Общее уравнение плоскости проходящей через 3 точки. Уравнение плоскости, которая проходит через три заданные точки, не лежащие на одной прямой. Нормальный вид уравнения

С понятием касательной к графику функции вы уже знакомы. График дифференцируемой в точке х 0 функции f вблизи х 0 практически не отличается от отрезка касательной, а значит, он близок к отрезку секущей l, проходящей через точки (х 0 ; f (х 0)) и (х 0 +Δx; f (x 0 + Δx)). Любая из таких секущих проходит через точку А (х 0 ; f (х 0)) графика (рис. 1). Для того чтобы однозначно задать прямую, проходящую через данную точку A, достаточно указать ее угловой коэффициент. Угловой коэффициент Δy/Δx секущей при Δх→0 стремится к числу f ‘(x 0) (его мы примем за угловой коэффициент касательной) Говорят, что касательная есть предельное положение секущей при Δх→0 .

Если же f’(х 0) не существует, то касательная либо не существует (как у функции у = |x| в точке (0; 0), см. рис.), либо вертикальна (как у графика функции в точке (0; 0), рис.2).

Итак, существование производной функции f в точке хо эквивалентно существованию (невертикальной) касательной в точке (х 0 , f (х 0)) графика, при этом угловой коэффициент касательной равен f" (х 0). В этом состоитгеометрический смысл производной

Касательная к графику дифференцируемой в точке xо функции f - это прямая, проходящая через точку (x 0 ; f (x 0)) и имеющая угловой коэффициент f ‘(х 0).

Проведем касательные к графику функции f в точках x 1 , х 2 , х 3 (рис. 3) и отметим углы, которые они образуют с осью абсцисс. (Это угол, отсчитываемый в положительном направлении от положительного направления оси до прямой.) Мы видим, что угол α 1 острый, угол α 3 тупой, а угол α 2 равен нулю, так как прямая l параллельна оси Ох. Тангенс острого угла положителен, тупого - отрицателен, tg 0 = 0. Поэтому

F"(x 1)>0, f’(x 2)=0, f’(x 3)
Построение касательных в отдельных точках позволяет более точно строить эскизы графиков. Так, например, для построения эскиза графика функции синус предварительно находим, что в точках 0; π/2 и π производная синуса равна 1; 0 и -1 соответственно. Построим прямые, проходящие через точки (0; 0), (π/2,1) и (π, 0) с угловыми коэффициентами 1, 0 и -1 соответственно (рис. 4) Остается вписать в полученную трапецию, образованную этими прямыми и прямой Ох, график синуса так, чтобы при х, равном 0, π/2 и π, он касался соответствующих прямых.

Отметим, что график синуса в окрестности нуля практически не отличим от прямой у = х. Пусть, например, масштабы по осям выбраны так, что единице соответствует отрезок в 1см. Имеем sin 0,5 ≈ 0,479425, т. е. |sin 0,5 - 0,5| ≈ 0,02, и в выбранном масштабе это соответствует отрезку длиной 0,2 мм. Поэтому график функции y = sin x в интервале (-0,5; 0,5) будет отклоняться (в вертикальном направлении) от прямой у = х не более чем на 0,2 мм, что примерно соответствует толщине проводимой линии.

Теме «Угловой коэффициент касательной как тангенс угла наклона» в аттестационном экзамене отводится сразу несколько заданий. В зависимости от их условия, от выпускника может требоваться как полный ответ, так и краткий. При подготовке к сдаче ЕГЭ по математике ученику обязательно стоит повторить задачи, в которых требуется вычислить угловой коэффициент касательной.

Сделать это вам поможет образовательный портал «Школково». Наши специалисты подготовили и представили теоретический и практический материал максимально доступно. Ознакомившись с ним, выпускники с любым уровнем подготовки смогут успешно решать задачи, связанные с производными, в которых требуется найти тангенс угла наклона касательной.

Основные моменты

Для нахождения правильного и рационального решения подобных заданий в ЕГЭ необходимо вспомнить базовое определение: производная представляет собой скорость изменения функции; она равна тангенсу угла наклона касательной, проведенной к графику функции в определенной точке. Не менее важно выполнить чертеж. Он позволит найти правильное решение задач ЕГЭ на производную, в которых требуется вычислить тангенс угла наклона касательной. Для наглядности лучше всего выполнить построение графика на плоскости ОХY.

Если вы уже ознакомились с базовым материалом на тему производной и готовы приступить к решению задач на вычисление тангенса угла наклона касательной, подобных заданиям ЕГЭ, сделать это можно в режиме онлайн. Для каждого задания, например, задач на тему «Связь производной со скоростью и ускорением тела» , мы прописали правильный ответ и алгоритм решения. При этом учащиеся могут попрактиковаться в выполнении задач различного уровня сложности. В случае необходимости упражнение можно сохранить в разделе «Избранное», чтобы потом обсудить решение с преподавателем.