Komplexe Exponentialgleichungen und Methoden zu ihrer Lösung. Potenz- oder Exponentialgleichungen. Klassifizierung von Exponentialgleichungen

1º. Exponentialgleichungen werden Gleichungen genannt, die eine Variable in einem Exponenten enthalten.

Die Lösung von Exponentialgleichungen basiert auf der Potenzeigenschaft: Zwei Potenzen mit derselben Basis sind genau dann gleich, wenn ihre Exponenten gleich sind.

2º. Grundlegende Methoden zur Lösung von Exponentialgleichungen:

1) Die einfachste Gleichung hat eine Lösung;

2) eine Gleichung der zur Basis logarithmischen Form A auf Form reduzieren;

3) eine Gleichung der Form ist äquivalent zur Gleichung;

4) Gleichung der Form ist äquivalent zur Gleichung.

5) eine Gleichung der Form wird durch Substitution auf eine Gleichung reduziert und dann wird ein Satz einfacher Exponentialgleichungen gelöst;

6) Gleichung mit Kehrwerten durch Substitution reduzieren sie auf eine Gleichung und lösen dann eine Reihe von Gleichungen;

7) Gleichungen homogen in Bezug auf ein g(x) Und b g(x) angesichts dessen Typ Durch Ersetzen werden sie auf eine Gleichung reduziert und anschließend wird ein Satz von Gleichungen gelöst.

Klassifizierung von Exponentialgleichungen.

1. Gleichungen werden gelöst, indem man zu einer Basis geht.

Beispiel 18. Lösen Sie die Gleichung .

Lösung: Machen wir uns die Tatsache zunutze, dass alle Potenzbasen Potenzen der Zahl 5 sind: .

2. Gleichungen werden durch Übergabe an einen Exponenten gelöst.

Diese Gleichungen werden gelöst, indem die ursprüngliche Gleichung in die Form umgewandelt wird , die mithilfe der Proportionalitätseigenschaft auf ihre einfachste Form reduziert wird.

Beispiel 19. Lösen Sie die Gleichung:

3. Gleichungen werden gelöst, indem der gemeinsame Faktor aus Klammern entfernt wird.

Wenn sich jeder Exponent in einer Gleichung um eine bestimmte Zahl vom anderen unterscheidet, werden die Gleichungen gelöst, indem der Exponent mit dem kleinsten Exponenten in Klammern gesetzt wird.

Beispiel 20. Lösen Sie die Gleichung.

Lösung: Nehmen wir den Grad mit dem kleinsten Exponenten aus den Klammern auf der linken Seite der Gleichung:

Beispiel 21. Lösen Sie die Gleichung

Lösung: Gruppieren wir die Terme, die Potenzen mit der Basis 4 enthalten, auf der linken Seite der Gleichung separat, auf der rechten Seite mit der Basis 3 und setzen wir dann die Potenzen mit dem kleinsten Exponenten aus den Klammern:

4. Gleichungen, die sich auf quadratische (oder kubische) Gleichungen reduzieren lassen.

Die folgenden Gleichungen werden auf eine quadratische Gleichung für die neue Variable y reduziert:

a) die Art der Substitution, in diesem Fall;

b) die Art der Substitution und .

Beispiel 22. Lösen Sie die Gleichung .

Lösung: Nehmen wir eine Variablenänderung vor und lösen die quadratische Gleichung:

.

Antwort: 0; 1.

5. Gleichungen, die bezüglich Exponentialfunktionen homogen sind.

Eine Gleichung der Form ist eine homogene Gleichung zweiten Grades bezüglich der Unbekannten ein x Und b x. Solche Gleichungen werden reduziert, indem man zunächst beide Seiten durch dividiert und sie dann in quadratische Gleichungen einsetzt.

Beispiel 23. Lösen Sie die Gleichung.

Lösung: Teilen Sie beide Seiten der Gleichung durch:

Durch Setzen erhalten wir eine quadratische Gleichung mit Wurzeln.

Das Problem besteht nun darin, eine Reihe von Gleichungen zu lösen . Aus der ersten Gleichung finden wir das. Die zweite Gleichung hat keine Wurzeln, da für jeden Wert X.

Antwort: -1/2.

6. Rationale Gleichungen bezüglich Exponentialfunktionen.

Beispiel 24. Lösen Sie die Gleichung.

Lösung: Teilen Sie Zähler und Nenner des Bruchs durch 3x und statt zwei erhalten wir eine Exponentialfunktion:

7. Gleichungen der Form .

Solche Gleichungen mit einem durch die Bedingung bestimmten Satz zulässiger Werte (APV) werden durch Logarithmusbildung beider Seiten der Gleichung auf eine äquivalente Gleichung reduziert, die wiederum einem Satz von zwei Gleichungen bzw. äquivalent sind.

Beispiel 25. Lösen Sie die Gleichung: .

.

Didaktisches Material.

Lösen Sie die Gleichungen:

1. ; 2. ; 3. ;

4. ; 5. ; 6. ;

9. ; 10. ; 11. ;

14. ; 15. ;

16. ; 17. ;

18. ; 19. ;

20. ; 21. ;

22. ; 23. ;

24. ; 25. .

26. Finden Sie das Produkt der Wurzeln der Gleichung .

27. Finden Sie die Summe der Wurzeln der Gleichung .

Finden Sie die Bedeutung des Ausdrucks:

28. , wo x 0- Wurzel der Gleichung;

29. , wo x 0– ganze Wurzel der Gleichung .

Löse die Gleichung:

31. ; 32. .

Antworten: 10; 2. -2/9; 3. 1/36; 4. 0, 0,5; 50; 6,0; 7. -2; 8,2; 9. 1, 3; 10. 8; 11,5; 12.1; 13. ¼; 14,2; 15. -2, -1; 16. -2, 1; 17,0; 18,1; 19,0; 20. -1, 0; 21. -2, 2; 22. -2, 2; 23,4; 24. -1, 2; 25. -2, -1, 3; 26. -0,3; 27,3; 28.11; 29,54; 30. -1, 0, 2, 3; 31. ; 32. .

Thema Nr. 8.

Exponentielle Ungleichheiten.

1º. Eine Ungleichung, die eine Variable im Exponenten enthält, heißt exponentielle Ungleichheit.

2º. Die Lösung exponentieller Ungleichungen der Form basiert auf den folgenden Aussagen:

wenn, dann ist die Ungleichung äquivalent zu;

wenn, dann ist die Ungleichung äquivalent zu.

Beim Lösen exponentieller Ungleichungen werden dieselben Techniken verwendet wie beim Lösen exponentieller Gleichungen.

Beispiel 26. Ungleichung lösen (Methode des Übergangs zu einer Basis).

Lösung: Seit , dann kann die gegebene Ungleichung geschrieben werden als: . Da ist diese Ungleichung äquivalent zur Ungleichung .

Wenn wir die letzte Ungleichung lösen, erhalten wir .

Beispiel 27. Lösen Sie die Ungleichung: ( indem man den gemeinsamen Faktor aus Klammern herausnimmt).

Lösung: Nehmen wir die Klammern auf der linken Seite der Ungleichung und auf der rechten Seite der Ungleichung heraus und dividieren beide Seiten der Ungleichung durch (-2), wobei wir das Vorzeichen der Ungleichung in das Gegenteil ändern:

Seitdem ändert sich beim Übergang zur Ungleichheit der Indikatoren das Vorzeichen der Ungleichheit wieder ins Gegenteil. Wir bekommen. Somit ist die Menge aller Lösungen dieser Ungleichung das Intervall.

Beispiel 28. Ungleichung lösen ( durch Einführung einer neuen Variablen).

Lösung: Sei . Dann nimmt diese Ungleichung die Form an: oder , dessen Lösung das Intervall ist.

Von hier. Da die Funktion zunimmt, dann .

Didaktisches Material.

Geben Sie die Menge der Lösungen für die Ungleichung an:

1. ; 2. ; 3. ;

6. Bei welchen Werten X Liegen die Punkte im Funktionsgraphen unterhalb der Geraden?

7. Bei welchen Werten X Liegen die Punkte auf dem Funktionsgraphen mindestens bis zur Geraden?

Lösen Sie die Ungleichung:

8. ; 9. ; 10. ;

13. Geben Sie die größte ganzzahlige Lösung der Ungleichung an .

14. Finden Sie das Produkt der größten ganzzahligen und der kleinsten ganzzahligen Lösung der Ungleichung .

Lösen Sie die Ungleichung:

15. ; 16. ; 17. ;

18. ; 19. ; 20. ;

21. ; 22. ; 23. ;

24. ; 25. ; 26. .

Finden Sie die Domäne der Funktion:

27. ; 28. .

29. Finden Sie die Menge der Argumentwerte, für die die Werte jeder Funktion größer als 3 sind:

Und .

Antworten: 11,3; 12,3; 13. -3; 14.1; 15. (0; 0,5); 16. ; 17. (-1; 0)U(3; 4); 18. [-2; 2]; 19. (0; +∞); 20. (0; 1); 21. (3; +∞); 22. (-∞; 0)U(0,5; +∞); 23. (0; 1); 24. (-1; 1); 25. (0; 2]; 26. (3; 3.5)U (4; +∞); 27. (-∞; 3)U(5); 28. (a)=a^(\frac( 1) (n))\) erhalten wir, dass \(\sqrt(3^3)=((3^3))^(\frac(1)(2))\). Als nächstes erhalten wir unter Verwendung der Eigenschaft des Grades \((a^b)^c=a^(bc)\) \(((3^3))^(\frac(1)(2))=3^ (3 \ cdot \frac(1)(2))=3^(\frac(3)(2))\).

\(3^(\frac(3)(2))\cdot 3^(x-1)=(\frac(1)(3))^(2x)\)

Wir wissen auch, dass \(a^b·a^c=a^(b+c)\). Wenn wir dies auf die linke Seite anwenden, erhalten wir: \(3^(\frac(3)(2))·3^(x-1)=3^(\frac(3)(2)+ x-1)= 3^ (1,5 + x-1)=3^(x+0,5)\).

\(3^(x+0,5)=(\frac(1)(3))^(2x)\)

Denken Sie nun daran: \(a^(-n)=\frac(1)(a^n)\). Diese Formel kann auch in umgekehrter Richtung verwendet werden: \(\frac(1)(a^n) =a^(-n)\). Dann ist \(\frac(1)(3)=\frac(1)(3^1) =3^(-1)\).

\(3^(x+0,5)=(3^(-1))^(2x)\)

Wenn wir die Eigenschaft \((a^b)^c=a^(bc)\) auf die rechte Seite anwenden, erhalten wir: \((3^(-1))^(2x)=3^((-1) 2x) =3^(-2x)\).

\(3^(x+0,5)=3^(-2x)\)

Und jetzt sind unsere Basen gleich und es gibt keine störenden Koeffizienten usw. Damit wir den Übergang schaffen können.

Beispiel . Lösen Sie die Exponentialgleichung \(4^(x+0,5)-5 2^x+2=0\)
Lösung:

\(4^(x+0,5)-5 2^x+2=0\)		Wir verwenden wieder die Potenzeigenschaft \(a^b \cdot a^c=a^(b+c)\) in die entgegengesetzte Richtung.
\(4^x 4^(0,5)-5 2^x+2=0\)		Denken Sie jetzt daran, dass \(4=2^2\).
\((2^2)^x·(2^2)^(0.5)-5·2^x+2=0\)		Unter Verwendung der Gradeigenschaften transformieren wir: \((2^2)^x=2^(2x)=2^(x 2)=(2^x)^2\) \((2^2)^(0,5)=2^(2 0,5)=2^1=2.\)
\(2·(2^x)^2-5·2^x+2=0\)		Wir schauen uns die Gleichung genau an und stellen fest, dass sich die Ersetzung \(t=2^x\) anbietet.
\(t_1=2\) \(t_2=\frac(1)(2)\)		Wir haben jedoch die Werte von \(t\) gefunden und benötigen \(x\). Wir kehren zu den X zurück und führen eine umgekehrte Ersetzung durch.
\(2^x=2\) \(2^x=\frac(1)(2)\)		Lassen Sie uns die zweite Gleichung mithilfe der negativen Potenzeigenschaft transformieren ...
\(2^x=2^1\) \(2^x=2^(-1)\)		...und wir entscheiden bis zur Antwort.
\(x_1=1\) \(x_2=-1\)

Antwort : \(-1; 1\).

Die Frage bleibt: Wie erkennt man, wann welche Methode anzuwenden ist? Dazu gehört Erfahrung. Bis Sie es entwickelt haben, verwenden Sie die allgemeine Empfehlung zur Lösung komplexer Probleme: „Wenn Sie nicht wissen, was Sie tun sollen, tun Sie, was Sie können.“ Das heißt, suchen Sie nach einer Möglichkeit, die Gleichung im Prinzip umzuwandeln, und versuchen Sie es – was ist, wenn was passiert? Die Hauptsache ist, nur mathematisch basierte Transformationen durchzuführen.

Exponentialgleichungen ohne Lösungen

Schauen wir uns zwei weitere Situationen an, die Schüler oft verwirren:
- eine positive Zahl hoch ist gleich Null, zum Beispiel \(2^x=0\);
- Eine positive Zahl ist gleich einer Potenz einer negativen Zahl, zum Beispiel \(2^x=-4\).

Versuchen wir es mit roher Gewalt zu lösen. Wenn x eine positive Zahl ist, nimmt mit zunehmendem x die gesamte Potenz \(2^x\) nur zu:

\(x=1\); \(2^1=2\)
\(x=2\); \(2^2=4\)
\(x=3\); \(2^3=8\).

\(x=0\); \(2^0=1\)

Auch von. Es bleiben negative X übrig. Wir erinnern uns an die Eigenschaft \(a^(-n)=\frac(1)(a^n)\) und prüfen:

\(x=-1\); \(2^(-1)=\frac(1)(2^1) =\frac(1)(2)\)
\(x=-2\); \(2^(-2)=\frac(1)(2^2) =\frac(1)(4)\)
\(x=-3\); \(2^(-3)=\frac(1)(2^3) =\frac(1)(8)\)

Obwohl die Zahl mit jedem Schritt kleiner wird, wird sie nie Null erreichen. Der negative Abschluss hat uns also nicht gerettet. Wir kommen zu einer logischen Schlussfolgerung:

Eine in jedem Grad positive Zahl bleibt eine positive Zahl.

Daher haben beide obigen Gleichungen keine Lösungen.

Exponentialgleichungen mit unterschiedlichen Grundlagen

In der Praxis stoßen wir manchmal auf Exponentialgleichungen mit unterschiedlichen Basen, die nicht aufeinander reduzierbar sind, und gleichzeitig mit den gleichen Exponenten. Sie sehen so aus: \(a^(f(x))=b^(f(x))\), wobei \(a\) und \(b\) positive Zahlen sind.

Zum Beispiel:

\(7^(x)=11^(x)\)
\(5^(x+2)=3^(x+2)\)
\(15^(2x-1)=(\frac(1)(7))^(2x-1)\)

Solche Gleichungen lassen sich leicht lösen, indem man durch eine beliebige Seite der Gleichung dividiert (normalerweise durch die rechte Seite dividiert, also durch \(b^(f(x))\). Sie können auf diese Weise dividieren, weil eine positive Zahl vorliegt ist positiv zu jeder Potenz (d. h. wir dividieren nicht durch Null) Wir erhalten:

\(\frac(a^(f(x)))(b^(f(x)))\) \(=1\)

Beispiel . Lösen Sie die Exponentialgleichung \(5^(x+7)=3^(x+7)\)
Lösung:

\(5^(x+7)=3^(x+7)\)		Hier werden wir nicht in der Lage sein, eine Fünf in eine Drei umzuwandeln oder umgekehrt (zumindest ohne die Verwendung). Das bedeutet, dass wir nicht zur Form \(a^(f(x))=a^(g(x))\ kommen können. Die Indikatoren sind jedoch dieselben. Teilen wir die Gleichung durch die rechte Seite, also durch \(3^(x+7)\) (wir können dies tun, weil wir wissen, dass drei zu keinem Grad Null sein wird).
\(\frac(5^(x+7))(3^(x+7))\) \(=\)\(\frac(3^(x+7))(3^(x+7) )\)		Merken Sie sich nun die Eigenschaft \((\frac(a)(b))^c=\frac(a^c)(b^c)\) und verwenden Sie sie von links in die entgegengesetzte Richtung. Rechts reduzieren wir einfach den Bruch.
\((\frac(5)(3))^(x+7)\) \(=1\)		Es scheint, dass die Dinge nicht besser geworden sind. Aber denken Sie an eine weitere Potenzeigenschaft: \(a^0=1\), mit anderen Worten: „Jede Zahl hoch zur Nullpotenz ist gleich \(1\).“ Das Umgekehrte gilt auch: „Eins kann als jede beliebige Zahl hoch null dargestellt werden.“ Machen wir uns dies zunutze, indem wir die Basis rechts und links gleich gestalten.
\((\frac(5)(3))^(x+7)\) \(=\) \((\frac(5)(3))^0\)		Voila! Lasst uns die Basen loswerden.
		Wir schreiben eine Antwort.

Antwort : \(-7\).

Manchmal ist die „Gleichheit“ von Exponenten nicht offensichtlich, aber der geschickte Einsatz der Eigenschaften von Exponenten löst dieses Problem.

Beispiel . Lösen Sie die Exponentialgleichung \(7^( 2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\)
Lösung:

\(7^( 2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\)		Die Gleichung sieht sehr traurig aus... Nicht nur, dass die Basen nicht auf die gleiche Zahl reduziert werden können (sieben wird in keiner Weise gleich \(\frac(1)(3)\) sein), sondern auch die Exponenten sind unterschiedlich. .. Verwenden wir jedoch den linken Exponenten Deuce.
\(7^( 2(x-2))=(\frac(1)(3))^(-x+2)\)		Unter Berücksichtigung der Eigenschaft \((a^b)^c=a^(b·c)\) transformieren wir von links: \(7^(2(x-2))=7^(2·(x-2))=(7^2)^(x-2)=49^(x-2)\).
\(49^(x-2)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\)		Nun erinnern wir uns an die Eigenschaft des negativen Grades \(a^(-n)=\frac(1)(a)^n\) und transformieren von rechts: \((\frac(1)(3))^( -x+2) =(3^(-1))^(-x+2)=3^(-1(-x+2))=3^(x-2)\)
\(49^(x-2)=3^(x-2)\)		Halleluja! Die Indikatoren sind die gleichen! Nach dem uns bereits bekannten Schema lösen wir vor der Antwort.

Antwort : \(2\).

Diese Lektion richtet sich an diejenigen, die gerade erst anfangen, Exponentialgleichungen zu lernen. Beginnen wir wie immer mit der Definition und einfachen Beispielen.

Wenn Sie diese Lektion lesen, dann vermute ich, dass Sie bereits zumindest ein minimales Verständnis der einfachsten Gleichungen haben – linear und quadratisch: $56x-11=0$; $((x)^(2))+5x+4=0$; $((x)^(2))-12x+32=0$ usw. Solche Konstruktionen lösen zu können ist unbedingt notwendig, um nicht in der nun behandelten Thematik „steckenzubleiben“.

Also Exponentialgleichungen. Lassen Sie mich Ihnen ein paar Beispiele nennen:

\[((2)^(x))=4;\quad ((5)^(2x-3))=\frac(1)(25);\quad ((9)^(x))=- 3\]

Einige davon mögen Ihnen komplexer erscheinen, während andere im Gegenteil zu einfach sind. Eines haben sie jedoch alle gemeinsam: Ihre Notation enthält die Exponentialfunktion $f\left(x \right)=((a)^(x))$. Lassen Sie uns daher die Definition einführen:

Eine Exponentialgleichung ist jede Gleichung, die eine Exponentialfunktion enthält, d. h. Ausdruck der Form $((a)^(x))$. Neben der angegebenen Funktion können solche Gleichungen beliebige andere algebraische Konstruktionen enthalten – Polynome, Wurzeln, Trigonometrie, Logarithmen usw.

Gut. Wir haben die Definition geklärt. Die Frage ist nun: Wie löst man diesen ganzen Mist? Die Antwort ist sowohl einfach als auch komplex.

Beginnen wir mit der guten Nachricht: Aus meiner Erfahrung mit dem Unterrichten vieler Studenten kann ich sagen, dass die meisten von ihnen Exponentialgleichungen viel einfacher finden als die gleichen Logarithmen und vor allem die Trigonometrie.

Aber es gibt eine schlechte Nachricht: Manchmal werden die Verfasser von Aufgaben für alle Arten von Lehrbüchern und Prüfungen von „Inspiration“ getroffen und ihr von Drogen berauschtes Gehirn beginnt, so brutale Gleichungen zu produzieren, dass ihre Lösung nicht nur für Schüler, sondern sogar für viele Lehrer problematisch wird bleib bei solchen Problemen hängen.

Reden wir jedoch nicht über traurige Dinge. Und kehren wir zu den drei Gleichungen zurück, die ganz am Anfang der Geschichte gegeben wurden. Versuchen wir, jedes davon zu lösen.

Erste Gleichung: $((2)^(x))=4$. Nun, auf welche Potenz muss man die Zahl 2 erhöhen, um die Zahl 4 zu erhalten? Wahrscheinlich der zweite? Schließlich ist $((2)^(2))=2\cdot 2=4$ – und wir haben die richtige numerische Gleichheit erhalten, d. h. tatsächlich $x=2$. Danke, Cap, aber diese Gleichung war so einfach, dass sogar meine Katze sie lösen konnte. :)

Schauen wir uns die folgende Gleichung an:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\]

Aber hier ist es etwas komplizierter. Viele Schüler wissen, dass $((5)^(2))=25$ die Multiplikationstabelle ist. Einige vermuten auch, dass $((5)^(-1))=\frac(1)(5)$ im Wesentlichen die Definition negativer Potenzen ist (ähnlich der Formel $((a)^(-n))= \ frac(1)(((a)^(n)))$).

Schließlich erkennen nur wenige Auserwählte, dass diese Fakten kombiniert werden können und zu folgendem Ergebnis führen:

\[\frac(1)(25)=\frac(1)(((5)^(2)))=((5)^(-2))\]

Daher wird unsere ursprüngliche Gleichung wie folgt umgeschrieben:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\Rightarrow ((5)^(2x-3))=((5)^(-2))\]

Aber das ist schon völlig lösbar! Links in der Gleichung gibt es eine Exponentialfunktion, rechts in der Gleichung gibt es eine Exponentialfunktion, außer ihnen gibt es nirgendwo etwas anderes. Daher können wir die Grundlagen „verwerfen“ und die Indikatoren dummerweise gleichsetzen:

Wir haben die einfachste lineare Gleichung erhalten, die jeder Schüler in nur wenigen Zeilen lösen kann. Okay, in vier Zeilen:

\[\begin(align)& 2x-3=-2 \\& 2x=3-2 \\& 2x=1 \\& x=\frac(1)(2) \\\end(align)\]

Wenn Sie nicht verstehen, was in den letzten vier Zeilen passiert ist, kehren Sie unbedingt zum Thema „Lineare Gleichungen“ zurück und wiederholen Sie es. Denn ohne ein klares Verständnis dieses Themas ist es zu früh, sich mit Exponentialgleichungen auseinanderzusetzen.

\[((9)^(x))=-3\]

Wie können wir das also lösen? Erster Gedanke: $9=3\cdot 3=((3)^(2))$, daher kann die ursprüngliche Gleichung wie folgt umgeschrieben werden:

\[((\left(((3)^(2)) \right))^(x))=-3\]

Dann erinnern wir uns daran, dass bei der Potenzierung die Exponenten multipliziert werden:

\[((\left(((3)^(2)) \right))^(x))=((3)^(2x))\Rightarrow ((3)^(2x))=-(( 3)^(1))\]

\[\begin(align)& 2x=-1 \\& x=-\frac(1)(2) \\\end(align)\]

Und für eine solche Entscheidung erhalten wir eine ehrlich verdiente Zwei. Denn mit dem Gleichmut eines Pokémon haben wir das Minuszeichen vor die Drei in die Potenz dieser Drei gesetzt. Aber das kannst du nicht tun. Und deshalb. Schauen Sie sich die verschiedenen Potenzen der Drei an:

\[\begin(matrix) ((3)^(1))=3& ((3)^(-1))=\frac(1)(3)& ((3)^(\frac(1)( 2)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(2))=9& ((3)^(-2))=\frac(1)(9)& ((3)^(\ frac(1)(3)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(3))=27& ((3)^(-3))=\frac(1)(27)& (( 3)^(-\frac(1)(2)))=\frac(1)(\sqrt(3)) \\\end(matrix)\]

Bei der Zusammenstellung dieser Tafel habe ich nichts verfälscht: Ich habe positive Potenzen und negative Potenzen und sogar gebrochene Potenzen berücksichtigt ... Nun, wo ist hier mindestens eine negative Zahl? Er ist nicht da! Und das kann nicht sein, denn die Exponentialfunktion $y=((a)^(x))$ nimmt erstens immer nur positive Werte an (egal wie viel eins durch zwei multipliziert oder dividiert wird, es wird immer noch a sein positive Zahl), und zweitens ist die Basis einer solchen Funktion – die Zahl $a$ – per Definition eine positive Zahl!

Nun, wie löst man dann die Gleichung $((9)^(x))=-3$? Aber auf keinen Fall: Es gibt keine Wurzeln. Und in diesem Sinne sind Exponentialgleichungen den quadratischen Gleichungen sehr ähnlich – es darf auch keine Wurzeln geben. Wenn aber in quadratischen Gleichungen die Anzahl der Wurzeln durch die Diskriminante bestimmt wird (positive Diskriminante – 2 Wurzeln, negativ – keine Wurzeln), dann hängt bei exponentiellen Gleichungen alles davon ab, was rechts vom Gleichheitszeichen steht.

Formulieren wir also die wichtigste Schlussfolgerung: Die einfachste Exponentialgleichung der Form $((a)^(x))=b$ hat genau dann eine Wurzel, wenn $b>0$. Wenn Sie diese einfache Tatsache kennen, können Sie leicht feststellen, ob die Ihnen vorgeschlagene Gleichung Wurzeln hat oder nicht. Diese. Lohnt es sich überhaupt, das Problem zu lösen oder sofort aufzuschreiben, dass es keine Wurzeln gibt?

Dieses Wissen wird uns oft helfen, wenn wir komplexere Probleme lösen müssen. Jetzt aber genug der Texte – es ist Zeit, den grundlegenden Algorithmus zum Lösen von Exponentialgleichungen zu studieren.

So lösen Sie Exponentialgleichungen

Formulieren wir also das Problem. Es ist notwendig, die Exponentialgleichung zu lösen:

\[((a)^(x))=b,\quad a,b>0\]

Gemäß dem „naiven“ Algorithmus, den wir zuvor verwendet haben, ist es notwendig, die Zahl $b$ als Potenz der Zahl $a$ darzustellen:

Wenn außerdem anstelle der Variablen $x$ ein beliebiger Ausdruck vorhanden ist, erhalten wir eine neue Gleichung, die bereits gelöst werden kann. Zum Beispiel:

\[\begin(align)& ((2)^(x))=8\Rightarrow ((2)^(x))=((2)^(3))\Rightarrow x=3; \\& ((3)^(-x))=81\Rightarrow ((3)^(-x))=((3)^(4))\Rightarrow -x=4\Rightarrow x=-4; \\& ((5)^(2x))=125\Rightarrow ((5)^(2x))=((5)^(3))\Rightarrow 2x=3\Rightarrow x=\frac(3)( 2). \\\end(align)\]

Und seltsamerweise funktioniert dieses Schema in etwa 90 % der Fälle. Was ist dann mit den restlichen 10 %? Die restlichen 10 % sind leicht „schizophrene“ Exponentialgleichungen der Form:

\[((2)^(x))=3;\quad ((5)^(x))=15;\quad ((4)^(2x))=11\]

Nun, auf welche Potenz muss man 2 erhöhen, um 3 zu erhalten? Erste? Aber nein: $((2)^(1))=2$ ist nicht genug. Zweite? Auch nein: $((2)^(2))=4$ ist zu viel. Welches denn?

Versierte Studierende haben es wahrscheinlich schon erraten: In solchen Fällen, in denen es nicht möglich ist, es „schön“ zu lösen, kommt die „schwere Artillerie“ – Logarithmen – ins Spiel. Ich möchte Sie daran erinnern, dass mit Logarithmen jede positive Zahl als Potenz jeder anderen positiven Zahl (außer einer) dargestellt werden kann:

Erinnern Sie sich an diese Formel? Wenn ich meinen Schülern von Logarithmen erzähle, warne ich immer: Diese Formel (die auch die grundlegende logarithmische Identität oder, wenn Sie so wollen, die Definition eines Logarithmus ist) wird Sie sehr lange verfolgen und am meisten „auftauchen“. unerwartete Orte. Nun, sie ist aufgetaucht. Schauen wir uns unsere Gleichung und diese Formel an:

\[\begin(align)& ((2)^(x))=3 \\& a=((b)^(((\log )_(b))a)) \\\end(align) \]

Wenn wir annehmen, dass $a=3$ unsere ursprüngliche Zahl auf der rechten Seite ist und $b=2$ die eigentliche Basis der Exponentialfunktion ist, auf die wir die rechte Seite reduzieren möchten, erhalten wir Folgendes:

\[\begin(align)& a=((b)^(((\log )_(b))a))\Rightarrow 3=((2)^(((\log )_(2))3 )); \\& ((2)^(x))=3\Rightarrow ((2)^(x))=((2)^(((\log )_(2))3))\Rightarrow x=( (\log )_(2))3. \\\end(align)\]

Wir haben eine etwas seltsame Antwort erhalten: $x=((\log )_(2))3$. Bei einer anderen Aufgabe würden viele an einer solchen Antwort zweifeln und anfangen, ihre Lösung noch einmal zu überprüfen: Was wäre, wenn sich irgendwo ein Fehler eingeschlichen hätte? Ich beeile mich, Ihnen zu gefallen: Hier liegt kein Fehler vor, und Logarithmen in den Wurzeln von Exponentialgleichungen sind eine völlig typische Situation. Also gewöhne dich daran. :)

Nun lösen wir die verbleibenden beiden Gleichungen analog:

\[\begin(align)& ((5)^(x))=15\Rightarrow ((5)^(x))=((5)^(((\log )_(5))15)) \Rightarrow x=((\log )_(5))15; \\& ((4)^(2x))=11\Rightarrow ((4)^(2x))=((4)^(((\log )_(4))11))\Rightarrow 2x=( (\log )_(4))11\Rightarrow x=\frac(1)(2)((\log )_(4))11. \\\end(align)\]

Das ist alles! Die letzte Antwort kann übrigens auch anders geschrieben werden:

Wir haben einen Multiplikator zum Argument des Logarithmus eingeführt. Aber niemand hält uns davon ab, diesen Faktor zur Basis hinzuzufügen:

Darüber hinaus sind alle drei Optionen richtig – es handelt sich lediglich um unterschiedliche Schreibweisen derselben Zahl. Welche Sie in dieser Lösung auswählen und aufschreiben möchten, liegt bei Ihnen.

Somit haben wir gelernt, beliebige Exponentialgleichungen der Form $((a)^(x))=b$ zu lösen, wobei die Zahlen $a$ und $b$ streng positiv sind. Die harte Realität unserer Welt ist jedoch, dass solch einfache Aufgaben sehr, sehr selten anzutreffen sind. Meistens werden Sie auf so etwas stoßen:

\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11; \\& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09. \\\end(align)\]

Wie können wir das also lösen? Lässt sich das überhaupt lösen? Und wenn ja, wie?

Keine Panik. Alle diese Gleichungen lassen sich schnell und einfach auf die einfachen Formeln reduzieren, die wir bereits betrachtet haben. Sie müssen sich nur ein paar Tricks aus dem Algebrakurs merken. Und natürlich gibt es keine Regeln für die Arbeit mit Abschlüssen. Das alles erzähle ich euch jetzt. :)

Exponentialgleichungen umwandeln

Das Erste, woran man sich erinnern sollte: Jede Exponentialgleichung, egal wie komplex sie auch sein mag, muss auf die eine oder andere Weise auf die einfachsten Gleichungen reduziert werden – diejenigen, die wir bereits betrachtet haben und die wir zu lösen wissen. Mit anderen Worten, das Schema zur Lösung einer beliebigen Exponentialgleichung sieht folgendermaßen aus:

1. Schreiben Sie die ursprüngliche Gleichung auf. Zum Beispiel: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
2. Mach irgendeinen seltsamen Scheiß. Oder sogar irgendein Mist namens „Gleichung umwandeln“;
3. Als Ausgabe erhalten Sie die einfachsten Ausdrücke der Form $((4)^(x))=4$ oder etwas Ähnliches. Darüber hinaus kann eine Ausgangsgleichung mehrere solcher Ausdrücke gleichzeitig ergeben.

Mit dem ersten Punkt ist alles klar – sogar meine Katze kann die Gleichung auf ein Blatt Papier schreiben. Auch der dritte Punkt scheint mehr oder weniger klar zu sein – wir haben oben bereits eine ganze Reihe solcher Gleichungen gelöst.

Aber was ist mit dem zweiten Punkt? Was für Transformationen? Was in was umwandeln? Und wie?

Nun, lass es uns herausfinden. Zunächst möchte ich Folgendes anmerken. Alle Exponentialgleichungen werden in zwei Typen unterteilt:

1. Die Gleichung besteht aus Exponentialfunktionen mit derselben Basis. Beispiel: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
2. Die Formel enthält Exponentialfunktionen mit unterschiedlichen Basen. Beispiele: $((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x))$ und $((100)^(x-1) )\cdot ((2,7)^(1-x))=$0,09.

Beginnen wir mit Gleichungen des ersten Typs – sie sind am einfachsten zu lösen. Und bei der Lösung wird uns eine Technik wie das Hervorheben stabiler Ausdrücke helfen.

Einen stabilen Ausdruck isolieren

Schauen wir uns diese Gleichung noch einmal an:

\[((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11\]

Was sehen wir? Die vier sind unterschiedlich stark angehoben. Aber alle diese Potenzen sind einfache Summen der Variablen $x$ mit anderen Zahlen. Daher ist es notwendig, sich an die Regeln für die Arbeit mit Abschlüssen zu erinnern:

\[\begin(align)& ((a)^(x+y))=((a)^(x))\cdot ((a)^(y)); \\& ((a)^(x-y))=((a)^(x)):((a)^(y))=\frac(((a)^(x)))(((a )^(y))). \\\end(align)\]

Vereinfacht ausgedrückt lässt sich die Addition in ein Potenzprodukt umwandeln, und die Subtraktion lässt sich leicht in eine Division umwandeln. Versuchen wir, diese Formeln auf die Grade aus unserer Gleichung anzuwenden:

\[\begin(align)& ((4)^(x-1))=\frac(((4)^(x)))(((4)^(1)))=((4)^ (x))\cdot \frac(1)(4); \\& ((4)^(x+1))=((4)^(x))\cdot ((4)^(1))=((4)^(x))\cdot 4. \ \\end(align)\]

Schreiben wir die ursprüngliche Gleichung unter Berücksichtigung dieser Tatsache um und sammeln dann alle Terme auf der linken Seite:

\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)=((4)^(x))\cdot 4 -elf; \\& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)-((4)^(x))\cdot 4+11=0. \\\end(align)\]

Die ersten vier Terme enthalten das Element $((4)^(x))$ – nehmen wir es aus der Klammer:

\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(1+\frac(1)(4)-4 \right)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \frac(4+1-16)(4)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)=-11. \\\end(align)\]

Es bleibt noch, beide Seiten der Gleichung durch den Bruch $-\frac(11)(4)$ zu dividieren, d.h. im Wesentlichen mit dem umgekehrten Bruch multiplizieren - $-\frac(4)(11)$. Wir bekommen:

\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)\cdot \left(-\frac(4)(11) \right )=-11\cdot \left(-\frac(4)(11) \right); \\& ((4)^(x))=4; \\& ((4)^(x))=((4)^(1)); \\& x=1. \\\end(align)\]

Das ist alles! Wir haben die ursprüngliche Gleichung auf ihre einfachste Form reduziert und die endgültige Antwort erhalten.

Gleichzeitig haben wir im Lösungsprozess den gemeinsamen Faktor $((4)^(x))$ entdeckt (und ihn sogar aus der Klammer genommen) – das ist ein stabiler Ausdruck. Sie kann als neue Variable bezeichnet werden oder Sie können sie einfach sorgfältig ausdrücken und die Antwort erhalten. Das Kernprinzip der Lösung lautet jedenfalls wie folgt:

Finden Sie in der ursprünglichen Gleichung einen stabilen Ausdruck, der eine Variable enthält, die sich leicht von allen Exponentialfunktionen unterscheiden lässt.

Die gute Nachricht ist, dass Sie mit fast jeder Exponentialgleichung einen solchen stabilen Ausdruck isolieren können.

Die schlechte Nachricht ist jedoch, dass diese Ausdrücke ziemlich knifflig und schwer zu identifizieren sein können. Schauen wir uns also ein weiteres Problem an:

\[((5)^(x+2))+((0,2)^(-x-1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2\]

Vielleicht hat jetzt jemand eine Frage: „Pascha, bist du bekifft?“ Hier gibt es verschiedene Basen – 5 und 0,2.“ Aber versuchen wir, die Potenz auf die Basis 0,2 umzurechnen. Lassen Sie uns zum Beispiel den Dezimalbruch loswerden, indem wir ihn auf einen regulären Bruch reduzieren:

\[((0,2)^(-x-1))=((0,2)^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(2)(10 ) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)) )\]

Wie Sie sehen können, erschien die Zahl 5 immer noch, wenn auch im Nenner. Gleichzeitig wurde der Indikator in negativ umgeschrieben. Erinnern wir uns nun an eine der wichtigsten Regeln für die Arbeit mit Abschlüssen:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))\Rightarrow ((\left(\frac(1)(5) \right))^( -\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(5)(1) \right))^(x+1))=((5)^(x+1))\ ]

Hier habe ich natürlich ein wenig gelogen. Denn zum vollständigen Verständnis musste die Formel zur Beseitigung negativer Indikatoren wie folgt geschrieben werden:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))=((\left(\frac(1)(a) \right))^(n ))\Rightarrow ((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(5)(1) \ rechts))^(x+1))=((5)^(x+1))\]

Andererseits hinderte uns nichts daran, nur mit Brüchen zu arbeiten:

\[((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(((5)^(-1)) \ rechts))^(-\left(x+1 \right)))=((5)^(\left(-1 \right)\cdot \left(-\left(x+1 \right) \right) ))=((5)^(x+1))\]

Aber in diesem Fall müssen Sie in der Lage sein, eine Potenz auf eine andere Potenz zu erhöhen (ich möchte Sie daran erinnern: In diesem Fall werden die Indikatoren addiert). Aber ich musste die Brüche nicht „umkehren“ – vielleicht ist das für einige einfacher. :)

In jedem Fall wird die ursprüngliche Exponentialgleichung wie folgt umgeschrieben:

\[\begin(align)& ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+5\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(1))\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(x+2))=2; \\& 2\cdot ((5)^(x+2))=2; \\& ((5)^(x+2))=1. \\\end(align)\]

Es stellt sich also heraus, dass die ursprüngliche Gleichung noch einfacher gelöst werden kann als die zuvor betrachtete: Hier muss nicht einmal ein stabiler Ausdruck ausgewählt werden – alles wurde von selbst reduziert. Es bleibt nur noch, sich daran zu erinnern, dass $1=((5)^(0))$, woraus wir erhalten:

\[\begin(align)& ((5)^(x+2))=((5)^(0)); \\& x+2=0; \\& x=-2. \\\end(align)\]

Das ist die Lösung! Wir haben die endgültige Antwort erhalten: $x=-2$. Gleichzeitig möchte ich eine Technik erwähnen, die uns alle Berechnungen erheblich vereinfacht hat:

Achten Sie bei Exponentialgleichungen darauf, Dezimalbrüche loszuwerden und sie in gewöhnliche Brüche umzuwandeln. Dadurch können Sie die gleichen Gradzahlen sehen und die Lösung erheblich vereinfachen.

Kommen wir nun zu komplexeren Gleichungen, in denen es verschiedene Basen gibt, die sich mit Potenzen überhaupt nicht auf einander reduzieren lassen.

Verwenden der Degrees-Eigenschaft

Ich möchte Sie daran erinnern, dass wir zwei besonders harte Gleichungen haben:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09. \\\end(align)\]

Die Hauptschwierigkeit besteht hier darin, dass nicht klar ist, was und auf welcher Grundlage gegeben werden soll. Wo sind die stabilen Ausdrücke? Wo sind die gleichen Gründe? Davon gibt es nichts.

Aber versuchen wir, einen anderen Weg zu gehen. Wenn es keine fertigen identischen Basen gibt, können Sie versuchen, diese durch Faktorisieren der vorhandenen Basen zu finden.

Beginnen wir mit der ersten Gleichung:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& 21=7\cdot 3\Rightarrow ((21)^(3x))=((\left(7\cdot 3 \right))^(3x))=((7)^(3x))\ cdot((3)^(3x)). \\\end(align)\]

Sie können aber auch das Gegenteil tun – aus den Zahlen 7 und 3 die Zahl 21 bilden. Dies ist auf der linken Seite besonders einfach, da die Indikatoren beider Grade gleich sind:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((\left(7\cdot 3 \right))^(x+ 6 ))=((21)^(x+6)); \\& ((21)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& x+6=3x; \\& 2x=6; \\& x=3. \\\end(align)\]

Das ist alles! Sie haben den Exponenten außerhalb des Produkts genommen und sofort eine schöne Gleichung erhalten, die in ein paar Zeilen gelöst werden kann.

Schauen wir uns nun die zweite Gleichung an. Hier ist alles viel komplizierter:

\[((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09\]

\[((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(27)(10) \right))^(1-x))=\frac(9)(100)\]

In diesem Fall erwiesen sich die Brüche als irreduzibel, aber wenn etwas reduziert werden konnte, reduzieren Sie es unbedingt. Oftmals tauchen interessante Gründe auf, mit denen man bereits arbeiten kann.

Leider hat sich für uns nichts Besonderes ergeben. Aber wir sehen, dass die Exponenten links im Produkt entgegengesetzt sind:

Ich möchte Sie daran erinnern: Um das Minuszeichen im Indikator zu entfernen, müssen Sie nur den Bruch „umdrehen“. Nun, schreiben wir die ursprüngliche Gleichung um:

\[\begin(align)& ((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9 )(100); \\& ((\left(100\cdot \frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100); \\& ((\left(\frac(1000)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100). \\\end(align)\]

In der zweiten Zeile haben wir einfach den Gesamtexponenten aus dem Produkt aus der Klammer nach der Regel $((a)^(x))\cdot ((b)^(x))=((\left(a) entnommen \cdot b \right))^ (x))$, und im letzten haben sie einfach die Zahl 100 mit einem Bruch multipliziert.

Beachten Sie nun, dass die Zahlen links (an der Basis) und rechts etwas ähnlich sind. Wie? Ja, es ist offensichtlich: Es handelt sich um Potenzen gleicher Zahl! Wir haben:

\[\begin(align)& \frac(1000)(27)=\frac(((10)^(3)))(((3)^(3)))=((\left(\frac( 10)(3) \right))^(3)); \\& \frac(9)(100)=\frac(((3)^(2)))(((10)^(3)))=((\left(\frac(3)(10) \right))^(2)). \\\end(align)\]

Daher wird unsere Gleichung wie folgt umgeschrieben:

\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \right))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(3 )(10)\right))^(2))\]

\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \right))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(10 )(3) \right))^(3\left(x-1 \right)))=((\left(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))\]

In diesem Fall erhalten Sie rechts auch einen Grad mit der gleichen Basis, für den es genügt, den Bruch einfach „umzudrehen“:

\[((\left(\frac(3)(10) \right))^(2))=((\left(\frac(10)(3) \right))^(-2))\]

Unsere Gleichung wird schließlich die Form annehmen:

\[\begin(align)& ((\left(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))=((\left(\frac(10)(3) \right)) ^(-2)); \\& 3x-3=-2; \\& 3x=1; \\& x=\frac(1)(3). \\\end(align)\]

Das ist die Lösung. Seine Hauptidee läuft darauf hinaus, dass wir auch bei unterschiedlichen Grundlagen versuchen, diese Grundlagen auf Biegen und Brechen auf das Gleiche zu reduzieren. Dabei helfen uns elementare Umformungen von Gleichungen und Regeln für die Arbeit mit Potenzen.

Aber welche Regeln und wann sind sie anzuwenden? Wie verstehen Sie, dass Sie in einer Gleichung beide Seiten durch etwas dividieren müssen und in einer anderen die Basis der Exponentialfunktion faktorisieren müssen?

Die Antwort auf diese Frage wird mit der Erfahrung kommen. Versuchen Sie sich zunächst an einfachen Gleichungen und verkomplizieren Sie die Probleme dann nach und nach – und schon bald werden Ihre Fähigkeiten ausreichen, um jede beliebige Exponentialgleichung aus demselben Einheitlichen Staatsexamen oder einer unabhängigen Prüfungsarbeit zu lösen.

Und um Ihnen bei dieser schwierigen Aufgabe zu helfen, schlage ich vor, einen Satz Gleichungen von meiner Website herunterzuladen, um sie selbst zu lösen. Alle Gleichungen haben Antworten, sodass Sie sich jederzeit selbst testen können.