Варианты заданий к огэ. Реальные варианты ОГЭ (ГИА) по математике — Архив файлов

Основной государственный экзамен (ОГЭ) – форма итоговой аттестации для выпускников 9 классов средней школы РФ. ОГЭ является обязательным условием перехода в 10 класс. Результат экзамена сказывается на аттестационных оценках.

Девятиклассники сдают два основных предмета (русский язык и математика) и два предмета по выбору (среди них: обществознание, история, литература, география, биология, химия, информатика, иностранный язык).

Учащимся 9-х классов предлагают единообразные задания, составленные в соответствии с образовательным стандартом РФ.

До 2016 года контрольно-измерительные материалы ОГЭ включали три части (А, В, С). Впоследствии задания части А, предлагающие выбор одного правильного ответа из нескольких предложенных, были исключены. Часть В представляет собой задания тестового типа, где учащийся должен дать краткий ответ. Часть С – это развернутый ответ в виде изложения, сочинения по поставленной проблеме или пошаговое решение математической, физической задачи.

Как проводится ОГЭ по различным предметам?

Процедура проведения ОГЭ очень напоминает проведение единого государственного экзамена в 11 классе. Место проведения должно быть оснащено системой видеонаблюдения и утверждено местным муниципалитетом и министерством образования.

В 9.00 выпускники распределяются по специальным пунктам проведения экзамена (ППЭ), в 10.00 начинается непосредственно экзамен.

Каждому учащемуся предоставляется свое место для выполнения КИМов. Перед началом экзамена для всех выпускников производится инструктаж по заполнению экзаменационных бланков, правилам проведения экзамена, о времени проведения аттестации по тому или иному предмету.

Экзамен по различным предметам имеет свои особенности. К примеру, экзамен по физике включает в себя экспериментальную часть. Химия предполагает выбор выпускника: использовать реальный эксперимент или нет. На экзамене по иностранному языку присутствует устная часть, где проверяется умение учащегося изъясняться на изучаемом языке. Экзамен по информатике предполагает применение компьютерных технологий.

Что необходимо взять с собой на ОГЭ?

Для девятиклассников, пришедших на экзамен, обязательно иметь при себе документ, удостоверяющий личность (свидетельство о рождении или паспорт). Наличие нескольких черных гелевых ручек приветствуется. Нужно также принести на экзамен инструменты, необходимые для аттестации по конкретному предмету: линейки для математики, географии, физики, калькулятор для физики и химии и др.

Можно взять с собой питьевую воду, легкое питание, лекарства (если необходимо). Учащиеся с особенными образовательными потребностями могут присутствовать на экзамене со специальной техникой.

Телефоны и другие средства коммуникации недопустимы на ОГЭ. Они располагаются в специально отведенном месте при входе в ППЭ.

При нарушении правил проведения экзамена учащийся может быть удален из аудитории.

При отсутствии на экзамене по уважительной причине, девятиклассник может сдать его позже.

Что будет в случае получения неудовлетворительной оценки на ОГЭ?

Если выпускник 9 класса получил на ОГЭ «двойку» по одному или нескольким предметам, ему дается возможность пересдать экзамен в этом же году в установленное время.

В случае, если исправить оценку не получается и в этом случае, пересдача будет перенесена на следующий год, а учащийся получит справку о прохождении обучения. По желанию родителей или опекунов ученик может повторно пройти обучение в 9 классе.

Оценивание

Работа состоит из двух модулей : «Алгебра» и «Геометрия». Всего в работе 26 заданий . Модуль «Алгебра» «Геометрия»

3 часа 55 минут (235 минут).

в виде одной цифры

, угольник циркуль Калькуляторы на экзамене не используются .

паспорт ), пропуск и капиллярную или ! Разрешают брать с собой воду (в прозрачной бутылке) и еду

Работа состоит из двух модулей : «Алгебра» и «Геометрия». Всего в работе 26 заданий . Модуль «Алгебра» содержит семнадцать заданий: в части 1 - четырнадцать заданий; в части 2 - три задания. Модуль «Геометрия» содержит девять заданий: в части 1 - шесть заданий; в части 2 - три задания.

На выполнение экзаменационной работы по математике отводится 3 часа 55 минут (235 минут).

Ответы к заданиям 2, 3, 14 запишите в бланк ответов №1 в виде одной цифры , которая соответствует номеру правильного ответа.

Для остальных заданий части 1 ответом является число или последовательность цифр . Ответ запишите в поле ответа в тексте работы, а затем перенесите в бланк ответов №1. Если в ответе получена обыкновенная дробь, обратите её в десятичную .

При выполнении работы Вы можете воспользоваться , содержащими основные формулы курса математики, выдаваемыми вместе с работой. Разрешается использовать линейку , угольник , иные шаблоны для построения геометрических фигур (циркуль ). Запрещается использовать инструменты с нанесёнными на них справочными материалами. Калькуляторы на экзамене не используются .

На экзамене при себе надо иметь документ удостоверяющий личность (паспорт ), пропуск и капиллярную или гелевую ручку с черными чернилами ! Разрешают брать с собой воду (в прозрачной бутылке) и еду (фрукты, шоколадку, булочки, бутерброды), но могут попросить оставить в коридоре.

Трудно ли сдавать ОГЭ по математике? Этот вопрос задает себе, пожалуй, каждый выпускник 9 класса. Давайте разбираться вместе. Основной Государственный Экзамен по математике является одним из самых сложных в 9 классе — это факт. Кроме того, он обязателен к сдаче каждым выпускником основной школы для получения аттестата. Поэтому ко всем сложностям ОГЭ 2018 по математике стоит быть готовыми заранее.

Хотим обратить ваше внимание на то, что в УЦ «Годограф» вы найдете квалифицированных репетиторов по подготовке к ОГЭ по математике для учеников , и . Мы практикуем индивидуальные и коллективные занятия по 3-4 человека, предоставляем скидки на обучение. Наши ученики в среднем набирают на 30 баллов больше!

Для начала стоит отметить первую особенность ОГЭ по математике, которая выделяет его среди всех экзаменационных испытаний не только в 9, но и в 11 классе. Это, конечно же, разделение на модули: «Алгебра», «Геометрия», «Реальная математика». Если не пройти минимальный порог по каждому из них, это негативно повлияет на общую оценку за экзамен.

То есть, не набрав нужных баллов по хотя бы одному из модулей (напомним, что в «Алгебре» это 3 балла, в «Геометрии» — 2, в «Реальной математике» – 2), можно получить оценку «неудовлетворительно» за всю экзаменационную работу. Таким образом, проверяются знания учеников по всем разделам курса математики основной школы. Поэтому следует уделить достаточно времени на подготовку к каждому блоку.

Задания модуля «Геометрия» в ОГЭ

Итак, традиционно в ОГЭ по математике наибольший процент нерешенных заданий приходится на модуль «Геометрия». Этому явлению можно найти несколько причин.

Во-первых, на изучение геометрии в школе отводится в среднем в три раза меньше времени, чем на уроки алгебры. А материал, по сути, воспринимается и усваивается сложнее и дольше, чем алгебраический.

Во-вторых, навыки построения и чтения чертежей у многих ребят сформированы плохо и требуют дополнительной работы дома, чего большинство учащихся, конечно же, не делают.

В итоге задания по геометрии зачастую просто игнорируются учащимися. Иными словами, они даже не приступают к их выполнению. Совет здесь единственный: уделять больше времени задачам по геометрии в течение всего времени подготовки. Не ленитесь: посмотрите решение аналогичных задач в Интернете или спросите у учителя, тогда со временем нужный навык решения сформируется и на экзамене вы будете во всеоружии.

Стоит сказать, что действительно сложных заданий в ОГЭ по математике просто нет, исключением являются, пожалуй, только задачи 25, 26 и то не всегда. Эти номера также можно научиться решать: несколько выученных приемов по выполнению дополнительных построений и алгоритмов решения позволят справиться с подобными заданиями.

Задания модуля «Алгебра» в ОГЭ по математике

Итак, переходим к модулю «Алгебра». Останавливаться на первой части, пожалуй, не имеет никакого смысла, все задания там выполняются по довольно простым алгоритмам, не требуют особой смекалки, научиться их решать способен каждый учащийся общеобразовательной школы. Куда больший интерес представляют задания части 2. На них-то мы и остановимся поподробнее.

Задание 21 с решением в ОГЭ по математике. Преобразовать выражение, решить уравнение, решить систему уравнений

Дробно-рациональное или степенное выражение. Решение требует внимания на каждом шаге преобразования. Рассмотрим пример:

Решить неравенство

1____ + __1____ + __1____ < 1 (х-3)(х-4) (х-3)(х-5) х²-9х+20 Решение: Для решения данного неравенства выполним следующее 1. Перенесем единицу в левую часть неравенства. 2. Знаменатель третьей дроби разложим на множители (х-4)(х-5) 3.

Поскольку в знаменателе есть переменная, необходимо указать ОДЗ - область допустимых значений - те значения х, при которых дробь не имеет смысла. х≠3; х≠4; х≠5 4. Сложим четыре дроби с разными знаменателями (поскольку целое число можно представить в виде дроби со знаменателем 1), домножив числители. Получаем: (х-5) +(х-4) + (х-3) - (х-3)(х-4)(х-5) < 0 3х-12 - (х-3)(х-4)(х-5) < 0 3(х-4) - (х-3)(х-4)(х-5) < 0 Выносим общий множитель (х-4) за скобку (х-4) 〈3 - (х-3)(х-5)〉 < 0 (х-4) 〈3 - (х² - 8х + 15)〉 < 0 (х-4) (3 - х² + 8х - 15) < 0 Коэффициент при х² отрицательный. Меняем его на противоположный, умножая вторую скобку на (-1). При этом изменится знак неравенства на противоположный. (х - 4) (х² - 8х + 12) > 0 (х - 4) (х - 6) (х - 2) > 0 Теперь мы можем решить неравенство методом интервалов. Отмечаем на числовой оси все корни, которые мы нашли в числителе и все корни ОДЗ из знаменателя.

2________3 _________ 4_________ 5_________ 6___________ - — В записи, где коэффициент при х всегда положительный, метод интервалов дает право применить следующее правило: правее правого корня знак неравенства ВСЕГДА +! При переходе через корень знак неравенства меняется на противоположный.

В случае, если корень имеет чётную кратность, (например х в квадрате, в четвёртой степени, в шестой степени и т.д.), как в нашем примере с х=4, знак неравенства на противоположный не меняется. Отсюда ответ: (-∞, 2)∪(3,4)∪(4,5)∪(6,+∞).

На каждом шаге просматривается определенный нюанс решения. Но в целом алгоритм понятен и легко поддается усвоению.

Решение задания 22 в ОГЭ по математике . Текстовая задача

Здесь много говорить не приходится, текстовые задачи ребята, как правило, решают. Ошибки могут возникать на этапе составления уравнения по условию задачи. Чтобы избежать подобных проблем, следует уметь правильно формализовать текстовую задачу, то есть переводить с русского на математический язык. Для этого разработано большое количество методик: рисунки, схемы, таблицы и т.д. Методы, наиболее часто применяемые в школах – это построение таблиц в задачах на движение и на работу, и схемы в задачах на проценты. Овладеть этими методами не составит труда, достаточно только желания это сделать.

Пример задания 23 в ОГЭ по математике. Построение сложных графиков функций, выражения с параметром

Многие учащиеся говорят, что самое сложное задание ОГЭ по математике — это номер 23. С ними сложно поспорить, вид у таких заданий обычно угрожающий, но фактически все решение сводится к преобразованию большого выражения в компактную дробь. Причем, достаточно знать лишь правила разложения многочленов на множители и быть внимательными, когда сокращаете получившиеся дроби. Построение графика не должно вызывать сложности, в крайнем случае, вы всегда можете «набросать» график по точкам и понять, что за функция получилась.

После выполненных построений, не забудьте выполнить само задание: как правило, нужно определить неизвестный параметр (число), который обеспечивает выполнение таких условий как одна, две, ни одной и т.д. общих точек с графиком построенной функции. Постоянные тренировки помогут обрести уверенность и решать это задание без труда.

Таким образом, нельзя безапелляционно сказать, что в ОГЭ по математике много труднорешаемых заданий. Вопрос только в правильной и своевременной подготовке. Приложите усилия, и даже самые сложные задания ОГЭ по математике 2018 покажутся вам несерьезными! УЦ «Годограф» искренне желает вам удачи на экзаменах!

Основной государственный экзамен по математике должны сдавать все девятиклассники для перевода в 10 класс и получения аттестата об основном среднем образовании. Для тех, кто хочет продолжить обучение в классе с физико-математическим уклоном, это испытание особенно важно – следует набрать нужное количество баллов.

В 2019 году в содержание экзамена внесены некоторые изменения. Так, решено было исключить модуль «Реальная математика». Это не значит, что соответствующие вопросы просто удалены – их придется решать в разделах «Алгебра» и «Геометрия».

Структура ОГЭ по математике

ОГЭ содержит 26 заданий, которые распределены на два блока.

Первая часть содержит 20 вопросов (базовый уровень), 14 из них по алгебре и 6 – по геометрии. За правильное решение каждого дается 1 балл. Для ответа надо написать число, цифру или последовательность цифр. Ученик должен показать, как он владеет основными алгоритмами, насколько хорошо знает понятия и категории. Проверяется правильность решения компьютерным способом.

Вторая часть – это 6 заданий ОГЭ по математике (повышенный и высокий уровень сложности), 3 вопроса по алгебре и столько же по геометрии, за каждое можно получить 2 балла. Для ответа потребуется предоставить письменное решение. Этот модуль имеет значение для формирования профильной группы, тут придется предоставить подробные описания. Проверку проводят два независимых эксперта, они же составляют протокол.

На экзамен отводится 235 минут. Это не так уж много, если учесть волнение, которое обычно сопутствует подобным мероприятиям.

Что в кармане принести?

Экзаменуемым разрешено пользоваться справочными пособиями с некоторыми математическими формулами. Но, с собой их приносить не нужно – эти книги выдаются каждому школьнику во время испытаний. А вот такие принадлежности, как линейка, циркуль, шаблон для черчения можно смело брать на экзамен. Не разрешается использовать калькулятор.

Чтобы решить все задания ОГЭ 2019 по математике и получить хороший балл, стоит внимательно повторить всю школьную программу. Можно работать самостоятельно или с репетитором, но самые лучшие результаты показывают выпускники, которые при подготовке использовали демонстрационные версии, удобно скомпонованные по предметам. Главное – понять логику, решать вопросы не автоматически запоминая ответы, а стараясь разобраться в структуре и применяя усвоенные ранее знания.

При написании данной работы «ОГЭ по математике 2018. Вариант 2» было использовано пособие «ОГЭ 2018. Математика. 14 вариантов. Типовые тестовые задания от разработчиков ОГЭ / И. Р. Высоцкий, Л. О. Рослова, Л. В. Кузнецова, В. А. Смирнов, А. В. Хачатурян, С. А. Шестаков, Р. К. Гордин, А. С. Трепалин, А. В. Семенов, П. И. Захаров; под редакцией И. В. Ященко. - М.: Издательство «Экзамен», МЦНМО, 2018″.

Часть 1

Модуль «Алгебра»

Показать решение

Чтобы сложить две дроби, их необходимо привести к общему знаменателю. В данном случае - это число 20 :

Ответ:
5,45

1. В нескольких эстафетах, которые проводились в школе, команды показали следующие результаты.

Команда	I эстафета, баллы	II эстафета, баллы	III эстафета, баллы	IV эстафета, баллы
«Удар»	3	3	2	1
«Рывок»	4	1	4	2
«Взлёт»	1	2	1	4
«Спурт»	2	4	3	3

При подведении итогов баллы каждой команды по всем эстафетам суммируются. Побеждает команда, набравшая наибольшее количество баллов. Какая команда заняла первое место?

1. «Удар»
2. «Рывок»
3. «Взлёт»
4. «Спурт»

Показать решение

В первую очередь суммируем баллы, набранные каждой командой

«Удар» = 3 + 3 + 2 + 1 = 9
«Рывок» = 4 + 1 + 4 + 2 = 11
«Взлёт» = 1 + 2 + 1 + 4 = 8
«Спурт » = 2 + 4 + 3 + 3 = 12

Судя по результату: первое место у команды «Спрут».
Ответ:
Первое место заняла команда «Спрут», номер 4.

1. На координатной прямой точки A, B, C и D соответсвуют числам: 0,098; -0,02; 0,09; 0,11.

Какой точке соответствует число 0,09 ?

Показать решение

На координатной прямой положительные числа находятся справа от начала координат, а отрицательные - слева. Значит единственное отрицательное число -0,02 соответсвует точке A. Самое большое положительное число - это 0,11, а значит оно соответсвует точке D (крайней справа). Учитывая, что оставшееся число 0,098 больше числа 0,09, то и принадлежат они точкам C и B соотвественно. Отобразим это на чертеже:

Ответ:
Число 0,09 соответсвует точке B, номер 2.

1. Найдите значение выражения

Показать решение

В данном примере необходимо проявить смекалку. Если корень из 36 равен 6, поскольку 6 2 = 36, то корень из 3,6 найти простым путём достаточно сложно. Однако, после нахождения корня из числа 3,6 его нужно тут же возвести в квадрат. Таким образом, два действия: нахождение квадратного корня и возведение в квадрат аннулируют друг друга. Поэтому получаем:

Ответ:
2,4

1. На графике изображена зависимость атмосферного давления от высоты над уровнем моря. На горизонтальной оси отмечена высота над уровнем моря в километрах, на вертикальной - давление в миллиметрах ртутного столба. Определите по графику, на какой высоте атмосферное давление равно 360 миллиметрам ртутного столба. Ответ дайте в километрах.

Показать решение

Найдем на графике линию соответствующую 360 мм ртутного столба. Далее определим место её пересечения с кривой зависимости атмосферного давления от высоты над уровнем моря. На графике прекрасно видно это место пересечения. Проведем от точки пересечения вниз прямую до шкалы высот. Искомая величина 5,5 километров.

Ответ:
Атмосферное давление равно 360 миллиметрам ртутного столба на высоте 5,5 километров.

1. Решите уравнение x 2 - 6x = 16

Если уравнение имеет более одного корня, в ответ напишите меньший из корней.

Показать решение

x 2 - 6x = 16

Перед нами обычное квадратное уравнение:

x 2 + 6x - 16 = 0

Для его решения необходимо найти дискриминант:

D = (-6) 2 - 4 * 1 * (-16) = 36 + 64 = 100

Так как D > 0, то уравнение иеет два корня

х1 = (-(-6) + √100) / 2 * 1 = (6 + 10) / 2 = 16 / 2 = 8

х2 = (-(-6) - √100) / 2 * 1 = (6 - 10) / 2 = -4 / 2 = -2

Выполним проверку:

8 2 - 6 * 8 - 16 =0

64 - 48 - 16 = 0

(-2) 2 - 6 * (-2) - 16 =0

Следовательно, х1 = 8 и х2 = -2 - корни заданного квадратного уравнения.

х1 = -2 - меньший корень уравнения.
Ответ:
Наименьший корень данного уравнения: -2

1. Поступивший в продажу в январе мобильный телефон стоил 1600 рублей. В мае он стал стоить 1440 рублей. На сколько процентов снизилась цена на мобильный телефон в период с января по май?

Показать решение

Итак, 1600 рублей - 100%

1600 - 1440 = 160 (р) - сумма на которую подешевел телефон

160 / 1600 * 100 = 10 (%)
Ответ:
Цена на мобильный телефон в период с января по май снизилась на 10%

1. На диаграмме представлены семь крупнейших по площади территории (в млн км 2) стран мира.

Какие из следующих утверждений верны ?

1) Афганистан входит в семёрку крупнейших по площади территории страна мира.
2) Площадь территории Бразилии составляет 8,5 млн км 2 .
3) Площадь территории Индии больше площади территории Австралии.
4) Площадь территории России больше площади территории США на 7,6 млн км 2 .

В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Показать решение

Исходя из графика, Афганистан отсутсвует в списке представленных стран, а значит первое утверждение неверное .

Над гистограммой Бразилии указана площадь 8,5 млн км 2 , что соответсвует второму утверждению, верное .

Площадь территории Индии согласно графика равна 3,3 млн км 2 , а площадь Австралии - 7,7 млн км 2 , что не соответсвует утверждению в третьем пункте, неверное .

Площадь территории России равна 17,1 млн км 2 , а площадь США - 9,5 млн км 2 , получаем 17,1 - 9,5 = 7,6 млн км 2 . А значить утверждение 4 верное .
Ответ:
24

1. В каждой восьмой бутылке газировки согласно условиям акции под крышкой есть приз. Призы распределены случайно. Вася покупает бутылку газировки. Найдите вероятность того, что Вася не найдет приз.

Показать решение

Решение данной задачи основано на классической формуле определения вероятности:

где, m - число благоприятных исходов события, а n - общее количество исходов

Получаем

Таким образом, вероятность того, что Вася не найдёт приз составит 7/8 или

Ответ:
Вероятность того, что Вася не найдёт приз составит 0,875

1. Установите соответствие между функциями и их графиками.

В таблице под каждой буквой укажите соответсвующий номер.

Показать решение

1. Изображённая на рисунке 1 гипербола расположена второй и четвертой четвертях, следовательно, данному графику может со­от­вет­ство­вать функция В. Выполним проверку: a) при х = -6, y = -(1/-6*3) = 0,05; б) при х = -2, y = -(1/-2*3) = 0,17; в) при х = 2, y = -(1/2*3) = -0,17; г) при х = 6, y = -(1/6*3) = -0,05. Что и требовалось доказать.
2. Изображённая на рисунке 2 гипербола расположена в первой и третьей четвертях, следовательно, данному графику может со­от­вет­сnво­вать функция А. Выполнение проверки проведите самостоятельно, по аналогии с первым примером.
3. Изображённая на рисунке 3 гипербола расположена во второй и четвертой четвертях, следовательно, данному графику может со­от­вет­ство­вать функция Б. Выполним проверку: a) при х = -6, y = -(3/-6) = 0,5; б) при х = -2, y = -(3/-2) = 1,5; в) при х = 2, y = -(3/2) = -1,5; г) при х = 6, y = -(3/6) = -0,5. Что и требовалось доказать.

Ответ:
А - 2 ; Б - 3 ; В - 1

1. Арифметическая прогрессия (a n) задана условиями:

a 1 = 48, a n+1 = a n - 17.

Найдите сумму первых семи её членов.

Показать решение

a 1 = 48, a n+1 = a n - 17

a n + 1 =a n - 17 ⇒ d = -17

a n = a 1 + d(n-1)

a 7 = a 1 + d(n-1) = 48 - 17 (7 - 1) = 48 - 102 = -54

S 7 = (a 1 + a 7)∙7 / 2

S 7 = (a 1 + a 7)∙3.5

S 7 = (48 - 54)∙3.5 = -21
Ответ:
-21

1. Найдите значение выражения

Показать решение

Раскрываем скобки. Не забываем, что первая скобка - это квадрат разницы.

Ответ:
50

1. Площадь четырёхугольника можно вычислить по формуле

где d 1 и d 2 - длины диагоналей четырёхугольника, a - угол между диагоналями. Пользуясь этой формулой, найдите длину диагонали d 2 , если

Показать решение

Помните правило, если у нас трёх-этажная дробь, то нижнее значение переносится наверх

Ответ:
17

1. Укажите решение неравенства

3 - x > 4x + 7

Показать решение

Для решения данного неравенства необходимо сделать следующее:

а) перенесём член 4х в левую часть неравенства, а -3 - в правую часть, не забыв поменять знаки на противоположные. Получим:

б) Умножим обе части неравенства на отрицательное число -1 и заменим знак неравенства на противоположный.

в) найдём значение х

г) множеством решений данного неравенства будет числовой промежуток от -∞ до -2, что соответсвует ответу 2
Ответ:
2

Модуль «Геометрия»

1. Две сосны растут на расстоянии 30 м одна от другой. Высота одной сосны 26 м, а другой - 10м. Найдите расстояние (в метрах) между их верхушками.

Показать решение

Решение

На рисунке мы изобразили две сосны. Расстояние между ними - а = 30 м; разницу в высоте мы обозначили, как b; ну и расстояние между верхушками - это c.

Как видите, у нас получился обычный прямоугольный треугольник состоящий из гипотенузы (c) и двух катетов (a и b). Для нахождения длины гипотенузы воспользуемся теоремой Пифагора:

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов c 2 = a 2 + b 2

b = 26 - 10 = 16 (м)

Итак, расстояние между верхушками сосен 34 метра
Ответ:
34

1. В треугольнике ABC известно, что AB = 5, BC = 6, AC = 4. Найдите cos∠ABC

Показать решение

Для решения данной задачи необходимо воспользоваться теоремой косинусов. Квадрат стороны треугольника равняется сумме квадратов 2-х других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними:

a 2 = b 2 + c 2 – 2 bc cosα

АС² = АВ² + ВС² - 2·АВ·ВС·cos∠ABC
4² = 5² + 6² - 2·5·6·cos∠ABC
16 = 25 + 36 - 60·cos∠ABC

60·cos∠ABC = 25 + 36 - 16
60·cos∠ABC = 45
cos∠ABC = 45 / 60 = 3/4 = 0,75
Ответ:
cos∠ABC = 0,75

1. На окружности с центром в точке О отмечены точки A и B так, что ∠AOB = 18 о. Длина меньшей дуги AB равна 5. Найдите длину большей дуги AB .

Показать решение

Известно, что круг составляет 360 о. Исходя из этого, 18 о составляет:

360 о / 18 о = 20 - кол-во сегментов в круге по 18 о

Итак, 18 о составляют 1/20 часть всей окружности, значит оставшаяся часть круга:

т.е. оставшиеся 342 о (360 о - 18 о = 342 о) составляют 19-ю часть всей окружности

Если длина меньшей дуги AB равна 5, то длина большей дуги AB составит:

5 * 19 = 95
Ответ:
95

1. В трапеции ABCD известно, что AB = CD , ∠BDA = 18 о и ∠BDC = 97 о. Найдите угол ABD . Ответ дайте в градусах.

Показать решение

По условию задачи перед нами равнобедренная трапеция. Углы в основании равнобедренной трапеции (верхнем и нижним) равны.

∠ADC = 18 + 97 = 115°
∠DAB = ∠ADC = 115°

Теперь рассмотрим треугольник ABD в целом. Нам известно, что сумма углов треугольника равна 180 °. Отсюда:

∠ABD = 180 – ∠ADB – ∠DAB = 180 – 18 – 115 = 47°.
Ответ:
47°

1. На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображён треугольник. Найдите его площадь.

Показать решение

Площадь треугольника равна произведению половины основания треугольника (a) на его высоту (h):

a - длина основания треугольника

h - высота треугольника.

Из рисунка мы видим, что основание треугольника равно 6 (клеткам), а высота - 5 (клеткам). Исходя из чего получаем:

Ответ:
15

1. Какое из следующих утверждений верно?

1. Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
2. Две окружности пересекаются, если радиус одной окружности больше радиуса другой окружности.
3. Средняя линия трапеции равна сумме её оснований.

В ответ запишите номер выбранного утверждения.

Часть 2

Модуль «Алгебра»

1. Решите уравнение

Показать решение

Перенесем выражение √5-x с правой стороны в левую

Сократим оба выражения √5-x

Перенесём 18 в левую часть уравнения

Перед нами обычное квадратное уравнение.

Область допустимых значений в данном случае составляет: 5 - х ≥ 0 ⇒ x ≤ 5

Для решения уравнения, необходимо найти дискриминант:

D = 9 + 72 = 81 = 9 2

х 1 = (3 + 9)/2 = 12/2 = 6 - не является решением

х 2 = (3 - 9)/2 = -6/2 = -3

х = -3
Ответ:
-3

1. Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 80 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна 5 км/ч, стоянка длится 23 часа, а в пункт отправления теплоход возвращается через 35 часов после отплытия из него.

Показать решение

х - это собственная скорость теплохода, тогда

х + 5 - скорость теплохода по течению

х - 5 - скорость теплохода против течения

35 - 23 = 12 (ч) - время движения теплохода из пункта отправления в пункт назначения и обратно без учета стоянки

80 * 2 = 160 (км) - общее расстояние, пройденное теплоходом

Исходя из выше сказанного получим уравнение:

приводим к общему знаменателю и решаем:

Для дальнейшего решения уравнения, необходимо найти дискриминант:

Собственная скорость теплохода составляет 15 км/ч
Ответ:

y = x 2 + 2x + 1 (график, изображенный красной линией)

y = -36/x (график, изображенный синий линией)

Рассмотрим обе функции:

1. y=x 2 +2x+1 на промежутке [–4;+∞) – это квадратичная функция, графиком является парабола, а=1 > 0 – ветви направлены вверх. Если мы её сократим по формуле квадрата суммы двух чисел, то получим: у=(х+1) 2 – сдвиг графика влево на 1 единицу, что и видно из графика.
2. у=–36/х – это обратная пропорциональность, график гипербола, ветви расположены во 2 и 4 четвертях.

На графике хорошо видно, что прямая у=m имеет с графиком одну общую точку при m=0 и m > 9 и две общие точки при m=9, т.е. ответ: m=0 и m≥9, проверяем:
Одна общая точка в вершине параболы y = x 2 + 2x + 1

x 0 = -b/2a = -2/2 = -1

y 0 = -1 2 + 2(-1) + 1 = 1 - 2 + 1 = 0 ⇒ с = 0

Две общие точки при х = – 4 ; у = 9 ⇒ с = 9
Ответ:
0; }