Пределы задания с решением. Пределы в математике для чайников: объяснение, теория, примеры решений

Министерство образования Российской Федерации ГОУ ВПО «Уральский государственный технический университет – УПИ»

Введение в анализ

Индивидуальные задания по курсу «Математика» для студентов всех специальностей дневной формы обучения факультета

экономики и управления

Екатеринбург 2003

Составители Г.Ф.Пестерева, О.Я. Шевалдина

Научный редактор канд. физ.-мат. наук О.Я. Шевалдина

Введение в анализ: Индивидуальные задания по курсу «Математика» для студентов всех специальностей дневной формы обучения факультета экономики и управления/ Г.Ф.Пестерева, О.Я. Шевалдина

Екатеринбург: ГОУ ВПО «УГТУ – УПИ», 2003. 30 с.

Индивидуальные задания содержат 26 вариантов упражнений по разделу «Введение в математический анализ» дисциплины «Математика». Каждый вариант включает 7 задач, в том числе одну задачу с экономическим содержанием. Набор предлагаемых задач можно использовать в процессе аудиторной и самостоятельной работы студентов, при проведении контрольных работ, собеседований и экзаменов. Индивидуальные задания предназначаются для студентов всех специальностей факультета экономики и управления.

Подготовлено кафедрой «Анализ систем и принятия решений»

ГОУ ВПО «УГТУ – УПИ» , 2003

Учебная литература:

1. Абчук В .А . Экономико-математические методы. – СПб.: Союз, 1999. – 320 с.

2. Виноградова И.А., Олехник С.Н., Садовничий В.А. Задачи и упражнения по математическому анализу. В 2 кн. Кн. 1.– М.: Высш. шк. 2000. – 725 с.

3. Ермаков В.И. и др. Общий курс высшей математики для экономистов.

– М.: ИНФРА – М, 2000. – 656 с.

4. Колесников А.Н. Краткий курс математики для экономистов. – М.: ИН-

ФРА-М, 1997. – 208 с.

5. Красс М.С., Чупрынов Б.П. Основы математики и ее приложения в экономическом образовании. – М.: Дело, 2001. – 688 с.

6. Кремер Н.Ш. и др. Высшая математика для экономистов. - М.: ЮНИ-

ТИ, 1998. – 472 с.

7. Ляшко С.И. и др. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. Ч. 1 – М.: Издательский дом «Вильямс», 2001. – 432 с.

8. Малыхин В.И. Математика в экономике. – М.: ИНФРА-М, 2001. – 356 с.

9. Сборник задач по математике для втузов: Ч. 1 / Под ред. А.В. Ефимова,

Б.П. Демидовича. – М.: Наука, 1986. – 464 с.

10. Томпсон А., Формби Д. Экономика фирмы. – М.: ЗАО «Изд-во БИ-

НОМ», 1998. – 544 с.

11. Шикин Е.В., Чхартишвили А.Г . Математические методы и модели в экономике. – М.: Дело, 2000. – 440 с.

Издательство ГОУ ВПО «УГТУ-УПИ» 620002, Екатеринбург, Мира, 19

Рецензия

на методическую работу “Введение в анализ. Индивидуальные задания по курсу «Математика» для студентов всех специальностей факультета «Экономика и управление»

Названное пособие является методической разработкой к практическим занятиям по дисциплине “ Математика”. Индивидуальные задания содержат 26 вариантов упражнений по разделу «Введение в математический анализ». Каждый вариант включает 7 заданий, в том числе одну задачу с экономическим содержанием. Набор предлагаемых задач можно использовать в процессе аудиторной и домашней работы студентов, при проведении контрольных работ, собеседований и экзаменов. Система индивидуальных заданий активизирует самостоятельную работу студентов и способствует более глубокому изучению курса математики.

В.А.Табуева

Рецензия

на методическую работу «Применение производной и исследование функций. Индивидуальные задания по курсу “Математика” для студентов всех специальностей факультета экономики и управления»

cт. преподаватель каф. АСиПР Э.С. Оноприенко, доц., к.ф.-м.н. каф. АСиПР О.Я. Шевалдина

Названное пособие является методической разработкой к практическим занятиям по дисциплине “ Математика”. Индивидуальные задания содержат 26 вариантов упражнений по разделу «Исследование функций с помощью производных. Приложение производной в экономической теории». Каждый вариант включает 8 заданий, в том числе две задачи с экономическим содержанием. Набор предлагаемых задач можно использовать в процессе аудиторной и домашней работы студентов, при проведении контрольных работ, собеседований и экзаменов. Система индивидуальных заданий активизирует самостоятельную работу студентов и способствует более глубокому изучению курса математики.

Индивидуальные задания составлены в соответствии с рабочей программой дисциплины “Математика” и предназначаются для студентов всех специальностей дневной формы обучения факультета экономики и управления ГОУ ВПО «УГТУ УПИ».

Методическая работа «Применение производной и исследование функций» авторов Л.В. Архангельской, О.Ю. Жильцовой, Э.С. Оноприенко, О.Я. Шевалдиной соответствует своему назначению и может быть рекомендована к изданию.

Профессор, к.ф.-м.н. кафедры ВМиУМФ

В.А.Табуева

Введение в анализ

Индивидуальные задания

Задача 1 . Дана числовая последовательность(x n ) ;

1) найти 2-й, 100-й, n+1-й члены последовательности(x n ) ;

2) проверить, является ли последовательность (x n ) монотонной;

3) пользуясь определением предела последовательности, доказать, что

x n = A , определив дляε > 0 натуральное числоN = N(ε ) такое,

n →∞

n > N справедливо неравенство

натурального

xn − A

< ε.

lim f (x )= A .

Задача 2 . С помощью« ε −δ » рассуждений доказать, что

x→ xο

Заполнить следующую таблицу

Задача 3 . Найти пределы функций.

Задача 4 . При каком значенииm

функция y= f (x)

будет непрерывной в

точке x 0 ?

Построить график этой функции.

Задача 5 . Найти точки разрыва функции, установить их характер, в точках устранимого разрыва доопределить функцию по непрерывности.

Задача 6 . Исследовать на непрерывность и построить схематично графики функций.

Вариант 1

1. x n = 2 n 2 + 1 ,A = 2 ,

ε =10 − 3 .

3n 2 − 1

3 x −6 +2

x3 + 8

x →−2

x3 − 1

sin(1 − x)

x→ 1

lim x2 ctg2 3 x;

x→ 0

sin x

a− x

x→ a

sin a

3 1 + ln x− 1

7 ln x+ 1 − 1

x→ 1

log x ,

0 < x ≤ 1,

x = 1.

4. y =

x > 1,

m + x,

2x + 2

x > −2,

x + 3

− 2 ≤x ≤1,

y =2 −

4 − x ,

x − 3,

x > 1;

y = 4

9− x

2x 2

−8 x +6

x − 3

x→ 3

5x + 2− 5 x 5 − 3

3 3 x 3 +1 +4 x 3 −4

x →+∞

(x−

x(x− 1 ) ;

x →+∞

− x

x →∞

− x +1

E − 3 x

− 2

cos 4x − 1

x→ 0

sin 3 x .

x →π

sin8 x

2 x arctgx 4 − 1 .

б) y = x 3 + 2 x 2 + 3 x ;x

7. Спрос и предложение на некоторый товар на рынке описываются линейными зависимостями вида: q = 15− 3p ,s = 1+ 4p . Определите равновесную цену.

Установите графическим способом, является ли модель паутинного рынка «скручивающейся».

Вариант 2

	1. x n =						ε =10 − 3 .
		2n 2 + 3

3. a) lim	2 − 3		10 − x
			− 2
x→ 2
в) lim		16 − x 4
x → 2 sin(x−
д) lim x		3 ctgx
x→ 0
ж) lim		lncos 2 x
			π 2
x →π
		1 −

6x 2 − 5x + 1

= −1.

x→

x −

x + 3 3 x− 5 x;

x →+∞

3 x− 3 7 x

9x + 1

−3 x

x →+∞

X −5

1− x 2

X +3

x →∞x

72 x

5 3 x −2

2 x− arctg3 x

x→ 0

и) lim

4 1 + ln2 x− 1

к) lim

tg3 x

3 ln2 x+ 1 − 1

x→ 1

x →π tg4 x

x ≤ 1,

2 x− m,

5. y =

4. y =

− 4 x 2

x > 1,

x ≤ 0,

−3 x 2 +2 x

б) y =

6. а) y = log

0 < x ≤ 2,

x − 2

x > 2;

2x − 3,

в) y = 2tgx .

7. Найти время удвоения вклада в банке, если ставка банковского процента составляет 7% годовых.

Вариант 3

1. x n = 1 + (0 ,1 ) n , A= 1 ,ε = 10 − 4 .

x + 1

x →−1 6 x 2

3+ 3x

3 −4 x

x →+∞

д) lim

ln x − 1

x→ e

x − e

ж) lim

9 x − 1

7 x − 1

x→ 1

tg 2

lim (sin 2 x)

x→

x + 1

x ≤ −1

= −1.

x > −1

x ≤ 0,

a) y =

1 − 4− x , 0< x ≤ 2,

5 − 2x ,

x > 2;

в) y =

1 − x

x→

x −

2x 2 + 3− 5 x

4x + 7

x →−∞

− x +3

3x 2

−1

− x −8

x →∞x

е) lim

x → 0 arctg

e arcsin5 x− e arcsin2 x

x→ 0

3 ctg

− x

lim ctgx lncos 2 x.

x→ 0

y = 2 −

16 − x 2

б) y =

x x − 3

10p и предложенияs = 100+ 10p от це- ны р . Найдите равновесную цену, выручку при равновесной цене. Постройте график функции выручки и укажите на нем ценур, при которой выручка максимальна; найдите и саму эту максимальную выручку.

Решение задач на нахождение пределов При решении задач на отыскание пределов следует помнить некоторые пределы, чтобы каждый раз не вычислять их заново. Комбинируя эти известные пределы, будем находить при помощи свойств, указанных в § 4, новые пределы. Для удобства приведем наиболее часто встречающиеся пре делы: Пределы 1 lim х - а х а 2 lim 1 = 0 3 lim х- ± со X ± 00 4 lim -L, = оо Х->о\Х\ 5 lim sin*-l X -о X 6 lim f(x) = f(a), если f (x) непрерывна x a Если известно, что функция непрерывна, то вместо нахождения предела вычисляем значение функции. Пример 1. Найти lim (х*-6л:+ 8). Так как много- Х->2 член-функция непрерывная, то lim (х*-6x4- 8) = 2*-6-2 + 8 = 4. х-+2 х*_2х 4-1 Пример 2. Найти lim -г. . Сначала находим пре- Х-+1 х ~гъх дел знаменателя: lim [хг-\-Ъх)= 12 + 5-1 =6; он не равен Х-У1 нулю, значит, можно применить свойство 4 § 4, тогда x™i *" + &* ~~ lim {х2 Ъх) - 12 + 5-1 ""6 1 . Предел знаменателя X X равен нулю, поэтому свойство 4 § 4 применить нельзя. Так как числитель-постоянное число, а знаменатель [х2х)->-0 при х--1, то вся дробь неограниченно возрастает по абсолютной величине, т. е. lim " 1 Х-*- - 1 х* + х Пример 4. Найти lim \-ll*"!"» « Предел знаменателя равен нулю: lim (хг-6лг+ 8) = 2*-6-2 + 8 = 0, поэтому X свойство 4 § 4 неприменимо. Но предел числителя тоже равен нулю: lim (х2 - 5д; + 6) = 22 - 5-2-f 6 = 0. Итак, пре- делы числителя и знаменателя одновременно равны нулю. Однако число 2 является корнем и числителя и знаменателя, поэтому дробь можно сократить на разность х-2 (по теореме Безу). В самом деле, х*-5х + 6 (х-2) (х-3) х-3 х"-6х + 8~ (х-2) (х-4) ~~ х-4 " следовательно, хг--f- 6 г х-3 -1 1 Пример 5. Найти lim хп (п целое, положительное). X со Имеем хп = X* X . . X, п раз Так как каждый множитель неограниченно растет, то и произведение также неограниченно растет, т. е. lim хп=оо. х оо Пример 6. Найти lim хп(п целое, положительное). X -> - СО Имеем хп = х х... х. Так как каждый множитель растет по абсолютной величине, оставаясь отрицательным, то в случае четной степени произведение будет неограниченно расти, оставаясь положительным, т. е. lim *п= + оо (при п четном). *-* -со В случае нечетной степени абсолютная величина произведения растет, но оно остается отрицательным, т. е. lim хп =- оо (при п нечетном). п -- 00 Пример 7. Найти lim . х х-*- со * Если т>пу то можно написать: m = n + kt где k>0. Поэтому хт Ь lim -=- = lim -=-= lim x . уП Yn х -х> А х ю Пришли к примеру 6. Если же ти уТЛ xm I lim lim lim т. X - О х-* ю Л X ->со Здесь числитель остается постоянным, а знаменатель растет по абсолютной величине, поэтому lim -ь = 0. Х-*оо X* Результат этого примера рекомендуется запомнить в следующем виде: Степенная функция растет тем быстрее, чем больше показатель степени. $хв_Зхг + 7 Пример 8. Найти lim g L -г-=.В этом примере х-*® «J* "Г ЬХ -ох-о и числитель и знаменатель неограниченно возрастают. Разделим и числитель и знаменатель на старшую степень х, т. е. на хв, тогда 3 7_ Пример 9. Найти lira . Совершая преобразова- * г ^ ния, получим lira . . ^ = lim X СО + 3 7 3 Так как lim -5 = 0, lim -, = 0, то предел знаменателя раде-*® Х X-+-CD Х вен нулю, в то время как предел числителя равен 1. Следовательно, вся дробь неограниченно возрастает, т. е. t. 7х hm Х-+ ю Пример 10. Найти lim Вычислим предел S знаменателя, помня, что cos*-функция непрерывная: lira (2 +cos x) = 2 + cosy =2. Тогда х->- S lim (l-fsin*) Пример 15. Найдем lim *<*-e>2 и lim е"(Х"а)\ Поло- Х-+ ± со X ± СО жим (л: - a)2 = z; так как (л;-а)2 всегда неотрицательно и неограниченно растет вместе с х, то при х- ±оо новое переменное z-*ос. Поэтому получаем цт £<*-«)* = X -> ± 00 s=lim ег = оо (см. замечание к §5). г -*■ со Аналогично lim е~(Х-а)2 = lim e~z=Q, так как х ± оо г м - (х- а)г неограниченно убывает при х->±оо (см. замечание к §

Теория пределов – это один из разделов математического анализа. Вопрос решения пределов является достаточно обширным, поскольку существуют десятки приемов решений пределов различных видов. Существуют десятки нюансов и хитростей, позволяющих решить тот или иной предел. Тем не менее, мы все-таки попробуем разобраться в основных типах пределов, которые наиболее часто встречаются на практике.

Начнем с самого понятия предела. Но сначала краткая историческая справка. Жил-был в 19 веке француз Огюстен Луи Коши, который дал строгие определения многим понятиям матана и заложил его основы. Надо сказать, этот уважаемый математик снился, снится и будет сниться в кошмарных снах всем студентам физико-математических факультетов, так как доказал огромное количество теорем математического анализа, причём одна теорема убойнее другой. В этой связи мы пока не будем рассматривать определение предела по Коши , а попытаемся сделать две вещи:

1. Понять, что такое предел.
2. Научиться решать основные типы пределов.

Прошу прощения за некоторую ненаучность объяснений, важно чтобы материал был понятен даже чайнику, что, собственно, и является задачей проекта.

Итак, что же такое предел?

А сразу пример, чего бабушку лохматить….

Любой предел состоит из трех частей :

1) Всем известного значка предела .
2) Записи под значком предела, в данном случае . Запись читается «икс стремится к единице». Чаще всего – именно , хотя вместо «икса» на практике встречаются и другие переменные. В практических заданиях на месте единицы может находиться совершенно любое число, а также бесконечность ().
3) Функции под знаком предела, в данном случае .

Сама запись читается так: «предел функции при икс стремящемся к единице».

Разберем следующий важный вопрос – а что значит выражение «икс стремится к единице»? И что вообще такое «стремится»?
Понятие предела – это понятие, если так можно сказать, динамическое . Построим последовательность: сначала , затем , , …, , ….
То есть выражение «икс стремится к единице» следует понимать так – «икс» последовательно принимает значения, которые бесконечно близко приближаются к единице и практически с ней совпадают .

Как решить вышерассмотренный пример? Исходя из вышесказанного, нужно просто подставить единицу в функцию, стоящую под знаком предела:

Итак, первое правило: Когда дан любой предел, сначала просто пытаемся подставить число в функцию .

Мы рассмотрели простейший предел, но и такие встречаются на практике, причем, не так уж редко!

Пример с бесконечностью:

Разбираемся, что такое ? Это тот случай, когда неограниченно возрастает, то есть: сначала , потом , потом , затем и так далее до бесконечности.

А что в это время происходит с функцией ?
, , , …

Итак: если , то функция стремится к минус бесконечности :

Грубо говоря, согласно нашему первому правилу, мы вместо «икса» подставляем в функцию бесконечность и получаем ответ .

Еще один пример с бесконечностью:

Опять начинаем увеличивать до бесконечности и смотрим на поведение функции:

Вывод: при функция неограниченно возрастает :

И еще серия примеров:

Пожалуйста, попытайтесь самостоятельно мысленно проанализировать нижеследующее и запомните простейшие виды пределов:

, , , , , , , , ,
Если где-нибудь есть сомнения, то можете взять в руки калькулятор и немного потренироваться.
В том случае, если , попробуйте построить последовательность , , . Если , то , , .

! Примечание : строго говоря, такой подход с построением последовательностей из нескольких чисел некорректен, но для понимания простейших примеров вполне подойдет.

Также обратите внимание на следующую вещь. Даже если дан предел с большим числом вверху, да хоть с миллионом: , то все равно , так как рано или поздно «икс» начнёт принимать такие гигантские значения, что миллион по сравнению с ними будет самым настоящим микробом .

Что нужно запомнить и понять из вышесказанного?

1) Когда дан любой предел, сначала просто пытаемся подставить число в функцию.

2) Вы должны понимать и сразу решать простейшие пределы, такие как , , и т.д.

Более того, у предела есть очень хороший геометрический смысл. Для лучшего понимания темы рекомендую ознакомиться с методическим материалом Графики и свойства элементарных функций . После прочтения этой статьи вы не только окончательно поймете, что такое предел, но и познакомитесь с интересными случаями, когда предела функции вообще не существует !

На практике, к сожалению, подарков немного. А поэтому переходим к рассмотрению более сложных пределов. Кстати, по этой теме есть интенсивный курс в pdf-формате, который особенно полезен, если у Вас ОЧЕНЬ мало времени на подготовку. Но материалы сайта, разумеется, не хуже:

Сейчас мы рассмотрим группу пределов, когда , а функция представляет собой дробь, в числителе и знаменателе которой находятся многочлены

Пример:

Вычислить предел

Согласно нашему правилу попытаемся подставить бесконечность в функцию. Что у нас получается вверху? Бесконечность. А что получается внизу? Тоже бесконечность. Таким образом, у нас есть так называемая неопределенность вида . Можно было бы подумать, что , и ответ готов, но в общем случае это вовсе не так, и нужно применить некоторый прием решения, который мы сейчас и рассмотрим.

Как решать пределы данного типа?

Сначала мы смотрим на числитель и находим в старшей степени:

Старшая степень в числителе равна двум.

Теперь смотрим на знаменатель и тоже находим в старшей степени:

Старшая степень знаменателя равна двум.

Затем мы выбираем самую старшую степень числителя и знаменателя: в данном примере они совпадают и равны двойке.

Итак, метод решения следующий: для того, чтобы раскрыть неопределенность необходимо разделить числитель и знаменатель на в старшей степени .

Вот оно как, ответ , а вовсе не бесконечность.

Что принципиально важно в оформлении решения?

Во-первых, указываем неопределенность, если она есть.

Во-вторых, желательно прервать решение для промежуточных объяснений. Я обычно использую знак , он не несет никакого математического смысла, а обозначает, что решение прервано для промежуточного объяснения.

В-третьих, в пределе желательно помечать, что и куда стремится. Когда работа оформляется от руки, удобнее это сделать так:

Для пометок лучше использовать простой карандаш.

Конечно, можно ничего этого не делать, но тогда, возможно, преподаватель отметит недочеты в решении либо начнет задавать дополнительные вопросы по заданию. А оно Вам надо?

Пример 2

Найти предел
Снова в числителе и знаменателе находим в старшей степени:

Максимальная степень в числителе: 3
Максимальная степень в знаменателе: 4
Выбираем наибольшее значение, в данном случае четверку.
Согласно нашему алгоритму, для раскрытия неопределенности делим числитель и знаменатель на .
Полное оформление задания может выглядеть так:

Разделим числитель и знаменатель на

Пример 3

Найти предел
Максимальная степень «икса» в числителе: 2
Максимальная степень «икса» в знаменателе: 1 ( можно записать как )
Для раскрытия неопределенности необходимо разделить числитель и знаменатель на . Чистовой вариант решения может выглядеть так:

Разделим числитель и знаменатель на

Под записью подразумевается не деление на ноль (делить на ноль нельзя), а деление на бесконечно малое число.

Таким образом, при раскрытии неопределенности вида у нас может получиться конечное число , ноль или бесконечность.

Пределы с неопределенностью вида и метод их решения

Следующая группа пределов чем-то похожа на только что рассмотренные пределы: в числителе и знаменателе находятся многочлены, но «икс» стремится уже не к бесконечности, а к конечному числу .

Пример 4

Решить предел
Сначала попробуем подставить -1 в дробь:

В данном случае получена так называемая неопределенность .

Общее правило : если в числителе и знаменателе находятся многочлены, и имеется неопределенности вида , то для ее раскрытия нужно разложить числитель и знаменатель на множители .

Для этого чаще всего нужно решить квадратное уравнение и (или) использовать формулы сокращенного умножения. Если данные вещи позабылись, тогда посетите страницу Математические формулы и таблицы и ознакомьтесь с методическим материалом Горячие формулы школьного курса математики . Кстати его лучше всего распечатать, требуется очень часто, да и информация с бумаги усваивается лучше.

Итак, решаем наш предел

Разложим числитель и знаменатель на множители

Для того чтобы разложить числитель на множители, нужно решить квадратное уравнение:

Сначала находим дискриминант:

И квадратный корень из него: .

В случае если дискриминант большой, например 361, используем калькулятор, функция извлечения квадратного корня есть на самом простом калькуляторе.

! Если корень не извлекается нацело (получается дробное число с запятой), очень вероятно, что дискриминант вычислен неверно либо в задании опечатка.

Далее находим корни:

Таким образом:

Всё. Числитель на множители разложен.

Знаменатель. Знаменатель уже является простейшим множителем, и упростить его никак нельзя.

Очевидно, что можно сократить на :

Теперь и подставляем -1 в выражение, которое осталось под знаком предела:

Естественно, в контрольной работе, на зачете, экзамене так подробно решение никогда не расписывают. В чистовом варианте оформление должно выглядеть примерно так:

Разложим числитель на множители.

Пример 5

Вычислить предел

Сначала «чистовой» вариант решения

Разложим числитель и знаменатель на множители.

Числитель:
Знаменатель:



,

Что важного в данном примере?
Во-первых, Вы должны хорошо понимать, как раскрыт числитель, сначала мы вынесли за скобку 2, а затем использовали формулу разности квадратов. Уж эту-то формулу нужно знать и видеть.

Рекомендация: Если в пределе (практически любого типа) можно вынести число за скобку, то всегда это делаем.
Более того, такие числа целесообразно выносить за значок предела . Зачем? Да просто чтобы они не мешались под ногами. Главное, потом эти числа не потерять по ходу решения.

Обратите внимание, что на заключительном этапе решения я вынес за значок предела двойку, а затем – минус.

! Важно
В ходе решения фрагмент типа встречается очень часто. Сокращать такую дробь нельзя . Сначала нужно поменять знак у числителя или у знаменателя (вынести -1 за скобки).
, то есть появляется знак «минус», который при вычислении предела учитывается и терять его совсем не нужно.

Вообще, я заметил, что чаще всего в нахождении пределов данного типа приходится решать два квадратных уравнения, то есть и в числителе и в знаменателе находятся квадратные трехчлены.

Метод умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение

Продолжаем рассматривать неопределенность вида

Следующий тип пределов похож на предыдущий тип. Единственное, помимо многочленов, у нас добавятся корни.

Пример 6

Найти предел

Начинаем решать.

Сначала пробуем подставить 3 в выражение под знаком предела
Еще раз повторяю – это первое, что нужно выполнять для ЛЮБОГО предела . Данное действие обычно проводится мысленно или на черновике.

Получена неопределенность вида , которую нужно устранять.

Как Вы, наверное, заметили, у нас в числителе находится разность корней. А от корней в математике принято, по возможности, избавляться. Зачем? А без них жизнь проще.

Этот математический калькулятор онлайн поможет вам если нужно вычислить предел функции . Программа решения пределов не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное решение с пояснениями , т.е. отображает процесс вычисления предела.

Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Введите выражение функции

Вычислить предел

Обнаружено что не загрузились некоторые скрипты, необходимые для решения этой задачи, и программа может не работать.
Возможно у вас включен AdBlock.
В этом случае отключите его и обновите страницу.

У вас в браузере отключено выполнение JavaScript.
Чтобы решение появилось нужно включить JavaScript.
Вот инструкции, как включить JavaScript в вашем браузере .

Т.к. желающих решить задачу очень много, ваш запрос поставлен в очередь.
Через несколько секунд решение появится ниже.
Пожалуйста подождите сек...

Если вы заметили ошибку в решении , то об этом вы можете написать в Форме обратной связи .
Не забудте указать какую задачу вы решаете и что вводите в поля .

Наши игры, головоломки, эмуляторы:

Немного теории.

Предел функции при х->х 0

Пусть функция f(x) определена на некотором множестве X и пусть точка \(x_0 \in X \) или \(x_0 \notin X \)

Возьмем из X последовательность точек, отличных от х 0:
x 1 , x 2 , x 3 , ..., x n , ... (1)
сходящуюся к х*. Значения функции в точках этой последовательности также образуют числовую последовательность
f(x 1), f(x 2), f(x 3), ..., f(x n), ... (2)
и можно ставить вопрос о существовании ее предела.

Определение . Число А называется пределом функции f(х) в точке х = х 0 (или при х -> x 0), если для любой сходящейся к x 0 последовательности (1) значений аргумента x, отличных от x 0 соответствующая последовательность (2) значений функции сходится к числу A.

$$ \lim_{x\to x_0}{ f(x)} = A $$

Функция f(x) может иметь в точке x 0 только один предел. Это следует из того, что последовательность
{f(x n)} имеет только один предел.

Существует другое определение предела функции.

Определение Число А называется пределом функции f(x) в точке х = x 0 , если для любого числа \(\varepsilon > 0 \) существует число \(\delta > 0 \) такое, что для всех \(x \in X, \; x \neq x_0 \), удовлетворяющих неравенству \(|x-x_0| Используя логические символы, это определение можно записать в виде
\((\forall \varepsilon > 0) (\exists \delta > 0) (\forall x \in X, \; x \neq x_0, \; |x-x_0| Отметим, что неравенства \(x \neq x_0, \; |x-x_0| Первое определение основано на понятии предела числовой последовательности, поэтому его часто называют определением «на языке последовательностей». Второе определение называют определением «на языке \(\varepsilon - \delta \)».
Эти два определения предела функции эквивалентны и можно использовать любое из них в зависимости от того, какое более удобно при решении той или иной задачи.

Заметим, что определение предела функции «на языке последовательностей» называют также определением предела функции по Гейне, а определение предела функции «на языке \(\varepsilon - \delta \)» - определением предела функции по Коши.

Предел функции при x->x 0 - и при x->x 0 +

В дальнейшем будут использованы понятия односторонних пределов функции, которые определяются следующим образом.

Определение Число А называется правым (левым) пределом функции f(x) в точке x 0 , если для любой сходящейся к x 0 последовательности (1), элементы x n которой больше (меньше) x 0 , соответствующая последовательность (2) сходится к А.

Символически это записывается так:
$$ \lim_{x \to x_0+} f(x) = A \; \left(\lim_{x \to x_0-} f(x) = A \right) $$

Можно дать равносильное определение односторонних пределов функции «на языке \(\varepsilon - \delta \)»:

Определение число А называется правым (левым) пределом функции f(х) в точке x 0 , если для любого \(\varepsilon > 0 \) существует \(\delta > 0 \) такое, что для всех x, удовлетворяющих неравенствам \(x_0 Символические записи:

\((\forall \varepsilon > 0) (\exists \delta > 0) (\forall x, \; x_0

Для тех, кто хочет научиться находить пределы в данной статье мы расскажем об этом. Не будем углубляться в теорию, обычно её дают на лекциях преподаватели. Так что "скучная теория" должна быть у Вас законспектирована в тетрадках. Если этого нет, то почитать можно учебники взятые в библиотеке учебного заведения или на других интернет-ресурсах.

Итак, понятие предела достаточно важно в изучении курса высшей математики, особенно когда вы столкнетесь с интегральным исчислением и поймёте связь между пределом и интегралом. В текущем материале будут рассмотрены простые примеры, а также способы их решения.

Примеры решений

Пример 1

Вычислить а) $ \lim_{x \to 0} \frac{1}{x} $; б)$ \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} $

Решение

а) $$ \lim \limits_{x \to 0} \frac{1}{x} = \infty $$ б)$$ \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0 $$ Нам часто присылают эти пределы с просьбой помочь решить. Мы решили их выделить отдельным примером и пояснить, что данные пределы необходимо просто запомнить, как правило. Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ

$$ \text{a)} \lim \limits_{x \to 0} \frac{1}{x} = \infty \text{ б)}\lim \limits_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0 $$

Что делать с неопределенностью вида: $ \bigg [\frac{0}{0} \bigg ] $

Пример 3

Решить $ \lim \limits_{x \to -1} \frac{x^2-1}{x+1} $

Решение

Как всегда начинаем с подстановки значения $ x $ в выражение, стоящее под знаком предела. $$ \lim \limits_{x \to -1} \frac{x^2-1}{x+1} = \frac{(-1)^2-1}{-1+1}=\frac{0}{0} $$ Что теперь дальше? Что же должно получиться в итоге? Так как это неопределенность, то это ещё не ответ и продолжаем вычисление. Так как в числители у нас многочлен, то разложим его на множители, помощью знакомой всем формулы ещё со школьной скамьи $$ a^2-b^2=(a-b)(a+b) $$. Вспомнили? Отлично! Теперь вперед и с песней применять её :) Получаем, что числитель $ x^2-1=(x-1)(x+1) $ Продолжаем решать учитывая вышеприведенное преобразование: $$ \lim \limits_{x \to -1}\frac{x^2-1}{x+1} = \lim \limits_{x \to -1}\frac{(x-1)(x+1)}{x+1} = $$ $$ = \lim \limits_{x \to -1}(x-1)=-1-1=-2 $$

Ответ

$$ \lim \limits_{x \to -1} \frac{x^2-1}{x+1} = -2 $$

Устремим предел в последних двух примерах к бесконечности и рассмотрим неопределенность: $ \bigg [\frac{\infty}{\infty} \bigg ] $

Пример 5

Вычислить $ \lim \limits_{x \to \infty} \frac{x^2-1}{x+1} $

Решение

$ \lim \limits_{x \to \infty} \frac{x^2-1}{x+1} = \frac{\infty}{\infty} $ Что же делать? Как быть? Не стоит паниковать, потому что невозможное - возможно. Нужно вынести за скобки и в числителе и в знаменателе икс, а потом его сократить. После этого предел попытаться вычислить. Пробуем... $$ \lim \limits_{x \to \infty} \frac{x^2-1}{x+1} =\lim \limits_{x \to \infty} \frac{x^2(1-\frac{1}{x^2})}{x(1+\frac{1}{x})} = $$ $$ = \lim \limits_{x \to \infty} \frac{x(1-\frac{1}{x^2})}{(1+\frac{1}{x})} = $$ Используя определение из примера 2 и подставляя в место х бесконечность получаем: $$ = \frac{\infty(1-\frac{1}{\infty})}{(1+\frac{1}{\infty})} = \frac{\infty \cdot 1}{1+0} = \frac{\infty}{1} = \infty $$

Ответ

$$ \lim \limits_{x \to \infty} \frac{x^2-1}{x+1} = \infty $$

Алгоритм вычисления лимитов

Итак, давайте кратко подведем итог разобранным примерам и составим алгоритм решения пределов:

1. Подставить точку х в выражение, следующее после знака предела. Если получается определенное число, либо бесконечность, то предел решен полностью. В противном случае имеем неопределенность: "ноль делить на ноль" или "бесконечность делить на бесконечность" и переходим к следующим пунктам инструкции.
2. Чтобы устранить неопределенность "ноль делить на ноль" нужно разложить числитель и знаменатель на множители. Сократить подобные. Подставить точку х в выражение, стоящее под знаком предела.
3. Если неопределенность "бесконечность делить на бесконечность", тогда выносим и в числителе, и в знаменателе x наибольшей степени. Сокращаем иксы. Подставляем значения икса из под предела в оставшееся выражение.

В этой статье Вы ознакомились с основами решения пределов, часто используемых в курсе Математического анализа. Конечно же это не все типы задач, предлагающихся экзаменаторами, а только простейшие пределы. В следующих статьях поговорим о других типах заданий, но сперва необходимо усвоить этот урок, чтобы двигаться далее. Обсудим, что делать, если есть корни, степени, изучим бесконечно малые эквивалентные функции, замечательные пределы, правило Лопиталя.

Если у Вас не получается самостоятельно решить пределы, то не паникуйте. Мы всегда рады помочь!