Где можно использовать преобразование фигур. Движения. Преобразования фигур. Группы симметричных преобразований фигур и виды симметрии

С преобразованиями фигур люди имели дело всегда. Уже человек каменного века, изображая на стенах пещерных животных, реально производил преобразование пространственных тел в плоские фигуры. Глядя на тень предмета в солнечный день, мы видим результат параллельного проектирования солнечными лучами этого предмета на поверхность пола или земли. А лучи, идущие от лампы, осуществляют центральное проектирование (рис. 8.20)

Важнейшими из геометрических преобразований являются знакомые вам из планиметрии движения и подобия. Рассмотрим эти преобразования в пространстве.

§ 25. ДВИЖЕНИЯ

25.1. Преобразования фигур.

Доказывая в главе 1, что некоторая фигура F обладает центральной или зеркальной симметрией, мы сопоставляли каждой точке X фигуры F некоторую точку X этой фигуры, симметричную точке X относительно центра или плоскости, т.е. выполняли некоторое преобразование фигуры

Напомним, что вообще преобразование f (или отображение f) фигуры F состоит в том, что каждой ее точке X сопоставляется некоторая точка X (рис. 25.1). Все точки X образуют некоторую фигуру F, о которой говорят, что она получена при преобразовании (отображении) из фигуры

Говорят также, что точка X является образом точки X

при преобразовании и пишут , а о фигуре F говорят, что она является образом фигуры F при преобразовании и пишут

Если при данном преобразовании разным точкам фигуры соответствуют разные образы, то преобразование называют взаимно однозначным. Например, проектирование пространства на плоскость не является взаимно однозначным преобразованием, так как разные точки пространства могут иметь одну и ту же проекцию. А проектирование плоскости на плоскость в направлении, не параллельном этим плоскостям, является взаимно однозначным преобразованием.

Пусть фигура F получена в результате взаимно однозначного преобразования f из фигуры F. Тогда каждая точка фигуры F является образом только одной (единственной) точки X фигуры F. Действительно, в противном случае преобразование переводило бы в одну и ту же точку X две различные точки фигуры F, что невозможно, поскольку преобразование взаимно однозначное. Поэтому каждой точке X фигуры F можно поставить в соответствие ту единственную точку X фигуры F, образом которой при преобразовании f является точка X. Тем самым мы определим преобразование фигуры F в фигуру F, которое называется обратным для преобразования f и которое обозначается Если преобразование имеет обратное, то оно называется обратимым.

Из данных определений непосредственно следует, что если преобразование f обратимо, то обратное ему преобразование также обратимо и Поэтому преобразования f и называются взаимно обратными.

Пусть преобразование переводит фигуру F в фигуру G, а преобразование g переводит фигуру G в фигуру (рис. 25.2). Если при преобразовании точка X фигуры F перешла в точку фигуры G, а затем точка Y при преобразовании g перешла в точку фигуры Н, то тем самым точка X перешла в точку Z. Это записывают так:

ЗЕРКАЛЬНАЯ СИММЕТРИЯ. Классическая симметрия «левого-правого», когда одна половина формы является как бы зеркальным отражением другой. Воображаемая плоскость, которая делит такие фигуры на две зеркально равные части называется плоскостью симметрии, и обозначается латинской литерой «м».

ЦЕНТРАЛЬНО-ОСЕВАЯ СИММЕТРИЯ (осевая, симметрия вращения).

Симметрия относительно центральной (зачастую вертикальной) оси, образованной пересечением двух или более плоскостей симметрии. При полном обороте (360*) форма несколько раз совмещается сама с собой. Число таких совмещений определяет порядок оси симметрии (колличество трансформаций), которая обозначается латинской литерой «n» и числом. Квадрат имеет четверную ось («n4»), шестиугольник – шестерную, пентаграмма – пятерную.

ПЕРЕНОСНАЯ СИММЕТРИЯ (трансляционная симметрия).

Простейшее преобразование, приводящее к «бесконечным» фигурам – перенос элемента вдоль прямой на отрезок конечной длины – «а». Направляющая называется осью переносов, а интервалы – периодами трансляции. Если вдоль оси переносится несимметричный элемент, то говорят о полярной оси, это означает, что свойства линейной формы в одном направлении иные чем в обратном. Тем самым в архитектуре подчеркивается поступательное движение в одном направлении.

Кроме оси переносов в трансформации могут быть задействованы иные типы преобразований – отражение и поворот. Более сложные «рисунки» дает использование неполных интервалов (1/2, ¼, ¾, и т.д.). Подобным образом создаются линейные бесконечные орнаменты, именуемые «бордюры» (фр. Границы). Такой вид симметрических преобразований именуют – СИММЕТРИЕЙ БОРДЮРОВ, и в ней, как и в трансляционной симметрии различают полярные (направленные) формы и не полярные.

СИММЕТРИЯ СЕТЧАТЫХ ОРНАМЕНТОВ И ПЛОТНЫХ УПАКОВОК. («ПАРКЕТЫ»).

Этот вид симметрии привлекается для описания и анализа однородных, состоящих из одинаковых элементов структур, как объемных так и плоскостных.

Простейший сетчатый орнамент представляет собой сетку из параллелограммов. Плоская сетка имеет две непараллельных оси переносов, или точнее «плоская» сетка представляет собой такое разбиение плана на конечные участки, которое кроме тождественного преобразования допускает еще два неколленеарных автоморфизма сдвига. Одной и той же системе узлов отвечает бесконечное множество сеток в зависимости от способов соединения узлов. У всех систем точек кроме осей переносов содержатся и другие элементы симметрии. Например, правильная треугольная сетка, в каждой вершине которой пересекаются три направляющие, и имеет шестерные вертикальные оси в узлах.

Существует только пять параллелограммических систем точек, отличающихся друг от друга по симметрии и параметрам ячеек:

Квадратная система узлов,

Правильная треугольная система узлов,

Ромбическая система узлов,

Прямоугольная система узлов,

Косая параллелограммическая система узлов.

На осонве непрямоугольных сеток получаются достаточно выразительные системы расчленения плоскостей.

В случае трехмерного пространства можно выделить уже не пять систем точек, а 14 бесконечных фигур, именуемых решетками Бравэ.

СПИРАЛЬНАЯ СИММЕТРИЯ (винтовая).

Эта группа симметрии образована последовательным преобразованием формы, с использованием двух типов – поворот и перенос. Фигура обладает «винтовой осью» симметрии, если она приходит в совмещение сама с собой после произвенных последовательно двух операций: поворота на угол и переноса на расстояние равное 1 вдоль оси поворота. Если угол равен 360*/ n, то винтовую ось называют ось порядка n/... . Так как закручивание можно проиводить как вправо, так и влево, то различают винтовые оси правые и левые. Спираль представляет собой геометрическое место точек, которое удовлетворяют единому правилу построения, как например архимедова спираль r = a

CИММЕТРИЯ ПОДОБИЯ.

В соответствии с характером преобразований фигур различают ИЗОМЕТРИЧЕСКИЕ (ортогональные) и НЕИЗОМЕТРИЧЕСКИЕ (аффинные, проективные и т.д.) группы симметрии.

Изометрические – группы вращений, отражений, переносов, сохраняют метрические свойства исходных элементов. К ним относятся все рассмотренные выше группы симметрии. Изометрические преобразования бесконечных фигур иначе называют «ДВИЖЕНИЯМИ».

АФФИННЫЕ группы состоят из совокупностей ОДНОРОДНЫХ ДЕФОРМАЦИЙ – растяжение, сжатие, перспективные сокращения, допускаемые бесконечными фигурами.

Группы ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ПОДОБИЯ являются частным случаем аффинных групп. Элементы последовательного ряда подобных фигур согласуются между собой пропорциональной зависимостью. Они могут быть связаны величинами арифметической, геометрической или гармонической прогрессии.

Таким образом существует СЕМЬ основных групп симметрии. Комбинирование числа осей симметрии и другие преобразования позволяют получить на базе этих групп 230 возможных типов точечных решеток, делящих пространство на однородые элементы.

Движением в геометрии называется отображение, сохраняющее расстояние. Следует разъяснить, что подразумевается под словом "отображение".

1. Отображения, образы, композиции отображений.

Отображением множества M в множество N называется соответствие каждому элементу из M единственного элемента из N.

Мы будем рассматривать только отображение фигур в пространстве. Никакие другие отображения не рассматриваются, и потому слово "отображение" означает соответствие точкам точек.

О точке X", соответствующей при данном отображении f точке X, говорят, что она является образом точки X, и пишут X" = f(X) . Множество точек X", соответствующих точкам фигуры M, при отображении f называется образом фигуры M и обозначается M" = f(M) .

Если образом M является вся фигура N, т.е. f(M) = N, то говорят об отображении фигуры M на фигуру N.

Отображение называется взаимно однозначным, если при этом отображении образы каждых двух различных точек различны.

Пусть у нас есть взаимно однозначное отображение f множества M на N. Тогда каждая точка X" множества N является образом только одной (единственной) точки X множества M. Поэтому каждой точке X" (N можно поставить в соответствие ту единственную точку X (M, образом которой при отображении f является точка X". Тем самым мы определим отображение множества N на множество M, оно называется обратным для отображения f и обозначается f. Если отображение f имеет обратное, то оно называется обратимым.

Неподвижной точкой отображения (называется такая точка A, что ((A) = A.

Из данных определений непосредственно следует, что если отображение f обратимо, то обратное ему отображение f также обратимо и (f) = f. Поэтому отображения f и f называются также взаимно обратными.

Пусть заданы два отображения: отображение f множества M в множество N и отображение g множества N в множество P. Если при отображении f точка X (N перешла в точку X" = f(X) (N, а затем X" при отображении g перешла в точку X"" (P, то тем самым в результате X перешла в X"".

В результате получается некоторое отображение h множества M в множество P. Отображение h называется композицией отображения f с последующим отображением g.

Если данное отображение f обратимо, то, применяя его, а потом обратное ему отображение f, вернем, очевидно, все точки в исходное положение, т.е. получим тождественное отображение, такое, которое каждой точке сопоставляет эту же точку.

2. Определение движения.

Движением (или перемещением) фигуры называется такое ее отображение, при котором каждым двум ее точкам A и B соответствуют такие точки A" и B", что |A"B"| = |AB|.

Тождественное отображение является одним из частных случаев движения.

Фигура F" называется равной фигуре F, если она может быть получена из F движением.

3. Общие свойства движения.

Свойство 1 (сохранение прямолинейности) .

При движении три точки, лежащие на прямой, переходят в три точки, лежащие на прямой, причем точка, лежащая между двумя другими, переходит в точку, лежащую между образами двух других точек (сохраняется порядок их взаимного расположения) .

Доказательство. Из планиметрии известно, что три точки A, B, C лежат на прямой тогда и только тогда, когда одна из них, например точка B, лежит между двумя другими - точками A и C, т.е. когда выполняется равенство |AB| + |BC| = |AC|.

При движении расстояния сохраняются, а значит, соответствующее равенство выполняется и для точек A", B", C": |A"B"| + |B"C"| = |A"C"|.

Таким образом, точки A", B", C" лежат на одной прямой, и именно точка B" лежит между A" и C".

Из данного свойства следуют также еще несколько свойств:

Свойство 2. Образом отрезка при движении является отрезок.

Свойство 3. Образом прямой при движении является прямая, а образом луча - луч.

Свойство 4. При движении образом треугольника является равный ему треугольник, образом плоскости - плоскость, причем параллельные плоскости отображаются на параллельные плоскости, образом полуплоскости - полуплоскость.

Свойство 5. При движении образом тетраэдра является тетраэдр, образом пространства - все пространство, образом полупространства - полупространство.

Свойство 6. При движении углы сохраняются, т.е. всякий угол отображается на угол того же вида и той же величины. Аналогичное верно и для двугранных углов.

Сначала я рассмотрю все основные виды движений, а затем сведу их в единую систему.

4. Параллельный перенос.

Определение. Параллельным переносом, или, короче, переносом фигуры, называется такое ее отображение, при котором все ее точки смещаются в одном и том же направлении на равные расстояния, т.е. при переносе каждым двум точкам X и Y фигуры сопоставляются такие точки X" и Y", что XX" = YY".

Основное свойство переноса:

Параллельный перенос сохраняет расстояния и направления, т.е. X"Y" = XY.

Отсюда выходит, что параллельный перенос есть движение, сохраняющее направление и наоборот, движение, сохраняющее направление, есть параллельный перенос.

Из этих утверждений также вытекает, что композиция параллельных переносов есть параллельный перенос.

Параллельный перенос фигуры задается указанием одной пары соответствующих точек. Например, если указано, в какую точку A" переходит данная точка A, то этот перенос задан вектором AA", и это означает, что все точки смещаются на один и тот же вектор, т.е. XX" = AA" для всех точек Х.

5. Центральная симметрия.

Определение

1. Точки A и A" называются симметричными относительно точки О, если точки A, A", O лежат на одной прямой и OX = OX". Точка О считается симметричной сама себе (относительно О) .

Две фигуры называются симметричными относительно точки О, если для каждой точки одной фигуры есть симметричная ей относительно точки О точка в другой фигуре и обратно.

Как частный случай, фигура может быть симметрична сама себе относительно некоей точки О. Тогда эта точка О называется центром симметрии фигуры, а фигура центрально-симметричной.

Определение

2. Центральной симметрией фигуры относительно О называется такое отображение этой фигуры, которое сопоставляет каждой ее точке точку, симметричную относительно О.

Основное свойство: Центральная симметрия сохраняет расстояние, а направление изменяет на противоположное. Иначе говоря, любым двум точкам X и Y фигуры F соответствуют такие точки X" и Y", что X"Y" = -XY.

Доказательство. Пусть при центральной симметрии с центром в точке О точки X и Y отобразились на X" и Y". Тогда, как ясно из определения центральной симметрии, OX" = -OX, OY" = -OY.

Вместе с тем XY = OY - OX, X"Y" = OY" - OX".

Поэтому имеем: X"Y" = -OY + OX = -XY.

Отсюда выходит, что центральная симметрия является движением, изменяющим направление на противоположное и наоборот, движение, изменяющее направление на противоположное, есть центральная симметрия.

Центральная симметрия фигуры задается указанием одной пары существующих точек: если точка А отображается на А", то центр симметрии это середина отрезка AA".

6. Зеркальная симметрия (отражение в плоскости) .

Определение

1. Точки A и A" называются симметричными относительно плоскости (, если отрезок AA" перпендикулярен этой плоскости и делится ею пополам. Любая точка плоскости (считается симметричной самой себе относительно этой плоскости.

Две фигуры F и F" называются симметричными относительно данной плоскости, если они состоят из точек, попарно симметричных относительно этой плоскости, т.е. если для каждой точки одной фигуры есть симметричная ей точка в другой фигуре.

Если преобразование симметрии относительно плоскости переводит фигуру в себя, то фигура называется симметричной относительно плоскости (, а плоскость (плоскостью симметрии.

Определение

2. Отображение фигуры, при котором каждой ее точке соответствует точка, симметричная ей относительно данной плоскости, называется отражением фигуры в этой плоскости (или зеркальной симметрией) .

Теорема 1. Отражение в плоскости сохраняет расстояния и, стало быть, является движением.

См. Доказательство 1.

Теорема 2. Движение, при котором все точки некоторой плоскости неподвижны, является отражением в этой плоскости или тождественным отображением.

Зеркальная симметрия задается указанием одной пары соответствующих точек, не лежащих в плоскости симметрии: плоскость симметрии проходит через середину отрезка, соединяющего эти точки, перпендикулярно к нему.

7. Поворот вокруг прямой.

Для более четкого представления о повороте вокруг прямой следует вспомнить поворот на плоскости около данной точки. Поворотом на плоскости около данной точки называется такое движение, при котором каждый луч, исходящий из данной точки, поворачивается на один и тот же угол в одном и том же направлении. Перейдем теперь к повороту в пространстве.

Определение. Поворотом фигуры вокруг прямой a на угол (называется такое отображение, при котором в каждой плоскости, перпендикулярной прямой a, происходит поворот вокруг точки ее пересечения с прямой a на один и тот же угол (в одном и том же направлении. Прямая a называется осью поворота, а угол (- углом поворота.

Отсюда видим, что поворот всегда задается осью, углом и направлением поворота.

Теорема 1. Поворот вокруг прямой сохраняет расстояния, т.е. является движением.

См. Доказательство 2.

Теорема 2. Если движение пространства имеет множеством своих неподвижных точек прямую, то оно является поворотом вокруг этой прямой.

7.1. Фигуры вращения.

Фигура называется фигурой вращения, если существует такая прямая, любой поворот вокруг которой совмещает фигуру саму с собой, другими словами, отображает ее саму на себя. Такая прямая называется осью вращения фигуры. Простейшие тела вращения: шар, прямой круговой цилиндр, прямой круговой конус.

7.2. Осевая симметрия.

Частным случаем поворота вокруг прямой является поворот на 180(. При повороте вокруг прямой a на 180(каждая точка A переходит в такую точку A", что прямая a перпендикулярна отрезку AA" и пересекает его в середине. Про такие точки A и A" говорят, что они симметричны относительно оси a. Поэтому поворот на 180(вокруг прямой является называется осевой симметрией в пространстве.

8.1. Неподвижные точки движений пространства.

Важной характеристикой движения пространства является множество его неподвижных точек. Здесь могут представиться лишь следующие пять случаев: У движения неподвижных точек нет (нетождественный параллельный перенос) .

Движение имеет лишь одну неподвижную точку (центральная симметрия) .

Множество неподвижных точек движения пространства является прямой (поворот вокруг прямой) .

Множество неподвижных точек движения пространства является плоскостью (зеркальная симметрия) .

Множество неподвижных точек движения пространства является всем пространством (тождественное движение) .

Данная классификация очень удобна, так как представляет все виды движения как единую систему.

8.2. Основные теоремы о задании движений пространства.

Теорема 1. Пусть в пространстве даны два равных треугольника ABC и A"B"C". Тогда существуют два и только два таких движения пространства, которые переводят A в A", B в B", C в C". Каждое из этих движений получается из другого с помощью композиции его с отражением в плоскости A"B"C".

Теорема 2. Пусть в пространстве заданы два равных тетраэдра ABCD и A"B"C"D". Тогда существует единственное движение пространства (такое, что ((A) = A", ((B) = B", ((C) = C", ((D) = D".

9. Два рода движений.

Следует также знать, что все движения подразделяются на два рода в зависимости от того, непрерывны они или нет. Для лучшего понимания сущности этого разделения введу понятие базиса и его ориентации.

9.1. Базисы и их ориентация.

Базисом в пространстве называется любая тройка векторов, непараллельных одновременно никакой плоскости.

Тройка базисных векторов называется правой (левой) , если эти векторы, отложенные от одной точки, располагаются так, как расположены соответственно большой, указательный и средний пальцы правой (левой) руки.

Если имеются две правые (левые) тройки векторов, говорят, что эти тройки ориентированы одинаково. Если одна тройка является правой, а вторая - левой, то они ориентированы противоположно.

9.2. Два рода движения.

Движения первого рода - такие движения, которые сохраняют ориентацию базисов некоей фигуры. Они могут быть реализованы непрерывными движениями.

Движения второго рода - такие движения, которые изменяют ориентацию базисов на противоположную. Они не могут быть реализованы непрерывными движениями.

Примерами движений первого рода являются перенос и поворот вокруг прямой, а движениями второго рода - центральная и зеркальная симметрии.

Композицией любого числа движений первого рода является движение первого рода.

Композиция четного числа движений второго рода есть движение 1 рода, а композиция нечетного числа движений 2 рода - движение 2 рода.

10. Некоторые распространенные композиции.

Рассмотрим теперь некоторые комбинации движений, используемые достаточно часто, но не уделяя им особого внимания.

10.1. Композиции отражений в плоскости.

Теорема 1. Движение пространства первого рода представимо в виде композиции двух или четырех отражений в плоскости.

Движение пространства второго вида есть либо отражение в плоскости, либо представимо в виде композиции трех отражений в плоскости.

Отсюда мы можем объяснить уже известные нам движения так: Композиция отражения в 2 параллельных плоскостях есть параллельный перенос.

Композиция отражения в 2 пересекающихся плоскостях есть поворот вокруг прямой пересечения этих плоскостей.

Центральная симметрия относительно данной точки является композицией 3 отражений относительно любых 3 взаимно перпендикулярных плоскостей, пересекающихся в этой точке.

10.2. Винтовые движения.

Определение. Винтовым движением называется композиция поворота и переноса на вектор, параллельный оси поворота. Представление о таком движении дает ввинчивающийся или вывинчивающийся винт.

Теорема 2. Любое движение пространства первого рода - винтовое движение (в частности поворот вокруг прямой или перенос) .

10.3. Зеркальный поворот.

Определение. Зеркальным поворотом вокруг оси a на угол (называется композиция поворота вокруг оси a на угол (и отражения в плоскости, перпендикулярной оси поворота.

Теорема 3. Любое движение пространства второго рода, имеющее неподвижную точку, является зеркальным поворотом, который, в частности, может быть центральной или зеркальной симметрией.

10.4. Скользящие отражения.

Определение. Скользящим отражением называется композиция отражения в некоей плоскости и переноса на вектор, параллельный этой плоскости.

Теорема 4. Движение пространства второго рода, не имеющее неподвижных точек, есть скользящее отражение.

Теорема Шаля. Движение плоскости первого рода является либо поворотом, либо параллельным переносом.

Движение плоскости второго рода является скользящим отражением.

При создании реферата были использованы следующие книги:

1. "Геометрия для 9-10 классов". А. Д. Александров, А. Л. Вернер, В. И. Рыжик.

2. "Геометрия". Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др.

3. "Математика". В. А. Гусев, А. Г. Мордкович.

785 руб

Линейная алгебра в вопросах и задачах

Пособие охватывает все разделы курса линейной алгебры и должно помочь активному и неформальному усвоению материала. По каждой теме кратко излагаются основные теоретические сведения и предлагаются контрольные вопросы; приводятся решения стандартных и нестандартных задач; даются задачи и упражнения для самостоятельной работы с ответами и указаниями.

Для студентов высших учебных заведений.

395 руб

Руководство к решению задач по математическому анализу

"Руководство" содержит задачи по темам: производная и дифференциал функции, исследование функций и построение их графиков, неопределенный интеграл, определенный интеграл, функции многих переменных, кратные, криволинейные и поверхностные интегралы, элементы теории поля, ряды, дифференциальные уравнения.м Приведены подробные примерные решения типичных задач, а также необходимые теоретические сведения. Особенность данного задачника - изложение материала, позволяющее использовать его для самостоятельной работы.

Учебное пособие предназначено для студентов технических и технологических специальностей вузов.

1234 руб

Математические основы теории риска

В книге систематически излагаются теоретические основы математических методов, используемых при анализе рисковых ситуаций. Основное внимание уделено методам анализа страховых рисков. Наряду с материалом, традиционно излагаемым в рамках курсов лекций по теории риска и страховой математике, в книгу включены некоторые разделы, содержащие новейшие результаты.

Для студентов и аспирантов, обучающихся по математическим и экономико-математическим специальностям (математика, прикладная математика, актуарная математика, финансовая математика, страховое дело). Книга может использоваться актуариями и специалистами-аналитиками, работающими в страховых и финансовых компаниях, а также специалистами в области теории надежности и другими исследователями, чья деятельность связана с оцениванием риска и анализом разнообразных рисковых ситуаций.
Допущено учебно-методическим советом по прикладной математике и информатике УМО по классическому университетскому образованию в качестве учебного пособия для студентов вузов, обучающихся по специальности 010200 "Прикладная математика и информатика" и по направлению 510200 "Прикладная математика и информатика".

1279 руб

Комбинаторика и теория вероятностей

Настоящая книга возникла как методическое пособие к курсам лекций, которые автор в разные годы читал и до сих пор читает на факультете биоинженерии и биоинформатики МГУ, на факультете инноваций и высоких технологий МФТИ, в совместном бакалавриате Российской экономической школы и Высшей школы экономики, в Школе анализа данных Яндекса. Все эти курсы объединены наличием в них базовой составляющей по комбинаторике и теории вероятностей. Иными словами, в основе каждого из них лежит некоторое количество простых понятий и фактов, которые возникают в указанных дисциплинах и без которых невозможно понимание более специфических - так сказать, "продвинутых" - результатов.
Многие из этих фактов и понятий есть в классических учебниках и монографиях. Однако, во-первых, они разбросаны по разным книгам, а во-вторых, помимо них, эти книги содержат и массу другой информации. Как следствие, оказывается, что нет удобного источника, где были бы собраны и надлежащим образом позиционированы эти и только эти факты и понятия. По сути предлагаемая книга заполняет этот пробел.
В книге сжато, лаконично и достаточно неформально вводятся все необходимые объекты и даются все необходимые утверждения о них. Если доказательство теоремы имеется в стандартном учебнике, то, как правило, оно не воспроизводится; на него лишь ставится удобная ссылка. Зато если доказательство мало доступно или нигде популярно не изложено, то ему уделяется значительное внимание. Например, так сделано в отношении формулы обращения Мёбиуса, которую мало где подробно обсуждают, или в отношении задач об оценках комбинаторных величин, которые крайне важны, но обычно возникают "сами собой" в чисто профессиональной литературе, и читатель вынужден догадываться, какие идеи за этим стоят.
Есть в книге и достаточно нетривиальные вещи, характерные для курсов автора. Например, в той части, которая посвящена теории вероятностей, обсуждаются формулы обращения, позволяющие выразить распределения дискретных величин через их моменты (это очень важно в приложениях: например, для случайных графов), а также мартингалы (в дискретном случае) и некоторые связанные с ними неравенства концентрации меры. Эти вещи описаны так же неформально и без чрезмерного углубления в детали, как и все остальное. Однако так и проще не потеряться в дебрях материала.
По аналогичному принципу устроены задачи, которые предлагаются в конце каждой темы.
Таким образом, книга позволит четко систематизировать информацию, разбросанную по разным учебникам и задачникам (а зачастую и просто недоступную), и даст тот ее минимум, который необходим для адекватного восприятия курсов по комбинаторике, информатике, теории графов, теории алгоритмов, теории вероятностей и др.

Введение.

В школьном курсе геометрии с помощью темы: «Преобразования фигур» решаются только математические задачи. К сожалению, вопрос о практическом применении не рассматривается. В связи с этим, цель исследовательской работы - выявить области практического применения преобразования фигур.

Для достижения цели необходимо решить следующие задачи :

изучить научно-популярную литературу по теме исследования;

изучить сведения о теме: Преобразование фигур;

собрать информацию о практическом применении преобразования фигур.

показать применение темы при решении экзаменационных задач;

показать практическое применение преобразования фигур при строительстве объектов МБОУ Шпалозаводская СОШ;

обработать собранные данные по теме.

Гипотеза: С помощь преобразования фигур можно решать не только математические задачи, но и успешно применять преобразования в практической деятельности.

Актуальность исследования: В настоящее время всеобщее признание получило то, что успех развития многих областей науки и техники зависит от развития различных направлений математики. Важным условием повышения эффективности производства является широкое внедрение математических методов в технику и народное хозяйство, что предполагает создание новых, эффективных методов качественного и количественного исследования, которые позволяют решать задачи, выдвигаемые практикой.

Научная новизна данной работы обусловлена тем, что в научный оборот введён обширный и малоизвестный материал.

Теоретической базой исследования сталитруды по изучению и использованию преобразования фигур: «Числа и фигуры» Радемахера Г., «Материал для внеклассной работы» Шустера Ф.М., «Симметрия – владычица стихов» Портера Л.Г., «Снежинки» Гончара В.

Методы исследования:

теоретический анализ литературы;

эвристический метод;

анкетирование;

метод практических работ.

Предмет исследования: преобразование фигур.

Объект исследования: практическое применение преобразования фигур.

Практическая значимость исследования: материал исследования может быть использован на дополнительных занятиях по математике и в классах углубленного изучения; при проектировании дизайна школьного двора, пришкольного участка; в архитектуре, строительстве.

Базой исследования является: МБОУ Шпалозаводская средняя общеобразовательная школа с. Новоильинск Заиграевского района Республики Бурятия.

Были выделены этапы :

Поиск и сбор информации;

Решение экзаменационных задач;

Анкетирование;

Решение практических задач по применению темы преобразования фигур;

Мы занимались поиском и сбором информации – изучали печатный материал, работали в сети Интернет, обрабатывали собранные данные. Решали экзаменационные и практические задачи по применению преобразования фигур. Провели анкетирование учащихся, учителей, родителей и обработали результаты. Было опрошено 50 учащихся 8-11 классов, 23 учителя и 27 родителей учащихся 9 класса.

Для своего исследования вначале изучили вопрос о преобразовании фигур пошкольным учебникам «Геометрия 7-9» Атанасяна Л.С. и Руденко В.Н., а также по учебнику Погорелова А.В. «Геометрия 7-11». Рассмотрели в данных учебниках задачи преобразования фигур. В Интернете мы ознакомилисьс практическим применением и экзаменационными задачами. Вопрос о практическом применении преобразования фигур в школьном учебнике геометрии Атанасяна Л.С., по которомузанимаемся, не освещен. Упоминается лишь немного о теоремах и о подобии треугольников. Это же упоминается и в учебнике геометрии Погорелова А.В. А вот в учебнике геометрии Руденко В.Н. по практическому применению теоремы решаются некоторые интересные задачи, хотя вопрос можно сказать, также не освещен.

Исследовав литературные источники, мы не нашли в них вопроса о практическом применении преобразования фигур. Поэтому самостоятельно изучить этот вопрос нам удалось только в Интернете, где мы и выяснили некоторые области их применения.

Нас заинтересовал дизайн пришкольного участка с точки зрения применения преобразования фигур, и мы решили провести исследования по проектированию школьного двора, рассмотрели вопрос о строительстве грядок и цветника на пришкольном участке МБОУ Шпалозаводская СОШ.

В заключении даны выводы о проделанной работе.

Библиография состоит из 10 источников и содержит информацию о той литературе, которая использовалась в исследовании, а также рекомендуемая литература по данной работе.

2.1 Преобразование фигур и его виды.

Преобразование - смещение каждой точки данной фигуры каким-нибудь образом, и получение новой фигуры.

Виды преобразования.

Гомотетия - простейшее преобразование относительно центра O с коэффициентом гомотетии k. Это преобразование, которое переводит произвольную точку X" луча OX, такую, что OX" = k*OX. (Приложение №1)

Свойство гомотетии:

Преобразованием гомотетии переводит любую плоскость, не проходящую через центр гомотетии, в параллельную плоскость (или в себя при k=1).

Доказательство: Действительно, пусть O - центр гомотетии и ± - любая плоскость, не проходящая через точку O. Возьмем любую прямую AB в плоскости ±. Преобразование гомотетии переводит точку A в точку A" на луче OA, а точку B в точку B" на луче OB, причем OA"/OA = k, OB"/OB = k, где k - коэффициент гомотетии. Отсюда следует подобие треугольников AOB и A"OB". Из подобия треугольников следует равенство соответственных углов OAB и OA"B", а значит, параллельность прямых AB и A"B". Возьмем теперь другую прямую AC в плоскости ±. Она при гомотетии перейдет а параллельную прямую A"C". При рассматриваемой гомотетии плоскость ±перейдет в плоскость ±", проходящую через прямые A"B", A"C". Так как A"B"||AB и A"C"||AC, то по теореме о двух пересекающихся прямых одной плоскости соответственно параллельными с пересекающимися прямыми другой плоскости, плоскости ± и ±" параллельны, что и требовалось доказать. [ 5, 25]

Подобие - преобразование фигуры F называется преобразованием подобия, если при этом преобразовании расстояния между точками изменяются в одно и то же число раз, т.е. для любых точек X и Y фигуры F и точек X", Y" фигуры F", в которые он переходят, X"Y" = k * XY.

Свойства подобия:

1. Подобие переводит прямые в прямые, полупрямые - в полупрямые, отрезки - в отрезки.

2. Подобие сохраняет углы между полупрямыми.

3.Подобие переводит плоскости в плоскости.

4.Две фигуры называются подобными, если они переводятся одна в другую преобразованием подобия. [ 5, 23]

Движение - преобразование одной фигуры в другую, если оно сохраняет расстояние между точками, т.е. переводит любые две точки X и Y одной фигуры в точки X , Y другой фигуры так, что XY = X Y

Свойства движения:

1.Точки, лежащие на прямой, при движении переходят в точки, лежащие на прямой, и сохраняется порядок их взаимного расположения. Это значит, что если A, B, C, лежащие на прямой, переходят в точки A 1 ,B 1 ,C 1 . То эти точки также лежат на прямой; если точка B лежит между точками A и C, то точка B1 лежит между точками A 1 и C 1 .

Доказательство: Пусть точка B прямой AC лежит между точками A и C. Докажем, что точки A 1 ,B 1 ,C 1 лежат на одной прямой. Если точка A 1 ,B 1 ,C 1 не лежат на прямой, то они являются вершинами треугольника. Поэтому A 1 C 1 < A 1 B 1 + B 1 C 1 . По определению движения отсюда следует, что AC1 лежит на прямой A 1 C 1 . Первое утверждение теоремы доказано. Покажем теперь, что точка B 1 лежит между A 1 и C 1 . Допустим, что точка A 1 лежит между точками B 1 и C 1 . Тогда A 1 B 1 + A 1 C 1 = B 1 C 1 , и, следовательно, AB+AC=BC. Но это противоречит неравенству AB+BC=AC. Таким образом, точка A 1 не может лежать между точками B 1 и C 1 .Аналогично доказываем, что точка C 1 не может лежать между точками A 1 и B 1 . Так как из трех точек A 1 ,B 1 ,C 1 одна лежит между двумя другими, то этой точкой может быть только B 1 . Теорема доказана полностью.

2. При движении прямые переходят в прямые, полупрямые - в полупрямые, отрезки - в отрезки

3. При движении сохраняются углы между полупрямыми.

Доказательство: Пусть AB и AC - две полупрямые, исходящие из точки A, не лежащие на оной прямой. При движении эти полупрямые переходят в некоторые полупрямые A 1 B 1 и A 1 C 1 . Так как движение сохраняет расстояние, то треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 равны по третьему признаку равенства треугольников. Из равенства треугольников следует равенство углов BAC и B 1 A 1 C 1 , что и требовалось доказать.

4. Движение переводит плоскость в плоскость.

Докажем это свойство. Пусть ± - произвольная плоскость. Отметим на ней любые три точки A, B, C, не лежащие на одной прямой. Проведем через них плоскость ±". Докажем, что при рассматриваемом движении плоскость ± переходит в плоскость ±". Пусть X - произвольная точка плоскости ±. проведем через нее какую-нибудь прямую a в плоскости ±, пересекающую треугольник ABXC в двух точках Y и Z. Прямая а перейдет при движении в некоторую прямую a". Точки Y и Z прямой a перейдут в точки Y" и Z", принадлежащие треугольнику A"B"C", а значит, плоскости ±". Итак прямая a" лежит в плоскости ±". Точка X при движении переходит в точку X" прямой a", а значит, и плоскости ±", что и требовалось доказать.

В пространстве, так же как и на плоскости, две фигуры называются равными, если они совмещаются движением. [ 5, 28]

2.2. Виды движения.

1. Симметрия относительно точки.

Пусть О - фиксированная точка и X - произвольная точка плоскости. Отложим на продолжении отрезка OX за точку O отрезок OX", равный OX. Точка X" называется симметричной точке X относительно точки O. Точка, симметричная точке O, есть сама точка O. Очевидно, что точка, симметричная точке X", есть точка X.

Преобразование фигуры F в фигуру F", при котором каждая ее точка X переходит в точку X", симметричную относительно данной точке O, называется преобразованием симметрии относительно точки O. При этом фигуры F и F" называются симметричными относительно точки O.

Если преобразование симметрии относительно точки O переводит фигуру F в себя, то она называется центрально-симметричной, а точка O называется центром симметрии. Например, параллелограмм является центрально-симметричной фигурой. Его центром симметрии является точка пересечения диагоналей.

Теорема: Преобразование симметрии относительно точки является движением.

Доказательство: Пусть X и Y - две произвольные точки фигуры F. Преобразование симметрии относительно точки O переводит их в точки X" и Y". Рассмотрим треугольники XOY и X"OY". Эти треугольники равны по первому признаку равенства треугольника. У них углы при вершине O равны как вертикальные, а OX=OX", OY=OY" по определению симметрии относительно точки O. Из равенства треугольников следует равенство сторон: XY=X"Y". А значит, что симметрия относительно точки O есть движение. Теорема доказана. (Приложение №2) [ 6, 28]

2. Симметрия относительно прямой.

Пусть g - фиксированная прямая. Возьмем произвольную точку X и опустим перпендикуляр AX н прямую g. На продолжении перпендикуляра за точку A отложим отрезок AX", равный отрезку AX. Точка X" называется симметричной точке X относительно прямой g. Если точка X лежит на прямой g, то симметричная ей точка есть сама точка X. Очевидно, что точка, симметричная точке X", есть точка X.

Преобразование фигуры F в фигуру F", при котором каждая ее точка X переходит в точку X", симметричную относительно данной прямой g, называется преобразованием симметрии относительно прямой g. При этом фигуры F и F" называются симметричными относительно прямой g.

Если преобразование симметрии относительно прямой g переводит фигуру F в себя, то эта фигура называется симметричной относительно прямой g, а прямая g называется осью симметрии фигуры. Например, прямые, проходящие через точку пересечения диагоналей прямоугольника параллельно его сторонам, является осями симметрии прямоугольника. Прямые на которых лежат диагонали ромба, является его осями симметрии.

Теорема: Преобразование симметрии относительно прямой является движением.

Доказательство: Примем данную прямую за ось у декартовой системы координат. Пусть произвольная точка A (x;y) фигуры F переходит в точку A" (x";y") фигуры F". Из определения симметрии относительно прямой следует, что у точек A и A" равные ординаты, а абсциссы отличаются только знаком: x" = -x. Возьмем две произвольные точки A (x;y) и B (x;y). Они перейдут в точки A" (-x;y) и B" (-x;y). Имеем: AB2=(x2-x1)2+(y2-y1)2

A"B"2=(-x2+ x1) 2+(y2-y1)2. Отсюда видно, что AB=A"B". А значит, что преобразование симметрии относительно прямой есть движение. Теорема доказана.(Приложение №3)

3.Симметрия относительно плоскости.

Пусть a - произвольная фиксированная плоскость. Из точки X фигуры опускаем перпендикуляр XA на плоскость a и на его продолжении за точку A откладываем отрезок AX", равный XA. Точка X" называется симметричной точке X относительно плоскости a, а преобразование, которое переводит X в симметричную ей точку X", называется преобразованием симметрии относительно плоскости a.

Если точка X лежит в плоскости a, то считается, что точка X переходит в себя. Если преобразование симметрии относительно плоскости a переводит фигуру в себя, то фигура называется симметричной относительно плоскости a, а плоскость a называется плоскостью симметрии этой фигуры. [ 8, 53]

4.Поворот.

Поворот плоскости около данной точки называется такое движение, при котором каждый луч, исходящий из точки, поворачивается на один и тот же угол в одном и том же направлении.
Это значит, что если при поворот около точки O точка переходит в точку X", то лучи OX и OX" образуют один и тот же угол, какова бы ни была точка X. Этот угол называется углом поворота. Преобразование фигур при повороте плоскости также называется поворотом. (Приложение №4) [ 6, 57]

5.Параллельный перенос в пространстве.

Параллельным переносом в пространстве называется такое преобразование, при котором произвольная точка (x; y; z) фигуры переходит в точку (x+a; y+b; z+c), где числа a,b,c одни и те же для всех точек (x; y; z). Параллельный перенос в пространстве задается формулами x"=x+a, y"=y+b, z"=z+c, выражающими координаты x", y", z" точки, в которую переходит точка (x; y; z) при параллельном переносе. Так же, как и на плоскости, доказываются следующие свойства параллельного переноса:

1. Параллельные перенос есть движение.

2. При параллельном переносе точки смещаются по параллельным (или совпадающим) прямым на одно и то же расстояние.

3. При параллельном переносе каждая прямая переходит в параллельную ей прямую (или в себя).

4. Каковы бы ни были точки A и A", существует единственный параллельный перенос, при котором точка A переходит в точку A".

Новым для параллельного переноса в пространстве является следующее свойство:

При параллельном переносе в пространстве каждая плоскость переходит либо в себя, либо в параллельную её плоскость.

Действительно, пусть ± - произвольная плоскость, проведем в этой плоскости две пересекающиеся прямые a и b. При параллельном переносе прямые a и b переходят либо в себя, либо в параллельные прямые a" и b". Плоскость ± переходит в некоторую плоскость ±", проходящую через прямые a" и b". Если плоскость ±" не совпадает с ±, то по теореме о двух пересекающихся прямых одной плоскости соответственно параллельными с пересекающимися прямыми другой плоскости, она параллельна a, что и требовалось доказать. (Приложение №5) [ 6, 58]

2.3 Решение экзаменационных задач.

Задача №1: Проектор полностью освещает экран A высотой 80 см, расположенный на расстоянии 250 см от проектора. На каком наименьшем расстоянии (в сантиметрах) от проектора нужно расположить экран B высотой 160 см, чтобы он был полностью освещён, если настройки проектора остаются неизменными?

Решение: По свойству подобия треугольников AB /AK =AC /AL =BC /KL .

BC /KL =160/80=2; h =AO *2=250*2=500 (см). Ответ: 500 см. [ 7,45]

Задача №2: Человек ростом 1,7 м стоит на некотором расстояние от столба, на котором висит фонарь на высоте 5,1 м, при этом длина его тени 10 м. Найдите расстояние человека до фонаря.

Решение: k = 5,1:1,7=3; 10*3=30 (м); 30-10= 20 (м). Ответ: 20 (м). (Приложение №6)

2.4 Анкетирование.

После того как нами был собран теоритический материал, были решены экзаменационные задачи. Мы провели анкетирование в Шпалозаводской школе среди учащихся, учителей, родителей с целью: выявить количество учащихся, их родителей и учителей, которые владеют сведениями о преобразование фигур и их применения на практике. Было опрошено 50 учащихся 8-11 классов, 23 учителя и 25 родителей учащихся 9 класса. Мы предложи опрашиваемым 3 вопроса. По первому вопросу, знают, что такое преобразование фигур: учителя-65,2%, родители-18,5%, затруднились ответить-81,5%, учащиеся-100%. По второму вопросу: учителя-52,1%, затруднились ответить-47,9%, родители-14,8%, затруднились ответить-81,5%, учащиеся-46%, затруднились ответить-54%. По третьему вопросу: учителя- 100%, родители – 55,5%, затруднились ответить-44,5%, учащиеся -96,4%, затруднились ответить-4%,. (Приложение №7) [ 1, 44]

2.5 Практическое применение преобразования фигур.

Рассмотрим примеры практического применения преобразования фигур. Не будем пытаться привести все примеры использования преобразования - это вряд ли было бы возможно. Область применения преобразования достаточно обширна и вообще не может быть указана с достаточной полнотой.

Пришкольно-опытный участок.

Пришкольно-опытный участок школы является практической базой для проведения не только уроков труда и биологии, но и лабораторией для проведения опытнической работы для уроков геометрии. При размещении на пришкольном участке грядок и клумб часто встаёт вопрос: как сделать участок практичным и эстетичным. В связи с этим мы предлагаем приметить разработанную нами схему цветника в виде бабочки и огорода с грядками в виде подобных геометрических фигур.

Симметрия в изготовлении цветника.

Фигуру бабочки выкладываем из кирпича, там где должна пройти ось симметрии, мы проложим дорожку (для облегчения посадки, полива, обработки цветов). На оси симметрии от одной точки влево и вправо отмечаем одинаковые отрезки, намечаем фигуру бабочки. (Приложение №8)

Подобие фигур в дизайне огорода.

Аккуратные грядки могут украсить небольшой участок земли. Мы предлагаем применить подобие фигур в нашем огороде, грядки могут разной формы прямоугольные и треугольные (большие и маленькие). (Приложение №9)

Применение преобразования при укладке паркета.

К юбилею МБОУ Шпалозаводская СОШ мы решили подготовить проект: «Школа будущего». Одним элементов нашего проекта является прокладывание дорожки. Среди огромного разнообразия орнаментов выделяются "паркеты" (мозаики). Паркетом называют заполнение плоскости одинаковыми фигурами (элементами паркета), которые не перекрывают друг друга и не оставляют на плоскости пустого пространства. Укладка дорожки перед школой схожа с укладкой паркета, в этом случае мы используем один из видов преобразования движения или поворот. (Приложение №10)

Применение подобия в установке проектора.

Взяв за основу решение экзаменационных задач, мы рассчитали расстояние от экрана до проектора в кабинете №11. Чтобы установить экран надо выполнить расчёты. Высота экрана 120 см. Если проектор установить на расстояние 150 см от экрана, то высота изображения равна 60 см. Нам необходимо поставить проектор на такое расстояние, чтобы была заполнена вся площадь экрана. Решение: 120 / 60 = 2, 150 * 2 = 300 (см) Ответ: проектор нужно установить на расстояние 300 см от экрана. (Приложение № 11)

Применения подобия в дизайне помещений.

На сегодняшний день модно дизайнерское оформление жилья. Мы предлагаем разработанный нами коврик для стульев, выполненный с применением правильных шестиугольников.

Преобразование фигур в архитектуре и литературе.

Мало кто знает, что преобразование фигур играет также большую роль в архитектуре и литературе. (Приложение № 12)

Модульное оригами.

Размер листочков бумаги для складывания модулей может быть различным - большим или маленьким. От этого зависит величина будущей поделки. Для треугольных модулей удобно использовать листочки размером 1/16 или 1/32 стандартного листа формата А4. Для изготовления поделки «Лебедь» нам понадобились модули размером ½, 1/16, 1/32 стандартного листа А4. Мы изготовили трёх подобных лебедей. Размер поделок разный, а количество модулей одинаковое.

Заключение.

В результате проведённого исследования мы выяснили некоторые области применения преобразования фигур. Нами собрано и обработано много материала из литературных источников и Интернета по данной теме. Мы изучили некоторые сведения о преобразование фигур, решили ряд экзаменационных задач на применение преобразования фигур. Главным в работе считаем предложения по решению выдвинутых нами двух проблем: применениепреобразования фигур в дизайне пришкольного участка, укладке паркета, установке проектора. В результате решения поставленных задач мы пришли к выводу, что выдвинутая гипотеза нашла подтверждение. Да, действительно, с помощью преобразования фигур можно решать не только математические задачи. Тема о преобразовании фигур нашла своё применение в строительстве и архитектуре, литературе. А также практическое применение тема найдёт и при решении тех проблем, которые мы обозначили в своей работе.

Результатом нашей работы является:

приобретение навыка работы с литературными источниками;

приобретение навыка поиска нужного материала в Интернете;

работа с большим объёмом информации, отбор нужной информации;

приобретение опыта обработки данных и написания исследовательского проекта.

Библиография.

Ананьев Б.Г. Познавательная потребность и интересы. М: Знание, 2000

Беляева Н.А. Пути повышения интереса к учению. Труды 4 научной конференции, том 2, книга 1, Новосибирск, 1958.

Болл У., Коксетер Г. Математические эссе и развлечения. М: Мир, 1986

Гончар В. «Снежинки», Математика №1- 2005

Геометрическое преобразование плоскости - взаимно-однозначное отображение этой плоскости на себя. Наиболее важными геометрическими преобразованиями являются движения, т.е. преобразования, сохраняющие расстояние. Иначе говоря, если - движение плоскости, то для любых двух точек этой плоскости расстояние между точками и равно .

Движения связаны с понятием равенства (конгруэнтности) фигур: две фигуры и плоскости а называются равными, если существует движение этой плоскости, переводящее первую фигуру во вторую. Фактически это определение использовал еще Евклид (см. Геометрия), называвший две фигуры равными, если одну из них можно наложить на другую так, чтобы они совпали всеми своими точками; под наложением здесь следует понимать перекладывание фигуры как твердого целого (без изменения расстояний), т.е. движение.

Примерами движений плоскости являются осевая и центральная симметрия, параллельный перенос, поворот. Как пример, напомним определение параллельного переноса. Пусть - некоторый вектор плоскости . Геометрическое преобразование, переводящее каждую точку в такую точку что (рис. 1), называется параллельным переносом на вектор . Параллельный перенос является движением: если точки и переходят в и , т.е. , , то , и потому .

При решении геометрических задач с помощью движений часто применяется свойство сохранения пересечения: при любом движении пересечение фигур переходит в пересечение их образов, т.е. если - произвольные фигуры, то фигура переходит в результате движения в фигуру . (Аналогичное свойство справедливо для объединения.)

Задача 1. Окружность, центр которой принадлежит биссектрисе угла, пересекает его стороны в точках и (рис. 2). Доказать, что .

Решение. Обозначим через одну из сторон угла, а через - круг, границей которого является рассматриваемая окружность. При симметрии относительно биссектрисы угла луч переходит в луч , который образует вторую сторону угла, а круг переходит в себя: , . Согласно свойству сохранения пересечения фигура переходит в , т. е. в . Иначе говоря, отрезок переходит в отрезок , и потому .

Задача 2. Через точку , данную внутри угла (меньшего, чем развернутый), провести прямую, отрезок которой, заключенный между сторонами угла, делится в этой точке пополам.

Решение. Обозначим через симметрию относительно точки , а через и - прямые, на которых лежат стороны угла (рис. 3). В результате симметрии прямая переходит в параллельную ей прямую которая пересекает вторую сторону угла в точке . Так как , то точка , симметричная , принадлежит прямой, которая симметрична , т.е. . Таким образом, точки и симметричны относительно , и потому отрезок делится в точке пополам, т.е. прямая - искомая.

Нетрудно понять, почему в задаче 1 была применена осевая, а в задаче 2 – центральная симметрия. Так как биссектриса угла – его ось симметрии, то попытка применить осевую симметрию в задаче 1 совершенно естественна (так же, как и применение центральной симметрии в задаче 2, поскольку отрезок должен делиться в точке пополам, т.е. искомые точки и должны быть симметричными относительно точки ). И в других случаях анализ условия задачи позволяет найти движение, применение которого дает решение.

Задача 3. На сторонах и треугольника построены вне его квадраты и . Доказать, что отрезок перпендикулярен медиане треугольника и вдвое длиннее этой медианы.

Решение. Попытаемся применить поворот на 90°, т. е. убедиться, что при повороте на 90° вокруг точки (по часовой стрелке) отрезок перейдет в отрезок, параллельный и имеющий вдвое большую длину. При этом повороте вектор переходит в (рис. 4), а вектор в . Следовательно, вектор переходит в , т. е. в . Но так как , то . Итак, при повороте на 90° вектор переходит в , т.е. в вектор, равный . Отсюда вытекает, что и .

Весьма существенна связь движений с ориентацией. На рис. 5 изображен многоугольник , на контуре которого задано положительное направление обхода (против часовой стрелки). При параллельном переносе получается многоугольник с тем же направлением обхода, т.е. параллельный перенос сохраняет направление обхода, или, как говорят, сохраняет ориентацию. Поворот (в частности, центральная симметрия, представляющая собой поворот на 180°) также сохраняет ориентацию (рис. 6). Напротив, осевая симметрия меняет направление обхода на противоположное (рис. 7), т.е. меняет ориентацию. Другой пример движения, меняющего ориентацию – скользящая симметрия, т.е. композиция симметрии относительно некоторой прямой и параллельного переноса, вектор которого параллелен (рис. 8).

Французский механик и геометр XIX в. М. Шаль сформулировал следующую теорему: всякое сохраняющее ориентацию движение плоскости является либо параллельным переносом, либо поворотом; всякое меняющее ориентацию движение плоскости является либо осевой, либо скользящей симметрией.

Задача 4. Доказать, что композиция двух осевых симметрий с пересекающимися осями представляет собой поворот.

Решение. Пусть и - осевые симметрии, оси которых (прямые и ) пересекаются в точке . Так как оба движения меняют ориентацию, то их композиция (сначала выполняется , затем ) является движением, сохраняющим ориентацию. По теореме Шаля, есть либо параллельный перенос, либо поворот. Но так как при каждом движении точка неподвижна, то и при их композиции точка остается на месте. Следовательно, есть поворот вокруг точки . Как найти угол поворота, понятно из рис. 9: если - угол между прямыми и , то (поскольку точка переводится движением в себя, а движением - в симметричную относительно точку ) движение , переводящее в , представляет собой поворот (вокруг точки ) на угол .

Следующую по важности группу геометрических преобразований плоскости составляют преобразования подобия. Наиболее простое из них – гомотетия. Напомним, что гомотетией с центром и коэффициентом называется геометрическое преобразование, которое произвольно взятую точку переводит в такую точку , что (рис. 10). Гомотетия переводит каждую прямую в параллельную ей прямую, каждую окружность снова переводит в окружность. Гомотетия сохраняет углы, а все длины увеличивает в раз: если при гомотетии точки переходят в , то . Из этого вытекает, что гомотетия сохраняет форму (но не размеры) фигур; если, например, , то фигура , в которую переходит фигура при гомотетии с центром и коэффициентом , представляет собой увеличенную копию фигуры (рис. 10), а если - уменьшенную копию.

Поскольку при гомотетии все длины изменяются в одинаковое число раз, отношение длин не меняется. На этом основаны различные способы оценки расстояний; например, зная длину руки и длину большого пальца и прикинув, сколько раз большой палец вытянутой руки укладывается в видимом образе предмета, можно найти отношение высоты вертикального предмета к расстоянию до него (на рис. 11 имеем , откуда, измерив , можно найти , а потому и высоту трубы, которая примерно втрое больше ).

Задача 5. Построить квадрат, вписанный в данный сектор (две вершины квадрата лежат на одном радиусе, третья – на другом, четвертая – на дуге сектора).

Решение. Пусть и (рис. 12) – два квадрата, вписанные в угол . При гомотетии с центром , переводящей точку в , (коэффициент этой гомотетии равен ), отрезок переходит в отрезок , а потому квадрат переходит в квадрат (поскольку углы, а также отношение отрезков сохраняются). Из этого вытекает, что вершины и , лежат на одном луче, исходящем из точки . Теперь ясно, что, построив какой-нибудь квадрат , вписанный в угол , и проведя луч , мы сможем найти вершину искомого квадрата (т.е. точку пересечения луча с дугой сектора), а затем достроить искомый квадрат (рис. 13).

Преобразование плоскости называется подобием с коэффициентом , если для любых точек плоскости расстояние между точками и равно . Любое подобие (как и гомотетия – частный случай подобия) сохраняет углы, а также отношение длин, т.е. сохраняет форму фигур. Однако, в отличие от гомотетии, подобие может переводить прямую в прямую , не параллельную ей.

На рис. 14 изображены два плана и , одного и того же участка местности, выполненные в разных масштабах и по-разному лежащие на плоскости. Эти планы представляют собой подобные, но не гомотетичные фигуры; например, прямая и соответствующая ей прямая не параллельны. Чтобы получить план , исходя из плана , можно поступить так: сначала повернуть план , чтобы его стороны стали параллельными сторонам плана , а затем применить гомотетию. Иначе говоря, план , подобный , получается из при помощи композиции движения (поворота) и гомотетии.

Указанное обстоятельство является общим, т.е. всякое подобие представляется в виде композиции , где - движение, а - гомотетия. Из этого ясно, что при решении задач методом подобия можно ограничиваться лишь рассмотрением гомотетии (сопровождаемой некоторым движением). Это имеет определенные удобства: вспомните, с каким напряженным вниманием отыскиваются соответственные стороны по-разному расположенных подобных треугольников при выписывании равенства отношений сторон (и с какой легкостью выписываются эти отношения для гомотетичных треугольников).

Задача 6. Стороны треугольника связаны соотношением . Доказать, что угол вдвое больше угла .

Решение. Пусть - такая точка прямой , что , причем лежит между и (рис. 15). Тогда треугольник - равнобедренный, и потому ; кроме того, . При симметрии относительно биссектрисы угла точки и перейдут в такие точки и , что , ; кроме того . Равенство можно переписать в виде

откуда следует, что при гомотетии с центром и коэффициентом точки переходят в . Следовательно и потому , т.е. . Так как - внешний угол треугольника , то он равен сумме углов и , т.е. равен удвоенному углу .

В заключение рассказа о преобразованиях подобия заметим, что они составляют группу преобразований и потому (см. Геометрия) согласно Эрлангенской программе определяют «свою» геометрию. Инвариантами этой группы (т.е. теми свойствами, которые сохраняются при всех преобразованиях подобия и изучаются в геометрии подобий) являются угол, отношение длин двух отрезков, параллельность двух прямых и т.д. Хотя длина отрезка уже не сохраняется, но в силу сохранения отношения длин в геометрии подобий можно говорить о равнобедренном треугольнике (т.е. о треугольнике, в котором отношение длин боковых сторон равно 1). Теорема о том, что в равнобедренном треугольнике углы при основании равны, сохраняется и в геометрии подобий. Сохраняется также теорема Пифагора (в форме , где и - отношения длин катетов к длине гипотенузы) и т.п.

Однако не следует думать, что геометрия подобий ничем, кроме формы изложения, не отличается от евклидовой геометрии. Существуют факты, которые отличают эти две геометрии. Например, условимся говорить, что линия может скользить но себе, если для любых двух точек этой линии найдется преобразование (принадлежащее группе, задающей рассматриваемую геометрию), которое переводит линию в себя, а точку - в . В геометрии Евклида (т.е. в геометрии, определяемой группой движений плоскости) существуют только два типа связных линий (т.е. состоящих из одного куска), которые могут скользить по себе: прямые и окружности. А в геометрии подобий существуют линии, отличные от прямых и окружностей, которые могут скользить по себе; это – логарифмические спирали, определяемые в полярных координатах уравнением (рис. 16).

Еще один необычный факт геометрии подобий мы получим, рассматривая преобразование , где - поворот вокруг точки на угол , а - гомотетия с центром и коэффициентом . Пусть - последовательность точек, переходящих друг в друга при преобразовании , т.е. при любом целом (рис. 17). Эти точки лежат на одной логарифмической спирали, причем для любого целого угол имеет одну и ту же величину . Последовательно соединяя эти точки, мы получим бесконечную ломаную линию , которая переводится преобразованием в себя, причем каждая вершина переводится в соседнюю вершину .

Заметим, что рассмотренное преобразование подобия (его называют поворотным растяжением) имеет тесную связь с комплексными числами. Комплексное число можно представить в виде направленного отрезка, идущего из начала координат в точку . При таком геометрическом изображении комплексные числа складываются как векторы (рис. 18). А для получения геометрической интерпретации умножения комплексных чисел удобно поворотное растяжение , рассмотренное выше. Именно, пусть - некоторое комплексное число, - его модуль (т.е. длина изображающего отрезка), а - аргумент (т.е. угол наклона изображающего направленного отрезка к положительной части оси абсцисс). Число получается из числа 1, если, во-первых, вектор, изображающий число 1, растянуть в раз, и, во-вторых, повернуть его на угол (рис. 19), т. е. вектор получается из вектора 1 преобразованием , где - гомотетия с центром в начале и коэффициентом , а - поворот вокруг начала на угол . Итак, . Если теперь - другое комплексное число, то при применении преобразования (т. е. при растяжении изображающего вектора в раз и повороте его на угол ) число переходит в (рис. 19). Можно сказать и иначе: треугольники на рис. 19 подобны. Это и дает геометрическую интерпретацию умножения комплексных чисел. Из сказанного ясно, что при умножении всех комплексных чисел на одно и то же комплексное число вся плоскость комплексных чисел подвергается поворотному растяжению. В частности, для любых трех комплексных чисел мы имеем , где - комплексное число, модуль которого равен отношению длин векторов и , а аргумент равен углу между этими векторами (рис. 20).

Задача 7. На сторонах треугольника построены вне его подобные между собой треугольники . Доказать, что точка пересечения медиан совпадает с точкой пересечения медиан .

Решение. Обозначим через комплексные числа, изображаемые векторами , , , , , . Тогда , , , где - комплексное число, модуль которого равен отношению боковых сторон рассматриваемых подобных треугольников, а аргумент равен (рис. 21). Складывая эти равенства, получаем (после очевидных упрощений):

Так как (поскольку аргумент числа отличен от нуля), то отсюда следует, что . Переходя к векторным обозначениям и деля на 3, получаем

а это и означает, что точки пересечения медиан и совпадают (см. Вектор).

Расскажем коротко и о других преобразованиях, играющих важную роль в современной геометрии. Преобразование евклидовой плоскости называется аффинным, если оно каждую прямую переводит снова в прямую, а параллельные между собой прямые – снова в параллельные (рис. 22). Если на плоскости введена система координат, то аффинное преобразование задается линейными соотношениями, т.е. точка , в которую переходит точка , определяется формулами

,

где (и обратно: такими формулами задается некоторое аффинное преобразование). Далее, если - три точки плоскости, не лежащие на одной прямой, и - три другие точки, также не лежащие на одной прямой, го существует, и притом только одно, аффинное преобразование, переводящее точки соответственно в . Отметим, что длины и углы могут изменяться при аффинных преобразованиях. Не сохраняется (в отличие от преобразований подобия) и отношение длин отрезков. Однако отношение длин двух параллельных отрезков сохраняется при любом аффинном преобразовании. В частности, середина отрезка переходит при аффинном преобразовании снова в середину отрезка, параллелограмм переходит в параллелограмм, медиана треугольника в медиану и т. п. Круг при аффинном преобразовании переходит в эллипс, причем из отмеченных выше свойств аффинных преобразований легко следует, что середины параллельных между собой хорд эллипса лежат на одном отрезке, проходящем через центр эллипса (рис. 23).

Все аффинные преобразования плоскости, вместе взятые, образуют группу преобразований, и потому (см. Геометрия) они определяют некоторую геометрию. Она называется аффинной геометрией. Инвариантами этой группы (т.е. теми свойствами фигур, которые изучаются в аффинной геометрии) являются прямолинейное расположение точек, параллельность, отношение длин параллельных отрезков и другие свойства, получаемые из этих (например, наличие у фигуры центра симметрии). Не говоря более подробно об этой геометрии, покажем на примерах, как отмеченные выше свойства аффинных преобразований могут быть применены при решении задач.

Задача 8. Доказать, что в произвольной трапеции середины оснований, точка пересечения диагоналей и точка пересечения продолжений боковых сторон лежат на одной прямой.

Решение. Для равнобочной трапеции это очевидно (так как равнобочная трапеция симметрична относительной прямой, проходящей через середины оснований). Пусть теперь - произвольная трапеция и пусть - равнобочная трапеция с теми же длинами оснований (рис. 24). Рассмотрим аффинное преобразование, переводящее точки соответственно в . При этом преобразовании прямые перейдут в (поскольку , а параллельность прямых сохраняется). Далее, так как , то точка перейдет в (поскольку отношение параллельных отрезков сохраняется). Иначе говоря, трапеция перейдет в трапецию . Следовательно, прямолинейное расположение точек сохранится, т.е. в трапеции точки также лежат на одной прямой.

Задача 9. В треугольнике вписан эллипс и проведены три отрезка, каждый из которых соединяет вершину и точку касания эллипса с противоположной стороной. Доказать, что эти три отрезка пересекаются в одной точке.

Решение. Пусть - аффинное преобразование, которое переводит некоторую окружность в рассматриваемый эллипс, и пусть - треугольник, который при этом преобразовании переходит в . Так как для вписанной окружности рассматриваемое свойство, как нетрудно доказать, справедливо (левая часть рис. 25), то оно справедливо и для вписанного эллипса (правая часть рисунка).

В статье «Проективная геометрия» рассказано о том, как пополнение плоскости несобственными («бесконечно удаленными») точками превращает ее в проективную плоскость. Геометрические преобразования проективной плоскости, которые сохраняют прямолинейное расположение точек, называются проективными преобразованиями. Проективные преобразования задаются в координатах дробно-линейными формулами:

(1)

Более подробно: если - евклидова плоскость, в которой задана система координат, а - проективная плоскость, получающаяся из присоединением несобственных элементов, то любое проективное преобразование плоскости записывается в рассматриваемых координатах формулами (1) при условии, что точка и точка , в которую она переходит, не являются несобственными.

Проективные преобразования образуют группу преобразований проективной плоскости. Согласно Эрлангенской программе, эта группа определяет некоторую геометрию – это и есть проективная геометрия. Инвариантами проективных преобразований (т.е. теми свойствами фигур, которые изучаются в проективной геометрии) являются прямолинейное расположение точек, ангармоническое отношение четырех точек, лежащих на одной прямой, и др.

Если - четыре точки проективной плоскости, никакие три из которых не лежат на одной прямой, и - другие четыре точки этой плоскости, из которых также никакие три не лежат на одной прямой, то существует, и притом только одно, проективное преобразование, которое переводит, очевидно, лежат на одной прямой (на средней линии полосы между прямыми и ). Применяя обратное преобразование мы заключаем, что и на рис. 26 слева точки лежат на одной прямой (поскольку при проективном преобразовании сохраняется прямолинейное расположение точек).

Все рассмотренные выше преобразования сохраняли прямолинейное расположение точек (на евклидовой или на проективной плоскости). Иначе говоря, система всех прямых линий на плоскости переводится снова в эту же систему линий. Существует интересный класс преобразований, который обладает аналогичным свойством по отношению к другой системе линий. Именно: рассмотрим на плоскости (евклидовой) систему, состоящую из всех прямых линий и всех окружностей. Преобразования, которые эту систему линий переводят снова в эту же систему, называются круговыми преобразованиями. Иначе говоря, прямая переходит при круговом преобразовании либо снова в прямую, либо в некоторую окружность (и то же справедливо для окружности). Чуть ниже мы уточним одно соглашение относительно евклидовой плоскости, которое требуется при рассмотрении круговых преобразований, но вначале рассмотрим один важный пример кругового преобразования - так называемую инверсию.

И радиусом. На этом основании условились считать, что на плоскости существует одна несобственная точка этих линий пересекаются под тем же углом . Если, в частности, окружность ортогональна окружности инверсии, т.е. пересекает ее под прямым углом (о таких окружностях шла речь в конце статьи Лобачевского геометрия), то при инверсии эта окружность переходит в себя (только части ее, лежащие внутри и вне окружности инверсии, меняются местами). Инверсия является важнейшим из круговых преобразований: можно доказать, что любое круговое преобразование плоскости является либо инверсией, либо подобием, либо композицией инверсии и подобия. Вместе взятые, круговые преобразования составляют группу преобразований, которая определяет на круговой плоскости своеобразную геометрию («круговую»).

Мы рассказали о наиболее важных геометрических преобразованиях плоскости. Можно рассматривать также геометрические преобразования трехмерного пространства, плоскости (или пространства) Лобачевского и других геометрических объектов. Заметим, в частности, что если - движение трехмерного пространства (поскольку и , и переводят прямую снова в прямую). Оказывается, что в таком виде можно представить любое проективное преобразование плоскости .

Знакомство с геометрическими преобразованиями и умение применять их является важным элементом математической культуры.