Eine Winkelhalbierende, die sich von einem rechten Winkel aus erstreckt. Grundelemente des Dreiecks ABC
Eine der Grundlagen der Geometrie ist die Bestimmung der Winkelhalbierenden, des Strahls, der einen Winkel halbiert. Die Winkelhalbierende eines Dreiecks ist der Teil der Winkelhalbierenden eines beliebigen Winkels. Dies ist ein Segment vom Scheitelpunkt des Winkels bis zum Schnittpunkt mit der gegenüberliegenden Seite des Dreiecks.
Wenn Sie Winkelhalbierende aus allen Winkeln zeichnen, schneiden sie sich in einem Punkt, der als Mittelpunkt des eingeschriebenen Dreiecks bezeichnet wird.
Sie können die Winkelhalbierende berechnen, wenn Sie die Länge der Seite kennen, die sie halbiert, oder die Größe der Winkel des Dreiecks.
Winkelhalbierende eines gleichschenkligen Dreiecks
Da in einem gleichschenkligen Dreieck zwei Seiten einander gleich sind, sind auch die Winkelhalbierenden benachbarter Winkel gleich. Weil Auch die Winkel des Dreiecks sind gleich.
Beim Zeichnen einer Winkelhalbierenden von einer der Ecken wird diese als Höhe des gegebenen Dreiecks und seines Mittelwerts betrachtet.
Probleme, die Winkelhalbierende eines Dreiecks zu finden, werden mithilfe von Formeln gelöst.
Um diese Formeln zu lösen, müssen die Bedingungen die Werte der Seitenlängen oder die Werte der Winkel des Dreiecks angeben. Wenn Sie sie kennen, können Sie die Winkelhalbierende anhand des Kosinus oder des Umfangs berechnen.
Nehmen Sie zum Beispiel ein gleichschenkliges Dreieck ABC und zeichnen Sie die Winkelhalbierende AE zur Basis BC. Das resultierende Dreieck AEB ist rechtwinklig. Die Winkelhalbierende ist seine Höhe, die Seite AB ist die Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks und BE und AE sind die Schenkel.
Es wird der Satz des Pythagoras angewendet – das Quadrat der Hypotenuse ist gleich der Summe der Quadrate der Beine. Basierend darauf BE = v (AB - AE). Da AE der Median des Dreiecks ABC ist, ist die Seite BE = BC/2. Somit ist BE = v(AB – (BC/4)).
Wenn der Basiswinkel ABC gegeben ist, dann ist die Winkelhalbierende des Dreiecks AEB, AE = AB/sin(ABC). Basiswinkel AEB, BAE = BAC/2. Daher ist die Winkelhalbierende AE = AB/cos (BAC/2).
Wie finde ich die Winkelhalbierende eines Dreiecks, das in ein anderes Dreieck eingeschrieben ist?
Zeichnen Sie in einem gleichschenkligen Dreieck ABC die Seite BC zur Seite AC. Dieses Segment ist weder die Winkelhalbierende des Dreiecks noch sein Mittelwert. Hier gilt die Stewart-Formel.
Es wird verwendet, um den Umfang eines Dreiecks zu berechnen – die Summe der Längen aller seiner Seiten. Für ABC berechnen wir den Halbumfang. Dies ist der Umfang des in zwei Hälften geteilten Dreiecks.
P = (AB+ BC+ AC)/2. Mit dieser Formel berechnen wir die zur Seite gezogene Winkelhalbierende. VK = v(4*VS*AS*P (R-AV)/ (VS+AS).
Durch den Satz von Stewart können Sie auch sehen, dass die Winkelhalbierende, die auf die andere Seite des Dreiecks gezogen wird, gleich VC ist, weil Diese beiden Seiten des Dreiecks sind einander gleich.
Winkelhalbierende eines rechtwinkligen Dreiecks
Um zu wissen, wie man die Winkelhalbierende in einem rechtwinkligen Dreieck findet, müssen Sie auch Formeln verwenden. Vergessen Sie nicht, dass in einem rechtwinkligen Dreieck ein Winkel notwendigerweise gerade ist, d.h. gleich 90 Grad. Wenn also die Winkelhalbierende von einem rechten Winkel ausgeht, können Sie sie anhand der Größe des Winkels erkennen, auch wenn die Bedingung nicht den Sinus oder Cosinus des Winkels angibt.
- Die Winkelhalbierende wird mithilfe der Stewart-Formel ermittelt. Wenn es ein Dreieck ABC gibt und sein Halbumfang wie folgt berechnet wird: P = (AB+ BC+ AK)/2. Basierend darauf berechnen wir die Winkelhalbierende AE = v(4*VK*AK*P (P-AB)/ (VK+AK).
- Auf diese Weise wird die Länge der Winkelhalbierenden bestimmt. AE = v (BK*AK) – (EB*EK), wobei EB und EK die Segmente sind, in die die Winkelhalbierende AE die Seite BK teilt.
- Oder Sie können die Kosinusse der Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks verwenden, sofern diese bekannt sind. Die Winkelhalbierende ist gleich (2*ab*(cos c/2))/(a+b).
- Oder finden Sie die Winkelhalbierende so. Finden Sie mithilfe der Formel (cos a) – (cos b)/2 den Teiler, den Sie in Zukunft benötigen. Als nächstes wird die zur Seite c gezeichnete Höhe durch den resultierenden Wert dividiert. Um Kosinuswerte zu erhalten, müssen Sie die Größe der Winkel kennen. Oder berechnen Sie sie anhand der Größe des einzigen bekannten Winkels – eines rechten Winkels, 90 Grad.
Gleichseitiges Dreieck
In einem solchen Dreieck sind alle Seiten einander gleich, ebenso die Winkel. Daher sind auch alle Winkelhalbierenden und Mediane gleich. Wenn einige der Seitenwerte unbekannt sind, wird der Wert einer Seite benötigt. Weil die seiten sind gleich. Und auch die Größe der Winkel. Um die Winkelhalbierende mithilfe der Kosinusformel zu ermitteln, müssen Sie daher nur den Wert eines der Winkel kennen oder berechnen.
Die Länge des Medians und der Winkelhalbierenden eines Dreiecks ist gleich - L.
Die Seiten des Dreiecks sind gleich - a.
Im Dreieck ABC ist die Winkelhalbierende AE = (ABCv3)/2.
Die gleiche Formel wird verwendet, um die Höhe und den Mittelwert eines gleichseitigen Dreiecks zu berechnen.
Ungleichseitiges Dreieck
In einem solchen Dreieck haben alle Seiten unterschiedliche Werte, daher sind die Winkelhalbierenden einander nicht gleich.
Nehmen Sie ein Dreieck mit beliebigen Seitenwerten. Wenn einige Seitenwerte unbekannt sind, werden sie mit der Formel für den Umfang eines Dreiecks berechnet.
Nachdem die Winkelhalbierenden gezeichnet wurden, lohnt es sich, deren Bezeichnungen einen Index1 hinzuzufügen. Die Segmente, in die die Winkelhalbierende die gegenüberliegende Seite teilt, werden ebenfalls mit dem Index 1 bezeichnet.
Die Längen dieser Segmente werden mit dem Sinussatz berechnet.
Die Länge der Winkelhalbierenden wird wie folgt berechnet: L = v ab – a1b1, wobei ab die an die Segmente angrenzenden Seiten sind und a1b1 das Produkt der Segmente ist. Die Formel gilt für alle Seiten eines ungleichseitigen Dreiecks. Die Hauptsache besteht darin, die Längen der Seiten zu kennen oder sie zu berechnen, indem man die Werte der angrenzenden Winkel kennt.
Ein Dreieck ist ein Polygon mit drei Seiten oder eine geschlossene gestrichelte Linie mit drei Gliedern oder eine Figur, die aus drei Segmenten besteht, die drei Punkte verbinden, die nicht auf derselben geraden Linie liegen (siehe Abb. 1).
Grundelemente des Dreiecks ABC
Gipfel – Punkte A, B und C;
Partys – Segmente a = BC, b = AC und c = AB, die die Eckpunkte verbinden;
Winkel – α, β, γ, gebildet aus drei Seitenpaaren. Winkel werden oft genauso wie Eckpunkte mit den Buchstaben A, B und C bezeichnet.
Der von den Seiten eines Dreiecks gebildete und in dessen Innenbereich liegende Winkel wird Innenwinkel genannt, der daran angrenzende Winkel ist der angrenzende Winkel des Dreiecks (2, S. 534).
Höhen, Mediane, Winkelhalbierende und Mittellinien eines Dreiecks
Zusätzlich zu den Hauptelementen in einem Dreieck werden auch andere Segmente mit interessanten Eigenschaften berücksichtigt: Höhen, Mediane, Winkelhalbierende und Mittellinien.
Höhe
Dreieckshöhen- Dies sind Senkrechte, die von den Eckpunkten des Dreiecks zu gegenüberliegenden Seiten fallen.
Um die Höhe darzustellen, müssen Sie die folgenden Schritte ausführen:
1) Zeichnen Sie eine gerade Linie, die eine der Seiten des Dreiecks enthält (wenn die Höhe vom Scheitelpunkt eines spitzen Winkels in einem stumpfen Dreieck gezeichnet wird);
2) Zeichnen Sie vom Scheitelpunkt gegenüber der gezeichneten Linie ein Segment vom Punkt zu dieser Linie und bilden Sie damit einen Winkel von 90 Grad.
Der Punkt, an dem die Höhe die Seite des Dreiecks schneidet, wird aufgerufen Höhe Basis (siehe Abb. 2).
Eigenschaften der Dreieckshöhen
In einem rechtwinkligen Dreieck wird es durch die Höhe, die vom Scheitelpunkt des rechten Winkels gezogen wird, in zwei Dreiecke geteilt, die dem ursprünglichen Dreieck ähneln.
In einem spitzen Dreieck schneiden seine beiden Höhen ähnliche Dreiecke davon ab.
Wenn das Dreieck spitz ist, dann gehören alle Höhenbasen zu den Seiten des Dreiecks, und in einem stumpfen Dreieck fallen zwei Höhen auf die Fortsetzung der Seiten.
Drei Höhen in einem spitzen Dreieck schneiden sich in einem Punkt und dieser Punkt wird aufgerufen Orthozentrum Dreieck.
Median
Mediane(von lat. mediana – „Mitte“) – das sind Segmente, die die Eckpunkte des Dreiecks mit den Mittelpunkten der gegenüberliegenden Seiten verbinden (siehe Abb. 3).
Um den Median zu erstellen, müssen Sie die folgenden Schritte ausführen:
1) Finden Sie die Mitte der Seite;
2) Verbinden Sie den Punkt, der die Mitte der Seite des Dreiecks ist, mit dem gegenüberliegenden Scheitelpunkt mit einem Segment.
Eigenschaften von Dreiecksmedianen
Der Median teilt ein Dreieck in zwei Dreiecke gleicher Fläche.
Die Mittelwerte eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt, der jeden von ihnen im Verhältnis 2:1 teilt, vom Scheitelpunkt aus gezählt. Dieser Punkt heißt Schwerpunkt Dreieck.
Das gesamte Dreieck wird durch seine Mediane in sechs gleich große Dreiecke geteilt.
Halbierende
Winkelhalbierende(von lateinisch bis – zweimal und seko – schneiden) sind die in einem Dreieck eingeschlossenen geraden Liniensegmente, die dessen Winkel halbieren (siehe Abb. 4).
Um eine Winkelhalbierende zu konstruieren, müssen Sie die folgenden Schritte ausführen:
1) Konstruieren Sie einen Strahl, der vom Scheitelpunkt des Winkels ausgeht und ihn in zwei gleiche Teile teilt (die Winkelhalbierende);
2) Finden Sie den Schnittpunkt der Winkelhalbierenden des Dreiecks mit der gegenüberliegenden Seite;
3) Wählen Sie ein Segment aus, das den Scheitelpunkt des Dreiecks mit dem Schnittpunkt auf der gegenüberliegenden Seite verbindet.
Eigenschaften von Dreieckshalbierenden
Die Winkelhalbierende eines Dreiecks teilt die gegenüberliegende Seite in einem Verhältnis, das dem Verhältnis der beiden benachbarten Seiten entspricht.
Die Winkelhalbierenden der Innenwinkel eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt. Dieser Punkt wird Mittelpunkt des eingeschriebenen Kreises genannt.
Die Winkelhalbierenden des Innen- und Außenwinkels stehen senkrecht zueinander.
Wenn die Winkelhalbierende eines Außenwinkels eines Dreiecks die Verlängerung der gegenüberliegenden Seite schneidet, dann ist ADBD=ACBC.
Die Winkelhalbierenden eines Innen- und zweier Außenwinkel eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt. Dieser Punkt ist der Mittelpunkt eines der drei Exkreise dieses Dreiecks.
Die Basen der Winkelhalbierenden zweier Innen- und eines Außenwinkels eines Dreiecks liegen auf derselben Geraden, wenn die Winkelhalbierende des Außenwinkels nicht parallel zur gegenüberliegenden Seite des Dreiecks ist.
Wenn die Winkelhalbierenden der Außenwinkel eines Dreiecks nicht parallel zu gegenüberliegenden Seiten sind, dann liegen ihre Basen auf derselben Geraden.
THEMA:
Eigenschaften der Elemente eines rechtwinkligen Dreiecks. Eigenschaft der Winkelhalbierenden eines Dreiecks.
Mathematiklehrer an einer städtischen Bildungseinrichtung
weiterführende Schule Nr. 13
KOSTROMA 2009
ERLÄUTERUNGEN
Bei der Zusammenstellung dieser didaktischen Materialien wurden folgende Ziele gesetzt:
Um dem Lehrer bei der Organisation des Bildungsprozesses beim Studium der Themen „Eigenschaft der Winkelhalbierenden eines Dreiecks“ und „Eigenschaft der vom Scheitelpunkt eines rechten Winkels zur Hypotenuse fallenden Höhe“ zu helfen,
Ergänzen Sie das Geometrielehrbuch zu diesen Themen durch Aufgaben zum selbstständigen Arbeiten der Studierenden;
Aufgabenstellung zur Vorbereitung auf das Einheitliche Staatsexamen in Mathematik.
Diese didaktischen Materialien helfen, die Fähigkeiten zur Lösung von Aufgaben zur Anwendung von Eigenschaften zu festigen, die sich aus der Ähnlichkeit rechtwinkliger Dreiecke ergeben. Eine Auswahl an Aufgaben kann zur aktuellen und abschließenden Kontrolle, zum selbstständigen Arbeiten, für individuelle Hausaufgaben sowohl in der 9. Klasse als auch in den Klassen 10-11 bei der Wiederholung von Stoffen und der Vorbereitung auf das Einheitliche Staatsexamen genutzt werden. Die Materialien stellen 22 Probleme dar, von denen die Hälfte mit Lösungen versehen ist. Aufgaben, deren Lösungen den besprochenen ähneln, werden entweder zur eigenständigen Lösung im Unterricht oder als Hausaufgabe angeboten. Die Aufgaben sind nach steigendem Schwierigkeitsgrad geordnet.
Warum brauchte ich als Lehrer eine Auswahl an Aufgaben zu diesem speziellen Thema? Hier gibt es mehrere Antworten. Erstens gibt es in dem Lehrbuch, an dem ich arbeite, praktisch keine Probleme zu diesem Thema (nur zwei Probleme: Nr. 40, S. 106 und mehrere weitere Probleme in den didaktischen Materialien), aber sie sind von der gleichen Art und im Allgemeinen , spiegeln nicht unterschiedliche Situationen bei der Anwendung von Eigenschaften wider. Die Anwendung der Eigenschaften der Winkelhalbierenden eines Dreiecks bereitet überhaupt keine Probleme.
Zweitens wurde dieses Thema mehr als einmal in den Materialien zum Einheitlichen Staatsexamen behandelt, und daher halte ich es für notwendig, dieses Thema für die Studierenden detaillierter darzustellen. Die Zahl der Geometrieaufgaben in der Mathematikprüfung hat zugenommen
Literatur:
„Prüfungsfragen und Antworten 5“
„Handbuch für Studienbewerber“
Zelensky I. I. „Geometrie in Problemen.“ Mathematikreihe: „Reboot“
„Sammlung von Problemen der Geometrie“
Ziv A. G. „Geometrieprobleme“
Gusev A. I. „Didaktische Materialien zur Geometrie“
Überschrift
Objekt Nr. 1
Die Höhe eines rechtwinkligen Dreiecks, das vom Scheitelpunkt eines rechten Winkels gezogen wird, ist das durchschnittliche Verhältnis zwischen den Projektionen der Schenkel auf die Hypotenuse
Objekt Nr. 2
Der Schenkel eines rechtwinkligen Dreiecks ist der Mittelwert zwischen der Hypotenuse und ihrer Projektion auf die Hypotenuse
Objekt Nr. 3
Die Winkelhalbierende eines Dreiecks teilt die gegenüberliegende Seite in Segmente, die proportional zu den beiden anderen Seiten sind
Stufe A
A1 Der Umfang des Dreiecks beträgt 25 cm und seine Winkelhalbierende teilt die gegenüberliegende Seite in Segmente von 7,5 cm und 2,5 cm. Finden Sie die Seiten des Dreiecks.
A2 Der Umfang des Dreiecks beträgt 35 cm. Finden Sie die Segmente, in die die Winkelhalbierende des Dreiecks die gegenüberliegende Seite teilt.
A3 Einer der Schenkel eines rechtwinkligen Dreiecks beträgt 10 dm und seine Projektion auf die Hypotenuse beträgt 8 dm. Finden Sie das zweite Bein und die Hypotenuse.
A4 Finden Sie die Schenkel eines rechtwinkligen Dreiecks, wenn ihre Projektionen zur Hypotenuse 36 cm x 64 cm betragen.
A5 Bestimmen Sie die Höhe eines rechtwinkligen Dreiecks, das vom Scheitelpunkt eines rechten Winkels ausgeht, wenn seine Basis die Hypotenuse in Segmente von 4 cm und 9 cm teilt.
A6 Die Höhe eines rechtwinkligen Dreiecks, das vom Scheitelpunkt des rechten Winkels zur Hypotenuse gezogen wird, beträgt 4. Finden Sie die Hypotenuse, wenn einer der Schenkel 8 beträgt.
Stufe B
B1 In einem rechtwinkligen Dreieck beträgt die bis zur Hypotenuse gezogene Höhe 36 cm und teilt es in Segmente im Verhältnis 9:16. Finden Sie RAVS
https://pandia.ru/text/78/060/images/image003_197.gif" width="71" height="23">; SK2= AK ∙ HF;
362 = 9x∙16x; 1296 = 144x2; x2 = 9; x = 3
AK=27cm; VK=48cm; AB=75cm.
2) Von ∆ AKS nach dem Satz des Pythagoras: AC= https://pandia.ru/text/78/060/images/image006_144.gif" width="49" height="24 src=">=45 (cm )
Aus ∆ ABC nach dem Satz des Pythagoras: BC===60 (cm)
3) P ABC = AC+AB+BC; RABC = 180 cm.
Antwort 180cm
B2 Ein rechtwinkliges Dreieck wird durch die Höhe der Hypotenuse im Verhältnis 16:9 in Segmente unterteilt. Das längste Bein des Dreiecks ist 60 cm lang. Finden Sie die Länge dieser Höhe. (Dieses Problem ähnelt dem vorherigen und daher wird seine Lösung nicht berücksichtigt )
Antwort: 36 cm
B3 Von einem Punkt auf dem Kreis wird eine Senkrechte zum Durchmesser gezogen, die den Durchmesser in Segmente unterteilt, deren Längen im Verhältnis 9:4 stehen. Ermitteln Sie den Umfang, wenn die senkrechte Länge 24 cm beträgt.
https://pandia.ru/text/78/060/images/image010_107.gif" width="12" height="19">AO = 26 cm
3) Um den Umfang zu ermitteln, wenden Sie die Formel an: L = 2https://pandia.ru/text/78/060/images/image011_97.gif" width="15" height="15 src="> cm
Antwort: 52https://pandia.ru/text/78/060/images/image012_89.gif" width="208" height="172 src=">Lösung
1) Wenden wir die Eigenschaft der gezeichneten Höhe an
vom Scheitelpunkt des rechten Winkels ∆ABC zur Hypotenuse AC: VK= https://pandia.ru/text/78/060/images/image014_72.gif" width="83" height="27">cm, AK =4cm, KS =16cm.
2) Aus ∆AKV nach dem Satz des Pythagoras:
3) Aus ∆VKS nach dem Satz des Pythagoras:
4) SAVSD =AB ∙ ; S ABCD = 160 cm2
Antwort: 160 cm2
B6 Von den Eckpunkten der gegenüberliegenden Ecken des Rechtecks werden Senkrechte zur Diagonale gezogen, deren Basisabstand 16 cm beträgt. Finden Sie die Fläche des Rechtecks, wenn die Länge dieser Senkrechten 6 cm beträgt. (Das Problem ähnelt dem vorherigen, daher wird seine Lösung nicht vorgestellt.)
Antwort: 120 cm2
Die Aufgaben B7, B8, B9 können den Studierenden entweder als Hausaufgabe oder zur eigenständigen Entscheidung im Unterricht angeboten werden
F7 Die Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks beträgt 150, einer der Schenkel ist 15. Ermitteln Sie die Länge der Höhe, die vom Scheitelpunkt des rechten Winkels abfällt
Q8 Die Höhe eines rechtwinkligen Dreiecks, das vom Scheitelpunkt des rechten Winkels zur Hypotenuse gezogen wird, ist gleich: Finden Sie die Hypotenuse, wenn einer der Schenkel 8 ist.
Q9 Die Höhe eines rechtwinkligen Dreiecks, abgesenkt zur Hypotenuse, ist gleich b, und einer der spitzen Winkel beträgt 60○. Finden Sie die Hypotenuse.
B10 Die Winkelhalbierende eines spitzen Winkels eines rechtwinkligen Dreiecks teilt ein Bein von 12 cm und 15 cm. Finden Sie die Fläche des Dreiecks anhand der Segmente.
https://pandia.ru/text/78/060/images/image022_49.gif" width="148" height="41">
Dann sei x der Proportionalitätskoeffizient
5x – Seite AB, 4x – Seite AC
2) Für ∆ACV wenden wir den Satz des Pythagoras an
AB2 = AC2 + BC2;
25x2 = 16x2 +729;
3) Wenden Sie die Formel für die Fläche des Dreiecks an: S∆ = AC∙BC; AC = 36(cm); Sonne = 27(cm)
S∆ASV =486 cm2
Antwort: 486 cm2
Q11, Q12 ähneln dem vorherigen Problem.
B11 Die Winkelhalbierende eines Dreiecks teilt seine Hypotenuse in Abschnitte von 15 cm und 20 cm. Finden Sie die Fläche des Dreiecks.
Antwort: 294 cm2
Q12 In einem rechtwinkligen Dreieck teilt die Winkelhalbierende eines spitzen Winkels das gegenüberliegende Bein in Segmente mit einer Länge von 8 cm und 10 cm. Ermitteln Sie den Umfang dieses Dreiecks.
Antwort: 72 cm
B13 Die Winkelhalbierende eines rechtwinkligen Dreiecks teilt die Hypotenuse in Segmente von 20 cm und 15 cm. Finden Sie den Radius des eingeschriebenen Kreises.
https://pandia.ru/text/78/060/images/image025_41.gif" width="148" height="41">
2) Sei x der Proportionalitätskoeffizient, dann AC -4x, CB-3x
Für ∆ASV wenden wir den Satz des Pythagoras an:
AB2 = AC2+CB2
x=7 AC=28cm, CB=21cm
3) Um den Radius des eingeschriebenen Kreises zu ermitteln, wenden Sie die Formel an: r═;r=cm
Antwort: 7cm
B14 Die Winkelhalbierende eines spitzen Winkels eines rechtwinkligen Dreiecks teilt das Bein in Segmente von 10 cm und 26 cm. Finden Sie den Radius des Kreises, der dieses Dreieck umschreibt.
AB – 13x, AC – 5x
3) Wenden wir den Satz des Pythagoras für ∆ ASV an:
AB2= AC2 + BC2
169x2= 1396+25x2https://pandia.ru/text/78/060/images/image030_35.gif">4) Weil der Mittelpunkt des um ein rechtwinkliges Dreieck umschriebenen Kreises der Mittelpunkt der Hypotenuse istR= R=19,5cm
Antwort: 19,5 cm
Q15, Q16, Q17 können zu Hause vergeben werden, gefolgt von Tests im Klassenzimmer.
Aufgabe Nr. 15 Die Winkelhalbierende eines rechtwinkligen Dreiecks teilt die Hypotenuse in Segmente im Verhältnis 4:3. Finden Sie diese Segmente, wenn der Radius des eingeschriebenen Kreises 7 beträgt.
Antwort: 32 cm und 24 cm
IN 1 6 Eine Winkelhalbierende, die vom Scheitelpunkt eines Rechtecks gezeichnet wird, teilt seine Diagonale in Segmente von 65 cm und 156 cm. Ermitteln Sie die Fläche des Rechtecks.
Antwort 17340cm2
F17Die Länge des um ein rechtwinkliges Dreieck umschriebenen Kreises beträgt 39https://pandia.ru/text/78/060/images/image023_47.gif" width="16" height="41">DВ∙DК; ВD - ? DК - ?
2) Finden wir S∆ABC mithilfe der Heron-Formel: p = 21, S∆ABC = 84.
3) Andererseits ist S ∆ABC = AC∙DB AC∙DB = 2S; DВ = ; DB = 12;
4) Nehmen wir AK = x, dann SC = 14 – x; Wenden wir die Eigenschaft der Winkelhalbierenden eines Dreiecks an: =https://pandia.ru/text/78/060/images/image036_29.gif" width="21" height="41 src=">.gif" width ="20" height= "16 src="> x = 6,5: AK = 6,5
5) DK = AK – AD..gif" width="16" height="41 src=">∙12∙1,5 = 9.
Unter den zahlreichen Fächern der weiterführenden Schule gibt es eines wie „Geometrie“. Traditionell wird angenommen, dass die Begründer dieser systematischen Wissenschaft die Griechen sind. Heute wird die griechische Geometrie als elementar bezeichnet, da sie mit dem Studium der einfachsten Formen begann: Ebenen, Geraden und Dreiecke. Wir werden unsere Aufmerksamkeit auf Letzteres bzw. auf die Winkelhalbierende dieser Figur richten. Für diejenigen, die es bereits vergessen haben: Die Winkelhalbierende eines Dreiecks ist ein Segment der Winkelhalbierenden einer der Ecken des Dreiecks, das es in zwei Hälften teilt und den Scheitelpunkt mit einem Punkt auf der gegenüberliegenden Seite verbindet.
Die Winkelhalbierende eines Dreiecks hat eine Reihe von Eigenschaften, die Sie beim Lösen bestimmter Probleme kennen müssen:
- Die Winkelhalbierende ist der Ort der Punkte, die in gleichen Abständen von den an den Winkel angrenzenden Seiten liegen.
- Die Winkelhalbierende in einem Dreieck teilt die dem Winkel gegenüberliegende Seite in Segmente, die proportional zu den angrenzenden Seiten sind. Zum Beispiel sei ein Dreieck MKB gegeben, bei dem aus dem Winkel K eine Winkelhalbierende hervorgeht, die den Scheitelpunkt dieses Winkels mit dem Punkt A auf der gegenüberliegenden Seite MB verbindet. Nachdem wir diese Eigenschaft und unser Dreieck analysiert haben, haben wir MA/AB=MK/KB.
- Der Punkt, an dem sich die Winkelhalbierenden aller drei Winkel eines Dreiecks schneiden, ist der Mittelpunkt eines Kreises, der in dasselbe Dreieck eingeschrieben ist.
- Die Basen der Winkelhalbierenden eines Außen- und zweier Innenwinkel liegen auf derselben Geraden, vorausgesetzt, dass die Winkelhalbierende des Außenwinkels nicht parallel zur gegenüberliegenden Seite des Dreiecks verläuft.
- Wenn zwei Winkelhalbierende von eins, dann dies
Es ist zu beachten, dass es bei gegebenen drei Winkelhalbierenden unmöglich ist, daraus ein Dreieck zu konstruieren, selbst mit Hilfe eines Zirkels.
Sehr oft ist bei der Lösung von Problemen die Winkelhalbierende eines Dreiecks unbekannt, es ist jedoch notwendig, ihre Länge zu bestimmen. Um dieses Problem zu lösen, müssen Sie den Winkel kennen, der durch die Winkelhalbierende halbiert wird, und die an diesen Winkel angrenzenden Seiten. In diesem Fall ist die erforderliche Länge definiert als das Verhältnis des doppelten Produkts der an die Ecke angrenzenden Seiten und des Kosinus des in zwei Hälften geteilten Winkels zur Summe der an die Ecke angrenzenden Seiten. Zum Beispiel gegeben das gleiche Dreieck MKB. Die Winkelhalbierende geht aus dem Winkel K hervor und schneidet die gegenüberliegende Seite des MV im Punkt A. Der Winkel, aus dem die Winkelhalbierende hervorgeht, wird mit y bezeichnet. Schreiben wir nun alles, was in Worten gesagt wird, in Form einer Formel auf: KA = (2*MK*KB*cos y/2) / (MK+KB).
Wenn der Wert des Winkels, aus dem die Winkelhalbierende eines Dreiecks entsteht, unbekannt ist, aber alle seine Seiten bekannt sind, verwenden wir zur Berechnung der Länge der Winkelhalbierenden eine zusätzliche Variable, die wir Halbumfang nennen und mit bezeichnen der Buchstabe P: P=1/2*(MK+KB+MB). Danach werden wir einige Änderungen an der vorherigen Formel vornehmen, mit der die Länge der Winkelhalbierenden bestimmt wurde, nämlich, dass wir im Zähler des Bruchs das Doppelte des Produkts aus den Längen der an die Ecke angrenzenden Seiten und dem Halbumfang einsetzen und der Quotient, bei dem die Länge der dritten Seite vom Halbumfang abgezogen wird. Den Nenner lassen wir unverändert. In Form einer Formel sieht das so aus: KA=2*√(MK*KB*P*(P-MB)) / (MK+KB).
Die Winkelhalbierende eines gleichschenkligen Dreiecks hat neben allgemeinen Eigenschaften auch einige eigene. Erinnern wir uns daran, was für ein Dreieck das ist. Ein solches Dreieck hat zwei gleiche Seiten und gleiche Winkel neben der Grundfläche. Daraus folgt, dass die Winkelhalbierenden, die auf die Seiten eines gleichschenkligen Dreiecks fallen, einander gleich sind. Darüber hinaus ist die zur Basis abgesenkte Winkelhalbierende sowohl die Höhe als auch der Median.
Durchschnittsniveau
Winkelhalbierende eines Dreiecks. Detaillierte Theorie mit Beispielen (2019)
Winkelhalbierende eines Dreiecks und seine Eigenschaften
Wissen Sie, was der Mittelpunkt eines Segments ist? Natürlich tust du. Was ist mit dem Mittelpunkt des Kreises? Dasselbe. Was ist der Mittelpunkt eines Winkels? Man kann sagen, dass das nicht passiert. Aber warum kann ein Segment in zwei Hälften geteilt werden, ein Winkel jedoch nicht? Es ist durchaus möglich – nur kein Punkt, aber…. Linie.
Erinnern Sie sich an den Witz: Eine Winkelhalbierende ist eine Ratte, die um die Ecken rennt und die Ecke in zwei Hälften teilt. Die tatsächliche Definition einer Winkelhalbierenden ist also diesem Witz sehr ähnlich:
Winkelhalbierende eines Dreiecks- Dies ist die Winkelhalbierende eines Dreieckswinkels, die den Scheitelpunkt dieses Winkels mit einem Punkt auf der gegenüberliegenden Seite verbindet.
Es waren einmal alte Astronomen und Mathematiker, die viele interessante Eigenschaften der Winkelhalbierenden entdeckten. Dieses Wissen hat das Leben der Menschen erheblich vereinfacht. Es ist einfacher geworden, zu bauen, Entfernungen zu zählen und sogar das Abfeuern von Kanonen anzupassen ... Die Kenntnis dieser Eigenschaften wird uns bei der Lösung einiger GIA- und Unified State Examination-Aufgaben helfen!
Das erste Wissen, das dabei hilft, ist Winkelhalbierende eines gleichschenkligen Dreiecks.
Erinnern Sie sich übrigens an all diese Begriffe? Erinnern Sie sich, wie sie sich voneinander unterscheiden? Nein? Nicht beängstigend. Lass es uns jetzt herausfinden.
Also, Basis eines gleichschenkligen Dreiecks- Das ist die Seite, die keiner anderen gleicht. Schauen Sie sich das Bild an. Welche Seite ist es Ihrer Meinung nach? Das ist richtig – das ist die Seite.
Der Median ist eine Linie, die vom Scheitelpunkt eines Dreiecks ausgeht und die gegenüberliegende Seite (das ist es wieder) in zwei Hälften teilt.
Beachten Sie, dass wir nicht „Median eines gleichschenkligen Dreiecks“ sagen. Weißt du, warum? Weil ein Median, der von einem Scheitelpunkt eines Dreiecks gezogen wird, die gegenüberliegende Seite in JEDEM Dreieck halbiert.
Nun, die Höhe ist eine Linie, die von oben und senkrecht zur Basis gezogen wird. Dir ist aufgefallen? Wir sprechen wieder über jedes beliebige Dreieck, nicht nur über ein gleichschenkliges. Die Höhe in JEDEM Dreieck ist immer senkrecht zur Basis.
Also, hast du es herausgefunden? Fast. Um noch besser zu verstehen und sich für immer daran zu erinnern, was Winkelhalbierende, Median und Höhe sind, müssen Sie sie miteinander vergleichen und verstehen, wie ähnlich sie sind und wie sie sich voneinander unterscheiden. Gleichzeitig ist es zum besseren Erinnern besser, alles in „menschlicher Sprache“ zu beschreiben. Dann wird es Ihnen leicht fallen, in der Sprache der Mathematik zu arbeiten, aber Sie verstehen diese Sprache zunächst nicht und müssen alles in Ihrer eigenen Sprache verstehen.
Wie ähneln sie sich also? Die Winkelhalbierende, der Median und die Höhe – sie alle „kommen“ aus der Spitze des Dreiecks heraus und ruhen auf der gegenüberliegenden Seite und „machen etwas“ entweder mit dem Winkel, aus dem sie herauskommen, oder mit der gegenüberliegenden Seite. Ich denke, es ist einfach, nicht wahr?
Wie unterscheiden sie sich?
- Die Winkelhalbierende teilt den Winkel, aus dem sie austritt, in zwei Hälften.
- Der Median teilt die gegenüberliegende Seite in zwei Hälften.
- Die Höhe steht immer senkrecht zur gegenüberliegenden Seite.
Das ist es. Es ist leicht zu verstehen. Und sobald Sie es verstanden haben, können Sie sich erinnern.
Nun die nächste Frage. Warum ist bei einem gleichschenkligen Dreieck die Winkelhalbierende sowohl der Mittelwert als auch die Höhe?
Sie können sich einfach die Abbildung ansehen und sicherstellen, dass sich der Median in zwei absolut gleiche Dreiecke teilt. Das ist alles! Doch Mathematiker trauen ihren Augen nicht gern. Sie müssen alles beweisen. Gruseliges Wort? So etwas gibt es nicht – ganz einfach! Schauen Sie: Beide haben gleiche Seiten und, sie haben im Allgemeinen eine gemeinsame Seite und. (- Winkelhalbierende!) Und so stellt sich heraus, dass zwei Dreiecke zwei gleiche Seiten und einen Winkel zwischen ihnen haben. Wir erinnern uns an das erste Zeichen der Gleichheit von Dreiecken (wenn Sie sich nicht erinnern, schauen Sie im Thema nach) und kommen zu dem Schluss, dass und daher = und.
Das ist schon gut – das bedeutet, dass es sich um den Median handelt.
Aber was ist es?
Schauen wir uns das Bild an - . Und wir haben es verstanden. So zu! Endlich, hurra! Und.
Fanden Sie diesen Beweis etwas schwerfällig? Schauen Sie sich das Bild an – zwei identische Dreiecke sprechen für sich.
Denken Sie auf jeden Fall genau daran:
Jetzt ist es schwieriger: Wir zählen Winkel zwischen Winkelhalbierenden in jedem Dreieck! Haben Sie keine Angst, es ist nicht so schwierig. Sehen Sie das Bild an:
Zählen wir es. Erinnern Sie sich, dass die Summe der Winkel eines Dreiecks ist?
Lassen Sie uns diese erstaunliche Tatsache anwenden.
Einerseits aus:
Also.
Schauen wir uns nun Folgendes an:
Aber Winkelhalbierende, Winkelhalbierende!
Erinnern wir uns an:
Nun durch die Briefe
\angle AOC=90()^\circ +\frac(\angle B)(2)
Ist das nicht überraschend? Es stellte sich heraus, dass Der Winkel zwischen den Winkelhalbierenden zweier Winkel hängt nur vom dritten Winkel ab!
Nun, wir haben uns zwei Winkelhalbierende angesehen. Was wäre, wenn es drei wären??!! Werden sie sich alle an einem Punkt schneiden?
Oder wird es so sein?
Was denkst du? So dachten und dachten und bewiesen Mathematiker:
Ist das nicht toll?
Möchten Sie wissen, warum das passiert?
Also...zwei rechtwinklige Dreiecke: und. Bei ihnen:
- Allgemeine Hypotenuse.
- (weil es eine Winkelhalbierende ist!)
Das heißt - nach Winkel und Hypotenuse. Daher sind die entsprechenden Schenkel dieser Dreiecke gleich! Also.
Wir haben bewiesen, dass der Punkt gleich (oder gleich) von den Seiten des Winkels entfernt ist. Punkt 1 ist behandelt. Kommen wir nun zu Punkt 2.
Warum ist 2 wahr?
Und lasst uns die Punkte verbinden und.
Das bedeutet, dass es auf der Winkelhalbierenden liegt!
Das ist alles!
Wie lässt sich das alles bei der Lösung von Problemen anwenden? Beispielsweise gibt es in Aufgabenstellungen oft den folgenden Satz: „Ein Kreis berührt die Seiten eines Winkels ...“. Nun, Sie müssen etwas finden.
Dann merkt man das schnell
Und Sie können Gleichheit nutzen.
3. Drei Winkelhalbierende in einem Dreieck schneiden sich in einem Punkt
Aus der Eigenschaft einer Winkelhalbierenden, der Ort von Punkten zu sein, die von den Seiten eines Winkels gleich weit entfernt sind, folgt die folgende Aussage:
Wie genau kommt es heraus? Aber schauen Sie: Zwei Winkelhalbierende werden sich bestimmt schneiden, oder?
Und die dritte Winkelhalbierende könnte so aussehen:
Aber in Wirklichkeit ist alles viel besser!
Schauen wir uns den Schnittpunkt zweier Winkelhalbierenden an. Nennen wir es.
Was haben wir hier beide Male verwendet? Ja Absatz 1, Natürlich! Liegt ein Punkt auf einer Winkelhalbierenden, ist er von den Seiten des Winkels gleich weit entfernt.
Und so geschah es.
Aber schauen Sie sich diese beiden Gleichheiten genau an! Aus ihnen folgt schließlich, dass und deshalb .
Und jetzt kommt es ins Spiel Punkt 2: Wenn die Abstände zu den Seiten eines Winkels gleich sind, dann liegt der Punkt auf der Winkelhalbierenden ... welcher Winkel? Schauen Sie sich das Bild noch einmal an:
und sind die Abstände zu den Seiten des Winkels und sie sind gleich, was bedeutet, dass der Punkt auf der Winkelhalbierenden liegt. Die dritte Winkelhalbierende verlief durch denselben Punkt! Alle drei Winkelhalbierenden schneiden sich in einem Punkt! Und als zusätzliches Geschenk -
Radien beschriftet Kreise.
(Schauen Sie sich zur Sicherheit ein anderes Thema an).
Nun, jetzt werden Sie es nie vergessen:
Der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden eines Dreiecks ist der Mittelpunkt des darin eingeschriebenen Kreises.
Kommen wir zur nächsten Eigenschaft ... Wow, die Winkelhalbierende hat viele Eigenschaften, oder? Und das ist großartig, denn je mehr Eigenschaften, desto mehr Werkzeuge zur Lösung von Winkelhalbierendenproblemen.
4. Winkelhalbierende und Parallelität, Winkelhalbierende benachbarter Winkel
Die Tatsache, dass die Winkelhalbierende den Winkel halbiert, führt in manchen Fällen zu völlig unerwarteten Ergebnissen. Zum Beispiel,
Fall 1
Großartig, oder? Lassen Sie uns verstehen, warum das so ist.
Einerseits zeichnen wir eine Winkelhalbierende!
Andererseits gibt es aber auch Winkel, die kreuzweise liegen (erinnern Sie sich an das Thema).
Und jetzt stellt sich heraus, dass; wirf die Mitte raus: ! - gleichschenklig!
Fall 2
Stellen Sie sich ein Dreieck vor (oder schauen Sie sich das Bild an)
Fahren wir mit der Seite über den Punkt hinaus fort. Jetzt haben wir zwei Blickwinkel:
- - Innenecke
- - Die äußere Ecke ist draußen, oder?
Nun wollte also jemand nicht eine, sondern zwei Winkelhalbierende gleichzeitig zeichnen: sowohl für als auch für. Was wird passieren?
Wird es klappen? rechteckig!
Überraschenderweise ist genau das der Fall.
Lass es uns herausfinden.
Wie hoch ist Ihrer Meinung nach der Betrag?
Natürlich – schließlich bilden sie alle zusammen einen solchen Winkel, dass sich eine gerade Linie ergibt.
Denken Sie nun daran, dass es sich um Winkelhalbierende handelt, und achten Sie darauf, dass der Winkel genau darin liegt Hälfte aus der Summe aller vier Winkel: und - - also genau. Sie können es auch als Gleichung schreiben:
Also, unglaublich, aber wahr:
Der Winkel zwischen den Winkelhalbierenden des Innen- und Außenwinkels eines Dreiecks ist gleich.
Fall 3
Sehen Sie, dass hier alles das Gleiche ist wie bei den Innen- und Außenecken?
Oder lassen Sie uns noch einmal darüber nachdenken, warum das passiert?
Nochmals, was benachbarte Ecken betrifft:
(entspricht parallelen Basen).
Und wieder versöhnen sie sich genau die Hälfte aus der Summe
Abschluss: Wenn das Problem Winkelhalbierende enthält benachbart Winkel oder Winkelhalbierende relevant Winkel eines Parallelogramms oder Trapezes, dann in diesem Problem sicherlich Es handelt sich um ein rechtwinkliges Dreieck, vielleicht sogar um ein ganzes Rechteck.
5. Winkelhalbierende und gegenüberliegende Seite
Es stellt sich heraus, dass die Winkelhalbierende eines Dreiecks die gegenüberliegende Seite nicht nur auf irgendeine Weise, sondern auf besondere und sehr interessante Weise teilt:
Also:
Eine erstaunliche Tatsache, nicht wahr?
Jetzt werden wir diese Tatsache beweisen, aber machen Sie sich bereit: Es wird etwas schwieriger als zuvor.
Nochmals – Ausgang in den „Weltraum“ – zusätzliche Formation!
Lass uns geradeaus gehen.
Wofür? Wir werden es jetzt sehen.
Setzen wir die Winkelhalbierende fort, bis sie die Gerade schneidet.
Ist das ein bekanntes Bild? Ja, ja, ja, genau das Gleiche wie in Punkt 4, Fall 1 – es stellt sich heraus, dass (- Halbierende)
Quer liegend
Also, das auch.
Schauen wir uns nun die Dreiecke an und.
Was können Sie über sie sagen?
Sie sind sich ähnlich. Nun ja, ihre Winkel sind gleich denen der Vertikalen. Also, in zwei Ecken.
Jetzt haben wir das Recht, die Beziehungen der relevanten Parteien zu schreiben.
Und nun in Kurzform:
Oh! Erinnert mich an etwas, oder? Wollten wir das nicht beweisen? Ja, ja, genau das!
Sie sehen, wie großartig der „Weltraumspaziergang“ war – der Bau einer zusätzlichen Geraden – ohne ihn wäre nichts passiert! Und das haben wir bewiesen
Jetzt können Sie es sicher verwenden! Schauen wir uns noch eine Eigenschaft der Winkelhalbierenden eines Dreiecks an – seien Sie nicht beunruhigt, jetzt ist der schwierigste Teil vorbei – es wird einfacher.
Wir verstehen das
Satz 1:
Satz 2:
Satz 3:
Satz 4:
Satz 5:
Satz 6:
