Ein regelmäßiger Tetraeder hat ein Symmetriezentrum. Symmetrische Transformationen und Symmetrieelemente kristalliner Polyeder. Allgemeine Informationen zu regelmäßigen Polyedern

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Symmetrie bezüglich eines Punktes Symmetrie bezüglich der Geraden A A1 O Die Punkte A und A1 heißen symmetrisch bezüglich des Punktes O (Symmetriezentrum), wenn O der Mittelpunkt der Strecke AA1 ist. Punkt O gilt als symmetrisch zu sich selbst. A A1 a Die Punkte A und A1 heißen symmetrisch bezüglich einer Geraden (Symmetrieachse), wenn die Gerade durch die Mitte der Strecke AA1 verläuft und senkrecht zu dieser Strecke steht. Jeder Punkt auf einer Linie gilt als symmetrisch zu sich selbst. a a a

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Symmetrie relativ zur Ebene A Die Punkte A und A1 heißen symmetrisch relativ zur Ebene (Symmetrieebene), wenn die Ebene durch die Mitte des Segments AA1 verläuft und senkrecht zu diesem Segment steht. Jeder Punkt der Ebene gilt als symmetrisch zu sich selbst. A1 O

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Wenn eine Figur ein Symmetriezentrum (Achse, Ebene) hat, spricht man von Zentralsymmetrie (Achse, Spiegel). Eine Figur kann ein oder mehrere Symmetriezentren (Symmetrieachsen, Symmetrieebenen) haben. O A Symmetriezentrum O A Symmetrieebene O A a A1 Ein Punkt (gerade Linie, Ebene) wird als Symmetriezentrum (Achse, Ebene) bezeichnet, wenn jeder Punkt der Figur zu einem bestimmten Punkt derselben Figur symmetrisch zu ihm ist. Mittelpunkt, Achse, Symmetrieebene einer Figur. A1 Symmetrieachse A1

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Symmetrie begegnet uns oft in der Architektur.

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Fast alle in der Natur vorkommenden Kristalle haben eine Symmetrieachse oder -ebene. In der Geometrie werden der Mittelpunkt, die Achsen und die Symmetrieebenen eines Polyeders als Symmetrieelemente dieses Polyeders bezeichnet. Apatit-Gold

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Calcit (doppelt) Speisesalz Eis

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Almandin-Staurolith (doppelt)

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Ein regelmäßiges Tetraeder besteht aus vier gleichseitigen Dreiecken und an jedem Scheitelpunkt treffen sich drei Kanten. 4 Flächen, 4 Eckpunkte und 6 Kanten. Die Summe der Ebenenwinkel an jedem Scheitelpunkt beträgt 1800. Ein konvexes Polyeder heißt regelmäßig, wenn alle seine Flächen gleiche regelmäßige Vielecke sind und an jedem seiner Scheitelpunkte die gleiche Anzahl von Kanten zusammenläuft. In jedem regulären Polyeder ist die Summe der Anzahl und der Eckpunkte gleich der um 2 erhöhten Anzahl der Kanten. Kantenscheitelflächen Г + В = Р + 2 · 60+ 60 + 60

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Wir unterscheiden zwischen einem regelmäßigen Tetraeder und einer regelmäßigen Pyramide. Im Gegensatz zu einem regelmäßigen Tetraeder, dessen Kanten alle gleich sind, sind bei einer regelmäßigen dreieckigen Pyramide die Seitenkanten untereinander gleich, aber möglicherweise nicht gleich den Kanten der Basis der Pyramide. „Tetra“ – 4 Die Namen der Polyeder stammen aus dem antiken Griechenland und geben die Anzahl der Flächen an.

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Ein regelmäßiger Tetraeder hat kein Symmetriezentrum. Es gibt 3 Symmetrieachsen. Es gibt 6 Symmetrieebenen. Die gerade Linie, die durch die Mittelpunkte zweier gegenüberliegender Kanten verläuft, ist seine Symmetrieachse. Die durch die Kante senkrecht zur gegenüberliegenden Kante verlaufende Ebene ist die Symmetrieachse. Symmetrieelemente des Tetraeders.

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Der Würfel besteht aus sechs Quadraten. Jeder Scheitelpunkt des Würfels ist der Scheitelpunkt von drei Quadraten. Daher beträgt die Summe der Ebenenwinkel an jedem Scheitelpunkt 2700. 6 Flächen, 8 Scheitelpunkte und 12 Kanten des „Hex“ – 6 Würfel, Hexaeder.

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Der Würfel hat 9 Symmetrieebenen.

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Ein regelmäßiges Oktaeder besteht aus acht gleichseitigen Dreiecken. Jeder Eckpunkt des Oktaeders ist der Eckpunkt von vier Dreiecken. Die Summe der Ebenenwinkel an jedem Scheitelpunkt beträgt 2400. „Okta“ – 8 Das Oktaeder hat 8 Flächen, 6 Scheitelpunkte und 12 Kanten

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Das regelmäßige Ikosaeder besteht aus zwanzig gleichseitigen Dreiecken. Jeder Scheitelpunkt des Ikosaeders ist der Scheitelpunkt von fünf regelmäßigen Dreiecken. Daher beträgt die Summe der Ebenenwinkel an jedem Scheitelpunkt 3000. „Ikosaeder“ - 20 Das Ikosaeder hat 20 Flächen, 12 Scheitelpunkte und 30 Kanten

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Das regelmäßige Dodekaeder besteht aus zwölf regelmäßigen Sechsecken. Jeder Scheitelpunkt des Dodekaeders ist der Scheitelpunkt von drei regelmäßigen Fünfecken. Daher beträgt die Summe der Ebenenwinkel an jedem Scheitelpunkt 3240. „Dodeka“ - 12 Das Dodekaeder hat 12 Flächen, 20 Scheitelpunkte und 30 Kanten.

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Der antike griechische Wissenschaftler Platon beschrieb als erster die Eigenschaften regelmäßiger Polyeder. Deshalb werden regelmäßige Polyeder auch platonische Körper genannt. Platon 428 – 348 v. Chr Platon glaubte, dass die Welt aus vier „Elementen“ besteht – Feuer, Erde, Luft und Wasser – und dass die Atome dieser „Elemente“ die Form von vier regelmäßigen Polyedern haben.

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Feuer Luft Wasser Erde Regelmäßige Polyeder in Platons philosophischem Weltbild. Das Tetraeder verkörperte das Feuer, da seine Spitze wie eine lodernde Flamme nach oben zeigt; Ikosaeder – als das stromlinienförmigste – Wasser; Der Würfel ist die stabilste der Figuren – die Erde, und das Oktaeder ist die Luft.

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Universum Das fünfte Polyeder, das Dodekaeder, symbolisierte die ganze Welt und galt als das wichtigste.

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Bildhauer, Architekten und Künstler zeigten großes Interesse an den Formen regelmäßiger Polyeder. Sie waren erstaunt über die Perfektion und Harmonie der Polyeder. Leonardo da Vinci (1452 – 1519) interessierte sich für die Theorie der Polyeder und stellte sie oft auf seinen Leinwänden dar. Auf dem Gemälde „Das letzte Abendmahl“ stellte Salvador Dali Jesus Christus mit seinen Jüngern vor dem Hintergrund eines riesigen transparenten Dodekaeders dar.

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Archimedes 287 – 212 Chr. Dabei handelt es sich um Polyeder, die durch Verkürzung platonischer Körper entstehen. Tetraederstumpf, Hexaederstumpf (Würfel), Oktaederstumpf, Dodekaederstumpf, Ikosaederstumpf. Archimedes beschrieb semireguläre Polyeder

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Tetraederstumpf Durch einfache Schnitte können wir ungewöhnliche Polyeder erhalten. Ein Tetraederstumpf entsteht, wenn vier Eckpunkte eines Tetraeders abgeschnitten werden.

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Abgeschnittener Würfel Durch das Abschneiden der Eckpunkte erhalten wir neue Flächen – Dreiecke. Und aus den Flächen des Würfels erhalten wir Flächen – Achtecke. Ein Würfelstumpf entsteht, wenn alle acht Eckpunkte eines Würfels abgeschnitten werden.

Das Konzept eines regelmäßigen Polyeders (Tetraeder, Oktaeder, Ikosaeder, Würfel, Dodekaeder).

Definition. Ein konvexes Polyeder heißt regelmäßig, wenn alle seine Flächen gleiche regelmäßige Vielecke sind und an jedem seiner Eckpunkte die gleiche Anzahl von Kanten zusammenläuft.

Eigenschaften.

· Alle Kanten eines regelmäßigen Polyeders sind einander gleich;

· Alle Diederwinkel, die zwei Flächen mit einer gemeinsamen Kante enthalten, sind gleich.

Es gibt nur fünf Arten regelmäßiger Polyeder:

· Regelmäßiges Tetraeder bestehend aus vier gleichseitigen Dreiecken. Jeder seiner Eckpunkte ist der Eckpunkt von drei Dreiecken. Daher ist die Summe der Ebenenwinkel an jedem Scheitelpunkt gleich.

· Regelmäßiges Oktaeder bestehend aus acht gleichseitigen Dreiecken. Jeder Eckpunkt des Oktaeders ist der Eckpunkt von vier Dreiecken. Daher ist die Summe der Ebenenwinkel an jedem Scheitelpunkt gleich.

· Regelmäßiges Ikosaeder bestehend aus zwanzig gleichseitigen Dreiecken. Jeder Scheitelpunkt des Ikosaeders ist der Scheitelpunkt von fünf Dreiecken. Daher ist die Summe der Ebenenwinkel an jedem Scheitelpunkt gleich.

· Würfel (Hexaeder) bestehend aus sechs Quadraten. Jeder Scheitelpunkt des Würfels ist der Scheitelpunkt von drei Quadraten. Daher ist die Summe der Ebenenwinkel an jedem Scheitelpunkt gleich.

· Regelmäßiges Dodekaeder bestehend aus zwölf regelmäßigen Fünfecken.

Jeder Scheitelpunkt des Dodekaeders ist der Scheitelpunkt von drei regelmäßigen Fünfecken. Dann ist die Summe der Ebenenwinkel an jedem Scheitelpunkt gleich.

2. Satz von Euler.

Satz von Euler. Für die Anzahl der Flächen Г, die Anzahl der Eckpunkte В und die Anzahl der Kanten Р jedes konvexen Polyeders gilt die Beziehung Г+В-Р=2.

Leer N ist die Anzahl der Kanten jeder Fläche und M– die Anzahl der Kanten, die an jedem Scheitelpunkt zusammenlaufen. Da also jede Kante zu zwei Flächen gehört N G=2R. Jede Kante enthält zwei Eckpunkte, das heißt M B=2P. Aus den letzten beiden Gleichungen und dem Satz von Euler erstellen wir ein System

.

Wenn wir dieses System lösen, erhalten wir , Und .

Ermitteln wir die Anzahl der Eckpunkte, Kanten und Flächen regelmäßiger Polyeder:

Regelmäßiges Tetraeder ( N=3, M=3)

P=6, G=4, V=4.

Regelmäßiges Oktaeder ( N=3, M=4)

P=12, G=8, V=6.

Regelmäßiges Ikosaeder( N=3, M=5)

P=30, G=20, V=12.

Würfel( N=4, M=3)

P=12, G=6, V=8.

Regelmäßiges Dodekaeder( N=5, M=3)

· P=30, G=12, V=20.

Symmetrieelemente regelmäßiger Polyeder.

Betrachten wir die Elemente der Symmetrien regelmäßiger Polyeder.

Regelmäßiges Tetraeder

Ein regelmäßiger Tetraeder (Abb. 1) hat kein Symmetriezentrum.

Die Symmetrieachsen des Tetraeders (Abb. 2) verlaufen durch die Mittelpunkte zweier gegenüberliegender Kanten, es gibt drei solcher Symmetrieachsen.

Reis. 2

Betrachten wir die Symmetrieebenen des Tetraeders (Abb. 3). Ebene α, die durch die Kante geht AB senkrecht zur Kante CD, wird die Symmetrieebene eines regelmäßigen Tetraeders sein A B C D. Es gibt sechs solcher Symmetrieebenen.

Reis. 3

Würfelsymmetrie

1. Symmetriezentrum – der Mittelpunkt des Würfels (der Schnittpunkt der Diagonalen des Würfels) (Abb. 4).

2. Symmetrieebenen: drei Symmetrieebenen, die durch die Mittelpunkte paralleler Kanten verlaufen; sechs Symmetrieebenen, die durch gegenüberliegende Rippen verlaufen (Abb. 5).

Reis. 5

3. Symmetrieachsen: drei Symmetrieachsen, die durch die Mittelpunkte gegenüberliegender Flächen verlaufen; vier Symmetrieachsen, die durch gegenüberliegende Eckpunkte verlaufen; sechs Symmetrieachsen, die durch die Mitten gegenüberliegender Rippen verlaufen (Abb. 6).

§ 1 Regelmäßiges Polyeder

In dieser Lektion werden wir uns mit regelmäßigen Polyedern befassen, und zwar mit der Symmetrie solcher Figuren. Sprechen wir darüber, wer sich in seiner Kreativität der Harmonie und Schönheit regelmäßiger Polyeder zugewandt hat.

Erinnern wir uns an die Definition eines regelmäßigen Polyeders und daran, welche regelmäßigen Polyeder existieren und in der Geometrie untersucht werden.

Ein konvexes Polyeder heißt regelmäßig, wenn alle seine Flächen gleiche regelmäßige Vielecke sind und an jedem seiner Eckpunkte die gleiche Anzahl von Kanten zusammenläuft. Es gibt nur fünf regelmäßige Polyeder: Tetraeder, Hexaeder, Oktaeder, Dodekaeder, Ikosaeder.

Erinnern wir uns auch daran, über welche Arten von Symmetrie wir im Raum sprechen – dies sind zentrale Symmetrie (relativ zu einem Punkt), axiale Symmetrie (relativ zu einer geraden Linie) und Symmetrie relativ zu einer Ebene.

§ 2 Symmetrieelemente eines regelmäßigen Tetraeders

Betrachten wir die Symmetrieelemente eines regelmäßigen Tetraeders. Es hat kein Symmetriezentrum. Aber die Gerade, die durch die Mitten zweier gegenüberliegender Kanten verläuft, ist seine Symmetrieachse.

Die Ebene, die durch die Kante AB senkrecht zur gegenüberliegenden Kante CD des regelmäßigen Tetraeders ABCD verläuft, ist eine Symmetrieebene. Schauen Sie, ein regelmäßiger Tetraeder hat drei Symmetrieachsen und sechs Symmetrieebenen.

§ 3 Symmetrieelemente des Würfels

Der Würfel hat ein Symmetriezentrum – den Schnittpunkt seiner Diagonalen. Die Geraden a und b, die durch die Mittelpunkte gegenüberliegender Flächen bzw. die Mittelpunkte zweier gegenüberliegender Kanten, die nicht zur gleichen Fläche gehören, verlaufen, sind seine Symmetrieachsen. Der Würfel hat neun Symmetrieachsen. Bitte beachten Sie, dass alle Symmetrieachsen durch das Symmetriezentrum verlaufen. Die Symmetrieebene eines Würfels ist die Ebene, die durch zwei beliebige Symmetrieachsen verläuft. Der Würfel hat neun Symmetrieebenen. Auch die übrigen drei regelmäßigen Polyeder haben ein Symmetriezentrum und mehrere Symmetrieachsen und -ebenen. Versuchen Sie, ihre Zahl zu zählen.

§ 4 Polyeder in der Kunst

Das Studium der Polyeder hat viele kreative Menschen fasziniert. Der berühmte Künstler Albrecht Dürer stellte im berühmten Stich „Melancholie“ ein Dodekaeder im Vordergrund dar. Hier ist ein Bild des Gemäldes des Künstlers Salvador Dali „Das letzte Abendmahl“. Dies ist eine riesige Leinwand, bei der der Künstler beschlossen hat, mit Leonardo da Vinci zu konkurrieren. Achten Sie darauf, was im Vordergrund des Bildes angezeigt wird. Christus und seine Jünger werden vor dem Hintergrund eines riesigen transparenten Dodekaeders dargestellt. Der niederländische Künstler Moritz Cornelis Escher, geboren 1989 in Leeuwarden, hat einzigartige und faszinierende Werke geschaffen, die ein breites Spektrum mathematischer Ideen nutzen oder darstellen. Regelmäßige geometrische Körper – Polyeder – hatten für Escher einen besonderen Reiz. In vielen seiner Werke sind Polyeder die Hauptfigur und in noch mehr Werken erscheinen sie als Hilfselemente. In der Gravur „Vier Körper“ stellte Escher den Schnittpunkt der wichtigsten regelmäßigen Polyeder dar, die auf derselben Symmetrieachse liegen; außerdem sehen die Polyeder durchscheinend aus, und durch jeden von ihnen ist der Rest zu sehen. Zu Beginn des 20. Jahrhunderts entstand in Frankreich eine modernistische Bewegung in den bildenden Künsten, vor allem in der Malerei – der Kubismus, der durch die Verwendung deutlich geometrisierter konventioneller Formen und den Wunsch gekennzeichnet war, reale Objekte in stereometrische Primitive aufzuspalten. Die bekanntesten kubistischen Werke waren Picassos Gemälde „Les Demoiselles d’Avignon“ und „Gitarre“.

§ 5 Polyeder in der Natur

Die Natur schafft ebenso erstaunliche Kreationen. Speisesalz besteht aus würfelförmigen Kristallen. Das Skelett des Einzellers Feodaria ist ein Ikosaeder. Auch das Mineral Sylvit hat ein würfelförmiges Kristallgitter. Pyritkristalle haben die Form eines Dodekaeders. Wassermoleküle haben die Form eines Tetraeders.

Auch das Mineral Sylvit hat ein würfelförmiges Kristallgitter. Pyritkristalle haben die Form eines Dodekaeders. Wassermoleküle haben die Form eines Tetraeders. Das Mineral Cuprit bildet Kristalle in Form von Oktaedern. Viren, die nur aus Nukleinsäure und Protein aufgebaut sind, haben die Form eines Ikosaeders. All das können wir überall bewundern und bewundern.

Und noch einmal möchte ich auf die Worte von Johannes Kepler zurückkommen, einem deutschen Mathematiker, Astronomen, Mechaniker, Optiker und Astrologen, dem Entdecker der Gesetze der Planetenbewegung, der sagte: „Mathematik ist der Prototyp der Schönheit der Welt.“

Liste der verwendeten Literatur:

1. Geometrie. 10. – 11. Klasse: Lehrbuch für die Allgemeinbildung. Institutionen: Basis und Profil. Ebenen / [L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev und andere]. – 22. Aufl. – M.: Bildung, 2013. – 255 S. : krank. – (MSU – in der Schule)
2. Pädagogisches und methodisches Handbuch zur Unterstützung von Schullehrern. Zusammengestellt von Yarovenko V.A. Unterrichtsentwicklungen in Geometrie für den Bildungssatz von L. S. Atanasyan et al. (M.: Prosveshcheniye) 10. Klasse
3. Rabinovich E. M. Aufgaben und Übungen zu vorgefertigten Zeichnungen. 10. – 11. Klasse. Geometrie. – M.: Ilexa, 2006. – 80 s.
4. M. Ya Vygodsky Handbuch der Elementarmathematik M.: AST Astrel, 2006. - 509 S.
5. Avanta+. Enzyklopädie für Kinder. Band 11. Mathematik 2. Aufl., überarbeitet - M.: World of Avanta+ Enzyklopädien: Astrel 2007. - 621 S. Ed. Vorstand: M. Aksyonova, V. Volodin, M. Samsonov.

Verwendete Bilder:

Zweck des Studiums 1. Den Schülern die Symmetrie im Raum näher bringen. 2. Machen Sie den Schülern eine neue Art konvexer Polyeder bekannt – reguläre Polyeder. 3. Zeigen Sie den Einfluss regelmäßiger Polyeder auf die Entstehung philosophischer Theorien und fantastischer Hypothesen. 4. Zeigen Sie den Zusammenhang zwischen Geometrie und Natur. 5. Machen Sie die Schüler mit der Symmetrie regelmäßiger Polyeder vertraut.

Vorhergesagtes Ergebnis 1. Kennen Sie die Konzepte symmetrischer Punkte relativ zu einem Punkt, einer Linie oder einer Ebene; Konzepte des Zentrums, der Achse und der Symmetrieebene einer Figur. 2. Kennen Sie die Definition regelmäßiger konvexer Polyeder. 3. Sie können nachweisen, dass es nur fünf Arten solcher Körper gibt. 4. In der Lage sein, jeden Typ regelmäßiger Polyeder zu charakterisieren. 5. Die Symmetrieelemente regelmäßiger Polyeder charakterisieren können. 6. In der Lage sein, Probleme beim Finden von Elementen regelmäßiger Polyeder zu lösen.

Ein Punkt (gerade Linie, Ebene) wird als Symmetriezentrum (Achse, Ebene) einer Figur bezeichnet, wenn jeder Punkt der Figur relativ dazu zu einem Punkt derselben Figur symmetrisch ist. Wenn eine Figur einen Mittelpunkt (Achse, Symmetrieebene) hat, spricht man von Zentralsymmetrie (Achsensymmetrie, Spiegelsymmetrie).

Die Abbildungen 4,5,6 zeigen den Mittelpunkt O, die Achse a und die Symmetrieebene α eines rechteckigen Parallelepipeds. Ein Parallelepiped, das nicht rechteckig, sondern ein gerades Prisma ist, hat eine Ebene (oder Ebenen, wenn seine Basis eine Raute ist), eine Achse und ein Symmetriezentrum.

Eine Figur kann ein oder mehrere Symmetriezentren (Achsen, Symmetrieebenen) haben. Beispielsweise hat ein Würfel nur ein Symmetriezentrum und mehrere Symmetrieachsen und -ebenen. Es gibt Figuren, die unendlich viele Mittelpunkte, Achsen oder Symmetrieebenen haben. Die einfachsten dieser Figuren sind die Gerade und die Ebene. Jeder Punkt auf der Ebene ist ihr Symmetriezentrum. Jede gerade Linie (Ebene), die senkrecht zu einer bestimmten Ebene steht, ist deren Symmetrieachse (Ebene). Andererseits gibt es Figuren, die keine Mittelpunkte, Achsen oder Symmetrieebenen haben. Beispielsweise hat ein Parallelepiped, das kein gerades Prisma ist, keine Symmetrieachse, sondern ein Symmetriezentrum.

Symmetrien begegnen uns oft in Natur, Architektur, Technik und Alltag. Daher sind viele Gebäude symmetrisch zur Ebene, beispielsweise das Hauptgebäude der Moskauer Staatsuniversität. Viele Teile von Mechanismen, wie zum Beispiel Zahnräder, sind symmetrisch. Fast alle in der Natur vorkommenden Kristalle haben ein Zentrum, eine Achse oder eine Symmetrieebene. (Abb. 7)

Ein konvexes Polyeder heißt regelmäßig, wenn alle seine Flächen gleiche regelmäßige Vielecke sind und an jedem seiner Eckpunkte die gleiche Anzahl von Kanten zusammenläuft. Es gibt fünf Arten regelmäßiger konvexer Polyeder. Ihre Flächen sind regelmäßige Dreiecke, regelmäßige Vierecke (Quadrate) und regelmäßige Fünfecke. Ein konvexes Polyeder heißt regelmäßig, wenn alle seine Flächen gleiche regelmäßige Vielecke sind und an jedem seiner Eckpunkte die gleiche Anzahl von Kanten zusammenläuft. Es gibt fünf Arten regelmäßiger konvexer Polyeder. Ihre Flächen sind regelmäßige Dreiecke, regelmäßige Vierecke (Quadrate) und regelmäßige Fünfecke.

Beweisen wir, dass es für n 6 kein reguläres Polyeder gibt, dessen Flächen regelmäßige Sechsecke, Siebenecke und im Allgemeinen n-Ecke sind. Der Winkel eines regelmäßigen Polyeders wird durch die Formel α n = (180°(n-2)) berechnet. : N. An jedem Scheitelpunkt des Polyeders gibt es mindestens drei ebene Winkel, und ihre Summe muss weniger als 360° betragen. Bei n=3 sind die Flächen des Polyeders regelmäßige Dreiecke mit einem Winkel von 60°. 60° 3 = 180°

Wenn n = 4, dann α = 90°, sind die Flächen des Polyeders Quadrate. 90° 3 = 270° 360°. In diesem Fall haben wir auch nur ein reguläres Polyeder – das Dodekaeder. Wenn n 6, dann ist α n 120°, α n 3 360°, und daher gibt es kein reguläres Polyeder, dessen Flächen regelmäßige n-Ecke für n 6 sind. Wenn n = 4, dann α = 90°, Flächen des Polyeder - Quadrate. 90° 3 = 270° 360°. In diesem Fall haben wir auch nur ein reguläres Polyeder – das Dodekaeder. Wenn n 6, dann beträgt α n 120°, α n 3 360°, und daher gibt es für n 6 kein reguläres Polyeder, dessen Flächen regelmäßige n-Ecke sind.

„Regelmäßige Polyeder in Platons philosophischem Weltbild“ Regelmäßige Polyeder werden manchmal als platonische Körper bezeichnet, da sie einen herausragenden Platz im philosophischen Weltbild einnehmen, das vom großen Denker des antiken Griechenlands Platon (ca. 428 – ca. 348 v. Chr.) entwickelt wurde ). Platon glaubte, dass die Welt aus vier „Elementen“ besteht – Feuer, Erde, Luft und Wasser – und dass die Atome dieser „Elemente“ die Form von vier regelmäßigen Polyedern haben. Das Tetraeder verkörperte das Feuer, da seine Spitze wie eine lodernde Flamme nach oben zeigt; Ikosaeder – als das stromlinienförmigste – Wasser; Der Würfel ist die stabilste der Figuren – die Erde, und das Oktaeder ist die Luft. Heutzutage kann dieses System mit den vier Aggregatzuständen Feststoff, Flüssigkeit, Gas und Flamme verglichen werden. Das fünfte Polyeder, das Dodekaeder, symbolisierte die ganze Welt und galt als das wichtigste. Dies war einer der ersten Versuche, die Idee der Systematisierung in die Wissenschaft einzuführen.

Und nun gehen wir vom antiken Griechenland weiter nach Europa im 10. – 10. – 2. Jahrhundert, als der wunderbare deutsche Astronom und Mathematiker Johannes Kepler (1571 – 1630) lebte und arbeitete. „Kepler Cup“ Stellen wir uns vor, wir wären an Keplers Stelle. Vor ihm stehen verschiedene Tabellen – Zahlenkolonnen. Dies sind die Ergebnisse von Beobachtungen der Bewegung der Planeten des Sonnensystems – sowohl seiner eigenen als auch der großen Vorgänger – Astronomen. In dieser Welt der Computerarbeit möchte er einige Muster finden. Johannes Kepler, für den regelmäßige Polyeder ein beliebtes Studienfach waren, vermutete, dass es einen Zusammenhang zwischen den fünf regelmäßigen Polyedern und den sechs damals entdeckten Planeten des Sonnensystems gab. Nach dieser Annahme lässt sich in die Sphäre der Saturnbahn ein Würfel einschreiben, in den die Sphäre der Jupiterbahn passt. Und nun gehen wir vom antiken Griechenland weiter nach Europa im 10. – 10. – 2. Jahrhundert, als der wunderbare deutsche Astronom und Mathematiker Johannes Kepler (1571 – 1630) lebte und arbeitete. „Kepler Cup“ Stellen wir uns vor, wir wären an Keplers Stelle. Vor ihm stehen verschiedene Tabellen – Zahlenkolonnen. Dies sind die Ergebnisse von Beobachtungen der Bewegung der Planeten des Sonnensystems – sowohl seiner eigenen als auch der großen Vorgänger – Astronomen. In dieser Welt der Computerarbeit möchte er einige Muster finden. Johannes Kepler, für den regelmäßige Polyeder ein beliebtes Studienfach waren, vermutete, dass es einen Zusammenhang zwischen den fünf regelmäßigen Polyedern und den sechs damals entdeckten Planeten des Sonnensystems gab. Nach dieser Annahme lässt sich in die Sphäre der Saturnbahn ein Würfel einschreiben, in den die Sphäre der Jupiterbahn passt.

Darin wiederum passt das beschriebene Tetraeder in der Nähe der Umlaufbahn des Mars. Das Dodekaeder passt in die Sphäre der Marsumlaufbahn, in die auch die Sphäre der Erdumlaufbahn passt. Und es wird in der Nähe des Ikosaeders beschrieben, in den die Kugel der Venusbahn eingeschrieben ist. Die Sphäre dieses Planeten wird um das Oktaeder herum beschrieben, in das die Sphäre des Merkur passt. Dieses Modell des Sonnensystems wurde Keplers „Kosmischer Kelch“ genannt. Die Ergebnisse seiner Berechnungen veröffentlichte der Wissenschaftler im Buch „The Mystery of the Universe“. Er glaubte, dass das Geheimnis des Universums gelüftet sei. Jahr für Jahr verfeinerte er seine Beobachtungen, überprüfte die Daten seiner Kollegen noch einmal, fand aber schließlich die Kraft, die verlockende Hypothese aufzugeben. Seine Spuren sind jedoch im dritten Keplerschen Gesetz sichtbar, das von den Würfeln der durchschnittlichen Entfernungen von der Sonne spricht. Heute können wir mit Sicherheit sagen, dass die Abstände zwischen Planeten und ihre Anzahl in keiner Weise mit Polyedern zusammenhängen. Natürlich ist die Struktur des Sonnensystems nicht zufällig, aber die wahren Gründe, warum es so und nicht anders strukturiert ist, sind immer noch nicht bekannt. Keplers Ideen erwiesen sich als falsch, aber ohne Hypothesen, manchmal die unerwartetsten, scheinbar verrückten, kann die Wissenschaft nicht existieren.

Die Ideen von Platon und Kepler über den Zusammenhang regelmäßiger Polyeder mit der harmonischen Struktur der Welt in unserer Zeit wurden in einer interessanten wissenschaftlichen Hypothese fortgeführt, die Anfang der 80er Jahre entstand. ausgedrückt von den Moskauer Ingenieuren V. Makarov und V. Morozov. Sie glauben, dass der Erdkern die Form und Eigenschaften eines wachsenden Kristalls hat, der die Entwicklung aller natürlichen Prozesse auf dem Planeten beeinflusst. Die Strahlen dieses Kristalls bzw. seines Kraftfeldes bestimmen das Ikosaeder – die Dodekaederstruktur der Erde. (Abb. 8) Es manifestiert sich darin, dass in der Erdkruste die Projektionen regelmäßiger Polyeder erscheinen, die in den Globus eingeschrieben sind: das Ikosaeder und das Dodekaeder. Viele Mineralvorkommen erstrecken sich entlang des Ikosaeders – einem Dodekaeder-Netzwerk; Die 62 Eckpunkte und Mittelpunkte der Kanten von Polyedern, von den Autoren Knoten genannt, haben eine Reihe spezifischer Eigenschaften, die es ermöglichen, einige unverständliche Phänomene zu erklären. Hier liegen die Zentren antiker Kulturen und Zivilisationen: Peru, Nordmongolei, Haiti, Ob-Kultur und andere. An diesen Punkten werden maximaler und minimaler Atmosphärendruck und riesige Wirbel des Weltozeans beobachtet. Diese Knoten umfassen Loch Ness und das Bermuda-Dreieck.

Kommen wir nun von den wissenschaftlichen Hypothesen zu den wissenschaftlichen Fakten. Regelmäßiges Polyeder Anzahl der ScheitelpunktflächenKanten Tetraeder 446 Würfel 6812 Oktaeder 8612 Dodekaeder Ikosaeder

Anzahl der Flächen und Eckpunkte (g+c) Kanten Tetraeder = 8 6 Würfel = Oktaeder = Dodekaeder = Ikosaeder = 32 30

Г + В = Р + 2 Diese Formel wurde bereits 1640 von Descartes bemerkt und später von Euler (1752) wiederentdeckt, dessen Namen sie seitdem trägt. Eulers Formel gilt für alle konvexen Polyeder. Auch Bildhauer, Architekten und Künstler zeigten großes Interesse an den Formen regelmäßiger Polyeder. Sie waren alle erstaunt über die Perfektion und Harmonie der Polyeder. Leonardo da Vinci () liebte die Theorie der Polyeder und stellte sie oft auf seinen Leinwänden dar. In dem Gemälde „Das letzte Abendmahl“ stellte Salvador Dali I. Christus mit seinen Jüngern vor dem Hintergrund eines riesigen transparenten Dodekaeders dar.
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Regelmäßige Polyeder kommen in der belebten Natur vor. Beispielsweise hat das Skelett des Einzellers Feodaria die Form eines Ikosaeders. Was hat diese natürliche Geometrisierung von Feodaria verursacht? Anscheinend ist es das Ikosaeder, das von allen Polyedern mit der gleichen Anzahl an Flächen das größte Volumen mit der kleinsten Oberfläche hat. Diese Eigenschaft hilft dem Meeresorganismus, den Druck der Wassersäule zu überwinden. Regelmäßige Polyeder sind die vorteilhaftesten Figuren. Und die Natur nutzt dies in großem Umfang. Dies wird durch die Form einiger Kristalle bestätigt. Nehmen wir zum Beispiel Speisesalz, auf das wir nicht verzichten können. Es ist bekannt, dass es wasserlöslich ist und als Leiter für elektrischen Strom dient. Und Speisesalzkristalle sind würfelförmig. Bei der Herstellung von Aluminium wird Aluminium-Kalium-Quarz verwendet, dessen Einkristall die Form eines regelmäßigen Oktaeders hat. Die Herstellung von Schwefelsäure, Eisen und speziellen Zementsorten ist ohne schwefelhaltigen Pyrit nicht möglich. Die Kristalle dieser Chemikalie haben die Form eines Dodekaeders. Antimonnatriumsulfat, eine von Wissenschaftlern synthetisierte Substanz, wird in verschiedenen chemischen Reaktionen verwendet. Der Kristall aus Natriumantimonsulfat hat die Form eines Tetraeders. Das Ikosaeder vermittelt die Form von Borkristallen. Einst wurde Bor zur Herstellung von Halbleitern der ersten Generation verwendet.

Symmetrieelemente regelmäßiger Polyeder Ein regelmäßiger Tetraeder hat kein Symmetriezentrum, drei Symmetrieachsen und sechs Symmetrieebenen. Der Würfel hat ein Symmetriezentrum – den Schnittpunkt seiner Diagonalen, neun Symmetrieachsen, neun Symmetrieebenen. Das regelmäßige Oktaeder, das regelmäßige Ikosaeder und das regelmäßige Dodekaeder haben ein Symmetriezentrum und mehrere Symmetrieachsen und -ebenen.

Test 1. Welcher der aufgelisteten geometrischen Körper ist kein regelmäßiges Polyeder? a) regelmäßiges Tetraeder; b) regelmäßiges Hexaeder; c) richtiges Prisma; d) regelmäßiges Dodekaeder; e) regelmäßiges Oktaeder. 2. Wählen Sie die richtige Aussage: a) Ein regelmäßiges Polyeder, dessen Flächen regelmäßige Sechsecke sind, wird als regelmäßiges Hexaeder bezeichnet.

B) die Summe der Ebenenwinkel am Scheitelpunkt eines regelmäßigen Dodekaeders beträgt 324°; c) der Würfel hat zwei Symmetriezentren – eines an jeder Basis; d) ein regelmäßiges Tetraeder besteht aus 8 regelmäßigen Dreiecken; e) Es gibt insgesamt 6 Arten regelmäßiger Polyeder. 3. Welche der folgenden Aussagen ist falsch? a) die Summe der Diederwinkel eines regelmäßigen Tetraeders und eines regelmäßigen Oktaeders beträgt 180°; b) die Mittelpunkte der Würfelflächen sind die Eckpunkte eines regelmäßigen Oktaeders;

C) ein regelmäßiges Dodekaeder besteht aus 12 regelmäßigen Fünfecken; d) die Summe der Ebenenwinkel an jedem Scheitelpunkt eines regelmäßigen Ikosaeders beträgt 270°; e) ein Würfel und ein regelmäßiges Hexaeder sind ein und dasselbe. Fassen wir zusammen. - Welche neuen geometrischen Körper sind uns heute begegnet? - Warum schätzte L. Carroll die Bedeutung dieser Polyeder so hoch? -Hausaufgaben: Absatz 35, Absatz 36, p (mündlich)

Symmetrieelemente der regelmäßigen Polyedergeometrie. 10. Klasse.

Tetraeder- (von griechisch tetra – vier und hedra – Fläche) – ein regelmäßiges Polyeder, bestehend aus 4 gleichseitigen Dreiecken. Aus der Definition eines regelmäßigen Polyeders folgt, dass alle Kanten des Tetraeders gleich lang und die Flächen gleich groß sind.

Symmetrieelemente des Tetraeders

Das Tetraeder hat drei Symmetrieachsen, die durch die Mitten der sich schneidenden Kanten verlaufen.

Das Tetraeder hat 6 Symmetrieebenen, von denen jede durch eine Kante des Tetraeders verläuft, die senkrecht zu der Kante steht, die sie schneidet.

Oktaeder -(von griechisch okto – acht und hedra – Fläche) – ein regelmäßiges Polyeder bestehend aus 8 gleichseitigen Dreiecken. Ein Oktaeder hat 6 Ecken und 12 Kanten. Jeder Scheitelpunkt des Oktaeders ist der Scheitelpunkt von 4 Dreiecken, sodass die Summe der Ebenenwinkel am Scheitelpunkt des Oktaeders 240° beträgt.

Symmetrieelemente des Oktaeders

Drei der 9 Symmetrieachsen des Oktaeders verlaufen durch gegenüberliegende Eckpunkte, sechs durch die Mittelpunkte der Kanten. Das Symmetriezentrum eines Oktaeders ist der Schnittpunkt seiner Symmetrieachsen.

Drei der 9 Symmetrieebenen des Tetraeders verlaufen durch alle 4 Eckpunkte des Oktaeders, die in derselben Ebene liegen.

Sechs Symmetrieebenen verlaufen durch zwei Eckpunkte, die nicht zur gleichen Fläche gehören, und durch die Mittelpunkte gegenüberliegender Kanten.

Ikosaeder– (von griechisch ico – sechs und hedra – Fläche) ein regelmäßiges konvexes Polyeder, bestehend aus 20 regelmäßigen Dreiecken. Jeder der 12 Scheitelpunkte des Ikosaeders ist der Scheitelpunkt von 5 gleichseitigen Dreiecken, sodass die Summe der Winkel an den Scheitelpunkten gleich ist

Symmetrieelemente des Ikosaeders

Ein regelmäßiges Ikosaeder hat 15 Symmetrieachsen, die jeweils durch die Mittelpunkte gegenüberliegender paralleler Kanten verlaufen. Der Schnittpunkt aller Symmetrieachsen des Ikosaeders ist sein Symmetriezentrum.

Es gibt außerdem 15 Symmetrieebenen. Symmetrieebenen verlaufen durch vier Eckpunkte, die in derselben Ebene liegen, und durch die Mittelpunkte gegenüberliegender paralleler Kanten.

Würfel oder Hexaeder(von griechisch hex – sechs und hedra – Kante) besteht aus 6 Quadraten. Jeder der 8 Eckpunkte des Würfels ist der Eckpunkt von 3 Quadraten, daher beträgt die Summe der Ebenenwinkel an jedem Eckpunkt 2700. Der Würfel hat 12 Kanten gleicher Länge.

Würfelsymmetrieelemente

Die Symmetrieachse eines Würfels kann entweder durch die Mittelpunkte paralleler Kanten, die nicht zur gleichen Fläche gehören, oder durch den Schnittpunkt der Diagonalen gegenüberliegender Flächen verlaufen. Das Symmetriezentrum eines Würfels ist der Schnittpunkt seiner Diagonalen.

Es gibt 9 Symmetrieachsen, die durch das Symmetriezentrum verlaufen.

Der Würfel hat außerdem 9 Symmetrieebenen, die entweder durch gegenüberliegende Kanten verlaufen

(es gibt 6 solcher Ebenen) oder durch die Mitten gegenüberliegender Kanten (es gibt 3 davon).

Dodekaeder(von griechisch dodeka – zwölf und hedra – Fläche) ist ein regelmäßiges Polyeder, das aus 12 gleichseitigen Fünfecken besteht. Das Dodekaeder hat 20 Ecken und 30 Kanten. Der Scheitelpunkt des Dodekaeders ist der Scheitelpunkt von drei Fünfecken, daher beträgt die Summe der Ebenenwinkel an jedem Scheitelpunkt 3240.

Symmetrieelemente des Dodekaeders

Das Dodekaeder hat ein Symmetriezentrum und 15 Symmetrieachsen. Jede der Achsen verläuft durch die Mittelpunkte gegenüberliegender paralleler Kanten.

Das Dodekaeder hat 15 Symmetrieebenen. Jede der Symmetrieebenen verläuft in jeder Fläche durch die Oberseite und die Mitte der gegenüberliegenden Kante.

Entwicklungen regelmäßiger Polyeder

Entwicklung ist eine Möglichkeit, ein Polyeder auf eine Ebene zu entfalten, nachdem Schnitte entlang mehrerer Kanten ausgeführt wurden. Das Netz ist ein flaches Polygon, das aus kleineren Polygonen besteht – den Flächen des ursprünglichen Polyeders. Das gleiche Polyeder kann mehrere unterschiedliche Entwicklungen haben.