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Wenn zwei parallele Linien von einer dritten gekreuzt werden, dann. Parallele Linien – grundlegende Informationen. Parallelität von Linien – Zeichen und Bedingungen der Parallelität

KAPITEL III.
PARALLEL DIREKT

§ 38. ABHÄNGIGKEIT ZWISCHEN WINKELN,
BESTEHEND AUS ZWEI PARALLELEN LINIEN UND EINER SEKUNDÄREN.

Wir wissen, dass zwei Geraden parallel sind, wenn, wenn sie eine dritte Gerade schneiden, die entsprechenden Winkel gleich sind oder kreuzweise liegende Innen- oder Außenwinkel gleich sind oder die Summe der Innen- oder Außenwinkel gleich ist 2 D. Beweisen wir, dass auch die umgekehrten Sätze wahr sind, nämlich:

Wenn zwei parallele Geraden von einer dritten gekreuzt werden, dann gilt:

1) entsprechende Winkel sind gleich;
2) die inneren Querwinkel sind gleich;
3) die äußeren Querwinkel sind gleich;
4) Die Summe der inneren einseitigen Winkel ist gleich 2 D ;
5) Die Summe der äußeren einseitigen Winkel ist gleich 2 D .

Beweisen wir zum Beispiel, dass die entsprechenden Winkel gleich sind, wenn zwei parallele Geraden von einer dritten Geraden geschnitten werden.

Seien die Geraden AB und CD parallel und MN ihre Sekante (Abb. 202). Beweisen wir, dass die entsprechenden Winkel 1 und 2 einander gleich sind.

Nehmen wir das an / 1 und / 2 sind nicht gleich. Dann können wir am Punkt O konstruieren / IOC, entsprechend und gleich / 2 (Zeichnung 203).

Aber falls / MOQ = / 2, dann ist die Gerade OK parallel zur CD (§ 35).

Wir fanden heraus, dass zwei Geraden AB und OK durch den Punkt O parallel zur Geraden CD gezogen wurden. Das kann aber nicht sein (§ 37).

Wir sind zu einem Widerspruch gekommen, weil wir davon ausgegangen sind / 1 und / 2 sind nicht gleich. Daher ist unsere Annahme falsch und / 1 muss gleich sein / 2, d. h. die entsprechenden Winkel sind gleich.

Lassen Sie uns die Beziehungen zwischen den verbleibenden Winkeln herstellen. Die Geraden AB und CD seien parallel und MN sei ihre Sekante (Abb. 204).

Wir haben gerade bewiesen, dass in diesem Fall die entsprechenden Winkel gleich sind. Nehmen wir an, dass zwei davon jeweils 119° haben. Berechnen wir die Größe jedes der anderen sechs Winkel. Basierend auf den Eigenschaften benachbarter und vertikaler Winkel finden wir, dass vier der acht Winkel jeweils 119° und der Rest jeweils 61° haben.

Es stellte sich heraus, dass sowohl die inneren als auch die äußeren einseitigen Winkel paarweise gleich sind und die Summe der inneren oder äußeren einseitigen Winkel 180° (oder 2) beträgt D).

Das Gleiche gilt für jeden anderen Wert gleicher entsprechender Winkel.

Folgerung 1. Wenn jede der beiden Geraden AB und CD parallel zur gleichen dritten Geraden MN ist, dann sind die ersten beiden Geraden parallel zueinander (Zeichnung 205).

Tatsächlich erhalten wir durch Zeichnen der Sekante EF (Abb. 206):
A) / 1 = / 3, da AB || MN; B) / 2 = / 3, da CO || MN.

Bedeutet, / 1 = / 2, und dies sind die Winkel, die den Linien AB und CD und der Sekante EF entsprechen, daher sind die Linien AB und CD parallel.

Folgerung 2. Steht eine Gerade senkrecht auf einer von zwei parallelen Geraden, dann steht sie auch senkrecht auf der anderen (Zeichnung 207).

In der Tat, wenn EF _|_ AB, dann / 1 = D; wenn AB || Also CD / 1 = / 2.

Somit, / 2 = D d.h. EF _|_ CD .

Wenn zwei parallele Geraden von einer dritten gekreuzt werden, dann gilt:

1. entsprechende Winkel sind gleich;
2. Die inneren Querwinkel sind gleich;
3. Die äußeren Querwinkel sind gleich;
4. die Summe der einseitigen Innenwinkel beträgt 2d;
5. Die Summe der äußeren einseitigen Winkel beträgt 2d.

Beweisen wir zum Beispiel, dass die entsprechenden Winkel gleich sind, wenn zwei parallele Geraden von einer dritten Geraden geschnitten werden.

Die Geraden AB und CD seien parallel und MN sei ihre Sekante (Abb.). Beweisen wir, dass die entsprechenden Winkel 1 und 2 einander gleich sind.

Nehmen wir an, dass ∠1 und ∠2 nicht gleich sind. Dann ist es am Punkt O möglich, ∠MOK zu konstruieren, das ∠2 entspricht und gleich ist (Abb.).

Aber wenn ∠MOK = ∠2, dann ist die Gerade OK parallel zu CD.

Wir fanden heraus, dass zwei Geraden AB und OK durch den Punkt O parallel zur Geraden CD gezogen wurden. Aber das kann nicht sein.

Wir kamen zu einem Widerspruch, weil wir annahmen, dass ∠1 und ∠2 nicht gleich sind. Daher ist unsere Annahme falsch und ∠1 muss gleich ∠2 sein, d. h. die entsprechenden Winkel sind gleich.

Lassen Sie uns die Beziehungen zwischen den verbleibenden Winkeln herstellen. Die Geraden AB und CD seien parallel und MN sei ihre Sekante (Abb.).

Es stellte sich heraus, dass sowohl innere als auch äußere Kreuzwinkel paarweise gleich sind und die Summe der inneren oder äußeren einseitigen Winkel 180° (oder 2d) beträgt.

Das Gleiche gilt für jeden anderen Wert gleicher entsprechender Winkel.

Folgerung 1. Wenn jede der beiden Geraden AB und CD parallel zur gleichen dritten Geraden MN ist, dann sind die ersten beiden Geraden parallel zueinander .

Tatsächlich erhalten wir durch Zeichnen der Sekante EF (Abb.):

a) ∠1 = ∠3, da AB || MN; b) ∠ 2 = ∠3, da CO || MN.

Das bedeutet, dass ∠1 = ∠2, und dies sind die entsprechenden Winkel an den Geraden AB und CD und der Sekante EF, daher sind die Geraden AB und CD parallel.

Folgerung 2. Steht eine Gerade senkrecht auf einer von zwei parallelen Geraden, dann steht sie auch senkrecht auf der anderen .

In der Tat, wenn EF ⊥ AB, dann ∠1 = D; wenn AB || CD, dann ∠1 = ∠2.

Daher ist ∠ 2 = D d.h. EF ⊥ CD.

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Frage 1. Beweisen Sie, dass zwei Geraden parallel zu einer dritten parallel sind.
Antwort. Satz 4.1. Zwei Geraden parallel zu einer dritten sind parallel.
Nachweisen. Die Linien a und b seien parallel zur Linie c. Nehmen wir an, dass a und b nicht parallel sind (Abb. 69). Dann schneiden sie sich nicht in irgendeinem Punkt C. Das bedeutet, dass zwei Geraden parallel zur Geraden c durch den Punkt C verlaufen. Dies ist jedoch unmöglich, da Sie durch einen Punkt, der nicht auf einer bestimmten Geraden liegt, höchstens eine Gerade parallel zu dieser ziehen können. Der Satz ist bewiesen.

Frage 2. Erklären Sie, welche Winkel als einseitige Innenwinkel bezeichnet werden. Welche Winkel werden als innere Kreuzwinkel bezeichnet?
Antwort. Winkelpaare, die entstehen, wenn die Geraden AB und CD die Sekante AC schneiden, haben spezielle Namen.
Liegen die Punkte B und D relativ zur Geraden AC in derselben Halbebene, werden die Winkel BAC und DCA als einseitige Innenwinkel bezeichnet (Abb. 71, a).
Liegen die Punkte B und D in unterschiedlichen Halbebenen relativ zur Geraden AC, dann werden die Winkel BAC und DCA als interne Kreuzwinkel bezeichnet (Abb. 71, b).

Reis. 71

Frage 3. Beweisen Sie, dass, wenn die Innenwinkel eines Paares gleich sind, auch die Innenwinkel des anderen Paares gleich sind und die Summe der Innenwinkel jedes Paares 180° beträgt.
Antwort. Die Sekante AC bildet mit den Geraden AB und CD zwei Paare einseitiger Innenwinkel und zwei Paare kreuzstehender Innenwinkel. Die inneren Querwinkel eines Paares, zum Beispiel Winkel 1 und Ecke 2, grenzen an die inneren Querwinkel eines anderen Paares: Winkel 3 und Winkel 4 (Abb. 72).

Reis. 72

Wenn also die Innenwinkel eines Paares übereinstimmen, sind auch die Innenwinkel des anderen Paares gleich.
Ein Paar innerer kreuzförmiger Winkel, zum Beispiel Winkel 1 und Winkel 2, und ein Paar innerer einseitiger Winkel, zum Beispiel Winkel 2 und Winkel 3, haben einen gemeinsamen Winkel – Winkel 2, und zwei weitere Winkel liegen nebeneinander : Winkel 1 und Winkel 3.
Wenn also die inneren Querwinkel gleich sind, beträgt die Summe der inneren Winkel 180°. Und umgekehrt: Wenn die Summe der sich schneidenden Innenwinkel gleich 180° ist, dann sind die sich schneidenden Innenwinkel gleich. Q.E.D.

Frage 4. Beweisen Sie einen Test für parallele Linien.
Antwort. Satz 4.2 (Test auf parallele Geraden). Wenn die inneren Kreuzwinkel gleich sind oder die Summe der inneren einseitigen Winkel 180° beträgt, dann sind die Linien parallel.
Nachweisen. Die Geraden a und b bilden mit der Sekante AB gleiche innere Kreuzwinkel (Abb. 73, a). Nehmen wir an, die Linien a und b sind nicht parallel, was bedeutet, dass sie sich an einem Punkt C schneiden (Abb. 73, b).

Reis. 73

Die Sekante AB teilt die Ebene in zwei Halbebenen. Punkt C liegt in einer von ihnen. Konstruieren wir ein Dreieck BAC 1, gleich dem Dreieck ABC, mit dem Scheitelpunkt C 1 in einer anderen Halbebene. Gemäß der Bedingung sind die inneren Kreuzwinkel für die Parallelen a, b und die Sekante AB gleich. Da die entsprechenden Winkel der Dreiecke ABC und BAC 1 mit den Eckpunkten A und B gleich sind, fallen sie mit den kreuzweise liegenden Innenwinkeln zusammen. Das bedeutet, dass Linie AC 1 mit Linie a zusammenfällt und Linie BC 1 mit Linie b zusammenfällt. Es stellt sich heraus, dass zwei verschiedene Geraden a und b durch die Punkte C und C 1 verlaufen. Und das ist unmöglich. Das bedeutet, dass die Linien a und b parallel sind.
Wenn die Linien a und b und die Querlinie AB die Summe der einseitigen Innenwinkel gleich 180° haben, dann sind, wie wir wissen, die quer liegenden Innenwinkel gleich. Das heißt, nach dem oben Gezeigten sind die Geraden a und b parallel. Der Satz ist bewiesen.

Frage 5. Erklären Sie, welche Winkel als entsprechende Winkel bezeichnet werden. Beweisen Sie, dass, wenn die inneren Querwinkel gleich sind, auch die entsprechenden Winkel gleich sind und umgekehrt.

Antwort. Wenn für ein Paar interner Kreuzwinkel ein Winkel durch einen vertikalen ersetzt wird, erhalten wir ein Winkelpaar, das als entsprechende Winkel dieser Linien mit einer Transversallinie bezeichnet wird. Was genau erklärt werden musste.
Aus der Gleichheit der quer liegenden Innenwinkel folgt die Gleichheit der entsprechenden Winkel und umgekehrt. Nehmen wir an, wir haben zwei parallele Linien (da einander liegende Innenwinkel aufgrund der Bedingung gleich sind) und eine Transverse, die die Winkel 1, 2, 3 bilden. Die Winkel 1 und 2 sind gleich wie einander liegende Innenwinkel. Und die Winkel 2 und 3 sind gleich vertikal. Wir erhalten: \(\angle\)1 = \(\angle\)2 und \(\angle\)2 = \(\angle\)3. Aus der Eigenschaft der Transitivität des Gleichheitszeichens folgt, dass \(\angle\)1 = \(\angle\)3. Die umgekehrte Aussage lässt sich auf ähnliche Weise beweisen.
Daraus erhalten wir das Zeichen, dass Geraden unter den entsprechenden Winkeln parallel sind. Nämlich: Geraden sind parallel, wenn die entsprechenden Winkel gleich sind. Q.E.D.

Frage 6. Beweisen Sie, dass Sie durch einen Punkt, der nicht auf einer bestimmten Geraden liegt, eine Gerade parallel dazu ziehen können. Wie viele Linien parallel zu einer bestimmten Linie können durch einen Punkt gezogen werden, der nicht auf dieser Linie liegt?

Antwort. Aufgabe (8). Gegeben sei eine Gerade AB und ein Punkt C, der nicht auf dieser Geraden liegt. Beweisen Sie, dass Sie durch Punkt C eine Linie parallel zur Linie AB zeichnen können.
Lösung. Die Linie AC teilt die Ebene in zwei Halbebenen (Abb. 75). Punkt B liegt in einem von ihnen. Fügen wir den Winkel ACD von der Halblinie CA zu einer anderen Halbebene hinzu, der dem Winkel CAB entspricht. Dann sind die Linien AB und CD parallel. Tatsächlich liegen für diese Linien und die Sekante AC die Innenwinkel BAC und DCA kreuzweise. Und da sie gleich sind, sind die Geraden AB und CD parallel. Q.E.D.
Wenn wir die Aussage von Problem 8 und Axiom IX (die Haupteigenschaft paralleler Linien) vergleichen, kommen wir zu einer wichtigen Schlussfolgerung: Durch einen Punkt, der nicht auf einer bestimmten Linie liegt, ist es möglich, eine Linie parallel dazu zu zeichnen, und zwar nur eine.

Frage 7. Beweisen Sie, dass, wenn zwei Geraden von einer dritten Geraden geschnitten werden, die sich schneidenden Innenwinkel gleich sind und die Summe der einseitigen Innenwinkel 180° beträgt.

Antwort. Satz 4.3(die Umkehrung von Satz 4.2). Wenn sich zwei parallele Linien mit einer dritten Linie schneiden, sind die sich schneidenden Innenwinkel gleich und die Summe der einseitigen Innenwinkel beträgt 180°.
Nachweisen. Seien a und b parallele Geraden und c eine Gerade, die sie in den Punkten A und B schneidet. Zeichnen wir eine Gerade a 1 durch den Punkt A, so dass die inneren Kreuzwinkel, die die Querlinie c mit den Geraden a 1 und b bildet, gleich sind (Abb. 76).
Nach dem Prinzip der Linienparallelität sind die Linien a 1 und b parallel. Und da nur eine Linie parallel zur Linie b durch Punkt A verläuft, fällt Linie a mit Linie a 1 zusammen.
Dies bedeutet, dass innere Kreuzwinkel durch eine Querrichtung mit gebildet werden
Parallele Linien a und b sind gleich. Der Satz ist bewiesen.

Frage 8. Beweisen Sie, dass zwei Geraden, die senkrecht zu einer dritten stehen, parallel sind. Steht eine Gerade senkrecht auf einer von zwei parallelen Geraden, dann steht sie auch senkrecht auf der anderen.
Antwort. Aus Satz 4.2 folgt, dass zwei Geraden senkrecht zu einer dritten parallel sind.
Angenommen, zwei beliebige Geraden stehen senkrecht auf einer dritten Geraden. Das bedeutet, dass diese Linien die dritte Linie in einem Winkel von 90° schneiden.
Aus der Eigenschaft der Winkel, die entstehen, wenn parallele Geraden eine Querlinie schneiden, folgt, dass, wenn eine Gerade senkrecht zu einer der parallelen Geraden steht, sie auch senkrecht zur anderen steht.

Frage 9. Beweisen Sie, dass die Winkelsumme eines Dreiecks 180° beträgt.

Antwort. Satz 4.4. Die Winkelsumme eines Dreiecks beträgt 180°.
Nachweisen. Sei ABC das gegebene Dreieck. Zeichnen wir eine Linie durch den Scheitelpunkt B parallel zur Linie AC. Markieren wir Punkt D darauf, sodass die Punkte A und D auf gegenüberliegenden Seiten der Geraden BC liegen (Abb. 78).
Die Winkel DBC und ACB sind kongruent als innere, kreuzende Winkel, die durch die Querlinie BC mit den parallelen Linien AC und BD gebildet werden. Daher ist die Summe der Winkel eines Dreiecks an den Eckpunkten B und C gleich dem Winkel ABD.
Und die Summe aller drei Winkel eines Dreiecks ist gleich der Summe der Winkel ABD und BAC. Da es sich um einseitige Innenwinkel für Parallel AC und BD und Sekante AB handelt, beträgt deren Summe 180°. Der Satz ist bewiesen.

Frage 10. Beweisen Sie, dass jedes Dreieck mindestens zwei spitze Winkel hat.
Antwort. Nehmen wir tatsächlich an, dass das Dreieck nur einen spitzen Winkel oder überhaupt keine spitzen Winkel hat. Dann hat dieses Dreieck zwei Winkel, die jeweils mindestens 90° betragen. Die Summe dieser beiden Winkel beträgt nicht weniger als 180°. Dies ist jedoch unmöglich, da die Summe aller Winkel eines Dreiecks 180° beträgt. Q.E.D.

Definition:

Zwei direkte Anrufe pa-ral-lel-ny-mi, wenn sie sich nicht kreuzen (Abb. 1). Das bedeutet: .

Durch einen Punkt, der nicht auf einer gegebenen Geraden liegt, geht nur eine Gerade durch, parallel zur gegebenen (Abb. 2) .

Folgerungen aus dem Axiom

Folge1:

Wenn eine Gerade eine der parallelen Geraden schneidet, dann schneidet sie auch die andere.

Gegeben:.

Beweisen:.

Nachweisen:

Lassen Sie uns von der anderen Seite darüber sprechen. Tun wir mal so Mitüberschreitet nicht die Grenze B(Abb. 4).

Dann: (durch Bedingung), (durch Voraussetzung). Das heißt, durch den Punkt M es gibt zwei gerade Linien ( A Und C), parallel direkt B. Und das ist pro-ti-vo-re-chit ak-sio-me. Das bedeutet, dass unsere Annahme falsch ist. Dann ist es gerade C quergerade B.

Folgerung 2:

Wenn zwei Geraden parallel zur dritten Geraden verlaufen, dann sind sie parallel(Abb. 5) .

Gegeben:.

Beweisen:.

Nachweisen:

Lassen Sie uns von der anderen Seite darüber sprechen. Gehen Sie davon aus, dass sie gerade sind A Und B per-re-se-ka-yut-sya irgendwann M(Abb. 6).

Lassen Sie uns auf diese Weise mit ak-si-o-mine darüber sprechen: durch einen Punkt M zwei Geraden verlaufen gleichzeitig parallel zu einer dritten Geraden.

Zweitens ist unsere Annahme falsch. Dann .

Sätze über die Eigenschaften paralleler Geraden

Theorie 1:

Wenn sich zwei Geraden schneiden, sind die Winkel am Kreuz gleich(Abb. 7).

Gegeben:.

Beweisen:.

Nachweisen:

Lassen Sie uns von der anderen Seite darüber sprechen. Stellen wir uns vor: .

Dann vom Balken MN Es ist möglich, einen einzelnen Winkel einzustellen ∠ PMN, was gleich sein wird ∠ 2 ( Reis. 7). Aber dann ∠ PMN Und ∠ 2 - quer und gleich liegend. Dann direkt P.M. Und B- par-ral-lel-ny. Dann durch den Punkt M zwei gerade Linien verlaufen, parallele dritte. Nämlich:

Lass uns mit ak-si-o-moy plaudern. Das bedeutet, dass unsere Annahme falsch ist. Also: .

Folge:

Wenn eine gerade Linie per-pen-di-ku-lyar-on einer der parallelen geraden Linien ist, dann ist sie per-pen-di-ku-lyar-on und die zweite.

Gegeben:

Beweisen:

Nachweisen:

1. Mit per-re-se-ka-et A, was bedeutet, und re-se-ka-et die direkte Linie parallel dazu, das heißt B. Dann Mit- se-ku-shchaya von-no-she-niyu bis A Und B.

2. solange sie liegend am Kreuz erscheinen. Dann . Also .

Theo-re-ma 2:

Wenn sich zwei parallele Geraden schneiden, sind die entsprechenden Winkel gleich.

Gegeben:- s-ku-shaya.

Beweisen:(Abb. 9).

Nachweisen:

Wenn , dann folgt aus dem vorherigen Satz, dass die Winkel am Kreuz gleich sind. Also .

In diesem Artikel geht es um parallele Linien und parallele Linien. Zunächst wird die Definition paralleler Linien in einer Ebene und im Raum gegeben, Notationen werden eingeführt, Beispiele und grafische Darstellungen paralleler Linien werden gegeben. Als nächstes werden die Vorzeichen und Bedingungen für die Parallelität von Linien besprochen. Abschließend werden Lösungen für typische Probleme des Nachweises der Parallelität von Geraden aufgezeigt, die durch bestimmte Gleichungen einer Geraden in einem rechtwinkligen Koordinatensystem in einer Ebene und im dreidimensionalen Raum gegeben sind.

Seitennavigation.

Parallele Linien – grundlegende Informationen.

Definition.

Es werden zwei Geraden in einer Ebene aufgerufen parallel, wenn sie keine Gemeinsamkeiten haben.

Definition.

Zwei Linien im dreidimensionalen Raum werden aufgerufen parallel, wenn sie in derselben Ebene liegen und keine gemeinsamen Punkte haben.

Bitte beachten Sie, dass die Klausel „wenn sie in derselben Ebene liegen“ in der Definition paralleler Linien im Raum sehr wichtig ist. Lassen Sie uns diesen Punkt klarstellen: Zwei Linien im dreidimensionalen Raum, die keine gemeinsamen Punkte haben und nicht in derselben Ebene liegen, sind nicht parallel, sondern schneiden sich.

Hier sind einige Beispiele für parallele Linien. Die gegenüberliegenden Kanten des Notizbuchblattes liegen auf parallelen Linien. Die Geraden, entlang derer die Ebene der Hauswand die Ebenen der Decke und des Bodens schneidet, sind parallel. Auch Eisenbahnschienen auf ebenem Gelände können als parallele Strecken betrachtet werden.

Um parallele Linien zu kennzeichnen, verwenden Sie das Symbol „“. Das heißt, wenn die Linien a und b parallel sind, können wir kurz a b schreiben.

Bitte beachten Sie: Wenn die Linien a und b parallel sind, können wir sagen, dass Linie a parallel zu Linie b ist, und auch, dass Linie b parallel zu Linie a ist.

Lassen Sie uns eine Aussage äußern, die bei der Untersuchung paralleler Linien auf einer Ebene eine wichtige Rolle spielt: Durch einen Punkt, der nicht auf einer bestimmten Linie liegt, verläuft die einzige gerade Linie, die parallel zu dieser ist. Diese Aussage wird als Tatsache akzeptiert (sie kann nicht auf der Grundlage der bekannten Axiome der Planimetrie bewiesen werden) und wird als Axiom paralleler Linien bezeichnet.

Für den Fall im Raum gilt der Satz: Durch jeden Punkt im Raum, der nicht auf einer gegebenen Geraden liegt, verläuft eine einzige Gerade parallel zu dieser. Dieser Satz lässt sich leicht mit dem obigen Axiom der parallelen Linien beweisen (seinen Beweis finden Sie im Geometrie-Lehrbuch für die Klassen 10-11, das am Ende des Artikels im Literaturverzeichnis aufgeführt ist).

Für den Fall im Raum gilt der Satz: Durch jeden Punkt im Raum, der nicht auf einer gegebenen Geraden liegt, verläuft eine einzige Gerade parallel zu dieser. Dieser Satz kann leicht mit dem obigen Axiom der parallelen Linien bewiesen werden.

Parallelität von Linien – Zeichen und Bedingungen der Parallelität.

Ein Zeichen der Parallelität der Linien ist eine hinreichende Bedingung für die Parallelität der Geraden, also eine Bedingung, deren Erfüllung die Parallelität der Geraden garantiert. Mit anderen Worten: Die Erfüllung dieser Bedingung reicht aus, um die Parallelität der Geraden festzustellen.

Es gibt auch notwendige und hinreichende Bedingungen für die Parallelität von Linien in einer Ebene und im dreidimensionalen Raum.

Lassen Sie uns die Bedeutung des Ausdrucks „notwendige und ausreichende Bedingung für parallele Linien“ erklären.

Mit der hinreichenden Bedingung für parallele Geraden haben wir uns bereits beschäftigt. Was ist eine „notwendige Bedingung für parallele Linien“? Aus der Bezeichnung „notwendig“ geht hervor, dass die Erfüllung dieser Bedingung für parallele Linien notwendig ist. Mit anderen Worten: Wenn die notwendige Bedingung für die Parallelität der Linien nicht erfüllt ist, sind die Linien nicht parallel. Auf diese Weise, notwendige und hinreichende Bedingung für parallele Linien ist eine Bedingung, deren Erfüllung für parallele Linien sowohl notwendig als auch ausreichend ist. Das heißt, dies ist einerseits ein Zeichen der Parallelität von Linien und andererseits eine Eigenschaft paralleler Linien.

Bevor eine notwendige und hinreichende Bedingung für die Parallelität von Geraden formuliert wird, empfiehlt es sich, sich einige Hilfsdefinitionen ins Gedächtnis zu rufen.

Sekantenlinie ist eine Linie, die jede von zwei gegebenen, nicht zusammenfallenden Linien schneidet.

Wenn sich zwei Geraden mit einer Transversalen schneiden, entstehen acht unentwickelte Geraden. Bei der Formulierung der notwendigen und hinreichenden Bedingung für die Parallelität von Geraden wird die sogenannte querliegend, korrespondierend Und einseitige Winkel. Zeigen wir sie in der Zeichnung.

Satz.

Wenn zwei Geraden in einer Ebene durch eine Transversale geschnitten werden, dann ist es für ihre Parallelität notwendig und ausreichend, dass die Schnittwinkel gleich sind oder die entsprechenden Winkel gleich sind oder die Summe der einseitigen Winkel gleich 180 ist Grad.

Lassen Sie uns diese notwendige und hinreichende Bedingung für die Parallelität von Linien in einer Ebene anschaulich veranschaulichen.

Beweise für diese Bedingungen für die Parallelität von Linien finden Sie in Geometrielehrbüchern für die Klassen 7-9.

Beachten Sie, dass diese Bedingungen auch im dreidimensionalen Raum anwendbar sind – Hauptsache, die beiden Geraden und die Sekante liegen in derselben Ebene.

Hier sind einige weitere Sätze, die häufig zum Beweis der Parallelität von Geraden verwendet werden.

Satz.

Wenn zwei Geraden in einer Ebene parallel zu einer dritten Geraden sind, dann sind sie parallel. Der Beweis dieses Kriteriums folgt aus dem Axiom der parallelen Geraden.

Eine ähnliche Bedingung gilt für parallele Linien im dreidimensionalen Raum.

Satz.

Wenn zwei Linien im Raum parallel zu einer dritten Linie sind, dann sind sie parallel. Der Nachweis dieses Kriteriums wird im Geometrieunterricht der 10. Klasse besprochen.

Lassen Sie uns die genannten Theoreme veranschaulichen.

Stellen wir einen weiteren Satz vor, der es uns ermöglicht, die Parallelität von Geraden in einer Ebene zu beweisen.

Satz.

Stehen zwei Geraden in einer Ebene senkrecht zu einer dritten Geraden, dann sind sie parallel.

Für Linien im Raum gibt es einen ähnlichen Satz.

Satz.

Stehen zwei Geraden im dreidimensionalen Raum senkrecht auf derselben Ebene, dann sind sie parallel.

Zeichnen wir Bilder, die diesen Sätzen entsprechen.

Alle oben formulierten Theoreme, Kriterien sowie notwendigen und hinreichenden Bedingungen eignen sich hervorragend zum Nachweis der Parallelität von Geraden mit den Methoden der Geometrie. Das heißt, um die Parallelität zweier gegebener Geraden zu beweisen, müssen Sie zeigen, dass sie parallel zu einer dritten Geraden sind, oder die Gleichheit kreuzweise liegender Winkel usw. zeigen. Viele ähnliche Probleme werden im Geometrieunterricht in der Oberstufe gelöst. Es ist jedoch zu beachten, dass es in vielen Fällen praktisch ist, die Koordinatenmethode zum Nachweis der Parallelität von Linien in einer Ebene oder im dreidimensionalen Raum zu verwenden. Formulieren wir die notwendigen und ausreichenden Bedingungen für die Parallelität von Geraden, die in einem rechtwinkligen Koordinatensystem angegeben sind.

Parallelität von Linien in einem rechtwinkligen Koordinatensystem.

In diesem Absatz des Artikels werden wir formulieren notwendige und ausreichende Bedingungen für parallele Linien in einem rechtwinkligen Koordinatensystem, abhängig von der Art der Gleichungen, die diese Linien definieren, und wir werden auch detaillierte Lösungen für charakteristische Probleme bereitstellen.

Beginnen wir mit der Bedingung der Parallelität zweier Geraden in einer Ebene im rechtwinkligen Koordinatensystem Oxy. Sein Beweis basiert auf der Definition des Richtungsvektors einer Geraden und der Definition des Normalenvektors einer Geraden auf einer Ebene.

Satz.

Damit zwei nicht zusammenfallende Linien in einer Ebene parallel sind, ist es notwendig und ausreichend, dass die Richtungsvektoren dieser Linien kollinear sind oder die Normalenvektoren dieser Linien kollinear sind oder der Richtungsvektor einer Linie senkrecht zur Normalen steht Vektor der zweiten Zeile.

Offensichtlich reduziert sich die Bedingung der Parallelität zweier Geraden auf einer Ebene auf (Richtungsvektoren von Geraden oder Normalenvektoren von Geraden) oder auf (Richtungsvektor einer Geraden und Normalenvektor der zweiten Geraden). Wenn also und Richtungsvektoren der Linien a und b sind, und Und sind Normalenvektoren der Geraden a bzw. b, dann wird die notwendige und hinreichende Bedingung für die Parallelität der Geraden a und b wie folgt geschrieben , oder , oder , wobei t eine reelle Zahl ist. Die Koordinaten der Hilfslinien und (oder) Normalenvektoren der Linien a und b werden wiederum unter Verwendung der bekannten Liniengleichungen ermittelt.

Insbesondere wenn die Gerade a im rechtwinkligen Koordinatensystem Oxy auf der Ebene eine allgemeine Geradengleichung der Form definiert , und Gerade b - , dann haben die Normalenvektoren dieser Linien die Koordinaten bzw. und die Bedingung für die Parallelität der Linien a und b wird geschrieben als .

Wenn Linie a der Gleichung einer Linie mit einem Winkelkoeffizienten der Form entspricht und Linie b - , dann haben die Normalenvektoren dieser Linien Koordinaten und und die Bedingung für die Parallelität dieser Linien nimmt die Form an . Wenn also Linien auf einer Ebene in einem rechtwinkligen Koordinatensystem parallel sind und durch Liniengleichungen mit Winkelkoeffizienten angegeben werden können, sind die Winkelkoeffizienten der Linien gleich. Und umgekehrt: Wenn nicht zusammenfallende Linien auf einer Ebene in einem rechtwinkligen Koordinatensystem durch Gleichungen einer Linie mit gleichen Winkelkoeffizienten angegeben werden können, dann sind solche Linien parallel.

Wenn eine Linie a und eine Linie b in einem rechtwinkligen Koordinatensystem durch die kanonischen Gleichungen einer Linie auf einer Ebene der Form bestimmt werden Und oder parametrische Gleichungen einer geraden Linie auf einer Ebene der Form Und dementsprechend haben die Richtungsvektoren dieser Linien die Koordinaten und und die Bedingung für die Parallelität der Linien a und b wird als geschrieben.

Schauen wir uns Lösungen für mehrere Beispiele an.

Beispiel.

Sind die Linien parallel? Und ?

Lösung.

Schreiben wir die Geradengleichung in Segmenten in Form einer allgemeinen Geradengleichung um: . Jetzt können wir sehen, dass dies der Normalenvektor der Linie ist , a ist der Normalenvektor der Geraden. Diese Vektoren sind nicht kollinear, da es keine reelle Zahl t gibt, für die die Gleichheit ( ). Folglich ist die notwendige und ausreichende Bedingung für die Parallelität von Linien in einer Ebene nicht erfüllt, daher sind die gegebenen Linien nicht parallel.

Antwort:

Nein, die Linien sind nicht parallel.

Beispiel.

Sind Geraden und Parallelen?

Lösung.

Reduzieren wir die kanonische Gleichung einer Geraden auf die Gleichung einer Geraden mit einem Winkelkoeffizienten: . Offensichtlich sind die Gleichungen der Linien und nicht gleich (in diesem Fall wären die gegebenen Linien gleich) und die Winkelkoeffizienten der Linien sind gleich, daher sind die ursprünglichen Linien parallel.

Typ