Начертить график функции y x2. График функции

«Натуральный логарифм» - 0,1. Натуральные логарифмы. 4. «Логарифмический дартс». 0,04. 7. 121.

«Степенная функция 9 класс» - У. Кубическая парабола. У = х3. 9 класс учитель Ладошкина И.А. У = х2. Гипербола. 0. У = хn, у = х-n где n – заданное натуральное число. Х. Показатель – четное натуральное число (2n).

«Квадратичная функция» - 1 Определение квадратичной функции 2 Свойства функции 3 Графики функции 4 Квадратичные неравенства 5 Вывод. Свойства: Неравенства: Подготовил ученик 8А класса Герлиц Андрей. План: График: -Промежутки монотонности при а > 0 при а < 0. Квадратичная функция. Квадратичные функции используются уже много лет.

«Квадратичная функция и её график» - Решение.у=4x А(0,5:1) 1=1 А-принадлежит. При а=1 формула у=аx принимает вид.

«8 класс квадратичная функция» - 1) Построить вершину параболы. Построение графика квадратичной функции. x. -7. Построить график функции. Алгебра 8 класс Учитель 496 школы Бовина Т. В. -1. План построения. 2) Построить ось симметрии x=-1. y.

Построение графиков функций, содержащих модули, обычно вызывает немалые затруднения у школьников. Однако, все не так плохо. Достаточно запомнить несколько алгоритмов решения таких задач, и вы сможете без труда построить график даже самой на вид сложной функции. Давайте разберемся, что же это за алгоритмы.

1. Построение графика функции y = |f(x)|

Заметим, что множество значений функций y = |f(x)| : y ≥ 0. Таким образом, графики таких функций всегда расположены полностью в верхней полуплоскости.

Построение графика функции y = |f(x)| состоит из следующих простых четырех этапов.

1) Построить аккуратно и внимательно график функции y = f(x).

2) Оставить без изменения все точки графика, которые находятся выше оси 0x или на ней.

3) Часть графика, которая лежит ниже оси 0x, отобразить симметрично относительно оси 0x.

Пример 1. Изобразить график функции y = |x 2 – 4x + 3|

1) Строим график функции y = x 2 – 4x + 3. Очевидно, что график данной функции – парабола. Найдем координаты всех точек пересечения параболы с осями координат и координаты вершины параболы.

x 2 – 4x + 3 = 0.

x 1 = 3, x 2 = 1.

Следовательно, парабола пересекает ось 0x в точках (3, 0) и (1, 0).

y = 0 2 – 4 · 0 + 3 = 3.

Следовательно, парабола пересекает ось 0y в точке (0, 3).

Координаты вершины параболы:

x в = -(-4/2) = 2, y в = 2 2 – 4 · 2 + 3 = -1.

Следовательно, точка (2, -1) является вершиной данной параболы.

Рисуем параболу, используя полученные данные (рис. 1)

2) Часть графика, лежащую ниже оси 0x, отображаем симметрично относительно оси 0x.

3) Получаем график исходной функции (рис. 2 , изображен пунктиром).

2. Построение графика функции y = f(|x|)

Заметим, что функции вида y = f(|x|) являются четными:

y(-x) = f(|-x|) = f(|x|) = y(x). Значит, графики таких функций симметричны относительно оси 0y.

Построение графика функции y = f(|x|) состоит из следующей несложной цепочки действий.

1) Построить график функции y = f(x).

2) Оставить ту часть графика, для которой x ≥ 0, то есть часть графика, расположенную в правой полуплоскости.

3) Отобразить указанную в пункте (2) часть графика симметрично оси 0y.

4) В качестве окончательного графика выделить объединение кривых, полученных в пунктах (2) и (3).

Пример 2. Изобразить график функции y = x 2 – 4 · |x| + 3

Так как x 2 = |x| 2 , то исходную функцию можно переписать в следующем виде: y = |x| 2 – 4 · |x| + 3. А теперь можем применять предложенный выше алгоритм.

1) Строим аккуратно и внимательно график функции y = x 2 – 4 · x + 3 (см. также рис. 1 ).

2) Оставляем ту часть графика, для которой x ≥ 0, то есть часть графика, расположенную в правой полуплоскости.

3) Отображаем правую часть графика симметрично оси 0y.

(рис. 3) .

Пример 3. Изобразить график функции y = log 2 |x|

Применяем схему, данную выше.

1) Строим график функции y = log 2 x (рис. 4) .

3. Построение графика функции y = |f(|x|)|

Заметим, что функции вида y = |f(|x|)| тоже являются четными. Действительно, y(-x) = y = |f(|-x|)| = y = |f(|x|)| = y(x), и поэтому, их графики симметричны относительно оси 0y. Множество значений таких функций: y ≥ 0. Значит, графики таких функций расположены полностью в верхней полуплоскости.

Чтобы построить график функции y = |f(|x|)|, необходимо:

1) Построить аккуратно график функции y = f(|x|).

2) Оставить без изменений ту часть графика, которая находится выше оси 0x или на ней.

3) Часть графика, расположенную ниже оси 0x, отобразить симметрично относительно оси 0x.

4) В качестве окончательного графика выделить объединение кривых, полученных в пунктах (2) и (3).

Пример 4. Изобразить график функции y = |-x 2 + 2|x| – 1|.

1) Заметим, что x 2 = |x| 2 . Значит, вместо исходной функции y = -x 2 + 2|x| – 1

можно использовать функцию y = -|x| 2 + 2|x| – 1, так как их графики совпадают.

Строим график y = -|x| 2 + 2|x| – 1. Для этого применяем алгоритм 2.

a) Строим график функции y = -x 2 + 2x – 1 (рис. 6) .

b) Оставляем ту часть графика, которая расположена в правой полуплоскости.

c) Отображаем полученную часть графика симметрично оси 0y.

d) Полученный график изображен на рисунке пунктиром (рис. 7) .

2) Выше оси 0х точек нет, точки на оси 0х оставляем без изменения.

3) Часть графика, расположенную ниже оси 0x, отображаем симметрично относительно 0x.

4) Полученный график изображен на рисунке пунктиром (рис. 8) .

Пример 5. Построить график функции y = |(2|x| – 4) / (|x| + 3)|

1) Сначала необходимо построить график функции y = (2|x| – 4) / (|x| + 3). Для этого возвращаемся к алгоритму 2.

a) Аккуратно строим график функции y = (2x – 4) / (x + 3) (рис. 9) .

Заметим, что данная функция является дробно-линейной и ее график есть гипербола. Для построения кривой сначала необходимо найти асимптоты графика. Горизонтальная – y = 2/1 (отношение коэффициентов при x в числителе и знаменателе дроби), вертикальная – x = -3.

2) Ту часть графика, которая находится выше оси 0x или на ней, оставим без изменений.

3) Часть графика, расположенную ниже оси 0x, отобразим симметрично относительно 0x.

4) Окончательный график изображен на рисунке (рис. 11) .

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Ранее мы изучали другие функции, например линейную, напомним ее стандартный вид:

отсюда очевидное принципиальное отличие - в линейной функции х стоит в первой степени, а в той новой функции, к изучению которой мы приступаем, х стоит во второй степени.

Напомним, что графиком линейной функции является прямая линия, а графиком функции , как мы увидим, является кривая, называемая параболой.

Начнем с того, что выясним, откуда появилась формула . Объяснение таково: если нам задан квадрат со стороной а , то площадь его мы можем вычислить так:

Если мы будем менять длину стороны квадрата, то и его площадь будет изменяться.

Итак, приведена одна из причин, по которой изучается функция

Напомним, что переменная х - это независимая переменная, или аргумент, в физической интерпретации это может быть, например, время. Расстояние это наоборот зависимая переменная, оно зависит от времени. Зависимой переменной или функцией называется переменная у .

Это закон соответствия, согласно которому каждому значению х ставится в соответствие единственное значение у .

Любой закон соответствия должен удовлетворять требованию единственности от аргумента к функции. В физической интерпретации это выглядит достаточно понятно на примере зависимости расстояния от времени: в каждый момент времени мы находимся на каком-то конкретном расстоянии от начального пункта, и невозможно одновременно в момент времени t находится и в 10 и в 20 километрах от начала пути.

В то же время каждое значение функции может достигаться при нескольких значениях аргумента.

Итак, нам нужно построить график функции , для этого составить таблицу. Потом по графику исследовать функцию и ее свойства. Но уже до построения графика по виду функции мы можем кое-что сказать о ее свойствах: очевидно, что у не может принимать отрицательных значений, так как

Итак, составим таблицу:

Рис. 1

По графику несложно отметить следующие свойства:

Ось у - это ось симметрии графика;

Вершина параболы - точка (0; 0);

Мы видим, что функция принимает только неотрицательные значения;

На промежутке, где функция убывает, а на промежутке, где функция возрастает;

Наименьшее значение функция приобретает в вершине, ;

Наибольшего значения функции не существует;

Пример 1

Условие:

Решение:

Поскольку х по условию изменяется на конкретном промежутке, можем сказать о функции, что она возрастает и изменяется на промежутке . Функция имеет на этом промежутке минимальное значение и максимальное значение

Рис. 2. График функции y = x 2 , x ∈

Пример 2

Условие: Найти наибольшее и наименьшее значение функции:

Решение:

х изменяется на промежутке , значит у убывает на промежутке пока и возрастает на промежутке пока .

Итак, пределы изменения х , а пределы изменения у , а, значит, на данном промежутке существует и минимальное значение функции , и максимальное

Рис. 3. График функции y = x 2 , x ∈ [-3; 2]

Проиллюстрируем тот факт, что одно и то же значение функции может достигаться при нескольких значениях аргумента.