Нахождение первообразной сложной функции примеры. Первообразная функции и общий вид. Решение выражений со степенью с рациональным показателем

Решение интегралов - задача легкая, но только для избранных. Эта статья для тех, кто хочет научиться понимать интегралы, но не знает о них ничего или почти ничего. Интеграл... Зачем он нужен? Как его вычислять? Что такое определенный и неопределенный интегралы? Если единственное известное вам применение интеграла – доставать крючком в форме значка интеграла что-то полезное из труднодоступных мест, тогда добро пожаловать! Узнайте, как решать интегралы и почему без этого никак нельзя обойтись.

Изучаем понятие "интеграл"

Интегрирование было известно еще в Древнем Египте. Конечно, не в современном виде, но все же. С тех пор математики написали очень много книг по этой теме. Особенно отличились Ньютон и Лейбниц , но суть вещей не изменилась. Как понять интегралы с нуля? Никак! Для понимания этой темы все равно понадобятся базовые знания основ математического анализа. Именно эти фундаментальные сведения о Вы найдете у нас в блоге.

Неопределенный интеграл

Пусть у нас есть какая-то функция f(x) .

Неопределенным интегралом функции f(x) называется такая функция F(x) , производная которой равна функции f(x) .

Другими словами интеграл – это производная наоборот или первообразная. Кстати, о том, как читайте в нашей статье.

Первообразная существует для всех непрерывных функций. Также к первообразной часто прибавляют знак константы, так как производные функций, различающихся на константу, совпадают. Процесс нахождения интеграла называется интегрированием.

Простой пример:

Чтобы постоянно не высчитывать первообразные элементарных функций, их удобно свести в таблицу и пользоваться уже готовыми значениями:

Определенный интеграл

Имея дело с понятием интеграла, мы имеем дело с бесконечно малыми величинами. Интеграл поможет вычислить площадь фигуры, массу неоднородного тела, пройденный при неравномерном движении путь и многое другое. Следует помнить, что интеграл – это сумма бесконечно большого количества бесконечно малых слагаемых.

В качестве примера представим себе график какой-нибудь функции. Как найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции?

С помощью интеграла! Разобьем криволинейную трапецию, ограниченную осями координат и графиком функции, на бесконечно малые отрезки. Таким образом фигура окажется разделена на тонкие столбики. Сумма площадей столбиков и будет составлять площадь трапеции. Но помните, что такое вычисление даст примерный результат. Однако чем меньше и уже будут отрезки, тем точнее будет вычисление. Если мы уменьшим их до такой степени, что длина будет стремиться к нулю, то сумма площадей отрезков будет стремиться к площади фигуры. Это и есть определенный интеграл, который записывается так:

Точки а и b называются пределами интегрирования.

Бари Алибасов и группа "Интеграл"

Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на

Правила вычисления интегралов для чайников

Свойства неопределенного интеграла

Как решать неопределенный интеграл? Здесь мы рассмотрим свойства неопределенного интеграла, которые пригодятся при решении примеров.

• Производная от интеграла равна подынтегральной функции:

• Константу можно выносить из-под знака интеграла:

• Интеграл от суммы равен сумме интегралов. Верно также для разности:

Свойства определенного интеграла

• Линейность:

• Знак интеграла изменяется, если поменять местами пределы интегрирования:

• При любых точках a , b и с :

Мы уже выяснили, что определенный интеграл - это предел суммы. Но как получить конкретное значение при решении примера? Для этого существует формула Ньютона-Лейбница:

Примеры решения интегралов

Ниже рассмотрим несколько примеров нахождения неопределенных интегралов. Предлагаем Вам самостоятельно разобраться в тонкостях решения, а если что-то непонятно, задавайте вопросы в комментариях.

Для закрепления материала посмотрите видео о том, как решаются интегралы на практике. Не отчаиваетесь, если интеграл не дается сразу. Спросите , и они расскажут вам о вычислении интегралов все, что знают сами. С нашей помощью любой тройной или криволинейный интеграл по замкнутой поверхности станет вам по силам.

Таблица первообразных

Определение. Функция F(x) на заданном промежутке называется первообразной для функции f(x) , для всех x из этого промежутка, если F"(x)=f(x) .

Операция нахождение первообразной для функции называется интегрированием . Она является обратной к операции дифференцирования.

Теорема. Всякая непрерывная на промежутке функция (x) имеет первообразную на этом же промежутке.

Теорема (основное свойство первообразной). Если на некотором промежутке функция F(x) является первообразной для функции f(x ), то на этом промежутке первообразной для f(x) будет также функция F(x)+C , где C произвольная постоянная.

Из этой теоремы выплывает, что когда f(x) имеет на заданном промежутке первообразную функцию F(x) , то этих первобытных множество. Придавая C произвольных числовых значений, каждый раз будем получать первообразную функцию.

Для нахождения первообразных пользуются таблицей первообразных . Она получается из таблицы производных.

Понятие неопределенного интеграла

Определение. Совокупность всех первообразных функций для функции f(x) называется неопределенным интегралом и обозначается .

При этом f(x) называется подынтегральной функцией , а f(x) dx - подынтегральным выражением .

Следовательно, если F(x) , является первообразной для f(x) , то .

Свойства неопределенного интеграла

Понятие определенного интеграла

Рассмотрим плоскую фигуру, ограниченную графиком непрерывной и неотрицательной на отрезке [а; b] функции f(x) , отрезком [а; b] , и прямыми x=a и x=b .

Полученная фигура называется криволинейной трапецией . Вычислим ее площадь.

Для этого разобьем отрезок [а; b] на n равных отрезков. Длины каждого из отрезков равняются Δx .

Это динамический рисунок GeoGebra .
Красные элементы можно изменять

Рис. 1. Понятие определенное интеграла

На каждом отрезке, построим прямоугольники с высотами f(x k-1) (Рис. 1).

Площадь каждого такого прямоугольника равняется S k = f(x k-1)Δx k .

Площадь всех таких прямоугольников равняется .

Эту сумму называют интегральной суммой для функции f(x) .

Если n→∞ то площадь построенной таким образом фигуры будет все менее отличаться от площади криволинейной трапеции.

Определение. Граница интегральной суммы, когда n→∞ называется определенным интегралом , и записывается так:.

читается: "интеграл от a к b f от xdx "

Число а называется нижним пределом интегрирования, b – верхним пределом интегрирования, отрезок [а; b] – промежутком интегрирования.

Свойства определенного интеграла

Формула Ньютона-Лейбница

Определенный интеграл тесно связан с первообразной и неопределенным интегралом формулой Ньютона-Лейбница

.

Использование интеграла

Интегральное исчисление широко используется при решении разнообразных практических задач. Рассмотрим некоторые из них.

Вычисление объемов тел

Пусть задана функция, которая задает площадь поперечного сечения тела в зависимости от некоторой переменной S = s(x), x[а; b] . Тогда объем данного тела можно найти интегрируя данную функцию в соответствующих пределах.
Если нам задано тело, которое получено вращением вокруг оси Ох криволинейной трапеции ограниченной некоторой функцией f(x), x [а; b] . (Рис. 3). То площади поперечных сечений можно вычислить по известной формуле S = π f 2 (x) . Поэтому формула объема такого тела вращения

Ранее мы по заданной функции, руководствуясь различными формулами и правилами, находили ее производную. Производная имеет многочисленные применения: это скорость движения (или, обобщая, скорость протекания любого процесса); угловой коэффициент касательной к графику функции; с помощью производной можно исследовать функцию на монотонность и экстремумы; она помогает решать задачи на оптимизацию.

Но наряду с задачей о нахождении скорости по известному закону движения встречается и обратная задача - задача о восстановлении закона движения по известной скорости. Рассмотрим одну из таких задач.

Пример 1. По прямой движется материальная точка, скорость ее движения в момент времени t задается формулой v=gt. Найти закон движения.
Решение. Пусть s = s(t) - искомый закон движения. Известно, что s"(t) = v(t). Значит, для решения задачи нужно подобрать функцию s = s(t), производная которой равна gt. Нетрудно догадаться, что \(s(t) = \frac{gt^2}{2} \). В самом деле
\(s"(t) = \left(\frac{gt^2}{2} \right)" = \frac{g}{2}(t^2)" = \frac{g}{2} \cdot 2t = gt \)
Ответ: \(s(t) = \frac{gt^2}{2} \)

Сразу заметим, что пример решен верно, но неполно. Мы получили \(s(t) = \frac{gt^2}{2} \). На самом деле задача имеет бесконечно много решений: любая функция вида \(s(t) = \frac{gt^2}{2} + C \), где C - произвольная константа, может служить законом движения, поскольку \(\left(\frac{gt^2}{2} +C \right)" = gt \)

Чтобы задача стала более определенной, нам надо было зафиксировать исходную ситуацию: указать координату движущейся точки в какой-либо момент времени, например при t = 0. Если, скажем, s(0) = s 0 , то из равенства s(t) = (gt 2)/2 + C получаем: s(0) = 0 + С, т. е. C = s 0 . Теперь закон движения определен однозначно: s(t) = (gt 2)/2 + s 0 .

В математике взаимно обратным операциям присваивают разные названия, придумывают специальные обозначения, например: возведение в квадрат (х 2) и извлечение квадратного корня (\(\sqrt{x} \)), синус (sin x) и арксинус (arcsin x) и т. д. Процесс нахождения производной по заданной функции называют дифференцированием , а обратную операцию, т. е. процесс нахождения функции по заданной производной, - интегрированием .

Сам термин «производная» можно обосновать «по-житейски»: функция у = f(x) «производит на свет» новую функцию у" = f"(x). Функция у = f(x) выступает как бы в качестве «родителя», но математики, естественно, не называют ее «родителем» или «производителем», они говорят, что это, по отношению к функции у" = f"(x), первичный образ, или первообразная.

Определение. Функцию y = F(x) называют первообразной для функции y = f(x) на промежутке X, если для \(x \in X \) выполняется равенство F"(x) = f(x)

На практике промежуток X обычно не указывают, но подразумевают (в качестве естественной области определения функции).

Приведем примеры.
1) Функция у = х 2 является первообразной для функции у = 2х, поскольку для любого х справедливо равенство (x 2)" = 2х
2) Функция у = х 3 является первообразной для функции у = 3х 2 , поскольку для любого х справедливо равенство (x 3)" = 3х 2
3) Функция у = sin(x) является первообразной для функции y = cos(x), поскольку для любого x справедливо равенство (sin(x))" = cos(x)

При нахождении первообразных, как и производных, используются не только формулы, но и некоторые правила. Они непосредственно связаны с соответствующими правилами вычисления производных.

Мы знаем, что производная суммы равна сумме производных. Это правило порождает соответствующее правило нахождения первообразных.

Правило 1. Первообразная суммы равна сумме первообразных.

Мы знаем, что постоянный множитель можно вынести за знак производной. Это правило порождает соответствующее правило нахождения первообразных.

Правило 2. Если F(x) - первообразная для f(x), то kF(x) - первообразная для kf(x).

Теорема 1. Если y = F(x) - первообразная для функции y = f(x), то первообразной для функции у = f(kx + m) служит функция \(y=\frac{1}{k}F(kx+m) \)

Теорема 2. Если y = F(x) - первообразная для функции y = f(x) на промежутке X, то у функции у = f(x) бесконечно много первообразных, и все они имеют вид y = F(x) + C.

Методы интегрирования

Метод замены переменной (метод подстановки)

Метод интегрирования подстановкой заключается во введении новой переменной интегрирования (то есть подстановки). При этом заданный интеграл приводится к новому интегралу, который является табличным или к нему сводящимся. Общих методов подбора подстановок не существует. Умение правильно определить подстановку приобретается практикой.
Пусть требуется вычислить интеграл \(\textstyle \int F(x)dx \). Сделаем подстановку \(x= \varphi(t) \) где \(\varphi(t) \) - функция, имеющая непрерывную производную.
Тогда \(dx = \varphi " (t) \cdot dt \) и на основании свойства инвариантности формулы интегрирования неопределенного интеграла получаем формулу интегрирования подстановкой:
\(\int F(x) dx = \int F(\varphi(t)) \cdot \varphi " (t) dt \)

Интегрирование выражений вида \(\textstyle \int \sin^n x \cos^m x dx \)

Если m нечётное, m > 0, то удобнее сделать подстановку sin x = t.
Если n нечётное, n > 0, то удобнее сделать подстановку cos x = t.
Если n и m чётные, то удобнее сделать подстановку tg x = t.

Интегрирование по частям

Интегрирование по частям - применение следующей формулы для интегрирования:
\(\textstyle \int u \cdot dv = u \cdot v - \int v \cdot du \)
или:
\(\textstyle \int u \cdot v" \cdot dx = u \cdot v - \int v \cdot u" \cdot dx \)

Таблица неопределённых интегралов (первообразных) некоторых функций

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac{1}{x} dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $$ \int \frac{dx}{\cos^2 x} = \text{tg} x +C $$ $$ \int \frac{dx}{\sin^2 x} = -\text{ctg} x +C $$ $$ \int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} = \text{arcsin} x +C $$ $$ \int \frac{dx}{1+x^2} = \text{arctg} x +C $$ $$ \int \text{ch} x dx = \text{sh} x +C $$ $$ \int \text{sh} x dx = \text{ch} x +C $$

Одна из операций дифференцирования- нахождение производной (дифференциала) и применении к исследованию функций.

Не менее важной является обратная задача. Если известно поведение функции в окрестностях каждой точки ее определения, то как восстановить функцию в целом, т.е. во всей области ее определения. Эта задача составляет предмет изучения так называемого интегрального исчисления.

Интегрированием называется действие обратное дифференцированию. Или восстановление функции f(х) по данной производной f`(х). Латинское слово “integro” означает – восстановление.

Пример №1 .

Пусть (f(х))’ = 3х 2 . Найдем f(х).

Решение:

Опираясь на правило дифференцирования, нетрудно догадаться, что f(х)=х 3 , ибо

(х 3)’ = 3х 2 Однако, легко можно заметить, что f(х) находится неоднозначно. В качестве f(х) можно взять f(х)= х 3 +1 f(х)= х 3 +2 f(х)= х 3 -3 и др.

Т.к. производная каждой из них равно 3х 2 . (Производная постоянной равна 0). Все эти функции отличаются друг от друга постоянным слагаемым. Поэтому общее решение задачи можно записать в виде f(х)= х 3 +С, где С - любое постоянное действительное число.

Любую из найденных функций f(х) называют первообразной для функции F`(х)= 3х 2

Определение.

Функция F(х) называется первообразной для функции f(х) на заданном промежутке J, если для всех х из этого промежутка F`(х)= f(х). Так функция F(х)=х 3 первообразная для f(х)=3х 2 на (- ∞ ; ∞). Так как, для всех х ~R справедливо равенство: F`(х)=(х 3)`=3х 2

Как мы уже заметили, данная функция имеет бесконечное множество первообразных.

Пример №2.

Функция есть первообразная для всех на промежутке (0; +∞), т.к. для всех ч из этого промежутка, выполняется равенство.

Задача интегрирования состоит в том, чтобы для заданной функции найти все ее первообразные. При решении этой задачи важную роль играет следующее утверждение:

Признак постоянства функции. Если F"(х) = 0 на некотором промежутке I, то функция F - постоянная на этом промежутке.

Доказательство.

Зафиксируем некоторое x 0 из промежутка I. Тогда для любого числа х из такого промежутка в силу формулы Лагранжа можно указать такое число c, заключенное между х и x 0 , что

F(x) - F(x 0) = F"(c)(x-x 0).

По условию F’ (с) = 0, так как с ∈1, следовательно,

F(x) - F(x 0) = 0.

Итак, для всех х из промежутка I

т е. функция F сохраняет постоянное значение.

Все первообразные функции f можно записать с помощью одной формулы, которую называютобщим видом первообразных для функции f. Справедлива следующая теорема (основное свойство первообразных ):

Теорема. Любая первообразная для функции f на промежутке I может быть записана в виде

F(x) + C, (1) где F (х) - одна из первообразных для функции f (x) на промежутке I, а С - произвольная постоянная.

Поясним это утверждение, в котором кратко сформулированы два свойства первообразной:

1. какое бы число ни поставить в выражение (1) вместо С, получим первообразную для f на промежутке I;
2. какую бы первообразную Ф для f на промежутке I ни взять, можно подобрать такое число С, что для всех х из промежутка I будет выполнено равенство

Доказательство.

1. По условию функция F - первообразная для f на промежутке I. Следовательно, F"(х)= f (х) для любого х∈1, поэтому (F(x) + C)" = F"(x) + C"=f(x)+0=f(x), т. е. F(x) + C - первообразная для функции f.
2. Пусть Ф (х) - одна из первообразных для функции f на том же промежутке I, т. е. Ф"(x) = f (х) для всех x∈I.

Тогда (Ф(x) - F (x))" = Ф"(х)-F’ (х) = f(x)-f(x)=0.

Отсюда следует в. силу признака постоянства функции, что разность Ф(х) - F(х) есть функция, принимающая некоторое постоянное значение С на промежутке I.

Таким образом, для всех х из промежутка I справедливо равенство Ф(х) - F(x)=С, что и требовалось доказать. Основному свойству первообразной можно придать геометрический смысл: графики любых двух первообразных для функции f получаются друг из друга параллельным переносом вдоль оси Оу

Вопросы к конспектам

Функция F(x) является первообразной для функции f(x). Найдите F(1), если f(x)=9x2 - 6x + 1 и F(-1) = 2.

Найдите все первообразные для функции

Для функции (x) = cos2 * sin2x, найдите первообразную F(x), если F(0) = 0.

Для функции найдите первообразную, график которой проходит через точку

Для каждого математического действия существует обратное ему действие. Для действия дифференцирования (нахождения производных функций) тоже существует обратное действие — интегрирование. Посредством интегрирования находят (восстанавливают) функцию по заданной ее производной или дифференциалу. Найденную функцию называют первообразной .

Определение. Дифференцируемая функция F (x) называется первообразной для функции f (x) на заданном промежутке, если для всех х из этого промежутка справедливо равенство: F′(x)=f (x) .

Примеры. Найти первообразные для функций: 1) f (x)=2x; 2) f (x)=3cos3x.

1) Так как (х²)′=2х, то, по определению, функция F (x)=x² будет являться первообразной для функции f (x)=2x.

2) (sin3x)′=3cos3x. Если обозначить f (x)=3cos3x и F (x)=sin3x, то, по определению первообразной, имеем: F′(x)=f (x), и, значит, F (x)=sin3x является первообразной для f (x)=3cos3x.

Заметим, что и (sin3x+5 )′=3cos3x , и (sin3x-8,2 )′=3cos3x , ... в общем виде можно записать: (sin3x+С )′=3cos3x , где С — некоторая постоянная величина. Эти примеры говорят о неоднозначности действия интегрирования, в отличие от действия дифференцирования, когда у любой дифференцируемой функции существует единственная производная.

Определение. Если функция F (x) является первообразной для функции f (x) на некотором промежутке, то множество всех первообразных этой функции имеет вид:

F (x)+C , где С — любое действительное число.

Совокупность всех первообразных F (x)+C функции f (x) на рассматриваемом промежутке называется неопределенным интегралом и обозначается символом ∫ (знак интеграла). Записывают: ∫f (x) dx=F (x)+C .

Выражение ∫f (x) dx читают: «интеграл эф от икс по дэ икс».

f (x) dx — подынтегральное выражение,

f (x) — подынтегральная функция,

х — переменная интегрирования.

F (x) — первообразная для функции f (x) ,

С — некоторая постоянная величина.

Теперь рассмотренные примеры можно записать так:

1) ∫ 2хdx=x²+C. 2) ∫ 3cos3xdx=sin3x+C.

Что же означает знак d?

d — знак дифференциала — имеет двойное назначение: во-первых, этот знак отделяет подынтегральную функцию от переменной интегрирования; во-вторых, все, что стоит после этого знака диференцируется по умолчанию и умножается на подынтегральную функцию.

Примеры. Найти интегралы: 3) ∫ 2pxdx; 4) ∫ 2pxdp.

3) После значка дифференциала d стоит х х , а р

∫ 2хрdx=рх²+С. Сравните с примером 1).

Сделаем проверку. F′(x)=(px²+C)′=p·(x²)′+C′=p·2x=2px=f (x).

4) После значка дифференциала d стоит р . Значит, переменная интегрирования р , а множитель х следует считать некоторой постоянной величиной.

∫ 2хрdр=р²х+С. Сравните с примерами 1) и 3).

Сделаем проверку. F′(p)=(p²x+C)′=x·(p²)′+C′=x·2p=2px=f (p).