Урок математики «Функция у= √х, ее свойства и график

Дадим, как обычно, независимой переменной х несколько конкретных значений (неотрицательных, поскольку при х < 0 выражение не имеет смысла) и вычислим соответствующие значения зависимой переменной у. Разумеется, мы будем давать х такие значения, для которых известно точное значение квадратного корня. Итак:

Итак, мы составили таблицу значений функции:

Построим найденные точки (0; 0), (1;1), (4; 2), (6,25; 2,5), (0;3) на координатной плоскости (рис. 78). Они располагаются некоторой линии, начертим ее (рис. 79). Получили график функции . Обратите внимание: график касается оси у в точке (0; 0). Заметим, что, имея шаблон параболы у = х 2 , можно без труда с его помощью построить график функции , ведь это - ветвь той же параболы, только ориентированная не вверх, а вправо.

Свойства функции
Описывая свойства этой функции, мы, как обычно, будем опираться на ее геометрическую модель - ветвь параболы (рис. 79).

1. Область определения функции - луч ; б) .

Решение, а) Построим график функции у = и выделим его часть на отрезке (рис. 83). Замечаем, что У наим. = 0 (достигается при х = 0), а у наи6 = 2 (достигается при х = 4).

б) Построим график функции у = и выделим его часть на отрезке (рис. 84). Замечаем, что у наим = 1 (достигается при х = 1), а у наиб = (достигается при х = 5).
О т в е т: а) у наим. = 0; у наиб = 2; б) у наим. = 1; ушиб =

Пример 2. Решить уравнение = 6 - х.
Решение.

1) Рассмотрим две функции у = 6 - x и y =
2) Построим график функции у = (рис. 85).
3) Построим график линейной функции у = 6 - х.
Это - прямая, которую можно построить по двум точкам (0; 6) и (6; 0). Прямая изображена на том же чертеже (рис. 85).
4) По чертежу устанавливаем, что графики пересекаются в одной точке А (4; 2). Так ли это на самом деле? Проверим: пара (4; 2) удовлетворяет и уравнению у = и уравнению у = 6 - х.
Это значит, что точка (4; 2) на самом деле служит точкой пересечения построенных графиков. Заданное уравнение имеет один корень 4 - это абсцисса точки А.
Ответ: 4.
Пример 3. Построить график функции
Решение. 1) Перейдем к вспомогательной системе координат с началом в точке (1; -2) (пунктирные прямые х = 1 и у = - 2 на рис. 86).

2) Привяжем функцию у = к новой системе координат.
Для этого выберем контрольные точки для функции у = . , например (0; 0), (1; 1), (4; 2), (9; 3), но строить их будем не в старой, а в новой системе координат (эти точки отмечены на рис. 86). Построим ветвь параболы, проходящую через выбранные точки, - это и есть требуемый график (рис. 87).

Пример 4 . Построить и прочитать график функции y = -
Решение. Выше, в § 8, мы заметили, что график функции у = - f (х) получается из графика функции у = f (x) с помощью преобразования симметрии относительно оси х.
Воспользовавшись этим, построим график функции у = и отобразим его симметрично относительно оси х (рис. 88). Это и будет график функции у = - .

Перечислим свойства функции у = - (по графику):
1. Область определения функции - луч .
8. Функция выпукла вниз.

Решение. Сначала построим график функции у = и выделим его часть на отрезке (рис. 89). Затем построим гиперболу и выделим ее часть на открытом луче (4, + оо) (рис. 90). Наконец, оба «кусочка» изобразим в одной системе координат - это и есть график функции у = f(x) (рис. 91).
Перечислим свойства функции у - f(x), т.е. прочитаем график.

1. Область определения функции - луч и убывает на луче .
8. Функция выпукла вверх на отрезке и выпукла вниз на луче $

Функция $f\left(x\right)=[x]$ - функция целой части числа. Она находится округлением числа (если оно само не целое) «в меньшую сторону».

Пример: $=2.$

Пример 2

Исследуем и построим её график.

1. $D\left(f\right)=R$.
2. Очевидно, что эта функция принимает только целые значения, то есть $\ E\left(f\right)=Z$
3. $f\left(-x\right)=[-x]$. Следовательно, эта функция будет общего вида.
4. $(0,0)$ -- единственная точка пересечения с осями координат.
5. $f"\left(x\right)=0$
6. Функция имеет точки разрыва (скачка функции) при всех $x\in Z$.

Рисунок 2.

Функция $f\left(x\right)=\{x\}$

Функция $f\left(x\right)=\{x\}$ -- функция дробной части числа. Она находится «отбрасыванием» целой части этого числа.

Пример 3

Исследуем и построим график функции

Функция $f(x)=sign(x)$

Функция $f\left(x\right)=sign(x)$ -- сигнум-функция. Эта функция показывает, какой знак имеет действительное число. Если число отрицательно, то функция имеет значение $-1$. Если число положительно, то функция равняется единице. При нулевом значении числа, значение функции также будет принимать нулевое значение.