Организационно-педагогическая деятельность и педагогические взгляды Н. Лобачевского Старшинов Николай Иванович. Н.И. Лобачевский. Его жизнь и научная деятельность Связь трудов лобачевского с современной наукой

Шмырова Ирина

«Идеи нашего гениального соотечественника, которые казались недопустимым парадоксом, теперь широко развитые и обобщенные, являются одним из краеугольных камней современной науки» - писал видный советский геометр, профессор П.К. Рашевский Цель работы : установить, что послужило созданию неевклидовой геометрии.

Скачать:

Предварительный просмотр:

МКОУ ВАШУТИНСКАЯ ОСНОВНАЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА

История возникновения и значение неевклидовой геометрии в современной науке

Работу по геометрии выполнила:

Ученица 9 класса

Шмырова Ирина

Координатор работы:

Учитель математики

Седых Елена Валерьевна

2013 год

1.Введение……………………………………………………………… 3

2.История создания новой геометрии………………………………. 4

3. Неевклидова геометрия…………………………………………… 8

4.Отзывы и доказательства …………………………………………. 11

4. Значение Неевклидовой геометрии……………………………… 15

5. Заключение…………………………………………………………. 16

6.Используемая литература…………………………………………. 18

7.Словарь терминов…………………………………………………... 19

Введение

Тот путь, на который впервые стал Лобачевский, в значительной степени определил лицо современной науки, произвёл настоящую революцию в математике.

«Идеи нашего гениального соотечественника, которые казались недопустимым парадоксом, теперь широко развитые и обобщенные, являются одним из краеугольных камней современной науки» - писал видный советский геометр, профессор П.К. Рашевский [ 1].

Открытие неевклидовой геометрии произвело переворот не только в геометрии и даже не только в математике, но можно сказать, в развитии человеческого мышления вообще. И то , что евклидова геометрия не является единственно возможной, сделанное в начале прошлого века Гауссом, Лобачевским и Больяи, оказало влияние на мировоззрение человечества. Однако мало кому известно, что начиная с конца прошлого века неевклидова геометрия, наряду с евклидовой, является одним из рабочих инструментов математики, несмотря на то что "пространство, в котором мы живем", в доступных нашему пониманию пределах является скорее евклидовым, чем неевклидовым [ 2].

Характер математических теорий таков, что различным образом представляя основные понятия этих теорий, в геометрии, например, это точки, прямые, движения и т.д., мы можем применять их к объектам различного рода. Поэтому, и геометрия может применяться не только к пространству, в котором мы живем, но и к другим пространствам, возникающим в математических и физических теориях. Геометрии этих пространств оказываются различными; в частности, они могут не быть евклидовыми.

Цель работы : установить, что послужило созданию неевклидовой геометрии. Гипотеза : развитие науки было на таком этапе, что невозможно было не прийти к созданию неевклидовой геометрии.

I.История создания новой геометрии

Первым неевклидовым геометром, вероятно, можно считать самого Евклида (рис.1). Его нежелание использовать «не самоочевидный» пятый постулат следует хотя бы из того, что свои первые двадцать восемь предложений Евклид доказывает, не прибегая к этому постулату. С первого века до н.э. до 1820 года математики пытались вывести пятый постулат из остальных, но преуспели лишь в замене его различными эквивалентными допущениями, такими, как «две параллельные линии всюду равно удалены друг от друга» или «любые три точки, не расположенные на одной прямой, принадлежат окружности».

Рисунок 1. Евклид

Лобачевский в работе «О началах геометрии» (1829 год), первой его печатной работе по неевклидовой геометрии, ясно заявил, что V постулат не может быть доказан на основе других посылок евклидовой геометрии, и что допущение постулата, противоположного постулату Евклида, позволяет построить геометрию столь же содержательную, как и евклидова, и свободную от противоречий [ 1].

Одновременно и независимо к аналогичным выводам пришёл Янош Бойяи (рис.2), а Карл Фридрих Гаусс (рис.3) пришёл к таким выводам ещё раньше.

Рисунок 2. Янош Бойяи

Однако труды Бойяи не привлекли внимания, и он вскоре оставил эту тему, а Гаусс вообще воздерживался от публикаций, и о его взглядах можно судить лишь по нескольким письмам и дневниковым записям.

Рисунок 3 . Карл Фридрих Гаусс

Сохранились студенческие записи лекций Лобачевского (от 1817 года), где им делалась попытка доказать пятый постулат Евклида, но в рукописи учебника «Геометрия» (1823 год) он уже отказался от этой попытки. В «Обозрениях преподавания чистой математики» за 1822 и 1824 годы Лобачевский указал на «до сих пор непобедимую» трудность проблемы параллелизма и на необходимость принимать в геометрии в качестве исходных понятия, непосредственно приобретаемые из природы.

23 февраля 1826 года гениальный математик читает свой доклад о неевклидовой геометрии ничего не понимающей, скучающей, равнодушной аудитории. Комиссия, ничего не понявшая, не дает никакого отзыва. Работа не была напечатана. И только в 1829 году были опубликованы мемуары «О началах геометрии» - первая работа по неевклидовой геометрии. Работу не поняли.

Из Академии наук пришел уничтожающий отзыв, появляются статьи, где Лобачевского называют провинциальным шарлатаном, невежественным самодовольным ничтожеством. Авторы этих отзывов опирались на то, что все, что изложено господином Лобачевским (рис.4) в своих трудах не имеет места в природе и, поэтому, совершенно для разума непонятно и абсурдно. Лобачевского никто не поддержал, но у него хватило мужества отстаивать свои идеи до конца.

Рисунок 4. Лобачевский Николай Иванович

Не найдя понимания на Родине, Лобачевский попытался найти единомышленников за рубежом. В 1837 году статья Лобачевского «Воображаемая геометрия» на французском языке (Géométrieimaginaire) появилась в авторитетном берлинском журнале Крелле, а в 1840 году Лобачевский опубликовал на немецком языке небольшую книгу «Геометрические исследования по теории параллельных», где содержится чёткое и систематическое изложение его основных идей. Два экземпляра получил Карл Фридрих Гаусс, «король математиков» той поры. Как много позже выяснилось, Гаусс и сам тайком развивал неевклидову геометрию, однако так и не решился опубликовать что-либо на эту тему [ 1].

Пятый постулат Евклида стал своего рода толчком к созданию другой геометрии, или продолжением геометрии Евклида. Одновременно учёные многих стран пришли к одним и тем же выводам. Однако одних учёных не поняли, как Лобачевского, другие боялись опубликовать свои труды.

Создателями неевклидовой геометрии стали такие яркие учёные, как сам Евклид, Гаусс, Бойяи, Лобачевский. У некоторых учёных открытия в неевклидовой геометрии происходили одновременно, независимо друг от друга.

II.Неевклидова геометрия

Лобачевский считал аксиому параллельности Евклида произвольным ограничением. С его точки зрения, это требование слишком жёсткое, ограничивающее возможности теории, описывающей свойства пространства, и поэтому в создании неевклидовой геометрии он использовал плоскостные постулаты Евклида как частный, предельный случай и отказался от V постулата, приняв независимость аксиомы о параллельных прямых Евклида от остальных аксиом.

Вместо V постулата он принимает противоположное предложение: на плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, проходит более чем одна прямая, не пересекающая данную. Вместе с этим предложением Лобачевский принимает остальные аксиомы Евклидовой геометрии и на этом основании строит новую геометрию. Получившаяся геометрия логически стройная, нигде противоречий не встречается. Лобачевский называет ее «воображаемой».

Через точку С, лежащую вне прямой АВ, можно, предположил Лобачевский, провести хотя бы две прямые а и b, которые не пересекутся с прямой АВ (рис.5). Точно так же не пересекают прямую АВ и прямые m, n, p, проходящие через точку С. .

Рисунок 5. Предложение, противоположное V постулату Евклида.

Сумма углов треугольника в «воображаемой геометрии» всегда меньше180 о (рис.6).

Рисунок 6. Треугольник в геометрии Лобачевского.

В плоскости Лобачевского не существует никакого подобия. Ведь все теоремы о подобии выводятся только с помощью аксиомы Евклида о параллельности. Н.И. Лобачевский установил, что на предельной поверхности, называемой орисферой, внутренняя геометрия является евклидовой.

Разработанная Лобачевским новая геометрия не включает в себя евклидову геометрию, однако евклидова геометрия может быть из неё получена предельным переходом (при стремлении кривизны пространства к нулю). В самой геометрии Лобачевского кривизна отрицательна. Уже в первой публикации Лобачевский детально разработал тригонометрию неевклидова пространства, дифференциальную геометрию (включая вычисление длин, площадей и объёмов) и смежные аналитические вопросы.

В геометрии Н.И. Лобачевского используются основные понятия Евклида: перпендикуляры, осевые симметрии и повороты. В ней сохраняются свойства равнобедренного треугольника, известные признаки равенства треугольников и другие элементы «абсолютной геометрии» [ 2].

В пространстве Лобачевского были выделены криволинейные геометрические образы, подчинённые геометрии Евклида. Этот замечательный результат Лобачевский использовал для вывода тригонометрических соотношений между элементами прямолинейных треугольников в его пространстве. Но итоговые соотношения гораздо сложнее евклидовых. Эти соотношения имеют не только тригонометрические функции углов, не просто длины сторон, а некоторые функции от них [ 4] .

Сделав свое знаменитое открытие, Н. И. Лобачевский не опроверг евклидову геометрию, а лишь раздвинул границы науки, существовавшей в Древнем мире. Любые факты планиметрии Лобачевского не противоречат геометрии Евклида. Однако созданная геометрия существенно отличается от прежней. Лобачевский, очевидно, хотел подчеркнуть противоречие V постулату: на плоскости через точку, лежащую вне данной прямой, проходит более одной прямой, не пересекающей данную. И тем самым заменил евклидов постулат более общей аксиомой параллельности и сохранил все рассуждения геометрии Евклида.

III. Отзывы и доказательства

В последние годы жизни Лобачевский безуспешно пытался доказать непротиворечивость своей геометрии.

Чтобы получить такое доказательство, надо было построить модель геометрии. В 1868 году (через 12 лет после смерти Лобачевского) итальянский ученый Э. Бельтрами исследовал вогнутую поверхность называемую псевдосферой и доказал, что на этой поверхности действует геометрия Лобачевского (рис.7). [ 5].

В 1868г. Итальянский математик Э. Бельтрами исследовал вогнутую поверхность, называемую псевдосферой, и доказал, что на этой поверхности действует геометрия Лобачевского.

Рисунок 7. Псевдосфера

А через 2 года немецкий математик Клейн предлагает другую модель плоскости Лобачевского (рис.8).

Клейн берет некоторый круг. «Плоскостью» Клейн называет внутренность круга. Далее, каждую хорду круга (без концов, поскольку берутся только внутренние точки круга) Клейн считает «прямой». Теперь в этой «плоскости» можно рассматривать отрезки, треугольники и т. д. Две фигуры называются «равными», если одна из них может быть переведена в другую некоторым движением. Тем самым введены все понятия, упоминаемые в аксиомах геометрии, и можно проводить проверку выполнения аксиом в этой модели. Например, очевидно, что через любые две точки А, В проходит единственная «прямая». Можно проследить также, что через точку А, не принадлежащую «прямой» а, проходит бесконечно много «прямых», не пересекающих а. Дальнейшая проверка показывает, что в модели Клейна выполняются и все остальные аксиомы геометрии Лобачевского[ 4]

Рисунок 8. Модель Клейна.

Еще одна модель геометрии Лобачевского была предложена французским математиком А. Пуанкаре (1854-1912). Он также рассматривает внутренность некоторого круга. «Прямыми» он считает дуги окружностей, которые в точках пересечения с границей круга касаются радиусов (рис.9) [ 1].

Рисунок 9 . Модель Пуанкаре.

В конце прошлого века в работах Пуанкаре и Клейна была установлена прямая связь геометрии Лобачевского с теорией функций комплексной переменной и с теорией чисел (точнее, арифметикой неопределенных квадратичных форм). С тех пор аппарат геометрии Лобачевского стал неотъемлемым компонентом этих разделов математики. В последние 15 лет значение геометрии Лобачевского еще более возросло благодаря работам американского математика Тёрстона (лауреата Филдсовской медали 1983 г.), установившего ее связь с топологией трехмерных многообразий (рис.10). Десятки работ ежегодно публикуются в этой области. В связи с этим можно говорить о конце романтического периода в истории геометрии Лобачевского, когда основное внимание исследователей было обращено на ее осмысление с точки зрения оснований геометрии вообще. Современные исследования все больше требуют делового владения геометрией Лобачевского [ 2].

Рисунок 10. Вильям Паул Тёрстон

Важное замечание, касающееся чертежей, изображающих поведение прямых на плоскости Лобачевского. Как показывают опыты, наше физическое пространство по свойствам или евклидово, или очень мало от него отличается. Оперируя с чертежом, вынуждены ограничиться его малым размером, а отклонение от евклидовости, если оно существует, будет наблюдаться только при очень больших протяжениях. Поэтому для наглядности обычно принято изображать прямые, слегка их искривляя, чтобы отчётливее выразить характер их сближения или расхождения на плоскости Лобачевского. Однако Лобачевский такие вольности себе не разрешал[ 4].

Сколько времени нужно было учёным, чтобы проверить на различных моделях: псевдосфере Клейна, модель Пуанкаре, трёхмерные многообразия математика Тёрстона, что геометрия Лобачевского действует? Какие сомнения возникали у самого Лобачевского в правильности его идей?! Но именно элементы геометрии Лобачевского стали основой таких разделов математики, как теория чисел и теория функций комплексной переменной и многих других.

IV. Значение Неевклидовой геометрии

Новая геометрия явилась чистым порождением разума, отделившейся от окружающей действительности. Поэтому Лобачевский назвал ее «воображаемой». Появление неевклидовой геометрии было важным шагом в превращении математики в науку о логически мыслимых формах и отношениях. Этот процесс шел по всему фронту не только в геометрии, но и в алгебре. Появились теория множеств, математическая логика. В геометрии вскоре за геометрией Лобачевского появилась многомерная евклидова геометрия[ 2].

V. Заключение

Создателями неевклидовой геометрии стали такие яркие учёные, как сам Евклид, Гаусс, Бойяи, Лобачевский. Евклид делал попытки доказать пятый постулат, но у него не получалось. У некоторых учёных открытия в неевклидовой геометрии происходили одновременно, независимо друг от друга.

Н. И. Лобачевский раздвинул границы науки, существовавшей на тот момент. Любые факты планиметрии Лобачевского не противоречат геометрии Евклида. Однако созданная геометрия существенно отличается от прежней. Лобачевский, очевидно, хотел подчеркнуть противоречие V постулату: на плоскости через точку, лежащую вне данной прямой, проходит более одной прямой, не пересекающей данную. И тем самым заменил евклидов постулат более общей аксиомой параллельности и сохранил все рассуждения геометрии Евклида.

Много времени понадобилось учёным, чтобы проверить на различных моделях: псевдосфере Клейна, модель Пуанкаре, трёхмерные многообразия математика Тёрстона, что геометрия Лобачевского действует? Какие сомнения возникали у самого Лобачевского в правильности его идей?! Но именно элементы геометрии Лобачевского стали основой таких разделов математики, как теория чисел и теория функций комплексной переменной и многих других.

Лобачевский был назван «Коперником геометрии», но его можно назвать и Колумбом науки, открывшим новую ее область, за которой следовал материк новой геометрии и вообще новой математики. Тот путь, на который впервые стал Лобачевский, в значительной степени определил лицо современной науки.

Открытие новой геометрии стало началом многочисленных исследований выдающихся математиков 19 века. Геометрия послужила толчком к развитию науки, а значит и пониманию мира, который на окружает.

А в начале 20-говека было обнаружено, что геометрия Лобачевского совершенно необходима в современной физике. Например, в теории относительности Эйнштейна, в расчетах современных синхрофазотронов, в космонавтике.

Используемая литература

1.Лаптев Б.Л. Н.И.Лобачевский и его геометрия. Пособие для учащихся. М., «Просвещение», 1976.

2.Шербаков Р.Н., Пичурин Л.Ф. от проективной геометрии - к неевклидовой (вокруг абсолюта): Кн. Для внеклассного чтения. IX, X кл. - М.: Просвещение, 1979. - 158с., ил.- (Мир знаний)

3.Погорелов А.В. Геометрия: Учеб. Для 7-9 кл. общеобразоват. учреждений/ А.В. Погорелов.-5-е изд. - М.: Просвещение, 2010.-224 с.

4. Алексеевский Д.В., Винберг Э.Б., Солодовников А.С. Геометрия пространств постоянной кривизны. В кн.: Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. М.: ВИНИТИ, 1988. Т. 29. С. 1 - 146. ространсто — фундаментальное (наряду с временем) понятие человеческого мышления, отображающее множественный характер существования мира, его неоднородность. Множество предметов, объектов, данных в человеческом восприятии одновременно, формирует сложный… … Философская энциклопедия

1. обачесвского геометрия — геометрия, основанная на тех же основных посылках, что и евклидова геометрия, за исключением аксиомы о параллельных (см. Пятый постулат). В евклидовой геометрии согласно этой аксиоме на плоскости через точку Р, лежащую вне прямой А А, проходит.

Математическая энциклопедия

1. Лобачевского геометрия — геометрическая теория, основанная на тех же основных посылках, что и обычная Евклидова геометрия, за исключением аксиомы о параллельных, которая заменяется на аксиому о параллельных Лобачевского. Евклидова аксиома о параллельных гласит:… …

Большая советская энциклопедия

1. Геометрия — раздел математики, занимающийся изучением свойств различных фигур (точек, линий, углов, двумерных и трехмерных объектов), их размеров и взаимного расположения. Для удобства преподавания геометрию подразделяют на планиметрию и стереометрию. Энциклопедия

~ ~

Г // ¿-g^/, f."jj^M

В.И. Башков, M.А. Малахальцев Геометрия Лобачевского и современное научное мировоззрение

В.И. Башков", М.А. Малахальцев2

"Кафедра теории относительности и гравитации. Казанский университет 2Кафедра геометрии, Казанский университет [email protected], [email protected]

ГЕОМЕТРИЯ ЛОБАЧЕВСКОГО И СОВРЕМЕННОЕ НАУЧНОЕ МИРОВОЗЗРЕНИЕ

Неевклидова геометрия, история ее создания и развития, судьбы ее творцов находились и находятся в центре

внимания историков математики, всего математического сообщества. Это неудивительно, поскольку открытие геометрии, отличной от евклидовой, привело не только, и не столько к преобразованию математической теории, но к кардинальному преобразованию мировоззрения человечества, философской картины мира. Можно смело утверждать, что мышление наших современников, даже тех, кто и не слышал о геометрии Лобачевского, сформировано под влиянием этого открытия.

В рамках короткой заметки, конечно, невозможно подробно рассказать ни об истории неевклидовой геометрии, ни раскрыть ее содержание. Впрочем, в настоящее время существует обширная литература на эту тему, для первого ознакомления можно посоветовать книги (Нор-ден, 1953; Васильев, 1992). Поэтому, наша цель здесь лишь попытаться в какой-то мере раскрыть значение открытия неевклидовой геометрии.

Сейчас уже трудно сказать, когда впервые человечество задумалось о необходимости логического обоснования математических правил. В течение долгого времени эти правила - фактически, результаты непосредственного опыта - передавались от поколения к поколению, сначала как тайные знания жрецов древнего Египта, потом как прикладные знания, необходимые для разметки земель и строительства различных сооружений. Исторические памятники, сохранившиеся до наших дней, свидетельствуют, что люди их создавшие владели геометрическими методами не хуже выпускников современной средней школы. Тем не менее, структура этих знаний была отлична от современной, не было той стройной логической системы, которой отличается современная математика. Вероятно в такой системе просто не было необходимости. Почему же такая необходимость появилась, в какой конкретной форме было первоначально осуществлено построение теории - вопрос непростой и достаточно активно обсуждаемый и в настоящее время (здесь стоит отметить одно из последних исследований (Pont, 1986)).

Первое сочинение, дошедшее до нас, но не непосредственно, а после многочисленных переписываний, есть «Начала» Евклида. В ней геометрия впервые предстает в виде логической системы, опирающейся на ряд утверждений, принимаемых без доказательства, назван-

Рис. 2. В неевклидовой геометрии через точку, не лежащую на прямой I, можно провести бесконечно много прямых, не пересекающих I.

ных аксиомами и постулатами (отметим, что различие между постулатами и аксиомами обсуждается, например, в (Pont, 1986)). В частности, формулируется и V постулат, гласящий (в современной формулировке), что через точку проходит не более одной прямой, не пересекающей данную. Этот постулат формулировался сложнее первых четырех, причем само утверждение о том, что (см. рис. 1) при а + (3 < 180°, прямая / обязательно пересечет Г (другая формулировка этого же постулата) не столь очевидно, как, например, утверждение, что через две точки проходит единственная прямая.

Стоит еще отметить, что в то время эти утверждения воспринимались как законы, непосредственно относящиеся к физическому миру, недаром Евклид дает определения (объяснения) объектов, с точки зрения современной геометрии "неопределяемых", например, "точка есть то, что не имеет частей". Естественным было стремление минимизировать количество основных законов, взятых из непосредственной практики.

Еще во времена Евклида было предложено несколько доказательств V постулата, однако вскоре выяснилось, что они содержат ошибки. Попытки доказать V постулат продолжались около двух тысяч лет (что интересно, дилетанты еще и сегодня пытаются его доказать), однако каждый раз при внимательном анализе в доказательстве обнаруживались ошибки. Сложилась даже некоторая

традиция работа, рис. 4. Псевдосфера - поверхность, посвященная доказа- на которой локально реализуется

тельству пятого по- геометрия Лобачевского.

12 Георесурсы 3/71,2001

В.И. Башков, М.А. Малахальцев Геометрия Лобачевского и современное научное мировоззрение

стулата, состояла из двух частей:

1) разбор ошибок в доказательствах предшественников,

2) новое, на этот раз абсолютно истинное, доказательство V постулата.

Естественно, что в очередной работе пункт 2) переходил в пункт 1), и "старое начиналось сызнова". К началу XIX века сложилась "патовая ситуация": евклидова геометрия была образцом строгости и стройности построения научной теории, она успешно применялась на практике, никто не сомневался в том, что она верно описывает законы мира (да и повода не было усомниться), оставалось лишь одно досадное недоразумение - К постулат, но он никак не хотел поддаваться усилиям математиков! Недаром Яноша Бойяи предостерегал отец, что размышления над загадкой V постулата его погубят, и хотя Янош и разгадал эту загадку, так оно и вышло...

Впрочем, вскоре проблема V постулата была решена, но совсем не так, как ожидалось - оказалось, что его невозможно доказать! Именно, трое ученых: Я. Бойаи, К.Ф. Гаусс и Н.И. Лобачевский пришли к выводу, что существует геометрия, в которой пятый постулат не выполняется, то есть, существует неевклидова (отличная от евклидовой)геометрия.

Первооткрыватели неевклидовой геометрии были, без сомнения, духовно мужественными людьми. Ведь новая геометрия прямо противоречила всем представлениям о пространстве. Уже само отрицание V постулата - "V постулат неевклидовой геометрии" - влечет существование не двух, а бесконечного множества прямых, проходящих через данную точку и не пересекающих данную прямую (рис. 2).

Но это только начало. Оказалось, что в новой геометрии сумма углов треугольника непостоянна и меньше 180°, что любые два подобных треугольника равны, через точку внутри угла можно провести прямую, не пересекающую стороны этого угла!

Каждый шаг, каждый новый факт прямо противоречил наглядным геометрическим представлениям, человеческой природе восприятия мира. И, несмотря на это, и Я. Бойаи, и К.Ф. Гаусс, и Н.И. Лобачевский нашли мужество сделать вывод, что такая геометрия действительно существует!

Но силы человека ограничены, и новое знание дается нелегко. Трагически сложилась судьба Я. Бойаи, отказывался обсуждать публично тему неевклидовой геометрии К.Ф. Гаусс. Слишком непросто приходится тем, кто сталкивается с принципиально новым, и странно слышать слова осуждения Гаусса от людей, перед которыми никогда не стояла мировоззренческая, подчеркнем, не математическая, а именно мировоззренческая проблема такого масштаба.

Мы можем лишь поразиться личному мужеству Николая Ивановича Лобачевского, который, несмотря на непонимание современников и даже их удивление тому, что столь уважаемый человек, ректор Казанского университета, позволяет себе настаивать на существовании какой-то воображаемой геометрии, последовательно публиковал работы по неевклидовой геометрии. Он приводил новые доказательства ее существования, показал, что евклидова геометрия является предельным случаем не-

евклидовой, стремился развить новую геометрию столь же глубоко, как была развита в его время евклидова геометрия.

Вскоре после смерти Лобачевского было замечено, что неевклидова геометрия локально реализуется, как внутренняя геометрия поверхностей отрицательной кривизны, например, псевдосферы, рис. 4 (кстати, понятие "внутренняя геометрия поверхности" было введено К.Ф. Гауссом).

Отметим, что это только локальная реализация, то есть плоскость Лобачевского целиком нельзя представить как поверхность в трехмерном евклидовом пространстве (теорема Ефимова), и в этом смысле неверно говорить, что геометрия Лобачевского есть геометрия поверхности. Геометрия Лобачевского сложнее, и это еще раз показывает, с какими трудностями пришлось столкнуться создателям неевклидовой геометрии.

Позже были найдены и другие модели и интерпретации геометрии Лобачевского, в частности, в рамках проективной геометрии, и все это привело к самому, на наш взгляд, важному результату открытия неевклидовой геометрии. Было осознано, что мы в процессе познания строим различные модели мира: геометрическую, физическую и т.д., но модель не тождественна миру, она лишь отражает или интерпретирует некоторые его свойства. Геометрия же изучает уже не непосредственно мир, а одну из его моделей. В окончательном виде это понимание было зафиксировано Д. Гильбертом, который создал современную аксиоматику геометрии, ввел неопределяемые понятия и сформулировал аксиомы, как "правила игры" с этими понятиями, то есть, фактически, как заранее заданные свойства математической модели. Объясняя свою мысль, он говорил, что мы можем считать точки пивными кружками, а прямые - столами, главное, чтобы выполнялись аксиомы. Впоследствии это привело к пониманию математики как науки, изучающей математические структуры. Наиболее последовательно эта точка зрения проведена Н. Бурбаки в его знаменитых "Elementes de Mathématique" ("Элементы математики" - основные составляющие части, основания математики) уже во второй половине XX века. Этот труд и подвел итог, по крайней мере, с современной точки зрения, столетней работы по освоению неевклидовой геометрии.

Подведем итог и мы. В результате открытия неевклидовой геометрии:

1. Евклидова геометрия стала математической теорией, то есть одной из возможных математических моделей окружающего мира.

2. Произошло окончательное самоопределение математики как науки, изучающей математические структуры мира. Появилось современное понимание систем аксиом и понятие модели.

3. Была осознана невозможность построения единой окончательной модели мира и одновременно необходимость поиска связи между различными моделями - связи, обусловленной единством мира.

Литература

Норден А.П. Элементарное введение в геометрию Лобачевского,

М. Гос. изд-во техн.-теор. лит-ры, 1953.

Васильев А.В. Николай Иванович Лобачевский. М. Наука. 1992.

Pont J.C. L"aventure des parallèles, PeterLang, Berne, 1986.

Георесурсы 317], 2001

Николай Иванович Лобачевский - выдающийся русский математик, на протяжении четырех десятков лет - ректор активист народного просвещения, основатель неевклидовой геометрии.

Это человек, который на несколько десятков лет опередил свое время и остался непонятым современниками.

Биография Лобачевского Николая Ивановича

Николай появился на свет 11 декабря 1792 года в малоимущей семье мелкого чиновника Ивана Максимовича и Прасковьи Александровны. Место рождения математика Николая Ивановича Лобачевского - Нижний Новгород. В 9-летнем возрасте, после смерти отца, он был перевезен матерью в Казань и в 1802 году принят в местную гимназию. После ее окончания в 1807 году Николай стал студентом только что основанного Казанского Императорского университета.

Под опекой М. Ф. Бартельса

Особую любовь к физико-математическим наукам будущему гению сумел привить Григорий Иванович Карташевский - талантливый преподаватель, глубоко знавший и ценивший свое дело. К сожалению, в конце 1806 года по причине разногласий с руководством университета «за проявление духа непокорности и несогласия» он был уволен с университетской службы. Курсы по математике стал вести Бартельс - учитель и друг знаменитого Карла Фридриха Гаусса. Прибывший в 1808 году в Казань, он взял покровительство над способным, но бедным студентом.

Новый преподаватель одобрил успехи Лобачевского, который под его наблюдением изучил такие классические труды, как «Теория чисел» Карла Гаусса и «Небесная механика» французского ученого Пьера-Симона Лапласа. За неповиновение, упорство и признаки безбожия на старшем курсе над Николаем нависла вероятность отчисления. Именно покровительство Бартельса поспособствовало отведению нависшей над одаренным студентом опасности.

в жизни Лобачевского

В 1811 году, по окончании Николай Иванович, краткая биография которого вызывает искренний интерес у молодого поколения, был утвержден магистром по математике и физике и оставлен при учебном заведении. Два научных исследования - по алгебре и механике, представленные в 1814 году (ранее срока), обусловили его возведение в адъюнкт-профессоры (доценты). Далее Лобачевский Николай Иванович, достижения которого впоследствии будут правильно оценены потомками, сам начал заниматься преподаванием, постепенно увеличивая круг читаемых им курсов (математика, астрономия, физика) и серьезно задумываясь о перестройке математических начал.

Студенты любили и высоко оценивали лекции Лобачевского, уже через год удостоившегося звания экстраординарного профессора.

Новые порядки Магницкого

С целью подавления вольномыслия и революционного настроя в обществе правительство Александра І стало опираться на идеологию религии с ее мистико-христианскими учениями. Первыми кардинальным проверкам подверглись университеты. В марте 1819 года в Казани с ревизией прибыл М. Л. Магницкий - представитель главного правления училищ, заботящийся исключительно о собственной карьере. По результатам его проверки состояние дел в университете оказалось крайне плачевным: недостаточная учёность воспитанников данного заведения влекла за собой причинение вреда обществу. Поэтому университет требовалось уничтожить (публично разрушить) - с целью поучительного примера для остальных.

Однако Александром І было принято решение исправить сложившуюся ситуацию руками этого же проверяющего, и Магницкий с особым рвением начал «наводить порядки» в стенах заведения: отстранил от работы 9 профессоров, ввел строжайшую цензуру лекций и суровый казарменный режим.

Широкая деятельность Лобачевского

Биография Лобачевского Николая Ивановича описывает сложный период установленной в университете церковно-полицейской системы, длившийся на протяжении 7 лет. Выдержать нелегкие испытания помогла сила непокорного духа и абсолютная занятость ученого, не оставлявшая ни минуты свободного времени.

Николай Иванович Лобачевский замещал Бартельса, покинувшего стены университета, и преподавал на всех курсах математику, также заведовал физическим кабинетом и читал данный предмет, обучал студентов астрономии и геодезии, пока И. М. Симонов находился в кругосветном путешествии. Огромный труд был вложен им в приведение в порядок библиотеки, а особенно наполнение ее физико-математической части. Попутно математик Николай Иванович Лобачевский, являясь председателем строительного комитета, руководил возведением главного корпуса университета и некоторое время занимал должность декана физико-математического факультета.

Неевклидова геометрия Лобачевского

Колоссальное число текущих дел, широкая педагогическая, административная и исследовательская работа не стали препятствием для творческой деятельности математика: из-под его пера вышли 2 учебника для гимназий - «Алгебра» (осужденная за применение и «Геометрия» (вовсе не опубликованная). Со стороны Магницкого за Николаем Ивановичем был установлен строгий надзор, по причине проявления ним дерзости и нарушения установленных инструкций. Однако и в этих условиях, действующих унизительно на человеческое достоинство, Лобачевский Николай Иванович упорно трудился над строгим построением геометрических основ. Результатом столь стало открытие ученым новой геометрии, совершенное на путях кардинального пересмотра понятий эпохи Евклида (ІІІ век до н. э.).

Зимой 1826 года русским математиком был осуществлен доклад о геометрических началах, переданный на отзыв нескольким именитым профессорам. Однако ожидаемой рецензии (ни положительной, ни даже отрицательной) не поступило, а рукопись ценного доклада до наших времен не дошла. Данный материал ученый включил в свой первый труд «О началах геометрии», напечатанный в 1829-1830 гг. в «Казанском вестнике». Помимо изложения важных геометрических открытий, Николай Иванович Лобачевский описал уточненное определение функции (четко разграничивая ее непрерывность и дифференцируемость), незаслуженно приписанное немецкому математику Дирихле. Также ученым были сделаны тщательные исследования тригонометрических рядов, оцененные несколько десятилетий спустя. Талантливый математик является автором метода численного решения уравнений, со временем несправедливо получившего название «метод Греффе».

Лобачевский Николай Иванович: интересные факты

Ревизора Магницкого, несколько лет наводившего страх своими действиями, ожидала незавидная участь: за множество злоупотреблений, выявленных специальной ревизионной комиссией, он был смещен с поста и выслан в ссылку. Очередным попечителем учебного заведения был назначен Михаил Николаевич Мусин-Пушкин, сумевший по достоинству оценить активную деятельность Николая Лобачевского и рекомендовавший его на должность ректора Казанского университета.

В течение 19 лет, начиная с 1827 года, Лобачевский Николай Иванович (фото памятника в Казани см. выше) усердно трудился на данном посту, добиваясь рассвета своего любимого детища. На счету Лобачевского - явное улучшение уровня научно-учебной деятельности в целом, строительство огромного числа служебных зданий (физический кабинет, библиотека, химическая лаборатория, астрономическая и магнитная обсерватория, механические мастерские). Также ректор является основателем строгого научного журнала «Ученые записки Казанского университета», заменившего «Казанский вестник» и впервые опубликованного в 1834 году. Параллельно с ректорством на протяжении 8 лет Николай Иванович руководил библиотекой, занимался преподавательской деятельностью, писал наставления учителям математики.

К заслугам Лобачевского нельзя не отнести его искреннюю сердечную заботу об университете и его учащихся. Так, в 1830 году он сумел изолировать учебную территорию и провести доскональную дезинфекцию, чтобы спасти от эпидемии холеры коллектив учебного заведения. Во время страшнейшего пожара в Казани (1842 год) сумел спасти практически все учебные здания, астрономические инструменты и библиотечные материал. Также Николай Иванович открыл широким массам свободное посещение университетской библиотеки и музеев и организовал занятия научно-популярной тематики для населения.

Благодаря неимоверным усилиям Лобачевского авторитетный, первоклассный, прекрасно оснащенный Казанский университет стал одним из лучших учебных заведений в России.

Непонимание и непринятие идей русского математика

Все это время математик не останавливался в проводимых исследованиях, направленных на развитие новой геометрии. К сожалению, его идеи - глубокие и свежие, настолько шли вразрез с общепринятыми аксиомами, что современники не сумели, а возможно, и не захотели по достоинству оценить труды Лобачевского. Непонимание и, можно сказать, в некоторой степени издевательства не остановили Николая Ивановича: в 1835 году он опубликовал «Воображаемую геометрию», а год спустя - «Применение воображаемой геометрии к некоторым интегралам». Через три года свет увидел наиболее обширный труд «Новые начала геометрии с полной теорией параллельных», в котором содержалось лаконичное, предельно ясное изъяснение его ключевых идей.

Тяжелый период в жизни математика

Не получив понимания на родной земле, Лобачевский решил обзавестись единомышленниками за ее пределами.

В 1840 году Лобачевский Николай Иванович (фото см. в обзоре) напечатал свой труд с четко изложенными основными идеями на немецком языке. Один экземпляр данного издания был вручен Гауссу, который и сам негласно занимался неевклидовой геометрией, но так и не рискнул выступить публично со своими мыслями. Ознакомившись с трудами русского коллеги, немец порекомендовал избрать русского коллегу в Геттингенское королевское общество в качестве члена-корреспондента. Хвалебно о Лобачевском Гаусс отзывался только в собственных дневниках и в кругу самых доверенных людей. Избрание Лобачевского все-таки состоялось; произошло это в 1842 году, однако положения русского ученого оно никак не улучшило: ему оставалось работать в университете еще 4 года.

Правительство Николая І не захотело оценить многолетние труды Лобачевского Николая Ивановича и в 1846 году отстранило его от работы в университете, официально назвав причину: резкое ухудшение здоровья. Формально бывшему ректору была предложена должность помощника попечителя, однако без назначения жалования. Незадолго до снятия с должности и лишения профессорской кафедры Лобачевский Николай Иванович, краткая биография которого и сегодня изучается в учебных заведениях, рекомендовал вместо себя преподавателя Казанской гимназии А. Ф. Попова, отлично защитившего докторскую диссертацию. Николай Иванович считал необходимым дать правильную дорогу в жизни молодому способному ученому и находил неуместным занимать кафедру при таких обстоятельствах. Но, утратив все сразу и оказавшись в совершенно ненужной для себя должности, Лобачевский лишился возможности не только руководить университетом, но и хоть как-то участвовать в деятельности учебного заведения.

В семейной жизни Лобачевский Николай Иванович с 1832 года был женат на Варваре Алексеевне Моисеевой. В этом браке родились 18 детей, но выжили всего лишь семеро.

Последние годы жизни

Принудительное отстранение от дела всей его жизни, непринятие новой геометрии, грубая неблагодарность современников, резкое ухудшение материального положения (по причине разорения имение супруги было продано за долги) и семейное горе (потеря в 1852 году старшего сына) разрушающим образом отразились на физическом и духовном здоровье русского математика: он заметно осунулся и стал терять зрение. Но и ослепший Николай Иванович Лобачевский не прекращал посещать экзамены, приходил на торжественные события, участвовал в ученых диспутах и продолжал трудиться на благо науке. Главный труд русского математика «Пангеометрия» был записан учениками под диктовку ослепшего Лобачевского за год до его смерти.

Лобачевский Николай Иванович, открытия в геометрии которого были оценены лишь десятки лет спустя, являлся не единственным исследователем новой области математики. Венгерский ученый Янош Бойяи, независимо от русского коллеги, вынес на суд коллег в 1832 году свое видение неевклидовой геометрии. Однако и его труды не были оценены современниками.

Жизнь выдающегося ученого, целиком посвященная русской науке и Казанскому университету, закончилась 24 февраля 1856 года. Похоронили Лобачевского, так и не признанного при жизни, в Казани, на Арском кладбище. Лишь по прошествии нескольких десятилетий обстановка в научном мире изменилась кардинально. Огромную роль в признании и принятии трудов Николая Лобачевского сыграли исследования Анри Пуанкаре, Эудженио Бельтрами, Феликса Клейна. Понимание того, что у евклидовой геометрии появилась полновесная альтернатива, существенно повлияло на научный мир и придало стимул другим смелым идеям в точных науках.

Место и дата рождения Николая Ивановича Лобачевского известны многим современникам, имеющим отношение к точным наукам. В честь Николая Ивановича Лобачевского получил название кратер на Луне. Имя великого русского ученого носит научная библиотека университета в Казани, которому он посвятил огромный кусок своей жизни. Также улицы Лобачевского имеются во многих городах России, в том числе в Москве, Казани, Липецке.

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Ухтинский государственный технический университет, г. Ухта

Жизнь Н.И. Лобачевского и его научная деятельность

“Иногда человеку воздают должное, даже если он не брал в долг.”

Николай ИвановичЛобачевскийродилсяв 1792 году в Нижнем Новгороде. У Николая Ивановича были старший и младший братья. Отец Николая - Иван Максимович Лобачевский работал чиновником в Нижнем Новгороде. Жена его - Прасковья Александровна была дочерью бедствующих мещан, больше о ней ничего неизвестно. Родители Николая поженились в молодом возрасте, обоим ещё не было восемнадцати на момент свадьбы. Вскоре после переезда отец будущего великого учёного умирает, в возрасте 40 лет, и оставляет свою семью в трудном финансовом положении. Однако, воспитывались братья Лобачевские в доме землемера Сергея Степановича Шебаршина, и не бедствовали. В 1802 году Прасковья Александровна отдаёт сыновей в Казанскую гимназию, на казённое содержание. Поначалу программа Университета мало чем отличалась от гимназийской, но ситуация изменилась к лучшему в 1808 году с приездом видных иностранных учёных Каспара Реннера, профессора математики, Мартина Бартельса, тоже профессора математики, являвшегося учителем и другом Карла Гаусса. Последний и привил Лобачевскому интерес к геометрии. Уже в 19 лет Николай Иванович получил степень магистра, и был оставлен при университете для подготовки к получению профессорского звания. В этом же году они вместе с М. Бартельсом изучают углублённо классические труды Гаусса и Лапласа: ”Теорию Чисел” и первые тома ”Небесной механики”. Изучение этих работ подтолкнуло Лобачевского к началу собственных исследований. В 1811 году он публикует ”Теорию об эллиптическом движении тел” и в 1813 - ”О разрешении алгебраического уравнения x m ? 1 = 0”. В 1814 году начинает преподавательскую деятельность.

Неевклидова Геометрия - главный труд жизни Лобачевского, научный подвиг, оказал огромное влияние на дальнейшее развитие математики и математического мышления. Первый труд, относящийся к этой теме Лобачевский опубликовал уже будучи ректором Казанского Университета, в 1826 году ”Сжатое изложение основ геометрии со строгим доказательством теорем о параллельных.”. Лобачевский был первым учёным, который представил общественности труды на эту тему. Другие учёные тоже занимались этой проблемой, но Лобачевский внёс наибольший вклад в её решение, поэтому, созданная им геометрия носит его имя. Также, среди опубликованных работ учёного: “О началах геометрии” (1829-1830), “Воображаемая геометрия “(1835), “Применение воображаемой геометрии к некоторым интегралам” (1836), “Новые начала геометрии с полной теорией параллельных” (1835-1838), “Геометрические исследования по теории параллельных линий” (1840). В основе математической дисциплины лежит система постулатов и аксиом. Геометрия Лобачевского не исключение. Лобачевский принимает все аксиомы и постулаты, предложенные геометрией Евклида и не зависящие от V постулата, а V постулат заменяет своим: ”На плоскости через точку, не лежащую на прямой можно провести более одной прямой, не пересекающей данную”.

Две граничные прямые xx" и yy" (рис. 1) не пересекают прямой R и называются параллельными ей в точке P.

· Все прямые, находящиеся внутри угла xPy пересекают прямую R. PB - перпендикуляр к прямой R.

· Угол называется углом параллельности.

· Прямые, находящиеся внутри углов xPy" и yPx" не пересекают прямую R- называются расходящимися с прямой R.

В этом состоит главное отличие геометрии Лобачевского от евклидовой геометрии. Важно также отметить, что в геометрии Лобачевского:

1) Сумма углов треугольника всегда меньше 2d (двух прямых)

2) Не существует подобных фигур.

3) Единица длины задаётся некоторым геометрическим построением, то есть само пространство своими геометрическими свойствами определяет ту или иную единицу длины.

4) Задаётся направление параллельности.

Пространство, в котором предполагается выполнение аксиомы Лобачевского называется пространством Лобачевского. Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве характеризуется при помощи конуса параллельности, являющегося аналогом понятия угла параллельности. Пусть дана плоскость Альфа и не лежащая на ней точка P (рис.2), PP" - перпендикуляр к Альфа. Pb - прямая, параллельная плоскости Альфа и P"B" - её проекция на эту плоскость. Тогда угол bPP" есть угол параллельности в точке P относительно P"B". Будем вращать прямую Pb вокруг перпендикуляра PP", и тогда Pb опишет коническую поверхность с вершиной в точке P. Эта поверхность называется конусом параллельности. Таким образом, все образующие этого конуса - параллельны плоскости альфа. Всякая прямая, проходящая через точку P внутри конуса пересекает плоскость альфа, проходящая вне конуса - расходится с альфа.

· Всякая плоскость, пересекающая конус по двум образующим пересекает Альфа.

· Всякая плоскость, проходящая по одной образующей конуса параллельна Альфа.

· Всякая плоскость, пересекающая лишь вершину конуса - называется расходящейся с плоскостью Альфа.

Впервые реализацию геометрии Лобачевского на поверхностях установил итальянский математик Бельтрами в 1868 г. (рис. 3). Он заметил, что геометрия на куске плоскости Лобачевского совпадает с геометрией на поверхностях постоянной отрицательной кривизны, простейший пример которых представляет псевдосфера. Однако здесь даётся только локальная интерпретация геометрии, то есть на ограниченном участке, а не на всей плоскости Лобачевского.

Спустя три года, в 1871 году, немецкий математик Клейн пришёл к другой, полноценной модели (рис. 4). Плоскостью в ней служит внутренность круга, прямой - хорда, исключая концы, точкой - точка внутри круга. Принадлежность между ними понимается в обычном евклидовом смысле, однако, V постулат Евклида здесь уже не выполняется, а выполняется именно аксиома Лобачевского: через точку P проходит бесконечно много прямых, не пересекающих прямую a. Также, выполняются все следствия аксиомы.

В 1882 г., была представлена ещё одна модель геометрии Лобачевского, французским математиком Пуанкаре (рис. 5). Роль плоскости Лобачевского играет открытая полуплоскость P, роль прямых выполняют содержащиеся в ней полуокружности, с центрами на ограничивающей прямой p, и лучи, перпендикулярные этой прямой. Точка “прямой” служит началом двух лучей, двух дуг полуокружностей (с исключенными концами). Ограничивающая прямая также исключена. Углом назовём фигуру из двух лучей с общим началом, не содержащихся в одной прямой. Полупрямые, перпендикулярные граничной прямой являются пределами рассмотренных полуокружностей (см. рис. б). Когда центр полуокружности удаляется по ограничивающей прямой, а полуокружность проходит через точку, то в пределе она “распрямляется” и становится также полупрямой. Поэтому в качестве прямых в этой модели рассматриваются полуокружности бесконечного радиуса. Все аксиомы евклидовой геометрии здесь выполняются, кроме аксиомы параллельных. Тем самым в этой модели выполняется геометрия Лобачевского. Можно строить аналитическую модель геометрии, представляя точки координатами и выражая расстояние формулой в координатах. Такую модель геометрии Лобачевского дал немецкий математик Риман в качестве частного случая общей определенной им геометрии, называемой теперь римановой.

Научные идеи Лобачевского не были поняты большинством современников, и после публикации первой работы по ”воображаемой геометрии” Николай Иванович подвергся жесточайшей травле на родине. Единственным прижизненным признанием его научных заслуг стало избрание в Гёттингенское королевское научное общество, благодаря рекомендациям Гаусса. Но, тем не менее, Лобачевский не сдавался, и до конца жизни верил, что торжество его идей неминуемо. В 1855 году он, потеряв зрение из-за тяжёлых переживаний и постоянного умственного напряжения, диктует свое последнее произведение ”Пангеометрия”. В следующем году он умер. Однако, после смерти Лобачевского, его идеи привлекли внимание научных кругов, и послужили могучим стимулом к пересмотру взглядов на основания геометрии. Его геометрия нашла применение в общей и специальной теории относительности, в теории чисел (в её геометрических методах). Геометрия Лобачевского имеет также и философское значение, так как расширяет наши представления об устройстве мира и пространства. На данный момент имеется немало научных сочинений, посвящённых геометрии Лобачевского как в отечественной литературе, так и в зарубежной. Изучение геометрии Лобачевского входит в обязательную часть программы математических отделений большинства наших ВУЗов и всех педагогических институтов - ознакомление с основами этой геометрической системы считается необходимой частью подготовки будущего учителя средней школы. В школьных математических кружках тоже широко культивируются занятия геометрией Лобачевского.

геометрия эллиптический лобачевский

Список использованной литературы

1) Геометрия Лобачевского [Электронный ресурс]:

http://en.wikipedia.org/wiki/Lobachevskian_geometry

2) Геометрия Лобачевского [Электронный ресурс]:

http://geom.kgsu.ru/index.php

3) Лобачевский, Николай Иванович [Электронный ресурс]:

http://en.wikipedia.org/wiki/Nikolai_Lobachevsky

4) Модель Пуанкаре [Электронный ресурс]:

http://geometrie.ru/site/lobachevskiy/m1.htm

5) Широков П. А. Краткий очерк основ геометрии Лобачевского [текст]: /П. А. Широков - 2-е издание - М.: Наука, 1983 - 80 с.

Размещено на Allbest.ru

Подобные документы

Происхождение Неевклидовой геометрии. Возникновение "геометрии Лобачевского". Аксиоматика планиметрии Лобачевского. Три модели геометрии Лобачевского. Модель Пуанкаре и Клейна. Отображение геометрии Лобачевского на псевдосфере (интерпретация Бельтрами).

реферат , добавлен 06.03.2009


Биография Н.И. Лобачевского. Деятельность Лобачевского по организации печатного университетского органа и его попытки основать при университете Научное общество. История признания геометрии Н.И. Лобачевского в России. Появление неевклидовой геометрии.

дипломная работа , добавлен 14.09.2011


История возникновения неевклидовой геометрии. Сравнение постулатов параллельности Евклида и Лобачевского. Основные понятия и модели геометрии Лобачевского. Дефект треугольника и многоугольника, абсолютная единица длины. Определение параллельной прямой.

курсовая работа , добавлен 15.03.2011


Краткая биография Н.И. Лобачевского. История открытия неевклидовой геометрии. Основные факты и непротиворечивость геометрии Лобачевского, её значение и применение в математике и физике. Путь признания идей Н.И. Лобачевского в России и за рубежом.

дипломная работа , добавлен 21.08.2011


Студенческие годы Н.И. Лобачевского. Первые годы преподавательской деятельности. Организация печатного университетского органа. История открытия неевклидовой геометрии. Признание геометрии Н.И. Лобачевского и ее применение в математике и физике.

дипломная работа , добавлен 05.03.2011


Геометрические фигуры на поверхности сферы. Основные факты сферической геометрии. Понятия геометрии Лобачевского. Поверхность постоянной отрицательной кривизны. Геометрия Лобачевского в реальном мире. Основные понятия неевклидовой геометрии Римана.

презентация , добавлен 12.04.2015


Модель Пуанкаре геометрии Лобачевского: вопрос о ее непротиворечивости. Инверсия, ее аналитическое задание. Преобразование окружности и прямой, сохранение углов при инверсии. Инвариантные прямые и окружности. Система аксиом геометрии Лобачевского.

дипломная работа , добавлен 10.09.2009


Обзор пяти групп аксиом, на которых зиждется планиметрия Лобачевского. Сущность модели Кэли-Клейна в высшей геометрии. Особенности доказательства теоремы косинусов, теорем о сумме углов треугольника, о четвертом признаке конгруэнтности треугольников.

курсовая работа , добавлен 29.06.2013


Биография русского ученого Н.И. Лобачевского. Система аксиом Гильберта. Параллельные прямые, треугольники и четырехугольники на плоскости и пространстве по Лобачевскому. Понятие о сферической геометрии. Доказательство теорем на различных моделях.

реферат , добавлен 12.11.2010


Изучение этапов развития геометрии – науки, изучающей пространственные отношения и формы, а также другие отношений и формы, сходные с пространственными по своей структуре. Геометрия Древнего Египта, Греции, средневековья. Постулаты Н.И. Лобачевского.

Н. И. Лобачевский. Его жизнь и научная деятельность Литвинова Елизавета Федоровна

Глава VII

Научная деятельность Лобачевского. – Из истории неевклидовой или воображаемой геометрии. – Участие Лобачевского в создании этой науки. – Различные, современные воззрения на будущность неевклидовой геометрии и отношение ее к евклидовой. – Параллель между Коперником и Лобачевским. – Следствия из трудов Лобачевского для теории познавания. – Работы Лобачевского по чистой математике, физике и астрономии .

Происхождение воображаемой, или неевклидовой, геометрии ведет свое начало от постулата Евклида, с которым все мы встречаемся в курсе элементарной геометрии. При занятиях геометрией в детстве нас удивляет обыкновенно не сам постулат, принятый без доказательства, а заявление учителя, что все попытки доказать его до сих пор оставались безуспешными.

Во-первых, нам представляется очевидным, что перпендикуляр и наклонная при достаточном продолжении пересекутся, а во-вторых, это кажется так легко доказать. И трудно найти человека, который бы учился геометрии и никогда не пробовал доказать постулат Евклида. Этому, можно сказать, соблазну одинаково подвержены люди талантливые и бездарные, с той только разницей, что первые скоро убеждаются в несостоятельности своих доказательств, а последние упорствуют в своем мнении. Отсюда бесчисленное множество попыток доказать упомянутый постулат.

На этом постулате, как известно, построена теория параллельных линий, на основании которой доказывается теорема Фалеса о равенстве суммы углов треугольника двум прямым углам. Если бы можно было, не прибегая к теории параллельных, доказать, что сумма углов треугольника равна двум прямым, то из этой теоремы можно было бы вывести доказательства постулата Евклида, и в таком случае вся элементарная геометрия была бы наукой строго дедуктивной.

Из истории геометрии нам известно, что один персидский математик, живший в середине XIII века, первый обратил внимание на теорему Фалеса и старался доказать ее, не пользуясь теорией параллельных. В основе этого доказательства, как и во всех последующих, легко было усмотреть безмолвное допущение того же постулата Евклида. Из бесчисленного множества последующих попыток такого рода заслуживают внимания только труды Лежандра, который почти полвека занимался этим вопросом.

Лежандр стремился доказать, что сумма углов треугольника не может быть ни более, ни менее двух прямых; из этого, конечно, следовало бы, что она должна быть равна двум прямым. В настоящее время доказательство Лежандра признано несостоятельным. Как бы то ни было, не достигнув главной своей цели, Лежандр многое сделал для изложения геометрии Евклида в смысле приспособления ее к требованиям нового времени, и элементарная геометрия в том виде, в каком проходят ее теперь, со всеми ее достоинствами и недостатками, принадлежит Лежандру.

Итальянец-иезуит Саккери в 1733 году в своих исследованиях приближался к идеям Лобачевского, то есть готов был отвергнуть постулат Евклида, но не решился этого высказать, а стремился во что бы то ни стало доказать его, и конечно, так же безуспешно.

В конце прошлого столетия в Германии гениальный Гаусс в 1792 году впервые задал себе смелый вопрос: что произойдет с геометрией, если отвергнуть постулат Евклида? Этот вопрос родился, можно сказать, вместе с Лобачевским, который ответил на него созданием своей воображаемой геометрии. Здесь представляется нам решить, возник ли этот вопрос самостоятельно в уме нашего Лобачевского, или его возбудил Бартельс, сообщив даровитому ученику мысль друга своего Гаусса, с которым до самого отъезда в Россию он поддерживал деятельные личные отношения. Некоторые современные русские математики, побуждаемые, вероятно, наилучшими чувствами, стремятся доказать, что мысль Гаусса возникла в уме Лобачевского совершенно самостоятельно. Доказать это невозможно; всем известно письмо Гаусса, относящееся к 1799 году, в котором он говорит: «Можно построить геометрию, для которой не имеет места аксиома о параллельных линиях».

Сошлемся на слова казанского профессора Васильева, доказавшего свое глубокое уважение к заслугам и памяти Лобачевского; говоря о близких отношениях Бартельса с Гауссом, он замечает:

«Нельзя считать поэтому слишком рискованным предположение, что Гаусс делился своими мыслями по вопросу о теории параллельных со своим учителем и другом Бартельсом. Мог ли, с другой стороны, Бартельс не сообщить о смелых взглядах Гаусса по одному из основных вопросов геометрии своему пытливому и талантливому казанскому ученику?» Разумеется, не мог.

Но умаляет ли все это заслуги Лобачевского? Конечно, нет.

Труды Лежандра, о которых мы упоминали, вышли в 1794 году. Они не удовлетворили, но оживили интерес к теории параллельных, и нам известно, что в первое двадцатипятилетие нашего столетия беспрестанно появлялись сочинения, относящиеся к теории параллельных. По словам профессора Васильева, многие из них и до сих пор сохранились в библиотеке Казанского университета и, как достоверно известно, были приобретены самим Лобачевским.

В 1816 году Гаусс оценил следующим образом все эти попытки: «Немного в области математики вопросов, о которых так много писалось бы, как о пробеле в началах геометрии, и все-таки мы должны признаться честно и откровенно, что в сущности мы не ушли за две тысячи лет дальше Евклида. Такое откровенное и прямое сознание более отвечает достоинству науки, чем тщетные желания скрыть пробел…»

Из всего этого мы видим, что в то время, когда Лобачевский вступал на математическое поприще, все было подготовлено к решению вопроса о теории параллельных в том смысле, в каком это было сделано Лобачевским. В 1825 году вышла теория параллельных немецкого математика Тауринуса, в которой упоминается о возможности такой геометрии, в которой постулат Евклида не имеет места. Первое сочинение Лобачевского, относящееся к этому предмету, представлено было физико-математическому факультету в Казани в 1826 году; оно вышло в свет в 1829 году, а в 1832 году появилось собрание трудов венгерских ученых, отца и сына Болиай, по неевклидовой геометрии. Нам известно, что Болиай-отец был другом Гаусса; из этого можно заключить, что ему более чем Лобачевскому были известны мысли Гаусса; между тем, право гражданства получила в Западной Европе геометрия Лобачевского. Первый труд Лобачевского, появившийся на немецком языке, заслужил, как мы сказали, одобрение Гаусса. По поводу его Гаусс писал к Шумахеру: «Вы знаете, что уже пятьдесят четыре года, как я разделяю те же взгляды. Я, собственно, не нашел в сочинении Лобачевского ни одного нового для меня факта; но изложение весьма различно от того, какое я предполагал дать этому предмету. Автор толкует о предмете как знаток, в истинно-геометрическом духе. Я считал себя обязанным обратить ваше внимание на эту книгу „Geometrische Untersuchungen zur Theorie der Parallellinien“,, чтение которой непременно принесет вам большое удовольствие». Письмо это написано в Геттингене и относится к 1846 году. Из него, однако, нельзя заключить, чтобы Гаусс не знал и раньше от Бартельса о трудах Лобачевского. Мы скажем более: невозможно допустить, чтобы Бартельс умолчал об успехах своего талантливого ученика.

Из сказанного нами очевидно, что краеугольный камень геометрии Лобачевского – это отрицание постулата Евклида, без которого геометрия около двух тысяч лет казалась немыслимой. Нам известно, как крепко всегда держались люди за наследие веков и сколько отваги требуется от человека, разрушающего вековые заблуждения. Из очерка жизни Лобачевского мы видели, как мало ценили и понимали его современники как ученого. И теперь, через сто лет после его рождения, в обыкновенных образованных людях держится глубокое предубеждение против геометрии Лобачевского, если только им известно о ее существовании. Изложить эту геометрию в популярной форме невозможно, как невозможно объяснить человеку, лишенному слуха, прелести соловьиных трелей. Для того чтобы понять значение этой отвлеченной науки, необходимо уметь отвлеченно мыслить, что дается только долгими занятиями философией и математикой. Имея это в виду, мы о созданной Лобачевским геометрии скажем только то, в чем она заключается, какое ей приписывают значение современные ученые, как и кем она разрабатывалась после Лобачевского и какое эти позднейшие труды имели отношение к трудам самого Лобачевского. Во всем этом читателю, не посвященному в тайны высшей математики, придется верить на слово авторитетам.

В юбилейных речах и брошюрах, посвященных памяти Лобачевского, русские математики употребили все усилия, чтобы разъяснить общественности характер и значение научных заслуг Лобачевского, и, так как они касались главным образом воображаемой геометрии, нам в данном случае предстоит воспользоваться этими усилиями. Но, проследив внимательно устные и печатные отзывы образованной публики, мы подметили общую неудовлетворенность и довольно определенно высказанные следующие требования: для человека, знающего только геометрию Евклида, самым существенным является вопрос, какое отношение имеет геометрия Лобачевского к этой геометрии. И об этом предмете также говорится в упомянутых речах, но все же здесь, как видно, публика требует прямые ответы на следующие вопросы: опровергает ли геометрия Лобачевского геометрию Евклида, заменяет ли ее, делая излишней, или представляет только обобщение последней? Какое она имеет отношение к четвертому измерению, которое сослужило такую службу спиритам? Следует ли Лобачевского считать, несмотря на все его достоинства, мечтателем в науке, и почему Лобачевского называют Коперником геометрии?

Мы уже говорили, что Лобачевский сначала имел в виду только улучшить изложение евклидовой геометрии, сообщить ее началам большую строгость и нисколько не думал подрывать этих начал. Попытки такого сильного ума, каким обладал Лежандр, убедили наконец истинных математиков в невозможности доказать постулат Евклида логически, то есть вывести его из свойств плоскости и прямой линии. Тогда Лобачевскому, имевшему вообще склонность к философии, пришла мысль проверить, подтверждается ли постулат Евклида опытом в пределах наибольших доступных нам расстояний.

Заметим, что в опыте он искал проверки, а не доказательства постулата.

Наибольшие доступные человеку расстояния – это те, которые дают ему астрономические наблюдения. Лобачевский убедился, что для этих расстояний результаты наблюдений совместимы с постулатом Евклида. Из этого следует, что и отсутствие логического доказательства этого постулата нисколько не подрывает истинности геометрии для доступных нам расстояний, а вместе с тем сохраняют свою истинность законы механики и физики, на ней основанные.

Но человеку свойственно задаваться мыслью: «Что там, за пределами доступных нам расстояний? Для тех, которые мы называем бесконечными, имеют ли абсолютное значение свойства нашего пространства?» Вот вопрос, который предложил себе Лобачевский.

Лобачевский построил свою геометрию логически, приняв известные нам аксиомы, относящиеся к прямой и к плоскости, и допустив как гипотезу, что сумма углов треугольника менее двух прямых. Но и при таком допущении, которое может иметь место только для пространств, размерами своими значительно превосходящих нашу солнечную систему, геометрия Лобачевского для доступных нам измерений дает те же результаты, что и геометрия Евклида. Совершенно правильно или, вернее, основательно один геометр назвал геометрию Лобачевского звездной геометрией. О бесконечных же расстояниях можно составить себе понятие, если вспомнить, что существуют звезды, от которых свет доходит до Земли тысячи лет. Итак, геометрия Лобачевского включает в себя геометрию Евклида не как частный, а как особый случай. В этом смысле первую можно назвать обобщением геометрии нам известной. Теперь возникает вопрос, принадлежит ли Лобачевскому изобретение четвертого измерения? Нисколько. Геометрия четырех и многих измерений создана была немецким математиком, учеником Гаусса, Риманном. Изучение свойств пространств в общем виде составляет теперь неевклидову геометрию, или геометрию Лобачевского. Пространство Лобачевского есть пространство трех измерений, отличающееся от нашего тем, что в нем не имеет места постулат Евклида. Свойства этого пространства в настоящее время уясняются при допущении четвертого измерения. Но этот шаг принадлежит уже последователям Лобачевского. Поэтому к неевклидовой геометрии примыкает и составляет как бы продолжение ее геометрия многих измерений, которая, придавая большую общность и отвлеченность многим вопросам геометрии, в то же время является незаменимым пособием при решении многих вопросов анализа.

Риманн в трактате «О гипотезах, лежащих в основе геометрии» высказал мысль, что геометрия Евклида не составляет необходимого следствия наших понятий о пространстве вообще, но есть результат опыта, гипотез, которые находят себе подтверждение в пределах наших наблюдений. Риманн дал общие формулы, воспользовавшись которыми и применяя которые к исследованию так называемой псевдосферической поверхности (бокального вида), итальянский математик Бельтрами нашел, что все свойства линий и фигур геометрии Лобачевского принадлежат линиям и фигурам на этой поверхности. Вот какое отношение имела геометрия многих измерений к геометрии Лобачевского.

Труды Бельтрами привели к следующим важным заключениям: 1) геометрия двух измерений Лобачевского не есть воображаемая геометрия, а имеет объективное существование и вполне реальный характер; 2) то, что в геометрии Лобачевского соответствует нашей плоскости, есть псевдосферическая (бокальная) поверхность, а то, что он называет прямой линией, – геодезическая линия (кратчайшее расстояние между двумя точками) этой поверхности.

Существование геометрии двух измерений, отличной от нашей планиметрии, легко себе представить. Вообразим себе шаровую поверхность, эллиптическую или какую-нибудь вогнутую, и представим себе на ней линии и фигуры. Выпуклые и вогнутые поверхности называются кривыми поверхностями.

Наша плоскость, прямая поверхность, не имеет кривизны, и в математике принято говорить: кривизна плоскости равна нулю. Аналогично этому наше пространство не имеет кривизны. Кривые же поверхности имеют или положительную, или отрицательную кривизну. Бокальная поверхность имеет отрицательную кривизну, а эллиптическая – положительную. Аналогично этому пространству Лобачевского приписывают отрицательную кривизну.

Пространство Лобачевского, как отличающееся существенно от нашего, нельзя себе представить, оно только мыслимо. То же относится и к пространствам четырех и многих измерений.

К исследованиям Риманна тесно примыкают труды Гельмгольца, который справедливо говорит: «В то время, как Риманн вступил в эту новую область знания, отправляясь от самых общих и основных вопросов, я сам пришел к подобным же выводам».

Риманн исходил в своих исследованиях от алгебраического общего выражения расстояния между двумя бесконечно близкими точками и отсюда вывел различные свойства пространств; Гельмгольц же, исходя от факта возможности движения фигур и тел в нашем пространстве, вывел в конце концов формулу Риманна. Обладая умом в высшей степени ясным, Гельмгольц как бы осветил нам всю глубину мыслей Риманна.

В данном же случае для нас особенно важно, что, выясняя нам происхождение геометрических аксиом, он косвенно определил, в каком отношении находится геометрия Лобачевского к нашей.

По мнению Гельмгольца, главным затруднением в чисто геометрических исследованиях служит легкость, с которой мы здесь смешиваем ежедневный опыт с логическими процессами мысли. Гельмгольц доказывает, что в геометрии Евклида многое опирается на опыт и не может быть выведено логическим путем. Замечательно, что задачи построений играют в геометрии такую существенную роль. С первого взгляда они кажутся не более как практическими действиями, на самом же деле они имеют силу положений. Чтобы сделать очевидным равенство геометрических фигур, обыкновенно их накладывают мысленно одну на другую. В возможности такого положения мы с раннего возраста убеждаемся фактически. Гельмгольц доказывает также, что особенные характеристические черты нашего пространства суть опытного происхождения.

На основании физиологических данных, относящихся к устройству наших органов чувств, Гельмгольц приходит к очень важному для нас убеждению, что все наши способности к чувственным восприятиям распространяются на Евклидово пространство трех измерений, всякое же пространство, хотя и трех измерений, но имеющее кривизну, или пространство с числом измерений более трех, мы в силу самой своей организации не в состоянии себе представить.

Итак, учение Гельмгольца, которого справедливо считают гением нашего столетия, подтверждает, со своей стороны, результаты, добытые математиками Риманном и Лобачевским. Но если мы не в состоянии никакими естественными и искусственными средствами получить это представление, то все же геометрия двух измерений, отличная от нашей, доступна нашему представлению. Гельмгольц дает нам средства вникнуть в суть геометрии псевдосферической и сферической, прибегая к чрезвычайно остроумным приемам, останавливаться на которых мы, конечно, не будем. В данном случае для нас самое главное – это наглядная параллель между происхождением опытных и логических истин.

Пользуясь выводами Гельмгольца, легко уяснить, как надобно понимать пространство более трех измерений. Гельмгольц задавался вопросом, какова была бы геометрия у существ, которые знали бы по опыту только два измерения, то есть жили бы в плоскости, вполне с ней совмещаясь. Будучи плоскими, такие существа знали бы всю планиметрию в том именно виде, в каком мы – существа трех измерений – знаем ее теперь; но те же самые гипотетические существа не имели бы ни малейшего представления о третьем измерении, и вся наша стереометрия не могла бы иметь для них ничего конкретного. Тем не менее эти плоские существа, лишенные возможности действительно построить стереометрию, могли бы, пользуясь анализом, изучить ее аналитически. В совершенно таком же положении находимся мы, существа трех измерений, по отношению к пространству четырех измерений и вообще отличному от нашего: мы не можем создать синтетическую геометрию этого пространства, но ничто не препятствует нам изучить его свойства аналитически. Лобачевский первый дал опыт изучения такого пространства, которое лежит вне нашего опыта. Для людей, не владеющих математическим анализом, не существует ни пространство Лобачевского, ни геометрия многих измерений, как не существуют видимые только в телескоп небесные светила для людей, смотрящих на небо невооруженным глазом.

После того, что мы здесь сказали, нетрудно решить вопрос, был ли Лобачевский мечтателем в науке? Дальнейшие научные исследования доказали реальность его геометрии двух измерений и показали вообще возможность аналитического изучения пространств, отличающихся от нашего евклидовского. И, можно сказать, самые сильные умы нашего времени работают в духе Лобачевского, и то, что считали мечтою современники Лобачевского, в настоящее время признается глубоким, истинно научным исследованием.

Эта работа, как говорит профессор Васильев, ведется теперь и в отчизне Лобачевского, и во всех культурных странах Европы: в Англии, Франции, Германии, Италии, в едва пробуждающейся от умственного сна Испании, среди девственных лесов Техаса.

В задачу нашу не входит изложение учения спиритов о пространстве четырех измерений; мы заметим только то, что оно стремится убедить в реальном существовании пространства четырех измерений, и потому диаметрально противоположно взглядам истинных математиков и философов, доказывающих, напротив, полную невозможность этого для нас, смертных.

Отрадно видеть, что разработка идей Лобачевского все разрастается, и не только в области одной математики; в решении заключающихся в них вопросов должны принять участие и физиология органов чувств, и та область философии, которую теперь принято называть теорией познавания. В доказательство того, как далеко распространяется влияние идей Лобачевского, приведем слова г-на Михайлова, который говорит в своей поздравительной телеграмме Казанскому университету: «Я счастлив, что еще в 1888-1889 годах мог совместить философские принципы великого русского геометра Лобачевского и учение о симметрии великого француза Луи Пастера в моих лекциях по физиологии, читанных в Санкт-Петербургском университете».

От главных научных заслуг Лобачевского перейдем к второстепенным. Он не был исключительно геометром, как, например, немецкий математик Штейнер. Современные русские математики находят большой интерес и в его работах по алгебре и анализу. Одна из таких работ служит дополнением одной мысли Гаусса.

Лобачевский, как и Риманн, был не только математиком, но и философом, и значение его работ для теории познания почти так же велико, как и для математики. Замечательно, что не только в математике, но и в философии того времени был возбужден вопрос о сущности и происхождении геометрических аксиом.

Вообще эпоха, в которой жил Лобачевский, была знаменательной в умственной деятельности. О ней с восторгом говорит Гельмгольц: «Эта эпоха была богата духовными благами, воодушевлением, энергией, идеальными надеждами, творческими мыслями». К этой эпохе относится появление «Критики чистого разума» Канта, в которой заключалось также и новое учение о пространстве. Кант, как известно, утверждал, что представление о пространстве предшествует всякому опыту и потому есть вполне субъективная форма нашего воззрения, не зависящая от опыта. Такое учение было противоположно учению Локка и французских сенсуалистов, отрицавших врожденные идеи и субъективные априорные формы воззрения. Математики, вообще говоря, не отрицали существования последних; однако нам известно следующее мнение Гаусса: «Наше знание истин геометрии лишено того полного убеждения в их необходимости (и, следовательно, абсолютной истине), которое принадлежит учению о величинах; мы должны скромно сознаться, что если число есть только продукт нашего духа, то пространство и помимо нашего духа имеет реальность, которой мы не можем a priori предписывать законы».

Из приведенного здесь мнения Гаусса видно, что он признавал существенное различие между понятиями о величинах и представлением пространства. Первые суть результаты законов нашего ума, вторые суть следствия нашего опыта или результаты физиологических свойств наших органов чувств, определяющих характер всех нашего восприятия внешнего мира. Такие же взгляды мы встречаем у Лобачевского. Их считают диаметрально противоположными воззрениям Канта. В сущности, по нашему мнению, все воззрения Канта сводятся к тому же мнению, если глубоко вникнуть в то, что он разумеет под синтетическими воззрениями a priori, и перевести на современный язык. Вся разница в языке, в способах выражения. Мы одинаково не можем предписывать законы как действительности, так и нашему чувственному восприятию этой действительности. Этим объясняем мы тот факт, что многие приверженцы Канта являются последователями Лобачевского. Своим логическим построением геометрии без постулата Евклида Лобачевский несомненно косвенно доказал, что его нельзя вывести логически, и что, следовательно, евклидова геометрия не есть дедуктивная наука и никогда, ни при каких усилиях ума не может сделаться дедуктивной, потому все эти усилия следует считать бесплодными. И Клиффорд справедливо говорит, что после Лобачевского современный геометр, для которого равно логически возможными представляются и форма пространства, изученная Евклидом, и форма пространства, изученная Лобачевским, и та, с которой связано имя Риманна, – не станет утверждать, что он знает вообще свойства пространства на недоступных нам расстояниях; и не будет думать, что он может судить о том, какие свойства имело какое бы то ни было пространство и какие оно будет иметь.

Итак, труды Лобачевского и других ученых, занимавшихся неевклидовой геометрией, как бы сказали человеку: «Та геометрия, которая для тебя действительно существует, в логическом отношении есть только частный случай абсолютной геометрии; твоя геометрия есть земная и человеческая». После такого рода открытия горизонт человека должен был расшириться так же, как увеличился он после того, как тот же человек перестал думать, что земля есть центр мира, окруженная концентрическими хрустальными сферами, и вдруг осознал себя живущим на ничтожной песчинке в необъятном океане миров. Таковы были результаты переворота в науке, сделанного Коперником. Отсюда и параллель между Коперником и Лобачевским, приведенная в первый раз Клиффордом в его «Philosophy of the pure sciences» и освещенная теперь многими самыми выдающимися учеными. «Исследования Лобачевского, – говорит профессор Васильев, – поставили философии природы вопрос не меньшей важности, – вопрос о свойствах пространства: одинаковы ли эта свойства здесь и в тех далеких мирах, откуда свет доходит до нас в сотни тысяч, в миллионы лет? Таковы ли эти свойства теперь, какими были, когда солнечная система формировалась из туманного пятна, и каковы они будут, когда мир будет приближаться к тому состоянию всюду равномерно рассеянной энергии, в котором физики видят будущее мира?»

Вот какой широкий горизонт открывают нам те научные исследования, первое основание которых положено твердой рукой нашего знаменитого соотечественника. Лобачевский же, как мы видели, был истинным сыном молодого народа, благодаря доброй воле просвещенного монарха узревший свет науки в отдаленной полудикой восточной окраине России.

Мы уже говорили, что геометрия Лобачевского нисколько не подрывает геометрию Евклида; следовательно, она не грозит и всем нашим знаниям, основанием которым служит наша геометрия, названная Лобачевским употребительной.

В подтверждение этого приведем доказательство того высокого уважения к опыту, которое имел сам творец воображаемой геометрии. Он говорит в своих «Новых началах геометрии»: «Первыми данными, без сомнения, будут всегда те понятия, которые мы приобретаем в природе посредством наших чувств. Ум может и должен приводить их к самому меньшему числу, чтобы они служили потом твердым основанием науке». В своей речи о «Важнейших предметах воспитания» Лобачевский останавливает внимание на словах Бэкона:

«Оставьте трудиться напрасно, стараясь извлечь из разума всю мудрость; спрашивайте природу, она хранит все истины и на вопросы ваши будет отвечать удовлетворительно».

По форме выражения своих философских воззрений Лобачевский принадлежал, очевидно, к последователям Локка, – не верил в существование врожденных идей и был большим врагом всякой схоластики.

Несмотря на все это, мы, как уже говорили, не можем согласиться, что открытия Лобачевского нанесли косвенный, но смертельный удар воззрениям на пространство Канта. И с точки зрения человека, утверждающего вместе с Кантом, что представления о пространстве – результат нашей организации, что оно не получается из опыта, но обусловливает опыт – геометрия Лобачевского сохраняет всю свою силу. Неевклидова геометрия служит только опровержением ложного взгляда, что нашу геометрию, то есть геометрию употребительную, можно создать одной логикой. Противники Локка и сенсуалистов признают пользу неевклидовой геометрии не только для одного анализа. К числу их принадлежит профессор Цингер; он говорит: «Исследования (Лобачевского) могут быть очень полезны и для геометрии, потому что, представляя собою обобщение геометрических отношений, могут указывать на такие зависимости и связи между предложениями геометрии, подметить которые без их помощи было бы невозможно, и, таким образом, могут открывать новые пути для исследований о действительном пространстве».

Работы Лобачевского по чистой математике не переведены на иностранные языки, но очень вероятно, будь это сделано раньше, и они были бы известны за границей. В них Лобачевский проявил те же качества ума, которые обнаружил в геометрии, вникая в самую суть предмета и определяя с большой тонкостью различие понятий. Казанский профессор Васильев, ученик известного современного математика Вейерштрасса, находит, что Лобачевский еще в тридцатых годах высказывал необходимость различать непрерывность функции от ее дифференцируемости; в семидесятых годах эта задача была блистательно выполнена Вейерштрассом и произвела переворот в современной математике. Лобачевский работал также в области теории вероятности и механики; он относился с большим интересом и к астрономии. В 1842 году он наблюдал в Пензе полное солнечное затмение, и его очень заинтересовало явление солнечной короны.

В отчете своем об этой астрономической экспедиции он излагает и критикует различные взгляды на объяснение солнечной короны. По поводу этого он излагает свой взгляд на теорию света, в котором говорит между прочим: «Истинная теория должна заключаться в одном простом, единственном начале, откуда явление берется как необходимое следствие со всем своим разнообразием». Теория волнения его не удовлетворяла, и он пытался соединить ее с теорией истечения. Итак, хотя Лобачевский не во всех математических науках с одинаковым успехом развивал свои собственные взгляды, но общий характер его деятельности был везде один и тот же: везде он стремился установить общие начала и разобщить понятия, не вполне тождественные между собою. С такой силой ума и с таким стремлением он мог бы произвести переворот и в других математических науках, если бы имел возможность отдать им столько же времени, сколько отдавал геометрии.

В одном из своих сочинений по геометрии Лобачевский высказывает мысль, что, может быть, не известные нам законы молекулярных сил будут выражены с помощью неевклидовой геометрии. Если и эта мысль великого геометра осуществится, то труд его приобретет еще большее значение. Но во всяком случае, все это пока принадлежит еще к области мечтаний. Современные нам последователи Лобачевского также подразделяются на трезвых математиков и математиков-мечтателей, увлекающихся фантазией. Самые выдающиеся из первых – Бельтрами, Софус Ли и Пуанкаре; в ряду последних же видное место занимает умерший несколько лет тому назад астроном Вальнер, утверждавший, что наше пространство имеет кривизну. Один из пламенных его последователей в Америке пошел еще дальше, стремясь объяснить многие явления природы кривизной пространства.

«Думается, – говорит профессор Васильев, – что Лобачевский не одобрил бы (таких) умозрений о свойстве нашего пространства».

И мы заключим наш очерк научных заслуг Лобачевского признанием справедливости этих слов, которые должны предохранить нас от смешивания мечтаний на почве неевклидовой геометрии с научными исследованиями этого предмета, начало которым положено нашим соотечественником Лобачевским.