Eigenschaften der Fourier-Transformation im Zusammenhang mit der Differenzierung. Fourier-Transformation Fourier-Integralkomplexform der Integral-Fourier-Transformation Kosinus- und Sinustransformationen Amplituden- und Phasenspektren Anwendungseigenschaften

Die Fourier-Transformation ist eine Transformation, die Funktionen einer bestimmten reellen Variablen zuordnet. Dieser Vorgang wird jedes Mal durchgeführt, wenn wir unterschiedliche Geräusche wahrnehmen. Das Ohr führt eine automatische „Berechnung“ durch, zu der unser Bewusstsein erst nach dem Studium des entsprechenden Abschnitts der höheren Mathematik in der Lage ist. Das menschliche Hörorgan baut eine Transformation auf, wodurch Schall (die oszillierende Bewegung konditionierter Teilchen in einem elastischen Medium, die sich in einem festen, flüssigen oder gasförmigen Medium wellenförmig ausbreiten) in Form eines Spektrums sequentieller Lautstärke dargestellt wird Stufen von Tönen unterschiedlicher Höhe. Anschließend wandelt das Gehirn diese Informationen in einen vertrauten Klang um.

Mathematische Fourier-Transformation

Auch die Transformation von Schallwellen oder anderen oszillierenden Prozessen (von Lichtstrahlung und Meeresgezeiten bis hin zu Zyklen stellarer oder solarer Aktivität) kann mit mathematischen Methoden durchgeführt werden. Somit ist es mit diesen Techniken möglich, Funktionen zu erweitern, indem oszillierende Prozesse als eine Reihe sinusförmiger Komponenten dargestellt werden, d. h. als Wellenkurven, die sich wie eine Meereswelle vom Minimum zum Maximum und dann zurück zum Minimum bewegen. Die Fourier-Transformation ist eine Transformation, deren Funktion die Phase oder Amplitude jeder Sinuskurve beschreibt, die einer bestimmten Frequenz entspricht. Die Phase stellt den Startpunkt der Kurve dar und die Amplitude stellt ihre Höhe dar.

Die Fourier-Transformation (Beispiele sind auf dem Foto dargestellt) ist ein sehr leistungsfähiges Werkzeug, das in verschiedenen Bereichen der Wissenschaft eingesetzt wird. In einigen Fällen wird es als Mittel zur Lösung recht komplexer Gleichungen verwendet, die dynamische Prozesse beschreiben, die unter dem Einfluss von Licht, thermischer oder elektrischer Energie entstehen. In anderen Fällen können Sie damit regelmäßige Komponenten in komplexen Schwingungssignalen bestimmen und so verschiedene experimentelle Beobachtungen in Chemie, Medizin und Astronomie richtig interpretieren.

Historische Referenz

Der erste, der diese Methode anwendete, war der französische Mathematiker Jean Baptiste Fourier. Die später nach ihm benannte Transformation diente ursprünglich zur Beschreibung des Mechanismus der Wärmeleitfähigkeit. Fourier verbrachte sein gesamtes Erwachsenenleben damit, die Eigenschaften von Wärme zu studieren. Er leistete enorme Beiträge zur mathematischen Theorie der Bestimmung der Wurzeln algebraischer Gleichungen. Fourier war Professor für Analyse an der Polytechnischen Schule, Sekretär des Instituts für Ägyptologie und diente im kaiserlichen Dienst, in dem er sich beim Bau der Straße nach Turin (unter seiner Leitung wurden mehr als 80.000 Quadratkilometer) hervorgetan hat Malariasümpfe wurden trockengelegt). All diese intensive Aktivität hinderte den Wissenschaftler jedoch nicht daran, sich mit mathematischen Analysen zu beschäftigen. Im Jahr 1802 leitete er eine Gleichung ab, die die Wärmeausbreitung in Festkörpern beschreibt. Im Jahr 1807 entdeckte der Wissenschaftler eine Methode zur Lösung dieser Gleichung, die „Fourier-Transformation“ genannt wurde.

Analyse der Wärmeleitfähigkeit

Der Wissenschaftler nutzte eine mathematische Methode, um den Mechanismus der Wärmeleitfähigkeit zu beschreiben. Ein praktisches Beispiel, bei dem es keine Berechnungsschwierigkeiten gibt, ist die Ausbreitung von Wärmeenergie entlang eines Eisenrings, von dem ein Teil in ein Feuer eingetaucht ist. Um Experimente durchzuführen, erhitzte Fourier einen Teil dieses Rings glühend heiß und vergrub ihn in feinem Sand. Anschließend nahm er Temperaturmessungen auf der gegenüberliegenden Seite vor. Anfangs ist die Wärmeverteilung unregelmäßig: Ein Teil des Rings ist kalt und der andere heiß; zwischen diesen Zonen ist ein starker Temperaturgradient zu beobachten. Da sich die Wärme jedoch über die gesamte Oberfläche des Metalls ausbreitet, wird sie gleichmäßiger. Bald nimmt dieser Prozess die Form einer Sinuskurve an. Der Graph nimmt zunächst gleichmäßig zu und ebenso gleichmäßig ab, genau nach den Gesetzen der Änderung der Kosinus- oder Sinusfunktion. Die Welle flacht allmählich ab und dadurch wird die Temperatur auf der gesamten Oberfläche des Rings gleich.

Der Autor dieser Methode schlug vor, dass die anfängliche unregelmäßige Verteilung vollständig in eine Reihe elementarer Sinuskurven zerlegt werden kann. Jeder von ihnen hat seine eigene Phase (Ausgangsposition) und sein eigenes Temperaturmaximum. Darüber hinaus ändert sich jede dieser Komponenten in einer vollständigen Umdrehung um den Ring ganzzahlig oft vom Minimum zum Maximum und zurück. Die Komponente mit einer Periode wurde als Grundharmonische bezeichnet, der Wert mit zwei oder mehr Perioden als zweite und so weiter. Daher wird die mathematische Funktion, die das Temperaturmaximum, die Phase oder die Position beschreibt, als Fourier-Transformation der Verteilungsfunktion bezeichnet. Der Wissenschaftler reduzierte eine einzelne Komponente, die mathematisch schwer zu beschreiben ist, auf ein einfach zu verwendendes Werkzeug – die Kosinus- und Sinusreihen, die zusammen die ursprüngliche Verteilung ergeben.

Die Essenz der Analyse

Der Mathematiker wandte diese Analyse auf die Umwandlung der Wärmeausbreitung durch ein festes Objekt mit Ringform an und kam zu dem Schluss, dass eine Erhöhung der Perioden der Sinuskomponente zu deren schneller Abschwächung führen würde. Dies ist deutlich an der Grundschwingung und der zweiten Harmonischen zu erkennen. Bei letzterem erreicht die Temperatur in einem Durchgang zweimal den Maximal- und Minimalwert und im ersten Durchgang nur einmal. Es stellt sich heraus, dass die von der Wärme zurückgelegte Strecke in der zweiten Harmonischen halb so groß ist wie in der Grundschwingung. Darüber hinaus wird die Steigung im zweiten auch doppelt so steil sein wie im ersten. Da der intensivere Wärmestrom eine doppelt so kurze Distanz zurücklegt, wird diese Harmonische als Funktion der Zeit viermal schneller abklingen als die Grundschwingung. In den folgenden Fällen wird dieser Prozess noch schneller ablaufen. Der Mathematiker glaubte, dass man mit dieser Methode den Verlauf der anfänglichen Temperaturverteilung über die Zeit berechnen kann.

Herausforderung an die Zeitgenossen

Der Fourier-Transformationsalgorithmus stellte die theoretischen Grundlagen der damaligen Mathematik in Frage. Zu Beginn des 19. Jahrhunderts akzeptierten die meisten prominenten Wissenschaftler, darunter Lagrange, Laplace, Poisson, Legendre und Biot, seine Aussage, dass die anfängliche Temperaturverteilung in Komponenten in Form einer Grundharmonischen und höherer Frequenzen zerlegt sei, nicht. Die Akademie der Wissenschaften konnte die Ergebnisse des Mathematikers jedoch nicht ignorieren und verlieh ihm einen Preis für die Theorie der Gesetze der Wärmeleitung sowie deren Vergleich mit physikalischen Experimenten. Beim Fourier-Ansatz wurde der Haupteinwand durch die Tatsache verursacht, dass die diskontinuierliche Funktion durch die Summe mehrerer kontinuierlicher Sinusfunktionen dargestellt wird. Schließlich beschreiben sie das Brechen von geraden und geschwungenen Linien. Die Zeitgenossen des Wissenschaftlers hatten noch nie eine ähnliche Situation erlebt, als diskontinuierliche Funktionen durch eine Kombination kontinuierlicher Funktionen beschrieben wurden, beispielsweise quadratisch, linear, sinusförmig oder exponentiell. Wenn der Mathematiker mit seinen Aussagen Recht hatte, müsste die Summe einer unendlichen Reihe einer trigonometrischen Funktion auf eine exakte Stufenfunktion reduziert werden. Damals schien eine solche Aussage absurd. Trotz ihrer Zweifel erweiterten einige Forscher (z. B. Claude Navier, Sophie Germain) den Umfang ihrer Forschung und gingen über die Analyse der thermischen Energieverteilung hinaus. Unterdessen quälte die Mathematiker weiterhin die Frage, ob sich die Summe mehrerer Sinusfunktionen auf eine exakte Darstellung einer diskontinuierlichen Funktion reduzieren lässt.

200 Jahre Geschichte

Diese Theorie wurde über zwei Jahrhunderte entwickelt und heute wurde sie endlich formuliert. Mit seiner Hilfe werden räumliche oder zeitliche Funktionen in Sinuskomponenten zerlegt, die ihre eigene Frequenz, Phase und Amplitude haben. Diese Transformation wird durch zwei verschiedene mathematische Methoden erhalten. Die erste davon wird verwendet, wenn die ursprüngliche Funktion stetig ist, und die zweite, wenn sie durch viele diskrete Einzeländerungen dargestellt wird. Wenn der Ausdruck aus Werten erhalten wird, die durch diskrete Intervalle definiert sind, kann er in mehrere Sinusausdrücke mit diskreten Frequenzen unterteilt werden – vom niedrigsten und dann zweimal, dreimal usw. über dem Hauptausdruck. Diese Summe wird üblicherweise als Fourier-Reihe bezeichnet. Wenn dem Anfangsausdruck für jede reelle Zahl ein Wert gegeben wird, kann er in mehrere Sinuskurven aller möglichen Frequenzen zerlegt werden. Es wird üblicherweise als Fourier-Integral bezeichnet und die Lösung impliziert integrale Transformationen der Funktion. Unabhängig davon, wie die Umrechnung erfolgt, müssen für jede Frequenz zwei Zahlen angegeben werden: Amplitude und Frequenz. Diese Werte werden als eine einzige Theorie der Ausdrücke komplexer Variablen zusammen mit der Fourier-Transformation ausgedrückt und ermöglichten die Durchführung von Berechnungen beim Entwurf verschiedener elektrischer Schaltkreise, der Analyse mechanischer Schwingungen, der Untersuchung des Mechanismus der Wellenausbreitung und mehr.

Fourier-Transformation heute

Heutzutage geht es bei der Untersuchung dieses Prozesses hauptsächlich darum, wirksame Methoden für den Übergang von einer Funktion zu ihrer transformierten Form und zurück zu finden. Diese Lösung wird direkte und inverse Fourier-Transformation genannt. Was bedeutet das? Um eine direkte Fourier-Transformation durchzuführen, können Sie mathematische oder analytische Methoden verwenden. Obwohl bei der praktischen Anwendung gewisse Schwierigkeiten auftreten, wurden die meisten Integrale bereits gefunden und in mathematische Nachschlagewerke aufgenommen. Mit numerischen Methoden können Sie Ausdrücke berechnen, deren Form auf experimentellen Daten basiert, oder Funktionen, deren Integrale in Tabellen fehlen und sich nur schwer in analytischer Form darstellen lassen.

Vor dem Aufkommen der Computertechnologie waren Berechnungen solcher Transformationen sehr mühsam; sie erforderten die manuelle Ausführung einer großen Anzahl arithmetischer Operationen, die von der Anzahl der Punkte abhingen, die die Wellenfunktion beschreiben. Um Berechnungen zu erleichtern, gibt es heute spezielle Programme, die es ermöglichen, neue Berechnungen durchzuführen. So entwickelten James Cooley und John Tukey 1965 eine Software, die als „schnelle Fourier-Transformation“ bekannt wurde. Dadurch können Sie Berechnungszeit sparen, indem Sie die Anzahl der Multiplikationen bei der Analyse einer Kurve reduzieren. Die Methode der schnellen Fourier-Transformation basiert auf der Aufteilung einer Kurve in eine große Anzahl gleichmäßiger Abtastwerte. Dementsprechend halbiert sich die Anzahl der Multiplikationen bei gleicher Reduzierung der Punktezahl.

Anwenden der Fourier-Transformation

Dieses Verfahren wird in verschiedenen Bereichen der Wissenschaft eingesetzt: Physik, Signalverarbeitung, Kombinatorik, Wahrscheinlichkeitstheorie, Kryptographie, Statistik, Ozeanologie, Optik, Akustik, Geometrie und andere. Die vielfältigen Anwendungsmöglichkeiten basieren auf einer Reihe nützlicher Merkmale, die als „Eigenschaften der Fourier-Transformation“ bezeichnet werden. Schauen wir sie uns an.

1. Die Funktionstransformation ist ein linearer Operator und bei entsprechender Normalisierung einheitlich. Diese Eigenschaft ist als Satz von Parseval oder im allgemeinen Fall als Satz von Plancherel oder als Dualismus von Pontryagin bekannt.

2. Die Transformation ist reversibel. Darüber hinaus hat das Umkehrergebnis fast die gleiche Form wie bei der direkten Lösung.

3. Sinusförmige Grundausdrücke sind eigene differenzierte Funktionen. Dies bedeutet, dass eine solche Darstellung mit einem konstanten Faktor in gewöhnliche algebraische Darstellungen übergeht.

4. Nach dem Faltungssatz verwandelt dieser Prozess eine komplexe Operation in eine elementare Multiplikation.

5. Die diskrete Fourier-Transformation kann mit der „schnellen“ Methode schnell am Computer berechnet werden.

Varianten der Fourier-Transformation

1. Am häufigsten wird dieser Begriff verwendet, um eine kontinuierliche Transformation zu bezeichnen, die jeden quadratintegrierbaren Ausdruck als Summe komplexer Exponentialausdrücke mit bestimmten Winkelfrequenzen und Amplituden liefert. Dieser Typ hat verschiedene Formen, die sich in konstanten Koeffizienten unterscheiden können. Die kontinuierliche Methode beinhaltet eine Umrechnungstabelle, die in mathematischen Nachschlagewerken zu finden ist. Ein verallgemeinerter Fall ist eine gebrochene Transformation, durch die ein gegebener Prozess auf die erforderliche Wirkpotenz gesteigert werden kann.

2. Die kontinuierliche Methode ist eine Verallgemeinerung der früheren Technik der Fourier-Reihen, die für verschiedene periodische Funktionen oder Ausdrücke definiert wird, die in einem begrenzten Bereich existieren, und sie als Reihen von Sinuskurven darstellt.

3. Diskrete Fourier-Transformation. Dieses Verfahren wird in der Computertechnik für wissenschaftliche Berechnungen und digitale Signalverarbeitung eingesetzt. Um diese Art von Berechnung durchzuführen, sind Funktionen erforderlich, die anstelle kontinuierlicher Fourier-Integrale einzelne Punkte, periodische oder begrenzte Bereiche auf einer diskreten Menge definieren. Die Signaltransformation wird in diesem Fall als Summe von Sinuskurven dargestellt. Gleichzeitig ermöglicht der Einsatz der „schnellen“ Methode den Einsatz diskreter Lösungen für beliebige praktische Probleme.

4. Die gefensterte Fourier-Transformation ist eine verallgemeinerte Form der klassischen Methode. Im Gegensatz zur Standardlösung, bei der der gesamte Existenzbereich einer gegebenen Variablen berücksichtigt wird, ist hier nur die lokale Häufigkeitsverteilung von besonderem Interesse, sofern die ursprüngliche Variable (Zeit) erhalten bleibt.

5. Zweidimensionale Fourier-Transformation. Diese Methode wird verwendet, um mit zweidimensionalen Datenarrays zu arbeiten. In diesem Fall erfolgt die Transformation zunächst in die eine und dann in die andere Richtung.

Abschluss

Heute ist die Fourier-Methode in verschiedenen Bereichen der Wissenschaft fest etabliert. Beispielsweise wurde 1962 die Form der DNA-Doppelhelix mithilfe der Fourier-Analyse in Kombination mit letzterer entdeckt, die sich auf Kristalle von DNA-Fasern konzentrierte, wodurch das durch Strahlungsbeugung erhaltene Bild auf Film aufgezeichnet wurde. Dieses Bild lieferte Informationen über den Amplitudenwert bei Verwendung der Fourier-Transformation auf eine gegebene Kristallstruktur. Phasendaten wurden durch Vergleich der Beugungskarte der DNA mit Karten erhalten, die durch die Analyse ähnlicher chemischer Strukturen erhalten wurden. Dadurch stellten Biologen die Kristallstruktur – die ursprüngliche Funktion – wieder her.

Fourier-Transformationen spielen eine große Rolle bei der Erforschung des Weltraums, der Halbleiter- und Plasmaphysik, der Mikrowellenakustik, der Ozeanographie, des Radars, der Seismologie und bei medizinischen Untersuchungen.

Die Eigenschaften von Fourier-Transformationen bestimmen die gegenseitige Übereinstimmung zwischen der Transformation von Signalen und ihren Spektren.

1. Linearität. Die Fourier-Transformation ist eine der linearen Integraloperationen, d.h. das Spektrum der Summe der Signale ist gleich der Summe der Spektren dieser Signale.

a n s n (t) Û a n S n (w). (4.21)

Ein Beispiel für die Signalsummierung und ihre Darstellung im Spektralbereich in Abb. 4.18.

Reis. 4.18. Signale und ihre Spektren. s0(k)=s1(k)+s2(k) Û S1(w)+S2(w) = S0(w)

2. Eigenschaften der Symmetrie Transformationen werden durch den Kosinusanteil (gerade, reell) und den Sinusanteil (ungerade, imaginär) der Entwicklung und die Ähnlichkeit direkter und inverser Transformationen bestimmt.

In Abb. 4.19. Zur Erläuterung der Paritätseigenschaften der Transformation werden Beispiele gegeben. Das Signal s1(k) ist gerade, s1(k) = s1(-k), und hat nur ein echtes gerades Spektrum (der Imaginärteil der Spektralfunktion wird durch Nullwerte dargestellt). Das Signal s2(k) = -s2(-k) ist ungerade und hat ein imaginäres ungerades Spektrum, und sein Realteil wird durch Nullwerte dargestellt. Das Signal s3(k) wird durch die Summe der Signale s1(k) und s2(k) gebildet. Dementsprechend wird die Spektralfunktion des Signals sowohl durch einen reellen geraden Teil (der zu s1(k) gehört) als auch durch einen imaginären ungeraden Teil (der zu s2(k) gehört) dargestellt. Bei der Umkehrtransformation des Real- und Imaginärteils des Spektrums S3(w) sowie aller anderen komplexen Spektren werden die geraden und ungeraden Teile des Originalsignals getrennt rekonstruiert.

Ein beliebiges Quellsignal kann in einer einseitigen Version (0-T) angegeben werden, aber die geraden und ungeraden Teile dieses Signals belegen das Intervall von –T bis T, während auf der linken Hälfte der numerischen Achse (von –T auf 0) kompensieren sich diese beiden Signale gegenseitig und ergeben Nullwerte.

Reis. 4.19. Eigenschaften der Paritätsumwandlung

3. Ändern des Funktionsarguments(Komprimierung oder Erweiterung des Signals) führt zu einer umgekehrten Änderung des Arguments seiner Fourier-Transformation und einer umgekehrt proportionalen Änderung seines Moduls. Wenn also s(t) Û S(w), dann wenn sich die Dauer des Signals ändert, während seine Form erhalten bleibt (Streckung des Signals entlang der Zeitachse), d. h. für ein Signal mit einem neuen Argument s(x) = s(at) bei x=at erhalten wir:

s(at) Ûs(at)exp(-jwt) dt = (1/a)s(x)exp(-jxw/a) dx

s(at) Û (1/a) S(w/a). (4,22")

Der Ausdruck (4.22") gilt für a>0. Für a<0 происходит зеркальный поворот сигнала относительно вертикальной оси, а замена переменной t=x/a вызывает перестановку пределов интегрирования и, соответственно, изменение знака спектра:

s(at) Û -(1/a) S(w/a). (4,22"")

Verallgemeinerte Formel zum Ändern eines Arguments:

s(at) Û (1/|a|) S(w/a), a ≠ 0 (4.22)

Wenn das Argument einer Funktion und ihres Spektrums als bestimmte physikalische Einheiten verstanden wird, zum Beispiel Zeit – Frequenz, dann folgt: Je kürzer das Signal in der Dauer, desto breiter ist sein Frequenzspektrum und umgekehrt. Dies ist in Abb. deutlich zu erkennen. 4.18. für die Signale s1(k) und s2(k) und deren Spektren S1(w) und S2(w).

Eine Änderung des Maßstabs der Funktionsdarstellung sollte von einer Änderung des Funktionsarguments unterschieden werden. Durch Ändern der Argumentskala wird die Digitalisierung der numerischen Achsen der Anzeige von Signalen und deren Spektren geändert, die Signale und Spektren selbst werden jedoch nicht geändert. Also, mit der Zeitachsenskala t=1 Sekunde, der Frequenzachsenskala f=1/t=1 Hertz und mit t=1 μs f=1/t=1 MHz (t=at, f=1/at, ein= 10 -6).

4. Verzögerungssatz. Die Verzögerung (Verschiebung, Verschiebung) des Signals im Argument der Funktion um das Intervall t o führt zu einer Änderung der Phasenfrequenzfunktion des Spektrums (Phasenwinkel aller Harmonischen) um den Betrag -wt o . Unter Anwendung der Änderung der Variablen t-t o = x erhalten wir:

s(t-t o)Ûs(t-t o)exp(-jwt) dt =

S(x)exp(-jwx)exp(-jwt o) dx = S(w)exp(-jwt o). (4.23)

Es liegt auf der Hand, dass sich die Amplituden der Signaloberwellen bei der Verschiebung nicht ändern dürfen. Unter Berücksichtigung der Tatsache, dass |exp(-jwt o)|=1 gilt, folgt aus (4.23):

|S(w) exp(-jwt o)| = |S(w)|.

Das Phasenspektrum verschiebt sich um -wt o mit linearer Abhängigkeit von der Frequenz:

S(w) exp(-jwt o)= R(w) expexp(-jwt o)= R(w) exp. (4.24)

Ein Beispiel für zwei identische, gegeneinander um t o =1 verschobene Signale und die diesen Signalen entsprechenden Spektren ist in Abb. dargestellt. 4.20.

Reis. 4.20. Änderung des Signalspektrums bei Verschiebung

Ebenso ist es nicht schwer zu zeigen, dass eine Verschiebung des Spektrums im Frequenzbereich um w 0 dazu führt, dass das Signal mit exp(jw 0 t) multipliziert wird:

S(w - w 0) « s(t) exp(jw 0 t),

Dies entspricht der Modulation des Signals mit einer komplexen Exponentialfunktion im Zeitbereich.

5. Ableitungstransformation(Signaldifferenzierung) :

s(t) = d/dt = d/dt =Y(w) dw =

Jw Y(w) exp(jwt) dw Û jw Y(w). (4.25)

Die Signaldifferenzierung wird im Spektralbereich durch einfache Multiplikation des Signalspektrums mit angezeigt Signaldifferenzierungsoperator im Frequenzbereich jw, was der Differenzierung jeder Harmonischen des Spektrums entspricht. Die Multiplikation mit jw führt zur Anreicherung des Spektrums des abgeleiteten Signals mit hochfrequenten Komponenten (im Vergleich zum Originalsignal) und eliminiert Komponenten mit der Frequenz Null.

Reis. 4.21. Spektren des Signals und seiner Ableitung

Ein Beispiel für ein Signal, seine Ableitung und die entsprechenden Spektren ist in Abb. dargestellt. 4.21. Durch Ändern des Arguments des Spektrums (für ein gerades Originalsignal war es Null) kann man sehen, dass für alle Harmonischen des Spektrums eine Phasenverschiebung um p/2 (90 0) für positive Frequenzen und um -p/2 auftritt (-90 0) für negative Frequenzen.

Im Allgemeinen gilt für mehrere Derivate:

d n /dt n = (jw) n Y(w). (4.26)

Wenn wir das Spektrum der Funktion differenzieren, erhalten wir jeweils:

d n /dw n = (-jt) n s(t).

6. Transformation des Integrals Ein Signal im Frequenzbereich mit bekanntem Signalspektrum lässt sich aus den folgenden einfachen Überlegungen ermitteln. Wenn da ist

s(t) = d/dt Û jw Y(w) = S(w),

dann muss auch die Umkehroperation durchgeführt werden: y(t) = s(t) dt Û Y(w) = S(w)/jw.

Dies impliziert:

s(t)dt Û (1/jw)S(w). (4.27)

Integrationsoperator im Frequenzbereich (1/jw) für w>1 schwächt hohe Frequenzen im Amplitudenspektrum und für w<1 усиливает низкие. Фазовый спектр сигнала смещается на -90 0 для положительных частот и на 90 0 для отрицательных. Пример модуля спектра сигнала и его интегральной функции приведен на рис. 4.22.

Reis. 4.22. Signale und Signalamplitudenspektren

Formel (4.27) gilt für Signale mit einem konstanten Anteil von Null. Bei der Integration von Signalen mit einem bestimmten Wert der konstanten Komponente C = const erscheint auf der rechten Seite des Ausdrucks (4.27) ein zusätzlicher Term der Fourier-Transformation der konstanten Komponente C, der eine Deltafunktion bei der Frequenz Null mit einem Gewichtungskoeffizienten darstellt gleich dem Wert von C:

7. Faltungstransformation Signale y(t) = s(t) * h(t):

Y(w) =y(t) exp(-jwt) dt =s(t) h(t-t) exp(-jwt) dtdt.

Y(w) =s(t) dth(t-t) exp(-jwt) dt.

Nach dem Verzögerungssatz (4.23):

h(t-t) exp(-jwt) dt = H(w) exp(-jwt).

Y(w) =H(w) s(t) exp(-jwt) dt = H(w)·S(w).

s(t) * h(t) Û S(w) H(w). (4.28)

Ein Beispiel für die Durchführung einer Faltung im Frequenzbereich ist in Abb. dargestellt. 4.23.

Reis. 4.23. Signale und Signalamplitudenspektren

Beachten Sie, dass die Frequenzdarstellung H(w) der Impulsantwort h(t) eines linearen Systems (oder der entsprechenden linearen Operation) die Bedeutung der Frequenzübertragungsfunktion des Systems hat und es uns ermöglicht, das Signal am Ausgang von zu bestimmen das System (in der Frequenzform der Darstellung), wenn an seinem Eingang ein beliebiges Signal (in der Frequenzform) angegeben wird. Im Wesentlichen stellt die Funktion H(w) die Häufigkeitsverteilung der Durchlässigkeit der Frequenzkomponenten des Signals vom Eingang zum Ausgang des Systems dar.

Auf diese Weise, Die Faltung von Funktionen in Koordinatenform wird in der Frequenzdarstellung durch das Produkt der Fourier-Bilder dieser Funktionen dargestellt.

Diese Bestimmung ist für die Praxis der Datenverarbeitung von grundlegender Bedeutung.

Jedes lineare Datenverarbeitungssystem (Informationssignale) implementiert eine bestimmte Signaltransformationsoperation, d.h. führt die Operation der Faltung des Eingangssignals s(t) mit dem Systemoperator h(t) durch. Mithilfe der Faltungstransformation kann dieser Vorgang sowohl mit dynamischen als auch mit Frequenzwellenformen durchgeführt werden. Dabei erfolgt die Verarbeitung der in digitaler Form dargestellten Daten in der Regel im Frequenzbereich, da kann mehrere Größenordnungen leistungsfähiger sein als der Zeitbereich. Es stellt eine Abfolge der folgenden Operationen dar.

1. Konvertieren des Signals in den Frequenzbereich: s(t) Û S(w).

2. Multiplikation des Signalspektrums mit der Übertragungsfunktion des Systems: Y(w) = H(w)·S(w).

Die Übertragungsfunktion des Systems wird durch eine ähnliche Transformation h(t) Û H(w) bestimmt oder direkt in der Frequenzdarstellung angegeben, wodurch Sie Übertragungsfunktionen beliebiger komplexer Form, einschließlich Diskontinuitäten und Sprüngen, für welche Operatoren angeben können h(t) mit einer unendlichen Impulsantwort.

3. Umrechnung des Spektrums des verarbeiteten Signals in den Zeitbereich: Y(w) Û y(t).

8. Produkttransformation Signale y(t) = s(t) h(t):

Y(w) =s(t) h(t) exp(-jwt) dt =s(t) [(1/2p)H(w") exp(jw"t) dw"] dt =

= (1/2p)s(t)H(w") exp(-j(w-w")t) dw"dt =

(1/2p)H(w") dw"s(t) exp(-j(w-w")t) dt =

= (1/2p)H(w") S(w-w") dw" = (1/2p) H(w) * S(w). (4.29)

Auf diese Weise, das Produkt von Funktionen in Koordinatenform wird in Frequenzdarstellung durch Faltung der Fourier-Bilder dieser Funktionen dargestellt, mit einem Normierungsfaktor (1/2p), unter Berücksichtigung der Asymmetrie der direkten und inversen Fourier-Transformationen der Funktionen s(t) und h(t) bei Verwendung von Kreisfrequenzen .

9. Faltungsableitung zwei Funktionen s"(t) = d/dt.

Mit den Ausdrücken (4.26) und (4.28) erhalten wir:

s"(t) = jw = (jw X(w)) Y(w) = X(w) (jw Y(w).

s"(t) = x"(t) * y(t) = x(t) * y"(t).

Mit diesem Ausdruck können Sie die Ableitung eines Signals berechnen und es gleichzeitig mit einer Gewichtungsfunktion glätten, die die Ableitung einer Glättungsfunktion (z. B. einer Gaußschen Funktion) ist.

10. Leistungsspektren. Die Zeitfunktion der Signalleistung in allgemeiner Form wird durch den Ausdruck bestimmt:

w(t) = s(t) s * (t) = |s(t)| 2.

Die spektrale Leistungsdichte ist dementsprechend gleich der Fourier-Transformation des Produkts s(t) s * (t), die in der Spektraldarstellung durch Faltung der Fourier-Bilder dieser Funktionen dargestellt wird:

W(f) = S(f) * S * (f) =S(f) S * (f-v) dv. (4.30)

Aber für alle aktuellen Werte der Frequenz f ist das Integral auf der rechten Seite dieses Ausdrucks gleich dem Produkt S(f)·S * (f), da für alle Werte der Verschiebung v ≠ 0 gilt Aufgrund der Orthogonalität der Harmonischen S(f) und S * (f-v) sind die Werte ihrer Produkte gleich Null. Von hier:

W(f) = S(f) * S * (f) = |S(f)| 2. (4.31)

Das Leistungsspektrum ist eine reelle, nicht negative gerade Funktion, die oft als Energiespektrum bezeichnet wird. Das Leistungsspektrum als Quadrat des Moduls des Signalspektrums enthält keine Phaseninformationen über die Frequenzkomponenten und daher ist eine Rekonstruktion des Signals aus dem Leistungsspektrum unmöglich. Dies bedeutet auch, dass Signale mit unterschiedlichem Phasenverlauf die gleichen Leistungsspektren aufweisen können. Insbesondere hat die Signalverschiebung keinen Einfluss auf das Leistungsspektrum.

Für Funktionen der Signalwechselwirkungsleistung im Frequenzbereich haben wir jeweils Frequenzspektren der Signalwechselwirkungsleistung:

W xy (f) = X(f) Y*(f),

W yx (f) = Y(f) X*(f),

W xy (f) = W* yx (f).

Signalwesind komplex, auch wenn beide Funktionen x(t) und y(t) reell sind, wobei Re eine gerade Funktion und Im eine ungerade Funktion ist. Daher wird die Gesamtenergie der Signalwechselwirkung bei der Integration der Wenur durch den Realteil des Spektrums bestimmt:

X(f) Y*(f) df.

Aus Parsevals Gleichheit folgt, dass das Skalarprodukt von Signalen und der Norm in Bezug auf die Fourier-Transformation invariant ist:

áx(t),y(t)ñ = áX(f),Y(f)ñ, ||x(t)|| 2 = ||X(f)|| 2.

Wir sollten nicht vergessen, dass bei der Darstellung von Spektren in Kreisfrequenzen (in w) die rechte Seite der angegebenen Gleichungen den Faktor 1/2p enthalten muss.

Nachdem wir gelernt haben, wie man die Spektraldichten recht einfacher, aber häufig vorkommender Impulssignale berechnet, gehen wir zu einer systematischen Untersuchung der Eigenschaften der Fourier-Transformation über.

Linearität der Fourier-Transformation.

Diese wichtigste Eigenschaft lässt sich wie folgt formulieren: Liegt eine bestimmte Menge an Signalen vor, so wird die gewichtete Summe der Signale wie folgt Fourier-transformiert:

Hier sind beliebige numerische Koeffizienten.

Um Formel (2.26) zu beweisen, sollte man die Summe der Signale in die Fourier-Transformation (2.16) einsetzen.

Eigenschaften des Real- und Imaginärteils der Spektraldichte.

Sei ein Signal, das reale Werte annimmt. Seine spektrale Dichte ist im allgemeinen Fall komplex:

Wir setzen diesen Ausdruck in die inverse Fourier-Transformationsformel (2.18) ein:

Damit das durch eine solche Doppeltransformation erhaltene Signal real bleibt, ist es notwendig, dies zu fordern

Dies ist nur möglich, wenn der Realteil der spektralen Signaldichte gerade und der Imaginärteil eine ungerade Funktion der Frequenz ist:

Spektrale Dichte eines zeitverschobenen Signals.

Nehmen wir an, dass die Entsprechung für das Signal bekannt ist. Betrachten wir dasselbe Signal, das jedoch Sekunden später auftritt. Wir halten den Punkt für den neuen Ursprung der Zeit und bezeichnen dieses verschobene Signal als Zeigen wir das

Der Beweis ist sehr einfach. Wirklich,

Der Modul einer komplexen Zahl ist für jeden Wert gleich eins, daher hängen die Amplituden der elementaren harmonischen Komponenten, aus denen das Signal besteht, nicht von seiner Position auf der Zeitachse ab. Informationen über diese Eigenschaft des Signals sind in der Frequenzabhängigkeit des Arguments seiner spektralen Dichte (Phasenspektrum) enthalten.

Abhängigkeit der spektralen Signaldichte von der Wahl der Zeitmessskala.

Nehmen wir an, dass das ursprüngliche Signal einer Zeitskalenänderung unterliegt. Dies bedeutet, dass die Rolle der Zeit t von einer neuen unabhängigen Variablen übernommen wird (k ist eine reelle Zahl). Wenn dann das Originalsignal „komprimiert“ ist; wenn das Signal zeitlich „gedehnt“ wird.

Es stellt sich heraus, dass wenn dann

Wirklich,

woraus Formel (2.29) folgt.

Um beispielsweise ein Signal zeitlich zu komprimieren und dabei seine Form beizubehalten, ist es notwendig, die gleichen Spektralkomponenten über einen größeren Frequenzbereich zu verteilen, mit einer entsprechenden proportionalen Abnahme ihrer Amplituden.

Das folgende Problem hängt eng mit dem hier betrachteten Problem zusammen.

Bei einem Impuls, der auf einem Segment von Null verschieden ist und durch die spektrale Dichte gekennzeichnet ist, muss die spektrale Dichte eines „zeitumgekehrten“ Signals ermittelt werden, das eine „Spiegelkopie“ der ursprünglichen Impulsschwingung darstellt. Weil es offensichtlich ist

Nachdem wir eine Variablenänderung durchgeführt haben, finden wir das heraus

Spektrale Dichte der Ableitung und des unbestimmten Integrals.

Gegeben sei das Signal s(t) und seine spektrale Dichte. Wir werden das neue Signal untersuchen und uns zum Ziel setzen, seine spektrale Dichte zu ermitteln.

A-Priorat,

Die Fourier-Transformation ist eine lineare Operation, was bedeutet, dass die Gleichheit (2.31) auch in Bezug auf die Spektraldichten gilt. Unter Berücksichtigung von (2.28) erhalten wir

Darstellung der Exponentialfunktion durch eine Taylor-Reihe: Wenn wir diese Reihe in (2.32) einsetzen und uns auf die ersten beiden Terme beschränken, finden wir

Bei der Differenzierung nimmt die zeitliche Änderungsrate des Signals zu. Infolgedessen weist der Modul des Spektrums der Ableitung im Hochfrequenzbereich größere Werte auf als der Modul des Spektrums des Originalsignals.

Formel (2.33) wird auf den Fall des Ordnungsableitungsspektrums verallgemeinert. Es ist leicht zu beweisen, dass wenn, dann

Das Differenzieren eines Signals nach der Zeit entspricht also einer einfachen algebraischen Operation, bei der die Spektraldichte mit einem Faktor multipliziert wird. Daher ist es üblich, zu sagen, dass eine imaginäre Zahl ein Differenzierungsoperator ist, der im Frequenzbereich arbeitet.

Die betrachtete Funktion ist eine Stammfunktion (unbestimmtes Integral) bezüglich der Funktion. Aus (2.33) folgt formal das Spektrum der Stammfunktion

Somit dient der Multiplikator als Integrationsoperator im Frequenzbereich.

Spektrale Dichte des Signals am Integratorausgang.

In vielen Geräten der Funktechnik kommen sogenannte Integratoren zum Einsatz – physikalische Systeme, deren Ausgangssignal proportional zum Integral der Eingangswirkung ist. Betrachten wir konkret einen Integrator, der das Eingangssignal nach folgendem Gesetz in ein Ausgangssignal umwandelt:

Hier ist ein fester Parameter.

Das in (2.36) enthaltene bestimmte Integral ist offensichtlich gleich der Differenz zwischen zwei Werten der Stammfunktion des Signals, von denen einer mit dem Argument t und der andere mit dem Argument berechnet wird. Mit den Beziehungen (2.28) und (2.35) erhalten wir die Formel für den Zusammenhang zwischen den spektralen Dichten der Signale am Ein- und Ausgang:

Der Faktor in Klammern ist bei jeder Frequenz begrenzt, während der Betrag des Nenners linear mit zunehmender Frequenz zunimmt. Dies deutet darauf hin, dass der betreffende Integrator wie ein Tiefpassfilter wirkt und die hochfrequenten Spektralanteile des Eingangssignals dämpft.

Wie aus der Theorie der Fourier-Reihe hervorgeht, ist sie anwendbar, wenn es um periodische Funktionen und um Funktionen mit einem begrenzten Variationsintervall unabhängiger Variablen geht (da dieses Intervall durch periodische Erweiterung der Funktion auf die gesamte Achse erweitert werden kann). Allerdings kommen periodische Funktionen in der Praxis relativ selten vor. Diese Situation erfordert die Schaffung eines allgemeineren mathematischen Apparats zur Handhabung nichtperiodischer Funktionen, nämlich des Fourier-Integrals und der darauf basierenden Fourier-Transformation.

Betrachten wir die nichtperiodische Funktion f(t) als Grenzwert einer periodischen Funktion mit der Periode T=2l für l®?.

Eine periodische Funktion mit einer Periode von 2l kann als Fourier-Reihenentwicklung dargestellt werden (wir werden ihre komplexe Form verwenden)

wobei die Ausdrücke für die Koeffizienten die Form haben:

Führen wir die folgende Notation für Frequenzen ein:

Schreiben wir die Entwicklung in der Fourier-Reihe in Form einer Formel und ersetzen in (1) den Ausdruck für die Koeffizienten (2) und für die Frequenz (3):

Diskretes Spektrum einer periodischen Funktion mit Periode 2l

Bezeichnen wir den minimalen Abstand zwischen den Punkten des Spektrums, der der Grundfrequenz der Schwingungen entspricht, d.h.

und führen Sie diese Notation in (4) ein:

In dieser Notation ähnelt die Fourier-Reihe der Integralsumme einer Funktion.

Bei T=2l® ans Limit gehen? Auf eine nichtperiodische Funktion stellen wir fest, dass das Frequenzintervall verschwindend klein wird (wir bezeichnen es als dw) und das Spektrum kontinuierlich wird. Aus mathematischer Sicht entspricht dies dem Ersetzen der Summation über eine diskrete Menge durch die Integration über die entsprechende Variable über unendliche Grenzen hinweg.

Dieser Ausdruck ist die Fourier-Integralformel.

2.2 Fourier-Transformationsformeln.

Es ist zweckmäßig, das Fourier-Integral als Überlagerung zweier Formeln darzustellen:

Die Funktion F(w), vergleichbar nach der ersten Formel der Funktion f(t), heißt it Fourier-Transformation. Im Gegenzug wird die zweite Formel aufgerufen, mit der Sie die Originalfunktion aus ihrem Bild ermitteln können inverse Fourier-Transformation. Achten wir auf die Symmetrie der Formeln für die direkte und inverse Fourier-Transformation bis zu einer Genauigkeit eines konstanten Faktors von 1/2p und dem Vorzeichen im Exponenten.

Symbolisch werden die direkte und die inverse Fourier-Transformation als f(t)~F(w) bezeichnet.

Wenn wir eine Analogie zur trigonometrischen Fourier-Reihe ziehen, können wir zu dem Schluss kommen, dass das Fourier-Bild (6) ein Analogon des Fourier-Koeffizienten (siehe (2)) und die inverse Fourier-Transformation (7) ein Analogon der Entwicklung ist einer Funktion in eine trigonometrische Fourier-Reihe (siehe (1) )).

Beachten Sie, dass der Multiplikator anstelle der inversen Transformation auf die direkte Fourier-Transformation zurückgeführt werden kann oder symmetrische Faktoren für die direkte und inverse Transformation erstellt werden kann. Die Hauptsache ist, dass beide Transformationen zusammen die Fourier-Integralformel (5) bilden, d.h. das Produkt konstanter Faktoren bei direkter und inverser Transformation muss gleich sein..

Beachten Sie, dass für Anwendungszwecke nicht die Kreisfrequenz w praktischer ist, sondern die Frequenz n, die durch die Beziehung w = 2pn mit der ersten verknüpft ist. und gemessen in Hertz (Hz). In Bezug auf diese Frequenz sehen die Fourier-Transformationsformeln wie folgt aus:

Lassen Sie uns ohne Beweis ausreichende Bedingungen für die Existenz der Fourier-Transformation formulieren.

• 1) f(t) – begrenzt bei t?(-?,?);
• 2) f(t) – absolut integrierbar auf t?(-?,?);
• 3) Die Anzahl der Diskontinuitätspunkte, Maximum und Minimum der Funktion f(t) ist endlich.

Eine weitere hinreichende Bedingung ist die Anforderung, dass die Funktion auf ihrer reellen Achse quadratisch integrierbar sein muss, was physikalisch der Anforderung einer endlichen Signalleistung entspricht.

Mit der Fourier-Transformation haben wir also zwei Möglichkeiten, das Signal darzustellen: Zeit f(t) und Frequenz F(w).

• 2.3 Eigenschaften der Fourier-Transformation.
• 1. Linearität.

Wenn f(t)~F(w),g(t)~G(w),

dann af(t)+bg(t) ~aF(w)+bG(w).

Der Beweis basiert auf den linearen Eigenschaften von Integralen.

• 2. Parität.
• 2.1 Wenn f(t) eine echte gerade Funktion ist und f(t)~F(w), dann ist F(w) auch eine echte gerade Funktion.

Nachweisen:

Unter Verwendung der Definition (6) sowie der Euler-Formel erhalten wir

• -gleiche Funktion.
• 2.2 Wenn f(t) eine ungerade reelle Funktion ist, dann ist F(w) eine ungerade imaginäre Funktion.

2.3 Wenn f(t) eine beliebige Realfunktion ist, hat F(w) einen geraden Realteil und einen ungeraden Imaginärteil.

Nachweisen:

Die Eigenschaften der Parität 2 lassen sich in der Formel zusammenfassen:

3. Ähnlichkeit

Wenn f(t)~F(w), dann f(at)~.

• 4. Voreingenommenheit.
• 4.1 Wenn f(t)~F(w), dann f(t-a)~.

Diese. Die Zeitverzögerung entspricht der Multiplikation mit einer komplexen Exponentialfunktion im Frequenzbereich.

4.2 Wenn f(t)~F(w), dann~.

Diese. die Frequenzverschiebung entspricht einer Multiplikation mit einer komplexen Exponentialfunktion im Zeitbereich.

• 5. Wenn f(t)~F(w), dann
• 5.1 f’(t)~iwF(w),~

wenn f(t) n stetige Ableitungen hat.

Nachweisen:

wenn F(w) n stetige Ableitungen hat.

Nachweisen:

• 2.4 Die wichtigsten Beispiele zum Finden der Fourier-Transformation.

Wo ist der Rechteckimpuls?

Dabei haben wir berücksichtigt, dass es sich um das Poisson-Integral handelt.

Das Finden des letzten Integrals kann wie folgt erklärt werden. Die Integrationskontur C ist eine gerade Linie in der komplexen Ebene (t,w), parallel zur reellen Achse (w ist eine konstante Zahl). Das Integral einer Skalarfunktion über einer geschlossenen Schleife ist Null. Wir bilden eine geschlossene Schleife bestehend aus einer Geraden C und einer reellen Achse t, die im Unendlichen schließt. Weil Im Unendlichen geht die Integrandenfunktion gegen Null, dann sind die Integrale entlang der Schlusskurven gleich Null. Dies bedeutet, dass das Integral entlang der Geraden C gleich dem Integral ist, das entlang der in positiver Richtung verlaufenden reellen reellen Achse genommen wird.

2 .5 Das Unschärfeprinzip für die Zeit-Frequenz-Darstellung des Signals.

Am Beispiel eines Rechteckimpulses zeigen wir die Gültigkeit Unschärferelation Es besteht darin, dass es unmöglich ist, einen Impuls gleichzeitig zeitlich zu lokalisieren und gleichzeitig seine Frequenzselektivität zu erhöhen.

Nach 5) ist die Breite eines Rechteckimpulses im Zeitbereich DT gleich 2T. Wir nehmen den Abstand zwischen benachbarten Nullstellen des zentralen Buckels im Frequenzbereich als Breite des Fourier-Bildes eines Rechteckimpulses. Die ersten Nullstellen der Funktion liegen bei.

So erhalten wir

Je stärker also ein Impuls zeitlich lokalisiert ist, desto stärker wird sein Spektrum verwischt. Umgekehrt sind wir zur Reduzierung des Spektrums gezwungen, den Puls zeitlich zu strecken. Dieses Prinzip gilt für jede Impulsform und ist universell.

2.6 Faltung und ihre Eigenschaften.

Die Faltung ist das Hauptverfahren beim Filtern eines Signals.

Nennen wir eine Funktion h(t) die Faltung der nichtperiodischen Funktionen f(t) und h(t), wenn sie als folgendes Integral definiert ist:

Wir werden diese Tatsache symbolisch bezeichnen als.

Die Faltungsoperation hat die folgenden Eigenschaften.

• 1. Kommutativität.

Der Beweis der Kommutativität kann durch Ändern der Variablen t-t=t‘ erhalten werden

• 2. Assoziativität

Nachweisen:

• 3. Distributivität

Der Beweis dieser Eigenschaft folgt direkt aus den linearen Eigenschaften von Integralen.

Für die Signalverarbeitung sind die Faltungssätze das Wichtigste in der Fourier-Methode (nach den Fourier-Transformationsformeln). Wir werden die Frequenz n anstelle von w verwenden, weil Faltungssätze in dieser Darstellung sind gegenseitig invertierbar.

2.7 Faltungssätze

Erster Faltungssatz.

Die Fourier-Transformation eines direkten Produkts von Funktionen entspricht der Faltung der Transformationen

Nachweisen:

Dann lass es sein. Unter Verwendung der Definition der inversen Fourier-Transformation und Änderung der Integrationsreihenfolge erhalten wir:

Bezogen auf die Kreisfrequenz w hat dieser Satz eine weniger universelle Form

Zweiter Faltungssatz.

Die Fourier-Transformation der Faltung von Funktionen ist gleich dem direkten Produkt der Transformationen.

Nachweisen:

Betrachten Sie beispielsweise die Faltung eines Rechteckimpulses

Unter der Bedingung f(t)=0 zum t<-T и приt>T. Ebenso gilt f(t-t)=0 für

T-t<-T и при t-t>Binden. att>t+T und att

bei -2T

Wenn wir beide Fälle kombinieren, erhalten wir den Ausdruck für die Faltung:

Somit ist die Faltung eines rechteckigen Impulses mit sich selbst ein dreieckiger Impuls (manchmal wird diese Funktion auch L-Funktion genannt).

Mit dem Faltungssatz können wir leicht die Fourier-Transformation der L-Funktion erhalten

In der Praxis entsprechen physikalische Situationen Funktionen, die zum Zeitpunkt t gleich Null sind<0. Это приводит к тому, что бесконечные пределы заменяются конечными.

Finden Sie die Faltung der Funktionen f(t) und g(t)

Weil f(t)=0 att<0 и g(t-t)=0 при t-t<0,т.е. приt>T.

Lassen Sie uns das Konzept der gegenseitigen Korrelation zweier Funktionen f(t) und g(t) einführen.

Dabei ist t eine Zeitverschiebung, die sich im Intervall (-?,?) kontinuierlich ändert.

Ein wichtiges Konzept ist die Korrelation einer Funktion mit sich selbst, die als Autokorrelation bezeichnet wird.

• 2.8 Signalleistung und Energie.

Betrachten wir nun das Konzept der Signalleistung und -energie. Die Bedeutung dieser Konzepte erklärt sich aus der Tatsache, dass jede Informationsübertragung tatsächlich eine Energieübertragung ist.

Betrachten Sie ein beliebiges komplexes Signal f(t).

Die momentane Signalleistung p(t) wird durch die Gleichheit bestimmt

Die Gesamtenergie ist gleich dem Integral der Momentanleistung über den gesamten Zeitraum der Signalexistenz:

Die Signalleistung kann auch als Funktion der Frequenz betrachtet werden. In diesem Fall wird die Momentanfrequenzleistung als bezeichnet.

Die Gesamtsignalenergie wird nach der Formel berechnet

Die Gesamtsignalenergie sollte nicht von der gewählten Darstellung abhängen. Die aus den Zeit- und Frequenzdarstellungen berechneten Gesamtenergiewerte müssen übereinstimmen. Wenn wir also die rechten Seiten gleichsetzen, erhalten wir die Gleichheit:

Diese Gleichheit bildet den Inhalt des Satzes von Parseval für nichtperiodische Signale. Ein strenger Beweis dieses Theorems wird beim Studium des Themas „Verallgemeinerte Funktionen“ gegeben.

Wenn wir die Wechselwirkungsenergie zweier unterschiedlicher Signale f(t) und g(t) in Zeit- und Frequenzdarstellung ausdrücken, erhalten wir auf ähnliche Weise:

Lassen Sie uns die mathematische Bedeutung des Satzes von Parseval herausfinden.

Aus mathematischer Sicht ist das Integral das Skalarprodukt der Funktionen f(t) und g(t), bezeichnet als (f,g). Die Größe wird als Norm der Funktion f(t) bezeichnet und mit bezeichnet. Daher folgt aus dem Satz von Parseval, dass das Skalarprodukt unter der Fourier-Transformation invariant ist, d. h.

Momentane Signalleistung, betrachtet als Funktion der Frequenz, d. h. , hat einen anderen allgemein akzeptierten Namen – Leistungsspektrum. Das Leistungsspektrum ist das wichtigste mathematische Werkzeug der Spektralanalyse, mit dem sich die Frequenzzusammensetzung eines Signals bestimmen lässt. Zusätzlich zum Signalleistungsspektrum werden in der Praxis die Amplituden- und Phasenspektren verwendet, jeweils definiert als:

• 2.9 Satz von Wiener-Khinchin.

Die Signalleistungsspektrumdichte f(t) ist gleich der Fourier-Transformation der Autokorrelationsfunktion

Die Dichte der Kreuzspektralsignale f(t) und g(t) ist gleich der Fourier-Transformation der Korrelationsfunktion.

Beide Aussagen können zu einer zusammengefasst werden: Die Spektraldichte ist gleich der Fourier-Transformation der Korrelationsfunktion.

Der Beweis wird später nach Einführung des Konzepts einer verallgemeinerten Funktion gegeben.

Fourier-Transformation ist eine Familie mathematischer Methoden, die auf der Zerlegung einer anfänglichen kontinuierlichen Funktion der Zeit in einen Satz grundlegender harmonischer Funktionen (bei denen es sich um Sinusfunktionen handelt) verschiedener Frequenzen, Amplituden und Phasen basiert. Aus der Definition geht klar hervor, dass die Hauptidee der Transformation darin besteht, dass jede Funktion als unendliche Summe von Sinuskurven dargestellt werden kann, von denen jede durch ihre Amplitude, Frequenz und Anfangsphase gekennzeichnet ist.

Die Fourier-Transformation ist der Begründer der Spektralanalyse. Die Spektralanalyse ist eine Signalverarbeitungsmethode, mit der Sie die Frequenzzusammensetzung des gemessenen Signals charakterisieren können. Je nachdem, wie das Signal dargestellt wird, werden unterschiedliche Fourier-Transformationen verwendet. Es gibt verschiedene Arten der Fourier-Transformation:

– Kontinuierliche Fourier-Transformation (in der englischen Literatur Continue Time Fourier Transform – CTFT oder kurz: F.T.);

– Diskrete Fourier-Transformation (in der englischen Literatur Diskrete Fourier-Transformation – DFT);

– Schnelle Fourier-Transformation (in der englischen Literatur Fast Fourier-Transformation – FFT).

Kontinuierliche Fourier-Transformation

Die Fourier-Transformation ist ein mathematisches Werkzeug, das in verschiedenen wissenschaftlichen Bereichen verwendet wird. In einigen Fällen kann es zur Lösung komplexer Gleichungen eingesetzt werden, die dynamische Prozesse beschreiben, die unter dem Einfluss elektrischer, thermischer oder Lichtenergie entstehen. In anderen Fällen ermöglicht es die Isolierung der regulären Komponenten in einem komplexen Schwingungssignal, sodass experimentelle Beobachtungen in der Astronomie, Medizin und Chemie korrekt interpretiert werden können. Die kontinuierliche Transformation ist eigentlich eine Verallgemeinerung der Fourier-Reihe, vorausgesetzt, dass die Periode der erweiterten Funktion gegen Unendlich geht. Somit befasst sich die klassische Fourier-Transformation mit dem Spektrum des Signals über den gesamten Existenzbereich der Variablen.

Es gibt verschiedene Arten der Aufzeichnung der kontinuierlichen Fourier-Transformation, die sich durch den Wert des Koeffizienten vor dem Integral unterscheiden (zwei Aufzeichnungsformen):

oder

wobei und die Fourier-Transformation einer Funktion oder das Frequenzspektrum einer Funktion ist;

- Kreisfrequenz.

Es ist zu beachten, dass es in verschiedenen Bereichen der Wissenschaft und Technik unterschiedliche Arten der Aufzeichnung gibt. Der Normierungsfaktor ist für die korrekte Skalierung des Signals vom Frequenzbereich in den Zeitbereich erforderlich. Durch den Normierungsfaktor wird die Signalamplitude am Ausgang der Rückwandlung so reduziert, dass sie der Amplitude des Originalsignals entspricht. In der mathematischen Literatur werden die direkte und die inverse Fourier-Transformation mit einem Faktor multipliziert, während in der Physik die direkte Transformation meist keinen Faktor enthält, die inverse Transformation jedoch einen Faktor verwendet. Wenn Sie nacheinander die direkte Fourier-Transformation eines bestimmten Signals berechnen und dann die inverse Fourier-Transformation durchführen, muss das Ergebnis der inversen Transformation vollständig mit dem ursprünglichen Signal übereinstimmen.

Wenn die Funktion im Intervall (−∞, +∞) ungerade ist, kann die Fourier-Transformation durch die Sinusfunktion dargestellt werden:

Wenn die Funktion gerade im Intervall (−∞, +∞) liegt, kann die Fourier-Transformation durch die Kosinusfunktion dargestellt werden:

Somit ermöglicht uns die kontinuierliche Fourier-Transformation, eine nichtperiodische Funktion in Form eines Integrals einer Funktion darzustellen, das an jedem Punkt den Koeffizienten der Fourier-Reihe für die nichtperiodische Funktion darstellt.

Die Fourier-Transformation ist invertierbar, das heißt, wenn ihre Fourier-Transformation aus einer Funktion berechnet wurde, kann die ursprüngliche Funktion eindeutig aus der Fourier-Transformation wiederhergestellt werden. Mit inverser Fourier-Transformation meinen wir ein Integral der Form (zwei Notationsformen):

oder

wo ist die Fourier-Transformation einer Funktion oder das Frequenzspektrum einer Funktion;

- Kreisfrequenz.

Wenn die Funktion im Intervall (−∞, +∞) ungerade ist, kann die inverse Fourier-Transformation durch die Sinusfunktion dargestellt werden:

Wenn die Funktion gerade im Intervall (−∞, +∞) liegt, kann die inverse Fourier-Transformation durch die Kosinusfunktion dargestellt werden:

Betrachten Sie als Beispiel die folgende Funktion . Der Graph der untersuchten Exponentialfunktion ist unten dargestellt.

Da die Funktion eine gerade Funktion ist, wird die kontinuierliche Fourier-Transformation wie folgt definiert:

Als Ergebnis haben wir die Abhängigkeit der Änderung der untersuchten Exponentialfunktion vom Frequenzintervall erhalten (siehe unten).

Die kontinuierliche Fourier-Transformation wird in der Theorie in der Regel bei der Betrachtung von Signalen verwendet, die sich gemäß vorgegebenen Funktionen ändern, in der Praxis handelt es sich jedoch meist um Messergebnisse, die diskrete Daten darstellen. Die Messergebnisse werden in regelmäßigen Abständen mit einer bestimmten Abtastfrequenz, beispielsweise 16000 Hz oder 22000 Hz, aufgezeichnet. Im Allgemeinen können diskrete Messwerte jedoch ungleichmäßig sein, was jedoch den mathematischen Analyseapparat verkompliziert und daher in der Praxis normalerweise nicht verwendet wird.

Es gibt einen wichtigen Satz von Kotelnikov (in der ausländischen Literatur findet sich der Name „Nyquist-Shannon-Satz“, „Abtastsatz“), der besagt, dass ein analoges periodisches Signal mit einem endlichen (in der Breite begrenzten) Spektrum (0...fmax ) können in ihren diskreten Abtastwerten, die mit einer Frequenz größer oder gleich dem Doppelten der oberen Frequenz des Spektrums – Abtastfrequenz (fsample >= 2*fmax) – aufgenommen wurden, eindeutig und ohne Verzerrungen und Verluste wiederhergestellt werden. Mit anderen Worten: Bei einer Abtastrate von 1000 Hz kann aus einem analogen periodischen Signal ein Signal mit einer Frequenz von bis zu 500 Hz rekonstruiert werden. Es ist zu beachten, dass die Diskretisierung einer Funktion nach Zeit zur Periodisierung ihres Spektrums führt und die Diskretisierung des Spektrums nach Frequenz zur Periodisierung der Funktion.

Dies ist eine der Fourier-Transformationen, die in digitalen Signalverarbeitungsalgorithmen weit verbreitet ist.

Die direkte diskrete Fourier-Transformation verknüpft eine Zeitfunktion, die durch N Messpunkte in einem bestimmten Zeitintervall definiert ist, mit einer anderen Funktion, die in einem Frequenzintervall definiert ist. Es ist zu beachten, dass die Funktion im Zeitbereich mithilfe von N-Abtastwerten und die Funktion im Frequenzbereich mithilfe des K-fachen Spektrums angegeben wird.

k ˗ Frequenzindex.

Die Frequenz des k-ten Signals wird durch den Ausdruck bestimmt

Dabei ist T der Zeitraum, in dem die Eingabedaten erfasst wurden.

Die direkte diskrete Transformation kann in Bezug auf Real- und Imaginärkomponenten umgeschrieben werden. Die Realkomponente ist ein Array, das die Werte der Kosinuskomponenten enthält, und die Imaginärkomponente ist ein Array, das die Werte der Sinuskomponenten enthält.

Aus den letzten Ausdrücken geht hervor, dass die Transformation das Signal in sinusförmige Komponenten (die als Harmonische bezeichnet werden) mit Frequenzen von einer Schwingung pro Periode bis zu N Schwingungen pro Periode zerlegt.

Die diskrete Fourier-Transformation weist eine Besonderheit auf, da durch die Summe von Funktionen mit unterschiedlicher Zusammensetzung des harmonischen Signals eine diskrete Folge erhalten werden kann. Mit anderen Worten: Eine diskrete Folge wird in harmonische Variablen zerlegt – mehrdeutig. Daher erscheinen beim Erweitern einer diskreten Funktion mithilfe einer diskreten Fourier-Transformation hochfrequente Komponenten in der zweiten Hälfte des Spektrums, die nicht im ursprünglichen Signal enthalten waren. Dieses Hochfrequenzspektrum ist ein Spiegelbild des ersten Teils des Spektrums (hinsichtlich Frequenz, Phase und Amplitude). Typischerweise wird die zweite Hälfte des Spektrums nicht berücksichtigt und die Signalamplituden des ersten Teils des Spektrums werden verdoppelt.

Es ist zu beachten, dass die Zerlegung einer stetigen Funktion nicht zum Auftreten eines Spiegeleffekts führt, da eine stetige Funktion eindeutig in harmonische Variablen zerlegt wird.

Die Amplitude der Gleichstromkomponente ist der Durchschnittswert der Funktion über einen ausgewählten Zeitraum und wird wie folgt bestimmt:

Die Amplituden und Phasen der Frequenzkomponenten des Signals werden durch die folgenden Beziehungen bestimmt:

Die resultierenden Amplituden- und Phasenwerte werden als Polarschreibweise bezeichnet. Der resultierende Signalvektor wird wie folgt bestimmt:

Betrachten wir einen Algorithmus zur Transformation einer diskret gegebenen Funktion in einem gegebenen Intervall (in einem gegebenen Zeitraum) mit der Anzahl der Anfangspunkte

D Sparkle-Fourier-Transformation

Als Ergebnis der Transformation erhalten wir den realen und imaginären Wert der Funktion, der über den Frequenzbereich definiert ist.

Die inverse diskrete Fourier-Transformation verknüpft eine Frequenzfunktion, die durch das K-fache Spektrum im Frequenzintervall definiert ist, mit einer anderen Funktion, die im Zeitintervall definiert ist.

N ˗ Anzahl der über einen Zeitraum gemessenen Signalwerte sowie die Frequenzspektrumsmultiplizität;

k ˗ Frequenzindex.

Wie bereits erwähnt, verknüpft die diskrete Fourier-Transformation N-Punkte eines diskreten Signals mit N-komplexen Spektralproben des Signals. Um eine Spektralprobe zu berechnen, sind N komplexe Multiplikations- und Additionsoperationen erforderlich. Somit ist die Rechenkomplexität des diskreten Fourier-Transformationsalgorithmus quadratisch, mit anderen Worten, es sind komplexe Multiplikations- und Additionsoperationen erforderlich.