а) 0,5АВ; б) АО, где О - центр нижнего основания. Нарисуйте образ призмы при этом переносе. Нарисуйте объединение и пересечение исходной и полученной призм.

6.2. Дан правильный тетраэдр. Нарисуйте тетраэдр, который получается из данного в результате: а) центральной симметрии относительно середины высоты; б) зеркальной симметрии относительно плоскости, проходящей через середину высоты перпендикулярно к ней; в) поворота на 60° вокруг его высоты; г) поворота на 90" вокруг прямой, соединяющей середины его противоположных ребер. Нарисуйте объединение и пересечение исходного и полученного тетраэдров.

6.3. Дан куб. Нарисуйте куб, который получается из данного в результате: а) переноса на вектор, направленный по его диагонали, длиной в половину этой диагонали; б) центральной симметрии относительно точки, находящейся на его диагонали и делящей ее в отношении 2:1; в) зеркальной симметрии относительно плоскости, которая пересекает его по правильному шестиугольнику; г) поворота на 90" вокруг прямой, проходящей через середины двух параллельных ребер, не лежащих в одной грани. Нарисуйте объединение и пересечение исходного и полученного кубов.

6.4. Нарисуйте тела, которые можно получить, вращая круг

6.5. Нарисуйте тела, которые получаются при вращении: а) куба вокруг ребра; б) куба вокруг диагонали; в) правильного тетраэдра вокруг ребра; г) конуса вокруг прямой, параллельной оси и проходящей вне его.

Планируем

6.6. Как найти объем и площадь поверхности фигур - объединений и пересечений - из задач 6.1, 6.2?

6.7. Как найти объем и площадь поверхности фигур из задачи 6.5?

Представляем

6.8. Может ли центр симметрии тела не принадлежать ему?

6.9. Два равных отрезка: а) параллельны; б) имеют ровно одну общую точку; в) скрещиваются. Каким движением можно один из них отобразить на другом?

6.10. Два отрезка симметричны друг другу относительно двух плоскостей. Какая получится фигура, если их концы последовательно соединить отрезками?

6.11. Через некоторую прямую проведены всевозможные плоскости. Данная точка отражается от всех этих плоскостей. Какую фигуру образуют все полученные точки?

6.12. Верно ли, что: а) наклонный параллелепипед, две грани которого перпендикулярны основанию, имеет плоскость симметрии; б) среди граней параллелепипеда, имеющего плоскость симметрии, есть прямоугольники; в) параллелепипед, имеющий две плоскости симметрии, является прямоугольным?

6.13. Как разрезать куб на три равные пирамиды?

Оцениваем

6.14. Прямоугольный треугольник с гипотенузой d вращается вокруг одного из катетов. При каком условии объем тела вращения будет наибольшим?

6.15. Периметр равнобедренного треугольника равен Р. Этот треугольник вращается вокруг основания. Какой из таких треугольников дает наибольший объем тела вращения?

Думаем

6.16. Центр куба отражается в плоскости каждой его грани. Докажите, что полученные точки являются вершинами октаэдра. Можно ли таким путем получить и другие правильные многогранники?

6.17. В данный шар вписан:

а) правильный тетраэдр;

б) куб. Грани этого многогранника продлили до пересечения со сферой. На какие фигуры разделилась сфера? На какие фигуры разделился шар? Сколько среди них равных друг другу?

Исследуем

6.18. Является ли движением пространства такое его преобразование, которое точке с координатами ставит в соответствие точку с координатами:

6.19. Многогранник имеет центр симметрии, центр описанного шара, центр вписанного шара и центр масс. Сколько из этих точек могут совпадать?

Поступаем в ВУЗ

6.20. Из конца диаметра шара проведена хорда так, что поверхность, образуемая вращением ее вокруг этого диаметра, делит объем шара на две равновеликие части. Определите угол между хордой и диаметром.

6.21. Равносторонний треугольник со стороной а вращается вокруг внешней оси, параллельной стороне треугольника и отстоящей от нее на расстоянии, равном половине высоты треугольника. Найдите объем тела вращения.

6.22. Треугольник вращается вокруг биссектрисы AD. Докажите, что площади поверхностей, описанных при этом сторонами АВ и АС, относятся как объемы, полученные вращением частей ABD и

6.23. Равнобедренный треугольник, основание которого равно а, а угол при основании а, вращается вокруг прямой, проходящей через один из концов основания перпендикулярно к нему. Найдите площадь поверхности получившегося при этом тела вращения.

6.24. Часть квадрата ABCD, оставшаяся после того, как из него вырезали четверть окружности с центтюм в вершине D и радиусами, равными стороне квадрата, вращается вокруг оси, проходящей через D параллельно диагонали АС. Найдите объем полученного тела вращения, если сторона квадрата равна а.

6.25. Площадь прямоугольной трапеции ABCD равна , длина высоты АВ равна h, величина острого угла ADC трапеции

равна а. На боковой стороне CD взята точка Е так, что . Найдите объем тела, полученного вращением четырехугольника ABED вокруг прямой АВ.

6.26. Найдите объем тела, полученного при вращении правильного шестиугольника вокруг его стороны, равной а

6.27. На окружности полукруга радиуса R даны точки А и В. Если N - один из концов диаметра, а О - центр окружности, то Определите площадь полной поверхности тела, образованного вращением кругового сектора АОВ вокруг диаметра.

6.28. Дан правильный тетраэдр ABCD. Каждая из его вершин симметрично отражена относительно плоскости противоположной ей грани, в результате чего получены соответственно точки KLMN. Найдите отношение объемов исходного и полученного тетраэдров.

6.29. В тетраэдре проведены отрезки, соединяющие его вершины с точками пересечения медиан противоположных граней. Все они пересекаются в точке О. Второй тетраэдр симметричен первому относительно точки О. Объем исходного тетраэдра равен V. Найдите объем общей части двух тетраэдров.

Ответ: 0,5V.

6.30. Сторона основания правильной призмы имеет длину а, а боковое ребро - длину 1,125а Точка Е - середина ребра АВ, а точка М - лежит на отрезке ЕС и ЕМ ЕС. Вторая призма симметрична призме относительно прямой Найдите объем общей части этих призм.

6.31. Дан правильный тетраэдр объема V. Второй тетраэдр получается из первого поворотом его на угол

а вокруг прямой, соединяющей середины скрещивающихся ребер тетраэдра. Найдите объем общей части этих двух тетраэдров.

6.32. Куб с ребром а повернули на 90" вокруг прямой, соединяющей середины двух параллельных и не лежащих в одной грани ребер. Найдите объем общей части исходного куба и повернутого.

6.33. Правильная треугольная пирамида со стороной основания а повернута вокруг оси симметрии на угол 60. Определите объем общей части исходной и повернутой пирамид, если боковые грани - прямоугольные треугольники.

6.34. В шар радиуса R вписан правильный тетраэдр. Поворотом его на угол - вокруг высоты получается новый тетраэдр, вписанный в шар. Найдите объем части шара, внешней по отношению к обоим тетраэдрам.

6.35. Конус вращения вокруг оси - прямой, перпендикулярной его высоте и проходящей через вершину. Найдите площадь сечения полученного тела вращения плоскостью, проходящей через ось вращения, если образующая конуса равна 5, а высота равна 4.

ЗАДАЧИ К § 26

Дополняем теорию

6.36. Докажите, что плоскость переходит в параллельную ей плоскость (если не в себя) в результате:

а) переноса; б) центральной симметрии.

Планируем

6.37. В кубе точка О - центр грани ABCD. Как вычислить угол между прямой В, О и:

а) прямой прямой плоскостью

г) плоскостью

6.38. Пусть PABCD - пирамида, в основании которой лежит ромб ABCD. РВЦАВС). Площадь грани РВС равна S. Через точку К - середину ребра AD - проводится сечение, параллельное плоскости РАВ. Как найти его площадь?

6.39. Каждая боковая грань правильного тетраэдра совершила поворот вокруг ребер основания на один и тот же угол во внешнюю сторону. При этом получился многогранник с шестью вершинами и равными ребрами. На какой угол повернулись грани?

Представляем

6.40. Найдутся ли два равных круговых сечения одной плоскостью у двух неравных конусов, если они стоят на одной плоскости по одну сторону от нее?

6.41. Две окружности центрально-симметричны и не лежат в одной плоскости. Верно ли, что они лежат на поверхности: а) одной сферы; б) одного цилиндра? А если эти окружности зеркально-симметричны?

6.42. В каком случае два равных:

а) шара; б) цилиндра; в) конуса центрально-симметричны? Зеркально симметричны?

6.43. Какими поворотами шар можно отобразить на себя?

6.44. Какими поворотами одна из данных фигур отображается на другую, если эти фигуры: а) две прямые; б) две плоскости; в) два равных шара? Найдется ли такой поворот, который при этом и вторую фигуру отобразит на первую?

6.45. Всегда ли, вращая выпуклую фигуру, мы получим выпуклое тело?

Думаем

6.46. Используя свойства переноса, докажите, что: а) два перпендикуляра к одной плоскости параллельны; б) две плоскости, перпендикулярные одной прямой, параллельны; в) если прямая параллельна прямой, перпендикулярной плоскости, то она перпендикулярна плоскости; г) линейные углы двугранного угла равны между собой.

6.47. Докажите, что объединение двух плоскостей является фигурой: а) центрально-симметричной; б) зеркально-симметричной.

6.48. Прямая, b получена из прямой а отражением в плоскости а. Эти прямые имеют общую точку. Докажите, что эта точка лежит в плоскости а.

6.49. В шаре радиусом R провели через центр две плоскости, образующие между собой угол . Как узнать, в каком отношении они разбили объем шара?

6.50. Через биссектрису угла провели плоскость. Докажите, что стороны угла образуют с ней равные углы.

Исследуем

6.51. Можно ли равными параллелепипедами заполнить все пространство? Можно ли это сделать другими равными многогранниками?

6.52. Будет ли сечение центрально-симметричного тела, проходящее через центр симметрии, центрально-симметрично?

6.53. Тело центрально-симметрично. Будет ли центральносимметрична его ортогональная проекция? Будет ли верно обратное?

6.54. Каждое из двух тел центрально-симметрично. Будет ли центрально-симметрично их: а) объединение; б) пересечение?

6.55. Центрально-симметричное тело разделили плоскостью. Одна его часть оказалась центрально-симметричной. Будет ли таковой и другая его часть?

6.56. Существует ли многогранник, имеющий любое наперед заданное число плоскостей симметрии?

ЗАДАЧИ К § 27

Дополняем теорию

6.57. Докажите, что композиция двух отражений в пересекающихся плоскостях является поворотом, а в двух параллельных плоскостях - параллельным переносом.

6.58. Нарисуйте фигуру, которая переходит в себя в результате: а) винта; б) зеркального поворота; в) скользящего отражения.

6.59. Пусть куб. В результате некоторого движения он переходит в другой куб. Нарисуйте этот другой куб, если движение таково: а) винт с осью поворота, проходящей через центры граней

вектором а угол поворота равен зеркальный поворот на с осью поворота , и отражением в плоскости, перпендикулярной прямой и проходящей через центр куба; в) скользящее отражение, где отражение происходит в плоскости, перпендикулярной диагонали куба и проходящей через центр куба, а вектор равен АС.

6.60. Пусть РАВС - правильный тетраэдр. В результате движения он переходит в другой тетраэдр. Нарисуйте этот другой тетраэдр, если движение таково:

а) винт с осью поворота центр основания), углом поворота 60" и вектором

б) зеркальный поворот с осью поворота PQ, углом поворота 60° и плоскостью отражения, перпендикулярной PQ и проходящей через середину высоты

в) скользящее отражение с плоскостью отражения, проходящей через РВ и К - середину АС, и вектором 0,5 КВ.

Представляем

6.61. Сохраняет ли ориентацию базиса: а) перенос; б) центральная симметрия; в) зеркальная симметрия; г) поворот; д) винт; е) зеркальный поворот; ж) скользящее отражение?

6.62. Имеет ли движение неподвижные точки, если это движение: а) перенос; б) центральная симметрия; в) зеркальная симметрия; г) поворот; д) винт; е) зеркальный поворот; ж) скользящее отражение?

6.63. Даны два равных равнобедренных треугольника. Какими движениями их можно совместить, если они имеют общую: а) вершину равных сторон; б) сторону основания; в) боковую сторону; г) медиану к основанию; д) среднюю линию боковых сторон?

в) одну из его высот на другую;

г) отрезок, соединяющий середины противоположных ребер, на другой такой же отрезок;

д) сечение одной плоскостью симметрии на другое такое же;

е) сечение, являющееся квадратом, на другое такое же? Будет ли в таком движении и вторая фигура отображаться на первую?

6.66. В результате каких движений отображается на себя:

а) отрезок; б) прямая; в) круг; г) квадрат; д) правильный многоугольник; е) ромб; ж) плоскость; з) двугранный угол?

6.67. В результате каких движений отображается на себя тетраэдр РАВС, у которого: а) ; б)

6.68. Тело является объединением двух шаров, но не шаром. Какими движениями оно отображается на себя?

6.69. У четырехугольной пирамиды: а) все боковые ребра равны и противоположные плоские углы при вершине равны;

б) все плоские углы при вершине равны и противоположные боковые ребра равны. Какими движениями ее можно самосовместить?

6.70. Какими движениями отображается на себя антипризма?

6.71. Как разделить куб на: а) 8 равных кубов; б) 6 равных пирамид; в) 3 равные пирамиды; г) 4 равные треугольные призмы?

6.72. Как разделить прямую треугольную призму на 3 равновеликих тетраэдра? Есть ли среди них равные?

6.73. Как разделить параллелепипед на: а) 6 равновеликих пирамид; б) три равновеликие пирамиды? Есть ли среди них равные?

6.74. В шаре радиусом 1 провели три радиуса ОА, ОВ, ОС, из которых каждые два перпендикулярны. Какая часть объема шара ограничена четвертями больших кругов шара ОАВ, ОАС, ОВС и поверхностью? А какая часть поверхности?

Думаем

6.75. Две правильные четырехугольные пирамиды и имеют общее основание ABCD. Точка К - середина ребра , точка L - середина ребра точка М - точка пересечения медиан в грани , точка N - точка пересечения медиан в грани . Докажите, что:

д) расстояние от точки К до плоскости равно расстоянию от точки L до плоскости РХВС.

Исследуем

6.76. Возьмите композицию любых двух известных вам движений и выясните: а) меняет ли она ориентацию плоскости; б) имеет ли она неподвижные точки?

6.77. Сколько неподвижных точек может иметь каждое известное вам движение? Как они расположены? А сколько оно может иметь неподвижных прямых? Плоскостей?

6.78. Прямая b получается из прямой а некоторым движением. Установите расположение этих прямых между собой, если это движение: а) винт; б) зеркальный поворот; в) зеркальное отражение.