Главная » Дизайн квартир » Пошерстник решение логических уравнений методом выделения переменных. Решить логическое уравнение. Решение логических уравнений

Пошерстник решение логических уравнений методом выделения переменных. Решить логическое уравнение. Решение логических уравнений

Применение уравнений широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Уравнения человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. В математике существуют определенные задачи, которые посвящены логике высказываний. Чтобы решить данного рода уравнения необходимо обладать неким багажом знаний: знания законов логики высказываний, знания таблиц истинности логических функций 1 или 2 переменных, методы преобразования логических выражений. Кроме того, необходимо знать следующие свойства логических операций: конъюнкции, дизъюнкции, инверсии, импликации и эквивалентности.

Любую логическую функцию от \ переменных - \можно задать таблицей истинности.

Решим несколько логически уравнений:

\[\rightharpoondown X1\vee X2=1 \]

\[\rightharpoondown X2\vee X3=1\]

\[\rightharpoondown X3\vee X4=1 \]

\[\rightharpoondown X9\vee X10=1\]

Начнем решение с \[Х1\] и определим какие значения данная переменная может принимать: 0 и 1. Далее рассмотрим каждое их вышеприведенных значений и посмотрим, какое может быть при этом \[Х2.\]

Как видно из таблицы наше логическое уравнение имеет 11 решений.

Где можно решить логическое уравнение онлайн?

Решить уравнение вы можете на нашем сайте https://сайт. Бесплатный онлайн решатель позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать - это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей групе Вконтакте http://vk.com/pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда рады помочь вам.

Пусть – логическая функция от n переменных. Логическое уравнение имеет вид:

Константа С имеет значение 1 или 0.

Логическое уравнение может иметь от 0 до различных решений. Если С равно 1, то решениями являются все те наборы переменных из таблицы истинности, на которых функция F принимает значение истина (1). Оставшиеся наборы являются решениями уравнения при C, равном нулю. Можно всегда рассматривать только уравнения вида:

Действительно, пусть задано уравнение:

В этом случае можно перейти к эквивалентному уравнению:

Рассмотрим систему из k логических уравнений:

Решением системы является набор переменных, на котором выполняются все уравнения системы. В терминах логических функций для получения решения системы логических уравнений следует найти набор, на котором истинна логическая функция Ф, представляющая конъюнкцию исходных функций :

Если число переменных невелико, например, менее 5, то нетрудно построить таблицу истинности для функции , что позволяет сказать, сколько решений имеет система и каковы наборы, дающие решения.

В некоторых задачах ЕГЭ по нахождению решений системы логических уравнений число переменных доходит до значения 10. Тогда построить таблицу истинности становится практически неразрешимой задачей. Для решения задачи требуется другой подход. Для произвольной системы уравнений не существует общего способа, отличного от перебора, позволяющего решать такие задачи.

В предлагаемых на экзамене задачах решение обычно основано на учете специфики системы уравнений. Повторяю, кроме перебора всех вариантов набора переменных, общего способа решения задачи нет. Решение нужно строить исходя из специфики системы. Часто полезно провести предварительное упрощение системы уравнений, используя известные законы логики. Другой полезный прием решения этой задачи состоит в следующем. Нам интересны не все наборы, а только те, на которых функция имеет значение 1. Вместо построения полной таблицы истинности будем строить ее аналог - бинарное дерево решений. Каждая ветвь этого дерева соответствует одному решению и задает набор, на котором функция имеет значение 1. Число ветвей в дереве решений совпадает с числом решений системы уравнений.

Что такое бинарное дерево решений и как оно строится, поясню на примерах нескольких задач.

Задача 18

Сколько существует различных наборов значений логических переменных x1, x2, x3, x4, x5, y1, y2, y3, y4, y5, которые удовлетворяют системе из двух уравнений?

Ответ: Система имеет 36 различных решений.

Решение: Система уравнений включает два уравнения. Найдем число решений для первого уравнения, зависящего от 5 переменных – . Первое уравнение можно в свою очередь рассматривать как систему из 5 уравнений. Как было показано, система уравнений фактически представляет конъюнкцию логических функций. Справедливо и обратное утверждение, - конъюнкцию условий можно рассматривать как систему уравнений.

Построим дерево решений для импликации () - первого члена конъюнкции, который можно рассматривать как первое уравнение. Вот как выглядит графическое изображение этого дерева

Дерево состоит из двух уровней по числу переменных уравнения. Первый уровень описывает первую переменную . Две ветви этого уровня отражают возможные значения этой переменной – 1 и 0. На втором уровне ветви дерева отражают только те возможные значения переменной , для которых уравнение принимает значение истина. Поскольку уравнение задает импликацию, то ветвь, на которой имеет значение 1, требует, чтобы на этой ветви имело значение 1. Ветвь, на которой имеет значение 0, порождает две ветви со значениями , равными 0 и 1. Построенное дерево задает три решения, на которых импликация принимает значение 1. На каждой ветви выписан соответствующий набор значений переменных, дающий решение уравнения.

Вот эти наборы: {(1, 1), (0, 1), (0, 0)}

Продолжим построение дерева решений, добавляя следующее уравнение, следующую импликацию . Специфика нашей системы уравнений в том, что каждое новое уравнение системы использует одну переменную из предыдущего уравнения, добавляя одну новую переменную. Поскольку переменная уже имеет значения на дереве, то на всех ветвях, где переменная имеет значение 1, переменная также будет иметь значение 1. Для таких ветвей построение дерева продолжается на следующий уровень, но новые ветви не появляются. Единственная ветвь, где переменная имеет значение 0, даст разветвление на две ветви, где переменная получит значения 0 и 1. Таким образом, каждое добавление нового уравнения, учитывая его специфику, добавляет одно решение. Исходное первое уравнение:

имеет 6 решений. Вот как выглядит полное дерево решений для этого уравнения:

Второе уравнение нашей системы аналогично первому:

Разница лишь в том, что в уравнении используются переменные Y. Это уравнение также имеет 6 решений. Поскольку каждое решение для переменных может быть скомбинировано с каждым решением для переменных , то общее число решений равно 36.

Заметьте, построенное дерево решений дает не только число решений (по числу ветвей), но и сами решения, выписанные на каждой ветви дерева.

Задача 19

Сколько существует различных наборов значений логических переменных x1, x2, x3, x4, x5, y1, y2, y3, y4, y5, которые удовлетворяют всем перечисленным ниже условиям?

Эта задача является модификацией предыдущей задачи. Разница в том, что добавляется еще одно уравнение, связывающее переменные X и Y.

Из уравнения следует, что когда имеет значение 1(одно такое решение существует), то и имеет значение 1. Таким образом, существует один набор, на котором и имеют значения 1. При , равном 0, может иметь любое значение, как 0, так и 1. Поэтому каждому набору с , равном 0, а таких наборов 5, соответствует все 6 наборов с переменными Y. Следовательно, общее число решений равно 31.

Задача 20

Решение: Вспоминания основные эквивалентности, запишем наше уравнение в виде:

Циклическая цепочка импликаций означает тождественность переменных, так что наше уравнение эквивалентно уравнению:

Это уравнение имеет два решения, когда все равны либо 1, либо 0.

Задача 21

Сколько решений имеет уравнение:

Решение: Так же, как и в задаче 20, от циклических импликаций перейдем к тождествам, переписав уравнение в виде:

Построим дерево решений для этого уравнения:

Задача 22

Сколько решений имеет следующая система уравнений?

Данной материал содержит презентацию, в которой представлены методы решения логических уравнений и систем логических уравнений в задании В15 (№ 23, 2015) ЕГЭ по информатике. Известно, что это задание является одним из самых сложных среди заданий ЕГЭ. Презентация может быть полезна при проведении уроков по теме "Логика" в профильных классах, а также при подготовке к сдаче ЕГЭ.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Решение задания В15 (системы логических уравнений) Вишневская М.П., МАОУ «Гимназия №3» 18 ноября 2013 г., г. Саратов

Задание В15 - одно из самых сложных в ЕГЭ по информатике!!! Проверяются умения: преобразовывать выражения, содержащие логические переменные; описывать на естественном языке множество значений логических переменных, при которых заданный набор логических переменных истинен; подсчитывать число двоичных наборов, удовлетворяющих заданным условиям. Самое сложное, т.к. нет формальных правил, как это сделать, требуется догадка.

Без чего не обойтись!

Условные обозначения конъюнкция: A /\ B , A  B , AB , А &B, A and B дизъюнкция: A \ / B , A + B , A | B , А or B отрицание:  A , А, not A эквиваленция: A  В, A  B, A  B исключающее «или»: A  B , A xor B

Метод замены переменных Сколько существует различных наборов значений логических переменных х1, х2, …, х9, х10, которые удовлетворяют всем перечисленным ниже условиям: ((x1 ≡ x2) \/ (x3 ≡ x4)) /\ (¬(x1 ≡ x2) \/ ¬(x3 ≡ x4)) = 1 ((x3 ≡ x4) \/ (x5 ≡ x6)) /\ (¬(x3 ≡ x4) \/ ¬(x5 ≡ x6)) = 1 ((x5 ≡ x6) \/ (x7 ≡ x8)) /\ (¬(x5 ≡ x7) \/ ¬(x7 ≡ x8)) = 1 ((x7 ≡ x8) \/ (x9 ≡ x10)) /\ (¬(x7 ≡ x8) \/ ¬(x9 ≡ x10)) = 1 В ответе не нужно перечислять все различные наборы х1, х2, …, х9, х10, при которых выполняется данная система равенств. В качестве ответа необходимо указать количество таких наборов (демо-версия 2012 г.)

Решение Шаг 1. Упрощаем, выполнив замену переменных t1 = x1  x2 t2 = x3  x4 t3 = x5  x6 t4 = x7  x8 t5 = x9  x10 После упрощения: (t1 \/ t2) /\ (¬t1 \/ ¬ t2) =1 (t2 \/ t3) /\ (¬t2 \/ ¬ t3) =1 (t3 \/ t4) /\ (¬t3 \/ ¬ t4) =1 (t4 \/ t5) /\ (¬t4 \/ ¬ t5) =1 Рассмотрим одно из уравнений: (t1 \/ t2) /\ (¬t1 \/ ¬ t2) =1 Очевидно, оно =1 только если одна из переменных равна 0, а другая – 1. Воспользуемся формулой для выражения операции XOR через конъюнкцию и дизъюнкцию: (t1 \/ t2) /\ (¬t1 \/ ¬ t2) = t1  t2 = ¬(t1 ≡ t2) =1 ¬(t1 ≡ t2) =1 ¬(t2 ≡ t3) =1 ¬(t3 ≡ t4) =1 ¬(t4 ≡ t5) =1

Шаг2. Анализ системы ¬(t1 ≡ t2) =1 ¬(t2 ≡ t3) =1 ¬(t3 ≡ t4) =1 ¬(t4 ≡ t5) =1 t1 t2 t3 t4 t5 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 Т.к. tk = x2k-1 ≡ x2k (t1 = x1  x2 ,….), то каждому значению tk соответствует две пары значений x2k-1 и x2k , например: tk =0 соответствуют две пары - (0,1) и (1,0) , а tk =1 – пары (0,0) и (1,1).

Шаг3. Подсчет числа решений. Каждое t имеет 2 решения, количество t – 5. Т.о. для переменных t существует 2 5 = 32 решения. Но каждому t соответствует пара решений х, т.е. исходная система имеет 2*32 = 64 решения. Ответ: 64

Метод исключения части решений Сколько существует различных наборов значений логических переменных х1, х2, …, х5, y1,y2,… , y5 , которые удовлетворяют всем перечисленным ниже условиям: (x1→ x2)∧(x2→ x3)∧(x3→ x4)∧(x4→ x5) =1; (y1→ y2)∧(y2→ y3)∧(y3→ y4) ∧(y4→ y5) =1; y5→ x5 =1. В ответе не нужно перечислять все различные наборы х1, х2, …, х5, y 1 ,y2,… , y5, при которых выполняется данная система равенств. В качестве ответа необходимо указать количество таких наборов.

Решение. Шаг1. Последовательное решение уравнений х1 1 0 х2 1 0 1 х3 1 0 1 1 х4 1 0 1 1 1 х5 1 0 1 1 1 1 Первое уравнение – конъюнкция нескольких операций импликации, равна 1, т.е. каждая из импликаций истинна. Импликация ложна только в одном случае, когда 1  0, во всех других случаях (0  0, 0  1, 1  1) операция возвращает 1. Запишем это в виде таблицы:

Шаг1. Последовательное решение уравнений Т.о. получено 6 наборов решений для х1,х2,х3,х4,х5: (00000), (00001), (00011), (00111), (01111), (11111). Рассуждая аналогично, приходим к выводу, что для y1, y2, y3, y4, y5 существует такой же набор решений. Т.к. уравнения эти независимы, т.е. в них нет общих переменных, то решением этой системы уравнений (без учета третьего уравнения) будет 6*6= 36 пар «иксов» и «игреков». Рассмотрим третье уравнение: y5→ x5 =1 Решением являются пары: 0 0 0 1 1 1 Не является решением пара: 1 0

Сопоставим полученные решения Там, где y5 =1, не подходят x5=0. таких пар 5. Количество решений системы: 36-5= 31 . Ответ: 31 Понадобилась комбинаторика!!!

Метод динамического программирования Сколько различных решений имеет логическое уравнение x 1 → x 2 → x 3 → x 4 → x 5 → x 6 = 1, где x 1, x 2, …, x 6 – логические переменные? В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений переменных, при которых выполнено данное равенство. В качестве ответа нужно указать количеств о таких наборов.

Решение Шаг1. Анализ условия Слева в уравнении последовательно записаны операции импликации, приоритет одинаков. Перепишем: ((((X 1 → X 2) → X 3) → X 4) → X 5) → X 6 = 1 NB! Каждая следующая переменная зависит не от предыдущей, а от результата предыдущей импликации!

Шаг2. Выявление закономерности Рассмотрим первую импликацию, X 1 → X 2. Таблица истинности: X 1 X 2 X 1 → X 2 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 Из одного 0 получили 2 единицы, а из 1 получили один 0 и одну 1. Всего один 0 и три 1, это результат первой операции.

Шаг2. Выявление закономерности Подключив к результату первой операции x 3 , получим: F(x 1 ,x 2) x 3 F(x 1 ,x 2)  x 3 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 Из двух 0 – две 1, из каждой 1 (их 3) по одному 0 и 1 (3+3)

Шаг 3. Вывод формулы Т.о. можно составить формулы для вычисления количества нулей N i и количества единиц E i для уравнения с i переменными: ,

Шаг 4. Заполнение таблицы Заполним слева направо таблицу для i = 6, вычисляя число нулей и единиц по приведенным выше формулам; в таблице показано, как строится следующий столбец по предыдущему: : число переменных 1 2 3 4 5 6 Число нулей N i 1 1 3 5 11 21 Число единиц E i 1 2*1+1= 3 2*1+3= 5 11 21 43 Ответ: 43

Метод с использованием упрощений логических выражений Сколько различных решений имеет уравнение ((J → K) → (M  N  L))  ((M  N  L) → (¬ J  K))  (M → J) = 1 где J , K, L, M, N – логические переменные? В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений J , K, L, M и N, при которых выполнено данное равенство. В качестве ответа Вам нужно указать количество таких наборов.

Решение Заметим, что J → K = ¬ J  K Введем замену переменных: J → K=А, M  N  L =В Перепишем уравнение с учетом замены: (A → B)  (B → A)  (M → J)=1 4. (A  B)  (M → J)= 1 5. Очевидно, что A  B при одинаковых значениях А и В 6. Рассмотрим последнюю импликацию M → J =1 Это возможно, если: M=J=0 M=0, J=1 M=J=1

Решение Т.к. A  B , то При M=J=0 получаем 1 + К=0. Нет решений. При M=0, J=1 получаем 0 + К=0, К=0, а N и L - любые, 4 решения: ¬ J  K = M  N  L K N L 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1

Решение 10. При M=J=1 получаем 0+К=1 *N * L , или K=N*L, 4 решения: 11. Итого имеет 4+4=8 решений Ответ: 8 K N L 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1

Источники информации: О.Б. Богомолова, Д.Ю. Усенков. В15: новые задачи и новое решение // Информатика, № 6, 2012, с. 35 – 39. К.Ю. Поляков. Логические уравнения // Информатика, № 14, 2011, с. 30-35. http://ege-go.ru/zadania/grb/b15/ , [ Электронный ресурс ] . http://kpolyakov.narod.ru/school/ege.htm , [ Электронный ресурс ] .

J ∧ ¬K ∧ L ∧ ¬M ∧ (N ∨ ¬N) = 0, где J, K, L, M, N — логические переменные?

Пояснение.

Выражение (N ∨ ¬N) истинно при любом N, поэтому

J ∧ ¬K ∧ L ∧ ¬M = 0.

Применим отрицание к обеим частям логического уравнения и используем закон де Моргана ¬ (А ∧ В) = ¬ А ∨ ¬ В. Получим ¬J ∨ K ∨ ¬L ∨ M = 1.

Логическая сумма равна 1, если хотя бы одно из составляющих ее высказываний равно 1. Поэтому полученному уравнению удовлетворяют любые комбинации логических переменных кроме случая, когда все входящие в уравнение величины равны 0. Каждая из 4 переменных может быть равна либо 1, либо 0, поэтому всевозможных комбинаций 2·2·2·2 = 16. Следовательно, уравнение имеет 16 −1 = 15 решений.

Осталось заметить, что найденные 15 решений соответствуют любому из двух возможных значений значений логической переменной N, поэтому исходное уравнение имеет 30 решений.

Ответ: 30

Сколько различных решений имеет уравнение

((J → K) → (M ∧ N ∧ L)) ∧ ((J ∧ ¬K) → ¬ (M ∧ N ∧ L)) ∧ (M → J) = 1

где J, K, L, M, N – логические переменные?

В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений J, K, L, M и N, при которых выполнено данное равенство. В качестве ответа нужно указать количество таких наборов.

Пояснение.

Используем формулы A → B = ¬A ∨ B и ¬(А ∨ В) = ¬А ∧ ¬В

Рассмотрим первую подформулу:

(J → K) → (M ∧ N ∧ L) = ¬(¬J ∨ K) ∨ (M ∧ N ∧ L) = (J ∧ ¬K) ∨ (M ∧ N ∧ L)

Рассмотрим вторую подформулу

(J ∧ ¬K) → ¬(M ∧ N ∧ L) = ¬(J ∧ ¬K) ∨ ¬(M ∧ N ∧ L) = (¬J ∨ K) ∨ ¬M ∨ ¬N ∨ ¬L

Рассмотрим третью подформулу

1) M → J = 1 следовательно,

(J ∧ ¬K) ∨ (M ∧ N ∧ L) = (1 ∧ ¬K) ∨ (1 ∧ N ∧ L) = ¬K ∨ N ∧ L;

(0 ∨ K) ∨ 0 ∨ ¬N ∨ ¬L = K ∨ ¬N ∨ ¬L;

Объединим:

¬K ∨ N ∧ L ∧ K ∨ ¬N ∨ ¬L = 0 ∨ L ∨ 0 ∨ ¬L = L ∨ ¬L = 1 следовательно, 4 решения.

(J ∧ ¬K) ∨ (M ∧ N ∧ L) = (1 ∧ ¬K) ∨ (0 ∧ N ∧ L) = ¬K;

(¬J ∨ K) ∨ ¬M ∨ ¬N ∨ ¬L = (0 ∨ K) ∨ 1 ∨ ¬N ∨ ¬L = K ∨ 1 ∨ ¬N ∨ ¬L

Объединим:

K ∨ 1 ∨ ¬N ∨ ¬L ∧ ¬K = 1 ∨ ¬N ∨ ¬L следовательно, 4 решения.

в) M = 0 J = 0.

(J ∧ ¬K) ∨ (M ∧ N ∧ L) = (0 ∧ ¬K) ∨ (0 ∧ N ∧ L) = 0.

(¬J ∨ K) ∨ ¬M ∨ ¬N ∨ ¬L = (1 ∨ K) ∨ 1 ∨ ¬N ∨ ¬L.

Ответ: 4 + 4 = 8.

Ответ: 8

Сколько различных решений имеет уравнение

((K ∨ L) → (L ∧ M ∧ N)) = 0

где K, L, M, N – логические переменные? В Ответе не нужно перечислять все различные наборы значений K, L, M и N, при которых выполнено данное равенство. В качестве Ответа Вам нужно указать количество таких наборов.

Пояснение.

перепишем уравнение, используя более простые обозначения операций:

((K + L) → (L · M · N)) = 0

1) из таблицы истинности операции «импликация» (см. первую задачу) следует, что это равенство верно тогда и только тогда, когда одновременно

K + L = 1 и L · M · N = 0

2) из первого уравнения следует, что хотя бы одна из переменных, K или L, равна 1 (или обе вместе); поэтому рассмотрим три случая

3) если K = 1 и L = 0, то второе равенство выполняется при любых М и N; поскольку существует 4 комбинации двух логических переменных (00, 01, 10 и 11), имеем 4 разных решения

4) если K = 1 и L = 1, то второе равенство выполняется при М · N = 0; существует 3 таких комбинации (00, 01 и 10), имеем еще 3 решения

5) если K = 0, то обязательно L = 1 (из первого уравнения); при этом второе равенство выполняется при М · N = 0; существует 3 таких комбинации (00, 01 и 10), имеем еще 3 решения

6) всего получаем 4 + 3 + 3 = 10 решений.

Ответ: 10

Сколько различных решений имеет уравнение

(K ∧ L) ∨ (M ∧ N) = 1

Пояснение.

Выражение истинно в трех случаях, когда (K ∧ L) и (M ∧ N) равны соответственно 01, 11, 10.

1) "01" K ∧ L = 0; M ∧ N = 1, => M, N равны 1, а K и L любые, кроме как одновременно 1. Следовательно 3 решения.

2) "11" K ∧ L = 1; M ∧ N = 1. => 1 решение.

3) "10" K ∧ L = 1; M ∧ N = 0. => 3 решения.

Ответ: 7.

Ответ: 7

Сколько различных решений имеет уравнение

(X ∧ Y ∨ Z) → (Z ∨ P) = 0

где X, Y, Z, P – логические переменные? В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений, при которых выполнено данное равенство. В качестве ответа вам нужно указать только количество таких наборов.

Пояснение.

(X ∧ Y ∨ Z) → (Z ∨ P) = 0 =>

¬(X ∧ Y ∨ Z) ∨ (Z ∨ P) = 0;

(¬X ∨ ¬Y ∧ ¬Z) ∨ (Z ∨ P) = 0;

Логическое ИЛИ ложно только в одном случае: когда оба выражения ложны.

Следовательно,

(Z ∨ P) = 0 => Z = 0, P = 0.

¬X ∨ ¬Y ∧ ¬Z = 0 => ¬X ∨ ¬Y ∧ 1 = 0 =>

¬X ∨ ¬Y = 0 => X = 1; Y = 1.

Следовательно, существует только одно решение уравнения.

Ответ: 1

Сколько различных решений имеет уравнение

(K ∨ L) ∧ (M ∨ N) = 1

где K, L, M, N – логические переменные? В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений K, L, M и N, при которых выполнено данное равенство. В качестве ответа вам нужно указать только количество таких наборов.

Пояснение.

Логическое И истинно только в одном случае: когда все выражения истинны.

K ∨ L = 1, M ∨ N = 1.

Каждое из уравнений дает по 3 решения.

Рассмотрим уравнение А ∧ В = 1 если и А и В принимают истинные значения в трех случаях каждое, то в целом уравнение имеет 9 решений.

Следовательно ответ 9.

Ответ: 9

Сколько различных решений имеет уравнение

((A → B)∧ C) ∨ (D ∧ ¬D)= 1,

где A, B, C, D – логические переменные?

В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений A, B, C, D, при которых выполнено данное равенство. В качестве ответа вам нужно указать количество таких наборов.

Пояснение.

Логическое "ИЛИ" истинно, когда истинно хотя бы одно из утверждений.

(D ∧ ¬D)= 0 при любых D.

Следовательно,

(A → B)∧ C) = 1 => C = 1; A → B = 1 => ¬ A ∨ B = 1, что дает нам 3 варианта решений при каждом D.

(D ∧ ¬ D)= 0 при любых D, что дает нам два варианта решений (при D = 1, D = 0).

Следовательно: всего решений 2*3 = 6.

Итого 6 решений.

Ответ: 6

Сколько различных решений имеет уравнение

(¬K ∨ ¬L ∨ ¬M) ∧ (L ∨ ¬M ∨ ¬N) = 0

Пояснение.

Применим отрицание к обеим частям уравнения:

(K ∧ L ∧ M) ∨ (¬L ∧ M ∧ N) = 1

Логическое ИЛИ истинно в трех случаях.

Вариант 1.

K ∧ L ∧ M = 1, тогда K, L, M = 1, а ¬L ∧ M ∧ N = 0. N любое, то есть 2 решения.

Вариант 2.

¬L ∧ M ∧ N = 1, тогда N, M = 1; L = 0, K любое, то есть 2 решения.

Следовательно, ответ 4.

Ответ: 4

A, B и С — целые числа, для которых истинно высказывание

¬ (А = B) ∧ ((A > B)→(B > C)) ∧ ((B > A)→(С > B)).

Чему равно В, если A = 45 и C = 43?

Пояснение.

1) ¬(А = B); (A > B)→(B > C); (B > A)→(С > B);

2) эти простые высказывания связаны операцией ∧ (И, конъюнкция), то есть, они должны выполняться одновременно;

3) из ¬(А = B)=1 сразу следует, что А B;

4) предположим, что A > B, тогда из второго условия получаем 1→(B > C)=1; это выражение может быть истинно тогда и только тогда, когда B > C = 1;

5) поэтому имеем A > B > C, этому условию соответствует только число 44;

6) на всякий случай проверим и вариант A 0 →(B > C)=1;

это выражение истинно при любом B; теперь смотрим третье условие получаем

это выражение может быть истинно тогда и только тогда, когда C > B, и тут мы получили противоречие, потому что нет такого числа B, для которого C > B > A.

Ответ: 44.

Ответ: 44

Составьте таблицу истинности для логической функции

X = (А ↔ B) ∨ ¬(A → (B ∨ C))

в которой столбец значений аргумента А представляет собой двоичную запись числа 27, столбец значений аргумента В — числа 77, столбец значений аргумента С — числа 120. Число в столбце записывается сверху вниз от старшего разряда к младшему(включая нулевой набор). Переведите полученную двоичную запись значений функции X в десятичную систему счисления.

Пояснение.

Запишем уравнение, используя более простые обозначения операций:

1) это выражение с тремя переменными, поэтому в таблице истинности будет строчек; следовательно, двоичная запись чисел, по которым строятся столбцы таблицы А, В и С, должна состоять из 8 цифр

2) переведем числа 27, 77 и 120 в двоичную систему, сразу дополняя запись до 8 знаков нулями в начале чисел

3) вряд ли вы сможете сразу написать значения функции Х для каждой комбинации, поэтому удобно добавить в таблицу дополнительные столбцы для расчета промежуточных результатов (см. таблицу ниже)

X 0

А	В	С
0	0
0	1	1
0	0	1
1	0	1
1	1	1
0	1	0
1	0	0
1	1	0

4) заполняем столбцы таблицы:

А	В	С					X
0	0	0	1	0	1	0	1
0	1	1	0	1	1	0	0
0	0	1	1	1	1	0	1
1	0	1	0	1	1	0	0
1	1	1	1	1	1	0	1
0	1	0	0	1	1	0	0
1	0	0	0	0	0	1	1
1	1	0	1	1	1	0	1

значение равно 1 только в тех строчках, где А = В

значение равно 1 в тех строчках, где либо В либо С = 1

значение равно 0 только в тех строчках, где А = 1 и В + С = 0

значение — это инверсия предыдущего столбца (0 заменяется на 1, а 1 – на 0)

результат Х (последний столбец) — это логическая сумма двух столбцов и

5) чтобы получить ответ, выписываем биты из столбца Х сверху вниз:

6) переводим это число в десятичную систему:

Ответ: 171

Каково наибольшее целое число X, при котором истинно высказывание (10 (X+1)·(X+2))?

Пояснение.

Уравнение является операцией импликации между двумя отношениями:

1) Конечно, здесь можно применить тот же способ, что и в примере 2208, однако при этом понадобится решать квадратные уравнения (не хочется…);

2) Заметим, что по условию нас интересуют только целые числа, поэтому можно попытаться как─то преобразовать исходное выражение, получив равносильное высказывание (точные значения корней нас совершенно не интересуют!);

3) Рассмотрим неравенство : очевидно, что может быть как положительным, так и отрицательным числом;

4) Легко проверить, что в области высказывание истинно при всех целых , а в области — при всех целых (чтобы не запутаться, удобнее использовать нестрогие неравенства, и , вместо и );

5) Поэтому для целых можно заменить на равносильное выражение

6) область истинности выражения — объединение двух бесконечных интервалов;

7) Теперь рассмотрим второе неравенство : очевидно, что так же может быть как положительным, так и отрицательным числом;

8) В области высказывание истинно при всех целых , а в области — при всех целых , поэтому для целых можно заменить на равносильное выражение

9) область истинности выражения — закрытый интервал;

10) Заданное выражение истинно везде, кроме областей, где и ;

11) Обратите внимание, что значение уже не подходит, потому что там и , то есть импликация дает 0;

12) При подставлении 2, (10 (2+1) · (2+2)), или 0 → 0 что удовлетворяет условию.

Таким образом, ответ 2.

Ответ: 2

Каково наибольшее целое число X, при котором истинно высказывание

(50 (X+1)·(X+1))?

Пояснение.

Применим преобразование импликации и преобразуем выражение:

(50 (X+1)·(X+1)) ⇔ ¬(X 2 > 50) ∨ ((X+1) 2) ∨ (|X+1|).

Логическое ИЛИ истинно когда истинно хотя бы одно логическое высказывание. Решив оба неравенства и учитывая, что видим, что наибольшее целое число, при котором выполняется хотя бы одно из них - 7 (на рисунке жёлтым изображено положительное решение второго неравенства, синим - первого).

Ответ: 7

Укажите значения переменных К, L, M, N, при которых логическое выражение

(¬(М ∨ L) ∧ К) → (¬К ∧ ¬М ∨ N)

ложно. Ответ запишите в виде строки из 4 символов: значений переменных К, L, М и N (в указанном порядке). Так, например, строка 1101 соответствует тому, что К=1, L=1, M=0, N=1.

Пояснение.

Дублирует задание 3584.

Ответ: 1000

(¬K ∨ M) → (¬L ∨ M ∨ N)

Пояснение.

Применим преобразование импликации:

(K ∧ ¬M) ∨ (¬L ∨ M ∨ N) = 0

Применим отрицание к обоим частям уравнения:

(¬K ∨ M) ∧ L ∧ ¬M ∧ ¬N = 1

Преобразуем:

(¬K ∧ L ∨ M ∧ L) ∧ ¬M ∧ ¬N = 1

Следовательно, M = 0, N = 0, рассмотрим теперь (¬K ∧ L ∨ M ∧ L):

из того, что M = 0, N = 0 следует, что M ∧ L = 0, тогда ¬K ∧ L = 1, то есть K = 0, L = 1.

Ответ: 0100

Укажите значения переменных K, L, M, N, при которых логическое выражение

(¬(M ∨ L) ∧ K) → ((¬K ∧ ¬M) ∨ N)

ложно. Ответ запишите в виде строки из четырех символов: значений переменных K, L, M и N (в указанном порядке). Так, например, строка 1101 соответствует тому, что K=1, L=1, M=0, N=1.

Пояснение.

Запишем уравнение, используя более простые обозначения операций (условие «выражение ложно» означает, что оно равно логическому нулю):

1) из формулировки условия следует, что выражение должно быть ложно только для одного набора переменных

2) из таблицы истинности операции «импликация» следует, что это выражение ложно тогда и только тогда, когда одновременно

3) первое равенство (логическое произведение равно 1) выполняется тогда и только тогда, когда и ; отсюда следует (логическая сумма равна нулю), что может быть только при ; таким образом, три переменных мы уже определили

4) из второго условия, , при и получаем .

Дублирует задание

Ответ: 1000

Укажите значения логических переменных Р, Q, S, Т, при которых логическое выражение

(Р ∨ ¬Q) ∨ (Q → (S ∨ Т)) ложно.

Ответ запишите в виде строки из четырех символов: значений переменных Р, Q, S, T (в указанном порядке).

Пояснение.

(1) (Р ∨ ¬Q) = 0

(2) (Q → (S ∨ Т)) = 0

(1) (Р ∨ ¬Q) = 0 => P = 0, Q = 1.

(2) (Q → (S ∨ Т)) = 0 Применим преобразование импликации:

¬Q ∨ S ∨ Т = 0 => S = 0, T = 0.

Ответ: 0100

Укажите значения переменных K, L, M, N, при которых логическое выражение

(K → M) ∨ (L ∧ K) ∨ ¬N

Пояснение.

Логическое "ИЛИ" ложно тогда и только тогда, когда ложны оба утверждения.

(K → M) = 0, (L ∧ K) ∨ ¬N = 0.

Применим преобразование импликации для первого выражения:

¬K ∨ M = 0 => K = 1, M = 0.

Рассмотрим второе выражение:

(L ∧ K) ∨ ¬N = 0 (см. результат первого выражения) => L ∨ ¬N = 0 => L = 0, N = 1.

Ответ: 1001.

Ответ: 1001

Укажите значения переменных K, L, M, N, при которых логическое выражение

(K → M) ∧ (K → ¬M) ∧ (¬K → (M ∧ ¬L ∧ N))

истинно. Ответ запишите в виде строки из четырех символов: значений переменных K, L, M и N (в указанном порядке). Так, например, строка 1101 соответствует тому, что K=1, L=1, M=0, N=1.

Пояснение.

Логическое "И" истинно тогда и только тогда, когда истинны оба утверждения.

1) (K → M) = 1 Применим преобразование импликации: ¬K ∨ M = 1

2) (K → ¬M) = 1 Применим преобразование импликации: ¬K ∨ ¬M = 1

Отсюда следует, что K = 0.

3) (¬K → (M ∧ ¬L ∧ N)) = 1 Применим преобразование импликации: K ∨ (M ∧ ¬L ∧ N) = 1 из того что K = 0 получаем:

M ∧ ¬L ∧ N = 1 => M = 1, L = 0, N = 1.

Ответ: 0011

Известно, что для целых чисел X, Y и Z истинно высказывание

(Z Чему равно Z, если X=25 и Y=48?

Пояснение.

Выполнив подстановку чисел получаем что Z = 47.