Спаянный куб подключили в цепь. Сопротивление куба. Сопротивление куба между прилежащими вершинами одной грани

Цели: обучающая : систематизировать знания и умения учащихся решать задачи ан расчет эквивалентных сопротивлений с помощью моделей, каркасов и т.д.

Развивающая: развитие навыков логического мышления абстрактного мышления, умений заменять схемы эквивалентности, упрощать расчет схем.

Воспитательная: воспитание чувства ответственности, самостоятельности, необходимости навыков приобретенных на уроке в будущем

Оборудование: проволочный каркас куба, тетраэдера, сетки бесконечной цепочки сопротивлений.

ХОД УРОКА

Актуализация:

1. Учитель: “Вспомним последовательное соединение сопротивлений”.

Учащиеся на доске зарисовывают схему.

и записывают

U об =U 1 +U 2

Y об =Y 1 =Y 2

Учитель: вспомним параллельное соединение сопротивлений.

Учащийся на доске зарисовывает элементарную схему:

Y об =Y 1 =Y 2

; для для n равных

Учитель: А теперь будем решать задачи на расчет эквивалентного сопротивления участок цепи представлен в виде геометрической фигуры, либо металлической сетки.

Задача № 1

Проволочный каркас в виде куба, рёбра которого представляют равные сопротивления R. Рассчитать эквивалентное сопротивление между точками А и В. Чтобы рассчитать эквивалентное сопротивление данного каркаса необходимо заменить эквивалентной схемой. Точки 1, 2, 3 имеют одинаковый потенциал, их можно соединить в один узел. А точки (вершины) куба 4, 5, 6 можно соединить в другой узел по той же причине. Учащиеся имеют на каждой парте такую модель. После выполнения описанных действий зарисовывают эквивалентную схему.

На участке АС эквивалентное сопротивление ; на СD ; на DB ; и окончательно для последовательного соединения сопротивлений имеем:

По тому же принципу потенциалы точек А и 6 равны, В и 3 равны. Учащиеся совмещают эти точки на своей модели и получают эквивалентную схему:

Расчёт эквивалентного сопротивления такой цепи прост

Задача № 3

Эта же модель куба, с включением в цепь между точками 2 и В. Учащиеся соединяют точки с равными потенциалами 1 и 3; 6 и 4. Тогда схема будет выглядеть так:

Точки 1,3 и 6,4 имеют равные потенциалы, и ток по сопротивлениям между этими точками не потечёт и схема упрощается до вида; эквивалентное сопротивление которой рассчитывается так:

Задача № 4

Равносторонняя треугольная пирамида, ребро которой имеет сопротивление R. Рассчитать эквивалентное сопротивление при включении в цепь.

Точки 3 и 4 имеют равный потенциал, поэтому по ребру 3,4 ток не потечёт. Учащиеся убирают его.

Тогда схема будет выглядеть так:

Эквивалентное сопротивление рассчитывается так:

Задача № 5

Металлическая сетка с сопротивлением звена равном R. Рассчитать эквивалентное сопротивление между точками 1 и 2.

В точке 0 можно звенья отделить, тогда схема будет иметь вид:

- сопротивление одной половины симметричной по 1-2 точкам. Параллельно ей такая же ветвь, поэтому

Задача № 6

Звезда состоит из 5-и равносторонних треугольников, сопротивление каждого.

Между точками 1 и 2 один треугольник параллелен четырём, последовательно соединенным между собой

Имея опыт расчёта эквивалентного сопротивления проволочных каркасов можно приступить к расчету сопротивлений цепи, содержащий бесконечное число сопротивлений. Например:

Если отделить звено

от общей схемы, то схема не изменится, тогда можно представить ввиде

или ,

решаем данное уравнение относительно R экв.

Итог урока: мы научились абстрактно представлять схемы участков цепи, заменять их эквивалентными схемами, которые позволяют легко рассчитать эквивалентное сопротивление.

Указание: Эту модель представить в виде:

Рассмотрим классическую задачу. Дан куб, рёбра которого представляют собой проводники с каким-то одинаковым сопротивлением. Этот куб включается в электрическую цепь между всевозможными его точками. Вопрос: чему равно сопротивление куба в каждом из этих случаев? В данной статье репетитор по физике и математике рассказывает о том, как решается эта классическая задача. Присутствует также видеоурок, в котором вы найдёте не только подробное объяснение решения задачи, но и реальную физическую демонстрацию, подтверждающую все вычисления.

Итак, куб может быть включен в цепь тремя различными способами.

Сопротивление куба между противоположными вершинами

В этом случае ток, дойдя до точки A , распределяется между тремя рёбрами куба. При этом, поскольку все три ребра эквивалентны с точки зрения симметрии, ни одному из рёбер нельзя придать большую или меньшую «значимость». Поэтому ток между этими рёбрами должен распределиться обязательно поровну. То есть сила тока в каждом ребре равна :

В результате получается, что падение напряжения на каждом из этих трёх рёбер одинаково и равно , где — сопротивление каждого ребра. Но падение напряжение между двумя точками равно разности потенциалов между этими точками. То есть потенциалы точек C , D и E одинаковы и равены . Из соображений симметрии потенциалы точек F , G и K также одинаковы.

Точки с одинаковым потенциалом можно соединять проводниками. Это ничего не изменит, потому что по этим проводникам всё равно не потечёт никакой ток:

В результате получим, что рёбра AC , AD и AE T . Точно также рёбра FB , GB и KB соединятся в одной точке. Назовём её точкой M . Что касается оставшихся 6 рёбер, то все их «начала» окажутся соединены в точке T , а все концы — в точке M . В результате мы получим следующую эквивалентную схему:

Сопротивление куба между противолежащими углами одной грани

В данном случае эквивалентными являются рёбра AD и AC . По ним потечёт одинаковый ток . Кроме того, эквивалентными также являются KE и KF . По ним потечёт одинаковый ток . Ещё раз повторим, что ток между эквивалентными рёбрами должен распределиться поровну, в противном случае нарушится симметрия:

Таким образом, в данном случае одинаковым потенциалом обладают точки C и D , а также точки E и F . Значит эти точки можно объединить. Пусть точки C и D объединятся в точке M , а точки E и F — в точке T . Тогда получится следующая эквивалентная схема:

На вертикальном участке (непосредственно между точками T и M ) ток не течёт. Действительно, ситуация аналогична уравновешенному измерительному мосту . Это означает, что данной звено можно исключить из цепи. После этого посчитать общее сопротивление не составит труда:

Сопротивление верхнего звена равно , нижнего — . Тогда общее сопротивление равно:

Сопротивление куба между прилежащими вершинами одной грани

Это последний возможный вариант подключения куба в электрическую цепь. В этом случае эквивалентными рёбрами, через которые будет течь одинаковый ток, являются рёбра AC и AD . И, соответственно, одинаковые потенциалы будут иметь точки C и D , а также симметричные им точки E и F :

Вновь соединяем попарно точки с одинаковыми потенциалами. Мы можем это сделать, потому что ток между этими точками не потечёт, даже если соединить их проводником. Пусть точки C и D объединятся в точку T , а точки E и F — в точку M . Тогда можно нарисовать следующую эквивалентную схему:

Общее сопротивление полученной схемы рассчитывается стандартными способами. Каждый сегмент из двух параллельно соединённых резисторов заменяем на резистор сопротивлением . Тогда сопротивление «верхнего» сегмента, состоящего из последовательно соединённых резисторов , и , равно .

Этот сегмент соединён со «средним» сегментом, состоящим из одного резистора сопротивлением , параллельно. Сопротивление цепи, состоящей из двух параллельно соединённых резисторов сопротивлением и , равно:

То есть схема упрощается до ещё более простого вида:

Как видно, сопротивление «верхнего» П-образного сегмента равно:

Ну а общее сопротивление двух параллельно соединённых резисторов сопротивлением и равно:

Эксперимент на измерению сопротивления куба

Чтобы показать, что всё это не математический трюк и что за всеми этими вычислениями стоит реальная физика, я решил провести прямой физической эксперимент по измерению сопротивления куба. Вы можете посмотреть этот эксперимент в видео, которые находится в начале статьи. Здесь я размещу фотографии экспериментальной установки.

Специально для этого эксперимента я спаял куб, рёбрами которого являются одинаковые резисторы. Также у меня есть мультиметр, который я включил в режиме измерения сопротивления. Сопротивление одиночного резистора равно 38.3 кОм:

Для развития творческих способностей учащихся представляют интерес задачи на решение резисторных схем постоянного тока методом равнопотенциальных узлов. Решение этих задач сопровождается последовательным преобразованием исходной схемы. Причём наибольшее изменение она претерпевает после первого шага, когда используется данный метод. Дальнейшие преобразования связаны с эквивалентной заменой последовательных или параллельных резисторов.

Для преобразования цепи пользуются тем свойством, что во всякой цепи точки с одинаковыми потенциалами можно соединять в узлы. И наоборот: узлы цепи можно разделить, если после этого потенциалы точек, входящих в узел, не изменятся.

В методической литературе часто пишут так: если схема содержит проводники с одинаковыми сопротивлениями, расположенными симметрично относительно какой-либо оси или плоскости симметрии, то точки этих проводников, симметричные относительно этой оси или плоскости, имеют одинаковый потенциал. Но вся сложность в том, что такую ось или плоскость никто на схеме не обозначает и отыскать её непросто.

Предлагаю другой, упрощённый способ решения подобных задач.

Задача 1 . Проволочный кубик (рис. 1) включён в цепь между точками А к В.

Найдите его общее сопротивление, если сопротивление каждого ребра равно R.

Поставим кубик на ребро АВ (рис. 2) и "распилим" его на две параллельные половинки плоскостью АА 1 B 1 В , проходящей через нижнее и верхнее ребро.

Рассмотрим правую половинку куба. Учтём, что нижнее и верхнее ребро расщепились пополам и стали в 2 раза тоньше, а их сопротивления увеличились в 2 раза и стали по 2R (рис. 3).

1) Находим сопротивление R 1 трёх верхних проводников, соединённых последовательно:

4) Находим общее сопротивление этой половинки куба (рис. 6):

Находим общее сопротивление куба:

Получилось сравнительно просто, понятно и доступно для всех.

Задача 2 . Проволочный кубик подключён в цепь не ребром, а диагональю АС любой грани. Найдите его общее сопротивление, если сопротивление каждого ребра равно R (рис. 7).

Снова ставим кубик на ребро АВ. "Распиливаем" кубик на две параллельные половинки той же вертикальной плоскостью (см. рис. 2).

Опять рассматриваем правую половинку проволочного куба. Учитываем, что верхнее и нижнее ребро расщепились пополам и их сопротивления стали по 2R .

С учётом условия задачи имеем следующее соединение (рис. 8).

А так ли хорошо знаком вам закон Ома (соединения проводников)? // Квант. - 2012. - № 1. - C. 32-33.

По специальной договоренности с редколлегией и редакцией журнала "Квант"

Токи продолжаются неопределенно долго с постоянной скоростью, ...но они всегда прекращаются в тот момент, когда контур разрывается.
Андре Ампер
Переход электричества между двумя ближайшими элементами при прочих равных условиях пропорционален разности электроскопических сил в этих элементах.
Георг Ом
Если дана система n проводников, которые произвольным образом соединены между собой, и к каждому проводнику приложена произвольная электродвижущая сила, то необходимое число линейных уравнений для определения токов, текущих по проводникам, можно получить, используя... две теоремы.
Густав Кирхгоф
...переводя существенные черты реальных элементов схем на язык идеализаций, можно проанализировать электрическую цепь сравнительно просто.
Ричард Фейнман

Первые наши встречи с электрическими схемами происходят, когда мы дома включаем в розетку бытовые приборы либо натыкаемся на хитросплетения проводков под крышкой какого-нибудь электронного устройства или когда замечаем линии электропередач на высоких опорах и толстые провода, по которым скользят токосниматели электропоездов, троллейбусов и трамваев. Позже мы рисуем в школе схемы, ставим простейшие опыты и узнаем о законах электрического, прежде всего постоянного, тока, текущего - как же иначе! - по проводам.

Но в то же время мы пользуемся мобильными телефонами, беспроволочными локальными сетями, «втыкаемся в воздух», чтобы подключиться к Интернету, и все чаще слышим, что не за горами - беспроводная передача не только информации, но и электроэнергии. Какими же тогда архаичными покажутся все эти громоздкие схемы, провода, клеммы, реостаты и описывающие их законы!

Не торопитесь. Во-первых, что бы мы ни передавали - сигналы или энергию, есть излучатели и приемники, которые пока без токов, протекающих по напичканным в них проводникам, действовать не будут. Во-вторых, не все поддается миниатюризации, например - транспорт или электростанции. Поэтому нам с электрическими сетями, а значит, и с соединениями проводников самого разного типа еще долго придется иметь дело. Мы продолжим эту тему и в следующем выпуске «Калейдоскопа» , в конце которого поместим общий список «Квантовских» публикаций по теме «Закон Ома».

Вопросы и задачи

1. Почему птицы могут безопасно усаживаться на провода, находящиеся под высоким напряжением?

2. Из последовательно соединенных лампочек для карманного фонаря собрана гирлянда, рассчитанная на включение в сеть напряжением 220 В. На каждую из лампочек приходится напряжение всего около 3 В, однако если вывинтить одну из лампочек из патрона и сунуть туда палец, то сильно «дернет». Почему?

3. Аккумулятор замкнут тремя проводниками одинаковой длины, соединенными последовательно. На рисунке 1 изображен график, показывающий падение напряжения в них. Какой из проводников имеет наибольшее и какой - наименьшее сопротивление?

4. Вычислите общее сопротивление цепи, представленной на рисунке 2, если R = 1 Ом.

5. Пять проводников одинакового сопротивления соединили так, что под действием общего напряжения 5 В сила тока в цепи оказалась равной 1 А. Определите сопротивление одного проводника. Единственное ли решение имеет задача?

6. Из одинаковых резисторов сопротивлением по 10 Ом требуется составить цепь сопротивлением 6 Ом. Какое наименьшее количество резисторов для этого понадобится? Начертите схему цепи.

7. Приведите пример цепи, которая не сводится к комбинации последовательных и параллельных соединений.

8. Как изменится сопротивление цепи, состоящей из пяти одинаковых проводников сопротивлением r каждый, если добавить еще два таких же проводника, как показано штриховыми линиями на рисунке 3?

9. Каково сопротивление R каждого из двух одинаковых резисторов (рис.4), если вольтметр сопротивлением R V = 3 кОм при включении по схемам а) и б) показывает одинаковое напряжение? Напряжение в цепи в обоих случаях одно и то же.

10. Электрическая цепь, состоящая из резисторов сопротивлениями R 1 , R 2 и R 3 , подключена к двум источникам постоянного напряжения U 1 и U 2 , как показано на рисунке 5. При каких условиях сила тока через резистор сопротивлением R 1 будет равна нулю?

11. Найдите сопротивление «звезды» (рис. 6) между точками А и В, если сопротивление каждого звена равно r .

12. Из тонких однородных листов жести спаяли полый куб, к двум противоположным вершинам большой диагонали которого припаяли проводники, как изображено на рисунке 7. Сопротивление куба между этими проводниками оказалось равным 7 Ом. Найдите силу электрического тока, пересекающего ребро АВ куба, если куб подключен к источнику напряжением 42 В.

13. Определите токи в каждой стороне ячейки, изображенной на рисунке 8, полный ток от узла А к узлу В и полное сопротивление между этими узлами. Каждая сторона ячейки имеет сопротивление r , а ток, протекающий по указанной стороне, равен i .

14. В электрическую цепь, состоящую из шести одинаковых резисторов сопротивлением R, впаяли две перемычки СЕ и DF, как изображено на рисунке 9. Каким стало сопротивление между выводами А и В?

15. Гальванический элемент замкнут на два параллельных проводника сопротивлениями R 1 и R 2 . Уменьшатся ли токи в этих проводниках, если увеличить их сопротивления?

Микроопыт

Как можно определить длину изолированного медного провода, свернутого в большой моток, не разматывая его?

Любопытно, что...

Кажущиеся сегодня тривиальными эксперименты Ома замечательны тем, что положили начало прояснению первопричин электрических явлений, остававшихся немногим менее двухсот лет весьма туманными и лишенными каких бы то ни было опытных обоснований.

Не будучи знаком с законом Ома, французский физик Пуйе, экспериментируя, пришел к подобным же выводам в 1837 году. Узнав, что закон открыт десятилетие назад, Пуйе занялся тщательной его проверкой. Закон был подтвержден с высокой точностью, а «побочным результатом» стало изучение закона Ома французскими школьниками вплоть до XX века под именем закона Пуйе.

…при выведении своего закона Ом ввел понятия «сопротивление», «сила тока», «падение напряжения» и «проводимость». Наряду с Ампером, введшим термины «электрическая цепь» и «электрический ток» и определившим направление тока в замкнутой цепи, Ом заложил основы дальнейших электродинамических исследований на пути к практическому использованию электричества.

…в 1843 году английский физик Чарлз Уитстон, применив закон Ома, изобрел метод измерения сопротивления, известный теперь как мостик Уитстона.

…тождество входящих в формулировку закона Ома «электроскопических сил» с электрическими потенциалами было доказано Кирхгофом. Несколько ранее он же установил законы распределения токов в разветвленных цепях, а позже построил общую теорию движения тока в проводниках, предполагая существование в них двух равных встречных потоков положительного и отрицательного электричества.

…интенсивной разработке методов электрических измерений в XIX веке способствовали запросы техники: создание воздушных телеграфных линий, прокладка подземных кабелей, передача электрического тока по воздушным неизолированным проводам и, наконец, строительство подводного трансатлантического телеграфа. Теоретиком последнего проекта был выдающийся английский физик Уильям Томсон (лорд Кельвин).

…некоторые практические задачи экономики и логистики - такие, например, как поиск минимального по стоимости распределения товаров, нашли свое решение при моделировании транспортных потоков с помощью электрических сетей.

Вопросы и задачи

1. Сопротивление тела птицы много больше сопротивления параллельного ей участка провода между ее ногами, поэтому сила тока в теле птицы мала и безвредна.

2. Палец имеет очень большое сопротивление по сравнению с сопротивлением лампочки. При «включении» его последовательно с лампочками через палец и лампочки течет один и тот же ток, поэтому падение напряжения на пальце будет значительно больше падения напряжения на лампочках, т.е. практически все напряжение сети будет приложено к пальцу.

3. Проводник 3 обладает наибольшим сопротивлением, проводник 2 - наименьшим.

4. R общ = R = 1 Ом.

5. При последовательном соединении пяти проводников сопротивление каждого проводника равно R = 1 Ом. Возможно и другое решение: проводники соединены параллельно между собой в 2 группы, в одной из которых 3 проводника, в другой - 2, и эти группы соединены друг с другом последовательно. Тогда R = 6 Ом.

6. Четыре резистора; см. рис. 10.

7. На рисунке 11 представлена так называемая мостиковая схема, когда токи протекают по всем резисторам.