Как узнать размер гипотенузы в прямоугольном треугольнике. Как найти длину гипотенузы

После изучения темы про прямоугольные треугольники ученики часто выбрасывают из головы всю информацию о них. В том числе и то, как найти гипотенузу, не говоря уже о том, что это такое.

И напрасно. Потому что в дальнейшем диагональ прямоугольника оказывается этой самой гипотенузой, и ее нужно найти. Или диаметр окружности совпадает с самой большой стороной треугольника, один из углов которого прямой. И найти ее без этого знания невозможно.

Существует несколько вариантов того, как найти гипотенузу треугольника. Выбор метода зависит от исходного набора данных в условии задачи величин.

Способ под номером 1: даны оба катета

Это самый запоминающийся метод, потому что использует теорему Пифагора. Только иногда ученики забывают, что по этой формуле находится квадрат гипотенузы. Значит, чтобы найти саму сторону, нужно будет извлечь квадратный корень. Поэтому формула для гипотенузы, которую принято обозначать буквой «с», будет выглядеть так:

с = √ (а 2 + в 2) , где буквами «а» и «в» записаны оба катета прямоугольного треугольника.

Способ под номером 2: известен катет и угол, который к нему прилежит

Для того чтобы узнать, как найти гипотенузу, потребуется вспомнить тригонометрические функции. А именно косинус. Для удобства будем считать, что даны катет «а» и прилежащий к нему угол α.

Теперь нужно вспомнить, что косинус угла прямоугольного треугольника равен отношению двух сторон. В числителе будет стоять значение катета, а в знаменателе — гипотенузы. Из этого следует, что последнюю можно будет сосчитать по формуле:

с = а / cos α .

Способ под номером 3: даны катет и угол, который лежит напротив него

Чтобы не запутаться в формулах, введем обозначение для этого угла — β, а сторону оставим прежнюю «а». В этом случае потребуется другая тригонометрическая функция - синус.

Как и в предыдущем примере, синус равен отношению катета к гипотенузе. Формула этого способа выглядит так:

с = а / sin β .

Для того чтобы не запутаться в тригонометрических функциях, можно запомнить простое мнемоническое привило: если в задаче идет речь о про тиволежащем угле, то нужно использовать си нус, если — о при лежащем, то ко синус. Следует обратить внимание на первые гласные в ключевых словах. Они образуют пары о-и или и-о .

Способ под номером 4: по радиусу описанной окружности

Теперь, для того чтобы узнать, как найти гипотенузу, потребуется вспомнить свойство окружности, которая описана около прямоугольного треугольника. Оно гласит следующее. Центр окружности совпадает с серединой гипотенузы. Если сказать по-другому, то самая большая сторона прямоугольного треугольника равна диагонали окружности. То есть удвоенному радиусу. Формула для этой задачи будет выглядеть так:

с = 2 * r , где буквой r обозначен известный радиус.

Это все возможные способы того, как находить гипотенузу прямоугольного треугольника. Пользоваться в каждой конкретной задаче нужно тем методом, который больше подходит по набору данных.

Пример задачи №1

Условие: в прямоугольном треугольнике проведены медианы к обоим катетам. Длина той, которая проведена к большей стороне, равна √52. Другая медиана имеет длину √73. Требуется вычислить гипотенузу.

Так как в треугольнике проведены медианы, то они делят катеты на два равных отрезка. Для удобства рассуждений и поиска того, как найти гипотенузу, нужно ввести несколько обозначений. Пусть обе половинки большего катета будут обозначены буквой «х», а другого — «у».

Теперь нужно рассмотреть два прямоугольных треугольника, гипотенузами у которых являются известные медианы. Для них нужно дважды записать формулу теоремы Пифагора :

(2у) 2 + х 2 = (√52) 2

(у) 2 + (2х) 2 = (√73) 2 .

Эти два уравнения образуют систему с двумя неизвестными. Решив их, легко можно будет найти катеты исходного треугольника и по ним его гипотенузу.

Сначала нужно все возвести во вторую степень. Получается:

4у 2 + х 2 = 52

у 2 + 4х 2 = 73.

Из второго уравнения видно, что у 2 = 73 - 4х 2 . Это выражение нужно подставить в первое и вычислить «х»:

4(73 - 4х 2) + х 2 = 52.

После преобразования:

292 - 16 х 2 + х 2 = 52 или 15х 2 = 240.

Из последнего выражения х = √16 = 4.

Теперь можно вычислить «у»:

у 2 = 73 - 4(4) 2 = 73 - 64 = 9.

По данным условия получается, что катеты исходного треугольника равны 6 и 8. Значит, можно воспользоваться формулой из первого способа и найти гипотенузу:

√(6 2 + 8 2) = √(36 + 64) = √100 = 10.

Ответ : гипотенуза равна 10.

Пример задачи №2

Условие: вычислить диагональ, проведенную в прямоугольнике с меньшей стороной, равной 41. Если известно, что она делит угол на такие, которые соотносятся как 2 к 1.

В этой задаче диагональ прямоугольника является наибольшей стороной в треугольнике с углом 90º. Поэтому все сводится к тому, как найти гипотенузу.

В задаче идет речь об углах. Это значит, что нужно будет пользоваться одной из формул, в которых присутствуют тригонометрические функции. А сначала требуется определить величину одного из острых углов.

Пусть меньший из углов, о которых идет речь в условии, будет обозначен α. Тогда прямой угол, который делится диагональю, будет равен 3α. Математическая запись этого выглядит так:

Из этого уравнения просто определить α. Он будет равен 30º. Причем он будет лежать напротив меньшей стороны прямоугольника. Поэтому потребуется формула, описанная в способе №3.

Гипотенуза равна отношению катета к синусу противолежащего угла, то есть:

41 / sin 30º = 41 / (0,5) = 82.

Ответ: гипотенуза равна 82.

В самом начале напомним, что треугольник – это многогранник, у которого имеются 3 угла. Как найти гипотенузу прямоугольного треугольника, если известны другие величины треугольника?

Инструкция

1. Известны длины катетов. В данном случае, гипотенузу можно вычислить, применяя теорему Пифагора. Данная теорема звучит так: сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. Из этого следует, чтобы рассчитать длину гипотенузы, необходимо возвести в квадрат поочередно величину каждого катета. После чего полученные цифры сложить, а из общего результата уже извлечь квадратный корень.
2. Как находить гипотенузу в треугольнике KFB, если известен катет (ВК) и прилежащий к нему угол? Известный угол обозначим α. Одно из свойств прямоугольного треугольника гласит следующее, отношение длины катета прямоугольного треугольника к длине гипотенузы равно косинусу угла, расположенного между гипотенузой и этим катетом. Записать это можно следующим образом: FB=BK*cos(α).
3. Известен другой катет (KF) и этот же самый угол α, Теперь уже он будет противолежащим. Гипотенуза также можно найти, если применить те же самые свойства прямоугольного треугольника. Здесь мы получим, отношение длины катета прямоугольного треугольника к длине его гипотенузы равно синусу угла, противолежащего катету. Записываем: FB=KF*sin(α).
4. Как найти гипотенузу треугольника, если около него описана окружность, у которой известен ее радиус. Из свойств окружности, которая описана вокруг прямоугольного треугольника известно, что у такой окружности центр совпадает с точкой гипотенузы, которая разделяет его пополам. Иными словами – радиус равен половине гипотенузы. А это значит, что два радиуса составляют гипотенузу: FB=2*R.

Зная свойства прямоугольного треугольника и теорему Пифагора, очень просто вычислить длину гипотенузы. Если вам все же сложно запомнить все свойства, тогда просто выучите готовые формулы, в которые очень просто подставить известные значения, чтобы рассчитать длину гипотенузы.

- (греч. hypoteinousa, от hypoteino быть противоположным). Сторона прямоугольного треугольника, лежащая против прямого угла. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. Чудинов А.Н., 1910. ГИПОТЕНУЗА большая сторона прямоугольного… … Словарь иностранных слов русского языка

гипотенуза - ы, ж. hypoténuse, лат.hypotenusa <, гр. мат. Сторона прямоугольного треугольника, лежащая против прямого угла. БАС 2. Ипотенуза триангуля равноуголнаго. Геогр. Ген. 165. В прямоугольном треугольнике квадрат из гипотенузы равен двум квадратам… … Исторический словарь галлицизмов русского языка

- (греч. hypoteinusa) сторона прямоугольного треугольника, лежащая против прямого угла … Большой Энциклопедический словарь

ГИПОТЕНУЗА, сторона, противоположная прямому углу в прямоугольном треугольнике. Это самая длинная сторона такого треугольника … Научно-технический энциклопедический словарь

ГИПОТЕНУЗА, гипотенузы, жен. (греч. hypoteinusa натягивающая) (мат.). Сторона прямоугольного треугольника, лежащая против прямого угла. Толковый словарь Ушакова. Д.Н. Ушаков. 1935 1940 … Толковый словарь Ушакова

ГИПОТЕНУЗА, ы, жен. В математике: сторона прямоугольного треугольника, лежащая против прямого угла. Толковый словарь Ожегова. С.И. Ожегов, Н.Ю. Шведова. 1949 1992 … Толковый словарь Ожегова

Сущ., кол во синонимов: 1 сторона (57) Словарь синонимов ASIS. В.Н. Тришин. 2013 … Словарь синонимов

гипотенуза - гипотенуза. Произношение [гипотэнуза] устарело … Словарь трудностей произношения и ударения в современном русском языке

Геометрия - не простая наука. Она требует к себе особого внимания и знания точных формул. Эта разновидность математики пришла к нам из Древней Греции и даже по прошествии нескольких тысяч лет она не теряет свою актуальность. Не стоит напрасно думать, что это бесполезный предмет, забивающий голову студентов и школьников. На самом деле геометрия применима во многих сферах жизни. Без нее знаний по геометрии не строится ни одно архитектурное сооружение, не создаются автомобили, космические корабли и самолеты. Сложные и не очень развязки дорог и колей - это все нуждается в геометрических расчетах. Да даже порой ремонт в своей комнате вы не сможете сделать без знания элементарных формул. Так что не стоит недооценивать всю важность этого предмета. Наиболее частые формулы, которые приходится использовать во многих решениях, мы изучаем еще в школе. Одна из них это нахождение гипотенузы в прямоугольном треугольнике. Чтобы разобраться в этом, читайте ниже.

Прежде чем приступить к практике, давайте начнем с основ и определим, что такое гипотенуза в прямоугольном треугольнике.

Гипотенуза - одна из сторон в прямоугольном треугольнике, которая находится напротив угла в 90 градусов (прямой угол) и всегда является самой длинной.

Существует несколько способов, как найти длину искомой гипотенузы в заданном прямоугольном треугольнике.

В случае, когда катеты нам уже известны- мы используем теорему Пифагора, где мы складываем сумму из квадратов двух катетов, что и будет равняться квадрату гипотенузы.

а и b -катеты, c- гипотенуза.

В нашем случае, для прямоугольного треугольника, соответственно, формула будет следующей:

Если подставить известные числа катетов а и b, пусть это будет а=3 а b=4, то с=√32+42 , то получим с=√25, с=5

Когда у нас известна длина лишь одного катета, то формулу можно преобразовать, чтобы найти длину второго. Выглядит это следующим образом:

В том случае, когда по условиям задачи у нас известен катет А и гипотенуза С, то можно рассчитать прямой угол треугольника, назовем его α.

Для этого воспользуемся формулой:

Пусть второй угол, который нам необходимо вычислить, будет β. Учитывая, что мы знаем сумма углов треугольника, которая составляет 180°, то: β= 180°-90°-α

В том случае, когда нам известны значения катетов, можно по формуле найти значение острого угла треугольника:

В зависимости от известных общепринятых значений, стороны прямоугольника можно найти по множеству разных формул. Приведем некоторые из них:

При решении задач с нахождением неизвестных в прямоугольном треугольнике, очень важно акцентировать внимание на уже известные вам значения и, исходя из этого, подставлять их в нужную формулу. Сразу запомнить их будет трудно, поэтому советуем вам сделать небольшую рукописную подсказку и вклеить в тетрадь.

Как видите, если вникнуть во все тонкости этой формулы, то можно без труда разобраться в этом. Рекомендуем попробовать решить несколько задач, основанных на данной формуле. После того, как увидите свой результат, вам станет ясно, поняли вы эту тему или нет. Постарайтесь не заучивать, а вникнуть в материал, это будет куда полезнее. Зазубренный материал забывается уже после первой контрольной, а эта формула вам будет встречаться достаточно часто, поэтому сначала поймите ее, а после заучивайте на память. Если эти рекомендации не дали положительного эффекта, то есть смысл в дополнительных занятиях этой темы. И помните: ученье свет, а не ученье тьма!

Как известно, геометрия – непростая наука, требующая особой аккуратности и точности в решении задач. Многие выражения и формулы, которые мы впоследствии используем в более сложных вычислениях, изложены в учебниках по математике 6-7 класса. Чтобы сделать процесс изучения тригонометрических функций более простым и приятным, в этой статье мы рассмотрим несколько коротких способ вычисления гипотенузы прямоугольного треугольника.

Как найти гипотенузу по катетам?

Вспомним немного теории: прямоугольным треугольником называют плоскую фигуру, у которой есть три угла. Один из них имеет величину 90º, а стороны называют катетами и гипотенузой. Та сторона, которая противолежит прямому углу, и есть гипотенуза, а остальные две – это прилежащие катеты. Главная игра сторон проявляется в теореме Пифагора, согласно которой гипотенуза равняется сумме квадратов катетов. Однако это лишь кажется запутанным, ведь на самом деле все гораздо проще.

Свойства геометрической фигуры

Перед тем, как найти гипотенузу треугольника, необходимо разобраться, какие особенности имеет данная фигура. Рассмотрим главные из них:

1. В прямоугольном треугольнике оба острых угла в сумме будут равны 90º.
2. Катет, лежащий против угла в 30º, будет равен ½ от величины гипотенузы.
3. Если катет равен ½ от значения гипотенузы, тогда второй угол будет иметь такую же величину – 30º.

Найти гипотенузу в прямоугольном треугольнике можно несколькими способами. Самым простым решением является вычисление через катеты. Допустим, вам известны значения катетов сторон А и В. Тогда на выручку приходит теорема Пифагора, повествующая нам, что если поставить каждую величину катета в квадрат и просуммировать полученные данные, мы узнаем чему равна гипотенуза. Таким образом, нам необходимо просто извлечь значение квадратного корня:

Например, если катет А = 3 см, а катет В = 4 см, тогда вычисление будет иметь следующий вид:

Как найти гипотенузу через угол?

Еще одним способом, который поможет узнать, чему равна гипотенуза в прямоугольном треугольнике, является вычисление через заданный угол. Для этого нам потребуется вывести величину через формулу синуса. Допустим, нам известна величина катета (А) и значение противолежащего угла (α). Тогда все решение заключается в одной формуле: С=А/sin(α).

Например, если длина катета 40 см, а угол составляет 45°, тогда длину гипотенузы можно вывести следующим образом:

40/sin(45°) = 40/0,71 = 56,33.

Определить искомую величину можно также через косинус заданного угла. Допустим, нам известно значение одного катета (В) и острого прилежащего угла (α). Тогда для решения задачи понадобится одна формула: С=В/ cos(α).

К примеру, если длина катета имеет значение 50 см, а угол составляет 45°, тогда гипотенузу можно вычислить следующим образом:

50/cos(45°) = 50/0,71 = 80,42.

Таким образом, мы рассмотрели основные способы как узнать гипотенузу в треугольнике. В ходе решения задания важно сконцентрировать внимание на имеющихся данных, тогда найти неизвестную величину будет достаточно просто. Необходимо знать всего пару формул и процесс решения задач станет простым и приятным.