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Was ist Modul 1 5. Modul einer Zahl (Absolutwert einer Zahl), Definitionen, Beispiele, Eigenschaften

Der Zahlenmodul ist ein neues Konzept in der Mathematik. Schauen wir uns genauer an, was ein Zahlenmodul ist und wie man damit arbeitet.

Schauen wir uns ein Beispiel an:

Wir verließen das Haus, um in den Laden zu gehen. Wir sind 300 m gelaufen, mathematisch kann dieser Ausdruck als +300 geschrieben werden, die Bedeutung der Zahl 300 aus dem „+“-Zeichen wird sich nicht ändern. Der Abstand oder Modul einer Zahl ist in der Mathematik dasselbe und kann wie folgt geschrieben werden: |300|=300. Das Vorzeichen einer Zahl wird durch zwei vertikale Linien angezeigt.

Und dann sind wir 200m in die entgegengesetzte Richtung gelaufen. Mathematisch können wir den Rückkehrpfad als -200 schreiben. Aber wir sagen nicht „wir sind minus zweihundert Meter gegangen“, obwohl wir zurückgekehrt sind, weil die Entfernung als Größe positiv bleibt. Zu diesem Zweck wurde in der Mathematik der Begriff eines Moduls eingeführt. Sie können den Abstand oder Modul der Zahl -200 wie folgt schreiben: |-200|=200.

Moduleigenschaften.

Definition:
Modul einer Zahl oder Absolutwert einer Zahl ist die Entfernung vom Startpunkt zum Zielpunkt.

Der Modul einer ganzen Zahl ungleich Null ist immer eine positive Zahl.

Das Modul ist wie folgt geschrieben:

1. Der Modul einer positiven Zahl ist gleich der Zahl selbst.
| a|=A

2. Der Modul einer negativen Zahl ist gleich der entgegengesetzten Zahl.
|- a|=A

3. Der Modul von Null ist gleich Null.
|0|=0

4. Die Module entgegengesetzter Zahlen sind gleich.
| a|=|-a|=A

Verwandte Fragen:
Was ist der Modul einer Zahl?
Antwort: Modul ist die Entfernung vom Startpunkt zum Zielpunkt.

Was passiert, wenn Sie vor einer Ganzzahl ein „+“-Zeichen setzen?
Antwort: Die Bedeutung der Zahl ändert sich nicht, zum Beispiel 4=+4.

Was passiert, wenn Sie vor einer Ganzzahl ein „-“-Zeichen setzen?
Antwort: Die Zahl ändert sich beispielsweise in 4 und -4.

Welche Zahlen haben den gleichen Modul?
Antwort: Positive Zahlen und Null haben den gleichen Modul. Beispiel: 15=|15|.

Welche Zahlen haben einen Modul der entgegengesetzten Zahl?
Antwort: Bei negativen Zahlen ist der Modul gleich der entgegengesetzten Zahl. Beispiel: |-6|=6.

Beispiel 1:
Finden Sie den Modul der Zahlen: a) 0 b) 5 c) -7?

Lösung:
a) |0|=0
b) |5|=5
c)|-7|=7

Beispiel #2:
Gibt es zwei verschiedene Zahlen, deren Moduli gleich sind?

Lösung:
|10|=10
|-10|=10

Die Moduli entgegengesetzter Zahlen sind gleich.

Beispiel #3:
Welche zwei entgegengesetzten Zahlen haben Modul 9?

Lösung:
|9|=9
|-9|=9

Antwort: 9 und -9.

Beispiel #4:
Befolgen Sie diese Schritte: a) |+5|+|-3| b) |-3|+|-8| c)|+4|-|+1|

Lösung:
a) |+5|+|-3|=5+3=8
b) |-3|+|-8|=3+8=11
c)|+4|-|+1|=4-1=3

Beispiel #5:
Finden Sie: a) den Modul von Nummer 2, b) den Modul von Nummer 6, c) den Modul von Nummer 8, d) den Modul von Nummer 1, e) den Modul von Nummer 0.
Lösung:

a) Der Modul der Zahl 2 wird als |2| bezeichnet oder |+2| Es ist das Gleiche.
|2|=2

b) Der Modul der Zahl 6 wird mit |6| bezeichnet oder |+6| Es ist das Gleiche.
|6|=6

c) Der Modul der Zahl 8 wird als |8| bezeichnet oder |+8| Es ist das Gleiche.
|8|=8

d) Der Modul der Zahl 1 wird als |1| bezeichnet oder |+1| Es ist das Gleiche.
|1|=1

e) Der Modul der Zahl 0 wird als |0|, |+0| bezeichnet oder |-0| Es ist das Gleiche.
|0|=0

Das Modul gehört zu den Dingen, von denen scheinbar jeder gehört hat, die aber in Wirklichkeit niemand wirklich versteht. Daher wird es heute eine große Lektion geben, die dem Lösen von Gleichungen mit Modulen gewidmet ist.

Ich sage gleich: Die Lektion wird nicht schwer sein. Und generell sind Module ein relativ einfaches Thema. „Ja natürlich, es ist nicht kompliziert! Es haut mich um!“ - werden viele Studenten sagen, aber all diese Gehirnbrüche entstehen dadurch, dass die meisten Menschen kein Wissen im Kopf haben, sondern irgendeinen Mist. Und das Ziel dieser Lektion ist es, Mist in Wissen zu verwandeln. :)

Eine kleine Theorie

So lass uns gehen. Beginnen wir mit dem Wichtigsten: Was ist ein Modul? Ich möchte Sie daran erinnern, dass der Modul einer Zahl einfach dieselbe Zahl ist, jedoch ohne das Minuszeichen. Das ist zum Beispiel $\left| -5 \right|=5$. Oder $\left| -129,5 \right|=$129,5.

Ist das so einfach? Ja, einfach. Was ist dann der absolute Wert einer positiven Zahl? Hier ist es noch einfacher: Der Modul einer positiven Zahl ist gleich dieser Zahl selbst: $\left| 5 \right|=5$; $\left| 129,5 \right|=$129,5 usw.

Es stellt sich als merkwürdig heraus: Verschiedene Zahlen können das gleiche Modul haben. Beispiel: $\left| -5 \right|=\left| 5 \right|=5$; $\left| -129,5 \right|=\left| 129,5\richtig|=$129,5. Es ist leicht zu erkennen, was das für Zahlen sind, deren Module gleich sind: Diese Zahlen sind entgegengesetzt. Daher stellen wir selbst fest, dass die Module entgegengesetzter Zahlen gleich sind:

\[\left| -a \right|=\left| a\richtig|\]

Noch ein wichtiger Fakt: Modul ist niemals negativ. Welche Zahl wir auch immer nehmen – sei sie positiv oder negativ – ihr Modul ist immer positiv (oder im Extremfall Null). Aus diesem Grund wird der Modul oft als Absolutwert einer Zahl bezeichnet.

Wenn wir außerdem die Definition des Moduls für eine positive und eine negative Zahl kombinieren, erhalten wir eine globale Definition des Moduls für alle Zahlen. Nämlich: Der Modul einer Zahl ist gleich der Zahl selbst, wenn die Zahl positiv (oder Null) ist, oder gleich der entgegengesetzten Zahl, wenn die Zahl negativ ist. Sie können dies als Formel schreiben:

Es gibt auch einen Modul von Null, der jedoch immer gleich Null ist. Außerdem ist Null die einzige Zahl, die kein Gegenteil hat.

Betrachten wir also die Funktion $y=\left| x \right|$ und versuchen Sie, seinen Graphen zu zeichnen. Sie erhalten etwa Folgendes:

Moduldiagramm und Beispiel zur Lösung der Gleichung

Aus diesem Bild ist sofort klar, dass $\left| -m \right|=\left| m \right|$, und der Modulgraph fällt nie unter die x-Achse. Aber das ist noch nicht alles: Die rote Linie markiert die Gerade $y=a$, die uns für positives $a$ zwei Wurzeln gleichzeitig liefert: $((x)_(1))$ und $((x) _(2)) $, aber darüber reden wir später. :)

Neben der rein algebraischen Definition gibt es eine geometrische. Nehmen wir an, es gibt zwei Punkte auf der Zahlengeraden: $((x)_(1))$ und $((x)_(2))$. In diesem Fall ist der Ausdruck $\left| ((x)_(1))-((x)_(2)) \right|$ ist einfach der Abstand zwischen den angegebenen Punkten. Oder, wenn Sie es vorziehen, die Länge des Segments, das diese Punkte verbindet:

Der Modul ist der Abstand zwischen Punkten auf einer Zahlengeraden

Diese Definition impliziert auch, dass der Modul immer nicht negativ ist. Aber genug Definitionen und Theorie – kommen wir zu echten Gleichungen. :)

Grundformel

Okay, wir haben die Definition geklärt. Aber das hat es nicht einfacher gemacht. Wie löst man Gleichungen, die genau dieses Modul enthalten?

Ruhig, einfach ruhig. Beginnen wir mit den einfachsten Dingen. Betrachten Sie etwa Folgendes:

\[\left| x\right|=3\]

Der Modul von $x$ ist also 3. Was könnte $x$ sein? Nun, der Definition nach zu urteilen, sind wir mit $x=3$ recht zufrieden. Wirklich:

\[\left| 3\right|=3\]

Gibt es noch andere Zahlen? Cap scheint anzudeuten, dass dies der Fall ist. Beispielsweise ist $x=-3$ auch $\left| -3 \right|=3$, d.h. die geforderte Gleichheit ist erfüllt.

Wenn wir also suchen und nachdenken, finden wir vielleicht mehr Zahlen? Aber seien wir ehrlich: Es gibt keine Zahlen mehr. Gleichung $\left| x \right|=3$ hat nur zwei Wurzeln: $x=3$ und $x=-3$.

Jetzt machen wir die Aufgabe etwas komplizierter. Lassen Sie die Funktion $f\left(x \right)$ unter dem Modulzeichen anstelle der Variablen $x$ hängen und setzen Sie eine beliebige Zahl $a$ anstelle des Tripels auf der rechten Seite. Wir erhalten die Gleichung:

\[\left| f\left(x \right) \right|=a\]

Wie können wir das also lösen? Ich möchte Sie daran erinnern: $f\left(x \right)$ ist eine beliebige Funktion, $a$ ist eine beliebige Zahl. Diese. Überhaupt alles! Zum Beispiel:

\[\left| 2x+1 \right|=5\]

\[\left| 10x-5 \right|=-65\]

Achten wir auf die zweite Gleichung. Über ihn kann man sofort sagen: Er hat keine Wurzeln. Warum? Alles ist richtig: Weil es erfordert, dass der Modul gleich einer negativen Zahl ist, was nie passiert, da wir bereits wissen, dass der Modul immer eine positive Zahl oder im Extremfall Null ist.

Aber mit der ersten Gleichung macht alles mehr Spaß. Es gibt zwei Möglichkeiten: Entweder gibt es einen positiven Ausdruck unter dem Modulzeichen und dann $\left| 2x+1 \right|=2x+1$, oder dieser Ausdruck ist immer noch negativ, und dann $\left| 2x+1 \right|=-\left(2x+1 \right)=-2x-1$. Im ersten Fall wird unsere Gleichung wie folgt umgeschrieben:

\[\left| 2x+1 \right|=5\Rightarrow 2x+1=5\]

Und plötzlich stellt sich heraus, dass der submodulare Ausdruck $2x+1$ wirklich positiv ist – er ist gleich der Zahl 5. Das heißt Wir können diese Gleichung sicher lösen – die resultierende Wurzel wird ein Teil der Antwort sein:

Wer besonders misstrauisch ist, kann versuchen, die gefundene Wurzel in die ursprüngliche Gleichung einzusetzen und sicherzustellen, dass unter dem Modul tatsächlich eine positive Zahl steht.

Schauen wir uns nun den Fall eines negativen submodularen Ausdrucks an:

\[\left\( \begin(align)& \left| 2x+1 \right|=5 \\& 2x+1 \lt 0 \\\end(align) \right.\Rightarrow -2x-1=5 \Rightarrow 2x+1=-5\]

Hoppla! Auch hier ist alles klar: Wir haben angenommen, dass $2x+1 \lt 0$ ist, und als Ergebnis haben wir erhalten, dass $2x+1=-5$ – tatsächlich ist dieser Ausdruck kleiner als Null. Wir lösen die resultierende Gleichung und wissen bereits sicher, dass die gefundene Wurzel zu uns passt:

Insgesamt haben wir wieder zwei Antworten erhalten: $x=2$ und $x=3$. Ja, der Rechenaufwand fiel etwas größer aus als bei der sehr einfachen Gleichung $\left| x \right|=3$, aber grundsätzlich hat sich nichts geändert. Vielleicht gibt es also eine Art universellen Algorithmus?

Ja, einen solchen Algorithmus gibt es. Und jetzt werden wir es analysieren.

Das Modulzeichen loswerden

Gegeben sei uns die Gleichung $\left| f\left(x \right) \right|=a$ und $a\ge 0$ (ansonsten gibt es, wie wir bereits wissen, keine Wurzeln). Dann können Sie das Modulzeichen mithilfe der folgenden Regel entfernen:

\[\left| f\left(x \right) \right|=a\Rightarrow f\left(x \right)=\pm a\]

Somit teilt sich unsere Gleichung mit einem Modul in zwei Teile, jedoch ohne Modul. Das ist alles, was die Technologie ausmacht! Versuchen wir, ein paar Gleichungen zu lösen. Beginnen wir damit

\[\left| 5x+4 \right|=10\Rightarrow 5x+4=\pm 10\]

Betrachten wir getrennt, wann rechts eine Zehn plus steht, und getrennt, wann rechts ein Minus steht. Wir haben:

\[\begin(align)& 5x+4=10\Rightarrow 5x=6\Rightarrow x=\frac(6)(5)=1,2; \\& 5x+4=-10\Rightarrow 5x=-14\Rightarrow x=-\frac(14)(5)=-2.8. \\\end(align)\]

Das ist alles! Wir haben zwei Wurzeln: $x=1,2$ und $x=-2,8$. Die gesamte Lösung umfasste buchstäblich zwei Zeilen.

Ok, keine Frage, schauen wir uns etwas Ernsthafteres an:

\[\left| 7-5x\right|=13\]

Wieder öffnen wir das Modul mit Plus und Minus:

\[\begin(align)& 7-5x=13\Rightarrow -5x=6\Rightarrow x=-\frac(6)(5)=-1,2; \\& 7-5x=-13\Rightarrow -5x=-20\Rightarrow x=4. \\\end(align)\]

Noch ein paar Zeilen – und die Antwort ist fertig! Wie gesagt, Module sind nichts Kompliziertes. Sie müssen sich nur ein paar Regeln merken. Deshalb gehen wir weiter und beginnen mit wirklich komplexeren Aufgaben.

Der Fall einer rechten Variablen

Betrachten Sie nun diese Gleichung:

\[\left| 3x-2 \right|=2x\]

Diese Gleichung unterscheidet sich grundlegend von allen vorherigen. Wie? Und die Tatsache, dass rechts vom Gleichheitszeichen der Ausdruck $2x$ steht – und wir nicht im Voraus wissen können, ob er positiv oder negativ ist.

Was ist in diesem Fall zu tun? Zuerst müssen wir das ein für alle Mal verstehen Wenn sich herausstellt, dass die rechte Seite der Gleichung negativ ist, hat die Gleichung keine Wurzeln- Wir wissen bereits, dass der Modul nicht gleich einer negativen Zahl sein kann.

Und zweitens, wenn der rechte Teil noch positiv (oder gleich Null) ist, dann können Sie genauso vorgehen wie zuvor: Öffnen Sie das Modul einfach separat mit einem Pluszeichen und separat mit einem Minuszeichen.

Daher formulieren wir eine Regel für beliebige Funktionen $f\left(x \right)$ und $g\left(x \right)$ :

\[\left| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)\Rightarrow \left\( \begin(align)& f\left(x \right)=\pm g\left(x \right ), \\& g\left(x \right)\ge 0. \\\end(align) \right.\]

Bezogen auf unsere Gleichung erhalten wir:

\[\left| 3x-2 \right|=2x\Rightarrow \left\( \begin(align)& 3x-2=\pm 2x, \\& 2x\ge 0. \\\end(align) \right.\]

Nun ja, mit der Anforderung $2x\ge 0$ werden wir irgendwie zurechtkommen. Am Ende können wir dummerweise die Wurzeln ersetzen, die wir aus der ersten Gleichung erhalten, und prüfen, ob die Ungleichung gilt oder nicht.

Lösen wir also die Gleichung selbst:

\[\begin(align)& 3x-2=2\Rightarrow 3x=4\Rightarrow x=\frac(4)(3); \\& 3x-2=-2\Rightarrow 3x=0\Rightarrow x=0. \\\end(align)\]

Nun, welche dieser beiden Wurzeln erfüllt die Anforderung $2x\ge 0$? Ja beides! Daher wird die Antwort zwei Zahlen sein: $x=(4)/(3)\;$ und $x=0$. Das ist die Lösung. :)

Ich vermute, dass sich einige der Schüler bereits langweilen? Schauen wir uns eine noch komplexere Gleichung an:

\[\left| ((x)^(3))-3((x)^(2))+x \right|=x-((x)^(3))\]

Obwohl es böse aussieht, handelt es sich in Wirklichkeit immer noch um die gleiche Gleichung der Form „Modul gleich Funktion“:

\[\left| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)\]

Und es wird genauso gelöst:

\[\left| ((x)^(3))-3((x)^(2))+x \right|=x-((x)^(3))\Rightarrow \left\( \begin(align)& ( (x)^(3))-3((x)^(2))+x=\pm \left(x-((x)^(3)) \right), \\& x-((x )^(3))\ge 0. \\\end(align) \right.\]

Wir werden uns später mit der Ungleichheit befassen – sie ist irgendwie zu böse (eigentlich ist sie einfach, aber wir werden sie nicht lösen). Im Moment ist es besser, sich mit den resultierenden Gleichungen zu befassen. Betrachten wir den ersten Fall – dann wird das Modul mit einem Pluszeichen erweitert:

\[((x)^(3))-3((x)^(2))+x=x-((x)^(3))\]

Nun, es ist ein Kinderspiel, dass Sie alles von links sammeln, ähnliches mitbringen und sehen müssen, was passiert. Und das passiert:

\[\begin(align)& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=x-((x)^(3)); \\& 2((x)^(3))-3((x)^(2))=0; \\\end(align)\]

Wir nehmen den gemeinsamen Faktor $((x)^(2))$ aus der Klammer und erhalten eine sehr einfache Gleichung:

\[((x)^(2))\left(2x-3 \right)=0\Rightarrow \left[ \begin(align)& ((x)^(2))=0 \\& 2x-3 =0 \\\end(align) \right.\]

\[((x)_(1))=0;\quad ((x)_(2))=\frac(3)(2)=1,5.\]

Hier haben wir uns eine wichtige Eigenschaft des Produkts zunutze gemacht, um das ursprüngliche Polynom zu faktorisieren: Das Produkt ist gleich Null, wenn mindestens einer der Faktoren gleich Null ist.

Gehen wir nun genauso mit der zweiten Gleichung um, die man erhält, indem man den Modul um ein Minuszeichen erweitert:

\[\begin(align)& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=-\left(x-((x)^(3)) \right); \\& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=-x+((x)^(3)); \\& -3((x)^(2))+2x=0; \\& x\left(-3x+2 \right)=0. \\\end(align)\]

Wieder das Gleiche: Das Produkt ist gleich Null, wenn mindestens einer der Faktoren gleich Null ist. Wir haben:

\[\left[ \begin(align)& x=0 \\& -3x+2=0 \\\end(align) \right.\]

Nun, wir haben drei Wurzeln: $x=0$, $x=1,5$ und $x=(2)/(3)\;$. Nun, welche dieser Fragen werden in die endgültige Antwort einfließen? Denken Sie dazu daran, dass wir eine zusätzliche Einschränkung in Form einer Ungleichung haben:

Wie kann dieser Anforderung Rechnung getragen werden? Ersetzen wir einfach die gefundenen Wurzeln und prüfen, ob die Ungleichung für diese $x$ gilt oder nicht. Wir haben:

\[\begin(align)& x=0\Rightarrow x-((x)^(3))=0-0=0\ge 0; \\& x=1.5\Rightarrow x-((x)^(3))=1.5-((1.5)^(3)) \lt 0; \\& x=\frac(2)(3)\Rightarrow x-((x)^(3))=\frac(2)(3)-\frac(8)(27)=\frac(10) (27)\ge 0; \\\end(align)\]

Daher passt die Wurzel $x=1,5$ nicht zu uns. Und als Antwort wird es nur zwei Wurzeln geben:

\[((x)_(1))=0;\quad ((x)_(2))=\frac(2)(3).\]

Wie Sie sehen, gab es auch in diesem Fall nichts Kompliziertes – Gleichungen mit Modulen werden immer mit einem Algorithmus gelöst. Sie müssen lediglich ein gutes Verständnis für Polynome und Ungleichungen haben. Daher gehen wir zu komplexeren Aufgaben über – es wird bereits nicht ein, sondern zwei Module geben.

Gleichungen mit zwei Modulen

Bisher haben wir nur die einfachsten Gleichungen untersucht – es gab ein Modul und etwas anderes. Wir haben dieses „etwas anderes“ an einen anderen Teil der Ungleichung geschickt, weg vom Modul, sodass am Ende alles auf eine Gleichung der Form $\left| reduziert würde f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)$ oder noch einfacher $\left| f\left(x \right) \right|=a$.

Aber der Kindergarten ist vorbei – es ist Zeit, über etwas Ernsthafteres nachzudenken. Beginnen wir mit Gleichungen wie dieser:

\[\left| f\left(x \right) \right|=\left| g\left(x \right) \right|\]

Dies ist eine Gleichung der Form „Modul ist gleich Modul“. Der grundsätzlich wichtige Punkt ist das Fehlen anderer Begriffe und Faktoren: nur ein Modul links, ein weiteres Modul rechts – und nichts weiter.

Jemand wird jetzt denken, dass solche Gleichungen schwieriger zu lösen sind als das, was wir bisher untersucht haben. Aber nein: Diese Gleichungen sind noch einfacher zu lösen. Hier ist die Formel:

\[\left| f\left(x \right) \right|=\left| g\left(x \right) \right|\Rightarrow f\left(x \right)=\pm g\left(x \right)\]

Alle! Wir setzen submodulare Ausdrücke einfach gleich, indem wir einem von ihnen ein Plus- oder Minuszeichen voranstellen. Und dann lösen wir die resultierenden beiden Gleichungen – und fertig sind die Wurzeln! Keine zusätzlichen Einschränkungen, keine Ungleichheiten usw. Alles ist sehr einfach.

Versuchen wir, dieses Problem zu lösen:

\[\left| 2x+3 \right|=\left| 2x-7 \right|\]

Elementarer Watson! Erweiterung der Module:

\[\left| 2x+3 \right|=\left| 2x-7 \right|\Rightarrow 2x+3=\pm \left(2x-7 \right)\]

Betrachten wir jeden Fall einzeln:

\[\begin(align)& 2x+3=2x-7\Rightarrow 3=-7\Rightarrow \emptyset ; \\& 2x+3=-\left(2x-7 \right)\Rightarrow 2x+3=-2x+7. \\\end(align)\]

Die erste Gleichung hat keine Wurzeln. Denn wann ist $3=-7$? Bei welchen Werten von $x$? „Was zum Teufel ist $x$? Bist du bekifft? Da gibt es überhaupt kein $x$“, sagen Sie. Und du wirst Recht haben. Wir haben eine Gleichheit erhalten, die nicht von der Variablen $x$ abhängt, und gleichzeitig ist die Gleichheit selbst falsch. Deshalb gibt es keine Wurzeln. :)

Mit der zweiten Gleichung ist alles etwas interessanter, aber auch sehr, sehr einfach:

Wie Sie sehen, wurde alles buchstäblich in ein paar Zeilen gelöst – wir haben von einer linearen Gleichung nichts anderes erwartet. :)

Als Ergebnis lautet die endgültige Antwort: $x=1$.

Und wie? Schwierig? Natürlich nicht. Versuchen wir etwas anderes:

\[\left| x-1 \right|=\left| ((x)^(2))-3x+2 \right|\]

Wieder haben wir eine Gleichung der Form $\left| f\left(x \right) \right|=\left| g\left(x \right) \right|$. Deshalb schreiben wir es sofort um und offenbaren das Modulzeichen:

\[((x)^(2))-3x+2=\pm \left(x-1 \right)\]

Vielleicht wird jetzt jemand fragen: „Hey, was für ein Unsinn?“ Warum erscheint „Plus-Minus“ auf der rechten Seite und nicht auf der linken Seite?“ Beruhige dich, ich erkläre dir jetzt alles. Tatsächlich hätten wir unsere Gleichung auf eine gute Art und Weise wie folgt umschreiben sollen:

Dann müssen Sie die Klammern öffnen, alle Terme auf eine Seite des Gleichheitszeichens verschieben (da die Gleichung in beiden Fällen natürlich quadratisch ist) und dann die Wurzeln finden. Aber Sie müssen zugeben: Wenn „Plus-Minus“ vor drei Begriffen steht (besonders wenn einer dieser Begriffe ein quadratischer Ausdruck ist), sieht es irgendwie komplizierter aus als die Situation, wenn „Plus-Minus“ vor nur zwei Begriffen steht.

Aber nichts hindert uns daran, die ursprüngliche Gleichung wie folgt umzuschreiben:

Was ist passiert? Nichts Besonderes: Sie haben nur die linke und rechte Seite vertauscht. Eine kleine Sache, die uns letztendlich das Leben ein wenig einfacher machen wird. :)

Im Allgemeinen lösen wir diese Gleichung, indem wir Optionen mit einem Plus und einem Minus berücksichtigen:

\[\begin(align)& ((x)^(2))-3x+2=x-1\Rightarrow ((x)^(2))-4x+3=0; \\& ((x)^(2))-3x+2=-\left(x-1 \right)\Rightarrow ((x)^(2))-2x+1=0. \\\end(align)\]

Die erste Gleichung hat Wurzeln $x=3$ und $x=1$. Das zweite ist im Allgemeinen ein exaktes Quadrat:

\[((x)^(2))-2x+1=((\left(x-1 \right))^(2))\]

Daher hat es nur eine Wurzel: $x=1$. Aber wir haben diese Wurzel bereits früher erhalten. Somit fließen nur zwei Zahlen in die endgültige Antwort ein:

\[((x)_(1))=3;\quad ((x)_(2))=1.\]

Mission erfüllt! Sie können einen Kuchen aus dem Regal nehmen und ihn essen. Es gibt 2 davon, deines ist das mittlere. :)

Wichtiger Hinweis. Das Vorhandensein identischer Wurzeln für verschiedene Varianten der Modulentwicklung bedeutet, dass die ursprünglichen Polynome faktorisiert werden und es unter diesen Faktoren definitiv eine gemeinsame geben wird. Wirklich:

\[\begin(align)& \left| x-1 \right|=\left| ((x)^(2))-3x+2 \right|; \\& \left| x-1 \right|=\left| \left(x-1 \right)\left(x-2 \right) \right|. \\\end(align)\]

Eine der Moduleigenschaften: $\left| a\cdot b \right|=\left| a \right|\cdot \left| b \right|$ (d. h. der Modul des Produkts ist gleich dem Produkt der Module), sodass die ursprüngliche Gleichung wie folgt umgeschrieben werden kann:

\[\left| x-1 \right|=\left| x-1 \right|\cdot \left| x-2 \right|\]

Wie Sie sehen, haben wir tatsächlich eine Gemeinsamkeit. Wenn Sie nun alle Module auf einer Seite sammeln, können Sie diesen Faktor aus der Halterung nehmen:

\[\begin(align)& \left| x-1 \right|=\left| x-1 \right|\cdot \left| x-2 \right|; \\& \left| x-1 \right|-\left| x-1 \right|\cdot \left| x-2 \right|=0; \\& \left| x-1 \right|\cdot \left(1-\left| x-2 \right| \right)=0. \\\end(align)\]

Denken Sie nun daran, dass das Produkt gleich Null ist, wenn mindestens einer der Faktoren gleich Null ist:

\[\left[ \begin(align)& \left| x-1 \right|=0, \\& \left| x-2 \right|=1. \\\end(align) \right.\]

Somit wurde die ursprüngliche Gleichung mit zwei Modulen auf die beiden einfachsten Gleichungen reduziert, über die wir gleich zu Beginn der Lektion gesprochen haben. Solche Gleichungen können buchstäblich in ein paar Zeilen gelöst werden. :)

Diese Bemerkung mag unnötig komplex und in der Praxis nicht anwendbar erscheinen. In Wirklichkeit können Sie jedoch auf viel komplexere Probleme stoßen als die, mit denen wir uns heute befassen. In ihnen können Module mit Polynomen, arithmetischen Wurzeln, Logarithmen usw. kombiniert werden. Und in solchen Situationen kann die Möglichkeit, den Gesamtgrad der Gleichung zu verringern, indem man etwas aus Klammern herausnimmt, sehr, sehr nützlich sein. :)

Nun möchte ich mir eine andere Gleichung ansehen, die auf den ersten Blick vielleicht verrückt erscheint. Viele Studierende bleiben dabei hängen, selbst diejenigen, die glauben, die Module gut zu verstehen.

Diese Gleichung ist jedoch noch einfacher zu lösen als die, die wir zuvor betrachtet haben. Und wenn Sie verstehen, warum, erhalten Sie einen weiteren Trick zum schnellen Lösen von Gleichungen mit Modulen.

Die Gleichung lautet also:

\[\left| x-((x)^(3)) \right|+\left| ((x)^(2))+x-2 \right|=0\]

Nein, das ist kein Tippfehler: Es ist ein Plus zwischen den Modulen. Und wir müssen herausfinden, bei welchem $x$ die Summe zweier Module gleich Null ist. :)

Was ist überhaupt das Problem? Das Problem besteht jedoch darin, dass jedes Modul eine positive Zahl oder im Extremfall Null ist. Was passiert, wenn Sie zwei positive Zahlen addieren? Offensichtlich wieder eine positive Zahl:

\[\begin(align)& 5+7=12 \gt 0; \\& 0,004+0,0001=0,0041 \gt 0; \\& 5+0=5 \gt 0. \\\end(align)\]

Die letzte Zeile könnte Ihnen eine Idee geben: Die Summe der Module ist nur dann Null, wenn jedes Modul Null ist:

Und wann ist der Modul gleich Null? Nur in einem Fall – wenn der submodulare Ausdruck gleich Null ist:

\[((x)^(2))+x-2=0\Rightarrow \left(x+2 \right)\left(x-1 \right)=0\Rightarrow \left[ \begin(align)& x=-2 \\& x=1 \\\end(align) \right.\]

Somit haben wir drei Punkte, an denen das erste Modul auf Null zurückgesetzt wird: 0, 1 und −1; sowie zwei Punkte, an denen das zweite Modul auf Null zurückgesetzt wird: −2 und 1. Da wir jedoch beide Module gleichzeitig auf Null zurücksetzen müssen, müssen wir unter den gefundenen Zahlen diejenigen auswählen, die in enthalten sind beide Sets. Offensichtlich gibt es nur eine solche Zahl: $x=1$ – das wird die endgültige Antwort sein.

Spaltungsmethode

Nun, wir haben bereits eine Reihe von Problemen behandelt und viele Techniken gelernt. Glaubst du, das ist alles? Aber nein! Nun schauen wir uns die finale Technik an – und gleichzeitig die wichtigste. Wir werden über die Aufteilung von Gleichungen mit dem Modul sprechen. Worüber werden wir überhaupt reden? Gehen wir etwas zurück und schauen wir uns eine einfache Gleichung an. Zum Beispiel dies:

\[\left| 3x-5 \right|=5-3x\]

Im Prinzip wissen wir bereits, wie man eine solche Gleichung löst, da es sich um eine Standardkonstruktion der Form $\left| handelt f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)$. Aber versuchen wir, diese Gleichung aus einem etwas anderen Blickwinkel zu betrachten. Betrachten Sie genauer den Ausdruck unter dem Modulzeichen. Ich möchte Sie daran erinnern, dass der Modul einer beliebigen Zahl gleich der Zahl selbst sein oder dieser Zahl entgegengesetzt sein kann:

\[\left| a \right|=\left\( \begin(align)& a,\quad a\ge 0, \\& -a,\quad a \lt 0. \\\end(align) \right.\]

Tatsächlich ist diese Mehrdeutigkeit das ganze Problem: Da sich die Zahl unter dem Modul ändert (dies hängt von der Variablen ab), ist es für uns nicht klar, ob sie positiv oder negativ ist.

Was aber, wenn Sie zunächst verlangen, dass diese Zahl positiv ist? Zum Beispiel fordern wir, dass $3x-5 \gt 0$ – in diesem Fall erhalten wir garantiert eine positive Zahl unter dem Modulzeichen, und wir können genau dieses Modul vollständig loswerden:

Somit wird unsere Gleichung zu einer linearen Gleichung, die leicht gelöst werden kann:

Allerdings machen alle diese Gedanken nur unter der Bedingung $3x-5 \gt 0$ Sinn – wir haben diese Anforderung selbst eingeführt, um das Modul eindeutig zu offenbaren. Setzen wir daher das gefundene $x=\frac(5)(3)$ in diese Bedingung ein und prüfen:

Es stellt sich heraus, dass für den angegebenen Wert von $x$ unsere Anforderung nicht erfüllt ist, weil Es stellte sich heraus, dass der Ausdruck gleich Null war, und wir benötigen, dass er unbedingt größer als Null ist. Traurig. :(

Aber es ist okay! Schließlich gibt es noch eine andere Option: $3x-5 \lt 0$. Außerdem: Es gibt auch den Fall $3x-5=0$ – dieser muss ebenfalls berücksichtigt werden, sonst ist die Lösung unvollständig. Betrachten Sie also den Fall $3x-5 \lt 0$:

Offensichtlich wird das Modul mit einem Minuszeichen geöffnet. Doch dann entsteht eine seltsame Situation: Sowohl links als auch rechts in der ursprünglichen Gleichung wird derselbe Ausdruck hervorstechen:

Ich frage mich, bei welchem $x$ der Ausdruck $5-3x$ gleich dem Ausdruck $5-3x$ sein wird? Sogar Captain Obviousness würde an solchen Gleichungen den Speichel verschlucken, aber wir wissen: Diese Gleichung ist eine Identität, d.h. es gilt für jeden Wert der Variablen!

Das bedeutet, dass jedes $x$ zu uns passt. Wir haben jedoch eine Einschränkung:

Mit anderen Worten: Die Antwort ist keine einzelne Zahl, sondern ein ganzes Intervall:

Schließlich bleibt noch ein weiterer Fall zu berücksichtigen: $3x-5=0$. Hier ist alles einfach: Unter dem Modul steht Null, und der Modul Null ist auch gleich Null (dies ergibt sich direkt aus der Definition):

Aber dann ist die ursprüngliche Gleichung $\left| 3x-5 \right|=5-3x$ wird wie folgt umgeschrieben:

Diese Wurzel haben wir oben bereits erhalten, als wir den Fall $3x-5 \gt 0$ betrachteten. Darüber hinaus ist diese Wurzel eine Lösung der Gleichung $3x-5=0$ – das ist die Einschränkung, die wir selbst eingeführt haben, um das Modul zurückzusetzen. :)

Somit geben wir uns neben dem Intervall auch mit der Zahl zufrieden, die ganz am Ende dieses Intervalls liegt:

Kombinieren von Wurzeln in Modulo-Gleichungen

Endgültige Gesamtantwort: $x\in \left(-\infty ;\frac(5)(3) \right]$ Es ist nicht sehr üblich, solchen Mist in der Antwort auf eine ziemlich einfache (im Wesentlichen lineare) Gleichung mit Modul zu sehen. Wirklich? Nun, gewöhnen Sie sich daran: Die Schwierigkeit des Moduls besteht darin, dass die Antworten in solchen Gleichungen völlig unvorhersehbar sein können.

Etwas anderes ist viel wichtiger: Wir haben gerade einen universellen Algorithmus zur Lösung einer Gleichung mit einem Modul analysiert! Und dieser Algorithmus besteht aus den folgenden Schritten:

Setzen Sie jeden Modul in der Gleichung mit Null gleich. Wir erhalten mehrere Gleichungen;
Lösen Sie alle diese Gleichungen und markieren Sie die Wurzeln auf der Zahlengeraden. Dadurch wird die Gerade in mehrere Intervalle unterteilt, in denen alle Module jeweils eindeutig aufgedeckt werden;
Lösen Sie die ursprüngliche Gleichung für jedes Intervall und kombinieren Sie Ihre Antworten.

Das ist alles! Es bleibt nur noch eine Frage: Was tun mit den in Schritt 1 erhaltenen Wurzeln? Nehmen wir an, wir haben zwei Wurzeln: $x=1$ und $x=5$. Sie werden den Zahlenstrahl in drei Teile teilen:

Den Zahlenstrahl mithilfe von Punkten in Intervalle aufteilen

Was sind also die Intervalle? Es ist klar, dass es drei davon gibt:

Ganz links: $x \lt 1$ – die Einheit selbst ist nicht im Intervall enthalten;
Zentral: $1\le x \lt 5$ – hier ist eins im Intervall enthalten, fünf jedoch nicht;
Ganz rechts: $x\ge 5$ - fünf ist nur hier enthalten!

Ich denke, Sie verstehen das Muster bereits. Jedes Intervall umfasst das linke Ende und nicht das rechte Ende.

Auf den ersten Blick mag ein solcher Eintrag unbequem, unlogisch und im Allgemeinen irgendwie verrückt erscheinen. Aber glauben Sie mir: Nach ein wenig Übung werden Sie feststellen, dass dieser Ansatz am zuverlässigsten ist und das eindeutige Öffnen der Module nicht beeinträchtigt. Es ist besser, ein solches Schema zu verwenden, als jedes Mal zu denken: Geben Sie dem aktuellen Intervall das linke/rechte Ende oder „werfen“ Sie es in das nächste.

In diesem Artikel werden wir es im Detail analysieren der absolute Wert einer Zahl. Wir geben verschiedene Definitionen des Moduls einer Zahl, führen in die Notation ein und liefern grafische Illustrationen. Schauen wir uns gleichzeitig verschiedene Beispiele an, um den Modul einer Zahl per Definition zu ermitteln. Anschließend werden wir die Haupteigenschaften des Moduls auflisten und begründen. Am Ende des Artikels werden wir darüber sprechen, wie der Modul einer komplexen Zahl bestimmt und ermittelt wird.

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Zahlenmodul – Definition, Notation und Beispiele

Zuerst stellen wir vor Zahlenmodulbezeichnung. Wir schreiben den Modul der Zahl a als , d. h. links und rechts von der Zahl setzen wir vertikale Striche, um das Modulzeichen zu bilden. Lassen Sie uns ein paar Beispiele nennen. Modul −7 kann beispielsweise geschrieben werden als ; Modul 4.125 wird als geschrieben und das Modul hat eine Notation der Form .

Die folgende Definition des Moduls bezieht sich auf und damit auf ganze Zahlen sowie auf rationale und irrationale Zahlen als Bestandteile der Menge der reellen Zahlen. Wir werden über den Modul einer komplexen Zahl sprechen.

Definition.

Modul der Zahl a– Dies ist entweder die Zahl a selbst, wenn a eine positive Zahl ist, oder die Zahl −a, das Gegenteil der Zahl a, wenn a eine negative Zahl ist, oder 0, wenn a=0.

Die stimmhafte Definition des Moduls einer Zahl wird oft in der folgenden Form geschrieben , dieser Eintrag bedeutet, dass wenn a>0 , wenn a=0 und wenn a<0 .

Der Datensatz kann kompakter dargestellt werden . Diese Notation bedeutet, dass wenn (a größer oder gleich 0 ist) und wenn a<0 .

Dort ist auch der Eintrag . Hier sollten wir den Fall, wenn a=0 ist, gesondert erläutern. In diesem Fall haben wir , aber −0=0, da Null als eine zu sich selbst entgegengesetzte Zahl betrachtet wird.

Geben wir Beispiele für die Ermittlung des Moduls einer Zahl unter Verwendung einer angegebenen Definition. Suchen wir zum Beispiel die Module der Zahlen 15 und . Beginnen wir mit der Suche. Da die Zahl 15 positiv ist, ist ihr Modul per Definition gleich dieser Zahl selbst, also . Was ist der Modul einer Zahl? Da es sich um eine negative Zahl handelt, ist ihr Modul gleich der der Zahl entgegengesetzten Zahl, also der Zahl . Auf diese Weise, .

Um diesen Punkt abzuschließen, präsentieren wir eine Schlussfolgerung, die in der Praxis sehr praktisch ist, wenn es darum geht, den Modul einer Zahl zu ermitteln. Aus der Definition des Moduls einer Zahl folgt Folgendes Der Modul einer Zahl ist gleich der Zahl unter dem Modulzeichen, ohne Berücksichtigung ihres Vorzeichens, und aus den oben diskutierten Beispielen ist dies sehr deutlich ersichtlich. Die angegebene Aussage erklärt, warum der Modul einer Zahl auch aufgerufen wird absoluter Wert der Zahl. Der Modul einer Zahl und der Absolutwert einer Zahl sind also ein und dasselbe.

Modul einer Zahl als Abstand

Geometrisch kann der Modul einer Zahl interpretiert werden als Distanz. Geben wir Bestimmen des Moduls einer Zahl durch Entfernung.

Definition.

Modul der Zahl a– Dies ist der Abstand vom Ursprung auf der Koordinatenlinie zu dem Punkt, der der Zahl a entspricht.

Diese Definition steht im Einklang mit der Definition des Moduls einer Zahl im ersten Absatz. Lassen Sie uns diesen Punkt klären. Der Abstand vom Ursprung zum Punkt, der einer positiven Zahl entspricht, ist gleich dieser Zahl. Null entspricht dem Ursprung, daher ist der Abstand vom Ursprung zum Punkt mit der Koordinate 0 gleich Null (Sie müssen kein einzelnes Einheitssegment beiseite legen und kein einzelnes Segment, das einen Bruchteil eines Einheitssegments in der Reihenfolge ausmacht). um von Punkt O zu einem Punkt mit der Koordinate 0 zu gelangen). Der Abstand vom Ursprung zu einem Punkt mit einer negativen Koordinate ist gleich der Zahl, die der Koordinate dieses Punktes entgegengesetzt ist, da er gleich dem Abstand vom Ursprung zu dem Punkt ist, dessen Koordinate die entgegengesetzte Zahl ist.

Beispielsweise ist der Modul der Zahl 9 gleich 9, da der Abstand vom Ursprung zum Punkt mit der Koordinate 9 gleich neun ist. Lassen Sie uns ein weiteres Beispiel geben. Der Punkt mit der Koordinate −3,25 befindet sich in einem Abstand von 3,25 vom Punkt O, also .

Die angegebene Definition des Moduls einer Zahl ist ein Sonderfall der Definition des Moduls der Differenz zweier Zahlen.

Definition.

Modul der Differenz zweier Zahlen a und b ist gleich dem Abstand zwischen den Punkten der Koordinatenlinie mit den Koordinaten a und b.

Das heißt, wenn Punkte auf der Koordinatenlinie A(a) und B(b) gegeben sind, dann ist der Abstand von Punkt A zu Punkt B gleich dem Modul der Differenz zwischen den Zahlen a und b. Wenn wir Punkt O (Ursprung) als Punkt B nehmen, erhalten wir die Definition des Moduls einer Zahl, die am Anfang dieses Absatzes angegeben ist.

Bestimmen des Moduls einer Zahl mithilfe der arithmetischen Quadratwurzel

Kommt gelegentlich vor Bestimmung des Moduls über die arithmetische Quadratwurzel.

Berechnen wir zum Beispiel die Moduli der Zahlen −30 und basierend auf dieser Definition. Wir haben. Ebenso berechnen wir den Modul von zwei Dritteln: .

Die Definition des Moduls einer Zahl durch die arithmetische Quadratwurzel stimmt auch mit der Definition im ersten Absatz dieses Artikels überein. Zeigen wir es. Sei a eine positive Zahl und −a eine negative Zahl. Dann Und , wenn a=0 , dann .

Moduleigenschaften

Das Modul hat eine Reihe charakteristischer Ergebnisse - Moduleigenschaften. Jetzt stellen wir die wichtigsten und am häufigsten verwendeten vor. Bei der Begründung dieser Eigenschaften stützen wir uns auf die Definition des Moduls einer Zahl als Abstand.

Beginnen wir mit der offensichtlichsten Eigenschaft des Moduls – Der Modul einer Zahl kann keine negative Zahl sein. In wörtlicher Form hat diese Eigenschaft für jede Zahl a die Form. Diese Eigenschaft lässt sich sehr leicht begründen: Der Modul einer Zahl ist ein Abstand, und der Abstand kann nicht als negative Zahl ausgedrückt werden.

Fahren wir mit der nächsten Moduleigenschaft fort. Der Modul einer Zahl ist genau dann Null, wenn diese Zahl Null ist. Der Modul von Null ist per Definition Null. Null entspricht dem Ursprung; kein anderer Punkt auf der Koordinatenlinie entspricht Null, da jede reelle Zahl einem einzelnen Punkt auf der Koordinatenlinie zugeordnet ist. Aus dem gleichen Grund entspricht jede Zahl ungleich Null einem Punkt, der sich vom Ursprung unterscheidet. Und der Abstand vom Ursprung zu jedem anderen Punkt als Punkt O ist nicht Null, da der Abstand zwischen zwei Punkten genau dann Null ist, wenn diese Punkte zusammenfallen. Die obige Argumentation beweist, dass nur der Modul von Null gleich Null ist.

Fortfahren. Entgegengesetzte Zahlen haben gleiche Module, also für jede Zahl a. Tatsächlich haben zwei Punkte auf der Koordinatenlinie, deren Koordinaten entgegengesetzte Zahlen sind, den gleichen Abstand vom Ursprung, was bedeutet, dass die Module der entgegengesetzten Zahlen gleich sind.

Die folgende Eigenschaft des Moduls ist: Der Modul des Produkts zweier Zahlen ist gleich dem Produkt der Module dieser Zahlen, also, . Per Definition ist der Modul des Produkts der Zahlen a und b entweder gleich a·b if oder −(a·b) if . Aus den Regeln der Multiplikation reeller Zahlen folgt, dass das Produkt der Moduli der Zahlen a und b entweder gleich a·b, oder −(a·b) if ist, was die fragliche Eigenschaft beweist.

Der Modul des Quotienten von a dividiert durch b ist gleich dem Quotienten des Moduls einer Zahl dividiert durch den Modul von b, also, . Begründen wir diese Eigenschaft des Moduls. Da also der Quotient gleich dem Produkt ist. Aufgrund des bisherigen Eigentums haben wir . Es bleibt nur noch die Gleichheit zu verwenden, die aufgrund der Definition des Moduls einer Zahl gilt.

Die folgende Eigenschaft eines Moduls wird als Ungleichung geschrieben: , a , b und c sind beliebige reelle Zahlen. Die geschriebene Ungleichung ist nichts anderes als Dreiecksungleichung. Um dies zu verdeutlichen, nehmen wir die Punkte A(a), B(b), C(c) auf der Koordinatenlinie und betrachten ein entartetes Dreieck ABC, dessen Eckpunkte auf derselben Linie liegen. Per Definition ist der Modul der Differenz gleich der Länge des Segments AB, – der Länge des Segments AC und – der Länge des Segments CB. Da die Länge einer Seite eines Dreiecks die Summe der Längen der beiden anderen Seiten nicht überschreitet, ist die Ungleichung wahr Daher ist die Ungleichung auch wahr.

Die gerade bewiesene Ungleichung kommt in der Form viel häufiger vor . Die schriftliche Ungleichung wird üblicherweise als eigenständige Eigenschaft des Moduls betrachtet mit der Formulierung: „ Der Modul der Summe zweier Zahlen überschreitet nicht die Summe der Module dieser Zahlen" Aber die Ungleichung folgt direkt aus der Ungleichung, wenn wir −b statt b setzen und c=0 nehmen.

Modul einer komplexen Zahl

Geben wir Definition des Moduls einer komplexen Zahl. Möge es uns geschenkt werden komplexe Zahl, geschrieben in algebraischer Form, wobei x und y einige reelle Zahlen sind, die jeweils den Real- und Imaginärteil einer gegebenen komplexen Zahl z darstellen, und die imaginäre Einheit ist.

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Der absolute Wert einer Zahl A ist der Abstand vom Ursprung zum Punkt A(A).

Um diese Definition zu verstehen, ersetzen wir die Variable A Geben Sie eine beliebige Zahl ein, zum Beispiel 3, und versuchen Sie erneut, sie zu lesen:

Der absolute Wert einer Zahl 3 ist der Abstand vom Ursprung zum Punkt A(3 ).

Es wird deutlich, dass es sich bei dem Modul um nichts anderes als eine gewöhnliche Distanz handelt. Versuchen wir, den Abstand vom Ursprung zum Punkt A( 3 )

Abstand vom Ursprung zum Punkt A( 3 ) ist gleich 3 (drei Einheiten oder drei Schritte).

Der Modul einer Zahl wird durch zwei vertikale Linien angezeigt, zum Beispiel:

Der Modul der Zahl 3 wird wie folgt bezeichnet: |3|

Der Modul der Zahl 4 wird wie folgt bezeichnet: |4|

Der Modul der Zahl 5 wird wie folgt bezeichnet: |5|

Wir haben nach dem Modul der Zahl 3 gesucht und herausgefunden, dass er gleich 3 ist. Also schreiben wir es auf:

Liest sich wie: „Der Modul der Zahl Drei ist drei“

Versuchen wir nun, den Modul der Zahl -3 zu ermitteln. Wir kehren wieder zur Definition zurück und ersetzen darin die Zahl -3. Nur statt eines Punktes A einen neuen Punkt verwenden B. Punkt A haben wir bereits im ersten Beispiel verwendet.

Modul der Zahl - 3 ist der Abstand vom Ursprung zu einem Punkt B(—3 ).

Der Abstand von einem Punkt zum anderen kann nicht negativ sein. Daher ist der Modul einer negativen Zahl, da er ein Abstand ist, auch nicht negativ. Der Modul der Zahl -3 ist die Zahl 3. Der Abstand vom Ursprung zum Punkt B(-3) beträgt ebenfalls drei Einheiten:

Liest sich wie: „Der Modul von minus drei ist drei.“

Der Modul der Zahl 0 ist gleich 0, da der Punkt mit der Koordinate 0 mit dem Ursprung zusammenfällt, d.h. Abstand vom Ursprung zum Punkt O(0) gleich Null:

„Der Modul von Null ist Null“

Wir ziehen Schlussfolgerungen:

Der Modul einer Zahl kann nicht negativ sein;
Für eine positive Zahl und Null ist der Modul gleich der Zahl selbst und für eine negative Zahl – das Gegenteil;
Gegenüberliegende Zahlen haben gleiche Module.

Gegensätzliche Zahlen

Es werden Zahlen genannt, die sich nur im Vorzeichen unterscheiden Gegenteil. Beispielsweise sind die Zahlen −2 und 2 Gegensätze. Sie unterscheiden sich nur in den Merkmalen. Die Zahl −2 hat ein Minuszeichen und 2 ein Pluszeichen, aber wir sehen es nicht, weil Plus, wie wir bereits sagten, traditionell nicht geschrieben wird.

Weitere Beispiele für entgegengesetzte Zahlen:

Gegenüberliegende Zahlen haben gleiche Module. Suchen wir zum Beispiel die Module für −2 und 2