Extrahieren der Quadratwurzel einer vierstelligen Zahl. Wie finde ich die Quadratwurzel? Eigenschaften, Beispiele für die Wurzelextraktion. Bitweise Quadratwurzelberechnung

Schauen wir uns diesen Algorithmus anhand eines Beispiels an. Wir werden finden

1. Schritt. Wir teilen die Zahl unter der Wurzel in zweistellige Ziffern (von rechts nach links):

2. Schritt. Wir ziehen die Quadratwurzel aus der ersten Fläche, d. h. aus der Zahl 65 erhalten wir die Zahl 8. Unter die erste Fläche schreiben wir das Quadrat der Zahl 8 und subtrahieren. Dem Rest ordnen wir die zweite Fläche (59) zu:

(Nummer 159 ist der erste Rest).

3. Schritt. Wir verdoppeln die gefundene Wurzel und schreiben das Ergebnis links:

4. Schritt. Wir trennen rechts eine Ziffer im Rest (159) und links erhalten wir die Zahl der Zehner (sie ist gleich 15). Dann dividieren wir 15 durch das Doppelte der ersten Ziffer der Wurzel, also durch 16, da 15 nicht durch 16 teilbar ist, ergibt der Quotient Null, die wir als zweite Ziffer der Wurzel schreiben. Im Quotienten erhalten wir also die Zahl 80, die wir noch einmal verdoppeln und die nächste Kante entfernen

(Die Zahl 15.901 ist der zweite Rest).

5. Schritt. Im zweiten Rest trennen wir eine Ziffer von rechts und dividieren die resultierende Zahl 1590 durch 160. Das Ergebnis (Zahl 9) schreiben wir als dritte Ziffer der Wurzel und addieren es zur Zahl 160. Die resultierende Zahl 1609 multiplizieren wir mit 9 und finden Sie den nächsten Rest (1420):

Anschließend werden die Aktionen in der im Algorithmus vorgegebenen Reihenfolge ausgeführt (die Wurzel kann mit der erforderlichen Genauigkeit extrahiert werden).

Kommentar. Wenn der Wurzelausdruck ein Dezimalbruch ist, wird sein ganzer Teil in Kanten mit zwei Ziffern von rechts nach links geteilt, der Bruchteil besteht aus zwei Ziffern von links nach rechts und die Wurzel wird gemäß dem angegebenen Algorithmus extrahiert.

Didaktisches Material

1. Ziehen Sie die Quadratwurzel aus der Zahl: a) 32; b) 32,45; c) 249,5; d) 0,9511.

Im Vorwort zu seiner Erstausgabe „Im Königreich des Einfallsreichtums“ (1908) schreibt E. I. Ignatiev: „... intellektuelle Initiative, Schlagfertigkeit und „Einfallsreichtum“ können niemandem „eingebohrt“ oder „eingefleischt“ werden. Die Ergebnisse sind nur dann zuverlässig, wenn die Einführung in das Gebiet der mathematischen Kenntnisse auf einfache und angenehme Weise erfolgt, indem Gegenstände und Beispiele aus gewöhnlichen und alltäglichen Situationen verwendet werden, die mit angemessenem Witz und Unterhaltung ausgewählt werden.“

Im Vorwort zur Ausgabe von 1911 „Die Rolle des Gedächtnisses in der Mathematik“ E.I. Ignatiev schreibt: „... in der Mathematik sind es nicht die Formeln, die man sich merken sollte, sondern der Prozess des Denkens.“

Um die Quadratwurzel zu ziehen, gibt es Quadrattabellen für zweistellige Zahlen; Sie können die Zahl in Primfaktoren zerlegen und die Quadratwurzel aus dem Produkt ziehen. Eine Quadrattabelle reicht manchmal nicht aus; das Ziehen der Wurzel durch Faktorisieren ist eine zeitaufwändige Aufgabe, die auch nicht immer zum gewünschten Ergebnis führt. Versuchen Sie, die Quadratwurzel aus 209764 zu ziehen? Die Faktorisierung in Primfaktoren ergibt das Produkt 2*2*52441. Durch Ausprobieren und Auswählen – dies ist natürlich möglich, wenn Sie sicher sind, dass es sich um eine ganze Zahl handelt. Die Methode, die ich vorschlagen möchte, ermöglicht es Ihnen in jedem Fall, die Quadratwurzel zu ziehen.

Am Institut (Staatliches Pädagogisches Institut Perm) wurden wir einmal mit dieser Methode bekannt gemacht, über die ich jetzt sprechen möchte. Ich habe mich nie gefragt, ob es für diese Methode einen Beweis gibt, also musste ich jetzt einen Teil des Beweises selbst herleiten.

Grundlage dieser Methode ist die Zusammensetzung der Zahl =.

=&, d.h. & 2 =596334.

1. Teilen Sie die Zahl (5963364) von rechts nach links in Paare (5`96`33`64)

2. Extrahieren Sie die Quadratwurzel der ersten Gruppe links (- Nummer 2). So erhalten wir die erste Ziffer von &.

3. Finden Sie das Quadrat der ersten Ziffer (2 2 =4).

4. Ermitteln Sie die Differenz zwischen der ersten Gruppe und dem Quadrat der ersten Ziffer (5-4=1).

5. Wir notieren die nächsten beiden Ziffern (wir erhalten die Zahl 196).

6. Verdoppeln Sie die erste gefundene Ziffer und schreiben Sie sie links hinter die Zeile (2*2=4).

7. Jetzt müssen wir die zweite Ziffer der Zahl & finden: Das Doppelte der ersten gefundenen Ziffer wird zur Zehnerstelle der Zahl. Wenn Sie diese mit der Anzahl der Einheiten multiplizieren, müssen Sie eine Zahl kleiner als 196 erhalten (dies ist). die Zahl 4, 44*4=176). 4 ist die zweite Ziffer von &.

8. Finden Sie den Unterschied (196-176=20).

9. Wir zerstören die nächste Gruppe (wir erhalten die Nummer 2033).

10. Verdoppeln Sie die Zahl 24, wir erhalten 48.

Es gibt 11,48 Zehner in einer Zahl, wenn wir sie mit der Zahl der Einer multiplizieren, sollten wir eine Zahl kleiner als 2033 (484*4=1936) erhalten. Die Einerstelle, die wir gefunden haben (4), ist die dritte Ziffer der Zahl &.

Für folgende Fälle habe ich den Beweis erbracht:

1. Extrahieren der Quadratwurzel einer dreistelligen Zahl;

2. Extrahieren der Quadratwurzel einer vierstelligen Zahl.

Ungefähre Methoden zum Ziehen von Quadratwurzeln (ohne Verwendung eines Taschenrechners).

1. Die alten Babylonier verwendeten die folgende Methode, um den ungefähren Wert der Quadratwurzel ihrer Zahl x zu ermitteln. Sie stellten die Zahl x als die Summe a 2 + b dar, wobei a 2 das genaue Quadrat der natürlichen Zahl a (a 2 ? x) ist, die der Zahl x am nächsten liegt, und verwendeten die Formel . (1)

Mit Formel (1) ziehen wir beispielsweise die Quadratwurzel aus der Zahl 28:

Das Ergebnis der Wurzelextraktion aus 28 mit MK ist 5,2915026.

Wie Sie sehen, liefert die babylonische Methode eine gute Annäherung an den genauen Wert der Wurzel.

2. Isaac Newton entwickelte eine Methode zum Ziehen von Quadratwurzeln, die auf Heron von Alexandria (ca. 100 n. Chr.) zurückgeht. Diese Methode (bekannt als Newton-Methode) ist wie folgt.

Lassen eine 1- die erste Näherung einer Zahl (als 1 können Sie die Werte der Quadratwurzel einer natürlichen Zahl annehmen – ein exaktes Quadrat nicht größer als X) .

Als nächstes eine genauere Annäherung eine 2 Zahlen durch die Formel gefunden .

Das Berechnen (oder Extrahieren) der Quadratwurzel kann auf verschiedene Arten erfolgen, aber nicht alle sind sehr einfach. Einfacher ist es natürlich, einen Taschenrechner zu verwenden. Wenn dies jedoch nicht möglich ist (oder Sie das Wesen der Quadratwurzel verstehen möchten), kann ich Ihnen den folgenden Weg raten. Der Algorithmus lautet wie folgt:

Wenn Sie nicht die Kraft, Lust oder Geduld für solch langwierige Berechnungen haben, können Sie auf eine grobe Auswahl zurückgreifen. Der Vorteil besteht darin, dass sie unglaublich schnell und bei entsprechendem Einfallsreichtum genau ist. Beispiel:

Als ich in der Schule war (Anfang der 60er Jahre), wurde uns beigebracht, aus einer beliebigen Zahl die Quadratwurzel zu ziehen. Die Technik ist einfach und ähnelt äußerlich einer langen Division, aber um sie hier vorzustellen, sind eine halbe Stunde Zeit und 4-5.000 Zeichen Text erforderlich. Aber warum brauchen Sie das? Sie haben ein Telefon oder ein anderes Gerät, nm hat einen Taschenrechner. Auf jedem Computer gibt es einen Taschenrechner. Persönlich bevorzuge ich solche Berechnungen in Excel.

In der Schule ist es oft erforderlich, die Quadratwurzeln verschiedener Zahlen zu finden. Aber wenn wir es gewohnt sind, dafür ständig einen Taschenrechner zu verwenden, wird dies in Prüfungen nicht möglich sein, also müssen wir lernen, ohne die Hilfe eines Taschenrechners nach der Wurzel zu suchen. Und das ist grundsätzlich möglich.

Der Algorithmus ist wie folgt:

Schauen Sie sich zuerst die letzte Ziffer Ihrer Nummer an:

Zum Beispiel,

Jetzt müssen wir ungefähr den Wert für die Wurzel der Gruppe ganz links bestimmen

Wenn eine Zahl mehr als zwei Gruppen hat, müssen Sie die Wurzel wie folgt finden:

Aber die nächste Zahl sollte die größte sein, Sie müssen sie so wählen:

Jetzt müssen wir eine neue Zahl A bilden, indem wir die folgende Gruppe zum oben erhaltenen Rest hinzufügen.

In unseren Beispielen:

Die Spalte ist höher, und wenn mehr als fünfzehn Zeichen benötigt werden, ruhen Computer und Telefone mit Taschenrechnern meistens. Es bleibt zu prüfen, ob die Beschreibung der Technik 4-5.000 Zeichen benötigt.

Berm eine beliebige Zahl, vom Dezimalpunkt aus zählen wir Ziffernpaare nach rechts und links

Beispiel: 1234567890.098765432100

Ein Ziffernpaar ist wie eine zweistellige Zahl. Die Wurzel einer zweistelligen Zahl ist einstellig. Wir wählen eine einzelne Ziffer aus, deren Quadrat kleiner als das erste Ziffernpaar ist. In unserem Fall ist es 3.

Wie bei der Division durch eine Spalte schreiben wir dieses Quadrat unter das erste Paar und subtrahieren es vom ersten Paar. Das Ergebnis ist unterstrichen. 12 - 9 = 3. Addiere das zweite Zahlenpaar zu dieser Differenz (es ergibt 334). Links von der Anzahl der Bermen wird der doppelte Wert des bereits gefundenen Teils des Ergebnisses mit einer Zahl ergänzt (wir haben 2 * 6 = 6), sodass dies bei Multiplikation mit der nicht erhaltenen Zahl der Fall ist Die Zahl mit dem zweiten Ziffernpaar darf nicht überschritten werden. Wir erhalten, dass die gefundene Zahl fünf ist. Wir ermitteln erneut die Differenz (9), addieren das nächste Ziffernpaar, um 956 zu erhalten, schreiben erneut den verdoppelten Teil des Ergebnisses (70) aus, ergänzen ihn erneut mit der gewünschten Ziffer und so weiter, bis es aufhört. Oder auf die erforderliche Genauigkeit der Berechnungen.

Um die Quadratwurzel zu berechnen, müssen Sie zunächst die Multiplikationstabelle gut kennen. Die einfachsten Beispiele sind 25 (5 mal 5 = 25) und so weiter. Wenn Sie komplexere Zahlen verwenden, können Sie diese Tabelle verwenden, in der die horizontale Linie für Einheiten und die vertikale Linie für Zehner steht.



Es gibt eine gute Möglichkeit, die Wurzel einer Zahl ohne die Hilfe von Taschenrechnern zu ermitteln. Dazu benötigen Sie ein Lineal und einen Zirkel. Der Punkt ist, dass Sie auf dem Lineal den Wert finden, der unter Ihrer Wurzel liegt. Setzen Sie zum Beispiel ein Kreuz neben 9. Ihre Aufgabe besteht darin, diese Zahl in gleich viele Segmente, also in zwei Linien von jeweils 4,5 cm, und in ein gerades Segment zu unterteilen. Es ist leicht zu erraten, dass am Ende 3 Segmente von jeweils 3 Zentimetern herauskommen.

Die Methode ist nicht einfach und für große Zahlen nicht geeignet, kann aber ohne Taschenrechner berechnet werden.

Ohne die Hilfe eines Taschenrechners wurde die Methode zum Ziehen der Quadratwurzel zu Sowjetzeiten in der Schule in der 8. Klasse gelehrt.

Dazu müssen Sie eine mehrstellige Zahl von rechts nach links in Kanten von 2 Ziffern aufteilen :

Die erste Ziffer der Wurzel ist die ganze Wurzel der linken Seite, in diesem Fall 5.

Wir subtrahieren 5 zum Quadrat von 31, 31-25 = 6 und addieren die nächste Seite zur Sechs, wir haben 678.

Die nächste Ziffer x wird der doppelten Fünf zugeordnet, sodass

10x*x war das Maximum, aber weniger als 678.

x=6, da 106*6 = 636,

Jetzt berechnen wir 678 - 636 = 42 und addieren die nächste Kante 92, wir haben 4292.

Wieder suchen wir nach dem Maximum x, so dass 112x*x lt; 4292.

Antwort: Die Wurzel ist 563

Sie können so lange wie nötig fortfahren.

In manchen Fällen können Sie versuchen, die Wurzelzahl in zwei oder mehr Quadratfaktoren zu zerlegen.

Es ist auch nützlich, sich die Tabelle (oder zumindest einen Teil davon) zu merken – die Quadrate der natürlichen Zahlen von 10 bis 99.



Ich schlage eine Version vor, die ich erfunden habe, um die Quadratwurzel einer Spalte zu ziehen. Es unterscheidet sich vom allgemein bekannten bis auf die Auswahl der Zahlen. Aber wie ich später herausfand, gab es diese Methode schon viele Jahre vor meiner Geburt. Der große Isaac Newton beschrieb es in seinem Buch General Arithmetic oder einem Buch über arithmetische Synthese und Analyse. Hier präsentiere ich meine Vision und Begründung für den Algorithmus der Newton-Methode. Es besteht keine Notwendigkeit, sich den Algorithmus zu merken. Bei Bedarf können Sie einfach das Diagramm in der Abbildung als visuelle Hilfe verwenden.







Mit Hilfe von Tabellen können Sie nicht rechnen, sondern die Quadratwurzeln der in den Tabellen enthaltenen Zahlen ermitteln. Der einfachste Weg, nicht nur Quadratwurzeln, sondern auch andere Grade zu berechnen, ist die Methode der sukzessiven Approximation. Wenn wir zum Beispiel die Quadratwurzel aus 10739 berechnen, die letzten drei Ziffern durch Nullen ersetzen und die Wurzel aus 10000 ziehen, erhalten wir 100 mit einem Nachteil, also nehmen wir die Zahl 102, quadrieren sie und erhalten 10404, was ebenfalls weniger ist Als der angegebene Wert nehmen wir 103*103=10609 wieder mit einem Nachteil, wir nehmen 103,5*103,5=10712,25, nehmen noch mehr 103,6*103,6=10732, nehmen 103,7*103,7=10753,69, was bereits im Überschuss ist. Sie können die Wurzel aus 10739 als ungefähr gleich 103,6 annehmen. Genauer gesagt 10739=103,629... . . In ähnlicher Weise berechnen wir die Kubikwurzel, zunächst erhalten wir aus 10000 ungefähr 25*25*25=15625, was ein Überschuss ist, wir nehmen 22*22*22=10,648, wir nehmen etwas mehr als 22,06*22,06*22,06=10735 , was dem angegebenen sehr nahe kommt.

Es ist Zeit, das zu klären Wurzelextraktionsmethoden. Sie basieren auf den Eigenschaften von Wurzeln, insbesondere auf der Gleichheit, die für jede nichtnegative Zahl b gilt.

Im Folgenden werden wir uns die wichtigsten Methoden zum Extrahieren von Wurzeln einzeln ansehen.

Beginnen wir mit dem einfachsten Fall – dem Ziehen von Wurzeln aus natürlichen Zahlen mithilfe einer Quadrattabelle, einer Kubiktabelle usw.

Wenn Tabellen mit Quadraten, Würfeln usw. Wenn Sie es nicht zur Hand haben, ist es logisch, die Methode des Wurzelziehens zu verwenden, bei der die Wurzelzahl in Primfaktoren zerlegt wird.

Besonders hervorzuheben ist, was für Wurzeln mit ungeraden Exponenten möglich ist.

Betrachten wir abschließend eine Methode, mit der wir nacheinander die Ziffern des Wurzelwerts ermitteln können.

Lass uns anfangen.

Verwendung einer Quadrattabelle, einer Würfeltabelle usw.

Im einfachsten Fall ermöglichen Tabellen mit Quadraten, Würfeln usw. das Ziehen von Wurzeln. Was sind das für Tabellen?

Die Tabelle der Quadrate ganzer Zahlen von 0 bis einschließlich 99 (siehe unten) besteht aus zwei Zonen. Der erste Bereich der Tabelle befindet sich auf einem grauen Hintergrund; durch Auswahl einer bestimmten Zeile und einer bestimmten Spalte können Sie eine Zahl von 0 bis 99 zusammenstellen. Wählen wir zum Beispiel eine Reihe mit 8 Zehnern und eine Spalte mit 3 Einern aus. Damit haben wir die Zahl 83 festgelegt. Die zweite Zone belegt den Rest der Tabelle. Jede Zelle befindet sich am Schnittpunkt einer bestimmten Zeile und einer bestimmten Spalte und enthält das Quadrat der entsprechenden Zahl von 0 bis 99. Am Schnittpunkt der von uns gewählten Zehnerreihe und der Einer-Spalte 3 befindet sich eine Zelle mit der Zahl 6.889, die dem Quadrat der Zahl 83 entspricht.

Würfeltabellen, Tabellen der vierten Potenzen von Zahlen von 0 bis 99 usw. ähneln der Quadrattabelle, nur dass sie in der zweiten Zone Würfel, vierte Potenzen usw. enthalten. entsprechende Nummern.

Tabellen mit Quadraten, Würfeln, vierten Potenzen usw. Ermöglicht das Extrahieren von Quadratwurzeln, Kubikwurzeln, vierten Wurzeln usw. entsprechend aus den Zahlen in diesen Tabellen. Lassen Sie uns das Prinzip ihrer Verwendung bei der Wurzelextraktion erklären.

Nehmen wir an, wir müssen die n-te Wurzel der Zahl a ziehen, während die Zahl a in der Tabelle der n-ten Potenzen enthalten ist. Mithilfe dieser Tabelle finden wir die Zahl b mit a=b n. Dann Daher ist die Zahl b die gesuchte Wurzel n-ten Grades.

Als Beispiel zeigen wir, wie man eine Würfeltabelle verwendet, um die Kubikwurzel von 19.683 zu extrahieren. Wir finden die Zahl 19.683 in der Würfeltabelle, daraus finden wir, dass diese Zahl die Kubikzahl der Zahl 27 ist, also .

Es ist klar, dass Tabellen mit n-ten Potenzen sehr praktisch sind, um Wurzeln zu ziehen. Allerdings sind sie oft nicht zur Hand und ihre Zusammenstellung nimmt einige Zeit in Anspruch. Darüber hinaus ist es oft notwendig, Wurzeln aus Zahlen zu ziehen, die nicht in den entsprechenden Tabellen enthalten sind. In diesen Fällen müssen Sie auf andere Methoden der Wurzelextraktion zurückgreifen.

Zerlegen einer Wurzelzahl in Primfaktoren

Eine ziemlich bequeme Möglichkeit, die Wurzel einer natürlichen Zahl zu ziehen (sofern die Wurzel natürlich gezogen wird), besteht darin, die Wurzelzahl in Primfaktoren zu zerlegen. Sein Der Punkt ist dieser: Danach ist es ganz einfach, sie als Potenz mit dem gewünschten Exponenten darzustellen, wodurch Sie den Wert der Wurzel erhalten können. Lassen Sie uns diesen Punkt klären.

Nehmen wir die n-te Wurzel einer natürlichen Zahl a und ihr Wert ist gleich b. In diesem Fall gilt die Gleichung a=b n. Die Zahl b kann wie jede natürliche Zahl als Produkt aller ihrer Primfaktoren p 1 , p 2 , …, p m in der Form p 1 ·p 2 ·…·p m dargestellt werden, und in diesem Fall als Wurzelzahl a wird dargestellt als (p 1 ·p 2 ·…·p m) n . Da die Zerlegung einer Zahl in Primfaktoren eindeutig ist, hat die Zerlegung der Grundzahl a in Primfaktoren die Form (p 1 ·p 2 ·…·p m) n, was die Berechnung des Wertes der Wurzel ermöglicht als.

Beachten Sie, dass, wenn die Zerlegung einer Wurzelzahl a in Primfaktoren nicht in der Form (p 1 ·p 2 ·…·p m) n dargestellt werden kann, die n-te Wurzel einer solchen Zahl a nicht vollständig extrahiert wird.

Lassen Sie uns dies beim Lösen von Beispielen herausfinden.

Beispiel.

Ziehe die Quadratwurzel aus 144.

Lösung.

Wenn Sie sich die im vorherigen Absatz angegebene Quadrattabelle ansehen, können Sie deutlich erkennen, dass 144 = 12 · 2, woraus klar hervorgeht, dass die Quadratwurzel von 144 gleich 12 ist.

Vor diesem Hintergrund interessiert uns jedoch, wie die Wurzel gezogen wird, indem die Grundzahl 144 in Primfaktoren zerlegt wird. Schauen wir uns diese Lösung an.

Lasst uns zerlegen 144 zu Primfaktoren:

Das heißt, 144=2·2·2·2·3·3. Basierend auf der resultierenden Zerlegung können folgende Transformationen durchgeführt werden: 144=2·2·2·2·3·3=(2·2) 2·3 2 =(2·2·3) 2 =12 2. Somit, .

Unter Verwendung der Eigenschaften des Grades und der Eigenschaften der Wurzeln könnte die Lösung etwas anders formuliert werden: .

Antwort:

Um das Material zu festigen, betrachten Sie die Lösungen zu zwei weiteren Beispielen.

Beispiel.

Berechnen Sie den Wert der Wurzel.

Lösung.

Die Primfaktorzerlegung der Wurzelzahl 243 hat die Form 243=3 5 . Auf diese Weise, .

Antwort:

Beispiel.

Ist der Wurzelwert eine ganze Zahl?

Lösung.

Um diese Frage zu beantworten, zerlegen wir die Wurzelzahl in Primfaktoren und prüfen, ob sie als Kubikzahl einer ganzen Zahl dargestellt werden kann.

Wir haben 285 768=2 3 ·3 6 ·7 2. Die resultierende Entwicklung kann nicht als Kubikzahl einer ganzen Zahl dargestellt werden, da die Potenz des Primfaktors 7 kein Vielfaches von drei ist. Daher kann die Kubikwurzel von 285.768 nicht vollständig gezogen werden.

Antwort:

Nein.

Wurzeln aus Bruchzahlen ziehen

Es ist Zeit herauszufinden, wie man die Wurzel einer Bruchzahl zieht. Die gebrochene Wurzelzahl sei als p/q geschrieben. Gemäß der Eigenschaft der Wurzel eines Quotienten gilt die folgende Gleichheit. Aus dieser Gleichheit folgt Regel zum Ziehen der Wurzel eines Bruchs: Die Wurzel eines Bruchs ist gleich dem Quotienten aus der Wurzel des Zählers dividiert durch die Wurzel des Nenners.

Schauen wir uns ein Beispiel für das Ziehen einer Wurzel aus einem Bruch an.

Beispiel.

Was ist die Quadratwurzel des gemeinsamen Bruchs 25/169?

Lösung.

Mithilfe der Quadrattabelle finden wir, dass die Quadratwurzel des Zählers des ursprünglichen Bruchs gleich 5 und die Quadratwurzel des Nenners gleich 13 ist. Dann . Damit ist die Extraktion der Wurzel des gemeinsamen Bruchs 25/169 abgeschlossen.

Antwort:

Die Wurzel eines Dezimalbruchs oder einer gemischten Zahl wird extrahiert, nachdem die Wurzelzahlen durch gewöhnliche Brüche ersetzt wurden.

Beispiel.

Ziehen Sie die Kubikwurzel aus dem Dezimalbruch 474,552.

Lösung.

Stellen wir uns den ursprünglichen Dezimalbruch als gewöhnlichen Bruch vor: 474,552=474552/1000. Dann . Es müssen noch die Kubikwurzeln gezogen werden, die im Zähler und Nenner des resultierenden Bruchs stehen. Als 474 552=2·2·2·3·3·3·13·13·13=(2 3 13) 3 =78 3 und 1 000 = 10 3, dann Und . Jetzt müssen nur noch die Berechnungen abgeschlossen werden .

Antwort:

.

Ziehen Sie die Wurzel einer negativen Zahl

Es lohnt sich, näher auf das Ziehen von Wurzeln aus negativen Zahlen einzugehen. Bei der Untersuchung von Wurzeln haben wir gesagt, dass, wenn der Wurzelexponent eine ungerade Zahl ist, unter dem Wurzelzeichen eine negative Zahl stehen kann. Wir haben diesen Einträgen folgende Bedeutung gegeben: Für eine negative Zahl −a und einen ungeraden Exponenten der Wurzel 2 n−1, . Diese Gleichheit gibt Regel zum Ziehen ungerader Wurzeln aus negativen Zahlen: Um die Wurzel einer negativen Zahl zu ziehen, müssen Sie die Wurzel der entgegengesetzten positiven Zahl ziehen und dem Ergebnis ein Minuszeichen voranstellen.

Schauen wir uns die Beispiellösung an.

Beispiel.

Finden Sie den Wert der Wurzel.

Lösung.

Lassen Sie uns den ursprünglichen Ausdruck so umwandeln, dass unter dem Wurzelzeichen eine positive Zahl steht: . Ersetzen Sie nun die gemischte Zahl durch einen gewöhnlichen Bruch: . Wir wenden die Regel zum Ziehen der Wurzel eines gewöhnlichen Bruchs an: . Es müssen noch die Wurzeln im Zähler und Nenner des resultierenden Bruchs berechnet werden: .

Hier eine kurze Zusammenfassung der Lösung: .

Antwort:

.

Bitweise Bestimmung des Wurzelwerts

Im allgemeinen Fall steht unter der Wurzel eine Zahl, die mit den oben besprochenen Techniken nicht als n-te Potenz einer Zahl dargestellt werden kann. In diesem Fall besteht jedoch die Notwendigkeit, die Bedeutung einer bestimmten Wurzel zumindest bis zu einem bestimmten Zeichen zu kennen. In diesem Fall können Sie zum Extrahieren der Wurzel einen Algorithmus verwenden, der es Ihnen ermöglicht, nacheinander eine ausreichende Anzahl von Ziffernwerten der gewünschten Zahl zu erhalten.

Der erste Schritt dieses Algorithmus besteht darin, herauszufinden, welches das höchstwertige Bit des Wurzelwerts ist. Dazu werden die Zahlen 0, 10, 100, ... nacheinander so lange mit n potenziert, bis der Zeitpunkt erreicht ist, an dem eine Zahl die Wurzelzahl überschreitet. Dann gibt die Zahl, die wir im vorherigen Schritt zur Potenz n erhoben haben, die entsprechende höchstwertige Ziffer an.

Betrachten Sie diesen Schritt des Algorithmus beispielsweise beim Extrahieren der Quadratwurzel aus fünf. Nehmen Sie die Zahlen 0, 10, 100, ... und quadrieren Sie sie, bis wir eine Zahl größer als 5 erhalten. Wir haben 0 2 =0<5 , 10 2 =100>5, was bedeutet, dass die Einerstelle die höchstwertige Ziffer ist. Der Wert dieses Bits sowie der niedrigeren Werte wird in den nächsten Schritten des Root-Extraktionsalgorithmus ermittelt.

Alle nachfolgenden Schritte des Algorithmus zielen darauf ab, den Wert der Wurzel nacheinander zu klären, indem die Werte der nächsten Bits des gewünschten Wertes der Wurzel ermittelt werden, beginnend mit dem höchsten bis hin zu den niedrigsten. Beispielsweise stellt sich heraus, dass der Wert der Wurzel beim ersten Schritt 2 ist, beim zweiten – 2,2, beim dritten – 2,23 und so weiter 2,236067977…. Beschreiben wir, wie die Werte der Ziffern ermittelt werden.

Die Ziffern werden durch Durchsuchen ihrer möglichen Werte 0, 1, 2, ..., 9 gefunden. Dabei werden parallel die n-ten Potenzen der entsprechenden Zahlen berechnet und mit der Wurzelzahl verglichen. Wenn der Wert des Grades irgendwann die Grundzahl überschreitet, gilt der Wert der Ziffer, die dem vorherigen Wert entspricht, und der Übergang zum nächsten Schritt des Wurzelextraktionsalgorithmus erfolgt, wenn dies nicht geschieht. dann ist der Wert dieser Ziffer 9.

Lassen Sie uns diese Punkte anhand des gleichen Beispiels des Ziehens der Quadratwurzel aus fünf erläutern.

Zuerst ermitteln wir den Wert der Einerstelle. Wir gehen die Werte 0, 1, 2, ..., 9 durch und berechnen jeweils 0 2, 1 2, ..., 9 2, bis wir einen Wert erhalten, der größer als die Grundzahl 5 ist. Es ist zweckmäßig, alle diese Berechnungen in Form einer Tabelle darzustellen:

Der Wert der Einerstelle ist also 2 (da 2 2<5 , а 2 3 >5 ). Kommen wir nun dazu, den Wert des zehnten Platzes zu ermitteln. In diesem Fall quadrieren wir die Zahlen 2,0, 2,1, 2,2, ..., 2,9 und vergleichen die resultierenden Werte mit der Grundzahl 5:

Seit 2.2 2<5 , а 2,3 2 >5, dann ist der Wert der Zehntelstelle 2. Sie können mit der Ermittlung des Werts der Hundertstelstelle fortfahren:

So wurde der nächste Wert der Wurzel aus fünf gefunden, er beträgt 2,23. Und so können Sie weiterhin Werte finden: 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .

Um das Material zu konsolidieren, analysieren wir die Extraktion der Wurzel mit einer Genauigkeit von Hundertstel mit dem betrachteten Algorithmus.

Zuerst ermitteln wir die höchstwertige Ziffer. Dazu würfeln wir die Zahlen 0, 10, 100 usw. bis wir eine Zahl größer als 2.151.186 erhalten. Wir haben 0 3 =0<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151,186, die höchstwertige Ziffer ist also die Zehnerstelle.

Lassen Sie uns seinen Wert bestimmen.

Seit 10 3<2 151,186 , а 20 3 >2 151,186, dann ist der Wert der Zehnerstelle 1. Kommen wir zu den Einheiten.

Somit ist der Wert der Einerstelle 2. Kommen wir zu den Zehnteln.

Da sogar 12,9 3 kleiner als die Grundzahl 2 · 151,186 ist, beträgt der Wert der Zehntelstelle 9. Es bleibt noch der letzte Schritt des Algorithmus auszuführen; er wird uns den Wert der Wurzel mit der erforderlichen Genauigkeit liefern.

In diesem Stadium wird der Wert der Wurzel auf Hundertstel genau ermittelt: .

Zum Abschluss dieses Artikels möchte ich sagen, dass es viele andere Möglichkeiten gibt, Wurzeln zu ziehen. Aber für die meisten Aufgaben reichen die oben untersuchten aus.

Referenzliste.

• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: Lehrbuch für die 8. Klasse. Bildungsinstitutionen.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. und andere. Algebra und die Anfänge der Analysis: Lehrbuch für die Klassen 10 – 11 allgemeinbildender Einrichtungen.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Mathematik (ein Handbuch für Berufsanfänger).

Extrahieren der Wurzel einer großen Zahl. Liebe Freunde!In diesem Artikel zeigen wir Ihnen, wie Sie ohne Taschenrechner die Wurzel einer großen Zahl ziehen. Dies ist nicht nur für die Lösung bestimmter Arten von Problemen im Einheitlichen Staatsexamen erforderlich (einige erfordern Bewegung), sondern auch für die allgemeine mathematische Entwicklung ist es ratsam, diese Analysetechnik zu kennen.

Es scheint, dass alles einfach ist: Faktorisieren Sie es in Faktoren und extrahieren Sie es. Kein Problem. Beispielsweise ergibt die Zahl 291600, wenn sie erweitert wird, das Produkt:

Wir berechnen:

Es gibt ein ABER! Die Methode ist gut, wenn die Teiler 2, 3, 4 usw. leicht bestimmt werden können. Was aber, wenn die Zahl, aus der wir die Wurzel ziehen, ein Produkt von Primzahlen ist? Beispielsweise ist 152881 das Produkt der Zahlen 17, 17, 23, 23. Versuchen Sie gleich, diese Teiler zu finden.

Die Essenz der Methode, die wir betrachten- Das ist reine Analyse. Mit ausgeprägtem Geschick kann die Wurzel schnell gefunden werden. Wenn die Fertigkeit noch nicht geübt wurde, die Herangehensweise aber einfach verstanden wird, dann geht es etwas langsamer, aber dennoch zielstrebig.

Nehmen wir die Wurzel von 190969.

Lassen Sie uns zunächst bestimmen, zwischen welchen Zahlen (Vielfachen von Hundert) unser Ergebnis liegt.

Offensichtlich liegt das Ergebnis der Wurzelbildung aus dieser Zahl im Bereich von 400 bis 500, als

400 2 =160000 und 500 2 =250000

Wirklich:

in der Mitte, eher bei 160.000 oder 250.000?

Die Zahl 190969 liegt ungefähr in der Mitte, aber immer noch näher bei 160000. Wir können daraus schließen, dass das Ergebnis unserer Wurzel kleiner als 450 sein wird. Schauen wir uns an:

Tatsächlich sind es weniger als 450, seit 190.969< 202 500.

Schauen wir uns nun die Zahl 440 an:

Das bedeutet, dass unser Ergebnis seitdem weniger als 440 beträgt 190 969 < 193 600.

Überprüfung der Nummer 430:

Wir haben festgestellt, dass das Ergebnis dieser Wurzel im Bereich von 430 bis 440 liegt.

Das Produkt von Zahlen mit 1 oder 9 am Ende ergibt eine Zahl mit 1 am Ende. Beispielsweise entspricht 21 x 21 441.

Das Produkt von Zahlen mit 2 oder 8 am Ende ergibt eine Zahl mit 4 am Ende. Beispielsweise entspricht 18 x 18 324.

Das Produkt der Zahlen mit einer 5 am Ende ergibt eine Zahl mit einer 5 am Ende. Beispielsweise entspricht 25 x 25 625.

Das Produkt von Zahlen mit 4 oder 6 am Ende ergibt eine Zahl mit 6 am Ende. Beispielsweise entspricht 26 x 26 676.

Das Produkt von Zahlen mit 3 oder 7 am Ende ergibt eine Zahl mit 9 am Ende. Beispielsweise entspricht 17 mal 17 289.

Da die Zahl 190969 mit der Zahl 9 endet, ist sie das Produkt der Zahl 433 oder 437.

*Nur wenn sie quadriert werden, können sie am Ende eine 9 ergeben.

Wir überprüfen:

Das bedeutet, dass das Ergebnis der Wurzel 437 sein wird.

Das heißt, wir scheinen die richtige Antwort „gefunden“ zu haben.

Wie Sie sehen, sind maximal 5 Aktionen in einer Spalte erforderlich. Vielleicht treffen Sie gleich ins Schwarze oder machen nur drei Schritte. Es hängt alles davon ab, wie genau Sie Ihre anfängliche Schätzung der Zahl vornehmen.

Extrahieren Sie die Wurzel von 148996 selbst

Eine solche Diskriminante erhält man im Problem:

Das Motorschiff legt 336 km entlang des Flusses bis zu seinem Ziel zurück und kehrt nach dem Anhalten zu seinem Ausgangspunkt zurück. Ermitteln Sie die Geschwindigkeit des Schiffes in stillem Wasser, wenn die aktuelle Geschwindigkeit 5 km/h beträgt, der Aufenthalt 10 Stunden dauert und das Schiff 48 Stunden nach der Abfahrt zu seinem Abfahrtsort zurückkehrt. Geben Sie Ihre Antwort in km/h an.

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Das Ergebnis der Wurzelbildung liegt zwischen den Zahlen 300 und 400:

300 2 =90000 400 2 =160000

Tatsächlich 90000<148996<160000.

Der Kern der weiteren Überlegungen besteht darin, zu bestimmen, wie sich die Zahl 148996 relativ zu diesen Zahlen befindet (entfernt).

Berechnen wir die Unterschiede 148996 - 90000=58996 und 160000 - 148996=11004.

Es stellt sich heraus, dass 148996 nahe (viel näher) an 160000 liegt. Daher wird das Ergebnis der Wurzel auf jeden Fall größer als 350 und sogar 360 sein.

Wir können daraus schließen, dass unser Ergebnis größer als 370 ist. Außerdem ist es klar: Da 148996 mit der Zahl 6 endet, bedeutet dies, dass wir eine Zahl quadrieren müssen, die entweder auf 4 oder 6 endet. *Nur diese Zahlen ergeben, wenn sie quadriert werden, die Endzahl 6 .

Mit freundlichen Grüßen Alexander Krutitskikh.

P.S.: Ich wäre Ihnen dankbar, wenn Sie mir in den sozialen Netzwerken von der Seite erzählen würden.