Что такое луч угол виды углов. Луч и угол, измерение и сравнение углов. Постановка учебной задачи
Приветствую вас, на этой страничке! Думаю, что раз вы здесь, значит тему “Точки, прямые и отрезки” вы уже изучили.
Сегодня мы введем два новых понятия, рассмотрим тему
Давайте проведем прямую и отметим на ней три точки A, O и B. Точка O разбивает прямую на два луча: OA и OB. Т.е. луч – это часть прямой, ограниченная с одной стороны и неограниченная с другой.
При этом точка O называется началом лучей OA и OB, а луч OA является продолжением (дополнением) луча OB и наоборот.
Обозначается луч либо одной маленькой латинской буквой, либо двумя заглавными латинскими буквами, при этом первой называется та буква, которая обозначает начало луча.
Теперь давайте рассмотрим следующее понятие: угол. Угол – это фигура, которая состоит из двух лучей, исходящих из одной точки. Эти лучи называются сторонами углами, а общая точка называется вершиной угла.
Угол обозначается либо двумя малыми латинскими буквами, либо одной заглавной буквой, либо тремя заглавными буквами.
Если обе стороны угла лежат на одной прямой, то такой угол называется развернутым. По другому еще говорят, что одна сторона развернутого угла является продолжением (дополнением) другой стороны этого угла.
Любой неразвернутый угол разделяет плоскость на две части: внутреннюю и внешнюю.
У развернутого угла можно любую область можно принять за внутреннюю часть, тогда другая область будет являться внешней.
За угол принимают внутреннюю часть угла.
Ну и последнее по этой теме) Если провести внутри угла лучи (лучи), то в результате образуются два (несколько) угла.
И тогда можно сказать, что угол AEM состоит из двух углов AEN и NEM: Или, Ниже вы можете еще раз повторить все основные понятия с помощью презентации. Только не стоит зазубривать определения, свойства и теоремы!!! Это не принесет результатов. При решении задач, держите под рукой учебник, чтобы в любой момент уточнить правильно ли вы определяете то или иное понятие. А для того, чтобы вам было легче находить нужные понятия, вы можете воспользоваться (в поисковой строке вводите название понятия и с правой стороны вы сможете найти соответствующее определение, теорему и т.п.)
Ниже представлены задачи предложенные по этой теме (в учебнике по геометрии Л.С. Атанасян)
. Перед тем как посмотреть решение той или иной задачи, попробуйте решить ее самостоятельно)) Условие:
Проведите прямую, отметьте на ней точки A и B и на отрезке AB отметьте точку C. a) Среди лучей AB, BC, CA, AC и BA назовите совпадающие лучи; б) назовите луч, который является продолжением луча СА. Текстовое решение:
1. Проводим прямую Условие:
Начертите три неразвернутых угла и обозначьте их так: Текстовое решение:
Развернутый угол – это угол, градусная мера которого равна 180 градусов. Следовательно, чертим три угла, градусная мера которых меньше 180 градусов. Условие:
Начертите два развернутых угла и обозначьте их буквами. Текстовое решение:
Развернутый угол – это угол, градусная мера которого равна 180 градусов. Следовательно, чертим два угла, градусная мера которых равна 180 градусов. Условие:
Начертите три луча h, k и l с общим началом. Назовите все углы, образованные данными лучами. Текстовое решение:
Чертим лучи h, k и l с общим началом. В результате получили три угла: Условие:
Начертите неразвернутый угол hk. Отметьте две точки внутри этого угла, две точки вне этого угла и две точки на сторонах угла. Текстовое решение:
Чертим угол Отмечаем внутри угла точки A и B. Отмечаем вне этого угла точки С и D. Отмечаем на сторонах этого угла точки P и N. Условие:
Начертите неразвернутый угол. Отметьте точки А, B, M и N так, чтобы все точки отрезка AB лежали внутри угла, а все точки отрезка MN лежали вне угла. Текстовое решение:
Чертим неразвернутый угол (угол, градусная мера которого меньше 180 градусов)
, например Отмечаем точки A и B так, чтобы все точки отрезка AB лежали внутри угла Отмечаем точки M и N так, чтобы все точки отрезка MN лежали вне угла Примечание:
А вот точки K и L отмечены так, чтобы часть точек отрезка KL лежало внутри угла
Условие:
Начертите неразвернутый угол AOB и проведите: Текстовое решение:
Чертим угол Проводим луч OC так, чтобы он делил угол Проводим луч OD так, чтобы он не делил
угол Примечание: луч OD можно провести и таким образом, чтобы это удовлетворяло условию. Условие:
Сколько неразвернутых углов образуется при пересечении двух прямых? Текстовое решение:
Начертим две пересекающиеся прямые AF и BL и отметим точку пересечения буквой O. Образовавшиеся углы, градусная мера которых меньше 180 градусов: Условие:
Какие из точек, изображенных на рис.1, лежат внутри угла hk, а какие – вне этого угла? Текстовое решение:
Внутри угла Вне угла Примечание:
точки D и B лежат на сторонах угла Условие:
Какие из лучей, изображенных на рис.2, делят угол AOB на два угла? Текстовое решение:
Угол Луч и угол
- основные сведения. Луч
идет из одной точки в бесконечность (и называется, например, «исходящим и точки A»). Луч в геометрии - это аналогия со световым лучом в реальной жизни. Из одной точки может исходить множество лучей. Каждый луч называют, либо маленькими латинскими буквами: a, b, c, d,…, либо по начальной точке и любой другой точке на этом луче, например: AK Это два луча (стороны угла
), которые выходят из одной точки (вершины угла
). В углу, как правило ставят дугу, которая обозначает угол. Угол можно: Обозначить точками: ∠AOB Обозначить прямыми: ∠ab Фактически прямая, только В - вершина, DC и DA - лучи. Любой угол
делит плоскость на 2 части
: внутреннюю
и внешнюю
. У развернутого угла любую плоскость можно считать внутренней и внешней. Если луч делит угол на два равных угла, то этот луч называется биссектрисой
. Для запоминания используется стишок: "биссектриса - это такая крыса, которая бегает по углам и делит угол пополам". Логично, что каждая точка биссектрисы, равноудалена от прямых угла
. Обратите внимание, как на рисунке ниже обозначены углы - они нарисованы одинаковыми дугами, что означает на чертежах равенство данных углов. Определение понятия луча базируется на двух основных понятиях геометрии: точке и прямой. Возьмем произвольную прямую и выберем на ней произвольную точку. Такая точка будет разделять эту прямую две части (рис. 1). Определение 1
Лучем будет называться часть прямой, которая ограничена какой-либо точкой на этой прямой, но только с одной стороны. Определение 2
Точка, которой ограничен луч в рамках определения 1 называется началом этого луча. Замечание 1
отметим, что угол, который получался на рисунке 1 называется развернутым. Луч будем обозначать двумя точками: началом его и другой любой произвольной точки на нем. Отметим, что здесь, в обозначении, важен порядок обозначения этих точек. На первом месте всегда ставим именно начало луча (рис. 2) Понятие луча связано со следующей аксиомой геометрии: Аксиома 1:
Любая произвольная точка на прямой будет делить ее на два луча, причем любые произвольные точки одно и того же из них будут лежать с одной стороны от этой точки, а две точки из разных лучей – по разные стороны от этой точки. С понятием луча и отрезка также связана следующая аксиома. Аксиома 2:
От начала любого луча может быть отложен отрезок , который равен заведомо данному отрезку, причем такой отрезок будет единственен. Пусть нам даны два произвольных луча. Наложим их начала друг на друга. Тогда Определение 3
Углом будем называть два луча, которые имеют одно и тоже начало. Определение 4
Точка, которая является началом лучей в рамках определения 3, называется вершиной этого угла. Угол будем обозначать следующими тремя её точками: вершиной, точкой на одном из лучей и точкой на другом луче, причем вершина угла записывается в середине его обозначения (рис. 3). С понятием луча и угла также связана следующая аксиома. Аксиома 3:
От любого произвольного луча может быть отложен угол в определенную полуплоскость, который равен заведомо данному углу, причем такой угол будет единственен. Рассмотрим два произвольных угла. Очевидно, что они могут быть либо равными, либо неравными. Итак, для сравнения выбранных нами углов (обозначим их угол 1 и угол 2) наложим вершину угла 1 на вершину угла 2, так, чтобы, по одному из лучей этих углов наложились друг на друга, а другие два были по одну сторону от этих лучей. После такого наложения возможны два следующих случая: Помимо сравнения одних углов с другими также часто необходимо измерение углов. Измерить угол означает найти его величину. Для этого необходимо выбрать какой-то «эталонный» угол, который мы будем принимать за единицу. Чаще всего таким углом является угол, который равен $\frac{1}{180}$ части развернутого угла. Такую величину называют градусом. После выбора такого угла мы проводим с ним сравнение углов, величину которого нужно найти. Самым простым способом измерения величины углов является измерение с помощью транспортира. Пример 1
Найти величину следующего угла: Используем транспортир: Ответ: $30^0$. После определения величины углов у нас появляется второй способ для сравнения углов. Если при одном и том же выборе единицы измерения угол 1 и угол 2 будут иметь одинаковую величину, то такие углы будут называться равными. Если же, без ограничения общности, угол 1 будет иметь величину по числовому значению меньше величины угла 2, то угол 1 будет меньше угла 2. Цели урока:
Тип урока
: изучение нового материала Оборудование
: интерактивная доска Smart Board, компьютер, малка Ход урока
I
.
Оргмомент
.
В геометрии нет царских путей. Евклид
А сейчас узнаем определение угла, но прежде скажите: из каких геометрических фигур состоит угол? (из точки и 2-х лучей
) Определение
. Угол
- это геометрическая фигура, которая состоит из точки и 2-х лучей, исходящих из этой точки. Запишите. Обратите внимание, буква, обозначающая вершину угла, записывается в середине. Появляется с углами и показывается еще два способа обозначения угла. Вывод:
А сейчас выясним, какой угол называется развернутым. (Берется малка.) Это какой угол? (острый, прямой, тупой), а вот это какой, я же развернула, как он называется? (развернутый
) Развернутый угол - это угол, стороны которого образуют прямую
. На рисунке вы видите развернутые углы. Приложение 1 , слайд 8. Его можно записать так ∠ pg, как показано в учебнике, а можно и так ∠ АВС Какой из изображенных на рисунке углов является развернутым? Запишите (∠ АDE). Приложение 1 , слайд 9. У любого угла есть внутренние и внешние области. Самостоятельно, работая с учебником (страница 9) ответьте на вопросы: Приложение 1 , слайд 10. Скажите мне, как называется часть плоскости, заключенная между двумя лучами с общей вершиной. (Угол
). Правильно, это второе определение угла. I
Х. Закрепление.
По рисунку самостоятельно у себя в тетради запишите точки принадлежащие: Приложение 1 , слайд 11. Некоторые ученики выполнили так, но они допустили ошибку. Найдите её. Правильно выполнил тот, кто выполнил работу так: А сейчас мы выполним тест (диск Уроки геометрии Кирилла и Мефодия. 7 класс) Открытый урок по математике во 2 классе
тема «Угол. Виды углов»
8. Цель урока:
создать условия для создания и осмысления детьми новой информации. 9.Задачи:
образовательная: познакомить учащихся с видами углов, их признаками; ввести понятия «угол», «виды углов»; научить построению различных видов углов с помощью линейки и треугольника использовать в практических заданиях при построении углов полученные знания; развивающая: развивать познавательный интерес к математике. Формировать первичные геометрические навыки, навыки речевой культуры, мыслительных процессов; развивать образное воображение, творческое мышление; воспитательная: воспитывать нравственные качества личности и эстетические чувства, аккуратность, самостоятельность. 10. Тип урока
:
урок открытия новых знаний 11. Средства обучения
:
мультимедийный проектор, компьютер, презентацию к уроку, линейка, треугольник.. Цветная бумага, карандаши, рабочая тетрадь., учебник 12. Методы обучения
:
проблемный, частично-поисковый, исследовательский. 13. Форма
:
парная, групповая и индивидуальная Продолжительность занятия
: 35 мин Краткое описание
. Урок открытия новых знаний. Ребята отправляются в увлекательное путешествие в страну «Геометринск», где познакомятся с углами, видами углов. Вместе с любимыми героями смешариками научатся строить и различать виды углов. Тема: «Угол. Виды углов».
Ход урока.
Орг. момент. -
Сегодня мы, ребята, побываем в удивительной стране - Геометрии.
И прекрасна, и сильна
Геометрия - страна!
Начинается урок,
Он пойдет ребятам впрок
Постарайтесь всё понять -
Тему новую узнать.
Актуализация знаний.
«Математический словарь».
Бывает на карте и в конце предложения. (Точка) Линия. Состоящая из нескольких звеньев - это..(ломаная) Прямая. ограниченная с 2х сторон. (Отрезок) Прямая, ограниченная с одной стороны. (Луч) Инструмент для построения отрезков. (Линейка) СЛАЙД 3
Какие бывают линии? (прямые, кривые, (замкнутые, незамкнутые)
3. Постановка учебной задачи.
СЛАЙД 4
Назовём геометрические фигуры Какие новые фигуры встретились вам? Какие учебные задачи поставим? 4.Знакомство с новыми геометрическими фигурами.
Сегодня на уроке мы узнаем, какие бывают углы (проблемный вопрос), научимся их не только узнавать, но и строить. Где можно встретить углы в окружающем нас мире? С помощью каких учебных принадлежностей (находящихся на ваших столах) можно сложить угол? (ручки, карандаши) СЛАЙД 5
Что такое угол? Как он получается? (Два луча исходящие из одной точки, называются углом) Давайте с вами начертим в тетради угол. Для этого поставим точку и проведем из точки два луча. Лучи - это стороны угла. Точка, из которой проведены лучи, - вершина угла, обозначают заглавными буквами А, О, В и т.д. Подумала точка и сделала это, 0.
И вот получился у нас угол Красивый, веселый, две стенки имеет И в той точке игривый, смешной хохолок СЛАЙД 6
Кто из зверят начертил угол? Почему? 5.Практическая работа. (Наглядная геометрия)
Сложи большой лист бумаги. Вот так. (учитель показывает) У вас получился… (кто знает?) прямой угол. Сравните полученные углы. Как это можно сделать? (способом наложения др на др). Так какие углы называются равными? Давайте вывод свой сравним с выводом учебника (с.99) (Углы называют равными, если при наложении углов друг на друга их стороны совпадают) Найдите в классе прямые углы. А теперь давайте построим в тетради этот угол ФИЗ минутка
Встали. Руки в стороны поднимем. Посмотрите на меня и друг на друга. Какую фигуру вам это напоминает? А теперь руки вверх… возьмитесь за руки. Что у вас получилось? Подойдите ближе друг к другу….. А теперь отойдите друг от друга. Что у вас получилось? Одинаковые углы или нет? 6. Знакомство с видами углов.
Помощником у нас будет прямой угол (угольник).
Попробуйте построить в тетрадях эти углы. А смешарики подскажут нам план построения углов. СЛАЙДЫ 7-11
7.Первичное закрепление.
- А как узнать, какой нарисован угол - прямой, тупой или острый? (Нужно сравнить его с прямым углом, н-р, приложив угольник.) СЛАЙД 12
Угол вот такой у взрослых Называется прямым. Если угол у
же - острым, Если шире. То - тупым. Как происходит ср-е? (Надо совместить с вершиной данного угла вершину прямого угла. Если меньше прямого - острый; если больше - тупой.) 1) Работа в группах. Карточка (Приложение1) Проверка 1 группа -острые (1, 7, 10); 2 группа-тупые (2, 3, 8, 9); 3 группа-прямые (4. 5, 6) 2)
Включение в систему знаний, повторений и закреплений (ситуация успеха) Работа в рабочей тетради №23, 24, 25, стр. 16 СЛАЙД 13
Подведем итог нашего занятия СЛАЙД 14 д\з №303 с 100
СЛАЙД 15 Рефлексия
На уроке я узнал … (Я не знал, а теперь знаю…) Я научился… Самое трудное на уроке… Если вы чувствовали себя на уроке комфортно, и у вас все получилось - поаплодируйте себе. Если всё удалось не сразу, погладьте себя. Не переживайте, у вас все еще впереди! СЛАЙД 16- 17
Наше общение завершается. Герои прощаются с вами Методическая литература
1. Истомина М.Б. Математика 2 класс: Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений: Смоленск «Ассоциация CCI
век» 2008. 2. Наглядная геометрия. Рабочая тетрадь 2 класс: Истомина М.Б. 4. Продукт семинара учителей начальных классов Приложение 1
Самоанализ урока математики во 2 классе
Тема:
«Угол. Виды углов» Цель
: создать условия для осознания и осмысления детьми новой информации Для достижения поставленной цели стали приоритетными следующие задачи
: образовательная: ввести понятия «угол», «виды углов»4 научить построению различных видов углов с помощью линейки и треугольника использовать в практических заданиях при построении углов полученные знания; развивающие: развивать познавательный интерес к математике, формировать первичные геометрические навыки, навыки речевой культуры, мыслительных процессов; развивать образное воображение, творческое мышление; воспитывающие: воспитывать нравственные качества личности и эстетические чувства, аккуратность, самостоятельность Использовала такие методы обучения: проблемный, исследовательский, поисковый Тип урока
: открытие новых знаний Продолжительность занятия - 35 мин. Были использованы такие формы работы: парная (физминутка), микро-группы (работа по карточкам) и индивидуальная Мною на протяжении урока создавалась атмосфера заинтересованности при изучении темы: связь с жизнью (какие углы нас окружают); пространственно-ориентировочная (физминутка), связь с русским языком («Математический словарь» давалось лексическое значение слов) Учебные задания, упражнения, вопросы носили проблемный, исследовательский характер (исследовались углы) Объяснение нового материала не преподносился в готовом виде, а дети посредством заданий ставили пред собой учебные задачи и находили способы их решения (геометрическая фигура в начале урока, затем в ходе практической работы (равные углы), физминутка) При построении углов выполнялись упражнения по образцу. На протяжении урока добивалась, чтобы обучающиеся давали полные (развёрнутые) ответы и употребляли математическую терминологию (научную). Давала возможность детям проявить себя в качестве собеседника; строить работу по принципу диалога (вопросы задавались не назидательно). На протяжении урока старалась привлечь обучающихся к комментированию и оценки своей деятельности и деятельности одноклассников. Ребята совместно со мной размышляли и приходили к выводам (которые потом сверяли с трактовкой в учебнике «равные углы») Как уже говорила раньше: стимулировала обучающихся к высказываниям без боязни ошибиться, получить неправильные ответы. На уроке создавалась атмосфера заинтересованности каждого обучающегося в работе класса и создании педагогической ситуации успеха, позволяющей каждому ученику проявить инициативу, самостоятельность. В ходе урока я использовала собственные, оригинальные методические приёмы, а именно: здоровьесберегающие технологии прослеживались не только в физминутке (связь с жизнью), умение наблюдать и быть внимательными к окружающему миру, но и в практической работе (складывание листа «Наглядная геометрия»). Данная практическая работа позволила провести гимнастику для кистей рук, развивать моторику, кроме того, следила за осанкой на протяжении всего урока. Конечно мне помогают в моей работе новые инновационные педагогические технологии (проблемное обучение, исследовательский метод) и информационно-коммуникативные технологии, которые позволили сделать урок ярким, интересным, научным (построение углов по плану). Компьютерные технологии обеспечили значительно более высокий уровень наглядности по сравнению с традиционными схемами, моделями. Презентационное сопровождение не заменимо, а органично дополнило практическую деятельность обучающихся, давая (вместе со смешариками) образец использования геометрических инструментов и алгоритм построения углов, т.е. позволили отработать практические навыки Подобранный материал для упражнений соответствовал предметной теме занятия. На уроке был использован материал занимательного характера (практическая работа, моделирование с помощью имеющихся под рукой учебных принадлежностей: ручек, карандашей), физ минутка и ИКТ (путешествие по «Геометринску» вместе с любимыми героями смешариками). Объём учебного материала соответствовал возрастным особенностям. На данном уроке не предусмотрен дифференцированный подход, т к это был урок открытий новых знаний. Воспитательные задачи были реализованы через практическую деятельность (аккуратность, самостоятельность), нравственные качества личности умения себя вести, слушаться (дома ставят вас в угол и почему? и за что?). Отработка практических навыков по построению острых, тупых и прямых углов не позволила провести запланированную работу в группах. В ходе урока выявлено, что у детей нет чётких навыков в построении углов, поэтому дом задание было изменено с учётом выявленных проблем.
2. Отмечаем на проведенной прямой точки A и B.
3. Между точками A и B отмечаем точку С.
4. Лучи называются совпадающими, если они имеют общее начало, расположенные на одной и той же прямой и направленные в одну и ту же сторону: луч AC совпадает с лучом AB, луч BC совпадает с лучом BA.
5. Пункт (б) не очень корректен (мое личное мнение). Многие учащиеся называют продолжение луча CA, луч CB. Луч CB – это луч, который имеет общее начало с лучом CA, лежит на одной прямой, но направлен в противоположную сторону. Такие лучи называют дополнительными. Продолжение – это часть чего-то незавершенного, но луч СА и так бесконечен и мы можем свободно продолжить его для каких-то конкретных целей (до пересечения с чем-либо, на какое-то количество клеток и т.д.)
а) луч OC, который делит угол AOB на два угла;
б) луч OD, который не делит угол AOС на два угла.
Внутреннюю часть угла можно разделить на 2 новых угла, проведя во внутренней части новый луч.
Угол
Сравнение углов
Величина угла
