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Posherstnik löst logische Gleichungen mithilfe der Methode zur Identifizierung von Variablen. Lösen Sie eine logische Gleichung. Logische Gleichungen lösen

Die Verwendung von Gleichungen ist in unserem Leben weit verbreitet. Sie werden in vielen Berechnungen, beim Bau von Bauwerken und sogar im Sport eingesetzt. Der Mensch benutzte Gleichungen schon in der Antike, und seitdem hat ihre Verwendung nur noch zugenommen. In der Mathematik gibt es bestimmte Probleme, die sich mit der Aussagenlogik befassen. Um diese Art von Gleichung zu lösen, müssen Sie über ein gewisses Maß an Wissen verfügen: Kenntnis der Gesetze der Aussagenlogik, Kenntnis der Wahrheitstabellen logischer Funktionen von 1 oder 2 Variablen, Methoden zur Konvertierung logischer Ausdrücke. Darüber hinaus müssen Sie die folgenden Eigenschaften logischer Operationen kennen: Konjunktion, Disjunktion, Inversion, Implikation und Äquivalenz.

Jede logische Funktion von \variables - \kann durch eine Wahrheitstabelle angegeben werden.

Lassen Sie uns mehrere logische Gleichungen lösen:

\[\rightharpoondown X1\vee X2=1 \]

\[\rightharpoondown X2\vee X3=1\]

\[\rightharpoondown X3\vee X4=1 \]

\[\rightharpoondown X9\vee X10=1\]

Beginnen wir die Lösung mit \[X1\] und bestimmen, welche Werte diese Variable annehmen kann: 0 und 1. Als nächstes betrachten wir jeden der oben genannten Werte und sehen, was \[X2.\] sein kann.

Wie aus der Tabelle ersichtlich ist, hat unsere logische Gleichung 11 Lösungen.

Wo kann ich online eine Logikgleichung lösen?

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Sei eine logische Funktion von n Variablen. Die logische Gleichung sieht so aus:

Die Konstante C hat den Wert 1 oder 0.

Eine logische Gleichung kann 0 bis unterschiedliche Lösungen haben. Wenn C gleich 1 ist, dann sind die Lösungen alle Mengen von Variablen aus der Wahrheitstabelle, für die die Funktion F den Wert wahr (1) annimmt. Die übrigen Mengen sind Lösungen der Gleichung mit C gleich Null. Sie können immer nur Gleichungen der Form berücksichtigen:

In der Tat sei die Gleichung gegeben:

In diesem Fall können wir zur äquivalenten Gleichung gehen:

Betrachten Sie ein System von k logischen Gleichungen:

Die Lösung eines Systems ist eine Menge von Variablen, für die alle Gleichungen des Systems erfüllt sind. In Bezug auf logische Funktionen muss man, um eine Lösung für ein System logischer Gleichungen zu erhalten, eine Menge finden, auf der die logische Funktion Ф wahr ist und die Konjunktion der ursprünglichen Funktionen darstellt:

Wenn die Anzahl der Variablen klein ist, beispielsweise weniger als 5, ist es nicht schwierig, eine Wahrheitstabelle für die Funktion zu erstellen, die es uns ermöglicht, anzugeben, wie viele Lösungen das System hat und welche Mengen Lösungen liefern.

Bei einigen USE-Aufgaben zum Finden von Lösungen für ein System logischer Gleichungen erreicht die Anzahl der Variablen 10. Dann wird die Erstellung einer Wahrheitstabelle zu einer fast unmöglichen Aufgabe. Die Lösung des Problems erfordert einen anderen Ansatz. Für ein beliebiges Gleichungssystem gibt es außer der Aufzählung keine allgemeine Methode, mit der solche Probleme gelöst werden können.

Bei den in der Prüfung vorgeschlagenen Aufgaben basiert die Lösung in der Regel auf der Berücksichtigung der Besonderheiten des Gleichungssystems. Ich wiederhole: Abgesehen vom Ausprobieren aller Optionen für eine Reihe von Variablen gibt es keinen allgemeinen Weg, das Problem zu lösen. Die Lösung muss auf der Grundlage der Besonderheiten des Systems erstellt werden. Es ist oft sinnvoll, eine vorläufige Vereinfachung eines Gleichungssystems unter Verwendung bekannter Gesetze der Logik durchzuführen. Eine weitere nützliche Technik zur Lösung dieses Problems ist die folgende. Uns interessieren nicht alle Mengen, sondern nur diejenigen, auf denen die Funktion den Wert 1 hat. Anstatt eine vollständige Wahrheitstabelle zu erstellen, werden wir ihr Analogon erstellen – einen binären Entscheidungsbaum. Jeder Zweig dieses Baums entspricht einer Lösung und gibt eine Menge an, auf der die Funktion den Wert 1 hat. Die Anzahl der Zweige im Entscheidungsbaum stimmt mit der Anzahl der Lösungen des Gleichungssystems überein.

Ich werde anhand von Beispielen verschiedener Probleme erklären, was ein binärer Entscheidungsbaum ist und wie er aufgebaut ist.

Aufgabe 18

Wie viele verschiedene Wertemengen der logischen Variablen x1, x2, x3, x4, x5, y1, y2, y3, y4, y5 gibt es, die das System aus zwei Gleichungen erfüllen?

Antwort: Das System verfügt über 36 verschiedene Lösungen.

Lösung: Das Gleichungssystem umfasst zwei Gleichungen. Lassen Sie uns die Anzahl der Lösungen für die erste Gleichung ermitteln, abhängig von 5 Variablen - . Die erste Gleichung kann wiederum als System aus 5 Gleichungen betrachtet werden. Wie gezeigt wurde, stellt das Gleichungssystem tatsächlich die Verbindung logischer Funktionen dar. Auch die umgekehrte Aussage gilt: Eine Konjunktion von Bedingungen kann als Gleichungssystem betrachtet werden.

Erstellen wir einen Entscheidungsbaum für Implikation () – den ersten Term der Konjunktion, der als erste Gleichung betrachtet werden kann. So sieht eine grafische Darstellung dieses Baums aus

Der Baum besteht aus zwei Ebenen entsprechend der Anzahl der Variablen in der Gleichung. Die erste Ebene beschreibt die erste Variable. Zwei Zweige dieser Ebene spiegeln die möglichen Werte dieser Variablen wider – 1 und 0. Auf der zweiten Ebene spiegeln die Zweige des Baums nur die möglichen Werte der Variablen wider, für die die Gleichung als wahr ausgewertet wird. Da die Gleichung eine Implikation angibt, erfordert ein Zweig mit dem Wert 1, dass auf diesem Zweig ein Wert von 1 vorhanden ist. Ein Zweig mit dem Wert 0 erzeugt zwei Zweige mit den Werten 0 und 1. Die konstruierte Der Baum gibt drei Lösungen an, bei denen die Implikation den Wert 1 annimmt. Auf jedem Zweig wird ein entsprechender Satz variabler Werte ausgeschrieben, der eine Lösung der Gleichung ergibt.

Diese Mengen sind: ((1, 1), (0, 1), (0, 0))

Lassen Sie uns den Entscheidungsbaum weiter aufbauen, indem wir die folgende Gleichung und die folgende Implikation hinzufügen. Die Besonderheit unseres Gleichungssystems besteht darin, dass jede neue Gleichung des Systems eine Variable aus der vorherigen Gleichung verwendet und eine neue Variable hinzufügt. Da die Variable im Baum bereits Werte hat, hat die Variable in allen Zweigen, in denen die Variable den Wert 1 hat, auch den Wert 1. Für solche Zweige wird der Aufbau des Baums mit der nächsten Ebene fortgesetzt. aber es erscheinen keine neuen Zweige. Ein einzelner Zweig, in dem eine Variable den Wert 0 hat, verzweigt sich in zwei Zweige, in denen die Variable die Werte 0 und 1 erhält. Somit fügt jede Hinzufügung einer neuen Gleichung angesichts ihrer Spezifität eine Lösung hinzu. Ursprüngliche erste Gleichung:

hat 6 Lösungen. So sieht der vollständige Entscheidungsbaum für diese Gleichung aus:

Die zweite Gleichung unseres Systems ähnelt der ersten:

Der einzige Unterschied besteht darin, dass die Gleichung Y-Variablen verwendet. Diese Gleichung hat auch 6 Lösungen. Da jede variable Lösung mit jeder variablen Lösung kombiniert werden kann, beträgt die Gesamtzahl der Lösungen 36.

Bitte beachten Sie, dass der erstellte Entscheidungsbaum nicht nur die Anzahl der Lösungen (entsprechend der Anzahl der Zweige) angibt, sondern auch die Lösungen selbst, die in jedem Zweig des Baums geschrieben sind.

Aufgabe 19

Wie viele verschiedene Wertemengen der logischen Variablen x1, x2, x3, x4, x5, y1, y2, y3, y4, y5 gibt es, die alle unten aufgeführten Bedingungen erfüllen?

Diese Aufgabe ist eine Modifikation der vorherigen Aufgabe. Der Unterschied besteht darin, dass eine weitere Gleichung hinzugefügt wird, die die Variablen X und Y in Beziehung setzt.

Aus der Gleichung folgt, dass, wenn sie den Wert 1 hat (eine solche Lösung existiert), sie den Wert 1 hat. Somit gibt es eine Menge, auf der und den Wert 1 haben. Wenn sie gleich 0 ist, kann sie haben einen beliebigen Wert, sowohl 0 als auch 1. Daher entspricht jede Menge mit , gleich 0, und es gibt 5 solcher Mengen, allen 6 Mengen mit Variablen Y. Daher beträgt die Gesamtzahl der Lösungen 31.

Aufgabe 20

Lösung: Unter Berücksichtigung der grundlegenden Äquivalenzen schreiben wir unsere Gleichung wie folgt:

Die zyklische Implikationskette bedeutet, dass die Variablen identisch sind, daher ist unsere Gleichung äquivalent zu der Gleichung:

Diese Gleichung hat zwei Lösungen, wenn alle entweder 1 oder 0 sind.

Aufgabe 21

Wie viele Lösungen hat die Gleichung:

Lösung: Genau wie in Aufgabe 20 gehen wir von zyklischen Implikationen zu Identitäten über und schreiben die Gleichung in der Form um:

Erstellen wir einen Entscheidungsbaum für diese Gleichung:

Aufgabe 22

Wie viele Lösungen hat das folgende Gleichungssystem?

Dieses Material enthält eine Präsentation, die Methoden zur Lösung logischer Gleichungen und logischer Gleichungssysteme in Aufgabe B15 (Nr. 23, 2015) des Einheitlichen Staatsexamens in Informatik vorstellt. Es ist bekannt, dass diese Aufgabe eine der schwierigsten unter den Aufgaben des Einheitlichen Staatsexamens ist. Die Präsentation kann beim Unterrichten des Unterrichts zum Thema „Logik“ in Fachklassen sowie bei der Vorbereitung auf das Einheitliche Staatsexamen hilfreich sein.

Herunterladen:

Vorschau:

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Folienunterschriften:

Lösung der Aufgabe B15 (Systeme logischer Gleichungen) Vishnevskaya M.P., MAOU „Gymnasium Nr. 3“, 18. November 2013, Saratow

Aufgabe B15 ist eine der schwierigsten im Einheitlichen Staatsexamen in Informatik!!! Folgende Fertigkeiten werden geprüft: Ausdrücke umwandeln, die logische Variablen enthalten; Beschreiben Sie in natürlicher Sprache die Wertemenge logischer Variablen, für die eine bestimmte Menge logischer Variablen wahr ist; Zählen Sie die Anzahl der Binärmengen, die bestimmte Bedingungen erfüllen. Das Schwierigste ist, weil... Es gibt keine formellen Regeln dafür, es erfordert Vermutungen.

Worauf Sie nicht verzichten können!

Symbole Konjunktion: A /\ B , A  B , AB , A &B, A und B Disjunktion: A \ / B , A + B , A | B , A oder B Negation:  A , A, nicht A Äquivalenz: A  B, A  B, A  B exklusives „oder“: A  B , A xor B

Variablenersetzungsmethode Wie viele verschiedene Wertesätze der logischen Variablen x1, x2, ..., x9, x10 existieren, die alle unten aufgeführten Bedingungen erfüllen: ((x1 ≡ x2) \/ (x3 ≡ x4)) /\ (¬(x1 ≡ x2) \/ ¬(x3 ≡ x4)) = 1 ((x3 ≡ x4) \/ (x5 ≡ x6)) /\ (¬(x3 ≡ x4) \/ ¬(x5 ≡ x6)) = 1 ((x5 ≡ x6 ) \/ (x7 ≡ x8)) /\ (¬(x5 ≡ x7) \/ ¬(x7 ≡ x8)) = 1 ((x7 ≡ x8) \/ (x9 ≡ x10)) /\ (¬(x7 ≡ x8) \/ ¬(x9 ≡ x10)) = 1 Die Antwort muss nicht alle verschiedenen Mengen x1, x2, …, x9, x10 auflisten, für die Dieses Gleichheitssystem gilt. Als Antwort müssen Sie die Anzahl solcher Sets angeben (Demoversion 2012)

Lösung Schritt 1. Vereinfachen Sie durch Ändern der Variablen t1 = x1  x2 t2 = x3  x4 t3 = x5  x6 t4 = x7  x8 t5 = x9  x10 Nach der Vereinfachung: (t1 \/ t2) /\ (¬t1 \/ ¬ t2) =1 (t2 \/ t3) /\ (¬t2 \/ ¬ t3) =1 (t3 \/ t4) /\ (¬t3 \/ ¬ t4) =1 (t4 \/ t5) /\ ( ¬ t4 \/ ¬ t5) =1 Betrachten Sie eine der Gleichungen: (t1 \/ t2) /\ (¬t1 \/ ¬ t2) =1 Offensichtlich ist sie nur dann =1, wenn eine der Variablen 0 und die andere 1 ist . Verwenden wir die Formel, um die XOR-Operation durch Konjunktion und Disjunktion auszudrücken: (t1 \/ t2) /\ (¬t1 \/ ¬ t2) = t1  t2 = ¬(t1 ≡ t2) =1 ¬(t1 ≡ t2) =1 ¬( t2 ≡ t3) =1 ¬(t3 ≡ t4) =1 ¬(t4 ≡ t5) =1

Schritt 2. Systemanalyse ¬(t1 ≡ t2) =1 ¬(t2 ≡ t3) =1 ¬(t3 ≡ t4) =1 ¬(t4 ≡ t5) =1 t1 t2 t3 t4 t5 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 Т .Zu. tk = x2k-1 ≡ x2k (t1 = x1  x2 ,….), dann entspricht jeder Wert von tk zwei Wertepaaren x2k-1 und x2k, zum Beispiel: tk =0 entspricht zwei Paaren - (0 ,1) und (1, 0) und tk =1 – Paare (0,0) und (1,1).

Schritt 3. Zählen der Anzahl der Lösungen. Jedes t hat 2 Lösungen, die Anzahl der ts beträgt 5. Somit. Für Variablen t gibt es 2 5 = 32 Lösungen. Aber für jedes t gibt es ein Lösungspaar x, d.h. das ursprüngliche System hat 2*32 = 64 Lösungen. Antwort: 64

Methode zur Eliminierung eines Teils der Lösungen Wie viele verschiedene Wertesätze logischer Variablen x1, x2, ..., x5, y1,y2,..., y5 existieren, die alle unten aufgeführten Bedingungen erfüllen: (x1→ x2 )∧(x2→ x3)∧(x3→ x4 )∧(x4→ x5) =1; (y1→ y2)∧(y2→ y3)∧(y3→ y4) ∧(y4→ y5) =1; y5→ x5 =1. Die Antwort muss nicht alle verschiedenen Mengen x1, x2, ..., x5, y 1 , y2, ... , y5 auflisten, für die dieses Gleichungssystem gilt. Die Antwort muss die Anzahl solcher Sätze angeben.

Lösung. Schritt 1. Sequentielle Lösung der Gleichungen x1 1 0 x2 1 0 1 x3 1 0 1 1 x4 1 0 1 1 1 x5 1 0 1 1 1 1 Die erste Gleichung ist die Verbindung mehrerer Implikationsoperationen, gleich 1, d.h. Jede der Implikationen ist wahr. Die Implikation ist nur in einem Fall falsch, wenn 1  0, in allen anderen Fällen (0  0, 0  1, 1  1) gibt die Operation 1 zurück. Schreiben wir dies in Tabellenform:

Schritt 1. Sequentielle Lösung von Gleichungen T.o. Für x1, x2, x3, x4, x5 wurden 6 Lösungssätze erhalten: (00000), (00001), (00011), (00111), (01111), (11111). Wenn wir ähnlich argumentieren, kommen wir zu dem Schluss, dass es für y1, y2, y3, y4, y5 die gleichen Lösungen gibt. Weil diese Gleichungen sind unabhängig, d.h. Sie haben keine gemeinsamen Variablen, dann ist die Lösung dieses Gleichungssystems (ohne Berücksichtigung der dritten Gleichung) 6 * 6 = 36 Paare von „X“ und „Y“. Betrachten Sie die dritte Gleichung: y5→ x5 =1 Die Lösung sind die Paare: 0 0 0 1 1 1 Das Paar ist keine Lösung: 1 0

Vergleichen wir die erhaltenen Lösungen. Wobei y5 =1, x5=0 nicht geeignet ist. Es gibt 5 solcher Paare. Anzahl der Lösungen des Systems: 36-5= 31. Antwort: 31 Kombinatoriken wurden benötigt!!!

Dynamische Programmiermethode Wie viele verschiedene Lösungen hat die logische Gleichung x 1 → x 2 → x 3 → x 4 → x 5 → x 6 = 1, wobei x 1, x 2, …, x 6 logische Variablen sind? Die Antwort muss nicht alle verschiedenen Sätze von Variablenwerten auflisten, für die diese Gleichheit gilt. Als Antwort müssen Sie die Mengen solcher Sets angeben.

Lösungsschritt 1. Analyse der Bedingung Links in der Gleichung werden die Implikationsoperationen nacheinander geschrieben, die Priorität ist gleich. Schreiben wir um: ((((X 1 → X 2) → X 3) → X 4) → X 5) → X 6 = 1 ACHTUNG! Jede nachfolgende Variable hängt nicht von der vorherigen ab, sondern vom Ergebnis der vorherigen Implikation!

Schritt 2. Ein Muster aufdecken Betrachten wir die erste Implikation, X 1 → X 2. Wahrheitstabelle: X 1 X 2 wir haben eine 0 und eine 1. Es gibt nur eine 0 und drei 1en, das ist das Ergebnis der ersten Operation.

Schritt 2. Ein Muster aufdecken Indem wir x 3 mit dem Ergebnis der ersten Operation verbinden, erhalten wir: F(x 1 ,x 2) x 3 F(x 1 ,x 2)  x 3 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 Aus zwei 0 – zwei 1, aus jeder 1 (es sind 3) eine 0 und eine 1 (3+3)

Schritt 3. Ableitung der Formel T.o. Sie können Formeln zur Berechnung der Anzahl der Nullen N i und der Anzahl der Einsen E i für eine Gleichung mit i Variablen erstellen: ,

Schritt 4. Ausfüllen der Tabelle Füllen wir die Tabelle von links nach rechts für i = 6 aus und berechnen wir die Anzahl der Nullen und Einsen mithilfe der obigen Formeln; Die Tabelle zeigt, wie die nächste Spalte aus der vorherigen aufgebaut wird: Anzahl der Variablen 1 2 3 4 5 6 Anzahl der Nullen N i 1 1 3 5 11 21 Anzahl der Einsen E i 1 2*1+1= 3 2*1 +3= 5 11 21 43 Antwort: 43

Methode unter Verwendung von Vereinfachungen logischer Ausdrücke Wie viele verschiedene Lösungen hat die Gleichung ((J → K) → (M  N  L))  ((M  N  L) → (¬ J  K))  (M → J) = 1 wobei J, K, L, M, N logische Variablen sind? Die Antwort muss nicht alle verschiedenen Wertemengen von J, K, L, M und N auflisten, für die diese Gleichheit gilt. Als Antwort müssen Sie die Anzahl solcher Sätze angeben.

Lösung Beachten Sie, dass J → K = ¬ J  K. Lassen Sie uns eine Änderung der Variablen einführen: J → K=A, M  N  L =B. Schreiben wir die Gleichung unter Berücksichtigung der Änderung neu: (A → B)  (B → A)  (M → J)=1 4. (A  B)  (M → J)= 1 5. Offensichtlich A  B für die gleichen Werte von A und B 6. Betrachten Sie die letzte Implikation M → J =1 Dies ist möglich, wenn: M= J=0 M=0, J=1 M=J=1

Lösung Weil A  B, dann erhalten wir bei M=J=0 1 + K=0. Keine Lösungen. Wenn M=0, J=1, erhalten wir 0 + K=0, K=0 und N und L sind beliebige, 4 Lösungen: ¬ J  K = M  N  L K N L 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1

Lösung 10. Wenn M=J=1, erhalten wir 0+K=1 *N * L, oder K=N*L, 4 Lösungen: 11. Insgesamt hat 4+4=8 Lösungen Antwort: 8 K N L 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1

Informationsquellen: O.B. Bogomolova, D. Yu. Usenkow. B15: neue Aufgaben und neue Lösungen // Informatik, Nr. 6, 2012, S. 35 – 39. K.Yu. Poljakow. Logische Gleichungen // Informatik, Nr. 14, 2011, p. 30-35. http://ege-go.ru/zadania/grb/b15/, [Elektronische Ressource]. http://kpolyakov.narod.ru/school/ege.htm, [Elektronische Ressource].

J ∧ ¬K ∧ L ∧ ¬M ∧ (N ∨ ¬N) = 0, wobei J, K, L, M, N logische Variablen sind?

Erläuterung.

Der Ausdruck (N ∨ ¬N) gilt daher für jedes N

J ∧ ¬K ∧ L ∧ ¬M = 0.

Wenden wir die Negation auf beide Seiten der logischen Gleichung an und verwenden wir das Gesetz von De Morgan ¬ (A ∧ B) = ¬ A ∨ ¬ B. Wir erhalten ¬J ∨ K ∨ ¬L ∨ M = 1.

Eine logische Summe ist gleich 1, wenn mindestens eine ihrer konstituierenden Aussagen gleich 1 ist. Daher wird die resultierende Gleichung durch jede Kombination logischer Variablen erfüllt, außer in dem Fall, in dem alle in der Gleichung enthaltenen Größen gleich 0 sind Die 4 Variablen können entweder 1 oder 0 sein, daher sind alle möglichen Kombinationen 2·2·2·2 = 16. Daher hat die Gleichung 16 −1 = 15 Lösungen.

Es bleibt zu beachten, dass die 15 gefundenen Lösungen jedem der beiden möglichen Werte der logischen Variablen N entsprechen, sodass die ursprüngliche Gleichung 30 Lösungen hat.

Antwort: 30

Wie viele verschiedene Lösungen hat die Gleichung?

((J → K) → (M ∧ N ∧ L)) ∧ ((J ∧ ¬K) → ¬ (M ∧ N ∧ L)) ∧ (M → J) = 1

wobei J, K, L, M, N logische Variablen sind?

Die Antwort muss nicht alle verschiedenen Wertemengen von J, K, L, M und N auflisten, für die diese Gleichheit gilt. Als Antwort müssen Sie die Anzahl solcher Sätze angeben.

Erläuterung.

Wir verwenden die Formeln A → B = ¬A ∨ B und ¬(A ∨ B) = ¬A ∧ ¬B

Betrachten wir die erste Unterformel:

(J → K) → (M ∧ N ∧ L) = ¬(¬J ∨ K) ∨ (M ∧ N ∧ L) = (J ∧ ¬K) ∨ (M ∧ N ∧ L)

Betrachten wir die zweite Unterformel

(J ∧ ¬K) → ¬(M ∧ N ∧ L) = ¬(J ∧ ¬K) ∨ ¬(M ∧ N ∧ L) = (¬J ∨ K) ∨ ¬M ∨ ¬N ∨ ¬L

Betrachten wir die dritte Unterformel

1) M → J = 1 also,

(J ∧ ¬K) ∨ (M ∧ N ∧ L) = (1 ∧ ¬K) ∨ (1 ∧ N ∧ L) = ¬K ∨ N ∧ L;

(0 ∨ K) ∨ 0 ∨ ¬N ∨ ¬L = K ∨ ¬N ∨ ¬L;

Kombinieren wir:

¬K ∨ N ∧ L ∧ K ∨ ¬N ∨ ¬L = 0 ∨ L ∨ 0 ∨ ¬L = L ∨ ¬L = 1 also 4 Lösungen.

(J ∧ ¬K) ∨ (M ∧ N ∧ L) = (1 ∧ ¬K) ∨ (0 ∧ N ∧ L) = ¬K;

(¬J ∨ K) ∨ ¬M ∨ ¬N ∨ ¬L = (0 ∨ K) ∨ 1 ∨ ¬N ∨ ¬L = K ∨ 1 ∨ ¬N ∨ ¬L

Kombinieren wir:

K ∨ 1 ∨ ¬N ∨ ¬L ∧ ¬K = 1 ∨ ¬N ∨ ¬L also 4 Lösungen.

c) M = 0 J = 0.

(J ∧ ¬K) ∨ (M ∧ N ∧ L) = (0 ∧ ¬K) ∨ (0 ∧ N ∧ L) = 0.

(¬J ∨ K) ∨ ¬M ∨ ¬N ∨ ¬L = (1 ∨ K) ∨ 1 ∨ ¬N ∨ ¬L.

Antwort: 4 + 4 = 8.

Antwort: 8

Wie viele verschiedene Lösungen hat die Gleichung?

((K ∨ L) → (L ∧ M ∧ N)) = 0

wobei K, L, M, N logische Variablen sind? Die Antwort muss nicht alle verschiedenen Wertemengen von K, L, M und N auflisten, für die diese Gleichheit gilt. Als Antwort müssen Sie die Anzahl solcher Sätze angeben.

Erläuterung.

Schreiben wir die Gleichung mit einer einfacheren Notation der Operationen um:

((K + L) → (L M N)) = 0

1) Aus der Wahrheitstabelle der „Implikations“-Operation (siehe erstes Problem) folgt, dass diese Gleichheit genau dann wahr ist, wenn gleichzeitig

K + L = 1 und L M N = 0

2) Aus der ersten Gleichung folgt, dass mindestens eine der Variablen K oder L gleich 1 ist (oder beide zusammen); Betrachten wir also drei Fälle

3) wenn K = 1 und L = 0, dann ist die zweite Gleichheit für jedes M und N erfüllt; Da es vier Kombinationen zweier boolescher Variablen (00, 01, 10 und 11) gibt, haben wir vier verschiedene Lösungen

4) wenn K = 1 und L = 1, dann gilt die zweite Gleichung für M · N = 0; Es gibt 3 solcher Kombinationen (00, 01 und 10), wir haben 3 weitere Lösungen

5) wenn K = 0, dann L = 1 (aus der ersten Gleichung); in diesem Fall ist die zweite Gleichung erfüllt, wenn M · N = 0; Es gibt 3 solcher Kombinationen (00, 01 und 10), wir haben 3 weitere Lösungen

6) Insgesamt erhalten wir 4 + 3 + 3 = 10 Lösungen.

Antwort: 10

Wie viele verschiedene Lösungen hat die Gleichung?

(K ∧ L) ∨ (M ∧ N) = 1

Erläuterung.

Der Ausdruck ist in drei Fällen wahr, wenn (K ∧ L) und (M ∧ N) gleich 01, 11 bzw. 10 sind.

1) „01“ K ∧ L = 0; M ∧ N = 1, => M, N sind gleich 1 und K und L sind alles andere als gleichzeitig 1. Daher gibt es 3 Lösungen.

2) „11“ K ∧ L = 1; M ∧ N = 1. => 1 Lösung.

3) „10“ K ∧ L = 1; M ∧ N = 0. => 3 Lösungen.

Antwort: 7.

Antwort: 7

Wie viele verschiedene Lösungen hat die Gleichung?

(X ∧ Y ∨ Z) → (Z ∨ P) = 0

wobei X, Y, Z, P logische Variablen sind? Die Antwort muss nicht alle verschiedenen Wertemengen auflisten, für die diese Gleichheit gilt. Als Antwort müssen Sie lediglich die Anzahl solcher Sets angeben.

Erläuterung.

(X ∧ Y ∨ Z) → (Z ∨ P) = 0 =>

¬(X ∧ Y ∨ Z) ∨ (Z ∨ P) = 0;

(¬X ∨ ¬Y ∧ ¬Z) ∨ (Z ∨ P) = 0;

Logisches ODER ist nur in einem Fall falsch: wenn beide Ausdrücke falsch sind.

Somit,

(Z ∨ P) = 0 => Z = 0, P = 0.

¬X ∨ ¬Y ∧ ¬Z = 0 => ¬X ∨ ¬Y ∧ 1 = 0 =>

¬X ∨ ¬Y = 0 => X = 1; Y = 1.

Daher gibt es nur eine Lösung der Gleichung.

Antwort 1

Wie viele verschiedene Lösungen hat die Gleichung?

(K ∨ L) ∧ (M ∨ N) = 1

wobei K, L, M, N logische Variablen sind? Die Antwort muss nicht alle verschiedenen Wertemengen von K, L, M und N auflisten, für die diese Gleichheit gilt. Als Antwort müssen Sie lediglich die Anzahl solcher Sets angeben.

Erläuterung.

Logisches Und ist nur in einem Fall wahr: wenn alle Ausdrücke wahr sind.

K ∨ L = 1, M ∨ N = 1.

Jede Gleichung ergibt 3 Lösungen.

Betrachten Sie die Gleichung A ∧ B = 1. Wenn sowohl A als auch B in jeweils drei Fällen wahre Werte annehmen, dann hat die Gleichung insgesamt 9 Lösungen.

Daher lautet die Antwort 9.

Antwort: 9

Wie viele verschiedene Lösungen hat die Gleichung?

((A → B)∧ C) ∨ (D ∧ ¬D)= 1,

wobei A, B, C, D logische Variablen sind?

Die Antwort muss nicht alle verschiedenen Wertemengen A, B, C, D auflisten, für die diese Gleichheit gilt. Als Antwort müssen Sie die Anzahl solcher Sätze angeben.

Erläuterung.

Logisches „ODER“ ist wahr, wenn mindestens eine der Aussagen wahr ist.

(D ∧ ¬D)= 0 für jedes D.

Somit,

(A → B)∧ C) = 1 => C = 1; A → B = 1 => ¬ A ∨ B = 1, was uns 3 mögliche Lösungen für jedes D gibt.

(D ∧ ¬ D)= 0 für jedes D, was uns zwei Lösungen gibt (für D = 1, D = 0).

Daher: Gesamtlösungen 2*3 = 6.

Insgesamt 6 Lösungen.

Antwort: 6

Wie viele verschiedene Lösungen hat die Gleichung?

(¬K ∨ ¬L ∨ ¬M) ∧ (L ∨ ¬M ∨ ¬N) = 0

Erläuterung.

Wenden wir die Negation auf beide Seiten der Gleichung an:

(K ∧ L ∧ M) ∨ (¬L ∧ M ∧ N) = 1

Logisches ODER ist in drei Fällen wahr.

Variante 1.

K ∧ L ∧ M = 1, dann K, L, M = 1 und ¬L ∧ M ∧ N = 0. N ist beliebig, also 2 Lösungen.

Option 2.

¬L ∧ M ∧ N = 1, dann N, M = 1; L = 0, K beliebig, also 2 Lösungen.

Daher lautet die Antwort 4.

Antwort: 4

A, B und C sind ganze Zahlen, für die die Aussage wahr ist

¬ (A = B) ∧ ((A > B)→(B > C)) ∧ ((B > A)→(C > B)).

Was ist B gleich, wenn A = 45 und C = 43?

Erläuterung.

1) ¬(A = B); (A > B)→(B > C); (B > A)→(C > B);

2) diese einfachen Anweisungen sind durch die Operation ∧ (AND, Konjunktion) verbunden, das heißt, sie müssen gleichzeitig ausgeführt werden;

3) aus ¬(A = B)=1 folgt sofort A B;

4) Angenommen, A > B, dann erhalten wir aus der zweiten Bedingung 1→(B > C)=1; dieser Ausdruck kann genau dann wahr sein, wenn B > C = 1;

5) also gilt A > B > C, nur die Zahl 44 entspricht dieser Bedingung;

6) Für alle Fälle prüfen wir auch die Option A 0 →(B > C)=1;

dieser Ausdruck gilt für jedes B; Schauen Sie sich nun die dritte Bedingung an, die wir erhalten

Dieser Ausdruck kann genau dann wahr sein, wenn C > B, und hier haben wir einen Widerspruch, weil es keine solche Zahl B gibt, für die C > B > A.

Antwort: 44.

Antwort: 44

Erstellen Sie eine Wahrheitstabelle für eine logische Funktion

X = (A ↔ B) ∨ ¬(A → (B ∨ C))

wobei die Wertespalte von Argument A die binäre Darstellung der Zahl 27 ist, die Wertespalte von Argument B die Zahl 77 ist, die Wertespalte von Argument C die Zahl 120 ist. Die Zahl In der Spalte wird von oben nach unten geschrieben, vom höchstwertigen zum niedrigstwertigen Wert (einschließlich der Nullmenge). Konvertieren Sie die resultierende binäre Darstellung der Werte der Funktion X in das dezimale Zahlensystem.

Erläuterung.

Schreiben wir die Gleichung mit einer einfacheren Notation für Operationen:

1) Dies ist ein Ausdruck mit drei Variablen, sodass die Wahrheitstabelle Zeilen enthält. Daher muss die binäre Darstellung der Zahlen, die zum Aufbau der Tabellenspalten A, B und C verwendet werden, aus 8 Ziffern bestehen

2) Wandeln Sie die Zahlen 27, 77 und 120 in das Binärsystem um und fügen Sie am Anfang der Zahlen sofort 8 Ziffern Nullen hinzu

3) Es ist unwahrscheinlich, dass Sie die Werte der X-Funktion für jede Kombination sofort schreiben können. Daher ist es praktisch, der Tabelle zusätzliche Spalten hinzuzufügen, um Zwischenergebnisse zu berechnen (siehe Tabelle unten).

A	IN	MIT
0	0
0	1	1
0	0	1
1	0	1
1	1	1
0	1	0
1	0	0
1	1	0

4) Füllen Sie die Tabellenspalten aus:

A	IN	MIT					X
0	0	0	1	0	1	0	1
0	1	1	0	1	1	0	0
0	0	1	1	1	1	0	1
1	0	1	0	1	1	0	0
1	1	1	1	1	1	0	1
0	1	0	0	1	1	0	0
1	0	0	0	0	0	1	1
1	1	0	1	1	1	0	1

Der Wert ist nur in den Zeilen 1, in denen A = B

Der Wert ist 1 in den Zeilen, in denen entweder B oder C = 1 ist

Der Wert ist nur in den Zeilen 0, in denen A = 1 und B + C = 0

Der Wert ist der Kehrwert der vorherigen Spalte (0 wird durch 1 ersetzt und 1 wird durch 0 ersetzt).

das Ergebnis von X (letzte Spalte) ist die logische Summe der beiden Spalten und

5) Um die Antwort zu erhalten, schreiben Sie die Bits aus Spalte X von oben nach unten aus:

6) Wandeln Sie diese Zahl in das Dezimalsystem um:

Antwort: 171

Was ist die größte ganze Zahl X, für die die Aussage (10 (X+1)·(X+2)) wahr ist?

Erläuterung.

Eine Gleichung ist eine Implikationsoperation zwischen zwei Beziehungen:

1) Natürlich können Sie hier die gleiche Methode wie in Beispiel 2208 anwenden, aber Sie müssen quadratische Gleichungen lösen (das möchte ich nicht...);

2) Beachten Sie, dass wir aufgrund der Bedingung nur an ganzen Zahlen interessiert sind, sodass wir versuchen können, den ursprünglichen Ausdruck irgendwie umzuwandeln und eine äquivalente Aussage zu erhalten (die genauen Werte der Wurzeln interessieren uns überhaupt nicht!);

3) Betrachten Sie die Ungleichung: Offensichtlich kann sie entweder eine positive oder eine negative Zahl sein;

4) Es ist leicht zu überprüfen, ob die Aussage in der Domäne für alle ganzen Zahlen wahr ist, und in der Domäne – für alle ganzen Zahlen (um nicht verwirrt zu werden, ist es bequemer, nicht strikte Ungleichungen zu verwenden, und , statt Und );

5) Daher kann es für ganze Zahlen durch einen äquivalenten Ausdruck ersetzt werden

6) Der Wahrheitsbereich eines Ausdrucks ist die Vereinigung zweier unendlicher Intervalle;

7) Betrachten Sie nun die zweite Ungleichung: Es ist offensichtlich, dass sie sowohl eine positive als auch eine negative Zahl sein kann;

8) Im Bereich gilt die Aussage für alle ganzen Zahlen und im Bereich für alle ganzen Zahlen, daher kann sie für ganze Zahlen durch einen äquivalenten Ausdruck ersetzt werden

9) der Wahrheitsbereich des Ausdrucks ist ein geschlossenes Intervall;

10) Der angegebene Ausdruck gilt überall, außer in Bereichen, in denen und ;

11) Bitte beachten Sie, dass der Wert nicht mehr geeignet ist, da dort und das heißt, die Implikation ergibt 0;

12) Beim Ersetzen von 2 gilt (10 (2+1) · (2+2)) oder 0 → 0, was die Bedingung erfüllt.

Die Antwort ist also 2.

Antwort: 2

Was ist die größte ganze Zahl X, für die die Aussage wahr ist?

(50 (X+1)·(X+1))?

Erläuterung.

Wenden wir die Implikationstransformation an und transformieren den Ausdruck:

(50 (X+1)·(X+1)) ⇔ ¬(X 2 > 50) ∨ ((X+1) 2) ∨ (|X+1|).

Logisches ODER ist wahr, wenn mindestens eine logische Aussage wahr ist. Nachdem wir beide Ungleichungen gelöst und berücksichtigt haben, sehen wir, dass die größte ganze Zahl, für die mindestens eine von ihnen erfüllt ist, 7 ist (in der Abbildung ist die positive Lösung der zweiten Ungleichung in Gelb und die erste in Blau dargestellt).

Antwort: 7

Geben Sie die Werte der Variablen K, L, M, N an, bei denen der logische Ausdruck vorliegt

(¬(M ∨ L) ∧ K) → (¬K ∧ ¬M ∨ N)

FALSCH. Schreiben Sie die Antwort als Zeichenfolge aus 4 Zeichen: die Werte der Variablen K, L, M und N (in dieser Reihenfolge). So entspricht beispielsweise Zeile 1101 der Tatsache, dass K=1, L=1, M=0, N=1.

Erläuterung.

Dupliziert Aufgabe 3584.

Antwort: 1000

(¬K ∨ M) → (¬L ∨ M ∨ N)

Erläuterung.

Wenden wir die Implikationstransformation an:

(K ∧ ¬M) ∨ (¬L ∨ M ∨ N) = 0

Wenden wir die Negation auf beide Seiten der Gleichung an:

(¬K ∨ M) ∧ L ∧ ¬M ∧ ¬N = 1

Lassen Sie uns transformieren:

(¬K ∧ L ∨ M ∧ L) ∧ ¬M ∧ ¬N = 1

Daher ist M = 0, N = 0. Betrachten Sie nun (¬K ∧ L ∨ M ∧ L):

Aus der Tatsache, dass M = 0, N = 0, folgt, dass M ∧ L = 0, dann ¬K ∧ L = 1, also K = 0, L = 1.

Antwort: 0100

Geben Sie die Werte der Variablen K, L, M, N an, bei denen der logische Ausdruck vorliegt

(¬(M ∨ L) ∧ K) → ((¬K ∧ ¬M) ∨ N)

FALSCH. Schreiben Sie Ihre Antwort als Zeichenfolge aus vier Zeichen: den Werten der Variablen K, L, M und N (in dieser Reihenfolge). So entspricht beispielsweise Zeile 1101 der Tatsache, dass K=1, L=1, M=0, N=1.

Erläuterung.

Schreiben wir die Gleichung mit einer einfacheren Operationsschreibweise (die Bedingung „Der Ausdruck ist falsch“ bedeutet, dass er gleich der logischen Null ist):

1) Aus der Formulierung der Bedingung folgt, dass der Ausdruck nur für einen Satz von Variablen falsch sein darf

2) Aus der Wahrheitstabelle der Operation „Implikation“ folgt, dass dieser Ausdruck genau dann falsch ist, wenn gleichzeitig

3) Die erste Gleichheit (das logische Produkt ist gleich 1) ist genau dann erfüllt, wenn und ; Daraus folgt (die logische Summe ist gleich Null), was nur dann passieren kann, wenn ; Somit haben wir bereits drei Variablen definiert

4) aus der zweiten Bedingung, , für und erhalten wir .

Dupliziert die Aufgabe

Antwort: 1000

Geben Sie die Werte der logischen Variablen P, Q, S, T an, bei denen der logische Ausdruck vorliegt

(P ∨ ¬Q) ∨ (Q → (S ∨ T)) ist falsch.

Schreiben Sie die Antwort als Zeichenfolge aus vier Zeichen: die Werte der Variablen P, Q, S, T (in dieser Reihenfolge).

Erläuterung.

(1) (P ∨ ¬Q) = 0

(2) (Q → (S ∨ T)) = 0

(1) (P ∨ ¬Q) = 0 => P = 0, Q = 1.

(2) (Q → (S ∨ Т)) = 0 Wenden wir die Implikationstransformation an:

¬Q ∨ S ∨ T = 0 => S = 0, T = 0.

Antwort: 0100

Geben Sie die Werte der Variablen K, L, M, N an, bei denen der logische Ausdruck vorliegt

(K → M) ∨ (L ∧ K) ∨ ¬N

Erläuterung.

Logisches ODER ist genau dann falsch, wenn beide Aussagen falsch sind.

(K → M) = 0, (L ∧ K) ∨ ¬N = 0.

Wenden wir die Implikationstransformation für den ersten Ausdruck an:

¬K ∨ M = 0 => K = 1, M = 0.

Betrachten Sie den zweiten Ausdruck:

(L ∧ K) ∨ ¬N = 0 (siehe das Ergebnis des ersten Ausdrucks) => L ∨ ¬N = 0 => L = 0, N = 1.

Antwort: 1001.

Antwort: 1001

Geben Sie die Werte der Variablen K, L, M, N an, bei denen der logische Ausdruck vorliegt

(K → M) ∧ (K → ¬M) ∧ (¬K → (M ∧ ¬L ∧ N))

WAHR. Schreiben Sie Ihre Antwort als Zeichenfolge aus vier Zeichen: den Werten der Variablen K, L, M und N (in dieser Reihenfolge). So entspricht beispielsweise Zeile 1101 der Tatsache, dass K=1, L=1, M=0, N=1.

Erläuterung.

Logisches „UND“ ist genau dann wahr, wenn beide Aussagen wahr sind.

1) (K → M) = 1 Wenden Sie die Implikationstransformation an: ¬K ∨ M = 1

2) (K → ¬M) = 1 Wenden Sie die Implikationstransformation an: ¬K ∨ ¬M = 1

Daraus folgt, dass K = 0.

3) (¬K → (M ∧ ¬L ∧ N)) = 1 Wenden Sie die Implikationstransformation an: K ∨ (M ∧ ¬L ∧ N) = 1 aus der Tatsache, dass K = 0, erhalten wir:

M ∧ ¬L ∧ N = 1 => M = 1, L = 0, N = 1.

Antwort: 0011

Es ist bekannt, dass für ganze Zahlen X, Y und Z die folgende Aussage gilt:

(Z Was ist Z gleich, wenn X=25 und Y=48?

Erläuterung.

Nach dem Ersetzen der Zahlen erhalten wir Z = 47.