Система уравнений с двумя переменными. Уравнения первой степени. Способы решения. Организационный момент: цели и задачи урока. Решение методом подстановки

Специфика содержания и структура предмета требует широкого применения методов, которые способствуют активизации мышления учащихся, развитию их познавательных способностей и самостоятельности, умения применять полученные знания в различных условиях.

Актуальность работы основана на развитии и повышении интереса учащихся к изучаемому предмету, создает наиболее благоприятные условия для развития познавательных сил учащихся. На сегодняшний день, чтобы вовлечь учащихся в учебу. Необходимы все новые и новые формы урока, где за основу берется познавательный интерес учащихся, а учитель является лишь сотворцом, который приблизит этот интерес к формированию познавательной активности.

Применение компьютерных технологий позволяет значительно снизить трудоемкость обучения и сэкономить время, как учителю, так и школьникам, существенно повышается эффективность обучения и качество формирующих знаний и умений.

Такая форма проведения занятий существенно повышает мотивацию учения, эффективность и продуктивность учебной деятельности, обеспечивает работу всего класса, позволяет учащимся раскрыть свои способности, «раскрепостить» их мышление.

Использование проектора играет не главную роль, но делает урок современным, позволяет экономить время учителя и при подготовке урока и во время проведения.

Как говорят сейчас- улучшает качество жизни, а значит и качество образования.

Дети хотят быть современными и сопричастными к новейшим технологиям

Скачать:

Предварительный просмотр:

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Предварительный просмотр:

Тема урока: «Решение систем уравнений второй степени»

Комарова Наталья Алексеевна, учитель математики

Тип урока: урок закрепления полученных знаний

Цели урока:

Обучающие:

1. обобщить и систематизировать способы решения систем уравнений второй степени;
2. организация поисковой деятельности учащихся при решении систем уравнений второй степени;
3. решать задачи, по данной теме, которые наиболее часто встречаются на «малом ЕГЭ»

развивающие:

1. использование для достижения поставленной задачи уже полученные знания;
2. умение обосновывать свои рассуждения;
3. устранение пробелов в знаниях учащихся;

воспитательные:

1. выработка желания и потребности обобщать полученные факты;

воспитание настойчивости и терпения при выполнении заданий.

Оборудование и материалы : 1) презентация «Решение систем уравнений второй степени»; 2) мультимедийная доска;

3) бланки с тестами самостоятельной работой.

Ход урока

(c использованием презентации )

Слайд 1 .

1. Организационный момент.

Учитель: Тема нашего урока « Решение систем уравнений второй степени ».

Сообщить цели урока

2. Проверка знания алгоритмов.

Учитель начинает с вопросов: 1. Что называется решением системы?

2. Что значит решить систему?

Учитель прослушивает ответы и комментирует совпадающие, активизируя совпадающие на слайде2 .

3. Какие способы решения систем уравнений

Нам известны?

Опросить алгоритмы: 1. Способ подстановки Слайд №3 .

2. Способ сложения Слайд № 4.

3. Графический способ Слайд №5.

Учитель задает вопросы: Графический способ обычно

Позволяет находить решения системы

Точно или приближенно?

3. Устная работа

Учитель: Очень часто на ЕГЭ задания формулируется следующим образом:

« Используя графики уравнений укажите число решений системы уравнений».

- «А от чего будет зависеть число решений системы уравнений?»

- «А всегда ли графики пересекаются? Если нет, то что?»

Устная работа по слайдам

Перейдем к решению систем. На доске идет показ слайдов с заданиями.

Идет устная работа с классом. Для того, чтобы наш урок прошел интересно, наглядно, учащиеся класса по иллюстрациям будут объяснять материал, используя чертежи.

Задание № 1: Слайд№6.

Задание № 2: Слайд№7.

Задание № 3: Слайд№8.

4. Тест

Учитель: На партах у вас раздаточный материал (тесты с заданиями).

Детям предлагается выполнить тест по вариантам.

После чего проверяем с помощью слайда правильность выполнения теста. Слайд№9.

5. Закрепление алгоритмов при решении систем уравнений.

На доске двое учеников решают две системы. Одну способом подстановки, а другую способом сложения. №309(б)

6. Самостоятельная работа.

Детям предлагается решить систему уравнений удобным им способом

После сбора заданий проводит самопроверку.

После того как будут сданы работы, проверяем по слайдам правильность выполнения работы. Способа подстановки - Слайд№10.

Способа сложения - Слайд№11.

Графического способа сложения Слайд№12.

7. Итог урока.

Запись д.з. №303(б), 309(а), 302(б), Учитель подводит итоги урока, благодарит помощников, анализирует уровень усвоения теоретического материала.

Спросить, а какой способ больше нравится?

Видеоурок «Некоторые приёмы решения систем уравнений второй степени с двумя переменными» создан как наглядное пособие для ведения уроков алгебры по данной теме. В материале содержится объяснение на примерах, каким образом применяются различные способы решения систем уравнений с двумя переменными.

Структурированный материал, четкое изображение, понятное объяснение голосовым сопровождением дают возможность представить данную тему в удобной форме, понятно для всех учеников. Для большей эффективности подачи материала используются анимационные эффекты, выделение цветом. Благодаря данным инструментам видеоурок может заменить объяснение учителя, освободить время учителя на уроке для улучшения качества индивидуальной работы.

В начале урока представляется его тема, а затем предлагается рассмотреть решение системы уравнений х 2 -4у 2 -х+2у=0 и х 2 -ху+у=0. Решение начинается с разложения уравнения на линейные множители. После применения формулы сокращенного умножения и вынесения общих множителей левая часть первого уравнения преобразуется в произведение (х-2у)(х+2у-1). Из него следует разбиение на два уравнения х-2у=0 и х+2у-1=0. Такое разбиение позволяет представить данную систему в виде совокупности уравнений, в которой каждое из этих уравнений составляет систему со вторым уравнением исходной системы. Очевидно, систему уравнений х-2у=0 и х 2 -ху+у=6 можно решить методом подстановки. Для этого из первого уравнения выражается х=2у, который подставляется во второе равнение. Второе уравнение преобразуется в квадратное уравнение с одной переменной. Решив квадратное уравнение, получаем результаты у 1 =-2 и у 2 =1,5. После подстановки их в выражение для вычисления х находим значения х 1 =-4 и х 2 =3. Таким же образом методом подстановки решается вторая система уравнений. После подстановки значения х из х+2у=0 во второе уравнение получаем квадратное уравнение с одной переменной. Решения данного уравнения у 1 =(2+√34)/6 и у 2 =(2-√34)/6. После подстановки значений у в выражение для вычисления х, получаем значения х 1 =(1-√34)/3 и х 2 =(1+√34)/3. Соответственно, после сделанных вычислений получаем четыре пары значений, которые являются корнями данной системы уравнений.

В решении следующей системы уравнений 3х 2 +4у=ху и х 2 -у=4ху предлагается использовать способ сложения. После сложения левых и правых частей обоих уравнений образуется суммарное уравнение 7х2=17ху. Данное уравнение после преобразования преобразуется в произведение х(7х-17у)=0, которое в свою очередь развивается на два уравнения х=0 и 7х-17у=0. Каждое из этих уравнений со вторым уравнением исходной системы образует новую систему. Решением первой системы будет пара значений х 1 =0, у 1 =0. При решении второй системы х выражается из первого уравнения через у. Выражение для х подставляется во второе уравнение. Из него определяется у, значение которого у 2 =0 и у 3 =-49/187. Соответствующие им х 2 =0 и х 3 =-119/187. Следовательно, решениями системы будут две пары значений: (0;0) и (-119/187;-49/187).

Следующей предлагается решить систему уравнений 2х 2 +3ху+у2=0 и х 2 -4ху-2у-6=0. Чтобы определить решения системы, можно разделить обе части первого уравнения на у2, учитывая, что у≠0. После деления полученное равносильное уравнение 2(х/у) 2 +3(х/у)+1=0. Очевидно, если ввести новую переменную t=х/у, то получим обычное квадратное уравнение 2t 2 +3t+1=0. Решив данное уравнение, получим корни t 1 =-1 и t 2 =-0,5. Соответственно, получаем два уравнения х/у=-1 и х/у=-0,5. Иначе данные уравнения можно представить х=-у и х=-0,5у. Вместе с уравнением х 2 -4ху-2у-6=0 каждое из этих уравнений составляет новую систему, а вместе совокупность равносильных систем. После подстановки значения х из второго уравнения в первое, а затем вычисления корней уравнения, получаем из двух систем четыре пары значений, которые являются решениями системы: (-1-√31)/5; 1+√31)/5), (-1+√31)/5; 1-√31)/5), (-1-√15)/4,5; 2+√60)/4,5), (√15-1)/4,5; 2-√60)/4,5).

Последний рассмотренный пример описывает решение симметрических систем. Предлагается решить систему уравнений х 2 +3ху+у2=9 и ху+х+у=3. Обращается внимание учеников на то, что уравнения данной системы содержат выражения х+у, ху, х 2 +у 2 . Еще одна особенность данной системы, что в ней можно произвести замену х на у и наоборот, при этом вид системы не изменится. Таким системы называются симметрическими. Данное понятие выделено на экране для запоминания. Отмечается, что такие системы лучше всего решать введением новой переменной. Для этого вводят новую переменную u= х+у и переменную v=ху. В результате такой замены получили систему уравнений u 2 -2v+3v=9 и v+u=3. После сокращения подобных слагаемых получаем первое уравнение в виде u2+v=9. Используя метод подстановки, получаем решение системы с новыми переменными: u 1 =-2, v 1 =5 и u 2 =3, v 3 =0. Используя данные пары решений, получаются две новые системы, которые необходимо решить. Первая система из уравнений х+у=-2 и ху=5, вторая система из уравнений х+у=3 и ху=0. После вычисления определяется, что решениями данных систем будут пары значений х 1 =3, у 1 =0 и х 2 =0, у 2 =3.

Видеоурок «Некоторые приёмы решения систем уравнений второй степени с двумя переменными» может быть полезен учителю на уроке в школе и при подаче материала в ходе дистанционного обучения. Также понятное наглядное объяснение может помочь ученику в самостоятельном изучении материала.

Урок закрепление.Решение систем уравнений второй степени.

Бакашева Малика Вахитовна, 17.12.2017

789 37

Содержимое разработки

Вариант 1.
Часть 1.

Укажите систему уравнений, которая имеет два решения.

3. Решите систему уравнений, используя метод подстановки:

а) (3;2),(2;3); б) (-2;7), (-3;8) в) (3;2)

4.Решите систему уравнений, используя метод сложения: х 2 - 2у = 3,
5х 2 + у = 4.

а) (1;- 1); б) (-1; -1); в) (-1;-1);(1;-1).

Часть 2.

1. Изобразите схематически графики уравнений у = и у = (х - 1) 2 +1.

2. Пусть (х 0 ;у 0) – решение системы уравнений. Найдите значение выражения (х 0 +у 0) 2 .

а) 25/36; б) 25; в)13.

Вариант 2.
Часть 1.

1. На рисунке изображена парабола и три прямые.

Укажите систему уравнений, которая имеет одно решение.

3. Реши систему уравнений, используя метод подстановки:

а) (2;1),(-5;8); б) (5;-2); в) (5;-2),(-2;5)

4. Реши систему уравнений, используя метод сложения: 8х+3у 2 = -21,
4х+5у 2 = 7.
а) (1; -3); б) (1;-3),(-1;-3); в) (-1;-3)

Часть 2.

1. Изобразите схематически графики уравнении у = и у = х 2 + 1.

С помощью графиков определите, сколько решений имеет система уравнений:

а) одно; б) два; в) не имеет решений.

2. Пусть (х 0 ;у 0) – решение системы уравнений. Найдите значение выражения 2х 0 +у 0 .

а) 10; б) 12; в)1.

Содержимое разработки

Алгебра 9 класс 16.01.2017г

Уч.математики:Бакашева М.В.

Тема: "Решение систем уравнений второй степени"

Цели урока:

Обучающие:

Обобщить знания и закрепить умения учащихся решать системы уравнений второй степени различными способами.

Создать условия для отработки навыков самостоятельной работы, работы в группах, при выполнении заданий.

Развивающие:

Развивать творческую и мыслительную деятельность учащихся, их интеллектуальные качества: способность к «видению» проблемы, формировать умения чётко и ясно излагать свои мысли; развивать навыки самопроверки, самоконтроля, развивать умение применять теоретические знания на практике.

Воспитательные:

Воспитывать умение работать с имеющейся информацией, умение слушать товарищей, содействовать воспитанию интереса к математике, активности, мобильности, общей культуре.

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний.

Оборудование: компьютер, проектор, тестовые знания.

Ход урока

Организационный момент.

- Здравствуйте, ребята и гости. Посмотрите в окошко – какая сегодня солнечная погода. Сегодня на уроке я вам желаю солнечного и ясного настроения.

Для того, чтобы наш урок прошёл успешно, я предлагаю разделиться на 3 группы. В каждой группе один человек будет консультантом. (Деление на 3 группы). А чтобы оценить работу каждого я вам раздам оценочные лисы. Каждый в оценочном листе будет ставить баллы за правильный ответ или решённую задачу.

Проверка домашнего задания

Сейчас мы проверим домашнее задание. У вас были даны задания двух уровней. Поднимите руку те, кто делал уровень А. (Проверка на слайде)

Поднимите руку те кто делал уровень Б. (Проверка по слайду)

Постановка темы и целей урока.

1.Фронтальный опрос.

1.Что называется решением уравнения с двумя переменными?

2. Что называется графиком уравнения с двумя переменными?

3. Что называется системой уравнений второй степени? (система составленная из уравнений второй степени или из одного уравнения первой степени и одного уравнения второй степени)?

2. Что называется решением системы уравнений второй степени? (Решением системы уравнений является пара чисел, обращающая оба уравнения в верные числовые равенства)

3. Что значит решить систему уравнений второй степени? (найти все его решения или доказать, что решений нет)

4. Какие системы уравнений называются равносильными?

(Те которые имеют одинаковые решения или те, которые решений не имеют)

5. Какие основные способы решения систем уравнений вы знаете, в чем их преимущества и недостатки?

6. Какие методы решений систем уравнений аналитическим способом вы знаете?

7. Изложите основные алгоритмы решения систем уравнений с двумя переменными.

8. Подберитенаиболее подходящий метод для решения следующих систем уравнений:

2. Формулировка темы и целей урока.

- Исходя из выполненных заданий давайте сформулируем тему урока.

- А теперь поставим цели нашего урока (решение систем уравнений всеми способами)

Мы сегодня с вами обобщим и закрепим знания по теме, выполним задания по теме, проверим свои знания в ходе выполнения тестовых заданий.

На слайде указана тема урока.

А теперь каждая группа получит задание.

IV . Работа по теме урока.

1.Задания группам:

Консультанты за каждое верно выполненное задание дают по 1 баллу.

Проверим решение систем по слайдам.

Вы поработали в группах, а теперь каждый из вас поработает самостоятельно, выполнив тестовое задание.

Тесты по вариантам. (3 варианта)

3 . Тест.(самопроверка слайды). Выставление баллов в оценочный лист.

4.Подведение итогов урока.(слайд)
4-5 баллов - «3»

6-8 баллов - «4»

10 баллов - «5»

V . Рефлексия

Чем понравился вам урок?

Что вы можете взять для себя из этого урока?

Что вам показалось сложного на уроке?

На столе лежат ромбики разных цветов (оранжевые и серые). Каждый подойдёт и возьмёт тот, который соответствует вашему настроению в конце урока.

VI .Домашнее задание и его инструктаж .

Домашнее задание:

Спасибо за урок!

1.Что называется системой уравнений второй степени? 2. Что называется решением системы уравнений второй степени? 3. Что значит решить систему уравнений второй степени? 4. Какие системы уравнений называются равносильными? 5. Какие основные способы решения систем уравнений вы знаете? 6.Какие методы решений систем уравнений аналитическим способом вы знаете? 7.Изложите основные алгоритмы решения систем уравнений с двумя переменными.

8.Подберите наиболее подходящий метод для решения следующих систем уравнений:

1) 2) 3 ) 4 )

Системы уравнений

Аналитический способ

Графический способ

Метод сложения

Метод подстановки

Графический способ (алгоритм )

• Выразить у через х в каждом уравнении
• Построить в одной системе координат график каждого уравнения
• Определить координаты точки пересечения
• Записать ответ: х=…; у=… , или (х; у)

• Из какого-либо уравнения выразить одну переменную через другую
• Подставить полученное выражение для переменной в другое уравнение и решить его
• Сделать подстановку найденного значения переменной и вычислить значение второй переменной
• Записать ответ: х =…; у =… .

• Уравнять модули коэффициентов при какой-нибудь переменной
• Сложить почленно уравнения системы
• Составить новую систему: одно уравнение новое, другое - одно из старых
• Решить новое уравнение и найти значение одной переменной
• Подставить значение найденной переменной в старое уравнение и найти значение другой переменной
• Записать ответ: х=…; у=… .

Задания по группам

• Решить систему уравнений графическим способом
• Решить систему уравнений методом подстановки

3. Решить систему уравнений способом сложения

х 2 - 2у 2 =14,

Решение системы графическим способом

Выразим у

Построим график

первого уравнения

Построим график

второго уравнения

Найдем координаты точек пересечения графиков функций

Ответ: (2; 4);(-1;1)

Решение системы уравнений способом подстановки

Выразим х через у

уравнение

Подставим

у=0 или 1-у=0

Подставим

Подставим

Ответ: (2;0);(3;1).

Уравняем

Решение системы уравнений способом сложения

уравнение

х 2 - 2у 2 =14,

Сложим уравне-

ния почленно

х 2 - 2у 2 =14,

х 2 +2у 2 =18;

уравнение

х 2 - 2у 2 =14;

Ответ: ( 4 ; 1); (4; -1); (-4; 1); (-4; -1).

х 2 - 2у 2 =14 ;

Подставим

• 1 задание – 1 балл
• 2 задание – 1 балл
• 3 задание – 1 балл
• 4 задание – 1 балл
• 5 задание – 1 балл
• 6 задание – 1 балл
• 7 задание – 2 балла

Ответы: Вариант1.

Часть 1.

Часть 2.

Ответы: Вариант2.

Часть 1.

Часть 2.

Ответы: Вариант3.

Часть 1.

Часть 2.

Ответы: Вариант4.

Часть 1.

Часть 2.

• 4-5 баллов - «3»
• 6-8 баллов - «4»
• 10 баллов - «5»

Домашнее задание

В папке «Математика» итоговый тест по теме «Уравнения и системы уравнений»

Уравнение может содержать не одну, а две переменных. Понятно, что такие уравнения называются уравнениями с двумя переменными .

Система уравнений - это два и более уравнений, которыми можно манипулировать для нахождения общих решений. Система из двух уравнений вкючает в себя две переменных, значения которых являются общими для обоих уравнений. С помощью одного уравнения системы решается другое, а в итоге решаются оба уравнения системы.

Способы решения системы уравнений первой степени.

1. Решение методом подстановки.

Суть в том, что в системе уравнений выбираете наиболее простое, в котором одну переменную выражаете через другую. Результат подставляете во второе уравнение, благодаря чему преобразуете его в более простое уравнение с одной переменной. Вычисляете это уравнение и получаете значение одной из переменных. Подставляете его в первое уравнение и получаете значение второй переменной. Так вы решаете всю систему уравнений.

Пример : Решим систему уравнений

│x + y = 1

│2x - y = 2

Решение :

Первое уравнение системы проще второго - его и используем.
Выразим в нем x через у :

x = 1 - y

Подставляем это значение x в наше второе уравнение и находим значение y :

2(1 - y ) - y = 2

2 - 2y - y = 2

2 - 3y = 2

3y = 2 - 2

3y = 0

y = 0.

Мы получили значение y . Подставляем его в наше первое уравнение и находим теперь уже значение x :

x + 0 = 1

x = 1

Мы нашли значения обеих переменных.

Ответ :

│x = 1

│y = 0

2. Решение методом сложения.

Этот метод целесообразно применять, если при сложении одно из неизвестных пропадает.

Пример 1 : Решим систему уравнений

│x + y = 5

│x - y = 1

Решение .

Сложим (вычтем) почленно оба уравнения системы:

│(x + y ) + (x - y ) = 5 + 1

│(x + y ) - (x - y ) = 5 - 1

Раскрываем скобки в обоих уравнениях и сводим подобные члены. В результате в первом уравнении пропадает у , во втором х . Мы получаем уравнения с одной переменной, которые проще решать:

│ x + y + x - y = 6

│ x + y - x + y = 4

│2 x = 6

│2y = 4

│ x = 6: 2

│y = 4: 2

│ x = 3

│y = 2

Пример решен.

Необязательно производить взаимное сложение и вычитание двух уравнений системы. Часто достаточно бывает произвести одно из двух действий, чтобы вычислить значение одной из двух переменных. А зная одну переменную, уже легко найти и вторую.

Пример 2 . Решить систему уравнений

│2х + 4у = 26
│8х + 4у = 44

В обоих уравнениях есть число 4у . Значит, мы можем применить метод сложения. При этом произвести не взаимное сложение, а совершить лишь одно действие: вычесть из первого уравнения второе, чтобы 4у исчезло и чтобы в результате мы получили уравнение с одной переменной:

2х + 4у - 8х - 4у = 26 - 44.

6х = -18

х = -18: (-6)

х = 3

Теперь можем найти и значение у , подставив значение х в любое из двух уравнений системы:

2 · 3 + 4у = 26

6 + 4у = 26

4у = 20

у = 20: 4

у = 5

Ответ : х = 3, у = 5.

Однако рассмотрим еще один пример.

Пример 3 : Решим систему уравнений

│3х + 5у = 21

│8х - 3у = 7

Здесь нет переменных с одинаковыми коэффициентами, чтобы при вычитании они исчезли. Что делать в этом случае? Для таких случаев придумано оригинальное решение: умножим почленно первое уравнение на 3, а второе на 5. От этого истина не пострадает, потому что мы просто получим равносильные уравнения. Зато благодаря этому приему у нас появятся одинаковые переменные 15у :

│(3х + 5у = 21) · 3

│(8х - 3у = 7) · 5

↓

│3 · 3х + 3 · 5у = 3 · 21

│5 · 8х - 5 · 3у = 5 · 7

↓

│9х + 15у = 63

│40х - 15у = 35

Итак, у нас появились одинаковые переменные и можем сложить два уравнения, чтобы прийти к уравнению с одной переменной:

9х + 15у + 40х - 15у = 63 + 35

49х = 98

х = 2

Осталось найти значение второй переменной - подставив значение х , например, в первое уравнение системы:

3 · 2 + 5у = 21

6 + 5у = 21

5у = 21 - 6

5у = 15

у = 3.

Ответ : х = 2; у = 3.

Опять же не всегда нужно преобразовывать оба уравнения системы так, как было в предыдущем примере. Бывает и так, что достаточно изменить лишь одно из уравнений.

Пример 4 . Решим систему уравнений:

│3х - 4у = 7
│х + 3у = 11

Здесь достаточно второе уравнение умножить на -3. Тогда мы получим число -3х , а при сложении двух уравнений придем к уравнению с одной переменной.
Итак, умножаем второе уравнение на -3:

(х + 3у = 11) · (-3),

3х - 9у = -33.

Теперь складываем два уравнения, приходим к уравнению с одной переменной у и решаем его:

3х - 4у -3х - 9у = 7 - 33,

13у = -26,

у = 2.

И находим значение х . Это проще сделать во втором уравнении:

х + 3 · 2 = 11,

х + 6 = 11,

х = 5.

Ответ : х = 5; у = 2.

3. Решение методом введения новой переменной.

Пример . Решить систему уравнений

│ 2 3
│———— + ———— = 2
│ х - 3у 2х + у
│
│ 8 9
│———— - ———— = 1
│ х - 3у 2х + у

Перед нами система сложных уравнений, осложненных дробными числами. Наша задача - упростить их, чтобы потом решить. Если применить какой-нибудь из первых двух методов, получатся еще более сложные уравнения. Зато хорошо подходит метод введения новой переменной, благодаря которому мы целую дробь можем заменить одной переменной. Как это сделать?

Обратите внимание: у первых чисел обоих уравнений одинаковые знаменатели х - 3у , при этом их числители делятся на 2. У вторых чисел тоже одинаковые знаменатели 2х + у , а их числители делятся на 3. Этим и воспользуемся.

1) Выпишем снова нашу систему уравнений, разложив на множители числители второго уравнения и вынеся их за дробь:

│ 2 3
│———— + ———— = 2
│ х - 3у 2х + у
│
│ 2 3
│4 · ———— - 3 · ———— = 1
│ х - 3у 2х + у

Теперь в обоих уравнениях у нас абсолютно одинаковые первые дроби и абсолютно одинаковые вторые дроби.

2) Заменим эти дроби новыми переменными a и b следующим образом:

2 3
———— = а , ———— = b .
х - 3у 2х + у

Так мы существенно упрощаем уравнения, которые обретают совсем иной вид:

│ а + b = 2
│4а - 3b = 1

3) Применяем уже известный нам метод подстановки.

Первое уравнение проще, поэтому сначала выражаем в нем а через b :

а = 2 - b .

Подставляем полученное значение а во второе уравнение, раскрываем скобки, приводим подобные члены и вычисляем численное значение b :

4 · (2 - b ) - 3b = 1,

8 - 4b - 3b = 1,

8 - 7b = 1,

7b = 8 - 1,

7b = 7,

b = 1.

Раз нам известно численное значение b , то мы легко можем найти и численное значение а . Это проще сделать с помощью первого уравнения:

а + b = 2,

а + 1 = 2,

а = 2 - 1,

а = 1.

Итак:

а = 1, b = 1.

Вписываем в дроби эти значения а и b :

│ 2
│———— = 1
│ х - 3у
│
│ 3
│———— = 1
│ 2х + у

4) Преобразуем эти уравнения по известному вам правилу: неизвестные влево, известные вправо:

│ х - 3у = 2: 1
│2х + у = 3: 1
↓

│ х - 3у = 2
│2х + у = 3

5) Решаем эту систему уравнений снова с помощью метода подстановки. Для этого в первом уравнении х выражаем через у :

х = 2 + 3у .

Подставляем во второе уравнение и находим у :

2 · (2 + 3у ) + у = 3

4 + 6у + у = 3

7у = 3 - 4

7у = -1

у = -1/7

И с помощью первого уравнения находим х :

х - 3у = 2

х - 3 · (-1/7) = 2

х + 3/17 = 2

х = 2 - 3/7

х = 11/7.

Мы нашли значения х и у в нашей исходной системе уравнений - а значит, решили ее.

Ответ : х = 11/7, у = -1/7

ПРИМЕЧАНИЕ.

Как видно из этого примера, нередки случаи, когда при решении системы уравнений надо последовательно применить сразу несколько методов.

Система уравнений второй степени – это система уравнений, в которой есть хотя бы одно уравнение второй степени.

Систему из двух уравнений, в которой одно уравнение второй степени, а второе уравнение первой степени, решают следующим образом:

│x 2 – 3xy – 2y 2 = 2

│x + 2y = 1

Решение :

Следуем правилу:

1) Второе уравнение является уравнением первой степени. В ней выражаем переменную x через y :

x = 1 – 2y

2) в первом уравнении вместо x подставляем полученное выражение 1 – 2y :

(1 – 2y ) 2 – 3(1 – 2y )y – 2y 2 = 2.

Раскрываем скобки и упрощаем:

8y 2 – 7y + 1 = 2.

Приравниваем уравнение к нулю и решаем получившееся квадратное уравнение:

8y 2 – 7y + 1 – 2 = 0

8y 2 – 7y – 1 = 0.

3) Решив квадратное уравнение, найдем его корни:

y 1 = – 0,125

y 2 = 1.

4) Осталось найти значения x . Для этого в одно из двух уравнений системы просто подставляем значение y . Второе уравнение проще, поэтому выберем его.
Итак, подставляем значения y в уравнение x + 2y = 1 и получаем:
1) х + 2(-0,125) = 1
х – 0,25 = 1
х = 1 + 0,25
х 1 = 1,25.

2) х + 2 · 1 = 1
х + 2 =1
х = 1 – 2
х 2 = –1.

Ответ :

x 1 = 1,25, y 1 = – 0,125
x 2 = –1, y 2 = 1.

Способы решения системы уравнений с двумя уравнениями второй степени.

1. Замена системы уравнений равносильной совокупностью двух систем.

Пример : Решим систему уравнений

│x 2 – 9y 2 – x + 3y = 0
│x 2 – xy + y = 7

Здесь нет уравнений первой степени, поэтому решать их вроде бы сложнее. Но в первом уравнении многочлен можно разложить на линейные множители и применить метод группировки:

x 2 – 9y 2 – x + 3y = (x – 3y )(x + 3y ) – (x – 3y ) = (x – 3y ) (x + 3y ) – 1(x – 3y ) = (x – 3y ) (x + 3y – 1).

(Пояснение-напоминание: x – 3y встречается в выражении дважды и является общим множителем в многочлене (x – 3 y )(x + 3y ) – 1(x – 3 y ). По правилу группировки, мы умножили его на сумму вторых множителей и получили равносильное уравнение).

В результате наша система уравнений обретает иной вид:

│(x – 3y )(x + 3y – 1) = 0
│x 2 – xy + y = 7

Первое уравнение равно нулю только в том случае, если x – 3y = 0 или x + 3y – 1 = 0.

Значит, нашу систему уравнений мы можем записать в виде двух систем следующего вида:

│x – 3y = 0
│x 2 – xy + y = 7

│x + 3y – 1 = 0
│x 2 – xy + y = 7

Мы получили две системы, где первые уравнения являются уравнениями первой степени. Мы уже можем легко решить их. Понятно, что решив их и объединив затем множество решений этих двух систем, мы получим множество решений исходной системы. Говоря иначе, данная система равносильна совокупности двух систем уравнений .

Итак, решаем эти две системы уравнений. Очевидно, что здесь мы применим метод подстановки, подробно изложенный в предыдущем разделе.

Обратимся сначала к первой системе.
В уравнении первой степени выразим х через у :

х = 3у .

Подставим это значение во второе уравнение и преобразим его в квадратное уравнение:

(3у ) 2 – 3у · у + у = 7,

9у 2 – 3у 2 + у = 7,

6у 2 + у = 7,

6у 2 + у – 7 = 0

Как решается квадратное – см.раздел «Квадратное уравнение». Здесь мы сразу напишем ответ:

7
у 1 = 1, у 2 = – --.
6

Теперь подставим полученные значения у в первое уравнение первой системы и решим его:

1) х – 3 · 1 = 0,

х 1 = 3.

7
2) х – 3 · (– --) = 0,
6

7
х + -- = 0,
2

7
х 2 = – --
2

Итак, у нас есть первые ответы:

х 1 = 3, у 1 = 1;

7 7
х 2 = – --, у 2 = – --.
2 6

Переходим ко второй системе. Не будем производить вычисления – их порядок точно такой же, что и в случае с уравнениями первой системы. Поэтому сразу напишем результаты вычислений:

х 3 = –2, у 3 = 1.

х 4 = –2,5, у 4 = – 0,5.

Таким образом, исходная система уравнений решена.

Ответ :

1 1
(–3 - ; –1 -), (3; 1), (2,5; –0,5), (–2; 1).
2 6

2. Решение способом сложения.

Пример 2 : Решим систему уравнений

│2x 2 + 3y = xy
│x 2 – y = 3xy

Решение .

Второе уравнение умножим на 3:

3x 2 – 3y = 9xy

Зачем мы умножили уравнение на 3? Благодаря этому мы получили равносильное уравнение с числом -3y , которое встречается и в первом уравнении, но с противоположным знаком. Это поможет нам буквально при следующем шаге получить упрощенное уравнение (они будут взаимно сокращены).

Сложим почленно левые и правые части первого уравнения системы и нашего нового уравнения:

2x 2 + 3y + 3x 2 – 3y = xy + 9xy

Сводим подобные члены и получаем уравнение следующего вида:

5x 2 = 10xy

Упростим уравнение еще, для этого сокращаем обе части уравнения на 5 и получаем:

x 2 = 2xy

Приравняем уравнение к нулю:

x 2 – 2xy = 0

Это уравнение можно представить в виде x (x – 2y ) = 0.

Здесь мы получаем ситуацию, с которой уже сталкивались в предыдущем примере: уравнение верно только в том случае, если x = 0 или x – 2y = 0.

Значит, исходную систему опять-таки можно заменить равносильной ей совокупностью двух систем:

│x = 0
│x 2 – y = 3xy

│x = 2y
│x 2 – y = 3xy

Обратите внимание: во второй системе уравнение x – 2y = 0 мы преобразовали в x = 2y .

Итак, в первой системе мы уже знаем значение x . Это ноль. То есть x 1 = 0. Легко вычислить и значение y : это тоже ноль. Таким образом, первая система имеет единственное решение: (0; 0).

Решив вторую систему, мы увидим, что она имеет два решения: (0; 0) и (–1; –0,5).

Таким образом, исходная система имеет следующие решения: (0; 0) и (–1; –0,5).

Пример решен.

3. Решение методом подстановки.

Этот метод был применен в начале раздела. Здесь мы выделяем его в качестве одного из способов решения. Приведем еще один пример.

Пример . Решить систему уравнений

│х + у = 9
│у 2 + х = 29

Решение .

Первое уравнение проще, поэтому выразим в нем х через у :

Теперь произведем подстановку. Подставим это значение х во второе уравнение, получим квадратное уравнение и решим его:

у 2 + 9 – у = 29
у 2 – у – 20 = 0

D = b 2 – 4ас = 1 – 4 · 1 · (–20) = 81

–b + √D 1 + 9
у 1 = ---- = --- = 5
2a 2

–b – √D 1 – 9
у 2 = ---- = --- = –4
2a 2

Осталось найти значения х . Первое уравнение проще, поэтому им и воспользуемся:

1) х + 5 = 9
х = 9 – 5
х 1 = 4

2) х – 4 = 9
х = 9 + 4
х 2 = 13

Ответ : (4; 5), (13; –4).