Если есть вероятность того что. Формула полной вероятности. Отношения между событиями
вероятность (probability) - число от 0 до 1, которое отражает шансы того, что случайное событие произойдет, где 0 - это полное отсутствие вероятности происхождения события, а 1 означает, что рассматриваемое событие определенно произойдет.
Вероятность события E является числом от до 1.
Сумма вероятностей взаимоисключающих событий равна 1.
эмпирическая вероятность - вероятность, которая посчитана как относительная частота события в прошлом, извлеченная из анализа исторических данных.
Вероятность очень редких событий нельзя посчитать эмпирически.
субъективная вероятность - вероятность, основанная на личной субъективной оценке события безотносительно исторических данных. Инвесторы, которые принимают решения о покупке и продаже акций зачастую действуют именно исходя из соображений субъективной вероятности.
априорная вероятность -
Шанс 1 из… (odds) того что событие произойдет через понятие вероятности. Шанс появления события выражается через вероятность так: P/(1-P).
Например, если вероятность события 0,5, то шанс события 1 из 2 т.к. 0,5/(1-0,5).
Шанс того, что событие не произойдет вычисляется по формуле (1-P)/P
Несогласованная вероятноть - например в цене акций компании А на 85% учтено возможное событие E, а в цене акций компании Б всего на 50%. Это называется несогласованная вероятность. Согласно теореме голландских ставок, несогласованная вероятность создает возможности для извлечения прибыли.
Безусловная вероятность - это ответ на вопрос «Какова вероятность того, что событие произойдет?»
Условная вероятность - это ответ на вопрос: «Какова вероятность события A если событие Б произошло». Условная вероятность обозначается как P(A|B).
Совместная вероятность - вероятность того, что события А и Б произойдут одновременно. Обозначается как P(AB).
P(A|B) = P(AB)/P(B) (1)
P(AB) = P(A|B)*P(B)
Правило суммирования вероятностей:
Вероятность того, что случится либо событие A либо событие B -
P (A or B) = P(A) + P(B) - P(AB) (2)
Если события A и B взаимоисключающие, то
P (A or B) = P(A) + P(B)
Независимые события - события A и B независимы если
P(A|B) = P(A), P(B|A) = P(B)
То есть это последовательность результатов, где значение вероятности постоянно от одного собятия к другому.
Бросок монеты - пример такого события, - результат каждого следующего броска не зависит от результата предыдущего.
Зависимые события - это такие события, когда вероятность появления одного зависит от вероятности появления другого.
Правило умножения вероятностей независимых событий:
Если события A и B независимы, то
P(AB) = P(A) * P(B) (3)
Правило полной вероятности:
P(A) = P(AS) + P(AS") = P(A|S")P(S) + P (A|S")P(S") (4)
S и S" - взаимоисключающие события
математическое ожидание (expected value) случайной переменной есть среднее возможных исходов случайной величины. Для события X матожидание обоначается как E(X).
Допустим у нас есть 5 значений взаимоисключающих событий c определенной вероятностью (например доход компании составил такую-то сумму с такой вероятностью). Матожиданием будет сумма всех исходов помноженных на их вероятность:
Дисперсия случайной величины - матожидание квадратных отклонений случайной величины от ее матожидания:
s 2 = E{ 2 } (6)
Условное матожидание (conditional expected value) - матожидание случайной величины X при условии того, что событие S уже произошло.
Знать, как оценить вероятность того или иного события на основе коэффициентов, крайне важно для выбора правильной ставки. Если вы не понимаете, как перевести букмекерский коэффициент в вероятность, то никогда не сможете определить, как соотносится букмекерский коэффициент с реальными шансами того, что событие состоится. Следует понимать, если вероятность события по версии букмекеров ниже, чем вероятность этого же события по вашей собственной версии, ставка на это событие будет ценной. Сравнить коэффициенты на разные события можно на сайте Odds.ru .
1.1. Типы коэффициентов
Букмекерские конторы, как правило, предлагают три типа коэффициентов – десятичный, дробный и американский. Разберем каждую из разновидностей.
1.2. Десятичные коэффициенты
Десятичные коэффициенты при умножении на размер ставки позволяют рассчитать всю сумму, которую вы получите на руки в случае выигрыша. К примеру, если вы поставили 1 доллар на коэффициент 1,80, в случае выигрыша вы получите 1 доллар 80 центов (1 доллар – возвращенная сумма ставки, 0,80 – выигрыш по ставке, он же ваша чистая прибыль).
То есть вероятность исхода, по версии букмекеров, составляет 55%.
1.3. Дробные коэффициенты
Дробные коэффициенты – наиболее традиционный вид коэффициентов. В числителе показана потенциальная сумма чистого выигрыша. В знаменателе – сумма ставки, которую нужно сделать, чтобы этот самый выигрыш получить. К примеру, коэффициент 7/2 означает, что для того, чтобы получить чистый выигрыш в размере 7 долларов, вам необходимо поставить 2 доллара.
Для того чтобы рассчитать вероятность события на основе десятичного коэффициента, следует провести простые вычисления – знаменатель разделить на сумму числителя и знаменателя. Для вышеобозначенного коэффициента 7/2 расчет будет таким:
2 / (7+2) = 2 / 9 = 0,22
То есть вероятность исхода, по версии букмекеров, составляет 22%.
1.4. Американские коэффициенты
Данный вид коэффициентов популярен в Северной Америке. На первый взгляд, они кажутся довольно сложными и непонятными, но не стоит пугаться. Понимание американских коэффициентов может вам пригодиться, например, при игре в американских казино, для понимания котировок, демонстрируемых в североамериканских спортивных трансляциях. Разберем, как оценить вероятность исхода на основе американских коэффициентов.
В первую очередь надо понимать, что американские коэффициенты бывают положительными и отрицательными. Отрицательный американский коэффициент всегда идет в формате, к примеру, «-150». Это означает, что для того, чтобы получить 100 долларов чистой прибыли (выигрыш), необходимо поставить 150 долларов.
Положительный американский коэффициент рассчитывается наоборот. К примеру, у нас есть коэффициент «+120». Это означает, что для того, чтобы получить 120 долларов чистой прибыли (выигрыш), вам необходимо поставить 100 долларов.
Расчет вероятности на основе отрицательных американских коэффициентов делается по следующей формуле:
(-(отрицательный американский коэффициент)) / ((-(отрицательный американский коэффициент)) + 100)
(-(-150)) / ((-(-150)) + 100) = 150 / (150 + 100) = 150 / 250 = 0,6
То есть вероятность события, на которое дается отрицательный американский коэффициент «-150», составляет 60%.
Теперь рассмотрим аналогичные вычисления для положительного американского коэффициента. Вероятность в этом случае рассчитывается по следующей формуле:
100 / (положительный американский коэффициент + 100)
100 / (120 + 100) = 100 / 220 = 0.45
То есть вероятность события, на которое дается положительный американский коэффициент «+120», составляет 45%.
1.5. Как переводить коэффициенты из одного формата в другой?
Умение переводить коэффициенты из одного формата в другой может впоследствии сослужить вам хорошую службу. Как ни странно, до сих пор есть конторы, в которых коэффициенты не конвертируются и показаны лишь в одном, непривычном для нас формате. Рассмотрим на примерах, как это делать. Но для начала нам надо научиться вычислять вероятность исхода на основе данного нам коэффициента.
1.6. Как на основе вероятности рассчитать десятичный коэффициент?
Здесь все очень просто. Необходимо 100 разделить на вероятность события в процентном отношении. То есть, если предполагаемая вероятность события составляет 60%, вам надо:
При предполагаемой вероятности события в 60% десятичный коэффициент будет составлять 1,66.
1.7. Как на основе вероятности рассчитать дробный коэффициент?
В данном случае необходимо 100 разделить на вероятность события и от полученного результата отнять единицу. К примеру, вероятность события составляет 40%:
(100 / 40) — 1 = 2,5 — 1 = 1,5
То есть мы получаем дробный коэффициент 1,5/1 или, для удобства счета, – 3/2.
1.8. Как на основе вероятного исхода рассчитать американский коэффициент?
Здесь многое будет зависеть от вероятности события – будет ли она более 50% или менее. Если вероятность события более 50%, то расчет будет производиться по такой формуле:
— ((вероятность) / (100 — вероятность)) * 100
Например, если вероятность события составляет 80%, то:
— (80 / (100 — 80)) * 100 = — (80 / 20) * 100 = -4 * 100 = (-400)
При предполагаемой вероятности события в 80% мы получили отрицательный американский коэффициент «-400».
Если вероятность события менее 50 процентов, то формула будет следующей:
((100 — вероятность) / вероятность) * 100
Например, если вероятность события составляет 40%, то:
((100-40) / 40) * 100 = (60 / 40) * 100 = 1,5 * 100 = 150
При предполагаемой вероятности события в 40% мы получили положительный американский коэффициент «+150».
Эти вычисления помогут вам лучше понять концепцию ставок и коэффициентов, научиться оценивать истинную стоимость той или иной ставки.
Хотите узнать, какие математические шансы на успех вашей ставки? Тогда для вас есть две хорошие новости. Первая: чтобы посчитать проходимость, не нужно проводить сложные расчеты и тратить большое количество времени. Достаточно воспользоваться простыми формулами, работа с которыми займёт пару минут. Вторая: после прочтения этой статьи вы с лёгкостью сможете рассчитывать вероятность прохода любой вашей сделки.
Чтобы верно определить проходимость, нужно сделать три шага:
- Рассчитать процент вероятности исхода события по мнению букмекерской конторы;
- Вычислить вероятность по статистическим данным самостоятельно;
- Узнать ценность ставки, учитывая обе вероятности.
Рассмотрим подробно каждый из шагов, применяя не только формулы, но и примеры.
Быстрый переход
Подсчёт вероятности, заложенной в букмекерские коэффициенты
Первый шаг – необходимо узнать, с какой вероятностью оценивает шансы на тот или иной исход сам букмекер. Ведь понятно, что кэфы букмекерские конторы не ставят просто так. Для этого пользуемся следующей формулой:
P Б =(1/K)*100%,
где P Б – вероятность исхода по мнению букмекерской конторы;
K – коэффициент БК на исход.
Допустим, на победу лондонского Арсенала в поединке против Баварии коэффициент 4. Это значит, что вероятность его виктории БК расценивают как (1/4)*100%=25%. Или же Джокович играет против Южного. На победу Новака множитель 1.2, его шансы равны (1/1.2)*100%=83%.
Так оценивает шансы на успех каждого игрока и команды сама БК. Осуществив первый шаг, переходим ко второму.
Расчёт вероятности события игроком
Второй пункт нашего плана – собственная оценка вероятности события. Так как мы не можем учесть математически такие параметры как мотивация, игровой тонус, то воспользуемся упрощённой моделью и будем пользоваться только статистикой предыдущих встреч. Для расчёта статистической вероятности исхода применяем формулу:
P И =(УМ/М)*100%,
где P И – вероятность события по мнению игрока;
УМ – количество успешных матчей, в которых такое событие происходило;
М – общее количество матчей.
Чтобы было понятней, приведём примеры. Энди Маррей и Рафаэль Надаль сыграли между собой 14 матчей. В 6 из них был зафиксирован тотал меньше 21 по геймам, в 8 – тотал больше. Необходимо узнать вероятность того, что следующий поединок будет сыгран на тотал больше: (8/14)*100=57%. Валенсия сыграла на Месталье против Атлетико 74 матча, в которых одержала 29 побед. Вероятность победы Валенсии: (29/74)*100%=39%.
И это все мы узнаем только благодаря статистике предыдущих игр! Естественно, что на какую-то новую команду или игрока такую вероятность просчитать не получится, поэтому такая стратегия ставок подойдет только для матчей, в которых соперники встречаются не первый раз. Теперь мы умеем определять букмекерскую и собственную вероятности исходов, и у нас есть все знания, чтобы перейти к последнему шагу.
Определение ценности ставки
Ценность (валуйность) пари и проходимость имеют непосредственную связь: чем выше валуйность, тем выше шанс на проход. Рассчитывается ценность следующим образом:
V= P И *K-100%,
где V – ценность;
P И – вероятность исхода по мнению беттера;
K – коэффициент БК на исход.
Допустим, мы хотим поставить на победу Милана в матче против Ромы и подчитали, что вероятность победы «красно-черных» 45%. Букмекер предлагает нам на это исход коэффициент 2.5. Будет ли такое пари ценным? Проводим расчёты: V=45%*2.5-100%=12.5%. Отлично, перед нами ценная ставка с хорошими шансами на проход.
Возьмём другой случай. Мария Шарапова играет против Петры Квитовой. Мы хотим заключить сделку на победу Марии, вероятность которой по нашим расчетам 60%. Конторы предлагают на этот исход множитель 1.5. Определяем валуйность: V=60%*1.5-100=-10%. Как видим, ценности эта ставка не представляет и от неё следует воздержаться.
Это отношение количества тех наблюдений, при которых рассматриваемое событие наступило, к общему количеству наблюдений. Такая трактовка допустима в случае достаточно большого количества наблюдений или опытов. Например, если среди встреченных на улице людей примерно половина - женщины, то можно говорить, что вероятность того, что встреченный на улице человек окажется женщиной, равна 1/2. Другими словами, оценкой вероятности события может служить частота его наступления в длительной серии независимых повторений случайного эксперимента .
Вероятность в математике
В современном математическом подходе классическая (то есть не квантовая) вероятность задаётся аксиоматикой Колмогорова . Вероятностью называется мера P , которая задаётся на множестве X , называемом вероятностным пространством . Эта мера должна обладать следующими свойствами:
Из указанных условий следует, что вероятностная мера P также обладает свойством аддитивности : если множества A 1 и A 2 не пересекаются, то . Для доказательства нужно положить все A 3 , A 4 , … равными пустому множеству и применить свойство счётной аддитивности.
Вероятностная мера может быть определена не для всех подмножеств множества X . Достаточно определить её на сигма-алгебре , состоящей из некоторых подмножеств множества X . При этом случайные события определяются как измеримые подмножества пространства X , то есть как элементы сигма-алгебры .
Вероятность смысле
Когда мы находим, что основания для того, чтобы какой-нибудь возможный факт произошел в действительности, перевешивают противоположные основания, мы считаем этот факт вероятным , в противном случае - невероятным . Этот перевес положительных оснований над отрицательными, и наоборот, может представлять неопределённое множество степеней, вследствие чего вероятность (и невероятность ) бывает большею или меньшею .
Сложные единичные факты не допускают точного вычисления степеней своей вероятности, но и здесь важно бывает установить некоторые крупные подразделения. Так, например, в области юридической , когда подлежащий суду личный факт устанавливается на основании свидетельских показаний, он всегда остаётся, строго говоря, лишь вероятным, и необходимо знать, насколько эта вероятность значительна; в римском праве здесь принималось четверное деление: probatio plena (где вероятность практически переходит в достоверность ), далее - probatio minus plena , затем - probatio semiplena major и, наконец, probatio semiplena minor .
Кроме вопроса о вероятности дела, может возникать, как в области права, так и в области нравственной (при известной этической точке зрения) вопрос о том, насколько вероятно, что данный частный факт составляет нарушение общего закона. Этот вопрос, служащий основным мотивом в религиозной юриспруденции Талмуда , вызвал и в римско-католическом нравственном богословии (особенно с конца XVI века) весьма сложные систематические построения и огромную литературу, догматическую и полемическую (см. Пробабилизм) .
Понятие вероятности допускает определенное численное выражение в применении лишь к таким фактам, которые входят в состав определенных однородных рядов. Так (в самом простом примере), когда кто-нибудь бросает сто раз кряду монету, мы находим здесь один общий или большой ряд (сумма всех падений монеты), слагающийся из двух частных или меньших, в данном случае численно равных, рядов (падения «орлом» и падения «решкой»); Вероятность, что в данный раз монета упадет решкой, то есть что этот новый член общего ряда будет принадлежать к этому из двух меньших рядов, равняется дроби, выражающей численное отношение между этим малым рядом и большим, именно 1/2, то есть одинаковая вероятность принадлежит к тому или другому из двух частных рядов. В менее простых примерах заключение не может быть выведено прямо из данных самой задачи, а требует предварительной индукции . Так, например, спрашивается: какая вероятность существует для данного новорожденного дожить до 80 лет? Здесь должно составить общий, или большой, ряд из известного числа людей, рожденных в подобных же условиях и умирающих в различном возрасте (это число должно быть достаточно велико, чтобы устранить случайные отклонения, и достаточно мало, чтобы сохранялась однородность ряда, ибо для человека, рождённого, например, в Санкт-Петербурге в обеспеченном культурном семействе, всё миллионное население города, значительная часть которого состоит из лиц разнообразных групп, могущих умереть раньше времени - солдат, журналистов, рабочих опасных профессий, - представляет группу слишком разнородную для настоящего определения вероятности); пусть этот общий ряд состоит из десяти тысяч человеческих жизней; в него входят меньшие ряды, представляющие число доживающих до того или другого возраста; один из этих меньших рядов представляет число доживающих до 80 лет. Но определить численность этого меньшего ряда (как и всех других) невозможно a priori ; это делается чисто индуктивным путем, посредством статистики . Положим, статистические исследования установили, что из 10000 петербуржцев среднего класса до 80 лет доживают только 45; таким образом, этот меньший ряд относится к большому, как 45 к 10000, и вероятность для данного лица принадлежать к этому меньшему ряду, то есть дожить до 80 лет, выражается дробью 0,0045. Исследование вероятности с математической точки зрения составляет особую дисциплину - теорию вероятностей .
См. также
Примечания
Литература
- Альфред Реньи. Письма о вероятности / пер. с венг. Д.Сааса и А.Крамли под ред. Б. В. Гнеденко. М.: Мир. 1970
- Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. М., 2007. 42 с.
- Купцов В. И. Детерминизм и вероятность. М., 1976. 256 с.
Wikimedia Foundation . 2010 .
Синонимы :Антонимы :
Смотреть что такое "Вероятность" в других словарях:
Общенаучная и филос. категория, обозначающая количественную степень возможности появления массовых случайных событий при фиксированных условиях наблюдения, характеризующую устойчивость их относительных частот. В логике семантическая степень… … Философская энциклопедия
ВЕРОЯТНОСТЬ, число в интервале от нуля до единицы включительно, представляющее возможность свершения данного события. Вероятность события определяется как отношение числа шансов того, что событие может произойти, к общему количеству возможных… … Научно-технический энциклопедический словарь
По всей вероятности.. Словарь русских синонимов и сходных по смыслу выражений. под. ред. Н. Абрамова, М.: Русские словари, 1999. вероятность возможность, вероятие, шанс, объективная возможность, маза, допустимость, риск. Ant. невозможность… … Словарь синонимов
вероятность - Мера того, что событие может произойти. Примечание Математическое определение вероятности: «действительное число в интервале от 0 до 1, относящееся к случайному событию». Число может отражать относительную частоту в серии наблюдений… … Справочник технического переводчика
Вероятность - «математическая, числовая характеристика степени возможности появления какого либо события в тех или иных определенных, могущих повторяться неограниченное число раз условиях». Если исходить из этого классического… … Экономико-математический словарь
- (probability) Возможность наступления какого либо события или определенного результата. Может быть представлена в виде шкалы с делениями от 0 до 1. При нулевой вероятности события его наступление невозможно. При вероятности, равной 1, наступление … Словарь бизнес-терминов
Вероятность противоположного события
Рассмотрим некоторое случайное событие A , и пусть его вероятность p(A) известна. Тогда вероятность противоположного события определяется по формуле
. (1.8)
Доказательство. Вспомним, что по аксиоме 3 для несовместных событий
p(A+B) = p(A) + p(B) .
В силу несовместности A и
Следствие. , то есть вероятность невозможного события равна нулю.
С помощью формулы (1.8) определяется, например, вероятность промахнуться, если известна вероятность попадания (или, наоборот, вероятность попадания, если известна вероятность промаха; например, если вероятность попадания для орудия 0,9, вероятность промаха для него (1 – 0,9 = 0,1).
- Вероятность суммы двух событий
Здесь уместно будет напомнить, что для несовместных событий эта формула имеет вид:
Пример. Завод производит 85% продукции первого сорта и 10% - второго. Остальные изделия считаются браком. Какова вероятность, что взяв наудачу изделие, мы получим брак?
Решение. P = 1 – (0,85 + 0,1) = 0,05.
Вероятность суммы двух любых случайных событий равна
Доказательство. Представим событие A + B в виде суммы несовместных событий
Учитывая несовместность A и , получим согласно аксиоме 3
Аналогично находим
Подставляя последнее в предыдущую формулу, получим искомую (1.10) (рис 2).
Пример. Из 20 студентов 5 человек сдали на двойку экзамен по истории, 4 – по английскому языку, причем, 3 студента получили двойки по обоим предметам. Каков процент студентов в группе, не имеющих двоек по этим предметам?
Решение. P = 1 – (5/20 + 4/20 – 3/20) = 0,7 (70%).
- Условная вероятность
В некоторых случаях необходимо определить вероятность случайного события B при условии, что произошло случайное событие A , имеющее ненулевую вероятность. То, что событие A произошло, сужает пространство элементарных событий до множества A , соответствующего этому событию. Дальнейшие рассуждения проведём на примере классической схемы. Пусть Wсостоит из n равновозможных элементарных событий (исходов) и событию A благоприятствует m(A) , а событию AB - m(AB) исходов. Обозначим условную вероятность события B при условии, что A произошло, - p(B|A). По определению,
= .
Если A произошло, то реализован один из m(A) исходов и событие B может произойти, только если произойдёт один из исходов, благоприятствующих AB ; таких исходов m(AB) . Поэтому естественно положить условную вероятность события B при условии, что A произошло, равной отношению
Обобщая, дадим общее определение: условной вероятностью события B при условии, что событие A с ненулевой вероятностью произошло, называется
. (1.11)
Легко можно проверить, что введённое таким образом определение удовлетворяет всем аксиомам и, следовательно, справедливы все ранее доказанные теоремы.
Часто условную вероятность p(B|A) можно легко найти из условия задачи, в более сложных случаях приходится пользоваться определением (1.11).
Пример. В урне лежит N шаров, из них n белых и N-n черных. Из нее достают шар и, не кладя его обратно (выборка без возвращения ), достают еще один. Чему равна вероятность того, что оба шара белые?
Решение. При решении этой задачи применим и классическое определение вероятности, и правило произведения: обозначим через A событие, состоящее в том, что первым вынули белый шар (тогда – первым вынули черный шар), а через B – событие, состоящее в том, что вторым вынули белый шар; тогда
.
Легко видеть, что вероятность того, что три вынутые подряд (без возвращения) шара белые:
и т.д.
Пример. Из 30 экзаменационных билетов студент подготовил только 25. Если он отказывается отвечать по первому взятому билету (которого он не знает), то ему разрешается взять второй. Определить вероятность того, что второй билет окажется счастливым.
Решение. Пусть событие A заключается в том, что первый вытащенный билет оказался для студента ²плохим², а B - второй - ²хорошим². Поскольку после наступления события A один из ²плохих² уже извлечён, то остаётся всего 29 билетов, из которых 25 студент знает. Отсюда искомая вероятность, предполагая, что появление любого билета равновозможно и они обратно не возвращаются, равна .
- Вероятность произведения
Соотношение (1.11), предполагая, что p(A) или p(B) не равны нулю, можно записать в виде
Это соотношение называют теоремой о вероятности произведения двух событий , которая может быть обобщена на любое число множителей, например, для трёх она имеет вид
Пример. По условиям предыдущего примера найти вероятность успешной сдачи экзамена, если для этого студент должен ответить на первый билет или, не ответив на первый, обязательно ответить на второй.
Решение. Пусть события A и B заключаются в том, что, соответственно, первый и второй билеты ²хорошие². Тогда – появление ²плохого² билета в первый раз. Экзамен будет сдан, если произойдёт событие A или одновременно и B . То есть искомое событие С - успешная сдача экзамена – выражается следующим образом: C = A + .Отсюда
Здесь мы воспользовались несовместностью A и , а следовательно, несовместностью A и , теоремами о вероятности суммы и произведения и классическим определением вероятности при подсчёте p(A) и .
Эту задачу можно решить и проще, если воспользоваться теоремой о вероятности противоположного события:
- Независимость событий
Случайные события A и B назовём независимыми , если
Для независимых событий из (1.11) следует, что ; справедливо и обратное утверждение.
Независимость событий означает, что наступление события A не изменяет вероятности появления события B, то есть условная вероятность равна безусловной.
Пример. Рассмотрим предыдущий пример с урной, содержащей N шаров, из которых n белых, но изменим опыт: вынув шар, мы кладем его обратно и только затем вынимаем следующий (выборка с возвращением ).
A - событие, состоящее в том, что первым вынули белый шар, - событие, состоящее в том, что первым вынули черный шар, а B - событие, состоящее в том, что вторым вынули белый шар; тогда
то есть в этом случае события A и В независимы.
Таким образом, при выборке с возвращением события при втором вынимании шара не зависят от событий первого вынимания, а при выборке без возвращения это не так. Однако при больших N и n эти вероятности очень близки к друг другу. Этим пользуются, так как иногда производят выборку без возвращения (например, при контроле качества, когда тестирование объекта приводит к его разрушению), а расчеты проводят по формулам для выборки с возвращением, которые проще.
На практике при расчете вероятностей часто пользуются правилом, согласно которому из физической независимости событий следует их независимость в теоретико-вероятностном смысле.
Пример. Вероятность того, что человек в возрасте 60 лет не умрет в ближайший год, равна 0,91. Страховая компания страхует на год жизнь двух людей 60-ти лет.
Вероятность того, что ни один из них не умрет: 0,91 × 0,91 = 0,8281.
Вероятность того, что они оба умрут:
(1 – 0,91) × (1 – 0,91) = 0,09 × 0,09 = 0,0081.
Вероятность того, что умрет хотя бы один :
1 – 0,91 × 0,91 = 1 – 0,8281 = 0,1719.
Вероятность того, что умрет один :
0,91 × 0,09 + 0,09 × 0,91 = 0,1638.
Систему событий A 1 , A 2 ,..., A n назовём независимой в совокупности, если вероятность произведения равна произведению вероятностей для любой комбинации сомножителей из этой системы. В этом случае, в частности,
Пример. Шифр сейфа состоит из семи десятичных цифр. Чему равна вероятность, что вор с первого раза наберет его верно?
В каждой из 7 позиций можно набрать любую из 10 цифр 0,1,2,...,9, всего 10 7 чисел, начиная с 0000000 и кончая 9999999.
Пример. Шифр сейфа состоит из русской буквы (их 33) и трех цифр. Чему равна вероятность, что вор с первого раза наберет его верно?
P = (1/33) × (1/10) 3 .
Пример. В более общем виде задача о страховке: вероятность того, что человек в возрасте … лет не умрет в ближайший год, равна p. Страховая компания страхует на год жизнь n людей этого возраста.
Вероятность того, что ни один из них не умрет: pn (не придется платить страховую премию никому).
Вероятность того, что умрет хотя бы один : 1 – p n (предстоят выплаты).
Вероятность того, что они все умрут: (1 – p) n (самые большие выплаты).
Вероятность того, что умрет один : n × (1 – p) × p n-1 (если людей пронумеровать, то тот, кто умрет, может иметь номер 1, 2,…,n – это n разных событий, каждое из которых имеет вероятность (1 – p) × p n-1).
- Формула полной вероятности
Пусть события H 1 , H 2 , ... , H n удовлетворяют условиям
Если , и .
Такую совокупность называют полной группой событий .
Предположим, что известны вероятности p (H i ), p (A/H i ). В этом случае применима формула полной вероятности
. (1.14)
Доказательство. Воспользуемся тем, что H i (их обычно называют гипотезами ) попарно несовместны (следовательно несовместны и H i × A ), и их сумма есть достоверное событие
Эта схема имеет место всегда, когда можно говорить о разбиении всего пространства событий на несколько, вообще говоря, разнородных областей. В экономике это – разбиение страны или района на регионы разного размера и разных условий, когда известна доля каждого региона p(H i) и вероятность (доля) какого-то параметра в каждом регионе (например, процент безработных – в каждом регионе он свой) – p(A/H i) . На складе может лежать продукция с трех разных заводов, поставляющих разное количество продукции с разной долей брака и т.д.
Пример. Литье в болванках поступает из двух цехов в третий: 70% из первого и 30% из второго. При этом продукция первого цеха имеет 10% брака, а второго – 20%. Найти вероятность того, что одна взятая наугад болванка имеет дефект.
Решение: p(H 1) = 0,7; p(H 2) = 0,3; p(A/H 1) = 0,1; p(A/H 2) = 0,2;
P = 0,7 × 0.1 + 0,3 × 0,2 = 0,13 (в среднем 13% болванок в третьем цехе дефектны).
Математическая модель может быть, например, такой: имеется несколько урн разного состава; в первой урне n 1 шаров, из которых m 1 белых, и т.д. По формуле полной вероятности ищется вероятность, выбрав наугад урну, достать из нее белый шар.
По этой же схеме решаются задачи и в общем случае.
Пример. Вернемся к примеру с урной, содержащей N шаров, из которых n белых. Достаем из нее (без возвращения) два шара. Какова вероятность, что второй шар белый?
Решение. H 1 – первый шар белый; p(H 1)=n/N;
H 2 – первый шар черный; p(H 2)=(N-n)/N;
В - второй шар белый; p(B|H 1)=(n-1)/(N-1); p(B|H 2)=n/(N-1);
Эта же модель может быть применена при решении такой задачи: из N билетов студент выучил только n. Что ему выгоднее – тянуть билет самым первым или вторым? Оказывается, в любом случае он с вероятностью n/N вытянет хороший билет и с вероятностью (N-n)/N – плохой.
Пример. Определить вероятность того, что путник, вышедший из пункта А, попадёт в пункт В, если на развилке дорог он наугад выбирает любую дорогу (кроме обратной). Схема дорог указана на рис. 1.3.
Решение. Пусть приход путника в пункты H 1 , H 2 , H 3 и H 4 будет соответствующими гипотезами. Очевидно, они образуют полную группу событий и по условию задачи
p(H 1) = p(H 2) = p(H 3) = p(H 4) = 0,25.
(Все направления из А для путника равновозможны). Согласно схеме дорог условные вероятности попадания в B при условии, что путник прошёл через H i , равны:
Применяя формулу полной вероятности, получим
- Формула Байеса
Предположим, что выполняются условия предыдущего пункта и дополнительно известно, что событие A произошло. Найдём вероятность того, что при этом была реализована гипотеза H k. По определению условной вероятности
. (1.15)
Полученное соотношение называют формулой Байеса
. Она позволяет по известным
(до проведения опыта) априорным вероятностям гипотез p(H i)
и условным вероятностям p(A|H i)
определить условную вероятность p(H k |A)
, которую называют апостериорной
(то есть полученной при условии, что в результате опыта событие A
уже произошло).
Пример. 30% пациентов, поступивших в больницу, принадлежат первой социальной группе, 20% - второй и 50% - третьей. Вероятность заболевания туберкулёзом для представителя каждой социальной группы, соответственно, равна 0,02, 0,03 и 0,01. Проведенные анализы для случайно выбранного пациента показали наличие туберкулёза. Найти вероятность того, что это представитель третьей группы.
