Главная » Дизайн спальни » Что относится к математическим наукам. Что такое математика

Что относится к математическим наукам. Что такое математика

Математика - одна из древнейших наук. Дать краткое определение математики совсем не просто, его содержание будет очень сильно меняться в зависимости от уровня математического образования человека. Школьник начальных классов, только приступивший к изучению арифметики, скажет, что математика изучает правила счета предметов. И он будет прав, поскольку именно с этим он знакомится на первых порах. Школьники постарше добавят к сказанному, что в понятие математики входят алгебра и изучение геометрических объектов: линий, их пересечений, плоских фигур, геометрических тел, разного рода преобразований. Выпускники же средней школы включат в определение математики еще изучение функций и действие перехода к пределу, а также связанные с ним понятия производной и интеграла. Выпускников высших технических учебных заведений или естественнонаучных факультетов университетов и педагогических институтов уже не удовлетворят школьные определения, поскольку они знают, что в состав математики входят и другие дисциплины: теория вероятностей, математическая статистика, дифференциальное исчисление, программирование, вычислительные методы, а также применения названных дисциплин для моделирования производственных процессов, обработки опытных данных, передачи и обработки информации. Однако и тем, что перечислено, не исчерпывается содержание математики. Теория множеств, математическая логика, оптимальное управление, теория случайных процессов и многое другое также входят в её состав.

Попытки определить математику путем перечисления составляющих её ветвей уводят нас в сторону, поскольку не дают представления о том, что же именно изучает математика и каково её отношение к окружающему нас миру. Если бы подобный вопрос был задан физику, биологу или астроному, то каждый из них дал бы весьма краткий ответ, не содержащий перечисления частей, из которых состоит изучаемая ими наука. Такой ответ содержал бы указание на явления природы, которые она исследует. Например, биолог заявил бы, что биология изучает различные проявления жизни. Пусть этот ответ не вполне закончен, поскольку в нем не говорится, что такое жизнь и жизненные явления, но тем не менее такое определение дало бы достаточно полное представление о содержании самой науки биологии и о разных уровнях этой науки. И это определение не изменилось бы с расширением наших знаний по биологии.

Не существует таких явлений природы, технических или социальных процессов, которые были бы предметом изучения математики, но при этом не относились бы к явлениям физическим, биологическим, химическим, инженерным или социальным. Каждая естественнонаучная дисциплина: биология и физика, химия и психология - определяется материальной особенностью своего предмета, специфическими чертами той области реального мира, которую она изучает. Сам предмет или явление может изучаться разными методами, в том числе и математическими, но, изменяя методы, мы все же остаемся в пределах данной дисциплины, поскольку содержанием данной науки является реальный предмет, а не метод исследования. Для математики же материальный предмет исследования не имеет решающего значения, важен применяемый метод. Например, тригонометрические функции можно использовать и для исследования колебательного движения, и для определения высоты недоступного предмета. А какие явления реального мира можно исследовать с помощью математического метода? Эти явления определяются не их материальной природой, а исключительно формальными структурными свойствами, и прежде всего теми количественными соотношениями и пространственными формами, в которых они существуют.

Итак, математика изучает не материальные предметы, а методы исследования и структурные свойства объекта исследования, которые позволяют применять к нему некоторые операции (суммирование, дифференцирование и др.). Однако значительная часть математических проблем, понятий и теорий имеет своим первичным источником реальные явления и процессы. Например, арифметика и теория чисел выделились из первичной практической задачи - подсчета предметов. Элементарная геометрия имела своим источником проблемы, связанные со сравнением расстояний, вычислением площадей плоских фигур или же объемов пространственных тел. Все это требовалось находить, поскольку необходимо было перераспределять земельные участки между пользователями, вычислять размеры зернохранилищ или же объемы земляных работ при строительстве оборонных сооружений.

Математический результат обладает тем свойством, что его можно не только применять при изучении какого‑то одного определенного явления или процесса, но и использовать для исследования других явлений, физическая природа которых принципиально отлична от ранее рассмотренных. Так, правила арифметики применимы и в задачах экономики, и в технических вопросах, и при решении задач сельского хозяйства, и в научных исследованиях. Арифметические правила были разработаны тысячелетия назад, но прикладную ценность они сохранили на вечные времена. Арифметика представляет собой составную часть математики, её традиционная часть уже не подвергается творческому развитию в рамках математики, но она находит и будет в дальнейшем находить многочисленные новые применения. Эти применения могут иметь огромное значение для человечества, но вклада собственно в математику они уже не внесут.

Математика, как творческая сила, имеет своей целью разработку общих правил, которыми следует пользоваться в многочисленных частных случаях. Тот, кто создает эти правила, создает новое, творит. Тот, кто применяет уже готовые правила, в самой математике уже не творит, но, вполне возможно, создает с помощью математических правил новые ценности в других областях знания. Например, в наши дни данные дешифровки космических снимков, а также сведения о составе и возрасте горных пород, геохимических и геофизических аномалиях обрабатываются с помощью компьютеров. Несомненно, что применение компьютера в геологических исследованиях оставляет эти исследования геологическими. Принципы же работы компьютеров и их математическое обеспечение разрабатывались без учета возможности их использования в интересах геологической науки. Сама эта возможность определяется тем, что структурные свойства геологических данных находятся в соответствии с логикой определенных программ работы компьютера.

Получили широкое распространение два определения математики. Первое из них было дано Ф. Энгельсом в работе «Анти‑Дюринг», другое - группой французских математиков, известной под именем Никола Бурбаки, в статье «Архитектура математики» (1948).

«Чистая математика имеет своим объектом пространственные формы и количественные отношения действительного мира». Это определение не только описывает объект изучения математики, но и указывает его происхождение - действительный мир. Однако, это определение Ф. Энгельса в значительной мере отражает состояние математики во второй половине XIX в. и не учитывает те её новые области, которые непосредственно не связаны ни с количественными отношениями, ни с геометрическими формами. Это, прежде всего, математическая логика и дисциплины, связанные с программированием. Поэтому данное определение нуждается в некотором уточнении. Возможно, нужно сказать, что математика имеет своим объектом изучения пространственные формы, количественные отношения и логические конструкции.

Бурбаки утверждают, что «единственными математическими объектами становятся, собственно говоря, математические структуры». Иначе говоря, математику следует определить как науку о математических структурах. Это определение в сущности является тавтологией, поскольку оно утверждает только одно: математика занимается теми объектами, которые она изучает. Другой дефект этого определения состоит в том, что оно не выясняет отношения математики к окружающему нас миру. Более того, Бурбаки подчеркивают, что математические структуры создаются независимо от реального мира и его явлений. Вот почему Бурбаки были вынуждены заявить, что «основная проблема состоит во взаимоотношении мира экспериментального и мира математического. То, что между экспериментальными явлениями и математическими структурами существует тесная связь, - это, как кажется, было совершенно неожиданным образом подтверждено открытиями современной физики, но нам совершенно неизвестны глубокие причины этого... и, быть может, мы их никогда не узнаем».

Из определения Ф. Энгельса не может возникнуть подобного разочаровывающего вывода, поскольку в нем уже содержится утверждение о том, что математические понятия являются абстракциями от некоторых отношений и форм реального мира. Эти понятия берутся из реального мира и с ним связаны. В сущности, именно этим и объясняется поразительная применимость результатов математики к явлениям окружающего нас мира, а вместе с тем и успех процесса математизации знаний.

Математика не является исключением из всех областей знания - в ней также образуются понятия, возникающие из практических ситуаций и последующих абстрагирований; она позволяет изучать действительность также приближенно. Но при этом следует иметь в виду, что математика изучает не вещи реального мира, а абстрактные понятия и что логические её выводы абсолютно строги и точны. Её приближенность носит не внутренний характер, а связана с составлением математической модели явления. Заметим еще, что правила математики не обладают абсолютной применимостью, для них также существует ограниченная область применения, где они господствуют безраздельно. Поясним высказанную мысль примером: оказывается, что два и два не всегда равно четырем. Известно, что при смешивании 2 л спирта и 2 л воды получается меньше 4 л смеси. В этой смеси молекулы располагаются компактнее, и объем смеси оказывается меньше суммы объемов составляющих компонентов. Правило сложения арифметики нарушается. Можно еще привести примеры, в которых нарушаются другие истины арифметики, например при сложении некоторых объектов оказывается, что сумма зависит от порядка суммирования.

Многие математики рассматривают математические понятия не как создание чистого разума, а как абстракции от реально существующих вещей, явлений, процессов или же абстракции от уже сложившихся абстракций (абстракции высших порядков). В «Диалектике природы» Ф. Энгельс писал, что «…вся так называемая чистая математика занимается абстракциями… все её величины суть, строго говоря, воображаемые величины…» Эти слова достаточно четко отражают мнение одного из основоположников марксистской философии о роли абстракций в математике. Нам только следует добавить, что все эти «воображаемые величины» берутся из реальной действительности, а не конструируются произвольно, свободным полетом мысли. Именно так вошло во всеобщее употребление понятие числа. Сначала это были числа в пределах единиц, и притом только целые положительные числа. Затем опыт заставил расширить арсенал чисел до десятков и сотен. Представление о неограниченности ряда целых чисел родилось уже в исторически близкую нам эпоху: Архимед в книге «Псаммит» («Исчисление песчинок») показал, как можно конструировать числа еще большие, чем заданные. Одновременно из практических нужд родилось понятие дробных чисел. Вычисления, связанные с простейшими геометрическими фигурами, привели человечество к новым числам - иррациональным. Так постепенно формировалось представление о множестве всех действительных чисел.

Тот же путь можно проследить для любых других понятий математики. Все они возникли из практических потребностей и постепенно сформировались в абстрактные понятия. Можно опять вспомнить слова Ф. Энгельса: «…чистая математика имеет значение, независимое от особого опыта каждой отдельной личности… Но совершенно неверно, будто в чистой математике разум имеет дело только с продуктами собственного творчества и воображения. Понятия числа и фигуры взяты не откуда‑нибудь, а только из действительного мира. Десять пальцев, на которых люди научились считать, т. е. производить первую арифметическую операцию, представляют собой все, что угодно, только не продукт свободного творчества разума. Чтобы считать, надо иметь не только предметы, подлежащие счету, но обладать уже и способностью отвлекаться при рассмотрении этих предметов от всех прочих свойств, кроме числа, а эта способность есть результат долгого исторического развития, опирающегося на опыт. Как понятие числа, так и понятие фигуры заимствовано исключительно из внешнего мира, а не возникло в голове из чистого мышления. Должны были существовать вещи, имеющие определенную форму, и эти формы должны были подвергаться сравнению, прежде чем можно было прийти к понятию фигуры».

Рассмотрим, имеются ли в науке понятия, которые созданы без связи с прошлым прогрессом науки и текущим прогрессом практики. Мы прекрасно знаем, что научному математическому творчеству предшествует изучение многих предметов в школе, вузе, чтение книг, статей, беседы со специалистами как в собственной области, так и в других областях знания. Математик живет в обществе, и из книг, по радио, из других источников он узнает о проблемах, возникающих в науке, инженерном деле, общественной жизни. К тому же мышление исследователя находится под воздействием всей предшествовавшей эволюции научной мысли. Поэтому оно оказывается подготовленным к. решению определенных проблем, необходимых для прогресса науки. Вот почему ученый не может выдвигать проблемы по произволу, по прихоти, а должен создавать математические понятия и теории, которые были бы ценны для науки, для других исследователей, для человечества. А ведь математические теории сохраняют свое значение в условиях различных общественных формаций и исторических эпох. К тому же нередко одинаковые идеи возникают у ученых, которые никак не связаны между собой. Это является дополнительным аргументом против тех, кто придерживается концепции свободного творчества математических понятий.

Итак, мы рассказали, что же входит в понятие «математика». Но существует еще и такое понятие, как прикладная математика. Под ним понимают совокупность всех математических методов и дисциплин, находящих применения за пределами математики. В древности геометрия и арифметика представляли всю математику и, поскольку та и другая находили многочисленные применения при торговых обменах, измерении площадей и объемов, в вопросах навигации, вся математика была не только теоретической, но и прикладной. Позднее, в Древней Греции, возникло разделение на математику и на математику прикладную. Однако все выдающиеся математики занимались и применениями, а не только чисто теоретическими исследованиями.

Дальнейшее развитие математики было непрерывно связано с прогрессом естествознания, техники, с появлением новых общественных потребностей. К концу XVIII в. возникла необходимость (в первую очередь в связи с проблемами навигации и артиллерии) создания математической теории движения. Это сделали в своих работах Г. В. Лейбниц и И. Ньютон. Прикладная математика пополнилась новым очень мощным методом исследования - математическим анализом. Почти одновременно потребности демографии, страхования привели к формированию начал теории вероятностей (см. Вероятностей теория). XVIII и XIX вв. расширили содержание прикладной математики, добавив в нее теорию дифференциальных уравнений обыкновенных и с частными производными, уравнения математической физики, элементы математической статистики, дифференциальную геометрию. XX в. принес новые методы математического исследования практических задач: теорию случайных процессов, теорию графов, функциональный анализ, оптимальное управление, линейное и нелинейное программирование. Более того, выяснилось, что теория чисел и абстрактная алгебра нашли неожиданные применения к задачам физики. В результате стало складываться убеждение, что прикладной математики как отдельной дисциплины не существует и вся математика может считаться прикладной. Пожалуй, нужно говорить не о том, что математика бывает прикладная и теоретическая, а о том, что математики разделяются на прикладников и теоретиков. Для одних математика является методом познания окружающего мира и происходящих в нем явлений, именно для этой цели ученый развивает и расширяет математическое знание. Для других математика сама по себе представляет целый мир, достойный изучения и развития. Для прогресса науки нужны ученые и того, и другого плана.

Математика, прежде чем изучать своими методами какое‑нибудь явление, создает его математическую модель, т. е. перечисляет все те особенности явления, которые будут приниматься во внимание. Модель принуждает исследователя выбирать те математические средства, которые позволят вполне адекватно передать особенности изучаемого явления и его эволюции. В качестве примера возьмем модель планетной системы: Солнце и планеты рассматриваются как материальные точки с соответствующими массами. Взаимодействие каждых двух точек определяется силой притяжения между ними

где m 1 и m 2 - массы взаимодействующих точек, r - расстояние между ними, а f - постоянная тяготения. Несмотря на всю простоту этой модели, она в течение вот уже трехсот лет с огромной точностью передает особенности движения планет Солнечной системы.

Конечно, каждая модель огрубляет действительность, и задача исследователя состоит в первую очередь в том, чтобы предложить модель, передающую, с одной стороны, наиболее полно фактическую сторону дела (как принято говорить, её физические особенности), а с другой - дающую значительное приближение к действительности. Разумеется, для одного и того же явления можно предложить несколько математических моделей. Все они имеют право на существование до тех пор, пока не начнет сказываться существенное расхождение модели и действительности.

Николай Евгеньевич , я всё-таки с вами не соглашусь.
Давайте рассмотрим по вашим пунктам.
Первый – наличие познаваемого объекта
У математики множество объектов. Отличие математики от прочих наук в том, что она сама себе конструирует объекты изучения. Причём изначально математика брала себе объекты из реальности. Например, торговля, обмен, учёт требуют проведения счётных операций. Но уже тогда люди обнаружили, что независимо от того, что считать, правила счёта одинаковы, что позволило создать арифметику, в которой считают не яблоки и груши, а абстрактные единицы.
Кстати, химия в этом отчасти напоминает математику. Ведь химики не только ищут и исследуют готовые вещества в природе, но активно синтезируют новые соединения, которых в природе нет. Насколько активно, можно судить по справочнику Бейльштейна: в первом издании 1881-го года там было всего 1500 соединенй, а сейчас их более 10 млн., а это только органическая химия. Химики и математики сами конструируют объекты своих исследований. Только химикам приходится пользоваться данным природой набором элементом и заданными природой же "правилами игры", которыми и обуславливается направление химических реакций и возможность существования тех или иных соединений, а математики "правила игры" задают сами, задавая системы аксиом.

Второй – истинность суждений о нем, проверяемая опытом.
Если опыт понимать узко, только как научный эксперимент, то тогда научность многих наук окажется под сомнением. А математика находит опытное подтверждение ежедневно. Арифметика-то уж точно. Или вот более сложный пример. Художник, рисующий пейзаж или натюрморт с натуры, сознательно или бессознательно пользуется строгими законами математики, а именно, законами проекции объёмных предметов на плоскость. Ели он их не нарушает, то получается реалистичное изображение, а если неправильно, то тоже что-то получается, но уже не похожее на оригинал.
Если под опытом понимать не только научный эксперимент в лаборатории, а совокупный опыт человечества, то тут математика многажды опытно доказала истинность своих суждений.

Третий – всеобщность (универсальность) и обязательность установленных закономерностей.
Математика универсальна. Я бы сказал, что она идеально универсальна, а её законы обязательны для всех. Вот вы взяли в магазине товара на 88 рублей, на кассе дали сотню, а кассирша даёт вам сдачи 10. Вы же не скажете, что так и должно быть. Вы же скажете: "А где ещё два рубля?" Если инженер-конструктор при создании чертежей нарушит законы математики, то по его чертежам не соберут то, что он задумывал. Если химик ошибётся с коэффициентами в уравнении реакции и по нему рассчитает, сколько ему реагентов взять и сколько продукта получится, то он не получит ожидаемое количество продукта, о чём ему совершенно беспристрастно скажут весы.

Четвертый – системность, последовательность вытекающих друг из друга понятий.
Тут уж с математикой ничто не сравнится. Какую бы мы геометрию не взяли: Евклидову, Римана или Лобачевского, то все суждения в них вытекают из системы аксиом,которые определены абсолютно строго.

Математики при оценке своих работ полагаются на свой «вкус», говорят: «Красивое решение!» А это уже искусство.
Я с вас улыбаюсь. Всё-таки на первое место ставится правильность решения задачи, а если решение ещё и красиво, т.е. компактно, то это только плюс, но не красивость имеет решающее значение. Авиаконструктор Туполев любил говорить: "Некрасивые самолёты не летают", но так уж получилось, что самолёты, идеально соответствующие законам аэродинамики имеют красивую форму. Иван Ефремов в романе "Лезвие бритвы" устами одного из героев даёт такое определение красоты: "Красота - это наивысшая степень целесообразности, степень гармонического соответствия и сочетания противоречивых элементов во всяком устройстве, во всякой вещи, всяком организме". Мне оно нравится. Так что критерий красивости не такой уж и субъективный.

Идеализированные свойства исследуемых объектов либо формулируются в виде аксиом , либо перечисляются в определении соответствующих математических объектов. Затем по строгим правилам логического вывода из этих свойств выводятся другие истинные свойства (теоремы). Эта теория в совокупности образует математическую модель исследуемого объекта. Таким образом первоначально, исходя из пространственных и количественных соотношений, математика получает более абстрактные соотношения, изучение которых также является предметом современной математики.

Традиционно математика делится на теоретическую, выполняющую углублённый анализ внутриматематических структур, и прикладную, предоставляющую свои модели другим наукам и инженерным дисциплинам, причём некоторые из них занимают пограничное с математикой положение. В частности, формальная логика может рассматриваться и как часть философских наук , и как часть математических наук; механика - и физика , и математика; информатика , компьютерные технологии и алгоритмика относятся как к инженерии , так и к математическим наукам и т. д. В литературе было предложено много различных определений математики (см. ).

Этимология

Слово «математика» произошло от др.-греч. μάθημα (máthēma ), что означает изучение , знание , наука , и др.-греч. μαθηματικός (mathēmatikós ), первоначально означающего восприимчивый, успевающий , позднее относящийся к изучению , впоследствии относящийся к математике . В частности, μαθηματικὴ τέχνη (mathēmatikḗ tékhnē ), на латыни ars mathematica , означает искусство математики .

Определения

К области математики относятся только те науки, в которых рассматривается либо порядок, либо мера и совершенно не существенно, будут ли это числа, фигуры, звёзды, звуки или что-нибудь другое, в чём отыскивается эта мера. Таким образом, должна существовать некая общая наука, объясняющая всё относящееся к порядку и мере, не входя в исследование никаких частных предметов, и эта наука должна называться не иностранным, но старым, уже вошедшим в употребление именем Всеобщей математики.

В советское время классическим считалось определение из БСЭ , данное А. Н. Колмогоровым :

Математика… наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира.

Сущность математики… представляется теперь как учение об отношениях между объектами, о которых ничего не известно, кроме описывающих их некоторых свойств,- именно тех, которые в качестве аксиом положены в основание теории… Математика есть набор абстрактных форм - математических структур.

Приведём ещё несколько современных определений.

Современная теоретическая («чистая») математика - это наука о математических структурах, математических инвариантах различных систем и процессов .

Математика - наука, предоставляющая возможность исчисления моделей, приводимых к стандартному (каноническому) виду. Наука о нахождении решений аналитических моделей (анализ) средствами формальных преобразований .

Разделы математики

1. Математика как учебная дисциплина подразделяется в Российской Федерации на элементарную математику , изучаемую в средней школе и образованную дисциплинами:

элементарная геометрия : планиметрия и стереометрия
теория элементарных функций и элементы анализа

4. Американское математическое общество (AMS) выработало свой стандарт для классификации разделов математики. Он называется Mathematics Subject Classification . Этот стандарт периодически обновляется. Текущая версия - это MSC 2010 . Предыдущая версия - MSC 2000 .

Обозначения

Вследствие того, что математика работает с чрезвычайно разнообразными и довольно сложными структурами, система обозначений также очень сложна. Современная система записи формул сформировалась на основе европейской алгебраической традиции, а также математического анализа (понятия функции, производной и т. д.). Геометрия испокон века пользовалась наглядным (геометрическим же) представлением. В современной математике распространены также сложные графические системы записи (например, коммутативные диаграммы), нередко также применяются обозначения на основе графов .

Краткая история

Развитие математики опирается на письменность и умение записывать числа. Наверно, древние люди сначала выражали количество путём рисования чёрточек на земле или выцарапывали их на древесине. Древние инки , не имея иной системы письменности, представляли и сохраняли числовые данные, используя сложную систему верёвочных узлов, так называемые кипу . Существовало множество различных систем счисления . Первые известные записи чисел были найдены в папирусе Ахмеса , созданном египтянами Среднего царства . Индская цивилизация разработала современную десятичную систему счисления , включающую концепцию нуля .

Исторически основные математические дисциплины появились под воздействием необходимости вести расчёты в коммерческой сфере, при измерении земель и для предсказания астрономических явлений и, позже, для решения новых физических задач. Каждая из этих сфер играет большую роль в широком развитии математики, заключающемся в изучении структур , пространств и изменений.

Философия математики

Цели и методы

Математика изучает воображаемые, идеальные объекты и соотношения между ними, используя формальный язык. В общем случае математические понятия и теоремы не обязательно имеют соответствие чему-либо в физическом мире. Главная задача прикладного раздела математики - создать математическую модель , достаточно адекватную исследуемому реальному объекту. Задача математика-теоретика - обеспечить достаточный набор удобных средств для достижения этой цели.

Содержание математики можно определить как систему математических моделей и инструментов для их создания. Модель объекта учитывает не все его черты, а только самые необходимые для целей изучения (идеализированные). Например, изучая физические свойства апельсина, мы можем абстрагироваться от его цвета и вкуса и представить его (пусть не идеально точно) шаром. Если же нам надо понять, сколько апельсинов получится, если мы сложим вместе два и три, - то можно абстрагироваться и от формы, оставив у модели только одну характеристику - количество. Абстракция и установление связей между объектами в самом общем виде - одно из главных направлений математического творчества.

Другое направление, наряду с абстрагированием - обобщение . Например, обобщая понятие «пространство » до пространства n-измерений. «Пространство , при является математической выдумкой. Впрочем, весьма гениальной выдумкой, которая помогает математически разбираться в сложных явлениях ».

Изучение внутриматематических объектов, как правило, происходит при помощи аксиоматического метода : сначала для исследуемых объектов формулируются список основных понятий и аксиом , а затем из аксиом с помощью правил вывода получают содержательные теоремы , в совокупности образующие математическую модель.

Основания

Вопрос сущности и оснований математики обсуждался со времён Платона . Начиная с XX века наблюдается сравнительное согласие в вопросе, что надлежит считать строгим математическим доказательством , однако отсутствует согласие в понимании того, что в математике считать изначально истинным. Отсюда вытекают разногласия как в вопросах аксиоматики и взаимосвязи отраслей математики, так и в выборе логических систем , которыми следует при доказательствах пользоваться.

Помимо скептического, известны нижеперечисленные подходы к данному вопросу.

Теоретико-множественный подход

Предлагается рассматривать все математические объекты в рамках теории множеств, чаще всего с аксиоматикой Цермело - Френкеля (хотя существует множество других, равносильных ей). Данный подход считается с середины XX века преобладающим, однако в действительности большинство математических работ не ставят задач перевести свои утверждения строго на язык теории множеств, а оперируют понятиями и фактами, установленными в некоторых областях математики. Таким образом, если в теории множеств будет обнаружено противоречие, это не повлечёт за собой обесценивание большинства результатов.

Логицизм

Данный подход предполагает строгую типизацию математических объектов. Многие парадоксы, избегаемые в теории множеств лишь путём специальных уловок, оказываются невозможными в принципе.

Формализм

Данный подход предполагает изучение формальных систем на основе классической логики .

Интуиционизм

Интуиционизм предполагает в основании математики интуиционистскую логику , более ограниченную в средствах доказательства (но, как считается, и более надёжную). Интуиционизм отвергает доказательство от противного , многие неконструктивные доказательства становятся невозможными, а многие проблемы теории множеств - бессмысленными (неформализуемыми).

Конструктивная математика

Конструктивная математика - близкое к интуиционизму течение в математике, изучающее конструктивные построения [прояснить ] . Согласно критерию конструктивности - «существовать - значит быть построенным ». Критерий конструктивности - более сильное требование, чем критерий непротиворечивости.

Основные темы

Числа

Понятие «число» первоначально относилось к натуральным числам . В дальнейшем оно было постепенно распространено на целые , рациональные , действительные , комплексные и другие числа.

Целые числа Рациональные числа Вещественные числа Комплексные числа Кватернионы

Числовые системы
Счётные множества	Натуральные числа () Целые () Рациональные () Алгебраические () Периоды Вычислимые Арифметические
Вещественные числа и их расширения	Вещественные () Комплексные () Кватернионы () Числа Кэли (октавы, октонионы) () Седенионы () Альтернионы Процедура Кэли - Диксона Дуальные Гиперкомплексные Суперреальные Гиперреальные Surreal number (англ. )
Другие числовые системы	Кардинальные числа Порядковые числа (трансфинитные, ординал) p-адические Супернатуральные числа
См. также	Двойные числа Иррациональные числа Трансцендентные Числовой луч Бикватернион

Преобразования


Арифметика	Дифференциальное и интегральное исчисление	Векторный анализ	Анализ

Дифференциальные уравнения	Динамические системы	Теория хаоса

Дискретная математика

Коды в системах классификации знаний

Онлайновые сервисы

Существует большое число сайтов, предоставляющих сервис для математических расчётов. Большинство из них англоязычные. Из русскоязычных можно отметить сервис математических запросов поисковой системы Nigma .

См. также

Популяризаторы науки

Примечания

Энциклопедия Britannica
Webster’s Online Dictionary
Глава 2. Математика как язык науки . Сибирский открытый университет. Архивировано из первоисточника 2 февраля 2012. Проверено 5 октября 2010.
Большой древнегреческий словарь (αω)
Словарь русского языка XI-XVII вв. Выпуск 9 / Гл. ред. Ф. П. Филин . - М .: Наука , 1982. - С. 41.
Декарт Р. Правила для руководства ума. М.-Л.: Соцэкгиз, 1936.
См.: Математика БСЭ
Маркс К., Энгельс Ф. Сочинения. 2-е изд. Т. 20. С. 37.
Бурбаки Н. Архитектура математики. Очерки по истории математики / Перевод И. Г. Башмаковой под ред. К. А. Рыбникова. М.: ИЛ, 1963. С. 32, 258.
Казиев В. М. Введение в математику
Мухин О. И. Моделирование систем Учебное пособие. Пермь: РЦИ ПГТУ.
Герман Вейль // Клайн М. . - М .: Мир, 1984. - С. 16.
Государственный образовательный стандарт высшего профессионального образования. Специальность 01.01.00. «Математика». Квалификация - Математик. Москва, 2000 (Составлено под руководством О. Б. Лупанова)
Номенклатура специальностей научных работников , утверждённая приказом Минобрнауки России от 25.02.2009 № 59
УДК 51 Математика
Я. С. Бугров, С. М. Никольский. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. М.: Наука, 1988. С. 44.
Н. И. Кондаков. Логический словарь-справочник. М.: Наука, 1975. С. 259.
Г. И. Рузавин. О природе математического знания. М.: 1968.
http://www.gsnti-norms.ru/norms/common/doc.asp?0&/norms/grnti/gr27.htm
Например: http://mathworld.wolfram.com

Литература

Энциклопедии

//
// Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : В 86 томах (82 т. и 4 доп.). - СПб. , 1890-1907.
Математическая энциклопедия (в 5-ти томах), 1980-е гг. // Общие и специальные справочники по математике на EqWorld
Кондаков Н. И. Логический словарь-справочник. М.: Наука, 1975.
Энциклопедия математических наук и их приложений (нем.) 1899-1934 гг. (крупнейший обзор литературы XIX века)

Справочники

Г. Корн, Т. Корн. Справочник по математике для научных работников и инженеров М., 1973 г.

Книги

Клайн М. Математика. Утрата определённости . - М .: Мир, 1984.
Клайн М. Математика. Поиск истины. М.: Мир, 1988.
Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей.

Том I. Арифметика. Алгебра. Анализ М.: Наука, 1987. 432 с.
Том II. Геометрия М.: Наука, 1987. 416 с.

Курант Р. , Г. Роббинс. Что такое математика? 3-e изд., испр. и доп. - М.: 2001. 568 с.
Писаревский Б. М., Харин В. Т. О математике, математиках и не только. - М .: Бином. Лаборатория знаний, 2012. - 302 с.
Пуанкаре А. Наука и метод (рус.) (фр.)

Математика возникла очень давно. Человек собирал фрукты, выкапывал плоды, ловил рыбу и запасал все это на зиму. Чтобы понять, сколько запасено пищи человек изобрел счет. Так начала зарождаться математика.

Затем человек стал заниматься земледелием. Надо было измерять участки земли, строить жилища, измерять время.

То есть человеку стало необходимо использовать количественное отношение реального мира. Определить сколько собрали урожая, каковы размеры участка под застройку или как велик участок неба, на котором определенное количество ярких звезд.

Кроме того, человек стал определять формы: солнце круглое, короб квадратный, озеро овальное, и как эти предметы располагаются в пространстве. То есть человек стал интересоваться пространственными формами реального мира.

Таким образом, понятие математика можно определить как науку о количественных отношениях и пространственных формах реального мира.

В настоящее время нет ни одной профессии, где бы можно было бы обойтись без математики. Известный немецкий математик Карл Фридрих Гаусс, которого назвали «королем математики» как-то сказал:

«Математика – царица наук, арифметика – царица математики».

Слово «арифметика» происходит от греческого слова «арифмос» – «число».

Таким образом, арифметика это раздел математики, изучающий числа и действия над ними.

В начальной школе, прежде всего, изучают арифметику.

Как же развивалась эта наука, давайте, исследуем этот вопрос.

Период зарождения математики

Основным периодом накопления математических знаний считается время до V века до нашей эры.

Первым, кто стал доказывать математические положения – древнегреческий мыслитель , живший в VII веке до нашей эры предположительно 625 – 545 года. Этот философ путешествовал по странам востока. Предания говорят, что он учился у египетских жрецов и вавилонских халдеев.

Фалес Милетский принес из Египта в Грецию первые понятия элементарной геометрии: что такое диаметр, чем определяется треугольник и так далее. Он предсказал солнечное затмение, проектировал инженерные сооружения.

В этот период постепенно складывается арифметика, развивается астрономия, геометрия. Зарождается алгебра и тригонометрия.

Период элементарной математики

Это период начинается с VI до нашей эры. Теперь математика возникает как наука с теориями и доказательствами. Появляется теория чисел, учение о величинах, об их измерении.

Наиболее известным математиком этого времени является Евклид. Он жил в III веке до нашей эры. Этот человек является автором первого из дошедших до нас теоретического трактата по математике.

В трудах Евклида даны основы, так называемой евклидовой геометрии – это аксиомы, упирающиеся на основные понятия, такие как .

В период элементарной математики зарождается теория чисел, а также учение о величинах и их измерении. Впервые появляются отрицательные и иррациональные числа.

В конце этого периода наблюдается создание алгебры, как буквенного исчисления. Сама наука «алгебра» появляется у арабов, как наука о решении уравнений. Слово «алгебра» в переводе с арабского означает «восстановление», то есть перенос отрицательных значений в другую часть уравнения.

Период математики переменных величин

Основоположником этого периода считается Рене Декарт, живший в XVII веке нашей эры. В своих трудах Декарт впервые вводит понятие переменной величины.

Благодаря этому ученые переходят от изучения постоянных величин к изучению зависимостей между переменными величинами и к математическому описанию движения.

Наиболее ярко этот период охарактеризовал Фридрих Энгельс, в своих трудах он писал:

«Поворотным пунктом в математике была Декартова переменная величина. Благодаря этому в математику вошли движение и тем самым диалектика, и благодаря этому же стало немедленно необходимым дифференциальное и интегральное исчисление, которое тотчас и возникает, и, которое было в общем и целом завершено, а не изобретено Ньютоном и Лейбницем».

Период современной математики

В 20 годах XIX века Николай Иванович Лобачевский становится основоположником, так называемой неевклидовой геометрии.

С этого момента начинается развитие важнейших разделов современной математики. Такие как теория вероятности, теория множеств, математическая статистика и так далее.

Все эти открытия и исследования находят обширное применение в самых разных областях науки.

И в настоящее время наука математика бурно развивается, расширятся предмет математики, включая новые формы и соотношения, доказываются новые теоремы, углубляются основные понятия.

Математика - царица всех наук
Гаусс Карл Фридрих

Математика - наука, исторически основанная на решении задач о количественных и пространственных соотношениях реального мира путём идеализации необходимых для этого свойств объектов и формализации этих задач. Наука, занимающаяся изучением чисел, структур, пространств и преобразований.

Как правило, люди думают, что математика - это всего лишь арифметика, то есть изучение чисел и действий с их помощью, например, умножения и деления. На самом деле математика - это намного больше. Это способ описать мир и то, как одна его часть сочетается с другой. Взаимоотношения чисел выражаются в математических символах, которые описывают Вселенную, в которой мы живем. Любой нормальный ребенок может преуспевать в математике, потому что «ощущение числа» - это врожденная способность. Правда, для этого нужно приложить некоторые усилия и затратить немного времени.

Умение считать - это еще не все. Ребенку необходимо уметь хорошо выражать свои мысли, чтобы понимать задачи и устанавливать связи между фактами, которые хранятся в памяти. Для того чтобы выучить таблицу умножения, нужны память и речь. Именно поэтому некоторым людям с поврежденным мозгом трудно умножать, хотя другие виды счета не представляют для них сложности.

Для того чтобы хорошо знать геометрию и разбираться в форме и пространстве, требуются и другие виды мышления. С помощью математики мы решаем в жизни проблемы, например, делим шоколадку поровну или находим нужный размер ботинок. Благодаря знанию математики ребенок умеет копить карманные деньги и понимает, что можно купить и сколько денег тогда у него останется. Математика — это еще и способность отсчитать нужное количество семян и посеять их в горшочек, отмерять нужное количество муки для пирога или ткани на платье, понять счет футбольной игры и множество других повседневных дел. Везде: в банке, в магазине, дома, на работе — нам необходимо умение понимать числа, формы и меры и обращаться с ними. Числа - это только часть особого математического языка, а лучший способ выучить любой язык - это применять его. И начинать лучше с ранних лет.

О математике «умно»

Обычно идеализированные свойства исследуемых объектов и процессов формулируются в виде аксиом, затем по строгим правилам логического вывода из них выводятся другие истинные свойства (теоремы). Эта теория в совокупности образует математическую модель исследуемого объекта. Т.о. первоначально исходя из пространственных и количественных соотношений, математика получает более абстрактные соотношения, изучение которых также является предметом современной математики.

Традиционно математика делится на теоретическую, выполняющую углублённый анализ внутриматематических структур, и прикладную, предоставляющую свои модели другим наукам и инженерным дисциплинам, причём некоторые из них занимают пограничное к математике положение. В частности, формальная логика может рассматриваться и как часть философских наук, и как часть математических наук; механика - и физика, и математика; информатика, компьютерные технологии и алгоритмика относятся как к инженерии, так и к математическим наукам и т. д. В литературе существует много различных определений математики.

Разделы математики

Математический анализ.
Алгебра.
Аналитическая геометрия.
Линейная алгебра и геометрия.
Дискретная математика.
Математическая логика.
Дифференциальные уравнения.
Дифференциальная геометрия.
Топология.
Функциональный анализ и интегральные уравнения.
Теория функций комплексного переменного.
Уравнения с частными производными.
Теория вероятностей.
Математическая статистика.
Теория случайных процессов.
Вариационное исчисление и методы оптимизации.
Методы вычислений, то есть численные методы.
Теория чисел.

Цели и методы

Математика изучает воображаемые, идеальные объекты и соотношения между ними, используя формальный язык. В общем случае математические понятия и теоремы не обязательно имеют соответствие чему-либо в физическом мире. Главная задача прикладного математика - создать математическую модель, достаточно адекватную исследуемому реальному объекту. Задача математика-теоретика - обеспечить достаточный набор удобных средств для достижения этой цели.

Другое направление, наряду с абстрагированием - обобщение. Например, обобщая понятие «пространство» до пространства n-измерений. Пространство R n , при n>3 является математической выдумкой. Впрочем, весьма гениальной выдумкой, которая помогает математически разбираться в сложных явлениях.

Изучение внутриматематических объектов, как правило, происходит при помощи аксиоматического метода: сначала для исследуемых объектов формулируются список основных понятий и аксиом, а затем из аксиом с помощью правил вывода получают содержательные теоремы, в совокупности образующие математическую модель.

Видео-лекция Смирнова С.К. и Ященко И.В. «Что такое математика»:

Напечатать