So finden Sie den zusätzlichen Faktor eines Bruchs. Brüche auf einen gemeinsamen Nenner reduzieren (Moskalenko M.V.). Gemeinsamer Nenner, Definition, Beispiele

In diesem Material schauen wir uns an, wie man Brüche richtig in einen neuen Nenner umwandelt, was ein zusätzlicher Faktor ist und wie man ihn findet. Anschließend formulieren wir die Grundregel zur Reduktion von Brüchen auf neue Nenner und veranschaulichen sie anhand von Beispielproblemen.

Das Konzept, einen Bruch auf einen anderen Nenner zu reduzieren

Erinnern wir uns an die Grundeigenschaft eines Bruchs. Ihm zufolge hat ein gewöhnlicher Bruch a b (wobei a und b beliebige Zahlen sind) unendlich viele Brüche, die ihm gleich sind. Solche Brüche erhält man durch Multiplikation von Zähler und Nenner mit derselben Zahl m (natürliche Zahl). Mit anderen Worten: Alle gewöhnlichen Brüche können durch andere der Form a · m b · m ersetzt werden. Dabei handelt es sich um die Reduktion des ursprünglichen Wertes auf einen Bruch mit dem gewünschten Nenner.

Sie können einen Bruch auf einen anderen Nenner reduzieren, indem Sie Zähler und Nenner mit einer beliebigen natürlichen Zahl multiplizieren. Die Hauptbedingung ist, dass der Multiplikator für beide Teile des Bruchs gleich sein muss. Das Ergebnis ist ein Bruch, der dem Original entspricht.

Lassen Sie uns dies anhand eines Beispiels veranschaulichen.

Beispiel 1

Wandeln Sie den Bruch 11 25 in den neuen Nenner um.

Lösung

Nehmen wir eine beliebige natürliche Zahl 4 und multiplizieren beide Seiten des ursprünglichen Bruchs damit. Wir zählen: 11 · 4 = 44 und 25 · 4 = 100. Das Ergebnis ist ein Bruchteil von 44.100.

Alle Berechnungen können in dieser Form geschrieben werden: 11 25 = 11 4 25 4 = 44 100

Es stellt sich heraus, dass jeder Bruch auf eine große Anzahl unterschiedlicher Nenner reduziert werden kann. Anstelle von vier könnten wir eine andere natürliche Zahl nehmen und einen weiteren Bruch erhalten, der dem ursprünglichen entspricht.

Aber nicht jede Zahl kann zum Nenner eines neuen Bruchs werden. Für a b kann der Nenner also nur Zahlen b m enthalten, die Vielfache von b sind. Wiederholen Sie die Grundkonzepte der Division – Vielfache und Divisoren. Wenn die Zahl kein Vielfaches von b ist, kann sie aber kein Teiler des neuen Bruchs sein. Lassen Sie uns unsere Idee anhand eines Beispiels zur Lösung eines Problems veranschaulichen.

Beispiel 2

Berechnen Sie, ob es möglich ist, den Bruch 5 9 auf die Nenner 54 und 21 zu reduzieren.

Lösung

54 ist ein Vielfaches von neun, das im Nenner des neuen Bruchs steht (d. h. 54 kann durch 9 geteilt werden). Dies bedeutet, dass eine solche Reduzierung möglich ist. Aber wir können 21 nicht durch 9 dividieren, daher kann diese Aktion für diesen Bruch nicht durchgeführt werden.

Das Konzept eines zusätzlichen Multiplikators

Lassen Sie uns formulieren, was ein zusätzlicher Faktor ist.

Definition 1

Zusätzlicher Multiplikator ist eine natürliche Zahl, mit der beide Seiten eines Bruchs multipliziert werden, um ihn auf einen neuen Nenner zu bringen.

Diese. Wenn wir dies mit einem Bruch machen, nehmen wir dafür einen zusätzlichen Faktor. Um beispielsweise den Bruch 7 · 10 auf die Form 21 · 30 zu reduzieren, benötigen wir einen zusätzlichen Faktor von 3. Und mit dem Multiplikator 5 können Sie aus 3 8 den Bruch 15 40 erhalten.

Wenn wir also den Nenner kennen, auf den ein Bruch reduziert werden muss, können wir einen zusätzlichen Faktor dafür berechnen. Lassen Sie uns herausfinden, wie das geht.

Wir haben einen Bruch a b, der auf einen bestimmten Nenner c reduziert werden kann; Berechnen wir den zusätzlichen Faktor m. Wir müssen den Nenner des ursprünglichen Bruchs mit m multiplizieren. Wir erhalten b · m, und gemäß den Bedingungen des Problems ist b · m = c. Erinnern wir uns daran, wie Multiplikation und Division miteinander zusammenhängen. Dieser Zusammenhang führt uns zu folgendem Schluss: Der zusätzliche Faktor ist nichts anderes als der Quotient aus c durch b, also m = c: b.

Um den zusätzlichen Faktor zu finden, müssen wir daher den erforderlichen Nenner durch den ursprünglichen dividieren.

Beispiel 3

Finden Sie den zusätzlichen Faktor, mit dem der Bruch 17 4 auf den Nenner 124 reduziert wurde.

Lösung

Mit der obigen Regel dividieren wir einfach 124 durch den Nenner des ursprünglichen Bruchs, also vier.

Wir zählen: 124: 4 = 31.

Diese Art der Berechnung ist häufig erforderlich, wenn Brüche in einen gemeinsamen Nenner umgewandelt werden.

Die Regel zum Reduzieren von Brüchen auf den angegebenen Nenner

Kommen wir nun zur Definition der Grundregel, mit der Sie Brüche auf den angegebenen Nenner reduzieren können. Also,

Definition 2

Um einen Bruch auf den angegebenen Nenner zu reduzieren, benötigen Sie:

1. einen zusätzlichen Faktor bestimmen;
2. Multiplizieren Sie sowohl den Zähler als auch den Nenner des ursprünglichen Bruchs damit.

Wie wendet man diese Regel in der Praxis an? Lassen Sie uns ein Beispiel für die Lösung des Problems geben.

Beispiel 4

Reduziere den Bruch 7 16 auf den Nenner 336.

Lösung

Beginnen wir mit der Berechnung des zusätzlichen Multiplikators. Teilen: 336: 16 = 21.

Wir multiplizieren die resultierende Antwort mit beiden Teilen des ursprünglichen Bruchs: 7 16 = 7 · 21 16 · 21 = 147 336. Also haben wir den ursprünglichen Bruch auf den gewünschten Nenner 336 gebracht.

Antwort: 7 16 = 147 336.

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Beim Addieren und Subtrahieren von algebraischen Brüchen mit unterschiedlichen Nennern führen die Brüche zunächst zu gemeinsamer Nenner. Das bedeutet, dass sie einen Nenner finden, der durch den ursprünglichen Nenner jedes im gegebenen Ausdruck enthaltenen algebraischen Bruchs dividiert wird.

Wie Sie wissen, ändert sich der Wert des Bruchs nicht, wenn Zähler und Nenner eines Bruchs mit derselben Zahl ungleich Null multipliziert (oder dividiert) werden. Dies ist die Haupteigenschaft eines Bruchs. Wenn Brüche auf einen gemeinsamen Nenner reduziert werden, multiplizieren sie daher im Wesentlichen den ursprünglichen Nenner jedes Bruchs mit dem fehlenden Faktor, um einen gemeinsamen Nenner zu erhalten. In diesem Fall müssen Sie den Zähler des Bruchs mit diesem Faktor multiplizieren (er ist für jeden Bruch unterschiedlich).

Nehmen wir zum Beispiel die folgende Summe algebraischer Brüche:

Es ist erforderlich, den Ausdruck zu vereinfachen, d. h. zwei algebraische Brüche hinzuzufügen. Dazu müssen Sie zunächst die Bruchglieder auf einen gemeinsamen Nenner bringen. Der erste Schritt besteht darin, ein Monom zu finden, das sowohl durch 3x als auch durch 2y teilbar ist. In diesem Fall ist es wünschenswert, dass es das kleinste ist, das heißt, das kleinste gemeinsame Vielfache (LCM) für 3x und 2y zu finden.

Für numerische Koeffizienten und Variablen wird das LCM separat durchsucht. LCM(3, 2) = 6 und LCM(x, y) = xy. Als nächstes werden die gefundenen Werte multipliziert: 6xy.

Jetzt müssen wir bestimmen, mit welchem ​​Faktor wir 3x multiplizieren müssen, um 6xy zu erhalten:
6xy ÷ 3x = 2y

Das bedeutet, dass bei der Reduktion des ersten algebraischen Bruchs auf einen gemeinsamen Nenner sein Zähler mit 2y multipliziert werden muss (der Nenner wurde bereits bei der Reduktion auf einen gemeinsamen Nenner multipliziert). Der Multiplikator für den Zähler des zweiten Bruchs wird auf die gleiche Weise gesucht. Es wird gleich 3x sein.

Somit erhalten wir:

Dann können Sie wie bei Brüchen mit identischem Nenner vorgehen: Addieren Sie die Zähler und schreiben Sie einen gemeinsamen Nenner:

Nach den Transformationen erhält man einen vereinfachten Ausdruck, der ein algebraischer Bruch ist, der die Summe der beiden ursprünglichen ist:

Algebraische Brüche im ursprünglichen Ausdruck können Nenner enthalten, die Polynome und nicht Monome sind (wie im obigen Beispiel). In diesem Fall sollten Sie vor der Suche nach einem gemeinsamen Nenner (wenn möglich) die Nenner faktorisieren. Als nächstes wird der gemeinsame Nenner aus verschiedenen Faktoren ermittelt. Wenn der Multiplikator mehrere ursprüngliche Nenner hat, wird er einmal genommen. Wenn der Multiplikator im ursprünglichen Nenner unterschiedliche Potenzen hat, wird er mit dem größeren genommen. Zum Beispiel:

Hier kann das Polynom a 2 – b 2 als Produkt (a – b)(a + b) dargestellt werden. Der Faktor 2a – 2b wird zu 2(a – b) erweitert. Somit ist der gemeinsame Nenner 2(a – b)(a + b).

Um Brüche auf den kleinsten gemeinsamen Nenner zu reduzieren, müssen Sie: 1) das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner der gegebenen Brüche finden, es wird der kleinste gemeinsame Nenner sein. 2) Finden Sie einen zusätzlichen Faktor für jeden Bruch, indem Sie den neuen Nenner durch den Nenner jedes Bruchs dividieren. 3) Multiplizieren Sie den Zähler und Nenner jedes Bruchs mit seinem zusätzlichen Faktor.

Beispiele. Reduzieren Sie die folgenden Brüche auf ihren kleinsten gemeinsamen Nenner.

Wir finden das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner: LCM(5; 4) = 20, da 20 die kleinste Zahl ist, die sowohl durch 5 als auch durch 4 teilbar ist. Finden Sie für den 1. Bruch einen zusätzlichen Faktor 4 (20). : 5=4). Für den 2. Bruch beträgt der zusätzliche Faktor 5 (20). : 4=5). Wir multiplizieren Zähler und Nenner des 1. Bruchs mit 4 und Zähler und Nenner des 2. Bruchs mit 5. Wir haben diese Brüche auf den kleinsten gemeinsamen Nenner reduziert ( 20 ).

Der kleinste gemeinsame Nenner dieser Brüche ist die Zahl 8, da 8 durch 4 und sich selbst teilbar ist. Für den 1. Bruch wird es keinen zusätzlichen Faktor geben (oder wir können sagen, dass er gleich eins ist), für den 2. Bruch beträgt der zusätzliche Faktor 2 (8 : 4=2). Wir multiplizieren Zähler und Nenner des 2. Bruchs mit 2. Wir haben diese Brüche auf den kleinsten gemeinsamen Nenner reduziert ( 8 ).

Diese Brüche sind nicht irreduzibel.

Reduzieren wir den 1. Bruch um 4 und den 2. Bruch um 2. ( siehe Beispiele zum Reduzieren gewöhnlicher Brüche: Sitemap → 5.4.2. Beispiele für die Reduzierung gemeinsamer Brüche). Finden Sie den LOC(16 ; 20)=2 4 · 5=16· 5=80. Der zusätzliche Multiplikator für den 1. Bruch beträgt 5 (80 : 16=5). Der Zusatzfaktor für den 2. Bruch beträgt 4 (80). : 20=4). Wir multiplizieren Zähler und Nenner des 1. Bruchs mit 5 und Zähler und Nenner des 2. Bruchs mit 4. Wir haben diese Brüche auf den kleinsten gemeinsamen Nenner reduziert ( 80 ).

Wir finden den kleinsten gemeinsamen Nenner NCD(5 ; 6 und 15)=NOK(5 ; 6 und 15)=30. Der Zusatzfaktor zum 1. Bruch beträgt 6 (30). : 5=6), der zusätzliche Faktor zum 2. Bruch beträgt 5 (30 : 6=5), der zusätzliche Faktor zum 3. Bruch beträgt 2 (30 : 15=2). Wir multiplizieren Zähler und Nenner des 1. Bruchs mit 6, Zähler und Nenner des 2. Bruchs mit 5, Zähler und Nenner des 3. Bruchs mit 2. Wir haben diese Brüche auf den kleinsten gemeinsamen Nenner reduziert ( 30 ).

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Ursprünglich wollte ich Techniken des gemeinsamen Nenners in den Abschnitt „Brüche addieren und subtrahieren“ einbeziehen. Es stellte sich jedoch heraus, dass es so viele Informationen gab und ihre Bedeutung so groß war (schließlich haben nicht nur numerische Brüche einen gemeinsamen Nenner), dass es besser ist, dieses Thema separat zu untersuchen.

Nehmen wir also an, wir haben zwei Brüche mit unterschiedlichen Nennern. Und wir wollen sicherstellen, dass die Nenner gleich werden. Zur Rettung kommt die Grundeigenschaft eines Bruchs, die, ich möchte Sie daran erinnern, so klingt:

Ein Bruch ändert sich nicht, wenn sein Zähler und Nenner mit derselben Zahl außer Null multipliziert werden.

Wenn Sie also die Faktoren richtig wählen, werden die Nenner der Brüche gleich – diesen Vorgang nennt man Reduktion auf einen gemeinsamen Nenner. Und die erforderlichen Zahlen, die die Nenner „ausgleichen“, werden als zusätzliche Faktoren bezeichnet.

Warum müssen wir Brüche auf einen gemeinsamen Nenner reduzieren? Hier nur einige Gründe:

1. Brüche mit unterschiedlichen Nennern addieren und subtrahieren. Es gibt keine andere Möglichkeit, diesen Vorgang durchzuführen.
2. Brüche vergleichen. Manchmal vereinfacht die Reduktion auf einen gemeinsamen Nenner diese Aufgabe erheblich;
3. Lösen von Problemen mit Brüchen und Prozentsätzen. Prozentsätze sind im Wesentlichen gewöhnliche Ausdrücke, die Brüche enthalten.

Es gibt viele Möglichkeiten, Zahlen zu finden, die, wenn man sie mit ihnen multipliziert, die Nenner von Brüchen gleich machen. Wir werden nur drei davon betrachten – in der Reihenfolge zunehmender Komplexität und gewissermaßen auch Wirksamkeit.

Kreuzmultiplikation

Die einfachste und zuverlässigste Methode, die garantiert die Nenner ausgleicht. Wir werden „überstürzt“ vorgehen: Wir multiplizieren den ersten Bruch mit dem Nenner des zweiten Bruchs und den zweiten mit dem Nenner des ersten. Dadurch werden die Nenner beider Brüche gleich dem Produkt der ursprünglichen Nenner. Schau mal:

Betrachten Sie als zusätzliche Faktoren die Nenner benachbarter Brüche. Wir bekommen:

Ja, so einfach ist das. Wenn Sie gerade erst anfangen, Brüche zu lernen, ist es besser, mit dieser Methode zu arbeiten – so versichern Sie sich vor vielen Fehlern und erhalten garantiert das Ergebnis.

Der einzige Nachteil dieser Methode besteht darin, dass viel gezählt werden muss, da die Nenner „vollständig“ multipliziert werden und das Ergebnis sehr große Zahlen sein kann. Das ist der Preis für Zuverlässigkeit.

Gemeinsame Teilermethode

Diese Technik trägt dazu bei, die Berechnungen erheblich zu reduzieren, wird aber leider recht selten eingesetzt. Die Methode ist wie folgt:

1. Bevor Sie geradeaus (also mit der Kreuzmethode) vorgehen, werfen Sie einen Blick auf die Nenner. Vielleicht ist einer von ihnen (der größere) in den anderen geteilt.
2. Die aus dieser Division resultierende Zahl ist ein zusätzlicher Faktor für den Bruch mit kleinerem Nenner.
3. In diesem Fall muss ein Bruch mit großem Nenner überhaupt nicht mit irgendetwas multipliziert werden – hier liegt die Ersparnis. Gleichzeitig wird die Fehlerwahrscheinlichkeit deutlich reduziert.

Aufgabe. Finden Sie die Bedeutung der Ausdrücke:

Beachten Sie, dass 84: 21 = 4; 72: 12 = 6. Da in beiden Fällen ein Nenner ohne Rest durch den anderen geteilt wird, verwenden wir die Methode der gemeinsamen Faktoren. Wir haben:

Beachten Sie, dass der zweite Bruch überhaupt nicht mit irgendetwas multipliziert wurde. Tatsächlich haben wir den Rechenaufwand halbiert!

Die Brüche in diesem Beispiel habe ich übrigens nicht zufällig genommen. Wenn Sie interessiert sind, versuchen Sie, sie mit der Kreuzmethode zu zählen. Nach der Reduzierung werden die Antworten dieselben sein, aber es wird viel mehr Arbeit geben.

Dies ist die Stärke der Methode mit gemeinsamen Teilern, aber auch hier kann sie nur verwendet werden, wenn einer der Nenner ohne Rest durch den anderen teilbar ist. Was recht selten vorkommt.

Methode des kleinsten gemeinsamen Vielfachen

Wenn wir Brüche auf einen gemeinsamen Nenner reduzieren, versuchen wir im Wesentlichen, eine Zahl zu finden, die durch jeden der Nenner teilbar ist. Dann bringen wir die Nenner beider Brüche auf diese Zahl.

Es gibt viele solcher Zahlen, und die kleinste von ihnen wird nicht unbedingt gleich dem direkten Produkt der Nenner der ursprünglichen Brüche sein, wie es bei der „Kreuz“-Methode angenommen wird.

Für die Nenner 8 und 12 ist beispielsweise die Zahl 24 durchaus geeignet, da 24: 8 = 3; 24: 12 = 2. Diese Zahl ist viel kleiner als das Produkt 8 · 12 = 96.

Die kleinste Zahl, die durch jeden Nenner teilbar ist, wird als kleinstes gemeinsames Vielfaches (LCM) bezeichnet.

Notation: Das kleinste gemeinsame Vielfache von a und b wird mit LCM(a ; b) bezeichnet. Zum Beispiel: LCM(16, 24) = 48 ; LCM(8; 12) = 24 .

Wenn es Ihnen gelingt, eine solche Zahl zu finden, ist der Gesamtaufwand an Berechnungen minimal. Schau dir die Beispiele an:

Aufgabe. Finden Sie die Bedeutung der Ausdrücke:

Beachten Sie, dass 234 = 117 2; 351 = 117 3. Die Faktoren 2 und 3 sind teilerfremd (haben außer 1 keine gemeinsamen Faktoren), und Faktor 117 ist gemeinsam. Daher ist LCM(234, 351) = 117 2 3 = 702.

Ebenso 15 = 5 3; 20 = 5 · 4. Die Faktoren 3 und 4 sind teilerfremd und Faktor 5 ist gemeinsam. Daher ist LCM(15, 20) = 5 3 4 = 60.

Nun bringen wir die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner:

Beachten Sie, wie nützlich es war, die ursprünglichen Nenner zu faktorisieren:

1. Nachdem wir identische Faktoren entdeckt hatten, kamen wir sofort zum kleinsten gemeinsamen Vielfachen, was im Allgemeinen ein nicht triviales Problem ist;
2. Aus der resultierenden Erweiterung können Sie herausfinden, welche Faktoren in jedem Bruch „fehlen“. Zum Beispiel 234 · 3 = 702, daher beträgt der zusätzliche Faktor für den ersten Bruch 3.

Um zu verstehen, welchen Unterschied die Methode des kleinsten gemeinsamen Vielfachen macht, versuchen Sie, dieselben Beispiele mit der Kreuzmethode zu berechnen. Natürlich ohne Taschenrechner. Ich denke, danach werden Kommentare unnötig sein.

Denken Sie nicht, dass es in den realen Beispielen nicht so komplexe Brüche geben wird. Sie treffen sich ständig und die oben genannten Aufgaben sind nicht die Grenze!

Das einzige Problem besteht darin, genau dieses NOC zu finden. Manchmal ist alles in wenigen Sekunden buchstäblich „mit dem Auge“ gefunden, aber im Allgemeinen handelt es sich um eine komplexe Rechenaufgabe, die einer gesonderten Betrachtung bedarf. Wir werden hier nicht darauf eingehen.