Значимость уравнения регрессии и его коэффициентов. Оценка значимости уравнения регрессии в целом и его параметров. Данные, отсортированные по возрастанию X4

После оценки индивидуальной статистической значимости каждого из коэффициентов регрессии обычно анализируется совокупная значимость коэффициентов, т.е. всего уравнения в целом. Такой анализ осуществляется на основе проверки гипотезы об общей значимости гипотезы об одновременном равенстве нулю всех коэффициентов регрессии при объясняющих переменных:

H 0: b 1 = b 2 = ... = b m = 0.

Если данная гипотеза не отклоняется, то делается вывод о том, что совокупное влияние всех m объясняющих переменных Х 1 , Х 2 , ..., Х m модели на зависимую переменную Y можно считать статистически несущественным, а общее качество уравнения регрессии – невысоким.

Проверка данной гипотезы осуществляется на основе дисперсионного анализа сравнения объясненной и остаточной дисперсии.

Н 0: (объясненная дисперсия) = (остаточная дисперсия),

H 1: (объясненная дисперсия) > (остаточная дисперсия).

Строится F-статистика:

где – объясненная регрессией дисперсия;

– остаточная дисперсия (сумма квадратов отклонений, поделённая на число степеней свободы n-m-1). При выполнении предпосылок МНК построенная F-статистика имеет распределение Фишера с числами степеней свободы n1 = m, n2 = n–m–1. Поэтому, если при требуемом уровне значимости a F набл > F a ; m ; n - m -1 = F a (где F a ; m ; n - m -1 - критическая точка распределения Фишера), то Н 0 отклоняется в пользу Н 1 . Это означает, что объяснённая регрессией дисперсия существенно больше остаточной дисперсии, а следовательно, уравнение регрессии достаточно качественно отражает динамику изменения зависимой переменной Y. Если F набл < F a ; m ; n - m -1 = F кр. , то нет основания для отклонения Н 0 . Значит, объясненная дисперсия соизмерима с дисперсией, вызванной случайными факторами. Это дает основание считать, что совокупное влияние объясняющих переменных модели несущественно, а следовательно, общее качество модели невысоко.

Однако на практике чаще вместо указанной гипотезы проверяют тесно связанную с ней гипотезу о статистической значимости коэффициента детерминации R 2:

Н 0: R 2 > 0.

Для проверки данной гипотезы используется следующая F-статистика:

. (8.20)

Величина F при выполнении предпосылок МНК и при справедливости H 0 имеет распределение Фишера, аналогичное распределению F-статистики (8.19). Действительно, разделив числитель и знаменатель дроби в (8.19) на общую сумму квадратов отклонений и зная, что она распадается на сумму квадратов отклонений, объяснённую регрессией, и остаточную сумму квадратов отклонений (это является следствием, как будет показано позже, системы нормальных уравнений)

,

мы получим формулу (8.20):

Из (8.20) очевидно, что показатели F и R 2 равны или не равны нулю одновременно. Если F = 0, то R 2 = 0, и линия регрессии Y = является наилучшей по МНК, и, следовательно, величина Y линейно не зависит от Х 1 , Х 2 , ..., Х m . Для проверки нулевой гипотезы Н 0: F = 0 при заданном уровне значимости a по таблицам критических точек распределения Фишера находится критическое значение F кр = F a ; m ; n - m -1 . Нулевая гипотеза отклоняется, если F > F кр. Это равносильно тому, что R 2 > 0, т.е. R 2 статистически значим.

Анализ статистики F позволяет сделать вывод о том, что для принятия гипотезы об одновременном равенстве нулю всех коэффициентов линейной регрессии коэффициент детерминации R 2 не должен существенно отличаться от нуля. Его критическое значение уменьшается при росте числа наблюдений и может стать сколь угодно малым.

Пусть, например, при оценке регрессии с двумя объясняющими переменными X 1 i , X 2 i по 30 наблюдениям R 2 = 0,65. Тогда

F набл = =25,07.

По таблицам критических точек распределения Фишера найдем F 0,05; 2; 27 = 3,36; F 0,01; 2; 27 = 5,49. Поскольку F набл = 25,07 > F кр как при 5%–м, так и при 1%–м уровне значимости, то нулевая гипотеза в обоих случаях отклоняется.

Если в той же ситуации R 2 = 0,4, то

F набл = = 9.

Предположение о незначимости связи отвергается и здесь.

Отметим, что в случае парной регрессии проверка нулевой гипотезы для F-статистики равносильна проверке нулевой гипотезы для t-статистики

коэффициента корреляции. В этом случае F-статистика равна квадрату t-статистики. Самостоятельную значимость коэффициент R 2 приобретает в случае множественной линейной регрессии.

8.6. Дисперсионный анализ для разложения общей суммы квадратов отклонений. Степени свободы для соответствующих сумм квадратов отклонений

Применим изложенную выше теорию для парной линейной регрессии.

После того, как найдено уравнение линейной регрессии, проводится оценка значимости как уравнения в целом, так и отдельных его параметров.

Оценка значимости уравнения регрессии в целом даётся с помощью F-критерия Фишера. При этом выдвигается нулевая гипотеза, что коэффициент регрессии равен нулю, т.е. b = 0, и, следовательно, фактор х не оказывает влияния на результат у.

Непосредственному расчёту F-критерия предшествует анализ дисперсии. Центральное место в нём занимает разложение общей суммы квадратов отклонений переменной у от среднего значения на две части – “объяснённую” и “необъяснённую”:

Уравнение (8.21) является следствием системы нормальных уравнений, выведенных в одной предыдущих тем.

Доказательство выражения (8.21).

Осталось доказать, что последнее слагаемое равно нулю.

Если сложить от 1 до n все уравнения

y i = a+b×x i +e i , (8.22)

то получим åy i = a×å1+b×åx i +åe i . Так как åe i =0 и å1 =n, то получим

Тогда .

Если же вычесть из выражения (8.22) уравнение (8.23), то получим

В результате получим

Последние суммы равны нулю в силу системы двух нормальных уравнений.

Общая сумма квадратов отклонений индивидуальных значений результативного признака у от среднего значения вызвана влиянием множества причин. Условно разделим всю совокупность причин на две группы: изучаемый фактор х и прочие факторы. Если фактор на оказывает никакого влияния на результат, то линия регрессии параллельна оси OX и . Тогда вся дисперсия результативного признака обусловлена воздействием прочих факторов и общая сумма квадратов отклонений совпадет с остаточной. Если же прочие факторы не влияют на результат, то у связана с х функционально и остаточная сумма квадратов равна нулю. В этом случае сумма квадратов отклонений, объяснённая регрессией, совпадает с общей суммой квадратов.

Поскольку не все точки поля корреляции лежат на линии регрессии, то всегда имеет место их разброс как обусловленный влиянием фактора х, т.е. регрессией у по х, так и вызванный действием прочих причин (необъяснённая вариация). Пригодность линии регрессии для прогноза зависит от того, какая часть общей вариации признака у приходится на объяснённую вариацию. Очевидно, что если сумма квадратов отклонений, обусловленная регрессией, будет больше остаточной суммы квадратов, то уравнение регрессии статистически значимо и фактор х оказывает существенное влияние на признак у. Это равносильно тому, что коэффициент детерминации будет приближаться к единице.

Любая сумма квадратов связана с числом степеней свободы (df – degrees of freedom), с числом свободы независимого варьирования признака. Число степеней свободы связано с числом единиц совокупности n и с числом определяемых по ней констант. Применительно к исследуемой проблеме число степеней свободы должно показать, сколько независимых отклонений из n возможных требуется для образования данной суммы квадратов. Так, для общей суммы квадратов требуется (n-1) независимых отклонений, ибо по совокупности из n единиц после расчёта среднего свободно варьируют лишь (n-1) число отклонений. Например, мы имеем ряд значений у: 1,2,3,4,5. Среднее из них равно 3, и тогда n отклонений от среднего составят: -2, -1, 0, 1, 2. Так как , то свободно варьируют лишь четыре отклонения, а пятое отклонение может быть определено, если предыдущие четыре известны.

При расчёте объяснённой или факторной суммы квадратов используются теоретические (расчётные) значения результативного признака

Тогда сумма квадратов отклонений, обусловленных линейной регрессии, равна

Поскольку при заданном объёме наблюдений по x и y факторная сумма квадратов при линейной регрессии зависит только от константы регрессии b, то данная сумма квадратов имеет только одну степень свободы.

Существует равенство между числом степеней свободы общей, факторной и остаточной суммой квадратов отклонений. Число степеней свободы остаточной суммы квадратов при линейной регрессии составляет n-2. Число степеней свободы общей суммы квадратов определяется числом единиц варьируемых признаков, и поскольку мы используем среднюю вычисленную по данным выборки, то теряем одну степень свободы, т.е. df общ. = n–1.

Итак, имеем два равенства:

Разделив каждую сумму квадратов на соответствующее ей число степеней свободы, получим средний квадрат отклонений, или, что то же самое, дисперсию на одну степень свободы D.

;

;

.

Определение дисперсии на одну степень свободы приводит дисперсии к сравнимому виду. Сопоставляя факторную и остаточную дисперсии в расчёте на одну степень свободы, получим величину F-критерия Фишера

где F-критерий для проверки нулевой гипотезы H 0: D факт = D ост.

Если нулевая гипотеза справедлива, то факторная и остаточная дисперсии не отличаются друг от друга. Для H 0 необходимо опровержение, чтобы факторная дисперсия превышала остаточную в несколько раз. Английским статистиком Снедекором разработаны таблицы критических значений F-отношений при различных уровнях существенности нулевой гипотезы и различном числе степеней свободы. Табличное значение F-критерия – это максимальная величина отношения дисперсий, которая может иметь место при случайном их расхождении для данного уровня вероятности наличия нулевой гипотезы. Вычисленное значение F-отношения признаётся достоверным, если оно больше табличного. Если F факт > F табл, то нулевая гипотеза H 0: D факт = D ост об отсутствии связи признаков отклоняется и делается вывод о существенности этой связи.

Если F факт < F табл, то вероятность нулевой гипотезы H 0: D факт = D ост выше заданного уровня (например, 0,05) и она не может быть отклонена без серьёзного риска сделать неправильный вывод о наличии связи. В этом случае уравнение регрессии считается статистически незначимым. Гипотеза H 0 не отклоняется.

В рассматриваемом примере из главы 3:

= 131200 -7*144002 = 30400 – общая сумма квадратов;

1057,878*(135,43-7*(3,92571) 2) = 28979,8 – факторная сумма квадратов;

=30400-28979,8 = 1420,197 – остаточная сумма квадратов;

D факт = 28979,8;

D ост = 1420,197/(n-2) = 284,0394;

F факт =28979,8/284,0394 = 102,0274;

F a =0,05; 2; 5 =6,61; F a =0,01; 2; 5 = 16,26.

Поскольку F факт > F табл как при 1%-ном, так и при 5%-ном уровне значимости, то можно сделать вывод о значимости уравнения регрессии (связь доказана).

Величина F-критерия связана с коэффициентом детерминации . Факторную сумму квадратов отклонений можно представить как

,

а остаточную сумму квадратов – как

.

Тогда значение F-критерия можно выразить как

.

Оценка значимости регрессии обычно даётся в виде таблицы дисперсионного анализа

, его величина сравнивается с табличным значением при определённом уровне значимости α и числе степеней свободы (n-2).

Источники вариации	Число степеней свободы	Сумма квадратов отклонений	Дисперсия на одну степень свободы	F-отношение
фактическое	Табличное при a=0,05
Общая
Объяснённая		28979,8	28979,8	102,0274	6,61
Остаточная		1420,197	284,0394

После того как уравнение регрессии построено и с помощью коэффициента детерминации оценена его точность, остается открытым вопрос за счет чего достигнута эта точность и соответственно можно ли этому уравнению доверять. Дело в том, что уравнение регрессии строилось не по генеральной совокупности, которая неизвестна, а по выборке из нее. Точки из генеральной совокупности попадают в выборку случайным образом, по этому в соответствии с теорией вероятности среди прочих случаев возможен вариант, когда выборка из “широкой” генеральной совокупности окажется “узкой” (рис. 15).

Рис. 15. Возможный вариант попадания точек в выборку из генеральной совокупности.

В этом случае:

а) уравнение регрессии, построенное по выборке, может значительно отличаться от уравнения регрессии для генеральной совокупности, что приведет к ошибкам прогноза;

б) коэффициент детерминации и другие характеристики точности окажутся неоправданно высокими и будут вводить в заблуждение о прогнозных качествах уравнения.

В предельном случае не исключен вариант, когда из генеральной совокупности представляющей собой облако с главной осью параллельной горизонтальной оси (отсутствует связь между переменными) за счет случайного отбора будет получена выборка, главная ось которой окажется наклоненной к оси. Таким образом, попытки прогнозировать очередные значения генеральной совокупности опираясь на данные выборки из нее чреваты не только ошибками в оценке силы и направления связи между зависимой и независимой переменными, но и опасностью найти связь между переменными там, где на самом деле ее нет.

В условиях отсутствия информации обо всех точках генеральной совокупности единственный способ уменьшить ошибки в первом случае заключается в использовании при оценке коэффициентов уравнения регрессии метода, обеспечивающего их несмещенность и эффективность. А вероятность наступления второго случая может быть значительно снижена благодаря тому, что априори известно одно свойство генеральной совокупности с двумя независимыми друг от друга переменными – в ней отсутствует именно эта связь. Достигается это снижение за счет проверки статистической значимости полученного уравнения регрессии.

Один из наиболее часто используемых вариантов проверки заключается в следующем. Для полученного уравнения регрессии определяется -статистика - характеристика точности уравнения регрессии, представляющая собой отношение той части дисперсии зависимой переменной которая объяснена уравнением регрессии к необъясненной (остаточной) части дисперсии. Уравнение для определения -статистики в случае многомерной регрессии имеет вид:

где: - объясненная дисперсия - часть дисперсии зависимой переменной Y которая объяснена уравнением регрессии;

Остаточная дисперсия - часть дисперсии зависимой переменной Y которая не объяснена уравнением регрессии, ее наличие является следствием действия случайной составляющей;

Число точек в выборке;

Число переменных в уравнении регрессии.

Как видно из приведенной формулы, дисперсии определяются как частное от деления соответствующей суммы квадратов на число степеней свободы. Число степеней свободы это минимально необходимое число значений зависимой переменной, которых достаточно для получения искомой характеристики выборки и которые могут свободно варьироваться с учетом того, что для этой выборки известны все другие величины, используемые для расчета искомой характеристики.

Для получения остаточной дисперсии необходимы коэффициенты уравнения регрессии. В случае парной линейной регрессии коэффициентов два, по этому в соответствии с формулой (принимая ) число степеней свободы равно . Имеется в виду, что для определения остаточной дисперсии достаточно знать коэффициенты уравнения регрессии и только значений зависимой переменной из выборки. Оставшиеся два значения могут быть вычислены на основании этих данных, а значит, не являются свободно варьируемыми.

Для вычисления объясненной дисперсии значений зависимой переменной вообще не требуются, так как ее можно вычислить, зная коэффициенты регрессии при независимых переменных и дисперсию независимой переменной. Для того чтобы убедиться в этом, достаточно вспомнить приводившееся ранее выражение . По этому число степеней свободы для остаточной дисперсии равно числу независимых переменных в уравнении регрессии (для парной линейной регрессии ).

В результате -критерий для уравнения парной линейной регрессии определяется по формуле:

.

В теории вероятности доказано, что -критерий уравнения регрессии, полученного для выборки из генеральной совокупности у которой отсутствует связь между зависимой и независимой переменной имеет распределение Фишера, достаточно хорошо изученное. Благодаря этому для любого значения -критерия можно рассчитать вероятность его появления и наоборот, определить то значение -критерия которое он не сможет превысить с заданной вероятностью.

Для осуществления статистической проверки значимости уравнения регрессии формулируется нулевая гипотеза об отсутствии связи между переменными (все коэффициенты при переменных равны нулю) и выбирается уровень значимости .

Уровень значимости – это допустимая вероятность совершить ошибку первого рода – отвергнуть в результате проверки верную нулевую гипотезу. В рассматриваемом случае совершить ошибку первого рода означает признать по выборке наличие связи между переменными в генеральной совокупности, когда на самом деле ее там нет.

Обычно уровень значимости принимается равным 5% или 1%. Чем выше уровень значимости (чем меньше ), тем выше уровень надежности теста, равный , т.е. тем больше шанс избежать ошибки признания по выборке наличия связи у генеральной совокупности на самом деле несвязанных между собой переменных. Но с ростом уровня значимости возрастает опасность совершения ошибки второго рода – отвергнуть верную нулевую гипотезу, т.е. не заметить по выборке имеющуюся на самом деле связь переменных в генеральной совокупности. По этому, в зависимости от того, какая ошибка имеет большие негативные последствия, выбирают тот или иной уровень значимости.

Для выбранного уровня значимости по распределению Фишера определяется табличное значение вероятность превышения, которого в выборке мощностью , полученной из генеральной совокупности без связи между переменными, не превышает уровня значимости. сравнивается с фактическим значением критерия для регрессионного уравнения .

Если выполняется условие , то ошибочное обнаружение связи со значением -критерия равным или большим по выборке из генеральной совокупности с несвязанными между собой переменными будет происходить с вероятностью меньшей чем уровень значимости. В соответствии с правилом “очень редких событий не бывает”, приходим к выводу, что установленная по выборке связь между переменными имеется и в генеральной совокупности, из которой она получена.

Если же оказывается , то уравнение регрессии статистически не значимо. Иными словами существует реальная вероятность того, что по выборке установлена не существующая в реальности связь между переменными. К уравнению, не выдержавшему проверку на статистическую значимость, относятся так же, как и к лекарству с истекшим сроком годнос-

Ти – такие лекарства не обязательно испорчены, но раз нет уверенности в их качестве, то их предпочитают не использовать. Это правило не уберегает от всех ошибок, но позволяет избежать наиболее грубых, что тоже достаточно важно.

Второй вариант проверки, более удобный в случае использования электронных таблиц, это сопоставление вероятности появления полученного значения -критерия с уровнем значимости. Если эта вероятность оказывается ниже уровня значимости , значит уравнение статистически значимо, в противном случае нет.

После того как выполнена проверка статистической значимости регрессионного уравнения в целом полезно, особенно для многомерных зависимостей осуществить проверку на статистическую значимость полученных коэффициентов регрессии. Идеология проверки такая же как и при проверке уравнения в целом но в качестве критерия используется -критерий Стьюдента, определяемый по формулам:

и

где: , - значения критерия Стьюдента для коэффициентов и соответственно;

- остаточная дисперсия уравнения регрессии;

Число точек в выборке;

Число переменных в выборке, для парной линейной регрессии .

Полученные фактические значения критерия Стьюдента сравниваются с табличными значениями , полученными из распределения Стьюдента. Если оказывается, что , то соответствующий коэффициент статистически значим, в противном случае нет. Второй вариант проверки статистической значимости коэффициентов – определить вероятность появления критерия Стьюдента и сравнить с уровнем значимости .

Для переменных, чьи коэффициенты оказались статистически не значимы, велика вероятность того, что их влияние на зависимую переменную в генеральной совокупности вообще отсутствует. По этому или необходимо увеличить число точек в выборке, тогда возможно коэффициент станет статистически значимым и заодно уточнится его значение, или в качестве независимых переменных найти другие, более тесно связанные с зависимой переменной. Точность прогнозирования при этом в обоих случаях возрастет.

В качестве экспрессного метода оценки значимости коэффициентов уравнения регрессии можно применять следующее правило – если критерий Стьюдента больше 3, то такой коэффициент, как правило, оказывается статистически значим. А вообще считается, что для получения статистически значимых уравнений регрессии необходимо, чтобы выполнялось условие .

Стандартная ошибка прогнозирования по полученному уравнению регрессии неизвестного значения при известном оценивают по формуле:

Таким образом прогноз с доверительной вероятностью 68% может быть представлен в виде:

В случае если требуется иная доверительная вероятность , то для уровня значимости необходимо найти критерий Стьюдента и доверительный интервал для прогноза с уровнем надежности будет равен .

Прогнозирование многомерных и нелинейных зависимостей

В случае если прогнозируемая величина зависит от нескольких независимых переменных, то в этом случае имеется многомерная регрессия вида:

где: - коэффициенты регрессии, описывающие влияние переменных на прогнозируемую величину.

Методика определения коэффициентов регрессии не отличается от парной линейной регрессии, особенно при использовании электронной таблицы, так как там применяется одна и та же функция и для парной и для многомерной линейной регрессии. При этом желательно чтобы между независимыми переменными отсутствовали взаимосвязи, т.е. изменение одной переменной не сказывалось на значениях других переменных. Но это требование не является обязательным, важно чтобы между переменными отсутствовали функциональные линейные зависимости. Описанные выше процедуры проверки статистической значимости полученного уравнения регрессии и его отдельных коэффициентов, оценка точности прогнозирования остается такой же как и для случая парной линейной регрессии. В тоже время применение многомерных регрессий вместо парной обычно позволяет при надлежащем выборе переменных существенно повысить точность описания поведения зависимой переменной, а значит и точность прогнозирования.

Кроме этого уравнения многомерной линейной регрессии позволяют описать и нелинейную зависимость прогнозируемой величины от независимых переменных. Процедура приведения нелинейного уравнения к линейному виду называется линеаризацией. В частности если эта зависимость описывается полиномом степени отличной от 1, то, осуществив замену переменных со степенями отличными от единицы на новые переменные в первой степени, получаем задачу многомерной линейной регрессии вместо нелинейной. Так, например если влияние независимой переменной описывается параболой вида

то замена позволяет преобразовать нелинейную задачу к многомерной линейной вида

Так же легко могут быть преобразованы нелинейные задачи у которых нелинейность возникает вследствие того, что прогнозируемая величина зависит от произведения независимых переменных. Для учета такого влияния необходимо ввести новую переменную равную этому произведению.

В тех случаях, когда нелинейность описывается более сложными зависимостями, линеаризация возможна за счет преобразования координат. Для этого рассчитываются значения и строятся графики зависимости исходных точек в различных комбинациях преобразованных переменных. Та комбинация преобразованных координат или преобразованных и не преобразованных координат, в которой зависимость ближе всего к прямой линии подсказывает замену переменных которая приведет к преобразованию нелинейной зависимости к линейному виду. Например, нелинейная зависимость вида

превращается в линейную вида

Полученные коэффициенты регрессии для преобразованного уравнения остаются несмещенными и эффективными, но проверка статистической значимости уравнения и коэффициентов невозможна

Проверка обоснованности применения метода наименьших квадратов

Применение метода наименьших квадратов обеспечивает эффективность и несмещенность оценок коэффициентов уравнения регрессии при соблюдении следующих условий (условий Гауса-Маркова):

3. значения не зависят друг от друга

4. значения не зависят от независимых переменных

Наиболее просто можно проверить соблюдение этих условий путем построения графиков остатков в зависимости от , затем от независимой (независимых) переменных. Если точки на этих графиках расположены в коридоре расположенном симметрично оси абсцисс и в расположении точек не просматриваются закономерности, то условия Гауса-Маркова выполнены и возможности повысить точность уравнения регрессии отсутствуют. Если это не так, то существует возможность существенно повысить точность уравнения и для этого необходимо обратиться к специальной литературе.

Оценка значимости уравнения множественной регрессии

Построение эмпирического уравнения регрессии является начальным этапом эконометрического анализа. Первое же построенное по выборке уравнение регрессии очень редко является удовлетворительным по тем или иным характеристикам. Поэтому следующей важнейшей задачей эконометрического анализа является проверка качества уравнения регрессии. В эконометрике принята устоявшаяся схема такой проверки.

Итак, проверка статистического качества оцененного уравнения регрессии проводится по следующим направлениям:

· проверка значимости уравнения регрессии;

· проверка статистической значимости коэффициентов уравнения регрессии;

· проверка свойств данных, выполнимость которых предполагалась при оценивании уравнения (проверка выполнимости предпосылок МНК).

Проверка значимости уравнения множественной регрессии, так же как и парной регрессии, осуществляется с помощью критерия Фишера. В данном случае (в отличие от парной регрессии) выдвигается нулевая гипотеза Н 0 о том, что все коэффициенты регрессии равны нулю (b 1 =0, b 2 =0, … , b m =0). Критерий Фишера определяется по следующей формуле:

где D факт - факторная дисперсия, объясненная регрессией, на одну степень свободы; D ост - остаточная дисперсия на одну степень свободы; R 2 - коэффициент множественной детерминации; т х в уравнении регрессии (в парной линейной регрессии т = 1); п - число наблюдений.

Полученное значение F-критерия сравнивается с табличным при определенном уровне значимости. Если его фактическое значение больше табличного, тогда гипотеза Но о незначимости уравнения регрессии отвергается, и принимается альтернативная гипотеза о его статистической значимости.

С помощью критерия Фишера можно оценить значимость не только уравнения регрессии в целом, но и значимость дополнительного включения в модель каждого фактора. Такая оценка необходима для того, чтобы не загружать модель факторами, не оказывающими существенного влияния на результат. Кроме того, поскольку модель состоит из несколько факторов, то они могут вводиться в нее в различной последовательности, а так как между факторами существует корреляция, значимость включения в модель одного и того же фактора может различаться в зависимости от последовательности введения в нее факторов.

Для оценки значимости включения дополнительного фактора в модель рассчитывается частный критерий Фишера F xi . Он построен на сравнении прироста факторной дисперсии, обусловленного включением в модель дополнительного фактора, с остаточной дисперсией на одну степень свободы по регрессии в целом. Следовательно, формула расчета частного F-критерия для фактора будет иметь следующий вид:

где R 2 yx 1 x 2… xi … xp - коэффициент множественной детерминации для модели с полным набором п факторов; R 2 yx 1 x 2… x i -1 x i +1… xp - коэффициент множественной детерминации для модели, не включающей фактор x i ; п - число наблюдений; т - число параметров при факторах x в уравнении регрессии.

Фактическое значение частного критерия Фишера сравнивается с табличным при уровне значимости 0,05 или 0,1 и соответствующих числах степеней свободы. Если фактическое значение F xi превышает F табл , то дополнительное включение фактора x i в модель статистически оправдано, и коэффициент «чистой» регрессии b i при факторе x i статистически значим. Если же F xi меньше F табл , то дополнительное включение в модель фактора существенно не увеличивает долю объясненной вариации результата у, и, следовательно, его включение в модель не имеет смысла, коэффициент регрессии при данном факторе в этом случае статистически незначим.

С помощью частного критерия Фишера можно проверить значимость всех коэффициентов регрессии в предположении, что каждый соответствующий фактор x i вводится в уравнение множественной регрессии последним, а все остальные факторы были уже включены в модель раньше.

Оценка значимости коэффициентов «чистой» регрессии b i по критерию Стьюдента t может быть проведена и без расчета частных F -критериев. В этом случае, как и при парной регрессии, для каждого фактора применяется формула

t bi = b i / m bi ,

где b i - коэффициент «чистой» регрессии при факторе x i ; m bi - стандартная ошибка коэффициента регрессии b i .

Для коэффициентов регрессионного уравнения проверка их уровня значимости осуществляется по t -критерию Стьюдента и по критерию F Фишера. Ниже мы рассмотрим оценку достоверности показателей регрессии только для линейных уравнений (12.1) и (12.2).

Y=a 0 + a 1 X (12.1)

Х= b 0 + b 1 Y (12.2)

Для это типа уравнений оценивают по t -критерию Стьюдента только величины коэффициентов а 1и b 1с использованием вычисления величины Тф по следующим формулам:

Где r yx коэффициент корреляции, а величину а 1можно вычислить по формулам 12.5 или 12.7.

Формула (12.27) используется для вычисления величины Тф, а 1уравнения регрессии Y по X.

Величину b 1можно вычислить по формулам (12.6) или (12.8).

Формула (12.29) используется для вычисления величины Тф, которая позволяет оценить уровень значимости коэффициента b 1уравнения регрессии X по Y

Пример. Оценим уровень значимости коэффициентов регрессии а 1и b 1уравнений (12.17), и (12.18), полученных при решении задачи 12.1. Воспользуемся для этого формулами (12.27), (12.28), (12.29) и (12.30).

Напомним вид полученных уравнений регрессии:

Y х = 3 + 0,06 X (12.17)

X y = 9+ 1 Y (12.19)

Величина а 1в уравнении (12.17) равна 0,06. Поэтому для расчета по формуле (12.27) нужно подсчитать величину Sb y х. Согласно условию задачи величина п = 8. Коэффициент корреляции также уже был подсчитан нами по формуле 12.9: r xy = √ 0,06 0,997 = 0,244 .

Осталось вычислить величины Σ (у ι - y ) 2 и Σ (х ι –x ) 2 , которые у нас не подсчитаны. Лучше всего эти расчеты проделать в таблице 12.2:

Таблица 12.2

№ испыту­емых п/п	х ι	у i	х ι –x	(х ι –x ) 2	у ι - y	(у ι - y ) 2
			-4,75	22,56	- 1,75	3,06
			-4,75	22,56	-0,75	0,56
			-2,75	7,56	0,25	0,06
			-2,75	7,56	1,25	15,62
			1,25	1,56	1,25	15,62
			3,25	10,56	0,25	0,06
			5,25	27,56	-0,75	0,56
			5,25	27,56	0,25	0,06
Суммы				127,48		35,6
Средние	12,75	3,75

Подставляем полученные значения в формулу (12.28), получаем:

Теперь рассчитаем величину Тф по формуле (12.27):

Величина Тф проверяется на уровень значимости по таблице 16 Приложения 1 для t- критерия Стьюдента. Число степеней свободы в этом случае будет равно 8-2 = 6, поэтому критические значения равны соответственно для Р ≤ 0,05 t кр = 2,45 и для Р≤ 0,01 t кр =3,71. В принятой форме записи это выглядит так:

Строим «ось значимости»:

Полученная величина Тф Н о о том, что величина коэффициента регрессии уравнения (12.17) неотличима от нуля. Иными словами, полученное уравнение регрессии неадекватно исходным экспериментальным данным.

Рассчитаем теперь уровень значимости коэффициента b 1. Для этого необходимо вычислить величину Sb xy по формуле (12.30), для которой уже расчитаны все необходимые величины:

Теперь рассчитаем величину Тф по формуле (12.27):

Мы можем сразу построить «ось значимости», поскольку все предварительные операции были проделаны выше:

Полученная величина Тф попала в зону незначимости, следовательно мы должны принять гипотезу H о о том, что величина коэффициента регрессии уравнения (12.19) неотличима от нуля. Иными словами, полученное уравнение регрессии неадекватно исходным экспериментальным данным.

Нелинейная регрессия

Полученный в предыдущем разделе результат несколько обескураживает: мы получили, что оба уравнения регрессии (12.15) и (12.17) неадекватны экспериментальным данным. Последнее произошло потому, что оба эти уравнения характеризуют линейную связь между признаками, а мы в разделе 11.9 показали, что между переменными X и Y имеется значимая криволинейная зависимость. Иными словами, между переменными Х и Y в этой задаче необходимо искать не линейные, а криволинейные связи. Проделаем это с использованием пакета «Стадия 6.0» (разработка А.П. Кулаичева, регистрационный номер 1205).

Задача 12.2 . Психолог хочет подобрать регрессионную модель, адекватную экспериментальным данным, полученным в задаче 11.9.

Решение. Эта задача решается простым перебором моделей криволинейной регрессии предлагаемых в статистическом пакете Стадия. Пакет организован таким образом, что в электронную таблицу, которая является исходной для дальнейшей работы, заносятся экспериментальные данные в виде первого столбца для переменной X и второго столбца для переменной Y. Затем в основном меню выбирается раздел Статистики, в нем подраздел - регрессионный анализ, в этом подразделе вновь подраздел - криволинейная регрессия. В последнем меню даны формулы (модели) различных видов криволинейной регрессии, согласно которым можно вычислять соответствующие регрессионные коэффициенты и сразу же проверять их на значимость. Ниже рассмотрим только несколько примеров работы с готовыми моделями (формулами) криволинейной регрессии.

1. Первая модель - экспонента . Ее формула такова:

При расчете с помощью статпакета получаем а 0 = 1 и а 1 = 0,022.

Расчет уровня значимости для а, дал величину Р = 0,535. Очевидно, что полученная величина незначима. Следовательно, данная регрессионная модель неадекватна экспериментальным данным.

2. Вторая модель - степенная . Ее формула такова:

При подсчете а о = - 5,29, а, = 7,02 и а 1 = 0,0987.

Уровень значимости для а 1 - Р = 7,02 и для а 2 - Р = 0,991. Очевидно, что ни один из коэффициентов не значим.

3. Третья модель - полином . Ее формула такова:

Y = а 0 + а 1 X + а 2 X 2 + а 3 X 3

При подсчете а 0 = - 29,8, а 1 = 7,28, а 2 = - 0,488 и а 3 = 0,0103. Уровень значимости для а, - Р = 0,143, для а 2 - Р = 0,2 и для а, - Р= 0,272

Вывод - данная модель неадекватна экспериментальным данным.

4. Четвертая модель - парабола .

Ее формула такова: Y= a o + a l -X 1 + а 2 Х 2

При подсчете а 0 = - 9,88, а, = 2,24 и а 1 = - 0,0839 Уровень значимости для а 1 - Р = 0,0186, для а 2 - Р = 0,0201. Оба регрессионных коэффициента оказались значимыми. Следовательно, задача решена - мы выявили форму криволинейной зависимости между успешностью решения третьего субтеста Векслера и уровнем знаний по алгебре - это зависимость параболического вида. Этот результат подтверждает вывод, полученный при решении задачи 11.9 о наличии криволинейной зависимости между переменными. Подчеркнем, что именно с помощью криволинейной регрессии был получен точный вид зависимости между изучаемыми переменными.

Глава 13 ФАКТОРНЫЙ АНАЛИЗ

Основные понятия факторного анализа

Факторный анализ - статистический метод, который используется при обработке больших массивов экспериментальных данных. Задачами факторного анализа являются: сокращение числа переменных (редукция данных) и определение структуры взаимосвязей между переменными, т.е. классификация переменных, поэтому факторный анализ используется как метод сокращения данных или как метод структурной классификации.

Важное отличие факторного анализа от всех описанных выше методов заключается в том, что его нельзя применять для обработки первичных, или, как говорят, «сырых», экспериментальных данных, т.е. полученных непосредственно при обследовании испытуемых. Материалом для факторного анализа служат корреляционные связи, а точнее - коэффициенты корреляции Пирсона, которые вычисляются между переменными (т.е. психологическими признаками), включенными в обследование. Иными словами, факторному анализу подвергают корреляционные матрицы, или, как их иначе называют, матрицы интеркорреляций. Наименования столбцов и строк в этих матрицах одинаковы, так как они представляют собой перечень переменных, включенных в анализ. По этой причине матрицы интеркорреляций всегда квадратные, т.е. число строк в них равно числу столбцов, и симметричные, т.е. на симметричных местах относительно главной диагонали стоят одни и те же коэффициенты корреляции.

Необходимо подчеркнуть, что исходная таблица данных, из которой получается корреляционная матрица, не обязательно должна быть квадратной. Например, психолог измерил три показателя интеллекта (вербальный, невербальный и общий) и школьные отметки по трем учебным предметам (литература, математика, физика) у 100 испытуемых - учащихся девятых классов. Исходная матрица данных будет иметь размер 100 × 6, а матрица интеркорреляций размер 6 × 6, поскольку в ней имеется только 6 переменных. При таком количестве переменных матрица интеркорреляций будет включать 15 коэффициентов и проанализировать ее не составит труда.

Однако представим, что произойдет, если психолог получит не 6, а 100 показателей от каждого испытуемого. В этом случае он должен будет анализировать 4950 коэффициентов корреляции. Число коэффициентов в матрице вычисляется по формуле n (n+1)/2 и в нашем случае равно соответственно (100×99)/2= 4950.

Очевидно, что провести визуальный анализ такой матрицы - задача труднореализуемая. Вместо этого психолог может выполнить математическую процедуру факторного анализа корреляционной матрицы размером 100 × 100 (100 испытуемых и 100 переменных) и таким путем получить более простой материал для интерпретации экспериментальных результатов.

Главное понятие факторного анализа - фактор. Это искусственный статистический показатель, возникающий в результате специальных преобразований таблицы коэффициентов корреляции между изучаемыми психологическими признаками, или матрицы интеркорреляций. Процедура извлечения факторов из матрицы интеркорреляций называется факторизацией матрицы. В результате факторизации из корреляционной матрицы может быть извлечено разное количество факторов вплоть до числа, равного количеству исходных переменных. Однако факторы, выделяемые в результате факторизации, как правило, неравноценны по своему значению.

Элементы факторной матрицы называются или весами»; и они представляют собой коэффициенты корреляции данного фактора со всеми показателями, использованными в исследовании. Факторная матрица очень важна, поскольку она показывает, как изучаемые показатели связаны с каждым выделенным фактором. При этом факторный вес демонстрирует меру, или тесноту, этой связи.

Поскольку каждый столбец факторной матрицы (фактор) является своего рода переменной величиной, то сами факторы также могут коррелировать между собой. Здесь возможны два случая: корреляция между факторами равна нулю, в таком случае факторы являются независимыми (ортогональными). Если корреляция между факторами больше нуля, то в таком случае факторы считаются зависимыми (облическими). Подчеркнем, что ортогональные факторы в отличие от облических дают более простые варианты взаимодействий внутри факторной матрицы.

В качестве иллюстрации ортогональных факторов часто приводят задачу Л. Терстоуна, который, взяв ряд коробок разных размеров и формы, измерил в каждой из них больше 20 различных показателей и вычислил корреляции между ними. Профакторизовав полученную матрицу интеркорреляций, он получил три фактора, корреляция между которыми была равна нулю. Этими факторами были «длина», «ширина» и «высота».

Для того чтобы лучше уловить сущность факторного анализа, разберем более подробно следующий пример.

Предположим, что психолог у случайной выборки студентов получает следующие данные:

V 1 - вес тела (в кг);

V 2 - количество посещений лекций и семинарских занятий по предмету;

V 3 - длина ноги (в см);

V 4 - количество прочитанных книг по предмету;

V 5 - длина руки (в см);

V 6 - экзаменационная оценка по предмету (V - от английского слова variable - переменная).

При анализе этих признаков не лишено оснований предположение о том, что переменные V 1 , К 3 и V 5 - будут связаны между собой, поскольку, чем больше человек, тем больше он весит и тем длиннее его конечности. Сказанное означает, что между этими переменными должны получиться статистически значимые коэффициенты корреляции, поскольку эти три переменные измеряют некоторое фундаментальное свойство индивидуумов в выборке, а именно: их размеры. Точно так же вероятно, что при вычислении корреляций между V 2 , V 4 и V 6 тоже будут получены достаточно высокие коэффициенты корреляции, поскольку посещение лекций и самостоятельные занятия будут способствовать получению более высоких оценок по изучаемому предмету.

Таким образом, из всего возможного массива коэффициентов, который получается путем перебора пар коррелируемых признаков V 1 и V 2 , V t и V 3 и т.д., предположительно выделятся два блока статистически значимых корреляций. Остальная часть корреляций - между признаками, входящими в разные блоки, вряд ли будет иметь статистически значимые коэффициенты, поскольку связи между такими признаками, как размер конечности и успеваемость по предмету, имеют, скорее всего, случайный характер. Итак, содержательный анализ 6 наших переменных показывает, что они, по сути дела, измеряют только две обобщенные характеристики, а именно: размеры тела и степень подготовленности по предмету.

К полученной матрице интеркорреляций, т.е. вычисленным попарно коэффициентам корреляций между всеми шестью переменными V 1 - V 6 , допустимо применить факторный анализ. Его можно проводить и вручную, с помощью калькулятора, однако процедура подобной статистической обработки очень трудоемка. По этой причине в настоящее время факторный анализ проводится на компьютерах, как правило, с помощью стандартных статистических пакетов. Во всех современных статистических пакетах есть программы для корреляционного и факторного анализов. Компьютерная программа по факторному анализу по существу пытается «объяснить» корреляции между переменными в терминах небольшого числа факторов (в нашем примере двух).

Предположим, что, используя компьютерную программу, мы получили матрицу интеркорреляций всех шести переменных и подвергли ее факторному анализу. В результате факторного анализа получилась таблица 13.1, которую называют «факторной матрицей», или «факторной структурной матрицей».

Таблица 13.1

Переменная	Фактор 1	Фактор 2
V 1	0,91	0,01
V 2	0,20	0,96
V 3	0,94	-0,15
V 4	0,11	0,85
V 5	0,89	0,07
V 6	-0,13	0,93

По традиции факторы представляются в таблице в виде столбцов, а переменные в виде строк. Заголовки столбцов таблицы 13.1 соответствуют номерам выделенных факторов, но более точно было бы их называть «факторные нагрузки», или «веса», по фактору 1, то же самое по фактору 2. Как указывалось выше, факторные нагрузки, или веса, представляют собой корреляции между соответствующей переменной и данным фактором. Например, первое число 0,91 в первом факторе означает, что корреляция между первым фактором и переменной V 1 равна 0,91. Чем выше факторная нагрузка по абсолютной величине, тем больше ее связь с фактором.

Из таблицы 13.1 видно, что переменные V 1 V 3 и V 5 имеют большие корреляции с фактором 1 (фактически переменная 3 имеет корреляцию близкую к 1 с фактором 1). В то же время переменные V 2 , V 3 и У 5 имеют корреляции близкие к 0 с фактором 2. Подобно этому фактор 2 высоко коррелирует с переменными V 2 , V 4 и V 6 и фактически не коррелирует с переменными V 1 , V 3 и V 5

В данном примере, очевидно, что существуют две структуры корреляций, и, следовательно, вся информация таблицы 13.1 определяется двумя факторами. Теперь начинается заключительный этап работы - интерпретация полученных данных. Анализируя факторную матрицу, очень важно учитывать знаки факторных нагрузок в каждом факторе. Если в одном и том же факторе встречаются нагрузки с противоположными знаками, это означает, что между переменными, имеющими противоположные знаки, существует обратно пропорциональная зависимость.

Отметим, что при интерпретации фактора для удобства можно изменить знаки всех нагрузок по данному фактору на противоположные.

Факторная матрица показывает также, какие переменные образуют каждый фактор. Это связано, прежде всего, с уровнем значимости факторного веса. По традиции минимальный уровень значимости коэффициентов корреляции в факторном анализе берется равным 0,4 или даже 0,3 (по абсолютной величине), поскольку нет специальных таблиц, по которым можно было бы определить критические значения для уровня значимости в факторной матрице. Следовательно, самый простой способ увидеть какие переменные «принадлежат» фактору – это значит отметить те из них, которые имеют нагрузки выше, чем 0,4 (или меньше чем - 0,4). Укажем, что в компьютерных пакетах иногда уровень значимости факторного веса определяется самой программой и устанавливается на более высоком уровне, например 0,7.

Так, из таблицы 13.1, следует вывод, что фактор 1 - это сочетание переменных V 1 К 3 и V 5 (но не V 1 , K 4 и V 6 , поскольку их факторные нагрузки по модулю меньше чем 0,4). Подобно этому фактор 2 представляет собой сочетание переменных V 2 , V 4 и V 6 .

Выделенный в результате факторизации фактор представляет собой совокупность тех переменных из числа включенных в анализ, которые имеют значимые нагрузки. Нередко случается, однако, что в фактор входит только одна переменная со значимым факторным весом, а остальные имеют незначимую факторную нагрузку. В этом случае фактор будет определяться по названию единственной значимой переменной.

В сущности, фактор можно рассматривать как искусственную «единицу» группировки переменных (признаков) на основе имеющихся между ними связей. Эта единица является условной, потому что, изменив определенные условия процедуры факторизации матрицы интеркорреляций, можно получить иную факторную матрицу (структуру). В новой матрице может оказаться иным распределение переменных по факторам и их факторные нагрузки.

В связи с этим в факторном анализе существует понятие «простая структура». Простой называют структуру факторной матрицы, в которой каждая переменная имеет значимые нагрузки только по одному из факторов, а сами факторы ортогональны, т.е. не зависят друг от друга. В нашем примере два общих фактора независимы. Факторная матрица с простой структурой позволяет провести интерпретацию полученного результата и дать наименование каждому фактору. В нашем случае фактор первый - «размеры тела», фактор второй - «уровень подготовленности».

Сказанное выше не исчерпывает содержательных возможностей факторной матрицы. Из нее можно извлечь дополнительные характеристики, позволяющие более детально исследовать связи переменных и факторов. Эти характеристики называются «общность» и «собственное значение» фактора.

Однако, прежде чем представить их описание, укажем на одно принципиально важное свойство коэффициента корреляции, благодаря которому получают эти характеристики. Коэффициент корреляции, возведенный в квадрат (т.е. помноженный сам на себя), показывает, какая часть дисперсии (вариативности) признака является общей для двух переменных, или, говоря проще, насколько сильно эти переменные перекрываются. Так, например, две переменные с корреляцией 0,9 перекрываются со степенью 0,9 х 0,9 = 0,81. Это означает, что 81% дисперсии той и другой переменной являются общими, т.е. совпадают. Напомним, что факторные нагрузки в факторной матрице - это коэффициенты корреляции между факторами и переменными, поэтому, возведенная в квадрат факторная нагрузка характеризует степень общности (или перекрытия) дисперсий данной переменной и данного фактором.

Если полученные факторы не зависят друг от друга («ортогональное» решение), по весам факторной матрицы можно определить, какая часть дисперсии является общей для переменной и фактора. Вычислить, какая часть вариативности каждой переменной совпадает с вариативностью факторов, можно простым суммированием квадратов факторных нагрузок по всем факторам. Из таблицы 13.1, например, следует, что 0,91 × 0,91 + + 0,01 × 0,01 = 0,8282, т.е. около 82% вариативности первой переменной «объясняется» двумя первыми факторами. Полученная величина называется общностью переменной, в данном случае переменной V 1

Переменные могут иметь разную степень общности с факторами. Переменная с большей общностью имеет значительную степень перекрытия (большую долю дисперсии) с одним или несколькими факторами. Низкая общность подразумевает, что все корреляции между переменными и факторами невелики. Это означает, что ни один из факторов не имеет совпадающей доли вариативности с данной переменной. Низкая общность может свидетельствовать о том, что переменная измеряет нечто качественно отличающееся от других переменных, включенных в анализ. Например, одна переменная, связанная с оценкой мотивации среди заданий, оценивающих способности, будет иметь общность с факторами способностей близкую к нулю.

Малая общность может также означать, что определенное задание испытывает на себе сильное влияние ошибки измерения или крайне сложно для испытуемого. Возможно, напротив, также, что задание настолько просто, что каждый испытуемый дает на него правильный ответ, или задание настолько нечетко по содержанию, что испытуемый не понимает суть вопроса. Таким образом, низкая общность подразумевает, что данная переменная не совмещается с факторами по одной из причин: либо переменная измеряет другое понятие, либо переменная имеет большую ошибку измерения, либо существуют искажающие дисперсию признака различия между испытуемыми в вариантах ответа на это задание.

Наконец, с помощью такой характеристики, как собственное значение фактора, можно определить относительную значимость каждого из выделенных факторов. Для этого надо вычислить, какую часть дисперсии (вариативности) объясняет каждый фактор. Тот фактор, который объясняет 45% дисперсии (перекрытия) между переменными в исходной корреляционной матрице, очевидно, является более значимым, чем другой, который объясняет только 25% дисперсии. Эти рассуждения, однако, допустимы, если факторы ортогональны, иначе говоря, не зависят друг от друга.

Для того чтобы вычислить собственное значение фактора, нужно возвести в квадрат факторные нагрузки, и сложить их по столбцу. Используя данные таблицы 13.1 можно убедиться, что собственное значение фактора 1 составляет (0,91 × 0,91 + 0,20 × 0,20 + 0,94 × 0,94 + 0,11 × 0,11 + 0,84 × 0,84 + (- 0,13) ×

× (-0,13)) = 2,4863. Если собственное значение фактора разделить на число переменных (6 в нашем примере), то полученное число покажет, какая доля дисперсии объясняется данным фактором. В нашем случае получится 2,4863∙100%/6 = 41,4%. Иными словами, фактор 1 объясняет около 41% информации (дисперсии) в исходной корреляционной матрице. Аналогичный подсчет для второго фактора даст 41,5%. В сумме это будет составлять 82,9%.

Таким образом, два общих фактора, будучи объединены, объясняют только 82,9% дисперсии показателей исходной корреляционной матрицы. Что случилось с «оставшимися» 17,1%? Дело в том, что, рассматривая корреляции между 6 переменными, мы отмечали, что корреляции распадаются на два отдельных блока, и поэтому решили, что логично анализировать материал в понятиях двух факторов, а не 6, как и количество исходных переменных. Другими словами, число конструктов, необходимых, чтобы описать данные, уменьшилось с 6 (число переменных) до 2 (число общих факторов). В результате факторизации часть информации в исходной корреляционной матрице была принесена в жертву построению двухфакторной модели. Единственным условием, при котором информация не утрачивается, было бы рассмотрение шестифакторной модели.

В социально-экономических исследованиях часто приходится работать в условиях ограниченной совокупности, либо с выборочными данными. Поэтому после математических параметров уравнение регрессии необходимо оценить их и уравнение в целом на статистическую значимость, т.е. необходимо убедиться, что полученное уравнение и его параметры сформированы под влиянием неслучайных факторов.

Прежде всего, оценивается статистическая значимость уравнения в целом. Оценка, как правило, проводится с использованием F-критерия Фишера. Расчет F-критерия базируется на правиле сложения дисперсий. А именно, общего дисперсионного признака-результата = дисперсия факторная + дисперсия остаточная.

Фактическая цена

Теоретическая цена
Построив уравнение регрессии можно рассчитать теоретическое значение признака-результата, т.е. рассчитанные по уравнению регрессии с учетом его параметров.

Эти значения будут характеризовать признак-результат, сформировавшийся под влиянием факторов включенных в анализ.

Между фактическими значениями признака-результата и рассчитанными на основе уравнения регрессии всегда существуют расхождения (остатки), обусловленные влиянием прочих факторов, не включенных в анализ.

Разность между теоретическими и фактическими значениями признака-результата называется остатками. Общая вариация признака-результата:

Вариация по признаку-результату, обусловленная вариацией признаков факторов, включенных в анализ оценивается через сопоставления теоретических значений резул. признака и его средних значений. Остаточная вариация через сопоставление теоретических и фактических значений результатирующего признака. Общая дисперсия , остаточная и фактическая имеют разное число степеней свободы.

Общая , п - число единиц в изучаемой совокупности

Фактическая , п - число факторов, включенных в анализ

Остаточная

F-критерий Фишера рассчитывается как отношение к , причем рассчитаны на одну степень свободы.

Использование F-критерия Фишера в качестве оценки статистической значимости уравнения регрессии очень логично. - это результат. признака, обусловленная факторами включенными в анализ, т.е. это доля объясненной результат. признака. - это (вариация) признака результата обусловленная факторами влияние которых не учитывается, т.е. не включенными в анализ.

Т.о. F-критерий призван оценить значимое превышение над . Если несущественно ниже , а тем более, если оно превышает , следовательно, в анализ включены не те факторы, которые действительно влияют на признак-результат.

F-критерий Фишера табулирован, фактическое значение сравнивается с табличным. Если , то уравнение регрессии признается статистически значимым. Если наоборот – уравнение статистически не значимо и не может использоваться на практике, значимость уравнения в целом говорит о статистической значимости показателей корелляции.

После оценки уравнения в целом необходимо оценить статистическую значимость параметров уравнения. Эта оценка осуществляется с использованием t-статистики Стьюдента. t-статистика рассчитывается как отношение параметров уравнения (по модулю) к их стандартной средней квадратической ошибке. Если оценивается однофакторная модель, то рассчитывается 2 статистики.

Во всех компьютерных программах расчет стандартной ошибки и t-статистики для параметров проводится с расчетом самих параметров. T-статистика табулирована. Если значение , то параметр признается статистически значимым, т.е. сформированным под влиянием неслучайных факторов.

Расчет t-статистики по существу означает проверку нулевой гипотезы о незначимости параметра, т.е. равенстве его нулю. При однофакторной модели оценивается 2 гипотезы: и

Уровень значимости принятия нулевой гипотезы зависит от уровня принятой доверительной вероятности. Так если исследователь задает уровень вероятности 95%, уровень значимости принятия будет рассчитываться , следовательно, если уровень значимости ≥ 0,05, то принимается и параметры считаются статистически незначимыми. Если , то отвергается и принимается альтернатива: и .

В пакетах прикладных программ по статистике также приводится уровень значимости принятия нулевых гипотез. Оценка значимости уравнения регрессии и его параметров может дать следующие результаты:

Во-первых, уравнение в целом значимо(по F-критерию) и также статистически значимы все параметры уравнения. Это означает, что полученное уравнение может быть использовано как для принятия управленческих решений, так и для прогнозирования.

Во-вторых, по F-критерию уравнение статистически значимо, но не значим хотя бы один из параметров уравнения. Уравнение может быть использовано для принятия управленческих решений относительно анализируемых факторов, но не может быть использовано для прогнозирования.

В-третьих, уравнение статистически не значимо, либо по F- критерию уравнение значимо, но не значимы все параметры полученного уравнения. Уравнение не может быть использовано не для каких целей.

Чтобы уравнение регрессии можно было признать моделью связи между признаком-результатом и признаками-факторами необходимо чтобы в него были включены все важнейшие факторы, определяющие результат, чтобы содержательная интерпретация параметров уравнения соответствовала теоретически обоснованным связям в изучаемом явлении. Коэффициент детерминации R 2 должен быть > 0,5.

При построении множественного уравнения регрессии целесообразно осуществить оценку по так называемому скорректированному коэффициенту детерминации (R 2). Величина R 2 (как и корелляции) возрастает при увеличение числа факторов включенных в анализ. Особенно завышается значение коэф-в в условиях небольших совокупностей. С целью погасить отрицательное влияние R 2 и корелляции корректируют с учетом числа степеней свободы, т.е. числа свободно варьирующих элементов при включении определенных факторов.

Скорректированный коэф-т детерминации

п –объем совокупности/число наблюдений

k – число факторов включенных в анализ

п-1 – число степеней свободы

(1-R 2) - величина остатка/ необъясненной дисперсии результативного признака

Всегда меньше R 2 . на основе можно сравнивать оценки уравнений с разным числом анализируемых факторов.

34. Задачи изучения динамических рядов.

Ряды динамики называют временными рядами или динамическими рядами. Динамический ряд – это упорядоченная во времени последовательность показателей, характеризующих то или иное явление (объем ВВП с 90 по 98 гг). Целью изучения рядов динамики является выявление закономерности развития изучаемого явления (основной тенденции) и прогнозирование на этой основе. Из определения РД следует, что любой ряд состоит из двух элементов: время t и уровень ряда (те конкретные значения показателя, на основе которого построен ДРяд). ДРяды могут быть 1)моментными – ряды, показатели которых фиксируются на момент времени, на определенную дату, 2)интервальными – ряды, показатели которого получают за какой-то период времени (1.численность населения СПб, 2.объем ВВП за период). Разделение рядов на моментные и интервальные необходимо, поскольку это определяет специфику расчета некоторых показателей ДРядов. Суммирование уровней интервальных рядов дает содержательно интерпретируемый результат, что нельзя сказать о суммировании уровней моментных рядов, поскольку последние содержат повторный счет. Важнейшей проблемой в анализе рядов динамики является проблема сопоставимости уровней ряда. Это понятие очень разноплановое. Уровни должны быть сопоставимы по методам расчета и по территории и охвату единиц совокупности. Если ДРяд строится в стоимостных показателях, то все уровни должны быть представлены или рассчитаны в сопоставимых ценах. При построении интервальных рядов уровни должны характеризовать одинаковые отрезки времени. При построении моментных РядовД уровни должны фиксироваться на одну и ту же дату. ДРяды могут быть полными и неполными. Неполные ряды используются в официальных изданиях (1980,1985,1990,1995,1996,1997,1998,1999…). Комплексный анализ РД включает изучение следующих моментов:

1. расчет показателей изменения уровней РД

2. расчет средних показателей РД

3. выявление основной тенденции ряда, построение трендовых моделей

4. оценка автокорреляции в РД, построение авторегрессионных моделей

5. корреляция РД (изучение связей м/у ДРядами)

6. прогнозирование РД.

35. Показателей изменения уровней временных рядов .

В общем виде РядД может быть представлен:

у – уровень ДР, t – момент или период времени к которому относится уровень (показатель), n – длина ДРяда (число периодов). при изучении ряда динамики рассчитывают следующие показатели: 1. абсолютный прирост, 2. коэффициент роста (темп роста), 3. ускорение, 4. коэффициент прироста (темп прироста), 5. абсолютное значение 1 % прироста. Рассчитываемые показатели могут быть: 1. цепные – получают путем сопоставления каждого уровня ряда с непосредственно предшествующим, 2. базисные – получают путем сопоставления с уровнем, выбранным за базу сравнения (если специально не оговаривается, за базу берется 1ый уровень ряда). 1. Цепные абсолютные приросты: . Показывает на сколько больше или меньше . Цепные абсолютные приросты называют показателями скорости изменения уровней динамического ряда. Базисный абсолютный прирост : . Если уровни ряда представляют собой относительные показатели, выраженные в %-ах, то абсолютный прирост выражается в пунктах изменения. 2. коэффициент роста (темпы роста): Рассчитывается как отношение уровней ряда к непосредственно предшествующим (цепные коэффициенты роста), либо к уровню, принятому за базу сравнения (базисные коэффициенты роста): . Характеризует во сколько раз каждый уровень ряда > или < предшествующего или базисного. На основе коэффициентов роста рассчитываются темпы роста. Это коэффициенты роста, выраженные в %ах: 3. на основе абсолютных приростов рассчитывают показатель – ускорение абсолютных приростов : . Ускорение – абсолютный прирост абсолютных приростов. Оценивает как изменяются сами приросты, они стабильны или принимают ускорение (возрастают). 4. темп прироста – это отношение прироста к базе сравнения. Выражается в %-ах: ; . Темп прироста – это темп роста минус 100%. Показывает на сколько % данный уровень ряда > или < предшествующего либо базисного. 5. абсолютное значение 1% прироста. Рассчитывается как отношение абсолютного прироста к темпу прироста, т.е.: - сотая доля предыдущего уровня. Все эти показатели рассчитываются для оценки степени изменения уровней ряда. Цепные коэффициенты и темпы роста называются показателями интенсивности изменения уровней ДРядов.

2. Расчет средних показателей РД Рассчитывают средние уровни рядов, средние абсолютные приросты, средние темпы роста и средние темпы прироста. Средние показатели рассчитываются с целью обобщения информации и возможности сравнивать уровни и показатели их изменения по различным рядам. 1. средний уровень ряда а) для интервальных временных рядов рассчитывается по средней арифметической простой: , где n – число уровней во временном ряду; б) для моментных рядов средний уровень рассчитывается по специфической формуле, которая называется средней хронологической: . 2. средний абсолютный прирост рассчитывается на основе цепных абсолютных приростов по средней арифметической простой:

. 3. Средний коэффициент роста рассчитывается на основе цепных коэффициентов роста по формуле средней геометрической: . При комментарии средних показателей ДРядов необходимо указывать 2 момента: период, который характеризует анализируемый показатель и временной интервал, за который построен ДРяд. 4. Средний темп роста : . 5. средний темп прироста : .