Sogar Funktion Online-Rechner. Gerade und ungerade Funktionen

Funktionsnullstellen
Der Nullpunkt einer Funktion ist der Wert X, bei dem die Funktion zu 0 wird, d. h. f(x)=0.

Nullstellen sind die Schnittpunkte des Funktionsgraphen mit der Achse Oh.

Funktionsparität
Eine Funktion wird auch dann aufgerufen, wenn sie für welche gilt X Aus dem Definitionsbereich gilt die Gleichheit f(-x) = f(x).

Eine gerade Funktion ist symmetrisch zur Achse OU

Ungerade Paritätsfunktion
Eine Funktion heißt ungerade wenn überhaupt X Aus dem Definitionsbereich gilt die Gleichheit f(-x) = -f(x).

Eine ungerade Funktion ist symmetrisch zum Ursprung.
Eine Funktion, die weder gerade noch ungerade ist, heißt allgemeine Funktion.

Zunehmende Funktion
Eine Funktion f(x) heißt steigend, wenn ein größerer Wert des Arguments einem größeren Wert der Funktion entspricht, d. h.

Absteigende Funktion
Eine Funktion f(x) heißt abnehmend, wenn ein größerer Wert des Arguments einem kleineren Wert der Funktion entspricht, d. h.

Es werden Intervalle aufgerufen, über die die Funktion entweder nur abnimmt oder nur zunimmt Intervalle der Monotonie. Die Funktion f(x) hat 3 Intervalle der Monotonie:

Finden Sie Intervalle der Monotonie mit dem Dienst Intervalle steigender und fallender Funktion

Lokales Maximum
Punkt x 0 wird als lokaler Maximalpunkt bezeichnet, wenn überhaupt X aus der Nähe eines Punktes x 0 es gilt folgende Ungleichung: f(x 0) > f(x)

Lokales Minimum
Punkt x 0 wird als lokaler Minimalpunkt bezeichnet, wenn überhaupt X aus der Nähe eines Punktes x 0 es gilt folgende Ungleichung: f(x 0)< f(x).

Lokale Maximalpunkte und lokale Minimalpunkte werden lokale Extrempunkte genannt.

lokale Extrempunkte.

Funktionsfrequenz
Die Funktion f(x) heißt periodisch, mit einem Punkt T, wenn überhaupt X es gilt die Gleichung f(x+T) = f(x).

Intervalle der Vorzeichenkonstanz
Intervalle, in denen die Funktion entweder nur positiv oder nur negativ ist, werden Intervalle mit konstantem Vorzeichen genannt.

Kontinuität der Funktion
Eine Funktion f(x) heißt stetig an einem Punkt x 0, wenn der Grenzwert der Funktion als x → x 0 gleich dem Wert der Funktion an diesem Punkt ist, d.h. .

Haltepunkte
Die Punkte, an denen die Kontinuitätsbedingung verletzt wird, werden Funktionsunterbrechungspunkte genannt.

x 0- Bruchstelle.

Allgemeines Schema zum Zeichnen von Funktionen

1. Finden Sie den Definitionsbereich der Funktion D(y).

2. Finden Sie die Schnittpunkte des Funktionsgraphen mit den Koordinatenachsen.

3. Untersuchen Sie die Funktion auf gerade oder ungerade.

4. Untersuchen Sie die Funktion auf Periodizität.

5. Finden Sie Monotonieintervalle und Extrempunkte der Funktion.

6. Finden Sie die Konvexitätsintervalle und Wendepunkte der Funktion.

7. Finden Sie die Asymptoten der Funktion.

8. Erstellen Sie basierend auf den Forschungsergebnissen ein Diagramm.

Beispiel: Erkunden Sie die Funktion und zeichnen Sie sie grafisch auf: y = x 3 – 3x

1) Die Funktion ist auf der gesamten numerischen Achse definiert, d. h. ihr Definitionsbereich ist D(y) = (-∞; +∞).

2) Finden Sie die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen:

mit der OX-Achse: Lösen Sie die Gleichung x 3 – 3x = 0

mit OY-Achse: y(0) = 0 3 – 3*0 = 0

3) Finden Sie heraus, ob die Funktion gerade oder ungerade ist:

y(-x) = (-x) 3 – 3(-x) = -x 3 + 3x = - (x 3 – 3x) = -y(x)

Daraus folgt, dass die Funktion ungerade ist.

4) Die Funktion ist nicht periodisch.

5) Finden wir die Monotonieintervalle und Extrempunkte der Funktion: y’ = 3x 2 - 3.

Kritische Punkte: 3x 2 – 3 = 0, x 2 =1, x= ±1.

y(-1) = (-1) 3 – 3(-1) = 2

y(1) = 1 3 – 3*1 = -2

6) Finden Sie die Konvexitätsintervalle und Wendepunkte der Funktion: y'' = 6x

Kritische Punkte: 6x = 0, x = 0.

y(0) = 0 3 – 3*0 = 0

7) Die Funktion ist stetig, sie hat keine Asymptoten.

8) Basierend auf den Ergebnissen der Studie erstellen wir einen Graphen der Funktion.

Die Abhängigkeit einer Variablen y von einer Variablen x, bei der jeder Wert von x einem einzelnen Wert von y entspricht, wird als Funktion bezeichnet. Zur Bezeichnung verwenden Sie die Notation y=f(x). Jede Funktion hat eine Reihe grundlegender Eigenschaften, wie etwa Monotonie, Parität, Periodizität und andere.

Schauen Sie sich die Paritätseigenschaft genauer an.

Eine Funktion y=f(x) wird auch dann aufgerufen, wenn sie die folgenden zwei Bedingungen erfüllt:

2. Der Wert der Funktion am Punkt x, der zum Definitionsbereich der Funktion gehört, muss gleich dem Wert der Funktion am Punkt -x sein. Das heißt, für jeden Punkt x muss die folgende Gleichheit aus dem Definitionsbereich der Funktion erfüllt sein: f(x) = f(-x).

Graph einer geraden Funktion

Wenn Sie einen Graphen einer geraden Funktion zeichnen, ist dieser symmetrisch zur Oy-Achse.

Beispielsweise ist die Funktion y=x^2 gerade. Schauen wir es uns an. Der Definitionsbereich ist die gesamte numerische Achse, was bedeutet, dass sie symmetrisch zum Punkt O ist.

Nehmen wir ein beliebiges x=3. f(x)=3^2=9.

f(-x)=(-3)^2=9. Daher ist f(x) = f(-x). Somit sind beide Bedingungen erfüllt, was bedeutet, dass die Funktion gerade ist. Unten ist ein Diagramm der Funktion y=x^2.

Die Abbildung zeigt, dass der Graph symmetrisch zur Oy-Achse ist.

Graph einer ungeraden Funktion

Eine Funktion y=f(x) heißt ungerade, wenn sie die folgenden zwei Bedingungen erfüllt:

1. Der Definitionsbereich einer bestimmten Funktion muss in Bezug auf Punkt O symmetrisch sein. Das heißt, wenn ein Punkt a zum Definitionsbereich der Funktion gehört, muss der entsprechende Punkt -a auch zum Definitionsbereich gehören der gegebenen Funktion.

2. Für jeden Punkt x muss die folgende Gleichheit aus dem Definitionsbereich der Funktion erfüllt sein: f(x) = -f(x).

Der Graph einer ungeraden Funktion ist symmetrisch in Bezug auf Punkt O – den Koordinatenursprung. Beispielsweise ist die Funktion y=x^3 ungerade. Schauen wir es uns an. Der Definitionsbereich ist die gesamte numerische Achse, was bedeutet, dass sie symmetrisch zum Punkt O ist.

Nehmen wir ein beliebiges x=2. f(x)=2^3=8.

f(-x)=(-2)^3=-8. Daher ist f(x) = -f(x). Somit sind beide Bedingungen erfüllt, was bedeutet, dass die Funktion ungerade ist. Unten ist ein Diagramm der Funktion y=x^3.

Die Abbildung zeigt deutlich, dass die ungerade Funktion y=x^3 symmetrisch zum Ursprung ist.

Eine Funktion heißt gerade (ungerade), wenn irgendetwas und die Gleichheit vorliegen

.

Der Graph einer geraden Funktion ist symmetrisch zur Achse
.

Der Graph einer ungeraden Funktion ist symmetrisch zum Ursprung.

Beispiel 6.2. Untersuchen Sie, ob eine Funktion gerade oder ungerade ist

1)
; 2)
; 3)
.

Lösung.

1) Die Funktion wird definiert, wenn
. Wir werden finden
.

Diese.
. Dies bedeutet, dass diese Funktion gerade ist.

2) Die Funktion wird definiert, wenn

Diese.
. Daher ist diese Funktion ungerade.

3) Die Funktion ist für definiert, d.h. Für

,
. Daher ist die Funktion weder gerade noch ungerade. Nennen wir es eine Funktion allgemeiner Form.

3. Untersuchung der Funktion für Monotonie.

Funktion
heißt in einem bestimmten Intervall steigend (abfallend), wenn in diesem Intervall jedem größeren Wert des Arguments ein größerer (kleinerer) Wert der Funktion entspricht.

Funktionen, die über ein bestimmtes Intervall ansteigen (abfallen), werden als monoton bezeichnet.

Wenn die Funktion
differenzierbar auf dem Intervall
und hat eine positive (negative) Ableitung
, dann die Funktion
nimmt in diesem Intervall zu (ab).

Beispiel 6.3. Finden Sie Intervalle der Monotonie von Funktionen

1)
; 3)
.

Lösung.

1) Diese Funktion ist auf dem gesamten Zahlenstrahl definiert. Finden wir die Ableitung.

Die Ableitung ist gleich Null, wenn
Und
. Der Definitionsbereich ist die Zahlenachse, geteilt durch Punkte
,
in Intervallen. Bestimmen wir das Vorzeichen der Ableitung in jedem Intervall.

In der Pause
Ist die Ableitung negativ, nimmt die Funktion in diesem Intervall ab.

In der Pause
Die Ableitung ist positiv, daher nimmt die Funktion über dieses Intervall zu.

2) Diese Funktion ist definiert, wenn
oder

.

Wir bestimmen das Vorzeichen des quadratischen Trinoms in jedem Intervall.

Somit ist der Definitionsbereich der Funktion

Finden wir die Ableitung
,
, Wenn
, d.h.
, Aber
. Bestimmen wir das Vorzeichen der Ableitung in den Intervallen
.

In der Pause
Die Ableitung ist negativ, daher nimmt die Funktion im Intervall ab
. In der Pause
die Ableitung ist positiv, die Funktion nimmt über das Intervall zu
.

4. Untersuchung der Funktion am Extremum.

Punkt
wird als maximaler (minimaler) Punkt der Funktion bezeichnet
, wenn es eine solche Umgebung des Punktes gibt das ist für jeden etwas
Von dieser Umgebung aus gilt die Ungleichung

.

Die Maximal- und Minimalpunkte einer Funktion werden als Extrempunkte bezeichnet.

Wenn die Funktion
am Punkt ein Extremum hat, dann ist die Ableitung der Funktion an diesem Punkt gleich Null oder existiert nicht (eine notwendige Bedingung für die Existenz eines Extremums).

Die Punkte, an denen die Ableitung Null ist oder nicht existiert, werden als kritisch bezeichnet.

5. Ausreichende Bedingungen für die Existenz eines Extremums.

Regel 1. Wenn während des Übergangs (von links nach rechts) durch den kritischen Punkt Derivat
ändert das Vorzeichen von „+“ zu „–“, dann am Punkt Funktion
hat ein Maximum; wenn von „–“ bis „+“, dann das Minimum; Wenn
ändert das Vorzeichen nicht, dann gibt es kein Extremum.

Regel 2. Lassen Sie es auf den Punkt kommen
erste Ableitung einer Funktion
gleich Null
, und die zweite Ableitung existiert und ist von Null verschieden. Wenn
, Das – Höchstpunktzahl, wenn
, Das – Minimalpunkt der Funktion.

Beispiel 6.4 . Entdecken Sie die Maximal- und Minimalfunktionen:

1)
; 2)
; 3)
;

4)
.

Lösung.

1) Die Funktion ist im Intervall definiert und stetig
.

Finden wir die Ableitung
und löse die Gleichung
, d.h.
.Von hier
- kritische Punkte.

Bestimmen wir das Vorzeichen der Ableitung in den Intervallen,
.

Beim Durchfahren von Punkten
Und
Die Ableitung ändert das Vorzeichen von „–“ zu „+“, also gemäß Regel 1
– Mindestpunktzahl.

Beim Passieren eines Punktes
die Ableitung ändert das Vorzeichen von „+“ zu „–“, also
– Höchstpunktzahl.

,
.

2) Die Funktion ist im Intervall definiert und stetig
. Finden wir die Ableitung
.

Nachdem ich die Gleichung gelöst habe
, wir werden finden
Und
- kritische Punkte. Wenn der Nenner
, d.h.
, dann existiert die Ableitung nicht. Also,
– dritter kritischer Punkt. Bestimmen wir das Vorzeichen der Ableitung in Intervallen.

Daher hat die Funktion an diesem Punkt ein Minimum
, Maximum in Punkten
Und
.

3) Eine Funktion ist definiert und stetig, wenn
, d.h. bei
.

Finden wir die Ableitung

.

Lassen Sie uns kritische Punkte finden:

Nachbarschaften von Punkten
gehören nicht zum Definitionsbereich und sind daher keine Extremwerte. Schauen wir uns also die kritischen Punkte an
Und
.

4) Die Funktion ist im Intervall definiert und stetig
. Verwenden wir Regel 2. Finden Sie die Ableitung
.

Lassen Sie uns kritische Punkte finden:

Finden wir die zweite Ableitung
und bestimmen Sie sein Vorzeichen an den Punkten

An Punkten
Funktion hat ein Minimum.

An Punkten
Die Funktion hat ein Maximum.

Die Ihnen bis zu einem gewissen Grad bekannt waren. Dort wurde auch darauf hingewiesen, dass der Bestand an Funktionsimmobilien sukzessive wieder aufgefüllt wird. In diesem Abschnitt werden zwei neue Eigenschaften besprochen.

Definition 1.

Die Funktion y = f(x), x є X, wird auch dann aufgerufen, wenn für jeden Wert x aus der Menge X die Gleichheit f (-x) = f (x) gilt.

Definition 2.

Die Funktion y = f(x), x є X, heißt ungerade, wenn für jeden Wert x aus der Menge X die Gleichheit f (-x) = -f (x) gilt.

Beweisen Sie, dass y = x 4 eine gerade Funktion ist.

Lösung. Wir haben: f(x) = x 4, f(-x) = (-x) 4. Aber(-x) 4 = x 4. Das bedeutet, dass für jedes x die Gleichheit f(-x) = f(x) gilt, d.h. Die Funktion ist gerade.

Ebenso lässt sich beweisen, dass die Funktionen y - x 2, y = x 6, y - x 8 gerade sind.

Beweisen Sie, dass y = x 3 ~ eine ungerade Funktion ist.

Lösung. Wir haben: f(x) = x 3, f(-x) = (-x) 3. Aber (-x) 3 = -x 3. Das bedeutet, dass für jedes x die Gleichheit f (-x) = -f (x) gilt, d.h. Die Funktion ist seltsam.

Ebenso lässt sich beweisen, dass die Funktionen y = x, y = x 5, y = x 7 ungerade sind.

Sie und ich waren bereits mehr als einmal davon überzeugt, dass neue Begriffe in der Mathematik meist einen „irdischen“ Ursprung haben, d.h. Sie können irgendwie erklärt werden. Dies ist sowohl bei geraden als auch bei ungeraden Funktionen der Fall. Siehe: y - x 3, y = x 5, y = x 7 sind ungerade Funktionen, während y = x 2, y = x 4, y = x 6 gerade Funktionen sind. Und im Allgemeinen können wir für jede Funktion der Form y = x" (im Folgenden werden wir diese Funktionen speziell untersuchen), bei der n eine natürliche Zahl ist, schließen: Wenn n eine ungerade Zahl ist, dann ist die Funktion y = x". seltsam; Wenn n eine gerade Zahl ist, dann ist die Funktion y = xn gerade.

Es gibt auch Funktionen, die weder gerade noch ungerade sind. Dies ist zum Beispiel die Funktion y = 2x + 3. Tatsächlich ist f(1) = 5 und f (-1) = 1. Wie Sie sehen können, ist hier also weder die Identität f(-x) = f ( x), noch die Identität f(-x) = -f(x).

Eine Funktion kann also gerade, ungerade oder keines von beidem sein.

Die Untersuchung, ob eine gegebene Funktion gerade oder ungerade ist, wird üblicherweise als Untersuchung der Parität bezeichnet.

Die Definitionen 1 und 2 beziehen sich auf die Werte der Funktion an den Punkten x und -x. Dies setzt voraus, dass die Funktion sowohl am Punkt x als auch am Punkt -x definiert ist. Dies bedeutet, dass Punkt -x gleichzeitig mit Punkt x zum Definitionsbereich der Funktion gehört. Wenn eine Zahlenmenge X zusammen mit jedem ihrer Elemente x auch das Gegenelement -x enthält, dann heißt X eine symmetrische Menge. Nehmen wir an, (-2, 2), [-5, 5], (-oo, +oo) sind symmetrische Mengen, während )