Свойство касательной плоскости. Касательная плоскость к сфере. Площадь поверхности и объём усеченной пирамиды
Сказка о возникновении шара
Однажды, оставшись один дома, красавец Полукруг долго принаряживался и жеманился перед небольшим в оловянных рамках зеркалом и не мог налюбоваться собою.
«Что людям вздумалось расславлять, будто я хорош?- говорил он. – Лгут люди, я совсем не хорош. Почему девушки провозгласили, что лучшего парня и не было еще никогда и не будет никогда на селе Хатанга?».
Полукруг знал и слышал все, что про него говорили, и был капризным, как красавец. Он мог целый день любоваться собой перед зеркалом, рассматривая себя со всех сторон. И вдруг случилось чудо, когда Полукруг повернулся перед зеркалом вокруг себя, он увидел в зеркале собственное отражение в форме Шара.
Из истории возникновения
Шаром принято называть тело, ограниченное сферой, то есть шар и сфера – это разные геометрические тела. Однако оба слова «шар» и «сфера» происходят от одного и того же греческого слова «сфайра» - мяч. При этом слово «шар» образовалось от перехода согласных сф в ш .
В XI книге «Начал» Евклид определяет шар как фигуру, описанную вращающимся около неподвижного диаметра полукругом. В древности сфера была в большом почёте. Астрономические наблюдения над небесным сводом неизменно вызывали образ сферы.
Сфера всегда широко применялось в различных областях науки и техники.
Определение
- Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии от данной точки.
- Тело, ограниченное сферой, называется шаром.
Общие понятия
- Данная точка называется центром сферы, а данное расстояние – радиусом сферы.
- Отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через ее центр, называется диаметром сферы.
- Центр, радиус, диаметр сферы называется также центром, радиусом и диаметром шара.
Касательная плоскость к сфере
Плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, называется касательной плоскостью к сфере, а их общая точка называется точкой касания плоскости и сферы.
Сечение шара плоскостью
- Любое сечение шара плоскостью есть круг. Центр этого круга – основание перпендикуляра, опущенного из центра шара на секущую плоскость.
- Сечение, проходящее через центр шара, - большой круг. (диаметральное сечение).
Задача на тему шар (д/з)
На поверхности шара даны три точки. Прямолинейные расстояния между ними 6 см, 8 см, 10 см. Радиус шара 13 см. Найдите расстояние от центра до плоскости, проходящей через эти точки. (1.7 см, 2.15 см, 3.12 см, 4.20 см)
Урок 10. Касательная плоскость к сфере.
Цель урока: рассмотреть теоремы о касательной плоскости к сфере, научить решать задачи по данной теме.
Ход урока
Актуализация опорных знаний.
Повторение сведений из планиметрии.
Определение касательной.
Свойство радиуса, проведенного к точке касательной.
Если из одной точки, лежащей вне окружности, провести к ней две касательные, то:
а) длины отрезков от данной точки до точек касания равны:
б) углы между каждой касательной и секущей, проходящей через центр круга, равны.
Если из одной точки, лежащей вне окружности, провести к ней касательную и секущую, то квадрат касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть.
Если две хорды пересекаются в одной точке, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой.
Взаимное расположение сферы и плоскости.
Объяснение новой темы. (Слайд 26 – 32)
Итак, сфера с плоскостью могут пересекаться по окружности, не пересекаться и иметь одну общую точку.
Рассмотрим последний случай подробнее.
Плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, называется касательной плоскостью к сфере, а их общая точка называется точкой касания.
К
асательная
плоскость обладает свойством, аналогичным
свойству касательной к окружности.
Дано: сфера с центром О и радиусом R , α - касательная к сфере в точке А плоскость.
Доказать: OA а .
Доказательство: Пусть OA не перпендикулярна плоскости а , тогда OA является наклонной к плоскости, значит, расстояние от центра до плоскости d R . Т.е. сфера должна пересекаться с плоскостью по окружности, но это не удовлетворяет условию теоремы. Значит, OA а .
Докажем обратную теорему.
Дано: сфера с центром О и радиусом OA , а, OA а .
Доказать: а – касательная плоскость.
Доказательство: Т.к. OA а , то расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу. Значит, сфера и плоскость имеют одну общую точку. По определению, плоскость является касательной к сфере.
Формирование умений и навыков учащихся.
Как далеко может обозревать землю человек, стоящий на равнине? (Не учитывая рефракции света).
Решение: CN 2 = h (h + 2 R ) (см. выше п. I урока)
Пусть рост человека (до глаз) 1,6 м , R земли 6400 км.
Позднее вернемся к этой задаче, чтобы узнать, какова площадь обозрения.
Работа по таблице 33.
АК ОК (почему?). По теореме Пифагора АК = = 15 . AM - ближайшее расстояние от точки А до сферы (при наличии времени можно дать учащимся порассуждать над очевидным вопросом - почему?)
AM = АО-ОМ=9.
Итог урока.
Домашнее задание: п. 61, № 591, 592.
Симметрия шара
Любая диаметральная плоскость шара является его плоскостью симметрии. Центр шара является его центром симметрии.
Доказательство: Пусть - диаметральная плоскость и Х - произвольная точка шара. Построим точку Х", симметричную точке Х относительно плоскости. Плоскость перпендикулярна отрезку ХХ" и пересекается ним в его середине (в точке А). Из равенства прямоугольных треугольников ОАХ и ОАХ" следует, что ОХ" =ОХ.
Так как ОХ?R, то и ОХ"?R, т.е. точка, симметричная точке Х, принадлежит шару. Первое утверждение теоремы доказано.
Пусть теперь Х"" - точка, симметричная точке Х относительно центра шара. Тогда ОХ"" = ОХ?R, т.е. точка Х"" принадлежит шару. Теорема доказана полностью.
Касательная плоскость к шару
Плоскость, проходящая через точку А шаровой поверхности перпендикулярная радиусу, проведенному в точку А, называется касательной плоскостью. Точка А называется точкой касания.
Касательная плоскость имеет с шаром только одну общую точку - точку касания.
Доказательство: Пусть б - плоскость касательная к шару, и А - точка касания. Возьмем произвольную точку Х плоскости б, отличную от А. Так как ОА - перпендикуляр, а ОХ - наклонная, то ОХ > ОА = R. Следовательно, точка Х не принадлежит шару. Теорема доказана.
Прямая в касательной плоскости шара, проходящая через точку касания, называется касательной к шару в этой точке. Так как касательная плоскость имеет с шаром только одну общую точку - точку касания.