Спираль архимеда и ее проявления в окружающем нас мире. Применение спирали архимеда

Спираль, несмотря на простоту изображения, - это сложный и емкий по значению символ. Еще древние люди использовали ее как декоративный символ, узор, легко наносимый на дерево, камни, глину. Форма спирали сочетает в себе симметрию и при зрительном восприятии она вызывает ощущение гармонии и красоты. Спираль, связанная с символикой центра, издавна является началом начал, откуда стартует эволюция, развитие, движение жизни. В свое время на ее форму обратил внимание Архимед. Древнегреческий ученый из Сиракуз изучил форму спирально закрученной раковины и вывел уравнение спирали. Вычерченный им по этому уравнению виток назван его именем - спираль Архимеда.

Виток Архимеда

Кривая, которую описывает точка, движущаяся с постоянной скоростью вдоль луча, вращающегося с неизменной вокруг своего начала, называется так: "спираль Архимеда". Построение ее проводят следующим образом: задают ее шаг - а, проводят из центра О окружность радиусом, равным шагу спирали, шаг и окружность делят на несколько равных частей, нумеруя точки деления.

Архимед в своем трактате «О спирали» исследовал свойства данной формы, используя полярные координаты, он записал характеристическое свойство ее точек, дал построение касательной к спирали и определил ее площадь. Отображает спираль Архимеда формула r = a*theta. Ученый знал, что увеличение шага спирали всегда равномерно.

Символичность

Поражает необычайное разнообразие значений символа спирали. Он воспринимается как ход и бег времени (циклические ритмы, смена солнечных и ход истории, человеческой жизни). Спираль считается знаком развития, жизненной силы, данной нам природой. Это стремление к новым уровням, к своему центру, мудрости. Спираль часто ассоциируется со змеей, олицетворяющей, в свою очередь, мудрость предков. Ведь известно, что змеи очень любят сворачиваться кольцами и внешне походят на спирали.

В природе спираль проявляется в трех основных формах: застывшей (раковины улитки), расширяющейся (изображения спиральных галактик) или сжимающейся (подобие водоворота).Спиральные формы представлены от эволюционных глубин до законов диалектики.

Спираль близка к кругу - самой идеальной форме из всех, что создала природа. Действительно, стихийные и природные элементы, имеющие форму спирали, очень распространены в природе. Это спиральные туманности, галактики, водовороты, смерчи, торнадо, устройства растений. Даже пауки спиралеобразно плетут паутину, закручивая нити по спирали вокруг центра. Природа любит повторения, в ее творениях использованы одни и те же принципы.

и последовательность Фибоначчи

Спираль Архимеда имеет тесную связь с Данный закон математики описывает принцип спирали Архимеда и золотого сечения. Их тесную связь можно наблюдать у многих явлений и элементов природы - в устройстве раковины моллюсков, соцветий подсолнуха и суккулентных растений, фрактальной капусты и сосновых шишек, человека и целых галактик.

Спиральная симметри я

Фактор времени, сочетающийся с вращением и направленным движением, формирует форму спирали. Спирали, присутствующие в структуре произведений искусства, имеют отношение ко времени, не к пространству. Они присутствуют в основном в узорах, реже - в архитектуре.

Это шпили соборов и

Применение в технике

Спираль Архимеда в настоящее время широко используется в технике. Одно из изобретений ученого - винт (прообраз объемной спирали) - использовалось как механизм для передачи воды в оросительные каналы из низколежащих водоемов. стал прообразом шнека («улитки») - устройства, широко используемого в различных машинах для перемешивания жидких, сыпучих и тестообразных материалов. Самая распространенная его разновидность - винтовой ротор в обычной мясорубке. Примером применения в технике архимедовой спирали также является самоцентрирующийся патрон. Данный механизм используется в швейных машинках для равномерного наматывания ниток.

Ныне спираль Архимеда заслуживает особого внимания при обучении компьютерной графике.

«Кривой жизни» называл спираль Гёте. В природе форму спирали Архимеда имеют большинство раковин. Семена подсолнечника расположены по спирали. Спираль можно увидеть в кактусах, ананасах. Ураган закручивается спиралью. По спирали разбегается стадо оленей. Двойной спиралью закручена молекула ДНК. Даже галактики сформированы по принципу спирали.

Представим себе циферблат часов с длинной стрелкой. Стрелка движется по окружности циферблата. А по стрелке в это время перемещается с постоянной скоростью маленький жучок. Траектория движения жучка представляет собой спираль Архимеда.

Спираль, названная именем Архимеда, была открыта им в III веке до нашей эры.

Построение спирали Архимеда

По определению самого Архимеда: «Спираль – это траектория равномерного движения точки по равномерно вращающемуся вокруг своего начала лучу».

Чтобы понять, как получается спираль Архимеда, возьмём окружность и разделим её на одинаковое количество частей (в нашем примере на 8). На такое же количество частей (8) разделим и радиус окружности. Из центра окружности проведём лучи через точки деления окружности и обозначим их, как 11, 21, 31, 41, 51, 61, 71, 81.

На первом луче отложим одно деление радиуса и обозначим точку I. На втором луче отложим два деления радиуса и обозначим точку II. На третьем луче отложим три деления радиуса и обозначим точку III. Таким же образом получим точки IV, V, VI, VII, VIII. Соединив обозначенные точки кривой линией, получим спираль Архимеда. Если продолжать построение дальше, то в точке IX будет отложено 8+1 частей радиуса. И т.д.

Оказывается, спираль Архимеда тесно связана с последовательностью чисел Фибоначчи. Что же общего между этими, на первый взгляд, абсолютно разными понятиями?

Последовательность Фибоначчи

Ряд Фибоначчи – это последовательность чисел, в котором каждое последующее число равно сумме двух предыдущих. Выглядит последовательность Фибоначчи так: 1, 1, 2, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89... А отношение каждого последующего числа к предыдущему в этом ряду чисел равно 1,618... Это число называют числом Ф.

Однако, без понятия «золотого сечения» мы не сможем проследить связь числового ряда Фибоначчи со спиралью Архимеда.

Золотая пропорция

Представьте себе, что вы разделили отрезок прямой на две неравные части так, что весь отрезок относится к большей части, как большая часть относится к меньшей. Это и есть пропорция "золотого сечения" или «золотая пропорция» . Отношение большей стороны к меньшей в золотом сечении равно 1,618. Как видим, такому же числу равняется и отношение последующего числа к предыдущему в ряду Фибоначчи.

Построим прямоугольник, стороны которого будут соотноситься в золотой пропорции. То есть отношение большей стороны прямоугольника к меньшей равно 1,618. Прямоугольник с такими сторонами называется «золотой прямоугольник». Отсечём от этого прямоугольник квадрат, сторона которого равна меньшей стороне прямоугольника. Оказывается, оставшийся прямоугольник тоже будет «золотым». Если и от него отсечь квадрат со стороной, равной меньшей стороне уже этого прямоугольника, то и оставшийся прямоугольник будет «золотым». И так далее. Если добавлять квадрат по более длинной стороне прямоугольника, то этот процесс можно продолжать до бесконечности. Оказалось, что длины сторон этих квадратов равны соседним числам в последовательности Фибоначчи: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 … И, соответственно, отношение стороны последующего квадрата к стороне предыдущего также равно 1,618.

Соединив кривой угловые точки этих квадратов, получим спираль Архимеда.

Средневековый математик Лука Пачиоли назвал «золотую пропорцию» Божественной пропорцией. Человеческий глаз воспринимает пропорцию золотого сечения в качестве гармоничной и красивой. И человек очень давно начал использовать «золотую пропорцию» в своей деятельности. Так, в пирамидах Гизе отношение длины основания к высоте равно 1,618. Такие же пропорции и у мексиканских пирамид. Золотую пропорцию использовал и Леонардо да Винчи в своих творениях. Может, потому они так привлекательны и совершенны?

Спираль Архимеда в природе

В природе спираль Архимеда встречается на каждом шагу.

Паук плетёт паутину по спирали.

Головка подсолнуха состоит из спиралей Архимеда, одни из которых закручены по часовой стрелке, другие - против. Так, в головке среднего размера 34 спирали одного направления и 55 другого. Узнаёте? Это же числа ряда Фибоначчи.

Сосновые шишки и колючки кактусов также имеют спирали, направленные по часовой, или против часовой стрелки. Причём число этих спиралей всегда будут равно соседним числам ряда Фибоначчи. Например, у сосновой шишки спиралей 5 и 8, у ананаса 8 и 13.

Применение спирали Архимеда

В III веке да нашей эры Архимед на основе своей спирали изобрёл винт, который успешно применяли для передачи воды в оросительные каналы из водоёмов, расположенных ниже. Позже на основе винта Архимеда создали шнек («улитку»). Его очень известная разновидность – винтовой ротор в мясорубке. Шнек используют в механизмах для перемешивания материалов различной консистенции. В технике нашли применение антенны в виде спирали Архимеда. Самоцентрирующийся патрон выполнен по спирали Архимеда. Звуковые дорожки на CD и DVD дисках также имеют форму спирали Архимеда.

Спираль Архимеда нашла практическое применение в математике, технике, архитектуре, машиностроении.

Построение спирали Архимеда начинают с построения окружности радиусом, равным шагу спирали, командой Окружность. Из центра окружности О командой Отрезок проводят горизонтальную линию, равную шагу спирали Архимеда ОА . Окружность и отрезок делят на 12 равных частей. Отрезок можно разделить на 12 равных частей с помощью команды Разбить кривую на n частей. Через точки деления отрезка ОА с помощью команды Эквидистанта копируют окружности: их должно быть 12. С помощью команды Копия по окружности создают полярный массив из разделенного на 12 частей шага спирали (рис.3.50).

Рис. 3.50. Построение спирали Архимеда

Точки пересечения шагов и окружностей радиусов 1/12, 2/12, 3/12 и т.д. соединяют ломаной линией с помощью команды Отрезок, начиная от центра спирали (точка О ), учитывая направление вращения объекта. Командой NURBS получают линию спирали Архимеда (рис.3.51).

Для построения большего числа витков спирали Архимеда, строят окружность радиусом, равным двум шагам спирали, или трем шагам, и, соответственно, делят два шага на 24 части, 2,5 шага - на 30 частей.

Рис. 3.51. Спираль Архимеда, построенная с помощью команды NURBS

Построение двухцентрового завитка

Вначале строят горизонтальную вспомогательную прямую. Затем на ней откладывают отрезок. Из первого центра строят окружность радиусом О 1 О 2 , из второго центра строят окружность радиусом 2О 1 О 2 (рис.3.52).

Рис. 3.52. Построение двухцентрового завитка окружностями

После построения необходимого количества окружностей лишние их части удаляют с помощью команды Усечь кривую (рис. 3.53).

Проставляют радиальные размеры к полуокружностям, убедившись, что радиус увеличивается в два раза для каждой последующей окружности.

Рис. 3.53. Двухцентровый завиток

Работа с текстом

Команда Текст позволяет создать текстовую надпись в чертеже или фрагменте. Каждая надпись может состоять из произвольного количества строк.

Для вызова команды нажмите кнопку Текст на инструментальной панели Обозначения.

После вызова команды КОМПАС переключается в режим работы с текстом. При этом изменяются количество и названия команд главного меню, а также состав Компактной панели.

С помощью группы переключателей Размещение выберите расположение текста относительно точки привязки.

В поле Угол можно ввести угол наклона строк текста к оси Х текущей системы координат.

Укажите точку привязки текста.

Введите нужное количество строк, заканчивая набор каждой из них нажатием клавиши <Enter >.

Вы можете изменить установленные по умолчанию параметры текста с помощью элементов управления, расположенных на вкладке Форматирование Панели свойств, а также вставить различные специальные объекты с помощью элементов вкладкиВставка .

Чтобы зафиксировать изображение, нажмите кнопку Создать объект на Панели специального управления.

Порядок выполнения лабораторной работы

Создайте новый фрагмент.

Постройте спираль Архимеда согласно задания.

Постройте завиток по индивидуальному варианту.

Сохраните файл.

Проставьте необходимые размеры.

Внесите обозначения центра, шага спирали с помощью команды Текст.

Создайте во фрагменте надпись, содержащую ФИО студента, группа, № лабораторной работы, № варианта, дата создания.

Вообразим бесконечно длинную секундную стрелку, по которой, начиная от центра циферблата, неутомимо бежит маленький жучок с постоянной скоростью v см/с. Через минуту жучок будет на расстоянии 60v см от центра, через две - 120v и т.д. Вообще, через t секунд после начала пробега расстояние жучка от центра будет равно vt см. За это время стрелка повернется на угол, содержащий 6 t° (ведь за одну секунду она успевает повернуться на угол 360°:60 = 6°). Поэтому положение жучка на плоскости циферблата через любое число t секунд после начала движения находится так. Нужно отложить от начального положения стрелки в направлении ее вращения угол а, содержащий 6t°, и отмерить от центра вдоль нового положения стрелки расстояние r = vt см. Тут мы и настигнем жучка.

Очевидно, что соотношение между углом поворота a стрелки (в градусах) и пройденным расстоянием r (в сантиметрах) будет такое:

Иными словами, r прямо пропорционально a, причем коэффициент пропорциональности k = v/6.

Приладим к нашему бегуну маленькую, но неистощимую баночку с черной краской и допустим, что краска, вытекая через крошечное отверстие, оставляет на бумаге след от уносимого вместе со стрелкой жучка. Тогда на бумаге будет постепенно вырисовываться кривая, впервые изученная Архимедом (287 - 212 до н.э.). В его честь она называется спиралью Архимеда. Нужно только сказать, что у Архимеда не было речи ни о секундной стрелке (тогда и часов с пружиной не было: их изобрели только в XVII в.), ни о жучке. Мы ввели их здесь для наглядности.

Спираль Архимеда состоит из бесконечно многих витков. Она начинается в центре циферблата, и все более и более удаляется от него по мере того, как растет число оборотов. Вы, наверное, слышали, что с помощью циркуля и линейки невозможно разделить на три равные части наудачу взятый угол (в частных случаях, когда угол содержит, например, 180°, 135° или 90°, эта задача легко решается). А вот если пользоваться аккуратно начерченной архимедовой спиралью, то любой угол можно разделить на какое угодно число равных частей.

Разделим, например, угол АОВ на три равные части. Если считать, что стрелка повернулась как раз на этот угол, то жучок, будет находиться в точке N на стороне угла. Но когда угол поворота был втрое меньше, то и жучок был втрое ближе к центру О. Чтобы найти это его положение, разделим сначала отрезок ON на три равные части. Это можно сделать с помощью циркуля и линейки. Получим отрезок ON 1 , длина которого втрое меньше, чем ON. Чтобы вернуть жучка на спираль, нужно сделать засечку этой кривой радиусом ON 1 (снова циркуль!). Получим точку М. Угол АОМ и будет втрое меньше угла AON.

Самого Архимеда занимали, однако, другие, более трудные задачи, которые он сам поставил и решил: 1) найти площадь фигуры, ограниченной первым витком спирали (на рис. 11. она заштрихована); 2) получить способ построения касательной к спирали в какой-либо ее точке N.

Замечательно, что обе задачи представляют собой самые ранние примеры задач, относящихся к математическому анализу. Начиная с XVII в., площади фигур вычисляются математиками с Помощью интеграла, а касательные проводятся с помощью производных. Поэтому Архимеда можно назвать предшественником математического анализа.

Для первой из названных задач мы просто укажем результат, полученный Архимедом: площадь фигуры составляет точно 1/3 площади круга радиуса О А. Для второй задачи можно показать ход ее решения, несколько упростив при этом рассуждения самого Архимеда. Все дело в том, что скорость, с которой жучок описывает спираль, в каждой точке N направлена по касательной к спирали в этой точке. Если будем знать, как направлена эта скорость, то и касательную построим.

Но движение жучка в точке N складывается из двух различных движений (рис. 13.): одно - по направлению стрелки со скоростью v см/с, а другое - вращательное по окружности с центром в О и радиусом ОN. Чтобы представить последнее, допустим, что жучок замер на мгновенье в точке N. Тогда он будет уноситься вместе со стрелкой по окружности радиуса ON. Скорость последнего вращательного движения направлена по касательной к окружности. А какова ее величина? Если бы жучок мог описать полную окружность радиуса ON, то за 60 секунд он проделал бы путь, равный 2л ON [см]. Так как скорость при этом оставалась бы постоянной по величине, то для ее отыскания нужно разделить путь на время. Получим:

(2 л ON)/60 = (л ON)/30

Теперь, когда мы знаем обе составляющие скорости в точке N: одну по направлению ON, равную v см/с, и другую, к ней перпендикулярную, равную

(л ON)/30 см/с, остается сложить их по правилу параллелограмма. Диагональ представит скорость составного движения к вместе с тем определит направление касательной NT к спирали в данной точке.

Инструкция

Отметьте на чертеже точку, которая является центром спирали Архимеда . Обозначьте центр буквой O.

Полярные координаты ρ=ρ(φ) следует вводить, используя фокус, как центр. Тогда можно положить ρ=r2 и после незначительных преобразований получите для правых участков эллипса и параболы полярные уравнения (см. рис. 3). При этом а – большая полуось эллипса (мнимая для гиперболы), с – абсцисса фокуса, про параметр b – на рисунке.

Приведенная на формулах рисунка 2 величина ε называется эксцентриситетом. Из формул рисунка 3 следует, что все прочие величины с ней как-либо связаны. И действительно, поскольку ε связана со всеми главными кривыми второго порядка, то на ее основе и можно принимать основные решения. А именно, если ε1 – гипербола. ε=1 – . Это имеет и более глубокий смысл. В куда как крайне сложном курсе «Уравнения математической » дифференциальных уравнений с частными производными производится на этой же основе.

Источники:

• Psi coma. Автор Как Просто. Как привести к каноническому виду уравнение.
• Psi coma. Автор Как Просто. Как привести уравнение к каноническому виду.

Жизнь современной представительницы прекрасного пола не ограничивается лишь семьей и детьми. Большую часть времени занимает работа. Чтобы успеть справиться со всеми своими многочисленными обязанностями, женщине нужно строго планировать свое время, свои нагрузки и, в том числе, количество детей и время их появления. Решить эти задачи помогают современные средства контрацепции.

Вы сможете спокойно кормить грудью, не думая о составе таблеток, которые с молоком могут попасть в его организм. В сравнении со презервативом, который относится к так называемому «барьерному методу», спираль неожиданно не порвется, сделав вас обладательницей еще одного малыша.

Когда же можно после родов? Чаще - через шесть-восемь недель после рождения ребенка, когда врач убедится, что ваш организм в необходимой степени восстановился и каких-либо противопоказаний нет. После сечения спираль ставится только через 6 месяцев.

Как действует спираль

Действие внутриматочной спирали основано на том, что она не позволяет яйцеклетке закрепиться в . Спирали бывают разные по форме - кольцевидные, т-образные и т.д. Их форма должна препятствовать выпадению этого устройства из полости матки. Необходимый противозачаточный эффект спирали достигается за счет ионов меди или другого вещества, которое находится на ее стержне.

На некоторых спиралях вместо меди используется серебро, прополис или золото. Это более дорогие средства защиты, но у них есть дополнительный противовоспалительный эффект. Существуют и гормоносодержащие спирали. Они предотвращают обильные болезненные менструации, которые могут быть после установки этого устройства.

Гормоносодержащие спирали придется менять через 1 год, когда в них истощается запас прогестерона, а спирали с медью - через 2-3 года.

Через несколько лет спираль заменяют на новую. Устанавливается она в последние дни менструации. В первый месяц после установки желательно ограничивать физические нагрузки.

Решать, ставить спираль после родов или нет, может только врач-гинеколог, причем очень опытный. Доверяться непрофессиональному врачу нельзя.

Продолжительность действия спирали указана на упаковке, она зависит от используемого активного вещества на стержне и иногда достигает 8 лет.

При отсутствии должного опыта у врача в лучшем случае вы столкнетесь с болями после , выделениями, в худшем - с выпадением этого устройства, развитием воспалительных явлений или даже опухолями.

В каждом конкретном случае вопрос об установке спирали после родов решается индивидуально с учетом пожеланий женщины и заключения врача о целесообразности использования этого средства контрацепции. В любой момент устройство можно извлечь, чтобы сделать возможным рождение еще одного желанного ребенка.