Стоячая волна образуется при сложении. Практическое значение стоячих волн. Примеры решения задач
За удерживаемый конец резко дергают вверх и затем приводят его в исходное положение. Образовавшийся на трубке гребень движется вдоль трубки до стены, где он отражается. При этом отраженная волна имеет форму впадины, т. е. находится ниже среднего положения трубки, в то время как исходная пучность находилась выше. С чем связано это различие?
Представим конец резиновой трубки, закрепленный в стене. Поскольку он закреплен, он не может двигаться. Направленная вверх сила пришедшего импульса стремится заставить двигаться его вверх (см. рис.). Однако поскольку он не может двигаться, то должна присутствовать равная и противоположно направленная вниз сила, исходящая от опоры и приложенная к концу резиновой трубки, и поэтому отраженный импульс располагается пучностью вниз. Разность фаз отраженного и исходного импульсов равна 180°.
Когда рука, удерживающая резиновую трубку, движется вверх и вниз и частота движения постепенно увеличивается, то достигается точка, при которой получается одиночная пучность (рис. а). Дальнейшее увеличение частоты колебания руки приведет к образованию двойной пучности (рис. 6). Если вы прохронометрируете частоту движений руки, то вы увидите, что их частота удвоилась. Поскольку трудно двигать рукой более быстро, лучше применить механический вибратор (рис. в).
Металлический стержень внутри электромагнитной катушки вибрирует с частотой, управляемой генератором. Образованные волны называются стоячими или стационарными волнами . Они образуются, потому что отраженная волна накладывается на падающую. Это явление известно как . Здесь присутствуют две волны: падающая и отраженная. Они имеют одинаковые , но распространяются в противоположных направлениях. Это бегущие волны , но они интерферируют друг с другом и таким образом создают стоячие волны.
Это имеет такие последствия:
а) все частицы в каждой половине длины волны колеблются в фазе, т. е. все они движутся в одном направлении в одно время;
б) каждая частица имеет амплитуду, отличную от амплитуды следующей частицы;
в) разность фаз между колебаниями частиц одной полуволны и колебаниями частиц последующей полуволны равна 180°.
Это попросту означает, что они либо отклонены максимально в противоположные стороны в одно время, либо, если они оказываются в среднем положении, начинают двигаться в противоположных направлениях. Это показано на рисунке, где видно, что некоторые частицы (обозначенные N) не движутся (они имеют нулевую амплитуду), поскольку действующие на них силы всегда равны и противоположны.
Эти точки называются узловыми или узлами, и расстояние между двумя последующими узлами составляет половину длины волны, т. е. 1 / 2 λ.
Максимальное движение происходит в точках, обозначенных А, и амплитуда этих точек вдвое больше амплитуды падающей волны. Эти точки называются пучностями , и расстояние между двумя последующими пучностями составляет половину длины волны. Расстояние между узлом и следующей пучностью составляет одну четвертую длины волны, т. е. 1 / 4 λ.
Стоячая волна отличается от бегущей. В бегущей волне :
а) все частицы имеют одинаковую амплитуду колебаний;
Рассмотрим результат интерференции двух синусоидальных плоских волн одинаковой амплитуды и частоты, распространяющихся в противоположных направлениях. Для простоты рассуждений допустим, что уравнения этих волн имеют вид:
Это означает, что в начале координат обе волны вызывают колебания в одинаковой фазе. В точке А с координатой х суммарное значение колеблющейся величины, согласно принципу суперпозиции (см. § 19), равно
Данное уравнение показывает, что в результате интерференции прямой и обратной волн в каждой точке среды (с фиксированной координатой происходит гармоническое колебание с той же частотой , но с амплитудой
зависящей от значения координаты х. В точках среды, в которых колебания отсутствуют вовсе: эти точки называются узлами колебаний.
В точках, где амплитуда колебаний имеет наибольшее значение, равное Эти точки называются пучностями колебаний. Легко показать, что расстояние между соседними узлами или соседними пучностями равно расстояние между пучностью и ближайшим узлом равно При изменении х на косинус в формуле (5.16) меняет знак на обратный (его аргумент изменяется на поэтому если в пределах одной полуволны - от одного узла до другого - частицы среды отклонились в одну сторону, то в пределах соседней полуволны частицы среды будут отклонены в противоположную сторону.
Волновой процесс в среде, описываемый формулой (5.16), называется стоячей волной. Графически стоячая волна может быть изображена так, как это показано на рис. 1.61. Допустим, что у есть смещение точек среды от состояния равновесия; тогда формула (5.16) описывает «стоячую волну смещения». В некоторый момент времени, когда все точки среды имеют максимальные смещения, направление которых в зависимости от величины координаты х определяется знаком Эти смещения показаны на рис. 1.61 сплошными стрелками. Спустя четверть периода, когда смещения всех точек среды равны нулю; частицы среды проходят через линию с различными скоростями. Спустя еще четверть периода, когда частицы среды опять будут иметь максимальные смещения, но противоположного направления; эти смещения показаны на
рис. 1.61 пунктирными стрелками. Точки суть пучности стоячей волны смещения; точки узлы этой волны.
Характерные особенности стоячей волны в отличие от обычной распространяющейся, или бегущей, волны следующие (имеются в виду плоские волны при отсутствии затухания):
1) в стоячей волне амплитуды колебаний различны в различных местах системы; в системе имеются узлы и пучности колебаний. В «бегущей» волне эти амплитуды везде одинаковы;
2) в пределах участка системы от одного узла до соседнего все точки среды колеблются в одинаковой фазе; при переходе к соседнему участку фазы колебаний меняются на обратные. В бегущей волне фазы колебаний, согласно формуле (5.2), зависят от координат точек;
3) в стоячей волне нет одностороннего переноса энергии, как это имеет место в бегущей волне.
При описании колебательных процессов в упругих системах за колеблющуюся величину у можно принять не только смещение или скорости частиц системы, но и величину относительной деформации или величину напряжения на сжатие, растяжение или сдвиг и т. д. При этом в стоячей волне, в местах, где образуются пучности скоростей частиц, располагаются узлы деформаций и, наоборот, узлы скоростей совпадают с пучностями деформаций. Преобразование энергии из кинетической формы в потенциальную и обратно происходит в пределах участка системы от пучности до соседнего узла. Можно считать, что каждый такой участок не обменивается энергией с соседними участками. Заметим, что превращение кинетической энергии движущихся частиц в потенциальную энергию деформированных участков среды за один период происходит дважды.
Выше, рассматривая интерференцию прямой и обратной волн (см. выражения (5.16)), мы не интересовались происхождением этих волн. Допустим теперь, что среда, в которой происходит распространение колебаний, имеет ограниченные размеры, например колебания вызываются в каком-нибудь сплошном теле - в стержне или струне, в столбе жидкости или газа и т. д. Волна, распространяющаяся в такой среде (теле), отражается от границ, поэтому в пределах объема этого тела непрерывно происходит интерференция волн, вызванных внешним источником и отраженных от границ.
Рассмотрим простейший пример; допустим, в точке (рис. 1.62) стержня или струны при помощи внешнего синусоидального источника возбуждается колебательное движение с частотой ; начало отсчета времени выберем так, чтобы в этой точке смещение выражалось формулой
где амплитуда колебаний в точке Вызванная в стержне волна отразится от второго конца стержня 0% и пойдет в обратном
направлении. Найдем результат интерференции прямой и отраженной волн в некоторой точке стержня имеющей координату х. Для простоты рассуждений предположим, что в стержне нет поглощения энергии колебаний и поэтому амплитуды прямой и отраженной волн равны.
В некоторый момент времени когда смещение колеблющихся частиц в точке равно у, в другой точке стержня смещение вызванное прямой волной будет, согласно формуле волны, равно
Через эту же точку А проходит также и отраженная волна. Чтобы найти смещение вызванное в точке А отраженной волной (в тот же самый момент времени необходимо рассчитать время в течение которого волна пройдет путь от до и обратно до точки Так как то смещение, вызванное в точке отраженной волной, будет равно
При этом предполагается, что на отражающем конце стержня в процессе отражения не происходит скачкообразного изменения фазы колебания; в некоторых случаях такое изменение фазы (называемое потерей фазы) имеет место и должно быть учтено.
Сложейие колебаний, вызванных в различных точках стержня прямой и отраженной волнами, дает стоячую волну; действительно,
где некоторая постоянная фаза, не зависящая от координаты х, а величина
является амплитудой колебаний в точке она зависит от координаты х, т. е. различна в различных местах стержня.
Найдем координаты тех точек стержня, в которых образуются узлы и пучности стоячей волны. Обращение косинуса в нуль или единицу происходит при значениях аргумента, кратных
где целое число. При нечетном значении этого числа косинус обращается в нуль и формула (5.19) дает координаты узлов стоячей волны; при четных мы получим координаты пучностей.
Выше было произведено сложение только двух волн: прямой, идущей от и отраженной, распространяющейся от Однако следует учесть, что отраженная волна на границе стержня вновь отразится и пойдет в направлении прямой волны. Таких отражений
от концов стержня будет много, и поэтому необходимо найти результат интерференции не двух, а всех одновременно существующих в стержне волн.
Предположим, что внешний источник колебаний вызывал в стержне волны в течение некоторого времени после чего поступление энергии колебаний извне прекратилось. За это время в стержне произошло отражений, где время, в течение которого волна прошла от одного конца стержня к другому. Следовательно, в стержне будет одновременно существовать волн, идущих в прямом, и волн, идущих в обратном направлениях.
Допустим, что в результате интерференции одной пары волн (прямой и отраженной) смещение в точйе А оказалось равным у. Найдем условие, при котором все смещения у, вызываемые каждой парой волн, имеют в точке А стержня одинаковые направления и поэтому складываются. Для этого фазы колебаний, вызванных каждой парой волн в точке должны отличаться на от фазы колебаний, вызванных следующей парой волн. Но каждая волна вновь возвращается в точку А с тем же направлением распространения лишь спустя время т. е. отстает по фазе на со приравнивая это отставание где целое число, получаем
т. е. вдоль длины стержня должно уместиться целое число полуволн. Заметим, что этом условии фазы всех волн, идущих от в прямом направлении, отличаются друг от друга на где целое число; точно так же фазы всех волн, идущих от в обратном направлении, отличаются друг от друга на Поэтому, если одна пара волн (прямая и обратная) дает вдоль стержня распределение смещений, определяемое формулой (5.17), то при интерференции пар таких волн распределение смещений не изменится; увеличатся только амплитуды колебаний. Если максимальная амплитуда колебаний при интерференции двух волн, согласно формуле (5.18), равна то при интерференции многих волн она будет больше. Обозначим ее через тогда распределение амплитуды колебаний вдоль стержня вместо выражения (5.18) определится по формуле
Из выражений (5.19) и (5.20) определяются точки, в которых косинус имеет значения или 1:
где целое число Координаты узлов стоячей волны получатся из этой формулы при нечетных значениях тогда в зависимости от длины стержня, т. е. величины
координаты пучностей получатся при четных значениях
На рис. 1.63 схематически показана стоячая волна в стержне, длина которого ; точки суть пучности, точки узлы этой стоячей волны.
В гл. было показано, что при отсутствии периодических внешних воздействий характер кодебательных движений в системе и прежде всего основная величина - частота колебаний - определяются размерами и физическими свойствами системы. Каждая колебательная система обладает собственным, ей присущим колебательным движением; это колебание можно наблюдать, если вывести систему из состояния равновесия и затем устранить внешние воздействия.
В гл. 4 ч. I рассматривались преимущественно колебательные системы с сосредоточенными параметрами, в которых инертной массой обладали одни тела (точечные), а упругими свойствами - другие тела (пружины). В отличие от них колебательные системы, в которых масса и упругость присущи каждому элементарному объему, называются системами с распределенными параметрами. К ним относятся рассмотренные выше стержни, струны, а также столбы жидкости или газа (в духовых музыкальных инструментах) и т. д. Для таких систем собственными колебаниями являются стоячие волны; основная характеристика этих волн - длина волны или распределение узлов и пучностей, а также частота колебаний - определяется только размерами и свойствами системы. Стоячие волны могут существовать и при отсутствии внешнего (периодического) воздействия на систему; это воздействие необходимо только для того, чтобы вызвать или поддержать в системе стоячие волны или же изменить амплитуды колебаний. В частности, если внешнее воздействие на систему с распределенными параметрами происходит с частотой, равной частоте ее собственных колебаний, т. е. частоте стоячей волны, то имеет место явление резонанса, рассмотренное в гл. 5.
Для различных частот одинакова.
Таким образом, у систем с распределенными параметрами собственные колебания - стоячие волны - характеризуются целым спектром частот, кратных между собой. Наименьшая из этих частот, соответствующая наибольшей длине волны называется основной частотой; остальные ) - обертонами или гармониками.
Каждая система характеризуется не только наличием такого спектра колебаний, но и определенным распределением энергии между колебаниями различных частот. Для музыкальных инструментов это распределение придает звуку своеобразную особенность, так называемый тембр звука, различный для различных инструментов.
Изложенные выше расчеты относятся к свободному колеблющемуся" стержню длиной Однако обычно мы имеем стержни, закрепленные на одном или обоих концах (например, колеблющиеся струны), или же вдоль стержня имеется одна или несколько точек закрепления. Места закрепления, где частицы системы не могут совершать колебательного движения, являются вынужденными узлами смещения. Например,
если в стержне необходимо получить стоячие волны при одной, двух, трех точках закрепления и т. д., то эти точки не могут быть выбраны произвольно, а должны располагаться вдоль стержня так, чтобы они оказались в узлах образовавшейся стоячей волны. Это показано, например, на рис. 1.64. На этом же рисунке пунктиром показаны смещения точек стержня при колебаниях; на свободных концах всегда образуются пучности смещения, на закрепленных - узлы смещения. Для колеблющихся воздушных столбов в трубах узлы смещения (и скорости) получаются у отражающих твердых стенок; на открытых концах трубок образуются пучности смещений и скоростей.
Когда две одинаковые волны с равными амплитудами и периодами распространяются навстречу друг другу, то при их наложении возникают стоячие волны. Стоячие волны могут быть получены при отражении от препятствий. Допустим, излучатель посылает волну к препятствию (падающая волна). Отраженная от него волна наложится на падающую волну. Уравнение стоячей волны можно получить сложением уравнения падающей волны
и уравнения отраженной волны
Отраженная волна движется в направлении, противоположном падающей волне, поэтому расстояние х берем со знаком минус. Смещение точки, которая участвует одновременно в двух колебаниях, равно алгебраической сумме . После несложных преобразований, получаем
не зависит от времени и определяет амплитуду любой точки с координатой х. Каждая точка совершает гармоническое колебание с периодом Т. Амплитуда А ст для каждой точки вполне определена. Но при переходе от одной точки волны к другой она изменяется в зависимости от расстояния х. Если придавать х значения, равные и т.д., то при подстановке в уравнение (8.16) получим . Следовательно, указанные точки волны остаются в покое, т.к. амплитуды их колебаний равны нулю. Эти точки называются узлами стоячей волны. Точки, в которых колебания происходят с максимальной амплитудой, называются пучностями. Расстояние между соседними узлами (или пучностями) называются длиной стоячей волны и равно
где λ - длина бегущей волны.
В стоячей волне все точки среды, в которой они распространяются, расположенные между двумя соседними узлами, колеблются в одной фазе. Точки среды, лежащие по разные стороны от узла, колеблются в противофазе -фазы их отличаются на π. т.е. при переходе через узел фаза колебаний скачкообразно меняется на π. В отличие от бегущих волн в стоячей волне отсутствует перенос энергии вследствие того, что образующие эту волну прямая и обратная волны переносят энергию в равных количествах и в прямом и в противоположном направлениях. В том случае, когда волна отражается от среды более плотной, чем та среда, где распространяется волна, в месте отражения возникает узел, фаза изменяется на противоположную. При этом говорят, что происходит потеря половины волны. Когда волна отражается от среды менее плотной в месте отражения, появляется кучность, и потери половины волны нет.
Любая волна представляет собой колебание. Колебаться может жидкость, электромагнитное поле или любая другая среда. В повседневной жизни каждый человек ежедневно сталкивается с тем или иным проявлением колебаний. Но что такое стоячая волна?
Представьте себе вместительную емкость, в которую налита вода - это может быть тазик, ведро или ванна. Если теперь по жидкости похлопать ладонью, то от центра соударения во все стороны побегут волнообразные гребни. Кстати, они так и называются - бегущие волны. Их характерный признак - перенос энергии. Однако, изменяя частоту хлопков, можно добиться практически полного видимого их исчезновения. Возникает впечатление, что масса воды становится желеобразной, а движение происходит только вниз и вверх. Стоячая волна - это и есть данное смещение. Данное явление возникает потому, что каждая ушедшая от центра удара волна достигает стенок емкости и отражается обратно, где пересекается (интерферирует) с основными волнами, идущими в противоположном направлении. Стоячая волна появляется лишь в том случае, если отраженные и прямые совпадают по фазе, но различны по амплитуде. В противном случае вышеуказанной интерференции не происходит, так как одно из свойств волновых возмущений с разными характеристиками - это способность сосуществовать в одном и том же объеме пространства, не искажая друг друга. Можно утверждать, что стоячая волна является суммой двух встречно направленных бегущих, что приводит к падению их скоростей до нуля.
Почему же в приведенном примере вода продолжает колебаться в вертикальном направлении? Очень просто! При наложении волн с одинаковыми параметрами в определенные моменты времени колебания достигают своего максимального значения, называемые пучностями, а в другие полностью гасятся (узлы). Изменяя частоту хлопков, можно как полностью погасить горизонтальные волны, так и усилить вертикальные смещения.
Стоячие волны представляют интерес не только для практиков, но и для теоретиков. В частности, одна из моделей гласит, что любая материальная частица характеризуется какой-то определенной (вибрацией): электрон колеблется (дрожит), нейтрино колеблется и т.д. Далее, в рамках гипотезы, предположили, что упомянутая вибрация - следствие интерференции каких-то, пока еще не открытых возмущений среды. Другими словами, авторы утверждают, что там, где те удивительные волны формируют стоячую, возникает материя.
Не менее интересно явление Резонанса Шумана. Оно заключается в том, что при некоторых условиях (ни одна из предложенных гипотез пока не принята за единственно верную) в пространстве между земной поверхностью и нижней границей ионосферы возникают стоячие электромагнитные волны, частоты которых лежат в низком и сверхнизком диапазонах (от 7 до 32 герц). Если образовавшаяся в промежутке «поверхность - ионосфера» волна обогнет планету и попадет в резонанс (совпадение фаз), то сможет существовать продолжительное время без затухания, самоподдерживаясь. Резонанс Шумана представляет особый интерес потому, что частота волн практически совпадает с естественными альфа-ритмами человеческого мозга. К примеру, исследованиями данного явления в России занимаются не только физики, но и такая крупная организация, как «Институт мозга человека».
На стоячие обратил внимание еще гениальный изобретатель Никола Тесла. Считается, что он мог использовать это явлене в некоторых своих устройствах. Одним из источников их появления в атмосфере принято считать грозы. Электрические разряды возбуждают электромагнитное поле и генерируют волны.
Стоя́чая волна́ - явление интерференции волн, распространяющихся в противоположных направлениях, при котором перенос энергии ослаблен или отсутствует .
Стоячая волна (электромагнитная) - периодическое изменение амплитуды напряженности электрического и магнитного полей вдоль направления распространения, вызванное интерференцией падающей и отраженной волн .
Например, стоячая волна возникает при отражении волны от преград и неоднородностей в результате взаимодействия (интерференции) падающей и отражённой волн. На результат интерференции влияют частота колебаний, модуль и фаза коэффициента отражения, направления распространения падающей и отраженной волн друг относительно друга, изменение или сохранение поляризации волн при отражении, коэффициент затухания волн в среде распространения. Строго говоря, стоячая волна может существовать только при отсутствии потерь в среде распространения (или в активной среде) и полном отражении падающей волны. В реальной же среде наблюдается режим смешанных волн, поскольку всегда присутствует перенос энергии к местам поглощения и излучения. Если при падении волны происходит её полное поглощение , то отраженная волна отсутствует, интерференции волн нет, амплитуда волнового процесса в пространстве постоянна. Такой волновой процесс называют бегущей волной .
Примерами стоячей волны могут служить колебания струны , колебания воздуха в органной трубе ; в природе - волны Шумана . Для демонстрации стоячих волн в газе используют трубу Рубенса .
-
1 / 5
Например, различные моды колебаний зажатой на концах струны определяют её основной тон и обертоны .
Математическое описание стоячих волн
В одномерном случае две волны одинаковой частоты, длины волны и амплитуды, распространяющиеся в противоположных направлениях (например, навстречу друг другу), будут взаимодействовать, в результате чего может возникнуть стоячая волна. Например, гармоничная волна, распространяясь вправо, достигая конца струны, производит стоячую волну. Волна, что отражается от конца, должна иметь такую же амплитуду и частоту, как и падающая волна.
Рассмотрим падающую и отраженную волны в виде:
y 1 = y 0 sin (k x − ω t) {\displaystyle y_{1}\;=\;y_{0}\,\sin(kx-\omega t)} y 2 = y 0 sin (k x + ω t) {\displaystyle y_{2}\;=\;y_{0}\,\sin(kx+\omega t)}Поэтому результирующее уравнение для стоячей волны y будет в виде суммы y 1 и y 2 :
y = y 0 sin (k x − ω t) + y 0 sin (k x + ω t) . {\displaystyle y\;=\;y_{0}\,\sin(kx-\omega t)\;+\;y_{0}\,\sin(kx+\omega t).}Используя тригонометрические соотношения, это уравнение можно переписать в виде:
y = 2 y 0 cos (ω t) sin (k x) . {\displaystyle y\;=\;2\,y_{0}\,\cos(\omega t)\;\sin(kx).}Если рассматривать моды x = 0 , λ / 2 , 3 λ / 2 , . . . {\displaystyle x=0,\lambda /2,3\lambda /2,...} и антимоды x = λ / 4 , 3 λ / 4 , 5 λ / 4 , . . . {\displaystyle x=\lambda /4,3\lambda /4,5\lambda /4,...} , то расстояние между соседними модами / антимодами будет равно половине длины волны
Стоячие волны являются решениями волновых уравнений . Их можно представить себе как суперпозицию волн, распространяющихся в противоположных направлениях.
При существовании в среде стоячей волны, существуют точки, амплитуда колебаний в которых равна нулю. Эти точки называются узлами стоячей волны. Точки, в которых колебания имеют максимальную амплитуду, называются пучностями .
