Определить проекцию вектора на ось. Проекции векторов на прямую и на плоскость

Пусть в пространстве даны два вектора и . Отложим от произвольной точки O векторы и . Углом между векторами и называется наименьший из углов . Обозначается .

Рассмотрим ось l и отложим на ней единичный вектор (т.е. вектор, длина которого равна единице).

Под углом между вектором и осью l понимают угол между векторами и .

Итак, пусть l – некоторая ось и – вектор.

Обозначим через A 1 и B 1 проекции на ось l соответственно точек A и B . Предположим, что A 1 имеет координату x 1 , а B 1 – координату x 2 на оси l .

Тогда проекцией вектора на ось l называется разность x 1 – x 2 между координатами проекций конца и начала вектора на эту ось.

Проекцию вектора на ось l будем обозначать .

Ясно, что если угол между вектором и осью l острый, то x 2 > x 1 , и проекция x 2 – x 1 > 0; если этот угол тупой, то x 2 < x 1 и проекция x 2 – x 1 < 0. Наконец, если вектор перпендикулярен оси l , то x 2 = x 1 и x 2 – x 1 =0.

Таким образом, проекция вектора на ось l – это длина отрезка A 1 B 1 , взятая с определённым знаком. Следовательно, проекция вектора на ось это число или скаляр.

Аналогично определяется проекция одного вектора на другой. В этом случае находятся проекции концов даного вектора на ту прямую, на которой лежит 2-ой вектор.

Рассмотрим некоторые основные свойства проекций .

ЛИНЕЙНО ЗАВИСИМЫЕ И ЛИНЕЙНО НЕЗАВИСИМЫЕ СИСТЕМЫ ВЕКТОРОВ

Рассмотрим несколько векторов .

Линейной комбинацией данных векторов называется любой вектор вида , где - некоторые числа. Числа называются коэффициентами линейной комбинации. Говорят также, что в этом случае линейно выражается через данные векторы , т.е. получается из них с помощью линейных действий.

Например, если даны три вектора то в качестве их линейной комбинации можно рассматривать векторы:

Если вектор представлен как линейная комбинация каких-то векторов, то говорят, что он разложен по этим векторам.

Векторы называются линейно зависимыми , если существуют такие числа, не все равные нулю, что . Ясно, что заданные векторы будут линейно зависимыми, если какой-либо из этих векторов линейно выражается через остальные.

В противном случае, т.е. когда соотношение выполняется только при , эти векторы называются линейно независимыми .

Теорема 1. Любые два вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они коллинеарны.

Доказательство :

Аналогично можно доказать следующую теорему.

Теорема 2. Три вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они компланарны.

Доказательство .

БАЗИС

Базисом называется совокупность отличных от нулей линейно независимых векторов. Элементы базиса будем обозначать .

В предыдущем пункте мы видели, что два неколлинеарных вектора на плоскости линейно независимы. Поэтому согласно теореме 1, из предыдущего пункта, базисом на плоскости являются любые два неколлинеарных вектора на этой плоскости.

Аналогично в пространстве линейно независимы любые три некомпланарных вектора. Следовательно, базисом в пространстве назовём три некомпланарных вектора.

Справедливо следующее утверждение.

Теорема. Пусть в пространстве задан базис . Тогда любой вектор можно представить в виде линейной комбинации , где x , y , z – некоторые числа. Такое разложение единственно.

Доказательство .

Таким образом, базис позволяет однозначно сопоставить каждому вектору тройку чисел – коэффициенты разложения этого вектора по векторам базиса: . Верно и обратное, каждой тройке чисел x, y, z при помощи базиса можно сопоставить вектор, если составить линейную комбинацию .

Если базис и , то числа x, y, z называются координатами вектора в данном базисе. Координаты вектора обозначают .

ДЕКАРТОВА СИСТЕМА КООРДИНАТ

Пусть в пространстве задана точка O и три некомпланарных вектора .

Декартовой системой координат в пространстве (на плоскости) называется совокупность точки и базиса, т.е. совокупность точки и трёх некомпланарных векторов (2-х неколлинеарных векторов), выходящих из этой точки.

Точка O называется началом координат; прямые, проходящие через начало координат в направлении базисных векторов, называются осями координат – осью абсцисс, ординат и аппликат. Плоскости, проходящие через оси координат, называют координатными плоскостями.

Рассмотрим в выбранной системе координат произвольную точку M . Введём понятие координаты точки M . Вектор , соединяющий начало координат с точкой M . называется радиус-вектором точки M .

Вектору в выбранном базисе можно сопоставить тройку чисел – его координаты: .

Координаты радиус-вектора точки M . называются координатами точки M . в рассматриваемой системе координат. M(x,y,z) . Первая координата называется абсциссой, вторая – ординатой, третья – аппликатой.

Аналогично определяются декартовы координаты на плоскости. Здесь точка имеет только две координаты – абсциссу и ординату.

Легко видеть, что при заданной системе координат каждая точка имеет определённые координаты. С другой стороны, для каждой тройки чисел найдётся единственная точка, имеющая эти числа в качестве координат.

Если векторы, взятые в качестве базиса, в выбранной системе координат, имеют единичную длину и попарно перпендикулярны, то система координат называется декартовой прямоугольной.

Несложно показать, что .

Направляющие косинусы вектора полностью определяют его направление, но ничего не говорят о его длине.

Пусть на плоскости задана прямая l и пересекающая ее прямая m . Проекцией вектора на прямую l параллельно прямой m (вдоль прямой m ) называется вектор (рис.1.13,а). Если прямая m перпендикулярна прямой l , то проекция называется ортогональной.

Пусть в пространстве дана прямая l и пересекающая ее плоскость \rho . Проекцией вектора \vec{a}=\overrightarrow{AB} на прямую l параллельно плоскости \rho (вдоль плоскости \rho ) называется вектор \vec{a}_l=\overrightarrow{AB}_l , началом которого служит проекция A_l , начала A , а концом - проекция B_l конца B вектора \overrightarrow{AB} (рис. 1.13,6). Если плоскость \rho перпендикулярна прямой l , то проекция называется ортогональной.

Проекция вектора на плоскость

Пусть в пространстве задана плоскость я и пересекающая ее прямая \rho . Проекцией вектора \vec{a}=\overrightarrow{AB} на плоскость \rho параллельно прямой m (вдоль прямой m ) называется вектор \vec{a}_{\rho}=\overrightarrow{AB}_{\rho} , началом которого служит проекция A_{\rho} начала A , а концом - проекция B_{\rho} конца B вектора \overrightarrow{AB} (рис. 1.14). Если прямая m перпендикулярна плоскости \rho , то проекция называется ортогональной.

Свойства проекций векторов

1. Проекции вектора на параллельные прямые (или на параллельные плоскости) равны.

2. Проекции равных векторов равны.

3. Проекция суммы векторов равна сумме их проекций.

4. Проекция произведения вектора на число равна произведению этого числа на проекцию вектора, другими словами, отношение коллинеарных векторов равно отношению их проекций (если оно определено).

5. Проекция линейной комбинации векторов равна линейной комбинации проекций.

Рассмотрим эти свойства для проекций векторов на прямую l параллельно прямой m . Для проекций векторов на плоскость или на прямую параллельно плоскости доказательства аналогичные.

Докажем первое свойство. Пусть \vec{a}_l - проекция вектора \vec{a} на прямую l вдоль прямой m , а \vec{a}_l - проекция вектора \vec{a} на прямую l" вдоль той же прямой m , причем прямые l и l" параллельные (рис. 1.15). Четырехугольник, образованный пересечением пары параллельных прямых l и l" штриховыми линиями, параллельными прямой m , является параллелограммом. Следовательно, \vec{a}_{l"}=\vec{a}_l , т.е. проекции одного и того же вектора \vec{a} на параллельные прямые равны.

Докажем второе свойство. Пусть на плоскости даны равные векторы \overrightarrow{AB} и \overrightarrow{CD} , не параллельные прямой m (см. рис. 1.16). Построим равные им векторы \mathop{\overrightarrow{A_lB"}= \overrightarrow{AB}}\limits_{.} и \mathop{\overrightarrow{C_lD"}= \overrightarrow{CD}}\limits_{.} . Из равенства \mathop{\overrightarrow{A_lB"}= \overrightarrow{C_lD"}}\limits_{.} следует, что четырехугольник A_lB"D"C_l - параллелограмм, а треугольники A_lB"B_l и C_lD"D_l равны по стороне и двум прилежащим углам

\big(A_lB"=C_lD",\qquad \angle B"A_lB_l=\angle D"C_lD_l,\qquad \angle A_lB"B_l=\angle C_lD"D_l

как углы с соответственно параллельными сторонами). Следовательно, \mathop{\overrightarrow{A_lB_l}= \overrightarrow{C_lD_l}}\limits_{.} , т.е. равные векторы, не параллельные прямой m , имеют равные проекции. Если же векторы параллельны прямой m , то их проекции также равны, как нулевые векторы. Второе свойство доказано.

Доказательство третьего свойства очевидно для векторов \overrightarrow{AB} и (рис. 1.17): проекция вектора \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC} равна сумме проекций и \overrightarrow{B_lC_l} , векторов \overrightarrow{AB} и \overrightarrow{BC} , т.е. \overrightarrow{A_lC_l}= \overrightarrow{A_lB_l}+ \overrightarrow{B_lC_l} . Для произвольных векторов \vec{a} и \vec{b} (у которых конец вектора \vec{a} не совпадает с началом вектора \vec{b} ) доказательство сводится к рассмотренному случаю для равных им векторов \overrightarrow{AB}=\vec{a} и \overrightarrow{BC}=\vec{b} , так как равные векторы имеют равные проекции (по второму свойству).

Доказательство четвертого свойства следует из теоремы Фалеса (см. разд. В.2). На рис.1.18 изображены векторы \overrightarrow{AB} и \overrightarrow{AC}=\lambda\overrightarrow{AB} (\lambda>0) , а также их проекции \overrightarrow{A_lB_l} и \overrightarrow{A_lC_l} . По теореме Фалеса \frac{AC}{AB}=\frac{A_lC_l}{A_lB_l}=\lambda , следовательно, \overrightarrow{A_lC_l}= \lambda\overrightarrow{A_lB_l} , что и требовалось доказать. В случае \lambda<0 доказательство аналогичное.

Пятое свойство проекций следует из третьего и четвертого.

Теорема 1.1 (о проекциях вектора на пересекающиеся прямые).

1. Если на плоскости заданы две пересекающиеся прямые l_1 и l_2 , то любой вектор \vec{a} на плоскости можно однозначно представить в виде суммы своих проекций \vec{a}_1 и \vec{a}_2 на эти прямые (проекции на каждую прямую берутся вдоль другой прямой), т.е. .

2. Если в пространстве заданы три прямые l_1,l_2 и l_3 , пересекающиеся в одной точке и не лежащие в одной плоскости, то любой вектор \vec{a} в пространстве можно однозначно представить в виде суммы своих проекций \vec{a}_1,\vec{a}_2,\vec{a}_3 на эти прямые (проекции на каждую прямую берутся вдоль плоскости, содержащей две другие прямые), т.е. .

В самом деле, пусть прямые l_1 и l_2 пересекаются в точке O (рис.1.19,а). Приложим вектор \vec{a} к точке O , т.е. рассмотрим вектор \overrightarrow{OA}=\vec{a} . По правилу параллелограмма сложения векторов (см. разд. 1.2) получаем равенство \overrightarrow{OA}=\vec{a}_1+\vec{a}_2 , которое равносильно доказываемому равенству \vec{a}=\vec{a}_1+\vec{a}_2 , так как равные векторы имеют равные проекции (см. свойство 2 проекций). Единственность представления следует из однозначности нахождения проекций вектора.

Если же вектор \vec{a} коллинеарен одной из прямых, например l_1 , то соответствующие проекции имеют вид: \vec{a}_1=\vec{a},~\vec{a}_2=\vec{o} и равенство \vec{a}=\vec{a}_1+\vec{a}_2=\vec{a}+\vec{o} , очевидно, выполняется.

Аналогично доказывается второе утверждение.

Замечание 1.3.

Справедливы утверждения, обратные к указанным в теореме 1.1.

Если вектор на плоскости равен сумме двух неколлинеарных векторов, т.е. \vec{a}=\vec{a}_1+\vec{a}_2 , то слагаемые \vec{a}_1 и \vec{a}_2 являются проекциями вектора \vec{a} на прямые, содержащие векторы \vec{a}_1 и \vec{a}_2 соответственно.

Если вектор в пространстве равен сумме трех некомпланарных векторов, т.е. \vec{a}=\vec{a}_1+\vec{a}_2+\vec{a}_3 , то слагаемые \vec{a}_,\vec{a}_2 и \vec{a}_3 являются проекциями вектора \vec{a} на прямые, содержащие векторы \vec{a}_,\vec{a}_2,\vec{a}_3 соответственно.

В самом деле, отложим от произвольной точки O векторы \overrightarrow{OA}=\vec{a},\,\overrightarrow{OA_1}=\vec{a}_1,\,\overrightarrow{OA_2}=\vec{a}_2,\,\overrightarrow{OA_3}=\vec{a}_3 (рис.1.19,6). Тогда из равенства \vec{a}=\vec{a}_1+\vec{a}_2+\vec{a}_3 следует, что \overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OA_1}+\overrightarrow{OA_2}+\overrightarrow{OA_3} , т.е. вектор - является диагональю параллелепипеда, построенного на векторах (отсюда следует правило параллелепипеда сложения трех некомпланарных векторов). Поэтому \overrightarrow{OA_1},\,\overrightarrow{OA_2},\,\overrightarrow{OA_3} - проекции вектора \overrightarrow{OA} на прямые l_1,\,l_2,\,l_3 (проекция на каждую прямую берется вдоль плоскости, проходящей через две другие прямые). Так как равные векторы \vec{a} и \overrightarrow{OA} имеют равные проекции (свойство 2), заключаем, что проекции вектора \vec{a} на прямые l_1,\,l_2,\,l_3 равны соответственно. Наконец, проекции на прямые l_1,\,l_2,\,l_3 равны проекциям на параллельные им прямые, содержащие векторы \vec{a}_1,\,\vec{a}_2,\,\vec{a}_3 соответственно.

Пример 1.5. Если прямая пересекает стороны AB,~BC,~CA треугольника ABC (или их продолжения) в точках C_1,~B_1,~C_1 соответственно, то

\frac{\overrightarrow{AC_1}}{\overrightarrow{BC_1}}\cdot\frac{\overrightarrow{BA_1}}{\overrightarrow{CA_1}}\cdot\frac{\overrightarrow{CB_1}}{\overrightarrow{AB_1}}=1.

Решение. Найдем отношения проекций векторов на прямую AB вдоль прямой A_1C_1 (рис. 1.20). Для этого через точку B проведем прямую BB_2 , параллельную прямой A_1C_1 . По свойству 4 проекций имеем:

\frac{\overrightarrow{AC_1}}{\overrightarrow{BC_1}}=\frac{\overrightarrow{AB_1}}{\overrightarrow{B_2B_1}};~~~~\frac{\overrightarrow{BA_1}}{\overrightarrow{CA_1}}=\frac{\overrightarrow{B_2B_1}}{\overrightarrow{CB_1}}.

Перемножая эти пропорции, получаем \frac{\overrightarrow{AC_1}}{\overrightarrow{BC_1}}\cdot\frac{\overrightarrow{BA_1}}{\overrightarrow{CA_1}}=\frac{\overrightarrow{AB_1}}{\overrightarrow{CB_1}} , что равносильно доказываемому равенству.

Заметим, что доказанное утверждение является частью теоремы Менелая.

Пример 1.6. Если на сторонах AB,~BC,~CA треугольника ABC взяты соответственно точки A_1,~B_1,~C_1 так, что прямые AA_1,~BB_1,~CC_1 пересекаются в одной точке, то

\frac{\overrightarrow{AC_1}}{\overrightarrow{BC_1}}\cdot\frac{\overrightarrow{BA_1}}{\overrightarrow{CA_1}}\cdot\frac{\overrightarrow{CB_1}}{\overrightarrow{AB_1}}=-1.

Решение. Пусть прямые пересекаются в точке Q (рис.1.21). Через точку C_1 проведем прямые C_1B_2 и C_1A_2 параллельно BB_1 и AA_1 соответственно. По свойству проекций (свойство 4):

\frac{\overrightarrow{AB_1}}{\overrightarrow{B_2B_1}}=-\frac{\overrightarrow{AB}}{\overrightarrow{BC_1}};~~~\frac{\overrightarrow{BA_1}}{\overrightarrow{A_2A_1}}=\frac{\overrightarrow{AB}}{\overrightarrow{AC_1}};~~~\frac{\overrightarrow{CA_1}}{\overrightarrow{A_2A_1}}=\frac{\overrightarrow{CQ}}{\overrightarrow{C_1Q}}=\frac{\overrightarrow{CB_1}}{\overrightarrow{B_2B_1}}

Учитывая эти равенства и свойства отношений коллинеарных векторов (см, разд.1.2.1), преобразуем левую и правую части последнего равенства:

\begin{gathered}\frac{\overrightarrow{CQ}}{\overrightarrow{C_1Q}}=\frac{\overrightarrow{CA_1}}{\overrightarrow{A_2A_1}}=\frac{\overrightarrow{CA_1}}{\overrightarrow{BA_1}}\cdot\frac{\overrightarrow{BA_1}}{\overrightarrow{A_2A_1}}=\frac{\overrightarrow{CA_1}}{\overrightarrow{BA_1}}\cdot\frac{\overrightarrow{AB}}{\overrightarrow{AC_1}}\\\frac{\overrightarrow{C_1Q}}{\overrightarrow{CQ}}=\frac{\overrightarrow{B_2B_1}}{\overrightarrow{CB_1}}=\frac{\overrightarrow{AB_1}}{\overrightarrow{CB_1}}\cdot\frac{\overrightarrow{B_2B_1}}{\overrightarrow{AB_1}}=\frac{\overrightarrow{AB_1}}{\overrightarrow{CB_1}}\cdot\left(-\frac{\overrightarrow{BC_1}}{\overrightarrow{AB}}\right)\end{gathered}

Запишем произведение правых частей этих равенств, учитывая, что произведение левых частей равно единице:

\frac{\overrightarrow{CA_1}}{\overrightarrow{BA_1}}\cdot\frac{\overrightarrow{AB}}{\overrightarrow{AC_1}}\cdot\frac{\overrightarrow{AB_1}}{\overrightarrow{CB_1}}\cdot\left(-\frac{\overrightarrow{BC_1}}{\overrightarrow{AB}}\right)=-\frac{\overrightarrow{BC_1}}{\overrightarrow{AC_1}}\cdot\frac{\overrightarrow{CA_1}}{\overrightarrow{BA_1}}\cdot\frac{\overrightarrow{AB_1}}{\overrightarrow{CB_1}}\cdot\frac{\overrightarrow{AB}}{\overrightarrow{AB}}=-\frac{\overrightarrow{BC_1}}{\overrightarrow{AC_1}}\cdot\frac{\overrightarrow{CA_1}}{\overrightarrow{BA_1}}\cdot\frac{\overrightarrow{AB_1}}{\overrightarrow{CB_1}}=1

Найдем обратное отношение \frac{\overrightarrow{AC_1}}{\overrightarrow{BC_1}}\cdot\frac{\overrightarrow{BA_1}}{\overrightarrow{CA_1}}\cdot\frac{\overrightarrow{CB_1}}{\overrightarrow{AB_1}}=-1 , что и требовалось доказать.

Заметим, что доказанное утверждение является частью теоремы Чевы.

В вашем браузере отключен Javascript.
Чтобы произвести расчеты, необходимо разрешить элементы ActiveX! Алгебраическая проекция вектора на какую-либо ось равна произведению длины вектора на косинус угла между осью и вектором:

Пр a b = |b|cos(a,b) или

Где a b - скалярное произведение векторов , |a| - модуль вектора a .

Инструкция . Для нахождения проекции вектора Пp a b в онлайн режиме необходимо указать координаты векторов a и b . При этом вектор может быть задан на плоскости (две координаты) и в пространстве (три координаты). Полученное решение сохраняется в файле Word . Если векторы заданы через координаты точек, то необходимо использовать этот калькулятор .

Заданы :
две координаты вектора
три координаты вектора
a: ; ;
b: ; ;

Классификация проекций вектора

Виды проекций по определению проекция вектора

Виды проекций по системе координат

Свойства проекции вектора

1. Геометрическая проекция вектора есть вектор (имеет направление).
2. Алгебраическая проекция вектора есть число.

Теоремы о проекциях вектора

Теорема 1 . Проекция суммы векторов на какую-либо ось равна проекции слагаемых векторов на ту же ось.

Теорема 2 . Алгебраическая проекция вектора на какую-либо ось равна произведению длины вектора на косинус угла между осью и вектором:

Пр a b = |b|cos(a,b)

Виды проекций вектора

1. проекция на ось OX.
2. проекция на ось OY.
3. проекция на вектор.

Проекция на ось OX	Проекция на ось OY	Проекция на вектор
Если направление вектора A’B’ совпадает с направлением оси OX, то проекция вектора A’B’ имеет положительный знак.	Если направление вектора A’B’ совпадает с направлением оси OY, то проекция вектора A’B’ имеет положительный знак.	Если направление вектора A’B’ совпадает с направлением вектора NM, то проекция вектора A’B’ имеет положительный знак.
Если направление вектора противоположно с направлением оси OX, то проекция вектора A’B’ имеет отрицательный знак.	Если направление вектора A’B’ противоположно с направлением оси OY, то проекция вектора A’B’ имеет отрицательный знак.	Если направление вектора A’B’ противоположно с направлением вектора NM, то проекция вектора A’B’ имеет отрицательный знак.
Если вектор AB параллелен оси OX, то проекция вектора A’B’ равна модулю вектора AB.	Если вектор AB параллелен оси OY, то проекция вектора A’B’ равна модулю вектора AB.	Если вектор AB параллелен вектору NM, то проекция вектора A’B’ равна модулю вектора AB.
Если вектор AB перпендикулярен оси OX, то проекция A’B’ равна нулю (нуль-вектор).	Если вектор AB перпендикулярен оси OY, то проекция A’B’ равна нулю (нуль-вектор).	Если вектор AB перпендикулярен вектору NM, то проекция A’B’ равна нулю (нуль-вектор).

1. Вопрос: Может ли проекция вектора иметь отрицательный знак. Ответ: Да, проекций вектора может быть отрицательной величиной. В этом случае, вектор имеет противоположное направление (см. как направлены ось OX и вектор AB)
2. Вопрос: Может ли проекция вектора совпадать с модулем вектора. Ответ: Да, может. В этом случае, векторы параллельны (или лежат на одной прямой).
3. Вопрос: Может ли проекция вектора быть равна нулю (нуль-вектор). Ответ: Да, может. В этом случае вектор перпендикулярен соответствующей оси (вектору).

Пример 1 . Вектор (рис. 1) образует с осью OX (она задана вектором a) угол 60 о. Если OE есть единица масштаба, то |b|=4, так что .

Действительно, длина вектора (геометрической проекции b) равна 2, а направление совпадает с направлением оси OX.

Пример 2 . Вектор (рис. 2) образует с осью OX (с вектором a) угол (a,b) = 120 o . Длина |b| вектора b равна 4, поэтому пр a b=4·cos120 o = -2.

Действительно, длина вектора равна 2, а направление противоположно направлению оси.

а на ось или какой-либо другой вектор существуют понятия ее геометрической проекции и числовой (или алгебраической) проекции. Результатом геометрической проекции будет вектор, а результатом алгебраической – неотрицательное действительное число. Но перед тем, как перейти к этим понятиям вспомним необходимую информацию.

Предварительные сведения

Основное понятие – непосредственно понятие вектора. Для того, чтобы ввести определение геометрического вектора вспомним, что такое отрезок . Введем следующее определение.

Определение 1

Отрезком будем называть часть прямой, которая имеет две границы в виде точек.

Отрезок может иметь 2 направления. Для обозначения направления будем называть одну из границ отрезка его началом, а другую границу - его концом. Направление указывается от его начала к концу отрезка.

Определение 2

Вектором или направленным отрезком будем называть такой отрезок, для которого известно, какая из границ отрезка считается началом, а какая его концом.

Обозначение: Двумя буквами: $\overline{AB}$ – (где $A$ его начало, а $B$ – его конец).

Одной маленькой буквой: $\overline{a}$ (рис. 1).

Введем еще несколько понятий, связанных с понятием вектора.

Определение 3

Два ненулевых вектора будем называть коллинеарными, если они лежат на одной и той же прямой или на прямых, параллельных друг другу (рис.2).

Определение 4

Два ненулевых вектора будем называть сонаправленными, если они удовлетворяют двум условиям:

1. Эти векторы коллинеарны.
2. Если они будут направлены в одну сторону (рис. 3).

Обозначение: $\overline{a}\overline{b}$

Определение 5

Два ненулевых вектора будем называть противоположно направленными, если они удовлетворяют двум условиям:

1. Эти векторы коллинеарны.
2. Если они направлены в разные стороны (рис. 4).

Обозначение: $\overline{a}↓\overline{d}$

Определение 6

Длиной вектора $\overline{a}$ будем называть длину отрезка $a$.

Обозначение: $|\overline{a}|$

Перейдем к определению равенства двух векторов

Определение 7

Два вектора будем называть равными, если они удовлетворяют двух условиям:

1. Они сонаправлены;
2. Их длины равны (рис. 5).

Геометрическая проекция

Как мы уже сказали ранее, результатом геометрической проекции будет вектор.

Определение 8

Геометрической проекцией вектора $\overline{AB}$ на ось будем называть такой вектор, который получается следующим образом: Точка начала вектора $A$ проецируется на данную ось. Получаем точку $A"$ - начало искомого вектора. Точка конца вектора $B$ проецируется на данную ось. Получаем точку $B"$ - конец искомого вектора. Вектор $\overline{A"B"}$ и будет искомым вектором.

Рассмотрим задачу:

Пример 1

Постройте геометрическую проекцию $\overline{AB}$ на ось $l$, изображенные на рисунке 6.

Проведем из точки $A$ перпендикуляр к оси $l$, получим на ней точку $A"$. Далее проведем из точки $B$ перпендикуляр к оси $l$, получим на ней точку $B"$ (рис. 7).