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Ein Radfahrer verließ Punkt a der Rundstrecke. So lösen Sie Bewegungsprobleme. I. Probleme mit der Kreisbewegung

„Lektion Tangente an einen Kreis“ – Beweisen Sie, dass die Linie AC einen gegebenen Kreis tangiert. Aufgabe 1. Gegeben: env.(O;OM), MR – Tangente, Winkel KMR=45?. Berechnen Sie die Länge von BC, wenn OD = 3 cm. Allgemeine Lektion. Zeichnen Sie eine Tangente an den angegebenen Kreis. Thema: „Kreis“. Lösung: Problemlösung. Praktische Arbeit. Machen Sie Notizen und Notizen.

„Tangente an einen Kreis“ – Eigenschaft einer Tangente. Sei d der Abstand vom Mittelpunkt O zur Geraden KM. Die Segmente AK und AM heißen Tangentensegmente, die von A ausgehen. Tangente an einen Kreis. Dann. Eine Tangente an einen Kreis verläuft senkrecht zum Radius, der zum Tangentenpunkt gezogen wird. Nachweisen. Beweisen wir, dass, wenn AK und AM Tangentensegmente sind, AK = AM, ?OAK = ? OAM.

„Umfang und Kreis“ – Berechnen. Finden Sie den Umfang. Finden Sie den Radius des Kreises. Finden Sie die Fläche der schattierten Figur. Kreis. Kreissektor. Zeichnen Sie einen Kreis mit Mittelpunkt K und Radius 2 cm. Vervollständigen Sie die Aussage. Unabhängige Arbeit. Umfang. Kreis. Fläche eines Kreises. Berechnen Sie die Länge des Äquators. Ein Spiel.

„Gleichung eines Kreises“ – Konstruieren Sie Kreise in Ihrem Notizbuch, die durch die folgenden Gleichungen gegeben sind: Mittelpunkt des Kreises O(0;0), (x – 0)2 + (y – 0)2 = R 2, x2 + y2 = R 2? Gleichung eines Kreises mit Mittelpunkt im Ursprung. . O (0;0) – Mitte, R = 4, dann x2 + y2 = 42; x2 + y2 = 16. Finden Sie die Koordinaten des Mittelpunkts und des Radius, wenn AB der Durchmesser des gegebenen Kreises ist.

„Kreislänge 6. Klasse“ – Unterrichtsmotto: Geschichte der Zahlen?. Der Durchmesser des Diesellokrads beträgt 180 cm. die ersten siebenundzwanzig passenden Brüche. Mathematikunterricht in der 6. Klasse. Mathematiklehrerin: Nikonorova Lyubov Arkadyevna. Unterrichtsplan. Wettbewerb „Mosaik der Präsentationen“. Man kann aber eine unendliche Folge geeigneter Brüche finden.

Abschnitte: Mathematik

Unterrichtsart: Wiederholungs- und Verallgemeinerungsunterricht.

Lernziele:

lehrreich

Entwicklung

lehrreich

Unterrichtsausrüstung:

interaktives Board;
Umschläge mit Aufgaben, thematische Kontrollkarten, Beraterkarten.

Unterrichtsstruktur.

	Hauptphasen des Unterrichts	In dieser Phase zu lösende Aufgaben
	Organisatorischer Moment, Einführungsteil	eine freundliche Atmosphäre im Klassenzimmer schaffen Bereiten Sie die Schüler auf produktives Arbeiten vor Abwesenheiten identifizieren Überprüfen Sie die Bereitschaft der Schüler für den Unterricht
	Vorbereitung der Studierenden auf die aktive Arbeit (Wiederholung)	Testen Sie das Wissen der Schüler zum Thema: „Lösen von Textaufgaben verschiedener Art zum Thema Bewegung“ Umsetzung der Sprach- und Denkentwicklung der antwortenden Schüler Entwicklung des analytischen und kritischen Denkens der Schüler durch Kommentieren der Antworten der Klassenkameraden organisieren Sie Bildungsaktivitäten für die gesamte Klasse während der Reaktion der an die Tafel gerufenen Schüler
	Stadium der Verallgemeinerung und Systematisierung des untersuchten Materials (Arbeit in Gruppen)	Testen Sie die Fähigkeit der Schüler, Probleme verschiedener Bewegungsarten zu lösen. Wissen unter den Schülern zu bilden, das sich in Form von Ideen und Theorien widerspiegelt, der Übergang von bestimmten Ideen zu umfassenderen Verallgemeinerungen die Bildung moralischer Beziehungen der Schüler zu den Teilnehmern des Bildungsprozesses durchführen (während der Gruppenarbeit)
	Überprüfen der Arbeit, Vornehmen von Anpassungen (falls erforderlich)	Überprüfen Sie die Ausführung von Daten für Aufgabengruppen (deren Richtigkeit). Entwickeln Sie bei den Schülern weiterhin die Fähigkeit, zu analysieren, das Wesentliche hervorzuheben, Analogien aufzubauen, zu verallgemeinern und zu systematisieren Diskussionsfähigkeiten entwickeln
	Zusammenfassung der Lektion. Hausaufgabenanalyse	Informieren Sie die Schüler über Hausaufgaben und erklären Sie, wie sie erledigt werden motivieren die Notwendigkeit und Verpflichtung, Hausaufgaben zu machen Fassen Sie die Lektion zusammen

Organisationsformen der kognitiven Aktivität der Studierenden:

frontale Form der kognitiven Aktivität – in den Stadien II, IY, Y.
Gruppenform der kognitiven Aktivität - im Stadium III.

Lehrmethoden: verbal, visuell, praktisch, erklärend – illustrativ, reproduktiv, teilweise – suchend, analytisch, vergleichend, verallgemeinernd, traduktiv.

Während des Unterrichts

I. Organisatorischer Moment, Einführungsteil.

Der Lehrer gibt das Thema des Unterrichts, die Ziele des Unterrichts und die Schwerpunkte des Unterrichts bekannt. Überprüft die Arbeitsbereitschaft der Klasse.

II. Vorbereitung der Studierenden auf die aktive Arbeit (Wiederholung)

Beantworten Sie die Fragen.

Welche Art von Bewegung nennt man gleichmäßig (Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit)?
Wie lautet die Formel für den Weg mit gleichförmiger Bewegung ( S = Vt).
Drücken Sie mit dieser Formel die Geschwindigkeit und Zeit aus.
Geben Sie Maßeinheiten an.

Umrechnung von Geschwindigkeitseinheiten

III. Stadium der Verallgemeinerung und Systematisierung des untersuchten Materials (Arbeit in Gruppen)

Die gesamte Klasse wird in Gruppen eingeteilt (5-6 Personen pro Gruppe). Es empfiehlt sich, Studierende unterschiedlicher Leistungsniveaus in einer Gruppe zu haben. Unter ihnen wird ein Gruppenleiter (der stärkste Schüler) ernannt, der die Arbeit der Gruppe leitet.

Alle Gruppen erhalten Umschläge mit Aufgaben (sie sind für alle Gruppen gleich), Beraterkarten (für schwache Schüler) und thematische Kontrollblätter. In den thematischen Kontrollblättern gibt der Gruppenleiter jedem Schüler in der Gruppe für jede Aufgabe Noten und vermerkt die Schwierigkeiten, auf die die Schüler bei der Bearbeitung bestimmter Aufgaben gestoßen sind.

Karte mit Aufgaben für jede Gruppe.

№ 5.

Nr. 7. Das Motorboot fuhr 112 km flussaufwärts und kehrte zum Ausgangspunkt zurück, wobei die Rückfahrt 6 Stunden weniger dauerte. Ermitteln Sie die Strömungsgeschwindigkeit, wenn die Geschwindigkeit des Bootes im stillen Wasser 11 km/h beträgt. Geben Sie Ihre Antwort in km/h an.

Nr. 8. Das Motorschiff fährt 513 km entlang des Flusses bis zu seinem Ziel und kehrt nach dem Anhalten zum Ausgangspunkt zurück. Ermitteln Sie die Geschwindigkeit des Schiffes in stillem Wasser, wenn die aktuelle Geschwindigkeit 4 km/h beträgt, der Aufenthalt 8 Stunden dauert und das Schiff 54 Stunden nach der Abfahrt zum Abfahrtsort zurückkehrt. Geben Sie Ihre Antwort in km/h an.

Beispiel einer thematischen Kontrollkarte.

Klasse ________ Vollständiger Name des Schülers___________________________________

Job-Nr.		Kommentar

Beraterkarten.

Karte Nr. 1 (Berater)

1. Fahren auf einer geraden Straße

Bei der Lösung von Problemen mit gleichförmiger Bewegung treten häufig zwei Situationen auf.

Wenn der anfängliche Abstand zwischen Objekten S beträgt und die Geschwindigkeiten der Objekte V1 und V2 sind, dann gilt:

a) Wenn sich Objekte aufeinander zubewegen, ist die Zeit, nach der sie sich treffen, gleich .

b) Wenn sich Objekte in eine Richtung bewegen, ist die Zeit, nach der das erste Objekt das zweite einholt, gleich , ( V 2 > V 1)

Beispiel 1. Der Zug wurde nach 450 km Fahrt wegen Schneeverwehungen angehalten. Eine halbe Stunde später war der Weg frei, und der Lokführer erhöhte die Geschwindigkeit des Zuges um 15 km/h und brachte ihn ohne Verzögerung zum Bahnhof. Ermitteln Sie die Anfangsgeschwindigkeit des Zuges, wenn die von ihm bis zur Haltestelle zurückgelegte Strecke 75 % der Gesamtstrecke beträgt.

Finden wir den gesamten Weg: 450: 0,75 = 600 (km)
Finden wir die Länge des zweiten Abschnitts: 600 – 450 =150 (km)
Lassen Sie uns die Gleichung erstellen und lösen:

X= -75 passt nicht zu den Bedingungen des Problems, bei dem x > 0.

Antwort: Die Anfangsgeschwindigkeit des Zuges beträgt 60 km/h.

Karte Nr. 2 (Berater)

2. Fahren auf einer gesperrten Straße

Wenn die Länge einer gesperrten Straße beträgt S und die Geschwindigkeiten von Objekten V 1 und V 2, dann:

a) Wenn sich Objekte in verschiedene Richtungen bewegen, wird die Zeit zwischen ihren Begegnungen nach der Formel berechnet;
b) Wenn sich Objekte in eine Richtung bewegen, wird die Zeit zwischen ihren Begegnungen nach der Formel berechnet

Beispiel 2. Bei einem Wettkampf auf einer Rundstrecke fährt ein Skifahrer eine Runde zwei Minuten schneller als der andere und schlägt ihn eine Stunde später um genau eine Runde. Wie lange braucht jeder Skifahrer, um den Kreis zu absolvieren?

Lassen S m – Länge der Ringstrecke und X m/min und j m/min – Geschwindigkeiten des ersten bzw. zweiten Skifahrers ( x> j) .

Dann S/x min und S/j min – die Zeit, die der erste bzw. zweite Skifahrer benötigt, um die Runde zu absolvieren. Aus der ersten Bedingung erhalten wir die Gleichung. Da die Entfernungsgeschwindigkeit des ersten Skifahrers vom zweiten Skifahrer beträgt ( X- j) m/min, dann ergibt sich aus der zweiten Bedingung die Gleichung .

Lösen wir das Gleichungssystem.

Machen wir einen Ersatz S/x= a Und S/y= b, dann nimmt das Gleichungssystem die Form an:

. Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit 60 A(ein + 2) > 0.

60(ein + 2) – 60a = A(ein + 2)A 2 + 2A- 120 = 0. Die quadratische Gleichung hat eine positive Wurzel a = 10 dann b = 12. Das bedeutet, dass der erste Skifahrer den Kreis in 10 Minuten und der zweite Skifahrer in 12 Minuten abschließt.

Antwort: 10 Min.; 12 Min.

Karte Nr. 3 (Berater)

3. Bewegung entlang des Flusses

Wenn sich ein Objekt mit der Strömung eines Flusses bewegt, ist seine Geschwindigkeit gleich Vflow. =Vob. + Vaktuell

Wenn sich ein Objekt gegen die Strömung eines Flusses bewegt, dann ist seine Geschwindigkeit gleich Vgegen die Strömung = V inc. – Vcurrent Die Eigengeschwindigkeit des Objekts (Geschwindigkeit im stillen Wasser) ist gleich

Die Geschwindigkeit der Flussströmung beträgt

Die Geschwindigkeit des Floßes entspricht der Fließgeschwindigkeit des Flusses.

Beispiel 3. Das Boot fuhr 50 km flussabwärts und dann 36 km in die entgegengesetzte Richtung, was 30 Minuten länger dauerte als entlang des Flusses. Wie hoch ist die Eigengeschwindigkeit des Bootes, wenn die Flussgeschwindigkeit 4 km/h beträgt?

Lassen Sie die eigene Geschwindigkeit des Bootes sein X km/h, dann beträgt seine Geschwindigkeit entlang des Flusses ( x+ 4) km/h und gegen die Strömung des Flusses ( X- 4) km/h. Die Zeit, die das Boot benötigt, um sich entlang der Flussströmung zu bewegen, beträgt Stunden und gegen die Flussströmung Stunden. Da 30 Minuten = 1/2 Stunde, erstellen wir entsprechend den Bedingungen des Problems die Gleichung =. Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit 2( x+ 4)(X- 4) >0 .

Wir bekommen 72( x+ 4) -100(X- 4) = (x+ 4)(X- 4) X 2 + 28X- 704 = 0 x 1 =16, x 2 = - 44 (ausgeschlossen, da x> 0).

Die Eigengeschwindigkeit des Bootes beträgt also 16 km/h.

Antwort: 16 km/h.

IV. Phase der Problemlösungsanalyse.

Es werden Probleme analysiert, die den Studierenden Schwierigkeiten bereiteten.

Nr. 1. Aus zwei Städten, deren Entfernung 480 km beträgt, fuhren zwei Autos gleichzeitig aufeinander zu. Wie viele Stunden später werden sich die Autos treffen, wenn ihre Geschwindigkeit 75 km/h und 85 km/h beträgt?

75 + 85 = 160 (km/h) – Annäherungsgeschwindigkeit.
480: 160 = 3 (h).

Antwort: Die Autos treffen sich in 3 Stunden.

Nr. 2. Von den Städten A und B, deren Entfernung 330 km beträgt, fuhren zwei Autos gleichzeitig aufeinander zu und trafen sich nach 3 Stunden in einer Entfernung von 180 km von Stadt B. Ermitteln Sie die Geschwindigkeit des Autos, das Stadt A verlassen hat . Geben Sie die Antwort in km/h an.

(330 – 180) : 3 = 50 (km/h)

Antwort: Die Geschwindigkeit eines Autos, das Stadt A verlässt, beträgt 50 km/h.

Nr. 3. Ein Autofahrer und ein Radfahrer fuhren gleichzeitig von Punkt A nach Punkt B, die Entfernung zwischen ihnen beträgt 50 km. Es ist bekannt, dass ein Autofahrer 65 km mehr pro Stunde zurücklegt als ein Radfahrer. Bestimmen Sie die Geschwindigkeit des Radfahrers, wenn bekannt ist, dass er 4 Stunden und 20 Minuten später als der Autofahrer am Punkt B angekommen ist. Geben Sie Ihre Antwort in km/h an.

Machen wir einen Tisch.

Lassen Sie uns eine Gleichung erstellen und dabei berücksichtigen, dass 4 Stunden 20 Minuten =

Offensichtlich entspricht x = -75 nicht den Bedingungen des Problems.

Antwort: Die Geschwindigkeit des Radfahrers beträgt 10 km/h.

Nr. 4. Zwei Motorradfahrer starten gleichzeitig in die gleiche Richtung von zwei diametral gegenüberliegenden Punkten auf einer Rundstrecke, deren Länge 14 km beträgt. Wie viele Minuten dauert es, bis sich die Motorradfahrer zum ersten Mal treffen, wenn die Geschwindigkeit des einen 21 km/h höher ist als die Geschwindigkeit des anderen?

Machen wir einen Tisch.

Lassen Sie uns eine Gleichung erstellen.

, wobei 1/3 Stunde = 20 Minuten.

Antwort: In 20 Minuten werden sich die Motorradfahrer zum ersten Mal überholen.

Nr. 5. Von einem Punkt auf einer Rundstrecke mit einer Länge von 12 km starteten zwei Autos gleichzeitig in die gleiche Richtung. Die Geschwindigkeit des ersten Autos beträgt 101 km/h und 20 Minuten nach dem Start lag es eine Runde vor dem zweiten Auto. Finden Sie die Geschwindigkeit des zweiten Autos. Geben Sie Ihre Antwort in km/h an.

Machen wir einen Tisch.

Lassen Sie uns eine Gleichung erstellen.

Antwort: Die Geschwindigkeit des zweiten Autos beträgt 65 km/h.

Nr. 6. Ein Radfahrer verließ Punkt A der Rundstrecke und 40 Minuten später folgte ihm ein Motorradfahrer. 8 Minuten nach der Abfahrt holte er den Radfahrer zum ersten Mal ein, weitere 36 Minuten danach holte er ihn zum zweiten Mal ein. Ermitteln Sie die Geschwindigkeit des Motorradfahrers, wenn die Streckenlänge 30 km beträgt. Geben Sie Ihre Antwort in km/h an.

Machen wir einen Tisch.

Bewegung vor dem ersten Treffen

Radfahrer

Nr. 9. Von Pier A bis Pier B, deren Entfernung 168 km beträgt, fuhr das erste Motorschiff mit konstanter Geschwindigkeit los, und 2 Stunden danach fuhr das zweite Motorschiff mit einer Geschwindigkeit von 2 km/h los. h höher. Ermitteln Sie die Geschwindigkeit des ersten Schiffes, wenn beide Schiffe gleichzeitig am Punkt B ankommen. Geben Sie Ihre Antwort in km/h an.

Erstellen wir eine Tabelle basierend auf der Bedingung, dass die Geschwindigkeit des ersten Schiffes x km/h beträgt.

Machen wir eine Gleichung:

Beide Seiten der Gleichung mit x multiplizieren

Antwort: Die Geschwindigkeit des ersten Motorschiffs entspricht der des Flusses 12 km/h

V. Zusammenfassung der Lektion.

Beim Zusammenfassen der Lektion sollten Sie die Aufmerksamkeit der Schüler noch einmal auf die Prinzipien der Lösung von Bewegungsproblemen lenken. Erklären Sie bei der Hausaufgabe die schwierigsten Aufgaben.

Literatur.

1) Artikel : Einheitliches Staatsexamen Mathematik 2014 (Problemsystem aus einer offenen Aufgabenbank) Koryanov A.G., Nadezhkina N.V. – auf der Website veröffentlicht

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« Ein Radfahrer verließ Punkt a der Rundstrecke und folgte ihm 30 Minuten später» — 106 Aufgaben gefunden

Aufgabe B14 ()

(Ansichten: 613 , Antworten: 11 )

Ein Radfahrer verließ Punkt A der Rundstrecke, 30 Minuten später folgte ihm ein Motorradfahrer. 5 Minuten nach der Abfahrt holte er den Radfahrer zum ersten Mal ein, weitere 47 Minuten danach holte er ihn zum zweiten Mal ein. Ermitteln Sie die Geschwindigkeit des Motorradfahrers, wenn die Streckenlänge 47 km beträgt. Geben Sie Ihre Antwort in km/h an.

Aufgabe B14 ()

(Ansichten: 618 , Antworten: 9 )

Ein Radfahrer verließ Punkt A der Rundstrecke, 20 Minuten später folgte ihm ein Motorradfahrer. 2 Minuten nach der Abfahrt holte er den Radfahrer zum ersten Mal ein und weitere 30 Minuten später holte er ihn zum zweiten Mal ein. Ermitteln Sie die Geschwindigkeit des Motorradfahrers, wenn die Streckenlänge 50 km beträgt. Geben Sie Ihre Antwort in km/h an.