Definition eines rechten Parallelepipeds. Phase des Wissenserwerbs. Phase der Verallgemeinerung und Konsolidierung von neuem Material

Als Sie klein waren und mit Würfeln gespielt haben, haben Sie vielleicht die in Abbildung 154 gezeigten Formen gemacht. Diese Zahlen geben einen Eindruck davon rechteckiges Parallelepiped. Beispielsweise haben eine Schachtel Pralinen, ein Ziegelstein, eine Streichholzschachtel, eine Verpackungsschachtel und eine Saftschachtel die Form eines rechteckigen Parallelepipeds.

Abbildung 155 zeigt ein rechteckiges Parallelepiped ABCDA 1 B 1 C 1 D 1.

Ein rechteckiges Parallelepiped ist durch sechs begrenzt Kanten. Jede Fläche ist ein Rechteck, d.h. Die Oberfläche eines rechteckigen Parallelepipeds besteht aus sechs Rechtecken.

Die Seiten der Gesichter werden genannt Kanten eines rechteckigen Parallelepipeds, Eckpunkte von Flächen − Eckpunkte eines rechteckigen Parallelepipeds. Beispielsweise sind die Segmente AB, BC, A 1 B 1 Kanten und die Punkte B, A 1, C 1 sind Eckpunkte des Parallelepipeds ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 (Abb. 155).

Ein rechteckiges Parallelepiped hat 8 Eckpunkte und 12 Kanten.

Die Flächen AA 1 B 1 B und DD 1 C 1 C haben keine gemeinsamen Eckpunkte. Solche Kanten heißen Gegenteil. Im Parallelepiped ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 gibt es zwei weitere Paare gegenüberliegender Flächen: die Rechtecke ABCD und A 1 B 1 C 1 D 1 sowie die Rechtecke AA 1 D 1 D und BB 1 C 1 C.

Gegenüberliegende Flächen eines rechteckigen Parallelepipeds sind gleich.

In Abbildung 155 heißt das Gesicht ABCD Basis rechteckiges Parallelepiped ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 .

Die Oberfläche eines Parallelepipeds ist die Summe der Flächen aller seiner Flächen.

Um eine Vorstellung von den Abmessungen eines rechteckigen Parallelepipeds zu bekommen, reicht es aus, drei beliebige Kanten zu betrachten, die einen gemeinsamen Scheitelpunkt haben. Die Längen dieser Kanten werden aufgerufen Messungen rechteckiges Parallelepiped. Um sie zu unterscheiden, verwenden sie Namen: Länge, Breite, Höhe(Abb. 156).

Ein rechteckiges Parallelepiped, bei dem alle Abmessungen gleich sind, heißt Würfel(Abb. 157). Die Oberfläche des Würfels besteht aus sechs gleichen Quadraten.

Wenn man einen Kasten in Form eines rechteckigen Parallelepipeds öffnet (Abb. 158) und entlang vier vertikaler Kanten aufschneidet (Abb. 159) und dann entfaltet, erhält man eine Figur, die aus sechs Rechtecken besteht (Abb. 160). Diese Zahl heißt Entwicklung eines rechteckigen Parallelepipeds.

Abbildung 161 zeigt eine Figur bestehend aus sechs gleichen Quadraten. Es ist ein Netz aus einem Würfel.

Mithilfe einer Entwicklung können Sie ein Modell eines rechteckigen Parallelepipeds erstellen.

Dies kann beispielsweise so erfolgen. Zeichnen Sie den Umriss auf Papier. Schneiden Sie es aus, biegen Sie es entlang der Segmente, die den Kanten des rechteckigen Parallelepipeds entsprechen (siehe Abb. 159), und kleben Sie es zusammen.

Ein rechteckiges Parallelepiped ist eine Art Polyeder – eine Figur, deren Oberfläche aus Polygonen besteht. Abbildung 162 zeigt Polyeder.

Eine Art Polyeder ist Pyramide.

Diese Zahl ist für Sie nicht neu. Während des Studiums der Antike haben Sie eines der sieben Weltwunder kennengelernt – die ägyptischen Pyramiden.

Abbildung 163 zeigt die Pyramiden MABC, MABCD, MABCDE. Die Oberfläche der Pyramide besteht aus Seitenflächen− Dreiecke mit einem gemeinsamen Scheitelpunkt und Gründe(Abb. 164). Der gemeinsame Scheitelpunkt der Seitenflächen wird aufgerufen Kanten der Basis der Pyramide und die Seiten der Seitenflächen, die nicht zur Basis gehören, sind Seitenkanten der Pyramide.

Pyramiden können nach der Anzahl der Seiten der Basis klassifiziert werden: dreieckig, viereckig, fünfeckig (siehe Abb. 163) usw.

Die Oberfläche einer dreieckigen Pyramide besteht aus vier Dreiecken. Jedes dieser Dreiecke kann als Basis einer Pyramide dienen. Diese Basis ist eine Art Pyramide, deren Basis jede beliebige Seite sein kann.

Abbildung 165 zeigt eine Figur, die dienen kann Entwicklung einer viereckigen Pyramide. Es besteht aus einem Quadrat und vier gleichschenkligen Dreiecken.

Abbildung 166 zeigt eine Figur, die aus vier gleichen gleichseitigen Dreiecken besteht. Mit dieser Figur können Sie ein Modell einer dreieckigen Pyramide erstellen, deren Flächen alle gleichseitige Dreiecke sind.

Polyeder sind Beispiele geometrische Körper.

Abbildung 167 zeigt bekannte geometrische Körper, die keine Polyeder sind. Mehr über diese Körper erfahren Sie in der 6. Klasse.

In dieser Lektion kann sich jeder mit dem Thema „Rechteckiges Parallelepiped“ befassen. Zu Beginn der Lektion werden wir wiederholen, was beliebige und gerade Parallelepipede sind, und uns an die Eigenschaften ihrer gegenüberliegenden Flächen und Diagonalen des Parallelepipeds erinnern. Dann schauen wir uns an, was ein Quader ist und besprechen seine grundlegenden Eigenschaften.

Thema: Rechtwinkligkeit von Linien und Ebenen

Lektion: Quader

Eine Fläche bestehend aus zwei gleichen Parallelogrammen ABCD und A 1 B 1 C 1 D 1 und vier Parallelogrammen ABV 1 A 1, BCC 1 B 1, CDD 1 C 1, DAA 1 D 1 heißt Parallelepiped(Abb. 1).

Reis. 1 Parallelepiped

Das heißt: Wir haben zwei gleiche Parallelogramme ABCD und A 1 B 1 C 1 D 1 (Basen), sie liegen in parallelen Ebenen, so dass die Seitenkanten AA 1, BB 1, DD 1, CC 1 parallel sind. So nennt man eine aus Parallelogrammen zusammengesetzte Fläche Parallelepiped.

Somit ist die Oberfläche eines Parallelepipeds die Summe aller Parallelogramme, aus denen das Parallelepiped besteht.

1. Die gegenüberliegenden Flächen eines Parallelepipeds sind parallel und gleich.

(die Formen sind gleich, d. h. sie können durch Überlappung kombiniert werden)

Zum Beispiel:

ABCD = A 1 B 1 C 1 D 1 (per Definition gleiche Parallelogramme),

AA 1 B 1 B = DD 1 C 1 C (da AA 1 B 1 B und DD 1 C 1 C gegenüberliegende Flächen des Parallelepipeds sind),

AA 1 D 1 D = BB 1 C 1 C (da AA 1 D 1 D und BB 1 C 1 C gegenüberliegende Flächen des Parallelepipeds sind).

2. Die Diagonalen eines Parallelepipeds schneiden sich in einem Punkt und werden durch diesen Punkt halbiert.

Die Diagonalen des Parallelepipeds AC 1, B 1 D, A 1 C, D 1 B schneiden sich in einem Punkt O, und jede Diagonale wird durch diesen Punkt in zwei Hälften geteilt (Abb. 2).

Reis. 2 Die Diagonalen eines Parallelepipeds schneiden sich und werden durch den Schnittpunkt in zwei Hälften geteilt.

3. Es gibt drei Quadrupel gleicher und paralleler Kanten eines Parallelepipeds: 1 - AB, A 1 B 1, D 1 C 1, DC, 2 - AD, A 1 D 1, B 1 C 1, BC, 3 - AA 1, BB 1, CC 1, DD 1.

Definition. Ein Parallelepiped heißt gerade, wenn seine Seitenkanten senkrecht zu den Grundflächen stehen.

Die Seitenkante AA 1 sei senkrecht zur Basis (Abb. 3). Dies bedeutet, dass die Gerade AA 1 senkrecht zu den Geraden AD und AB steht, die in der Ebene der Grundfläche liegen. Das bedeutet, dass die Seitenflächen Rechtecke enthalten. Und die Basen enthalten beliebige Parallelogramme. Bezeichnen wir ∠BAD = φ, der Winkel φ kann beliebig sein.

Reis. 3 Rechter Parallelepiped

Ein rechtwinkliges Parallelepiped ist also ein Parallelepiped, bei dem die Seitenkanten senkrecht zu den Grundflächen des Parallelepipeds stehen.

Definition. Das Parallelepiped heißt rechteckig, wenn seine Seitenkanten senkrecht zur Basis stehen. Die Grundflächen sind Rechtecke.

Das Parallelepiped ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ist rechteckig (Abb. 4), wenn:

1. AA 1 ⊥ ABCD (Seitenkante senkrecht zur Grundebene, also ein gerades Parallelepiped).

2. ∠BAD = 90°, d. h. die Grundfläche ist ein Rechteck.

Reis. 4 Rechteckiges Parallelepiped

Ein rechteckiges Parallelepiped hat alle Eigenschaften eines beliebigen Parallelepipeds. Es gibt aber noch weitere Eigenschaften, die sich aus der Definition eines Quaders ableiten.

Also, Quader ist ein Parallelepiped, dessen Seitenkanten senkrecht zur Grundfläche stehen. Die Grundfläche eines rechteckigen Parallelepipeds ist ein Rechteck.

1. Bei einem rechteckigen Parallelepiped sind alle sechs Flächen Rechtecke.

ABCD und A 1 B 1 C 1 D 1 sind per Definition Rechtecke.

2. Die seitlichen Rippen stehen senkrecht zur Basis. Dies bedeutet, dass alle Seitenflächen eines rechteckigen Parallelepipeds Rechtecke sind.

3. Alle Diederwinkel eines rechteckigen Parallelepipeds sind rechtwinklig.

Betrachten wir zum Beispiel den Diederwinkel eines rechteckigen Parallelepipeds mit der Kante AB, also den Diederwinkel zwischen den Ebenen ABC 1 und ABC.

AB ist eine Kante, Punkt A 1 liegt in einer Ebene – in der Ebene ABB 1 und Punkt D in der anderen – in der Ebene A 1 B 1 C 1 D 1. Dann kann der betrachtete Diederwinkel auch wie folgt bezeichnet werden: ∠A 1 ABD.

Nehmen wir Punkt A auf der Kante AB. AA 1 ist senkrecht zur Kante AB in der Ebene АВВ-1, AD ist senkrecht zur Kante AB in der Ebene ABC. Dies bedeutet, dass ∠A 1 AD der lineare Winkel eines gegebenen Diederwinkels ist. ∠A 1 AD = 90°, was bedeutet, dass der Diederwinkel an der Kante AB 90° beträgt.

∠(ABB 1, ABC) = ∠(AB) = ∠A 1 ABD= ∠A 1 AD = 90°.

Ebenso wird bewiesen, dass alle Diederwinkel eines rechteckigen Parallelepipeds richtig sind.

Das Quadrat der Diagonale eines rechteckigen Parallelepipeds ist gleich der Summe der Quadrate seiner drei Dimensionen.

Notiz. Die Längen der drei Kanten, die von einer Ecke eines Quaders ausgehen, sind die Maße des Quaders. Sie werden manchmal als Länge, Breite und Höhe bezeichnet.

Gegeben: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - rechteckiges Parallelepiped (Abb. 5).

Beweisen: .

Reis. 5 Rechteckiges Parallelepiped

Nachweisen:

Die Gerade CC 1 steht senkrecht zur Ebene ABC und damit zur Geraden AC. Das bedeutet, dass das Dreieck CC 1 A rechtwinklig ist. Nach dem Satz des Pythagoras:

Betrachten Sie das rechtwinklige Dreieck ABC. Nach dem Satz des Pythagoras:

Aber BC und AD sind gegenüberliegende Seiten des Rechtecks. Also BC = AD. Dann:

Als , A , Das. Da CC 1 = AA 1, musste dies bewiesen werden.

Die Diagonalen eines rechteckigen Parallelepipeds sind gleich.

Bezeichnen wir die Abmessungen des Parallelepipeds ABC als a, b, c (siehe Abb. 6), dann AC 1 = CA 1 = B 1 D = DB 1 =

Aus dem Griechischen übersetzt bedeutet Parallelogramm Ebene. Ein Parallelepiped ist ein Prisma mit einem Parallelogramm an seiner Basis. Es gibt fünf Arten von Parallelogrammen: schräg, gerade und quaderförmig. Auch der Würfel und das Rhomboeder gehören zum Parallelepiped und sind dessen Abart.

Bevor wir zu den Grundkonzepten übergehen, geben wir einige Definitionen:

• Die Diagonale eines Parallelepipeds ist ein Segment, das die einander gegenüberliegenden Eckpunkte des Parallelepipeds vereint.
• Wenn zwei Flächen eine gemeinsame Kante haben, können wir sie benachbarte Kanten nennen. Wenn keine gemeinsame Kante vorhanden ist, werden die Flächen als gegenüberliegend bezeichnet.
• Zwei Scheitelpunkte, die nicht auf derselben Seite liegen, werden als gegenüberliegend bezeichnet.

Welche Eigenschaften hat ein Parallelepiped?

1. Die auf gegenüberliegenden Seiten liegenden Flächen eines Parallelepipeds sind parallel zueinander und einander gleich.
2. Wenn Sie Diagonalen von einem Scheitelpunkt zum anderen zeichnen, werden sie durch den Schnittpunkt dieser Diagonalen in zwei Hälften geteilt.
3. Die Seiten des Parallelepipeds, die im gleichen Winkel zur Basis liegen, sind gleich. Mit anderen Worten, die Winkel der gleichgerichteten Seiten sind einander gleich.

Welche Arten von Parallelepipeden gibt es?

Lassen Sie uns nun herausfinden, welche Art von Parallelepipeden es gibt. Wie oben erwähnt, gibt es verschiedene Arten dieser Figur: gerade, rechteckig, geneigtes Parallelepiped sowie Würfel und Rhomboeder. Wie unterscheiden sie sich voneinander? Es geht um die Ebenen, die sie bilden, und die Winkel, die sie bilden.

Schauen wir uns jeden der aufgeführten Parallelepipedtypen genauer an.

• Wie bereits aus dem Namen hervorgeht, hat ein geneigtes Parallelepiped geneigte Flächen, und zwar solche Flächen, die keinen Winkel von 90 Grad zur Grundfläche bilden.
• Bei einem geraden Parallelepiped beträgt der Winkel zwischen der Basis und der Kante jedoch genau neunzig Grad. Aus diesem Grund hat diese Art von Parallelepiped einen solchen Namen.
• Wenn alle Flächen des Parallelepipeds identische Quadrate sind, kann diese Figur als Würfel betrachtet werden.
• Ein rechteckiges Parallelepiped erhielt diesen Namen aufgrund der Ebenen, aus denen es besteht. Wenn sie alle Rechtecke sind (einschließlich der Grundfläche), dann handelt es sich um einen Quader. Diese Art von Parallelepiped kommt nicht sehr oft vor. Aus dem Griechischen übersetzt bedeutet Rhomboeder Fläche oder Basis. Dies ist die Bezeichnung für eine dreidimensionale Figur, deren Gesichter Rauten sind.

Grundformeln für ein Parallelepiped

Das Volumen eines Parallelepipeds ist gleich dem Produkt aus der Grundfläche und seiner Höhe senkrecht zur Grundfläche.

Die Fläche der Seitenfläche entspricht dem Produkt aus dem Umfang der Basis und der Höhe.
Wenn Sie die grundlegenden Definitionen und Formeln kennen, können Sie die Grundfläche und das Volumen berechnen. Die Basis kann nach eigenem Ermessen gewählt werden. Als Grundfläche wird jedoch in der Regel ein Rechteck verwendet.