heim » Wohnungsgestaltung » Der Kosinus des Winkels ist das Verhältnis des benachbarten Schenkels zur Hypotenuse. Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens: Definitionen in der Trigonometrie, Beispiele, Formeln

Der Kosinus des Winkels ist das Verhältnis des benachbarten Schenkels zur Hypotenuse. Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens: Definitionen in der Trigonometrie, Beispiele, Formeln

Die Konzepte Sinus (), Cosinus (), Tangens (), Kotangens () sind untrennbar mit dem Konzept des Winkels verbunden. Um diese auf den ersten Blick komplexen Konzepte (die bei vielen Schulkindern einen Zustand des Grauens auslösen) gut zu verstehen und um sicherzustellen, dass „der Teufel nicht so schrecklich ist, wie er dargestellt wird“, beginnen wir mit dem ganz am Anfang und verstehe das Konzept eines Winkels.

Winkelkonzept: Bogenmaß, Grad

Schauen wir uns das Bild an. Der Vektor hat sich relativ zum Punkt um einen bestimmten Betrag „gedreht“. Das Maß dieser Drehung relativ zur Ausgangsposition ist also Ecke.

Was müssen Sie sonst noch über das Konzept des Winkels wissen? Nun, natürlich, Winkeleinheiten!

Winkel können sowohl in der Geometrie als auch in der Trigonometrie in Grad und Bogenmaß gemessen werden.

Der Winkel (ein Grad) ist der Mittelpunktswinkel in einem Kreis, der von einem Kreisbogen begrenzt wird, der einem Teil des Kreises entspricht. Somit besteht der gesamte Kreis aus „Teilen“ von Kreisbögen, oder der vom Kreis beschriebene Winkel ist gleich.

Das heißt, die obige Abbildung zeigt einen Winkel gleich, das heißt, dieser Winkel ruht auf einem Kreisbogen mit der Größe des Umfangs.

Ein Winkel im Bogenmaß ist der Mittelpunktswinkel in einem Kreis, der von einem Kreisbogen begrenzt wird, dessen Länge gleich dem Radius des Kreises ist. Na, hast du es herausgefunden? Wenn nicht, dann lassen Sie es uns anhand der Zeichnung herausfinden.

Die Abbildung zeigt also einen Winkel gleich einem Bogenmaß, das heißt, dieser Winkel ruht auf einem Kreisbogen, dessen Länge gleich dem Radius des Kreises ist (die Länge ist gleich der Länge oder der Radius ist gleich der Länge des Bogens). Somit wird die Bogenlänge nach folgender Formel berechnet:

Wo ist der Mittelpunktswinkel im Bogenmaß?

Nun, wenn Sie das wissen, können Sie dann antworten, wie viele Bogenmaße in dem Winkel enthalten sind, der durch den Kreis beschrieben wird? Ja, dafür müssen Sie sich die Formel für den Umfang merken. Da ist sie:

Nun wollen wir diese beiden Formeln korrelieren und feststellen, dass der durch den Kreis beschriebene Winkel gleich ist. Das heißt, indem wir den Wert in Grad und Bogenmaß korrelieren, erhalten wir das. Jeweils, . Wie Sie sehen, wird im Gegensatz zu „Grad“ das Wort „Radiant“ weggelassen, da die Maßeinheit normalerweise aus dem Kontext klar hervorgeht.

Wie viele Radianten gibt es? Alles ist richtig!

Habe es? Dann machen Sie weiter und beheben Sie das Problem:

Haben Sie Schwierigkeiten? Dann schau Antworten:

Rechtwinkliges Dreieck: Sinus, Cosinus, Tangens, Winkelkotangens

Also haben wir das Konzept eines Winkels herausgefunden. Aber was sind Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens eines Winkels? Lass es uns herausfinden. Dabei hilft uns ein rechtwinkliges Dreieck.

Wie heißen die Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks? Richtig, Hypotenuse und Beine: Die Hypotenuse ist die Seite, die dem rechten Winkel gegenüberliegt (in unserem Beispiel ist das die Seite); die Beine sind die beiden verbleibenden Seiten und (diejenigen, die an den rechten Winkel angrenzen), und wenn wir die Beine relativ zum Winkel betrachten, dann ist das Bein das benachbarte Bein und das Bein das Gegenteil. Beantworten wir nun die Frage: Was sind Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens eines Winkels?

Winkelsinus- Dies ist das Verhältnis des gegenüberliegenden (entfernten) Beins zur Hypotenuse.

In unserem Dreieck.

Kosinus des Winkels- Dies ist das Verhältnis des angrenzenden (nahen) Schenkels zur Hypotenuse.

In unserem Dreieck.

Tangente des Winkels- Dies ist das Verhältnis der gegenüberliegenden (entfernten) Seite zur benachbarten (nahen).

In unserem Dreieck.

Kotangens des Winkels- Dies ist das Verhältnis des benachbarten (nahen) Beins zum gegenüberliegenden (fernen).

In unserem Dreieck.

Diese Definitionen sind notwendig erinnern! Damit Sie sich leichter merken können, welches Bein in was unterteilt werden soll, müssen Sie dies klar verstehen Tangente Und Kotangens nur die Beine sitzen und die Hypotenuse erscheint nur in Sinus Und Kosinus. Und dann kann man sich eine Assoziationskette ausdenken. Zum Beispiel dieses hier:

Kosinus→Berührung→Berührung→benachbart;

Kotangens→Berührung→Berührung→benachbart.

Zunächst müssen Sie bedenken, dass Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens als Verhältnisse der Seiten eines Dreiecks nicht von der Länge dieser Seiten (im gleichen Winkel) abhängen. Glaubst du nicht? Dann vergewissern Sie sich anhand des Bildes:

Betrachten Sie zum Beispiel den Kosinus eines Winkels. Per Definition aus einem Dreieck: , aber wir können den Kosinus eines Winkels aus einem Dreieck berechnen: . Sie sehen, die Längen der Seiten sind unterschiedlich, aber der Wert des Kosinus eines Winkels ist der gleiche. Somit hängen die Werte von Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens ausschließlich von der Größe des Winkels ab.

Wenn Sie die Definitionen verstanden haben, dann machen Sie weiter und festigen Sie sie!

Für das in der Abbildung unten gezeigte Dreieck finden wir.

Na, hast du es verstanden? Dann probieren Sie es selbst: Berechnen Sie das Gleiche auch für den Winkel.

Einheitskreis (trigonometrisch).

Nachdem wir die Konzepte von Grad und Bogenmaß verstanden hatten, betrachteten wir einen Kreis mit einem Radius gleich. Ein solcher Kreis heißt einzel. Es wird beim Studium der Trigonometrie sehr nützlich sein. Deshalb schauen wir uns das etwas genauer an.

Wie Sie sehen, ist dieser Kreis im kartesischen Koordinatensystem konstruiert. Der Radius des Kreises ist gleich eins, während der Mittelpunkt des Kreises im Koordinatenursprung liegt, ist die Anfangsposition des Radiusvektors entlang der positiven Richtung der Achse festgelegt (in unserem Beispiel ist dies der Radius).

Jeder Punkt auf dem Kreis entspricht zwei Zahlen: der Achsenkoordinate und der Achsenkoordinate. Was sind diese Koordinatenzahlen? Und was haben sie generell mit dem jeweiligen Thema zu tun? Dazu müssen wir uns an das betrachtete rechtwinklige Dreieck erinnern. In der Abbildung oben sehen Sie zwei ganze rechtwinklige Dreiecke. Betrachten Sie ein Dreieck. Es ist rechteckig, weil es senkrecht zur Achse steht.

Was ist das Dreieck gleich? Alles ist richtig. Darüber hinaus wissen wir, dass dies der Radius des Einheitskreises ist, was bedeutet. Setzen wir diesen Wert in unsere Formel für den Kosinus ein. Folgendes passiert:

Was ist das Dreieck gleich? Nun, natürlich, ! Setzen Sie den Radiuswert in diese Formel ein und erhalten Sie:

Können Sie also sagen, welche Koordinaten ein Punkt hat, der zu einem Kreis gehört? Nun ja, auf keinen Fall? Was wäre, wenn Sie das erkennen und nur Zahlen sind? Welcher Koordinate entspricht es? Na klar, die Koordinaten! Und welcher Koordinate entspricht es? Genau, Koordinaten! Also Punkt.

Was sind dann und gleich? Richtig, verwenden wir die entsprechenden Definitionen von Tangens und Kotangens und erhalten das: a.

Was ist, wenn der Winkel größer ist? Zum Beispiel wie auf diesem Bild:

Was hat sich in diesem Beispiel geändert? Lass es uns herausfinden. Dazu wenden wir uns noch einmal einem rechtwinkligen Dreieck zu. Betrachten Sie ein rechtwinkliges Dreieck: Winkel (als angrenzend an einen Winkel). Welche Werte haben Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens für einen Winkel? Richtig, wir halten uns an die entsprechenden Definitionen trigonometrischer Funktionen:

Nun, wie Sie sehen können, entspricht der Wert des Sinus des Winkels immer noch der Koordinate; der Wert des Kosinus des Winkels - die Koordinate; und die Werte von Tangens und Kotangens an die entsprechenden Verhältnisse. Somit gelten diese Beziehungen für jede Drehung des Radiusvektors.

Es wurde bereits erwähnt, dass die Anfangsposition des Radiusvektors entlang der positiven Richtung der Achse liegt. Bisher haben wir diesen Vektor gegen den Uhrzeigersinn gedreht, aber was passiert, wenn wir ihn im Uhrzeigersinn drehen? Nichts Außergewöhnliches, Sie erhalten auch einen Winkel mit einem bestimmten Wert, aber nur dieser ist negativ. Wenn wir also den Radiusvektor gegen den Uhrzeigersinn drehen, erhalten wir positive Winkel, und bei Drehung im Uhrzeigersinn - Negativ.

Wir wissen also, dass eine ganze Umdrehung des Radiusvektors um einen Kreis oder ist. Ist es möglich, den Radiusvektor nach oder nach zu drehen? Nun, natürlich können Sie das! Im ersten Fall macht der Radiusvektor daher eine volle Umdrehung und stoppt an der Position oder.

Im zweiten Fall macht der Radiusvektor drei volle Umdrehungen und stoppt an der Position oder.

Aus den obigen Beispielen können wir daher schließen, dass Winkel, die sich um oder (wobei eine beliebige ganze Zahl ist) unterscheiden, derselben Position des Radiusvektors entsprechen.

Die folgende Abbildung zeigt einen Winkel. Das gleiche Bild entspricht der Ecke usw. Diese Liste lässt sich beliebig fortsetzen. Alle diese Winkel können durch die allgemeine Formel oder (wobei eine beliebige ganze Zahl ist) geschrieben werden

Versuchen Sie nun, die Definitionen der grundlegenden trigonometrischen Funktionen zu kennen und den Einheitskreis zu verwenden, die Werte zu beantworten:

Hier ist ein Einheitskreis, der Ihnen helfen soll:

Haben Sie Schwierigkeiten? Dann lass es uns herausfinden. Wir wissen also:

Von hier aus bestimmen wir die Koordinaten der Punkte, die bestimmten Winkelmaßen entsprechen. Nun, fangen wir der Reihe nach an: Der Winkel entspricht einem Punkt mit Koordinaten, also:

Existiert nicht;

Wenn wir der gleichen Logik folgen, finden wir außerdem heraus, dass die Ecken jeweils Punkten mit Koordinaten entsprechen. Mit diesem Wissen ist es einfach, die Werte trigonometrischer Funktionen an den entsprechenden Punkten zu bestimmen. Probieren Sie es zunächst selbst aus und überprüfen Sie dann die Antworten.

Antworten:

Existiert nicht

Somit können wir die folgende Tabelle erstellen:

Es ist nicht nötig, sich alle diese Werte zu merken. Es reicht aus, sich an die Entsprechung zwischen den Koordinaten von Punkten auf dem Einheitskreis und den Werten trigonometrischer Funktionen zu erinnern:

Aber die Werte der trigonometrischen Funktionen der Winkel in und, angegeben in der folgenden Tabelle, muss in Erinnerung bleiben:

Haben Sie keine Angst, jetzt zeigen wir Ihnen ein Beispiel ganz einfach, sich die entsprechenden Werte zu merken:

Um diese Methode verwenden zu können, ist es wichtig, sich die Werte des Sinus für alle drei Winkelmaße () sowie den Wert des Tangens des Winkels zu merken. Wenn man diese Werte kennt, ist es ganz einfach, die gesamte Tabelle wiederherzustellen – die Kosinuswerte werden entsprechend den Pfeilen übertragen, das heißt:

Wenn Sie dies wissen, können Sie die Werte wiederherstellen. Der Zähler „ “ stimmt überein und der Nenner „ “ stimmt überein. Kotangenswerte werden gemäß den in der Abbildung angegebenen Pfeilen übertragen. Wenn Sie dies verstehen und sich das Diagramm mit den Pfeilen merken, reicht es aus, sich alle Werte aus der Tabelle zu merken.

Koordinaten eines Punktes auf einem Kreis

Ist es möglich, einen Punkt (seine Koordinaten) auf einem Kreis zu finden? Kenntnis der Koordinaten des Kreismittelpunkts, seines Radius und Drehwinkels?

Nun, natürlich können Sie das! Lass es uns rausholen allgemeine Formel zum Ermitteln der Koordinaten eines Punktes.

Hier ist zum Beispiel ein Kreis vor uns:

Wir wissen, dass der Punkt der Mittelpunkt des Kreises ist. Der Radius des Kreises ist gleich. Es ist notwendig, die Koordinaten eines Punktes zu ermitteln, indem man den Punkt um Grad dreht.

Wie aus der Abbildung ersichtlich ist, entspricht die Koordinate des Punktes der Länge des Segments. Die Länge des Segments entspricht der Koordinate des Kreismittelpunkts, ist also gleich. Die Länge eines Segments kann mit der Definition des Kosinus ausgedrückt werden:

Dann haben wir das für die Punktkoordinate.

Mit derselben Logik ermitteln wir den y-Koordinatenwert für den Punkt. Auf diese Weise,

Im Allgemeinen werden die Koordinaten von Punkten also durch die Formeln bestimmt:

Koordinaten des Kreismittelpunkts,

Kreisradius,

Der Drehwinkel des Vektorradius.

Wie Sie sehen können, sind diese Formeln für den Einheitskreis, den wir betrachten, erheblich reduziert, da die Koordinaten des Mittelpunkts gleich Null und der Radius gleich Eins sind:

Probieren wir diese Formeln aus, indem wir üben, Punkte auf einem Kreis zu finden.

1. Finden Sie die Koordinaten eines Punktes auf dem Einheitskreis, den Sie durch Drehen des Punktes erhalten.

2. Finden Sie die Koordinaten eines Punktes auf dem Einheitskreis, den Sie durch Drehen des Punktes erhalten.

3. Finden Sie die Koordinaten eines Punktes auf dem Einheitskreis, den Sie durch Drehen des Punktes erhalten.

4. Der Punkt ist der Mittelpunkt des Kreises. Der Radius des Kreises ist gleich. Es ist notwendig, die Koordinaten des Punktes zu finden, der durch Drehen des anfänglichen Radiusvektors um erhalten wird.

5. Der Punkt ist der Mittelpunkt des Kreises. Der Radius des Kreises ist gleich. Es ist notwendig, die Koordinaten des Punktes zu finden, der durch Drehen des anfänglichen Radiusvektors um erhalten wird.

Haben Sie Schwierigkeiten, die Koordinaten eines Punktes auf einem Kreis zu finden?

Lösen Sie diese fünf Beispiele (oder werden Sie darin gut), und Sie werden lernen, sie zu finden!

Das merkt man. Aber wir wissen, was einer vollständigen Umdrehung des Ausgangspunkts entspricht. Somit befindet sich der gewünschte Punkt in der gleichen Position wie beim Drehen. Mit diesem Wissen ermitteln wir die erforderlichen Koordinaten des Punktes:

2. Der Einheitskreis hat seinen Mittelpunkt in einem Punkt, was bedeutet, dass wir vereinfachte Formeln verwenden können:

Das merkt man. Wir wissen, was zwei vollen Umdrehungen des Startpunkts entspricht. Somit befindet sich der gewünschte Punkt in der gleichen Position wie beim Drehen. Mit diesem Wissen ermitteln wir die erforderlichen Koordinaten des Punktes:

Sinus und Cosinus sind Tabellenwerte. Wir erinnern uns an ihre Bedeutung und erhalten:

Somit hat der gewünschte Punkt Koordinaten.

3. Der Einheitskreis hat seinen Mittelpunkt in einem Punkt, was bedeutet, dass wir vereinfachte Formeln verwenden können:

Das merkt man. Lassen Sie uns das betreffende Beispiel in der Abbildung darstellen:

Der Radius bildet Winkel, die gleich und mit der Achse sind. Da wir wissen, dass die Tabellenwerte von Cosinus und Sinus gleich sind, und nachdem wir festgestellt haben, dass der Cosinus hier einen negativen Wert und der Sinus einen positiven Wert annimmt, haben wir:

Solche Beispiele werden beim Studium der Formeln zur Reduzierung trigonometrischer Funktionen im Thema ausführlicher besprochen.

Somit hat der gewünschte Punkt Koordinaten.

Drehwinkel des Radius des Vektors (nach Bedingung)

Um die entsprechenden Vorzeichen von Sinus und Cosinus zu bestimmen, konstruieren wir einen Einheitskreis und einen Einheitswinkel:

Wie Sie sehen, ist der Wert positiv und der Wert negativ. Wenn wir die Tabellenwerte der entsprechenden trigonometrischen Funktionen kennen, erhalten wir Folgendes:

Setzen wir die erhaltenen Werte in unsere Formel ein und ermitteln die Koordinaten:

Somit hat der gewünschte Punkt Koordinaten.

5. Um dieses Problem zu lösen, verwenden wir Formeln in allgemeiner Form, wo

Koordinaten des Kreismittelpunkts (in unserem Beispiel

Kreisradius (nach Bedingung)

Drehwinkel des Radius des Vektors (nach Bedingung).

Setzen wir alle Werte in die Formel ein und erhalten:

und - Tabellenwerte. Erinnern wir uns und setzen sie in die Formel ein:

Somit hat der gewünschte Punkt Koordinaten.

ZUSAMMENFASSUNG UND GRUNDFORMELN

Der Sinus eines Winkels ist das Verhältnis des gegenüberliegenden (fernen) Schenkels zur Hypotenuse.

Der Kosinus eines Winkels ist das Verhältnis des benachbarten (nahen) Schenkels zur Hypotenuse.

Der Tangens eines Winkels ist das Verhältnis der gegenüberliegenden (fernen) Seite zur benachbarten (nahen) Seite.

Der Kotangens eines Winkels ist das Verhältnis der benachbarten (nahen) Seite zur gegenüberliegenden (fernen) Seite.

Was Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens eines Winkels ist, wird Ihnen helfen, ein rechtwinkliges Dreieck zu verstehen.

Wie heißen die Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks? Richtig, Hypotenuse und Beine: Die Hypotenuse ist die Seite, die dem rechten Winkel gegenüberliegt (in unserem Beispiel ist das die Seite \(AC\)); Beine sind die beiden verbleibenden Seiten \(AB\) und \(BC\) (diejenigen, die an den rechten Winkel angrenzen), und wenn wir die Beine relativ zum Winkel \(BC\) betrachten, dann ist Bein \(AB\). das benachbarte Bein und Bein \(BC\) ist entgegengesetzt. Beantworten wir nun die Frage: Was sind Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens eines Winkels?

Winkelsinus– Dies ist das Verhältnis des gegenüberliegenden (entfernten) Beins zur Hypotenuse.

In unserem Dreieck:

\[ \sin \beta =\dfrac(BC)(AC) \]

Kosinus des Winkels– Dies ist das Verhältnis des benachbarten (nahen) Schenkels zur Hypotenuse.

In unserem Dreieck:

\[ \cos \beta =\dfrac(AB)(AC) \]

Tangente des Winkels– Dies ist das Verhältnis der gegenüberliegenden (entfernten) Seite zur benachbarten (nahen).

In unserem Dreieck:

\[ tg\beta =\dfrac(BC)(AB) \]

Kotangens des Winkels– Dies ist das Verhältnis des benachbarten (nahen) Beins zum gegenüberliegenden (fernen).

In unserem Dreieck:

\[ ctg\beta =\dfrac(AB)(BC) \]

Kosinus→Berührung→Berührung→benachbart;

Kotangens→Berührung→Berührung→benachbart.

Betrachten Sie zum Beispiel den Kosinus des Winkels \(\beta \). Per Definition aus einem Dreieck \(ABC\) : \(\cos \beta =\dfrac(AB)(AC)=\dfrac(4)(6)=\dfrac(2)(3) \), aber wir können den Kosinus des Winkels \(\beta \) aus dem Dreieck \(AHI \) berechnen: \(\cos \beta =\dfrac(AH)(AI)=\dfrac(6)(9)=\dfrac(2)(3) \). Sie sehen, die Längen der Seiten sind unterschiedlich, aber der Wert des Kosinus eines Winkels ist der gleiche. Somit hängen die Werte von Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens ausschließlich von der Größe des Winkels ab.

Wenn Sie die Definitionen verstanden haben, dann machen Sie weiter und festigen Sie sie!

Für das in der Abbildung unten gezeigte Dreieck \(ABC \) finden wir \(\sin \ \alpha ,\ \cos \ \alpha ,\ tg\ \alpha ,\ ctg\ \alpha \).

\(\begin(array)(l)\sin \ \alpha =\dfrac(4)(5)=0.8\\\cos \ \alpha =\dfrac(3)(5)=0.6\\ tg\ \alpha =\dfrac(4)(3)\\ctg\ \alpha =\dfrac(3)(4)=0.75\end(array) \)

Na, hast du es verstanden? Dann versuchen Sie es selbst: Berechnen Sie dasselbe für den Winkel \(\beta \) .

Antworten: \(\sin \ \beta =0.6;\ \cos \ \beta =0.8;\ tg\ \beta =0.75;\ ctg\ \beta =\dfrac(4)(3) \).

Einheitskreis (trigonometrisch).

Nachdem wir die Konzepte von Grad und Bogenmaß verstanden hatten, betrachteten wir einen Kreis mit einem Radius gleich \(1\) . Ein solcher Kreis heißt einzel. Es wird beim Studium der Trigonometrie sehr nützlich sein. Deshalb schauen wir uns das etwas genauer an.

Wie Sie sehen, ist dieser Kreis im kartesischen Koordinatensystem konstruiert. Der Radius des Kreises ist gleich eins, während der Mittelpunkt des Kreises im Koordinatenursprung liegt, ist die Anfangsposition des Radiusvektors entlang der positiven Richtung der \(x\)-Achse festgelegt (in unserem Beispiel dies). ist der Radius \(AB\)).

Jeder Punkt auf dem Kreis entspricht zwei Zahlen: der Koordinate entlang der \(x\)-Achse und der Koordinate entlang der \(y\)-Achse. Was sind diese Koordinatenzahlen? Und was haben sie generell mit dem jeweiligen Thema zu tun? Dazu müssen wir uns an das betrachtete rechtwinklige Dreieck erinnern. In der Abbildung oben sehen Sie zwei ganze rechtwinklige Dreiecke. Betrachten Sie das Dreieck \(ACG\) . Es ist rechteckig, weil \(CG\) senkrecht zur \(x\)-Achse steht.

Was ist \(\cos \ \alpha \) aus dem Dreieck \(ACG \)? Alles ist richtig \(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC) \). Darüber hinaus wissen wir, dass \(AC\) der Radius des Einheitskreises ist, was \(AC=1\) bedeutet. Setzen wir diesen Wert in unsere Formel für den Kosinus ein. Folgendes passiert:

\(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC)=\dfrac(AG)(1)=AG \).

Was ist \(\sin \ \alpha \) aus dem Dreieck \(ACG \) gleich? Nun, natürlich, \(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)\)! Setzen Sie den Wert des Radius \(AC\) in diese Formel ein und erhalten Sie:

\(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)=\dfrac(CG)(1)=CG \)

Können Sie also sagen, welche Koordinaten der zum Kreis gehörende Punkt \(C\) hat? Nun ja, auf keinen Fall? Was wäre, wenn Sie erkennen würden, dass \(\cos \ \alpha \) und \(\sin \alpha \) nur Zahlen sind? Welcher Koordinate entspricht \(\cos \alpha \)? Nun, natürlich die Koordinate \(x\)! Und welcher Koordinate entspricht \(\sin \alpha \)? Richtig, Koordinate \(y\)! Also der Punkt \(C(x;y)=C(\cos \alpha ;\sin \alpha) \).

Wie groß sind dann \(tg \alpha \) und \(ctg \alpha \) gleich? Das ist richtig, verwenden wir die entsprechenden Definitionen von Tangens und Kotangens und erhalten Sie das \(tg \alpha =\dfrac(\sin \alpha )(\cos \alpha )=\dfrac(y)(x) \), A \(ctg \alpha =\dfrac(\cos \alpha )(\sin \alpha )=\dfrac(x)(y) \).

Was ist, wenn der Winkel größer ist? Zum Beispiel wie auf diesem Bild:

Was hat sich in diesem Beispiel geändert? Lass es uns herausfinden. Dazu wenden wir uns noch einmal einem rechtwinkligen Dreieck zu. Betrachten Sie ein rechtwinkliges Dreieck \(((A)_(1))((C)_(1))G \) : Winkel (als Nachbarwinkel \(\beta \) ). Welchen Wert haben Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens für einen Winkel? \(((C)_(1))((A)_(1))G=180()^\circ -\beta \ \)? Richtig, wir halten uns an die entsprechenden Definitionen trigonometrischer Funktionen:

\(\begin(array)(l)\sin \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(( (A)_(1))((C)_(1)))=\dfrac(((C)_(1))G)(1)=((C)_(1))G=y; \\\cos \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((A)_(1)) ((C)_(1)))=\dfrac(((A)_(1))G)(1)=((A)_(1))G=x;\\tg\angle ((C )_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(((A)_(1))G)=\dfrac(y)( x);\\ctg\angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((C)_(1 ))G)=\dfrac(x)(y)\end(array) \)

Nun, wie Sie sehen können, entspricht der Wert des Sinus des Winkels immer noch der Koordinate \(y\); der Wert des Kosinus der Winkelkoordinate \(x\); und die Werte von Tangens und Kotangens an die entsprechenden Verhältnisse. Somit gelten diese Beziehungen für jede Drehung des Radiusvektors.

Es wurde bereits erwähnt, dass die Anfangsposition des Radiusvektors entlang der positiven Richtung der \(x\)-Achse liegt. Bisher haben wir diesen Vektor gegen den Uhrzeigersinn gedreht, aber was passiert, wenn wir ihn im Uhrzeigersinn drehen? Nichts Außergewöhnliches, Sie erhalten auch einen Winkel mit einem bestimmten Wert, aber nur dieser ist negativ. Wenn wir also den Radiusvektor gegen den Uhrzeigersinn drehen, erhalten wir positive Winkel, und bei Drehung im Uhrzeigersinn – Negativ.

Wir wissen also, dass die gesamte Drehung des Radiusvektors um den Kreis \(360()^\circ \) oder \(2\pi \) beträgt. Ist es möglich, den Radiusvektor um \(390()^\circ \) oder um \(-1140()^\circ \) zu drehen? Nun, natürlich können Sie das! Im ersten Fall, \(390()^\circ =360()^\circ +30()^\circ \), also macht der Radiusvektor eine volle Umdrehung und stoppt an der Position \(30()^\circ \) oder \(\dfrac(\pi )(6) \) .

Im zweiten Fall \(-1140()^\circ =-360()^\circ \cdot 3-60()^\circ \), das heißt, der Radiusvektor macht drei volle Umdrehungen und stoppt an der Position \(-60()^\circ \) oder \(-\dfrac(\pi )(3) \) .

Somit können wir aus den obigen Beispielen schließen, dass Winkel, die sich um \(360()^\circ \cdot m \) oder \(2\pi \cdot m \) unterscheiden (wobei \(m \) eine beliebige ganze Zahl ist), entsprechen der gleichen Position des Radiusvektors.

Die folgende Abbildung zeigt den Winkel \(\beta =-60()^\circ \) . Das gleiche Bild entspricht der Ecke \(-420()^\circ ,-780()^\circ ,\ 300()^\circ ,660()^\circ \) usw. Diese Liste lässt sich beliebig fortsetzen. Alle diese Winkel können durch die allgemeine Formel geschrieben werden \(\beta +360()^\circ \cdot m\) oder \(\beta +2\pi \cdot m \) (wobei \(m \) eine beliebige ganze Zahl ist)

\(\begin(array)(l)-420()^\circ =-60+360\cdot (-1);\\-780()^\circ =-60+360\cdot (-2); \\300()^\circ =-60+360\cdot 1;\\660()^\circ =-60+360\cdot 2.\end(array) \)

Versuchen Sie nun, die Definitionen der grundlegenden trigonometrischen Funktionen zu kennen und den Einheitskreis zu verwenden, die Werte zu beantworten:

\(\begin(array)(l)\sin \ 90()^\circ =?\\\cos \ 90()^\circ =?\\\text(tg)\ 90()^\circ =? \\\text(ctg)\ 90()^\circ =?\\\sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =?\\\cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =?\\\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =?\\\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =?\\\sin \ 270()^\circ =?\\\cos \ 270()^\circ =?\\\text(tg)\ 270()^\circ =?\\\text (ctg)\ 270()^\circ =?\\\sin \ 360()^\circ =?\\\cos \ 360()^\circ =?\\\text(tg)\ 360()^ \circ =?\\\text(ctg)\ 360()^\circ =?\\\sin \ 450()^\circ =?\\\cos \ 450()^\circ =?\\\text (tg)\ 450()^\circ =?\\\text(ctg)\ 450()^\circ =?\end(array) \)

Hier ist ein Einheitskreis, der Ihnen helfen soll:

Haben Sie Schwierigkeiten? Dann lass es uns herausfinden. Wir wissen also:

\(\begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos\alpha =x;\\tg\alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg\alpha =\dfrac(x )(y).\end(array)\)

Von hier aus bestimmen wir die Koordinaten der Punkte, die bestimmten Winkelmaßen entsprechen. Nun, fangen wir der Reihe nach an: Die Ecke rein \(90()^\circ =\dfrac(\pi )(2) \) entspricht einem Punkt mit den Koordinaten \(\left(0;1 \right) \) , also:

\(\sin 90()^\circ =y=1 \) ;

\(\cos 90()^\circ =x=0 \) ;

\(\text(tg)\ 90()^\circ =\dfrac(y)(x)=\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 90()^\circ \)- existiert nicht;

\(\text(ctg)\ 90()^\circ =\dfrac(x)(y)=\dfrac(0)(1)=0 \).

Wenn wir der gleichen Logik folgen, finden wir außerdem heraus, dass die Ecken in \(180()^\circ ,\ 270()^\circ ,\ 360()^\circ ,\ 450()^\circ (=360()^\circ +90()^\circ)\ \ ) entsprechen Punkten mit Koordinaten \(\left(-1;0 \right),\text( )\left(0;-1 \right),\text( )\left(1;0 \right),\text( )\left(0 ;1 \right) \), jeweils. Mit diesem Wissen ist es einfach, die Werte trigonometrischer Funktionen an den entsprechenden Punkten zu bestimmen. Probieren Sie es zunächst selbst aus und überprüfen Sie dann die Antworten.

Antworten:

\(\displaystyle \sin \180()^\circ =\sin \ \pi =0 \)

\(\displaystyle \cos \180()^\circ =\cos \ \pi =-1\)

\(\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ \pi \)- existiert nicht

\(\sin \270()^\circ =-1\)

\(\cos \ 270()^\circ =0 \)

\(\text(tg)\ 270()^\circ =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 270()^\circ \)- existiert nicht

\(\text(ctg)\ 270()^\circ =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\sin \ 360()^\circ =0 \)

\(\cos \360()^\circ =1\)

\(\text(tg)\ 360()^\circ =\dfrac(0)(1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 360()^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ 2\pi \)- existiert nicht

\(\sin \ 450()^\circ =\sin \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\sin \ 90()^\circ =1 \)

\(\cos \ 450()^\circ =\cos \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\cos \ 90()^\circ =0 \)

\(\text(tg)\ 450()^\circ =\text(tg)\ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(tg)\ 90() ^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 450()^\circ \)- existiert nicht

\(\text(ctg)\ 450()^\circ =\text(ctg)\left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(ctg)\ 90()^ \circ =\dfrac(0)(1)=0 \).

Somit können wir die folgende Tabelle erstellen:

\(\left. \begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos \alpha =x;\\tg \alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg \alpha =\ dfrac(x)(y).\end(array) \right\)\ \text(Sie müssen es sich merken oder anzeigen können!! \) !}

Aber die Werte der trigonometrischen Funktionen der Winkel in und \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4)\) Bitte beachten Sie Folgendes:

Keine Angst, jetzt zeigen wir Ihnen ein Beispiel für ein recht einfaches Auswendiglernen der entsprechenden Werte:

Um diese Methode verwenden zu können, ist es wichtig, sich die Sinuswerte für alle drei Winkelmaße zu merken ( \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4),\ 60()^\circ =\dfrac(\pi )(3)\)), sowie den Wert des Tangens des Winkels in \(30()^\circ \) . Wenn man diese \(4\)-Werte kennt, ist es ganz einfach, die gesamte Tabelle wiederherzustellen – die Kosinuswerte werden entsprechend den Pfeilen übertragen, das heißt:

\(\begin(array)(l)\sin 30()^\circ =\cos \ 60()^\circ =\dfrac(1)(2)\ \ \\\sin 45()^\circ = \cos \ 45()^\circ =\dfrac(\sqrt(2))(2)\\\sin 60()^\circ =\cos \ 30()^\circ =\dfrac(\sqrt(3 ))(2)\\end(array)\)

\(\text(tg)\ 30()^\circ \ =\dfrac(1)(\sqrt(3)) \) Wenn Sie dies wissen, können Sie die Werte für wiederherstellen \(\text(tg)\ 45()^\circ , \text(tg)\ 60()^\circ \). Der Zähler „\(1 \)“ entspricht \(\text(tg)\ 45()^\circ \ \) und der Nenner „\(\sqrt(\text(3)) \)“ entspricht \(\text (tg)\ 60()^\circ \ \) . Kotangenswerte werden gemäß den in der Abbildung angegebenen Pfeilen übertragen. Wenn Sie dies verstehen und sich das Diagramm mit den Pfeilen merken, reicht es aus, sich nur \(4\) Werte aus der Tabelle zu merken.

Koordinaten eines Punktes auf einem Kreis

Ist es möglich, einen Punkt (seine Koordinaten) auf einem Kreis zu finden, wenn man die Koordinaten des Kreismittelpunkts, seinen Radius und seinen Drehwinkel kennt? Nun, natürlich können Sie das! Lassen Sie uns eine allgemeine Formel zum Ermitteln der Koordinaten eines Punktes herleiten. Hier ist zum Beispiel ein Kreis vor uns:

Dieser Punkt ist uns gegeben \(K(((x)_(0));((y)_(0)))=K(3;2) \)- Mittelpunkt des Kreises. Der Radius des Kreises beträgt \(1,5\). Es ist notwendig, die Koordinaten des Punktes \(P\) zu finden, die man durch Drehen des Punktes \(O\) um \(\delta \) Grad erhält.

Wie aus der Abbildung ersichtlich ist, entspricht die Koordinate \(x\) des Punktes \(P\) der Länge des Segments \(TP=UQ=UK+KQ\). Die Länge des Segments \(UK\) entspricht der Koordinate \(x\) des Kreismittelpunkts, ist also gleich \(3\) . Die Länge des Segments \(KQ\) kann mithilfe der Definition des Kosinus ausgedrückt werden:

\(\cos \ \delta =\dfrac(KQ)(KP)=\dfrac(KQ)(r)\Rightarrow KQ=r\cdot \cos \ \delta \).

Dann haben wir für den Punkt \(P\) die Koordinate \(x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =3+1,5\cdot \cos \ \delta \).

Mit derselben Logik ermitteln wir den Wert der y-Koordinate für den Punkt \(P\). Auf diese Weise,

\(y=((y)_(0))+r\cdot \sin \\delta =2+1,5\cdot \sin \delta \).

Im Allgemeinen werden die Koordinaten von Punkten also durch die Formeln bestimmt:

\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta \\y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta \end(array) \), Wo

\(((x)_(0)),((y)_(0)) \) - Koordinaten des Kreismittelpunkts,

\(r\) - Radius des Kreises,

\(\delta \) – Drehwinkel des Vektorradius.

Wie Sie sehen können, sind diese Formeln für den Einheitskreis, den wir betrachten, erheblich reduziert, da die Koordinaten des Mittelpunkts gleich Null und der Radius gleich Eins sind:

\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =0+1\cdot \cos \ \delta =\cos \ \delta \\y =((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =0+1\cdot \sin \ \delta =\sin \ \delta \end(array) \)

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Einer der Bereiche der Mathematik, mit denen Schüler am meisten zu kämpfen haben, ist die Trigonometrie. Es ist nicht verwunderlich: Um dieses Wissensgebiet frei zu beherrschen, braucht man räumliches Denken, die Fähigkeit, Sinus, Cosinus, Tangens, Kotangens mithilfe von Formeln zu finden, Ausdrücke zu vereinfachen und die Zahl Pi in verwenden zu können Berechnungen. Darüber hinaus müssen Sie beim Beweisen von Theoremen in der Lage sein, die Trigonometrie anzuwenden, und dies erfordert entweder ein ausgeprägtes mathematisches Gedächtnis oder die Fähigkeit, komplexe logische Ketten abzuleiten.

Ursprünge der Trigonometrie

Um sich mit dieser Wissenschaft vertraut zu machen, sollten Sie mit der Definition von Sinus, Cosinus und Tangens eines Winkels beginnen. Zunächst müssen Sie jedoch verstehen, was die Trigonometrie im Allgemeinen bewirkt.

Historisch gesehen waren rechtwinklige Dreiecke das Hauptforschungsobjekt in diesem Zweig der Mathematik. Das Vorhandensein eines Winkels von 90 Grad ermöglicht die Durchführung verschiedener Operationen, die es ermöglichen, die Werte aller Parameter der betreffenden Figur anhand von zwei Seiten und einem Winkel oder zwei Winkeln und einer Seite zu bestimmen. In der Vergangenheit bemerkten die Menschen dieses Muster und begannen, es aktiv beim Bau von Gebäuden, in der Navigation, in der Astronomie und sogar in der Kunst zu nutzen.

Erste Stufe

Über den Zusammenhang zwischen Winkeln und Seiten wurde zunächst ausschließlich am Beispiel rechtwinkliger Dreiecke gesprochen. Dann wurden spezielle Formeln entdeckt, die es ermöglichten, die Einsatzgrenzen dieses Teilgebiets der Mathematik im Alltag zu erweitern.

Das Studium der Trigonometrie in der Schule beginnt heute mit rechtwinkligen Dreiecken, danach nutzen die Schüler die erworbenen Kenntnisse in Physik und lösen abstrakte trigonometrische Gleichungen, die in der High School beginnen.

Sphärische Trigonometrie

Später, als die Wissenschaft die nächste Entwicklungsstufe erreichte, wurden Formeln mit Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens in der Kugelgeometrie verwendet, wo andere Regeln gelten und die Winkelsumme in einem Dreieck immer mehr als 180 Grad beträgt. Dieser Abschnitt wird in der Schule nicht studiert, aber es ist notwendig, über seine Existenz Bescheid zu wissen, zumindest weil die Erdoberfläche und die Oberfläche jedes anderen Planeten konvex ist, was bedeutet, dass jede Oberflächenmarkierung in drei Teilen „bogenförmig“ ist -dimensionaler Raum.

Nimm den Globus und den Faden. Befestigen Sie den Faden an zwei beliebigen Punkten des Globus, sodass er gespannt ist. Bitte beachten Sie, dass es die Form eines Bogens angenommen hat. Mit solchen Formen befasst sich die Kugelgeometrie, die in der Geodäsie, Astronomie und anderen theoretischen und angewandten Bereichen Anwendung findet.

Rechtwinkliges Dreieck

Nachdem wir ein wenig über die Verwendungsmöglichkeiten der Trigonometrie gelernt haben, kehren wir zur grundlegenden Trigonometrie zurück, um besser zu verstehen, was Sinus, Cosinus und Tangens sind, welche Berechnungen mit ihrer Hilfe durchgeführt werden können und welche Formeln zu verwenden sind.

Der erste Schritt besteht darin, die Konzepte im Zusammenhang mit einem rechtwinkligen Dreieck zu verstehen. Erstens ist die Hypotenuse die Seite gegenüber dem 90-Grad-Winkel. Es ist das längste. Wir erinnern uns, dass nach dem Satz des Pythagoras sein numerischer Wert gleich der Wurzel der Summe der Quadrate der beiden anderen Seiten ist.

Wenn die beiden Seiten beispielsweise 3 bzw. 4 Zentimeter lang sind, beträgt die Länge der Hypotenuse 5 Zentimeter. Das wussten übrigens schon die alten Ägypter vor etwa viereinhalbtausend Jahren.

Die beiden verbleibenden Seiten, die einen rechten Winkel bilden, werden Beine genannt. Darüber hinaus müssen wir bedenken, dass die Summe der Winkel in einem Dreieck in einem rechtwinkligen Koordinatensystem 180 Grad beträgt.

Definition

Mit einem guten Verständnis der geometrischen Grundlagen kann man sich schließlich der Definition von Sinus, Cosinus und Tangens eines Winkels zuwenden.

Der Sinus eines Winkels ist das Verhältnis des gegenüberliegenden Schenkels (d. h. der dem gewünschten Winkel gegenüberliegenden Seite) zur Hypotenuse. Der Kosinus eines Winkels ist das Verhältnis der Ankathete zur Hypotenuse.

Denken Sie daran, dass weder Sinus noch Cosinus größer als eins sein können! Warum? Weil die Hypotenuse standardmäßig die längste ist, egal wie lang das Bein ist, sie wird kürzer als die Hypotenuse sein, was bedeutet, dass ihr Verhältnis immer kleiner als eins ist. Wenn Sie also in Ihrer Antwort auf eine Aufgabe einen Sinus- oder Kosinuswert mit einem Wert größer als 1 erhalten, suchen Sie nach einem Fehler in den Berechnungen oder der Argumentation. Diese Antwort ist eindeutig falsch.

Schließlich ist der Tangens eines Winkels das Verhältnis der Gegenseite zur Nachbarseite. Die Division des Sinus durch den Cosinus führt zum gleichen Ergebnis. Schauen Sie: Gemäß der Formel dividieren wir die Länge der Seite durch die Hypotenuse, dividieren dann durch die Länge der zweiten Seite und multiplizieren mit der Hypotenuse. Somit erhalten wir die gleiche Beziehung wie bei der Definition der Tangente.

Der Kotangens ist dementsprechend das Verhältnis der an die Ecke angrenzenden Seite zur gegenüberliegenden Seite. Das gleiche Ergebnis erhalten wir, wenn wir eins durch die Tangente dividieren.

Wir haben uns also die Definitionen von Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens angesehen und können nun mit den Formeln fortfahren.

Die einfachsten Formeln

In der Trigonometrie kommt man ohne Formeln nicht aus – wie findet man Sinus, Cosinus, Tangens, Kotangens ohne sie? Aber genau das ist bei der Lösung von Problemen erforderlich.

Die erste Formel, die Sie kennen müssen, wenn Sie mit dem Studium der Trigonometrie beginnen, besagt, dass die Summe der Quadrate von Sinus und Cosinus eines Winkels gleich eins ist. Diese Formel ist eine direkte Folge des Satzes des Pythagoras, spart jedoch Zeit, wenn Sie die Größe des Winkels und nicht die Seite kennen müssen.

Viele Schüler können sich nicht an die zweite Formel erinnern, die auch bei der Lösung von Schulaufgaben sehr beliebt ist: Die Summe aus eins und dem Quadrat des Tangens eines Winkels ist gleich eins geteilt durch das Quadrat des Kosinus des Winkels. Schauen Sie genauer hin: Dies ist die gleiche Aussage wie in der ersten Formel, nur dass beide Seiten der Identität durch das Quadrat des Kosinus geteilt wurden. Es stellt sich heraus, dass eine einfache mathematische Operation die trigonometrische Formel völlig unkenntlich macht. Denken Sie daran: Wenn Sie Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens, Transformationsregeln und einige Grundformeln kennen, können Sie jederzeit die erforderlichen komplexeren Formeln auf einem Blatt Papier ableiten.

Formeln für Doppelwinkel und Addition von Argumenten

Zwei weitere Formeln, die Sie lernen müssen, beziehen sich auf die Werte von Sinus und Cosinus für die Summe und Differenz von Winkeln. Sie sind in der folgenden Abbildung dargestellt. Bitte beachten Sie, dass im ersten Fall Sinus und Cosinus beide Male multipliziert werden und im zweiten Fall das paarweise Produkt aus Sinus und Cosinus addiert wird.

Es gibt auch Formeln, die mit Doppelwinkelargumenten verknüpft sind. Sie sind vollständig von den vorherigen abgeleitet. Versuchen Sie in der Praxis, sie selbst zu erhalten, indem Sie den Alpha-Winkel gleich dem Beta-Winkel nehmen.

Beachten Sie abschließend, dass Doppelwinkelformeln neu angeordnet werden können, um die Potenz von Sinus, Cosinus und Tangens Alpha zu reduzieren.

Theoreme

Die beiden Hauptsätze der grundlegenden Trigonometrie sind der Sinussatz und der Kosinussatz. Mit Hilfe dieser Theoreme können Sie leicht verstehen, wie Sie Sinus, Cosinus und Tangens und damit die Fläche der Figur und die Größe jeder Seite usw. ermitteln.

Der Sinussatz besagt, dass die Division der Länge jeder Seite eines Dreiecks durch den entgegengesetzten Winkel dieselbe Zahl ergibt. Darüber hinaus entspricht diese Zahl zwei Radien des umschriebenen Kreises, also des Kreises, der alle Punkte eines gegebenen Dreiecks enthält.

Der Kosinussatz verallgemeinert den Satz des Pythagoras und projiziert ihn auf beliebige Dreiecke. Es stellt sich heraus, dass man von der Summe der Quadrate der beiden Seiten deren Produkt multipliziert mit dem doppelten Kosinus des angrenzenden Winkels subtrahiert – der resultierende Wert ist gleich dem Quadrat der dritten Seite. Somit erweist sich der Satz des Pythagoras als Sonderfall des Kosinussatzes.

Flüchtigkeitsfehler

Selbst wenn man weiß, was Sinus, Cosinus und Tangens sind, kann man aufgrund von Geistesabwesenheit oder einem Fehler bei den einfachsten Berechnungen leicht einen Fehler machen. Um solche Fehler zu vermeiden, werfen wir einen Blick auf die beliebtesten.

Erstens sollten Sie Brüche nicht in Dezimalzahlen umwandeln, bis Sie das Endergebnis erhalten. Sie können das Ergebnis als Bruch belassen, sofern in den Bedingungen nichts anderes angegeben ist. Eine solche Transformation kann nicht als Fehler bezeichnet werden, es sollte jedoch beachtet werden, dass in jeder Phase des Problems neue Wurzeln entstehen können, die nach Ansicht des Autors reduziert werden sollten. In diesem Fall verschwenden Sie Ihre Zeit mit unnötigen mathematischen Operationen. Dies gilt insbesondere für Werte wie die Wurzel aus drei oder die Wurzel aus zwei, da sie bei jedem Schritt in Problemen vorkommen. Das Gleiche gilt für das Runden „hässlicher“ Zahlen.

Beachten Sie außerdem, dass der Kosinussatz auf jedes Dreieck anwendbar ist, nicht jedoch der Satz des Pythagoras! Wenn Sie versehentlich vergessen, das Doppelte des Produkts aus den Seiten multipliziert mit dem Kosinus des Winkels zwischen ihnen zu subtrahieren, erhalten Sie nicht nur ein völlig falsches Ergebnis, sondern demonstrieren auch ein völliges Unverständnis für das Thema. Das ist schlimmer als ein Flüchtigkeitsfehler.

Drittens verwechseln Sie nicht die Werte für Winkel von 30 und 60 Grad für Sinus, Cosinus, Tangens, Kotangens. Merken Sie sich diese Werte, denn der Sinus von 30 Grad ist gleich dem Kosinus von 60 und umgekehrt. Es ist leicht, sie zu verwechseln, was unweigerlich zu einem falschen Ergebnis führt.

Anwendung

Viele Studierende haben es nicht eilig, mit dem Studium der Trigonometrie zu beginnen, weil sie deren praktische Bedeutung nicht verstehen. Was ist Sinus, Cosinus, Tangens für einen Ingenieur oder Astronomen? Dabei handelt es sich um Konzepte, mit denen man die Entfernung zu entfernten Sternen berechnen, den Fall eines Meteoriten vorhersagen oder eine Forschungssonde zu einem anderen Planeten schicken kann. Ohne sie ist es unmöglich, ein Gebäude zu bauen, ein Auto zu entwerfen, die Belastung einer Oberfläche oder die Flugbahn eines Objekts zu berechnen. Und das sind nur die offensichtlichsten Beispiele! Schließlich wird Trigonometrie in der einen oder anderen Form überall verwendet, von der Musik bis zur Medizin.

Abschließend

Sie sind also Sinus, Cosinus, Tangens. Sie können sie in Berechnungen verwenden und Schulprobleme erfolgreich lösen.

Der Sinn der Trigonometrie besteht darin, dass man mithilfe der bekannten Parameter eines Dreiecks die Unbekannten berechnen muss. Insgesamt gibt es sechs Parameter: die Länge von drei Seiten und die Größe von drei Winkeln. Der einzige Unterschied bei den Aufgaben besteht darin, dass unterschiedliche Eingabedaten angegeben werden.

Sie wissen jetzt, wie Sie Sinus, Cosinus und Tangens anhand der bekannten Längen der Beine oder der Hypotenuse ermitteln. Da diese Begriffe nichts anderes als ein Verhältnis bedeuten und ein Verhältnis ein Bruch ist, besteht das Hauptziel einer trigonometrischen Aufgabe darin, die Wurzeln einer gewöhnlichen Gleichung oder eines Gleichungssystems zu finden. Und hier hilft Ihnen die reguläre Schulmathematik.

Sinus Der spitze Winkel α eines rechtwinkligen Dreiecks ist das Verhältnis Gegenteil Bein zur Hypotenuse.
Es wird wie folgt bezeichnet: sin α.

Kosinus Der spitze Winkel α eines rechtwinkligen Dreiecks ist das Verhältnis des benachbarten Schenkels zur Hypotenuse.
Er wird wie folgt bezeichnet: cos α.

Tangente Der spitze Winkel α ist das Verhältnis der Gegenseite zur Nachbarseite.
Es wird wie folgt bezeichnet: tg α.

Kotangens Der spitze Winkel α ist das Verhältnis der Anliegerseite zur Gegenseite.
Es wird wie folgt bezeichnet: ctg α.

Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens eines Winkels hängen nur von der Größe des Winkels ab.

Regeln:

Grundlegende trigonometrische Identitäten in einem rechtwinkligen Dreieck:

(α - spitzer Winkel gegenüber dem Bein B und neben dem Bein A . Seite Mit – Hypotenuse. β – zweiter spitzer Winkel).

B Sünde α = - C	sin 2 α + cos 2 α = 1
A cos α = - C	1 1 + tan 2 α = -- cos 2 α
B tan α = - A	1 1 + cotg 2 α = -- Sünde 2 α
A ctg α = - B	1 1 1 + -- = -- tan 2 α sin 2 α
Sünde α tg α = -- cos α

Mit zunehmendem spitzen Winkelsin α undtan α-Erhöhung undcos α nimmt ab.

Für jeden spitzen Winkel α:

sin (90° – α) = cos α

cos (90° – α) = sin α

Beispiel-Erklärung:

Lassen Sie ein rechtwinkliges Dreieck ABC ein
AB = 6,
BC = 3,
Winkel A = 30º.

Lassen Sie uns den Sinus von Winkel A und den Kosinus von Winkel B herausfinden.

Lösung .

1) Zuerst ermitteln wir den Wert des Winkels B. Hier ist alles einfach: Da in einem rechtwinkligen Dreieck die Summe der spitzen Winkel 90° beträgt, dann ist Winkel B = 60°:

B = 90º – 30º = 60º.

2) Berechnen wir Sin A. Wir wissen, dass der Sinus gleich dem Verhältnis der Gegenkathete zur Hypotenuse ist. Für Winkel A ist die gegenüberliegende Seite die Seite BC. Also:

Chr. 3 1
Sünde A = -- = - = -
AB 6 2

3) Berechnen wir nun den Kosinus B. Wir wissen, dass der Kosinus gleich dem Verhältnis des benachbarten Schenkels zur Hypotenuse ist. Für Winkel B ist der benachbarte Schenkel dieselbe Seite BC. Das bedeutet, dass wir BC erneut durch AB dividieren müssen – also die gleichen Aktionen ausführen wie bei der Berechnung des Sinus des Winkels A:

Chr. 3 1
cos B = -- = - = -
AB 6 2

Das Ergebnis ist:
sin A = cos B = 1/2.

sin 30º = cos 60º = 1/2.

Daraus folgt, dass in einem rechtwinkligen Dreieck der Sinus eines spitzen Winkels gleich dem Kosinus des anderen spitzen Winkels ist – und umgekehrt. Genau das bedeuten unsere beiden Formeln:
sin (90° – α) = cos α
cos (90° – α) = sin α

Stellen wir das noch einmal sicher:

1) Sei α = 60º. Wenn wir den Wert von α in die Sinusformel einsetzen, erhalten wir:
sin (90º – 60º) = cos 60º.
sin 30º = cos 60º.

2) Sei α = 30º. Wenn wir den Wert von α in die Kosinusformel einsetzen, erhalten wir:
cos (90° – 30º) = sin 30º.
cos 60° = sin 30°.

(Weitere Informationen zur Trigonometrie finden Sie im Abschnitt Algebra.)

Wir beginnen unser Studium der Trigonometrie mit dem rechtwinkligen Dreieck. Lassen Sie uns definieren, was Sinus und Cosinus sowie Tangens und Kotangens eines spitzen Winkels sind. Dies sind die Grundlagen der Trigonometrie.

Erinnern wir uns daran rechter Winkel ist ein Winkel von 90 Grad. Mit anderen Worten, ein halber Drehwinkel.

Scharfe Ecke- weniger als 90 Grad.

Stumpfer Winkel- größer als 90 Grad. In Bezug auf einen solchen Winkel ist „stumpf“ keine Beleidigung, sondern ein mathematischer Begriff :-)

Zeichnen wir ein rechtwinkliges Dreieck. Ein rechter Winkel wird üblicherweise mit bezeichnet. Bitte beachten Sie, dass die Seite gegenüber der Ecke mit demselben Buchstaben gekennzeichnet ist, nur klein. Daher wird die dem Winkel A gegenüberliegende Seite mit bezeichnet.

Der Winkel wird mit dem entsprechenden griechischen Buchstaben bezeichnet.

Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks ist die dem rechten Winkel gegenüberliegende Seite.

Beine- gegenüberliegende Seiten mit spitzen Winkeln.

Das dem Winkel gegenüberliegende Bein wird aufgerufen Gegenteil(relativ zum Winkel). Das andere Bein, das auf einer der Seiten des Winkels liegt, wird aufgerufen benachbart.

Sinus Der spitze Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck ist das Verhältnis der gegenüberliegenden Seite zur Hypotenuse:

Kosinus spitzer Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck - das Verhältnis des angrenzenden Beins zur Hypotenuse:

Tangente spitzer Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck - das Verhältnis der gegenüberliegenden Seite zur angrenzenden:

Eine andere (äquivalente) Definition: Der Tangens eines spitzen Winkels ist das Verhältnis des Sinus des Winkels zu seinem Kosinus:

Kotangens spitzer Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck - das Verhältnis der angrenzenden Seite zur gegenüberliegenden Seite (oder, was dasselbe ist, das Verhältnis von Kosinus zu Sinus):

Beachten Sie unten die grundlegenden Beziehungen für Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens. Sie werden uns bei der Lösung von Problemen nützlich sein.

Lassen Sie uns einige davon beweisen.

Okay, wir haben Definitionen gegeben und Formeln aufgeschrieben. Aber warum brauchen wir noch Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens?

Wir wissen das Die Summe der Winkel eines beliebigen Dreiecks ist gleich.

Wir kennen die Beziehung zwischen Parteien rechtwinkliges Dreieck. Dies ist der Satz des Pythagoras: .

Es stellt sich heraus, dass man, wenn man zwei Winkel in einem Dreieck kennt, den dritten finden kann. Wenn Sie die beiden Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks kennen, können Sie die dritte finden. Das bedeutet, dass die Winkel ihr eigenes Verhältnis haben und die Seiten ihr eigenes. Aber was sollten Sie tun, wenn Sie in einem rechtwinkligen Dreieck einen Winkel (außer dem rechten Winkel) und eine Seite kennen, die anderen Seiten aber finden müssen?

Das ist es, was Menschen früher erlebt haben, als sie Karten der Umgebung und des Sternenhimmels erstellt haben. Schließlich ist es nicht immer möglich, alle Seiten eines Dreiecks direkt zu messen.

Sinus, Cosinus und Tangens – sie werden auch genannt trigonometrische Winkelfunktionen- Beziehungen zwischen angeben Parteien Und Ecken Dreieck. Wenn Sie den Winkel kennen, können Sie alle seine trigonometrischen Funktionen anhand spezieller Tabellen finden. Und wenn Sie die Sinus-, Cosinus- und Tangenswerte der Winkel eines Dreiecks und einer seiner Seiten kennen, können Sie den Rest finden.

Wir werden auch eine Tabelle mit den Werten von Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens für „gute“ Winkel von bis zeichnen.

Bitte beachten Sie die beiden roten Striche in der Tabelle. Bei geeigneten Winkelwerten existieren weder Tangens noch Kotangens.

Schauen wir uns einige Trigonometrieprobleme aus der FIPI Task Bank an.

1. In einem Dreieck beträgt der Winkel , . Finden .

Das Problem ist in vier Sekunden gelöst.

Weil das , .

2. In einem Dreieck beträgt der Winkel , , . Finden .

Finden wir es mithilfe des Satzes des Pythagoras.

Das Problem ist behoben.

Bei Problemen gibt es oft Dreiecke mit Winkeln und oder mit Winkeln und. Merken Sie sich die Grundverhältnisse für sie auswendig!

Für ein Dreieck mit Winkeln ist der gegenüberliegende Schenkel gleich die Hälfte der Hypotenuse.

Ein Dreieck mit Winkeln und ist gleichschenklig. Darin ist die Hypotenuse um ein Vielfaches größer als das Bein.

Wir haben uns mit Problemen befasst, die rechtwinklige Dreiecke lösen, also unbekannte Seiten oder Winkel finden. Aber das ist nicht alles! Im Einheitlichen Staatsexamen in Mathematik gibt es viele Probleme, bei denen es um Sinus, Kosinus, Tangens oder Kotangens eines Außenwinkels eines Dreiecks geht. Mehr dazu im nächsten Artikel.

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