Главная » Дизайн ванной комнаты » Примеры на тему сложение отрицательных чисел. Сложение чисел с помощью координатной прямой. Основное правило сложения натуральных чисел

Примеры на тему сложение отрицательных чисел. Сложение чисел с помощью координатной прямой. Основное правило сложения натуральных чисел

На действиях с положительными и отрицательными числами основан практически весь курс математики. Ведь как только мы приступаем к изучению координатной прямой, числа со знаками «плюс» и «минус» начинают встречаться нам повсеместно, в каждой новой теме. Нет ничего проще, чем сложить между собой обычные положительные числа, нетрудно и вычесть одно из другого. Даже арифметические действия с двумя отрицательными числами редко становятся проблемой.

Однако многие путаются в сложении и вычитании чисел с разными знаками. Напомним правила, по которым происходят эти действия.

Сложение чисел с разными знаками

Если для решения задачи нам требуется прибавить к некоторому числу «а» отрицательное число «-b», то действовать нужно следующим образом.

Возьмем модули обоих чисел - |a| и |b| - и сравним эти абсолютные значения между собой.
Отметим, какой из модулей больше, а какой меньше, и вычтем из большего значения меньшее.
Поставим перед получившимся числом знак того числа, модуль которого больше.

Это и будет ответом. Можно выразиться проще: если в выражении a + (-b) модуль числа «b» больше, чем модуль «а», то мы отнимаем «а» из «b» и ставим «минус» перед результатом. Если больше модуль «а», то «b» вычитается из «а» - а решение получается со знаком «плюс».

Бывает и так, что модули оказываются равны. Если так, то на этом месте можно остановиться - речь идет о противоположных числах, и их сумма всегда будет равна нулю.

Вычитание чисел с разными знаками

Со сложением мы разобрались, теперь рассмотрим правило для вычитания. Оно тоже довольно простое - и кроме того, полностью повторяет аналогичное правило для вычитания двух отрицательных чисел.

Для того, чтобы вычесть из некоего числа «а» - произвольного, то есть с любым знаком - отрицательное число «с», нужно прибавить к нашему произвольному числу «а» число, противоположное «с». Например:

Если «а» - положительное число, а «с» - отрицательное, и из «а» нужно вычесть «с», то записываем так: а – (-с) = а + с.
Если «а» - отрицательное число, а «с» - положительное, и из «а» нужно вычесть «с», то записываем следующим образом: (- а)– с = - а+ (-с).

Таким образом, при вычитании чисел с разными знаками в итоге мы возвращаемся к правилам сложения, а при сложении чисел с разными знаками - к правилам вычитания. Запоминание данных правил позволяет решать задачи быстро и без труда.

Урок и презентация на тему: "Примеры сложения и вычитания отрицательных чисел"

Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания. Все материалы проверены антивирусной программой.

Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 6 класса
Электронная рабочая тетрадь по математике для 6 класса
Интерактивный тренажер к учебнику Виленкина Н.Я.

Ребята, давайте повторим пройденный материал.

Сложение - это математическая операция, после выполнения которой, мы получим сумму исходных чисел (первого слагаемого и второго слагаемого).

Модуль числа - это расстояние на координатной прямой от начала координат до какой-либо точки.
У модуля числа есть определенные свойства:
1. Модуль числа нуль равен нулю.
2. Модуль положительного числа, например, пяти есть само число пять.
3. Модуль отрицательного числа, например, минус семь есть положительное число семь.

Сложение двух отрицательных чисел

При сложении двух отрицательных чисел, можно использовать понятие модуля. Тогда можно отбросить знаки чисел и сложить их модули, а сумме присвоить отрицательный знак, поскольку изначально оба числа были отрицательными.

Например, необходимо сложить числа: - 5 + (-23)=?
Отбрасываем знаки и сложим модули чисел. Получим: 5 + 23 = 28.
Теперь присвоим полученной сумме знак минус.
Ответ: -28.

Ещё примеры сложения.

39 + (-45) = - 84
-193 + (-205) = -398

При сложении дробных чисел, можно использовать этот же метод.

Пример: -0,12 + (-3,4) = -3,52

Сложение положительного и отрицательного чисел

Сложение чисел с разными знаками немного отличается от сложения чисел с одинаковыми знаками.

Рассмотрим пример: 14 + (-29) =?
Решение.
1. Отбрасываем знаки, получаем числа 14 и 29.
2. Из большего по модуля числа вычитаем меньшее: 29 - 14.
3. Перед разностью ставим знак числа, у которого больше модуль. В нашем примере - это число -29.

14 + (-29) = -15

Ответ: -15.

Сложение чисел с помощью числовой прямой

Если при сложении отрицательных чисел у вас возникают трудности, то можно использовать метод числовой прямой. Он нагляден и удобен для маленьких чисел.
Например, сложим два числа: -6 и +8. Отметим на числовой прямой точку -6.

Затем переместим точку, обозначающую число -6, на восемь позиций вправо, т.к. второе слагаемое равно +8 и попадем в точку, обозначающую число +2.

Ответ: +2.

Пример 2.
Сложим два отрицательных числа: -2 и (-4).
Отметим на числовой прямой точку -2.

Затем переместим её на четыре позиции влево, т.к. второе слагаемое равно -4 и попадем в точку -6.

Ответ -6.

Этот метод удобен, но он громоздкий, ведь нужно рисовать числовую прямую.

В рамках этого материала мы затронем такую важную тему, как сложение отрицательных чисел. В первом параграфе мы расскажем основное правило для этого действия, а во втором – разберем конкретные примеры решения подобных задач.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Основное правило сложения натуральных чисел

Перед тем, как вывести правило, вспомним, что мы вообще знаем о положительных и отрицательных числах. Ранее мы условились, что отрицательные числа нужно воспринимать как долг, убыток. Модуль отрицательного числа выражает точные размеры этого убытка. Тогда сложение отрицательных чисел можно представить как сложение двух убытков.

Воспользовавшись этим рассуждением, сформулируем основное правило сложения отрицательных чисел.

Определение 1

Для того чтобы выполнить сложение отрицательных чисел , нужно сложить значения их модулей и поставить минус перед полученным результатом. В буквенном виде формула выглядит как (− a) + (− b) = − (a + b) .

Исходя из этого правила, можно сделать вывод, что сложение отрицательных чисел аналогично сложению положительных, только в итоге у нас обязательно должно получиться отрицательное число, ведь перед суммой модулей надо ставить знак минус.

Какие можно привести доказательства этого правила? Для этого нам потребуется вспомнить основные свойства действий с действительными числами (или с целыми, или с рациональными –они одинаковы для всех этих типов чисел). Для доказательства нам нужно всего лишь продемонстрировать, что разность левой и правой части равенства (− a) + (− b) = − (a + b) будет равна 0 .

Вычесть одно число из другого – это то же самое, что и прибавить к нему такое же противоположное число. Следовательно, (− a) + (− b) − (− (a + b)) = (− a) + (− b) + (a + b) . Вспомним, что числовые выражения со сложением обладают двумя основными свойствами – сочетательным и переместительным. Тогда мы можем сделать вывод, что (− a) + (− b) + (a + b) = (− a + a) + (− b + b) . Поскольку, сложив противоположные числа, мы всегда получаем 0 , то (− a + a) + (− b + b) = 0 + 0 , а 0 + 0 = 0 .Наше равенство можно считать доказанным, значит, и правило сложения отрицательных чисел мы тоже доказали.

Во втором параграфе мы возьмем конкретные задачи, где нужно складывать отрицательные числа, и попробуем применить в них изученное правило.

Пример 1

Найдите сумму двух отрицательных чисел - 304 и - 18 007 .

Решение

Выполним действия пошагово. Сначала нам надо найти модули складываемых чисел: - 304 = 304 , - 180007 = 180007 . Далее нам нужно выполнить действие сложения, для чего мы используем метод подсчета столбиком:

Все, что нам осталось, – это поставить минус перед результатом и получить - 18 311 .

Ответ: - - 18 311 .

От того, какие у нас числа, зависит, к чему мы можем свести действие сложения: к нахождению суммы натуральных чисел, к сложению обыкновенных или десятичных дробей. Разберем задачу с такими числами.

Пример N

Найдите сумму двух отрицательных чисел - 2 5 и − 4 , (12) .

Решение

Находим модули искомых чисел и получаем 2 5 и 4 , (12) . У нас получились две разные дроби. Сведем задачу к сложению двух обыкновенных дробей, для чего представим периодическую дробь в виде обыкновенной:

4 , (12) = 4 + (0 , 12 + 0 , 0012 + . . .) = 4 + 0 , 12 1 - 0 , 01 = 4 + 0 , 12 0 , 99 = 4 + 12 99 = 4 + 4 33 = 136 33

В итоге мы получили дробь, которую будет легко сложить с первым исходным слагаемым (если вы забыли, как правильно складывать дроби с разными знаменателями, повторите соответствующий материал).

2 5 + 136 33 = 2 · 33 5 · 33 + 136 · 5 33 · 5 = 66 165 + 680 165 = 764 165 = 4 86 105

В итоге мы получили смешанное число, перед которым нам осталось только поставить минус. На этом расчеты завершены.

Ответ: - 4 86 105 .

Действительные отрицательные числа складываются аналогичным образом. Результат такого действия принято записывать числовым выражением. Его значение можно и не вычислять или ограничиться примерными расчетами. Так, к примеру, если нам надо найти сумму - 3 + (− 5) , то ответ мы записываем как - 3 − 5 . Сложению действительных чисел мы посвятили отдельный материал, в котором можно найти и другие примеры.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Методическая разработка урока по теме

«Сложение отрицательных чисел»

Математика, 6 класс

Урок с использованием электронных ресурсов, в системе деятельностного метода обучения, по теме «Сложение отрицательных чисел».

ГУСЕВА СВЕТЛАНА ВИКТОРОВНА, учитель математики МКОУ «Илирская СОШ №2», Иркутская область, Братский район, п. Прибрежный.

Тип урока:

Урок изучения и первичного закрепления новых знаний с использованием компьютерных технологий.

Цель урока:

активизировать познавательную деятельность учащихся;
познакомить учащихся с правилом сложения отрицательных чисел и сформировать навык действий с отрицательными числами;
познакомить учащихся с историей математики.

Образовательные: способствовать формированию у учащихся умения складывать отрицательные числа, пользуясь правилом; овладение математической терминологией;

Развивающие: развитие творческой, речевой, мыслительной активности, используя различные формы работы;

Воспитательные: воспитание внимательности, активности и настойчивости в достижении цели, привитие навыков самостоятельной работы.

Оборудование: Мультимедийная установка

Целесообразность использования медиапроектора на уроке:

Интенсификация учебно-воспитательного процесса (увеличение количества предлагаемой информации, уменьшение времени подачи материала);
Повышение эффективности усвоения учебного материала.

Формируемые УУД:

Предметные – создание ситуации для формирования умения складывать отрицательные числа, используя при этом алгоритм сложения отрицательных чисел;

Регулятивные - создание ситуации для оценки и самооценки умений по теме урока.

Познавательные – самостоятельное выделение и формулирование познавательной цели, извлечение необходимой информации из прослушанного материала

Коммуникативные - умение вести учебное сотрудничество на уроке с учителем, одноклассниками и умений обосновывать ответ, используя созданный алгоритм.

Личностные - умение провести самооценку, организовать взаимооценку при работе в парах.

Ход урока

I.Организационный момент. Здравствуйте! Сегодня на уроке мы должны сделать очень важное открытие. Чтобы наш урок прошел хорошо:

Друг к другу повернитесь,

Друг другу улыбнитесь,

Пожелайте удачи,

А теперь садитесь.

У вас на столах лежат смайлики. Выберите тот смайлик, который соответствует вашему настроению, с которым вы пришли на урок, и прикрепите его на оценочную карту.
II.Актуализация знаний.


1,5 + 1	– 6 + (– 2)

На прошлых уроках мы познакомились с новыми числами. Какими? (отрицательными). Какие числа вы теперь знаете? (натуральные, целые, дробные (десятичные и обыкновенные), отрицательные). А какие действия вы умеете выполнять с числами? (сложение, вычитание, умножение, деление). Со всеми числами вы умеете выполнять эти действия? С какими числами мы еще не умеем работать? (отрицательными). Мы научились работать с этими числами с помощью координатной прямой. Это удобный способ? (Нет). Значит, чему нам следует научиться? (Действиям с отрицательными числами). А какое действие с числами изучается в первую очередь? Обсудите это с соседом! Готовы? Проверим! Решите несколько примеров

Вы смогли выполнить задание? (Нет, частично) Что не получается? В чем сомневаетесь? (Последний пример) Чем этот пример не похож на предыдущие? (Сначала складывали положительные числа, а здесь надо сложить отрицательные.) Какой возникает вопрос? (Как выполнять сложение отрицательных чисел?) Какая тема будет у нас сегодня на уроке? (Сложение отрицательных чисел)

Запишите тему урока в тетрадь: « Сложение отрицательных чисел».

III Подготовка к активной учебно-познавательной деятельности на основном этапе урока.

Работа в парах, повторение теоретического материала

Обсудите с соседом понятия, связанные с отрицательными числами. Ребята опрашивают друг друга и оценивают.
- Какие числа называется отрицательными?
- Где на координатной прямой расположены отрицательные числа?
- Какие числа называются противоположными?
- Какие числа называются неотрицательными?
- Какие числа называются неположительными?
- Какие числа называются целыми?
- Что такое модуль числа?
- Свойства модуля.
- Где используется модуль числа?
- Как сравнить отрицательные числа?
- Как складывают числа с помощью координатной прямой?

Придумайте слова, которые встречаются в жизни и ассоциируются с отрицательными числами. (убыток, проигрыш, долг, расход, глубина, мороз)

Историческая справка .(доклад ученика)

Еще во 2 веке до нашей эры китайский император Ши Хуан Ди, разгневавшись на ученых, повелел все научные книги сжечь, а их авторов и читателей казнить. Содержание этих книг дошло до нас лишь в отрывках. откуда известно, что китайцы не знали правила сложения отрицательных чисел.

История говорит о том, что люди долго не могли привыкнуть к отрицательным числам. Они казались непонятными, ими не пользовались, просто не видели особого смысла. Положительные числа долго трактовались как «прибыль», а отрицательные – как «долг», «убыток». В Италии, например, ростовщики, давая деньги в долг, ставили перед именем должника сумму долга и черточку, что-то вроде нашего минуса, а когда должник возвращал долг, зачеркивали ее, получалось что-то вроде нашего плюса.

Подобным образом знаки « + » и « - » широко использовались в торговле. Но как математические их ввел немецкий математик Ян Видман в 15 веке в своем сочинении «Быстрый и красивый счет для всего купечества».

IV Усвоение новых знаний.

Как вы думаете, зачем мы повторили эти понятия?
(Они помогут нам при изучении новой темы.)
Решим задачи:

По итогам предыдущих матчей команда «Спартак» имела 6 штрафных очков. В ходе очередной игры команда получила еще 2 штрафных очка. Сколько штрафных очков имеет команда «Спартак» на своем счету? (8 штрафных очков)
Температура воздуха в полдень была 14° мороза, а к вечеру она понизилась еще на 4°. Какой стала температура воздуха вечером? (18° мороза)

Как можно записать решение этих задач, используя математические понятия и символы?

(Штрафные очки можно записать, используя отрицательные числа.

Тогда – 6 + (– 2) = – 8)

(Температура в полдень была – 14°, а к вечеру изменилась на – 4°.

Тогда – 14 + (– 4) = – 18)

Кто попробует сформулировать правило сложения отрицательных чисел?

(Чтобы сложить два отрицательных числа, надо:

сложить их модули; поставить перед полученным числом знак минус;)

Возьмите конверты, лежащие у вас на парте и, работая вместе с соседом, составьте буквенное равенство правила сложения отрицательных чисел.

А + (- b) =

- (│-a│ + │- b│)

V. Первичное закрепление.

Выполнив задание, вы узнаете, как звали индийского математика, который первый изложил правила действий с отрицательными числами. Решите примеры и примените ключ.

11+(-24)= А -34+(-49)= М -80+(-11)= Т

12+(-13)= Б -13+(-44)= П -75+(-24)= Г

28+(-27)= У -59+(-27)= Р -62+(-36)= Х

Брахмагупта - индийский математик и астроном, первый сформулировал правила действий с отрицательными числами. Он излагал правило сложения отрицательных чисел: «Сумма двух долгов есть долг».

Работа с учебником.

№ 1045 (а – з) устно с комментариями.

№ 1045 (л, м) ученик у доски работает вместе с классом.

VI. Суперфизминутка (видео)

VII. Этап применения знаний и умений.

Найти ошибку: (на доске записаны примеры)

1) -17 + (-56) = 73

2) -38 + (-15) = -53

3) -27 + (-14) = -42

4) -3,7 + (-2,1) = 5,8

5) -7,3 + (-9) = -8,2

Из учебника:

№ 1047 (б):

Как называется данное выражение? (буквенное)

Сколько здесь слагаемых? (3)

Сколько действий будем делать? (одно)

х + у + (-16) = (-9,1) + (-7,4) + (-16) = -(9,1 + 7,4 + 16) = -32,5.

Кто быстро решает, может сделать под буквой в): ответ -21 5/6.

Графический диктант (если согласны с утверждением, то рисуем ^, иначе _)

Сумма -18 и 0 равна 18
Сумма минус шести и минус трех равна минус девяти
Сумма минус десяти и десяти равна нулю
Модуль суммы минус трех и минус четырех равен минус семи?
Сумма двух отрицательных чисел есть число отрицательное.

Ответ: -^^-^ Поменялись тетрадками и оценили работу соседа

Обучающая самостоятельная работа: работа по печатному материалу.

Ответы для проверки на слайде. Учащиеся выполняют тренировочные упражнения, работая индивидуально, проверку осуществляют в парах.

Кто быстро справился с заданием получает дополнительную карточку.

Когда все закончат решать – взаимопроверка (поменяться тетрадями).

VIII.Рефлексивно – оценочный этап.

Пришло время подвести итог нашей работы.

Чему мы научились на уроке?

/ Складывать отрицательные числа./

Как сложить отрицательные числа?

/Учащиеся озвучивают правило сложения отрицательных чисел/

Индийский математик Брахмагупта (VII – в) излагал правило сложения отрицательных чисел: «Сумма двух долгов есть долг». Что он имел в виду?

/При сложении отрицательных чисел результат – отрицательное число./

Что важно запомнить с урока?

/Правило сложения отрицательных чисел/

Над чем еще надо поработать?

/Дети анализируют ошибки, допущенные ими в ходе выполнения упражнений./

Выберите тот смайлик, который соответствует вашему настроению, с которым вы уходите с урока, и прикрепите его в конце оценочной карты. Запишите домашнее задание:

П.32, №1056.

Человек обладает положительными и отрицательными качествами. распределите эти качества на координатной прямой. А на следующем уроке мы посмотрим, у кого что получилось.

Правило сложения отрицательных чисел

Если вспомнить урок математики и тему «Сложение и вычитание чисел с разными знаками», то для сложения двух отрицательных чисел необходимо:

выполнить сложение их модулей;
дописать к полученной сумме знак «–».

Согласно правилу сложения можно записать:

$(−a)+(−b)=−(a+b)$.

Правило сложения отрицательных чисел применяется к отрицательным целым, рациональным и действительным числам.

Пример 1

Сложить отрицательные числа $−185$ и $−23 \ 789.$

Решение .

Воспользуемся правилом сложения отрицательных чисел.

Найдем модули данных чисел:

$|-23 \ 789|=23 \ 789$.

Выполним сложение полученных чисел:

$185+23 \ 789=23 \ 974$.

Поставим знак $«–»$ перед найденным числом и получим $−23 \ 974$.

Краткая запись решения: $(−185)+(−23 \ 789)=−(185+23 \ 789)=−23 \ 974$.

Ответ : $−23 \ 974$.

При сложении отрицательных рациональных чисел их необходимо преобразовать к виду натуральных чисел, обыкновенных или десятичных дробей.

Пример 2

Сложить отрицательные числа $-\frac{1}{4}$ и $−7,15$.

Решение.

Согласно правилу сложения отрицательных чисел, сначала необходимо найти сумму модулей:

$|-\frac{1}{4}|=\frac{1}{4}$;

Полученные значения удобно свести к десятичным дробям и выполнить их сложение:

$\frac{1}{4}=0,25$;

$0,25+7,15=7,40$.

Поставим перед полученным значением знак $«–»$ и получим $–7,4$.

Краткая запись решения:

$(-\frac{1}{4})+(−7,15)=−(\frac{1}{4}+7,15)=–(0,25+7,15)=−7,4$.

Для сложения положительного и отрицательного числа необходимо:

вычислить модули чисел;

выполнить сравнение полученных чисел:

если они равны, то исходные числа являются противоположными и их сумма равна нулю;
если они не равны, то нужно запомнить знак числа, у которого модуль больше;

из большего модуля вычесть меньший;
перед полученным значением поставить знак того числа, у которого модуль больше.

Сложение чисел с противоположными знаками сводится к вычитанию из большего положительного числа меньшего отрицательного числа.

Правило сложения чисел с противоположными знаками выполняется для целых, рациональных и действительных чисел.

Пример 3

Сложить числа $4$ и $−8$.

Решение.

Требуется выполнить сложение чисел с противоположными знаками. Воспользуемся соответствующим правилом сложения.

Найдем модули данных чисел:

Модуль числа $−8$ больше модуля числа $4$, т.е. запомним знак $«–»$.

Поставим знак $«–»$, который запоминали, перед полученным числом, и получим $−4.$

Краткая запись решения:

$4+(–8) = –(8–4) = –4$.

Ответ : $4+(−8)=−4$.

Для сложения рациональных чисел с противоположными знаками их удобно представить в виде обыкновенных или десятичных дробей.

Вычитание чисел с разными и отрицательными знаками

Правило вычитания отрицательных чисел:

Для вычитания из числа $a$ отрицательного числа $b$ необходимо к уменьшаемому $a$ добавить число $−b$, которое является противоположным вычитаемому $b$.

Согласно правилу вычитания можно записать:

$a−b=a+(−b)$.

Данное правило справедливо для целых, рациональных и действительных чисел. Правило можно использовать при вычитании отрицательного числа из положительного числа, из отрицательного числа и из нуля.

Пример 4

Вычесть из отрицательного числа $−28$ отрицательное число $−5$.

Решение.

Противоположное число для числа $–5$ – это число $5$.

Согласно правилу вычитания отрицательных чисел получим:

$(−28)−(−5)=(−28)+5$.

Выполним сложение чисел с противоположными знаками:

$(−28)+5=−(28−5)=−23$.

Ответ : $(−28)−(−5)=−23$.

При вычитании отрицательных дробных чисел необходимо выполнить преобразование чисел к виду обыкновенных дробей, смешанных чисел или десятичных дробей.