Варианты решений заданий C4 ЕГЭ по математике. Задание С4 на ЕГЭ по английскому языку. Как правильно строятся вопросы в английском языке

Решение заданий С4 по математике

Задание С4: Условие

В угол, равный arccos(-1/9), вписана окружность радиуса 3. Параллельно хорде, соединяющей точки касания, проведены две касательные к окружности, в результате чего получилась трапеция. Найдите площадь этой трапеции.

Решение:

Нас интересует площадь трапеции ABCD, Её высота равна 2R=6. Осталось только найти полусумму оснований (AB+CD)/2.

Из прямоугольного треугольника olH найдем OH:
OH = ol/sin(OHL).
Для удобства обозначим угол OHL буквой "a".

По формуле косинуса двойного угла:
cos(2a) = 1 - 2sin^2(a), откуда
sin(a) = sqrt((1-cos(2a))/2)
sin(a) = sqrt((1+1/9)/2) = sqrt(5)/3

Чтобы потом к этому не возвращаться,
cos(a) = sqrt(1-5/9) = 2/3
tg(a) = sqrt(5)/3/2*3 = sqrt(5)/2.

Итак, OH = ol/sin(a) = 9/sqrt(5)
Отсюда:
pH = 9/sqrt(3) - 3
QH = 9/sqrt(3) +3

AB = 2*pH*tg(a)
CD = 2*QH*tg(a)

(AB+CD)/2 = 2*9/sqrt(5)*sqrt(5)/2 = 9

S(ABCD) = 9*6 = 54

Ответ: 54

Задание С4: Окружность проходит через вершину прямого угла

Условие:

Окружность S проходит через вершину C прямого угла и пересекает его стороны в точках, удаленных от вершины C на расстояние 14 и 48. Найти радиус окружности, вписанной в данный угол и касающейся окружности S.

Решение:

Во-первых, заметим, что, как и обычно бывает в C4, тут может быть два случая - вторая окружность может касаться первой как изнутри (синие линии на рисунке), так и снаружи (красная линия).

Итак, AC = 14, BC = 48, угол C - прямой. Значит, AB является диаметром первой окружности, и он равен sqrt(14^2+48^2) = 50.
Точка O, являясь центром окружности, делит AB пополам. Значит, перпендикуляры, опущенные из неё к отрезкам AC и BC, тоже делят их пополам.

Пусть O1 - центр второй окружности, а R - её радиус. Рассмотрим прямоугольный треугольник OKO1 с гипотенузой OO1 и катетами, параллельными лучам угла.

В "синем" случае:
OK = 24-R
O1K = R-7
OO1 = 25-R

Пишем теорему Пифагора:
(24-R)^2 + (R-7)^2 = (25-R)^2
Решаем, получаем два корня - 0 и 12. Нулевой случай нас не сильно интересует.

В "красном" случае всё то же самое, только OK=R-24 и, что самое важное, OO1=25+R.
И там, решая такое же уравнение, получим второй корень 112.

Пособие содержит решения всех задач книги автора Р. К. Гордина «ЕГЭ 2012. Математика. Задача С4. Геометрия. Планиметрия». Данное пособие ориентировано на подготовку учащихся старшей школы к решению геометрической задачи С4 единого государственного экзамена по математике.
Учащимся средней школы материал пособия будет полезен при изучении курса геометрии.
На различных этапах обучения пособие поможет учащимся оформить решения геометрических задач, осуществить контроль и самоконтроль знаний по планиметрии.
Пособие предназначено для учащихся старшей и средней школы, учителей математики, родителей.

Геометрия является неотъемлемой частью математического образования и интеллектуального развития учащихся. Задания по геометрии входят и в часть В, и в часть С ЕГЭ по математике. В частности, С4 - задача повышенной сложности по планиметрии.

Московский центр непрерывного математического образования издал пособие по подготовке к ЕГЭ по математике Р. К. Гордина «ЕГЭ 2012. Математика. Задача С4. Геометрия. Планиметрия». В нём содержится напоминание некоторых теоретических фактов и большой набор задач, к которым приведены ответы. Оказалось, что этого недостаточно для успешной подготовки к экзамену: нужны еще и решения подготовительных и тренировочных задач.

Книга, которую вы держите в руках, как раз и содержит все эти решения. К ней нельзя относиться лишь как к очередному «решебнику». Геометрические задачи на экзамене решают плохо не только потому, что выпускники не знают каких-то фактов, но еще и потому, что они не могут написать текст решения задачи. Поднять математическую культуру учащихся и призвана эта книга.

Содержание
Предисловие 3
§ 1. Медиана прямоугольного треугольника 4
§ 2. Удвоение медианы 20
§ 3. Параллелограмм. Средняя линия треугольника 29
§ 4. Трапеция 42
§ 5. Как находить высоты и биссектрисы треугольника 65
§ 6. Отношение отрезков 81
§ 7. Отношение площадей 94
§ 8. Касательная к окружности 110
§ 9. Касающиеся окружности 125
§ 10. Пересекающиеся окружности 162
§ 11. Окружности, связанные с треугольником, четырёхугольником 172
§ 12. Пропорциональные отрезки в окружности 198
§ 13. Углы, связанные с окружностью 219
§ 14. Вспомогательные подобные треугольники 241
§ 15. Некоторые свойства высот и точки их пересечения 261
Диагностические работы 276
Приложение 2. Список полезных фактов 299
Литература 326

Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать:
Скачать книгу ЕГЭ, Математика, Решение задачи С4, Гордин Р.К., 2012 - fileskachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.

Скачать djvu
Ниже можно купить эту книгу по лучшей цене со скидкой с доставкой по всей России.

Итак, свершилось! Проведен очередной (уже четвертый по счету) ЕГЭ по математике. Многим интересно посмотреть, как репетитор по математике решает задачу С4, которая была на нем предложена. Она у многих не получилась. И даже сами репетиторы не сразу разобрались, что к чему. Вчера мне прислали текст условия С4 и я тут же решил опубликовать свое решение.

Дан треугольник АВС, в котором AB=7, АС=9 и ВС=10. Окружность проходит через точки В и С и пересекает лучи АВ и АС в точках М и Н соответственно. Найти МН, если в ВМНС можно вписать окружность.

Решение репетитора по математике :
Найдем косинус угла А в треугольнике АВС по теореме косинусов:

Применим свойство отрезков секущей (случай их внешнего пересечения) для секущих АВ и АС. Имеем равенство . Пусть AM=x, тогда

Выразим длину отрезка MH через икс по теореме косинусов в треугольнике АМН:

Применим критерий существования окружности, вписанной в четырехугольник. Так в BMHC можно вписать окружность, то

И, наконец,
Второй случай :
Возможно принципиально иное расположение точек M и N. Почему? В условии задачи С4 сказано, что окружность пересекает прямые АВ и АС, поэтому нельзя исключать случай расположения точек пересечения с продолжениями сторон. Обе точки M и N (очевидно) не могут располагаться вне отрезков (иначе вписанная в окружность не сможет коснуться отрезка MN. Поэтому одна из точек лежит на стороне, а другая на ее продолжении. Пусть (cм. рисунок слева). Тогда по свойству отрезков хорд имеем . Из этого равенства следует, что . Так как они описаны около одной окружности, то их коэффициент продобия будет равен 1, поэтому эти треугольники равны, а следовательно MN=BC=10

Пусть style="vertical-align:-5%" class="tex" alt="M \in AB \implies AN > AC=9">. Проводя те же рассуждения, как и в первом случае, можно заключить, что AN=AB=7, а поэтому 7 > 9. Это невозможно, а значит данный случай исключается. Окончательный ответ: или .

Как репетитор по математике оценивает задачу : мне всегда было интересно оценивать конкурсные задания по разнообразию и количеству математических фактов, участвующих в их решении. В случае с условием С4 подбор средств для решения оказался достаточно интересным и профессионально выполненным, ибо удалось задействовать сразу три мощных теоремы планиметрии: свойство отрезков секущих, теорема косинусов (применялась дважды) и критерий существования окружности, вписанной в четырехугольник. Кроме проверялось умение абитуриента выражать с их помощью отдельные элементы рисунка и использовать полученные выражения при составления финального уравнения.

Можно отметить достаточно высокую степень уникальности задачи. Я не припомню аналогичного условия в каком-либо задачнике, хотя моя подготовка к ЕГЭ по математике отличается большой обзорностью приемов и тем, рассмотрением широкого спектра вариантов прошлых лет (как с ЕГЭ, так и внутренних конкурсных номеров, предлагавшихся сильными ВУЗами раньше). Моя оценка задаче — 9 баллов из 10.

А.Н. Колпаков, репетитор по математике в Москве. Строгино

Повторим, как образуются прямые вопросы. Что такое прямой вопрос? В прямых вопросов порядок слов такой же, как в обычном предложении, но только перед подлежащим нужно поставить вспомогательный глагол. В английском языке существуют пять типов вопросов: общий, к подлежащему, специальный, альтернативный и разделительный.

1. Общий вопрос

Он строится ко всему предложению и требует ответа «да» или «нет». Схема построения вопроса такова:

Например: Do you live in Russia? – Yes, I do. / No, I don’t

2. Вопрос к подлежащему

В вопросе к подлежащему вместо подлежащего ставится вопросительное слово «кто» - WHO, если речь идет о живых людях и «что» - WHAT, если речь идет о неодушевленных предметах. Схема построения такого вопроса:

Помни, что в вопросе к подлежащему нельзя ставить do, does и did.

Например:

Who are you talking to?

What can help you?

3. Специальный вопрос.

Этот тип вопроса требует точного ответа. Здесь используются такие вопросительные слова, как
When – когда; where – где, куда, откуда; why – почему; how – как; what colour – какого цвета; how much, how many – сколько; how far - как далеко; how long – как долго и т.д.

Схема построения вопроса такова: (все вопросительные слова обозначим Wh)

Например:

When does the museum open?

What colour is your car?

How long have you know your friend?

4. Альтернативный вопрос – вопрос выбора.

Он строится точно также как общий вопрос, но к любому члену предложения можно добавить выбор с помощью союза “or”.

Схема вопроса: (на примере альтернативы к подлежащему)

Например:

Do your parents or your friends always help you?

Точно также можно построить альтернативный вопрос к любому члену предложения. Например, к дополнению:

Does he speak English or Spanish?

5. Разделительный вопрос (не так ли)

Он строится по такой схеме:

Например,

Mary drives her car to work, doesn’t she?

Помни! Вопрос должен звучать не только грамматически правильно, но и разумно.

Самые легкие для составления вопросы те, что начинаются с if. Это значит, что надо задать общий вопрос. Не забывай про интонацию в вопросах. Она должна повышаться в общем вопросе и понижаться в специальном.

Вот таблица, в которой приведены наиболее часто встречающиеся вопросы:

№	О чем надо спросить	Как задать вопрос
1	age restriction	Is there a minimum\ any age restriction for this film?
2	availability of (smth)	Is (something) available?
3	courses available	What courses are available at your school?
4	directions to the hotel\ gym	How can I get to your hotel?
5	discounts for groups\ party reductions	Are there any discounts for groups?
6	discounts for students	Are there any discounts for students?
7	distance from the city centre	How far is the (hotel) from the city centre?
8	duration of the course\ tour	How long is the course\ tour? How long does the course\ tour last?
9	entrance fee	What is the entrance fee? How much is the ticket? How much does (…) cost?
10	hotel facilities	What facilities are available at the hotel?
11	if breakfast is included	Is breakfast included into the price?
12	if textbooks are included	Are textbooks included into the price?
13	location of the hotel\ gym\ club	Where is your hotel\ gym\ club situated\ located?
14	online (advance) reservation\ booking	Can I book\ purchase a ticket online (in advance)?
15	opening hours (of the club)	What are the opening hours (of your club)? When is (the club) open?
16	photo permission\ taking pictures	Is it allowed to take pictures during the tour?
17	possible accommodation	What kind of accommodation do you offer?
18	double\ single room price per night	What is the double\ single room price per night?
19	price of a three-week course	How much is a three-week course? How much do I have to pay for a three-week course?
20	refund for a ticket	Can I get a refund for the ticket if I miss the concert?
21	variety	What kinds of ...?

Вопросы в задании С4 можно задавать разные. Это зависит от ситуации, которая дается. Наиболее часто встречаются общие и специальные вопросы. Реже разделительные, к подлежащему и альтернативные.