So finden Sie eine endliche arithmetische Folge. Arithmetische Folge. Mathematische Zahlenfolge

Summe einer arithmetischen Folge.

Die Summe einer arithmetischen Folge ist eine einfache Sache. Sowohl in der Bedeutung als auch in der Formel. Aber zu diesem Thema gibt es allerhand Aufgaben. Von einfach bis ziemlich solide.

Lassen Sie uns zunächst die Bedeutung und Formel des Betrags verstehen. Und dann werden wir entscheiden. Zu Ihrem eigenen Vergnügen.) Die Bedeutung des Betrags ist so einfach wie ein Muhen. Um die Summe einer arithmetischen Folge zu ermitteln, müssen Sie lediglich alle Terme sorgfältig addieren. Wenn es nur wenige Begriffe gibt, können Sie diese ohne Formeln hinzufügen. Aber wenn es viel ist, oder viel... das Hinzufügen ist ärgerlich.) In diesem Fall hilft die Formel.

Die Formel für den Betrag ist einfach:

Lassen Sie uns herausfinden, welche Buchstaben in der Formel enthalten sind. Das wird einiges klären.

S n - die Summe einer arithmetischen Folge. Additionsergebnis alle Mitglieder, mit Erste Von zuletzt. Es ist wichtig. Sie summieren sich genau Alle Mitglieder in einer Reihe, ohne zu überspringen oder zu überspringen. Und genau ab Erste. Bei Problemen wie der Ermittlung der Summe des dritten und achten Termes oder der Summe des fünften bis zwanzigsten Termes wird die direkte Anwendung der Formel enttäuschen.)

eine 1 - Erste Mitglied der Progression. Hier ist alles klar, es ist einfach Erste Zeilennummer.

ein- zuletzt Mitglied der Progression. Die letzte Nummer der Serie. Kein sehr bekannter Name, aber wenn man ihn auf die Menge anwendet, ist er sehr passend. Dann werden Sie es selbst sehen.

N - Nummer des letzten Mitglieds. Es ist wichtig zu verstehen, dass diese Zahl in der Formel enthalten ist stimmt mit der Anzahl der hinzugefügten Begriffe überein.

Lassen Sie uns das Konzept definieren zuletzt Mitglied ein. Knifflige Frage: Welches Mitglied wird es tun? der Letzte wenn gegeben endlos arithmetische Folge?)

Um sicher antworten zu können, müssen Sie die elementare Bedeutung der arithmetischen Folge verstehen und ... die Aufgabe sorgfältig lesen!)

Bei der Aufgabe, die Summe einer arithmetischen Folge zu ermitteln, erscheint immer der letzte Term (direkt oder indirekt), was begrenzt werden sollte. Andernfalls ein endgültiger, konkreter Betrag existiert einfach nicht. Für die Lösung spielt es keine Rolle, ob die Progression gegeben ist: endlich oder unendlich. Es spielt keine Rolle, wie es angegeben wird: eine Reihe von Zahlen oder eine Formel für den n-ten Term.

Das Wichtigste ist zu verstehen, dass die Formel vom ersten Term der Progression bis zum Term mit Zahl funktioniert N. Tatsächlich sieht der vollständige Name der Formel so aus: die Summe der ersten n Terme einer arithmetischen Folge. Die Anzahl dieser allerersten Mitglieder, d.h. N, wird allein durch die Aufgabe bestimmt. In einer Aufgabe werden all diese wertvollen Informationen oft verschlüsselt, ja ... Aber egal, in den folgenden Beispielen enthüllen wir diese Geheimnisse.)

Beispiele für Aufgaben zur Summe einer arithmetischen Folge.

Zunächst einmal nützliche Informationen:

Die Hauptschwierigkeit bei Aufgaben, bei denen es um die Summe einer arithmetischen Folge geht, liegt in der korrekten Bestimmung der Elemente der Formel.

Die Aufgabenschreiber verschlüsseln genau diese Elemente mit grenzenloser Fantasie.) Hier kommt es vor allem darauf an, keine Angst zu haben. Um das Wesen der Elemente zu verstehen, genügt es, sie einfach zu entschlüsseln. Schauen wir uns einige Beispiele im Detail an. Beginnen wir mit einer Aufgabe, die auf einem echten GIA basiert.

1. Die arithmetische Folge ist durch die Bedingung gegeben: a n = 2n-3,5. Finden Sie die Summe der ersten 10 Terme.

Gute Arbeit. Ganz einfach.) Was müssen wir wissen, um die Menge mithilfe der Formel zu ermitteln? Erstes Mitglied eine 1, das letzte Semester ein, ja die Nummer des letzten Mitglieds N.

Wo erhalte ich die letzte Mitgliedsnummer? N? Ja, genau dort, unter der Bedingung! Es heißt: Finden Sie die Summe ersten 10 Mitglieder. Nun, mit welcher Nummer wird es sein? zuletzt, zehntes Mitglied?) Sie werden es nicht glauben, seine Nummer ist das zehnte!) Daher statt ein wir werden es in die Formel einsetzen eine 10, und stattdessen N- zehn. Ich wiederhole, die Nummer des letzten Mitglieds stimmt mit der Anzahl der Mitglieder überein.

Es bleibt abzuwarten eine 1 Und eine 10. Dies lässt sich leicht mit der Formel für den n-ten Term berechnen, die in der Problemstellung angegeben ist. Sie wissen nicht, wie das geht? Nehmen Sie an der vorherigen Lektion teil, ohne diese geht es nicht.

eine 1= 2 1 - 3,5 = -1,5

eine 10=2·10 - 3,5 =16,5

S n = S 10.

Wir haben die Bedeutung aller Elemente der Formel für die Summe einer arithmetischen Folge herausgefunden. Es bleibt nur noch, sie zu ersetzen und zu zählen:

Das ist es. Antwort: 75.

Eine weitere Aufgabe basierend auf dem GIA. Etwas komplizierter:

2. Gegeben sei eine arithmetische Folge (a n), deren Differenz 3,7 beträgt; a 1 =2,3. Finden Sie die Summe der ersten 15 Terme.

Wir schreiben sofort die Summenformel:

Mit dieser Formel können wir den Wert eines beliebigen Begriffs anhand seiner Zahl ermitteln. Wir suchen nach einer einfachen Substitution:

a 15 = 2,3 + (15-1) 3,7 = 54,1

Es bleibt noch, alle Elemente in die Formel für die Summe einer arithmetischen Folge einzusetzen und die Antwort zu berechnen:

Antwort: 423.

Übrigens, wenn in der Summenformel statt ein Wir ersetzen einfach den n-ten Term durch die Formel und erhalten:

Stellen wir ähnliche vor und erhalten eine neue Formel für die Summe der Terme einer arithmetischen Folge:

Wie Sie sehen, ist der n-te Term hier nicht erforderlich ein. Bei manchen Problemen ist diese Formel eine große Hilfe, ja... Sie können sich diese Formel merken. Oder Sie ziehen es einfach zum richtigen Zeitpunkt zurück, wie hier. Schließlich müssen Sie sich immer die Formel für die Summe und die Formel für den n-ten Term merken.)

Nun die Aufgabe in Form einer kurzen Verschlüsselung):

3. Ermitteln Sie die Summe aller positiven zweistelligen Zahlen, die ein Vielfaches von drei sind.

Wow! Weder Ihr erstes Mitglied, noch Ihr letztes, noch überhaupt ein Fortschritt ... Wie soll man leben!?

Sie müssen mit dem Kopf denken und alle Elemente der Summe der arithmetischen Folge aus der Bedingung herausziehen. Wir wissen, was zweistellige Zahlen sind. Sie bestehen aus zwei Zahlen.) Welche zweistellige Zahl wird sein? Erste? 10, vermutlich.) A letztes Ding zweistellige Zahl? 99, natürlich! Die Dreistelligen werden ihm folgen...

Vielfache von drei... Hm... Das sind hier Zahlen, die durch drei teilbar sind! Zehn ist nicht durch drei teilbar, 11 ist nicht teilbar... 12... ist teilbar! Es entsteht also etwas. Sie können bereits eine Reihe entsprechend den Bedingungen des Problems aufschreiben:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

Wird diese Serie eine arithmetische Folge sein? Sicherlich! Jeder Begriff unterscheidet sich vom vorherigen um genau drei Punkte. Wenn man beispielsweise zu einem Begriff 2 oder 4 addiert, erhält man das Ergebnis, d.h. die neue Zahl ist nicht mehr durch 3 teilbar. Den Unterschied der arithmetischen Folge können Sie sofort ermitteln: d = 3. Es wird sich als nützlich erweisen!)

Daher können wir einige Fortschrittsparameter sicher aufschreiben:

Wie hoch wird die Zahl sein? N letztes Mitglied? Wer denkt, dass 99 ist, irrt sich gewaltig... Die Zahlen stehen immer hintereinander, aber unsere Mitglieder springen über drei. Sie passen nicht zusammen.

Hier gibt es zwei Lösungen. Eine Möglichkeit ist für die Superfleißigen. Sie können den Verlauf und die gesamte Zahlenreihe aufschreiben und die Anzahl der Mitglieder mit Ihrem Finger zählen.) Der zweite Weg ist für Nachdenkliche. Sie müssen sich die Formel für den n-ten Term merken. Wenn wir die Formel auf unser Problem anwenden, stellen wir fest, dass 99 der dreißigste Term der Progression ist. Diese. n = 30.

Schauen wir uns die Formel für die Summe einer arithmetischen Folge an:

Wir schauen und freuen uns.) Wir haben der Problemstellung alles Notwendige entnommen, um den Betrag zu berechnen:

eine 1= 12.

ein 30= 99.

S n = S 30.

Übrig bleibt nur die Grundrechenart. Wir setzen die Zahlen in die Formel ein und berechnen:

Antwort: 1665

Eine andere Art beliebter Rätsel:

4. Gegeben sei eine arithmetische Folge:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

Finden Sie die Summe der Terme vom zwanzigsten bis zum vierunddreißigsten.

Wir schauen uns die Formel für den Betrag an und ... wir regen uns auf.) Ich möchte Sie daran erinnern, dass die Formel den Betrag berechnet vom ersten Mitglied. Und in der Aufgabe müssen Sie die Summe berechnen seit dem zwanzigsten... Die Formel wird nicht funktionieren.

Sie können natürlich die gesamte Progression in einer Reihe aufschreiben und Begriffe von 20 bis 34 hinzufügen. Aber... das ist irgendwie dumm und dauert lange, oder?)

Es gibt eine elegantere Lösung. Teilen wir unsere Serie in zwei Teile. Der erste Teil wird sein vom ersten Semester bis zum neunzehnten. Zweiter Teil - von zwanzig bis vierunddreißig. Das ist klar, wenn wir die Summe der Terme des ersten Teils berechnen S 1-19, addieren wir es mit der Summe der Terme des zweiten Teils S 20-34 erhalten wir die Summe der Progression vom ersten bis zum vierunddreißigsten Term S 1-34. So:

S 1-19 + S 20-34 = S 1-34

Daraus können wir ersehen, dass wir die Summe finden S 20-34 kann durch einfache Subtraktion erfolgen

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19

Es werden beide Beträge auf der rechten Seite berücksichtigt vom ersten Mitglied, d.h. Die Standardsummenformel ist auf sie durchaus anwendbar. Lass uns anfangen?

Wir extrahieren die Fortschrittsparameter aus der Problemstellung:

d = 1,5.

eine 1= -21,5.

Um die Summen der ersten 19 und ersten 34 Terme zu berechnen, benötigen wir den 19. und 34. Term. Wir berechnen sie mit der Formel für den n-ten Term, wie in Aufgabe 2:

ein 19= -21,5 +(19-1) 1,5 = 5,5

ein 34= -21,5 +(34-1) 1,5 = 28

Da ist nichts übrig. Subtrahieren Sie von der Summe von 34 Termen die Summe von 19 Termen:

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110,5 - (-152) = 262,5

Antwort: 262,5

Ein wichtiger Hinweis! Es gibt einen sehr nützlichen Trick, um dieses Problem zu lösen. Statt direkter Berechnung was Sie brauchen (S 20-34), wir haben gezählt etwas, das scheinbar nicht nötig ist – S 1-19. Und dann haben sie entschieden S 20-34, wobei das Unnötige aus dem Gesamtergebnis entfernt wird. Diese Art von „Finte mit den Ohren“ rettet einen oft vor schlimmen Problemen.)

In dieser Lektion haben wir uns mit Problemen befasst, bei denen es ausreicht, die Bedeutung der Summe einer arithmetischen Folge zu verstehen. Nun, Sie müssen ein paar Formeln kennen.)

Praktische Ratschläge:

Wenn Sie ein Problem lösen, bei dem es um die Summe einer arithmetischen Folge geht, empfehle ich, sofort die beiden Hauptformeln aus diesem Thema aufzuschreiben.

Formel für den n-ten Term:

Diese Formeln verraten Ihnen sofort, worauf Sie achten und in welche Richtung Sie denken müssen, um das Problem zu lösen. Hilft.

Und nun die Aufgaben zur eigenständigen Lösung.

5. Ermitteln Sie die Summe aller zweistelligen Zahlen, die nicht durch drei teilbar sind.

Cool?) Der Hinweis ist in der Notiz zu Problem 4 versteckt. Nun, Problem 3 wird helfen.

6. Die arithmetische Folge ist durch die Bedingung gegeben: a 1 = -5,5; a n+1 = a n +0,5. Finden Sie die Summe der ersten 24 Terme.

Ungewöhnlich?) Dies ist eine wiederkehrende Formel. Sie können darüber in der vorherigen Lektion lesen. Ignorieren Sie den Link nicht, solche Probleme gibt es häufig in der Staatlichen Akademie der Wissenschaften.

7. Vasya hat Geld für den Urlaub gespart. Bis zu 4550 Rubel! Und ich beschloss, meinem Lieblingsmenschen (mir selbst) ein paar glückliche Tage zu schenken. Lebe schön, ohne dir etwas zu verweigern. Geben Sie am ersten Tag 500 Rubel aus und an jedem weiteren Tag geben Sie 50 Rubel mehr aus als am vorherigen! Bis das Geld ausgeht. Wie viele glückliche Tage hatte Vasya?

Ist es schwierig?) Die Zusatzformel aus Aufgabe 2 hilft.

Antworten (in Unordnung): 7, 3240, 6.

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Übrigens habe ich noch ein paar weitere interessante Seiten für Sie.)

Sie können das Lösen von Beispielen üben und Ihr Niveau herausfinden. Testen mit sofortiger Verifizierung. Lasst uns lernen – mit Interesse!)

Sie können sich mit Funktionen und Ableitungen vertraut machen.

Arithmetische Folge eine Zahlenfolge benennen (Begriffe einer Folge)

Dabei unterscheidet sich jeder nachfolgende Begriff vom vorherigen durch einen neuen Begriff, der auch genannt wird Schritt- oder Fortschrittsunterschied.

Indem Sie also den Fortschrittsschritt und seinen ersten Term angeben, können Sie jedes seiner Elemente mithilfe der Formel finden

Eigenschaften einer arithmetischen Folge

1) Jedes Mitglied einer arithmetischen Folge, beginnend mit der zweiten Zahl, ist das arithmetische Mittel des vorherigen und nächsten Mitglieds der Folge

Das Gegenteil gilt auch. Wenn das arithmetische Mittel benachbarter ungerader (gerader) Glieder einer Folge gleich dem dazwischen stehenden Glied ist, dann ist diese Zahlenfolge eine arithmetische Folge. Mit dieser Anweisung ist es sehr einfach, jede beliebige Reihenfolge zu überprüfen.

Aufgrund der Eigenschaft der arithmetischen Progression kann die obige Formel auch wie folgt verallgemeinert werden

Dies lässt sich leicht überprüfen, wenn Sie die Begriffe rechts vom Gleichheitszeichen schreiben

Es wird in der Praxis häufig verwendet, um Berechnungen bei Problemen zu vereinfachen.

2) Die Summe der ersten n Terme einer arithmetischen Folge wird mit der Formel berechnet

Merken Sie sich die Formel für die Summe einer arithmetischen Folge gut; sie ist für Berechnungen unverzichtbar und kommt in einfachen Lebenssituationen häufig vor.

3) Wenn Sie nicht die gesamte Summe, sondern einen Teil der Folge ab ihrem k-ten Term finden müssen, ist die folgende Summenformel hilfreich

4) Von praktischem Interesse ist es, die Summe von n Gliedern einer arithmetischen Folge ausgehend von der k-ten Zahl zu ermitteln. Verwenden Sie dazu die Formel

Damit ist das theoretische Material abgeschlossen und es wird mit der Lösung häufiger Probleme in der Praxis fortgefahren.

Beispiel 1. Finden Sie den vierzigsten Term der arithmetischen Folge 4;7;...

Lösung:

Je nach dem Zustand, den wir haben

Lassen Sie uns den Fortschrittsschritt bestimmen

Mit einer bekannten Formel ermitteln wir den vierzigsten Term der Progression

Beispiel 2. Eine arithmetische Folge ist durch ihr drittes und siebtes Glied gegeben. Finden Sie den ersten Term der Progression und die Summe von zehn.

Lösung:

Schreiben wir die vorgegebenen Elemente der Progression anhand der Formeln auf

Wir subtrahieren die erste von der zweiten Gleichung und ermitteln so den Fortschrittsschritt

Wir setzen den gefundenen Wert in eine der Gleichungen ein, um den ersten Term der arithmetischen Folge zu finden

Wir berechnen die Summe der ersten zehn Terme der Progression

Ohne komplexe Berechnungen haben wir alle benötigten Mengen gefunden.

Beispiel 3. Eine arithmetische Folge ist durch den Nenner und einen seiner Terme gegeben. Finden Sie den ersten Term der Progression, die Summe seiner 50 Terme beginnend bei 50 und die Summe der ersten 100.

Lösung:

Schreiben wir die Formel für das hundertste Element der Progression auf

und finde den ersten

Basierend auf dem ersten finden wir das 50. Glied der Progression

Ermitteln der Summe des Teils der Progression

und die Summe der ersten 100

Der Fortschrittsbetrag beträgt 250.

Beispiel 4.

Ermitteln Sie die Anzahl der Terme einer arithmetischen Folge, wenn:

a3-a1=8, a2+a4=14, Sn=111.

Lösung:

Schreiben wir die Gleichungen in Bezug auf den ersten Term und den Progressionsschritt und bestimmen wir sie

Wir setzen die erhaltenen Werte in die Summenformel ein, um die Anzahl der Terme in der Summe zu bestimmen

Wir führen Vereinfachungen durch

und löse die quadratische Gleichung

Von den beiden gefundenen Werten passt nur die Zahl 8 zu den Problembedingungen. Somit beträgt die Summe der ersten acht Terme der Progression 111.

Beispiel 5.

Löse die Gleichung

1+3+5+...+x=307.

Lösung: Diese Gleichung ist die Summe einer arithmetischen Folge. Schreiben wir den ersten Term auf und finden den Unterschied im Verlauf heraus

Wenn für jede natürliche Zahl N einer reellen Zahl entsprechen ein , dann sagen sie, dass es gegeben ist Zahlenfolge :

A 1 , A 2 , A 3 , . . . , ein , . . . .

Die Zahlenfolge ist also eine Funktion des natürlichen Arguments.

Nummer A 1 angerufen erstes Glied der Folge , Nummer A 2 — zweites Glied der Folge , Nummer A 3 — dritte usw. Nummer ein angerufen n-tes Mitglied der Sequenz und eine natürliche Zahl N — seine Nummer .

Von zwei benachbarten Mitgliedern ein Und ein +1 Sequenzmitglied ein +1 angerufen anschließend (in Richtung ein ), A ein — vorherige (in Richtung ein +1 ).

Um eine Sequenz zu definieren, müssen Sie eine Methode angeben, mit der Sie ein Mitglied der Sequenz mit einer beliebigen Nummer finden können.

Oftmals wird die Reihenfolge mit angegeben n-te Termformeln , also eine Formel, mit der Sie ein Mitglied einer Folge anhand seiner Nummer bestimmen können.

Zum Beispiel,

Eine Folge positiver ungerader Zahlen kann durch die Formel angegeben werden

ein= 2N- 1,

und die Reihenfolge des Wechselns 1 Und -1 - Formel

B N = (-1)N +1 . ◄

Die Reihenfolge kann bestimmt werden wiederkehrende Formel, Das heißt, eine Formel, die jedes Mitglied der Sequenz ausdrückt, beginnend mit einigen, bis hin zu den vorherigen (einem oder mehreren) Mitgliedern.

Zum Beispiel,

Wenn A 1 = 1 , A ein +1 = ein + 5

A 1 = 1,

A 2 = A 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

A 3 = A 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

A 4 = A 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

A 5 = A 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Wenn eine 1= 1, eine 2 = 1, ein +2 = ein + ein +1 , dann werden die ersten sieben Terme der Zahlenfolge wie folgt ermittelt:

eine 1 = 1,

eine 2 = 1,

eine 3 = eine 1 + eine 2 = 1 + 1 = 2,

eine 4 = eine 2 + eine 3 = 1 + 2 = 3,

eine 5 = eine 3 + eine 4 = 2 + 3 = 5,

A 6 = A 4 + A 5 = 3 + 5 = 8,

A 7 = A 5 + A 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Sequenzen können sein Finale Und endlos .

Die Sequenz wird aufgerufen ultimativ , wenn es eine endliche Anzahl von Mitgliedern hat. Die Sequenz wird aufgerufen endlos , wenn es unendlich viele Mitglieder hat.

Zum Beispiel,

Folge zweistelliger natürlicher Zahlen:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

Finale.

Folge der Primzahlen:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

endlos. ◄

Die Sequenz wird aufgerufen zunehmend , wenn jedes seiner Mitglieder, beginnend mit dem zweiten, größer als das vorherige ist.

Die Sequenz wird aufgerufen abnehmend , wenn jedes seiner Mitglieder, beginnend mit dem zweiten, kleiner als das vorherige ist.

Zum Beispiel,

2, 4, 6, 8, . . . , 2N, . . . — zunehmende Reihenfolge;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /N, . . . — absteigende Reihenfolge. ◄

Eine Folge, deren Elemente mit zunehmender Zahl nicht abnehmen oder umgekehrt nicht zunehmen, heißt monotone Abfolge .

Insbesondere monotone Folgen sind steigende Folgen und fallende Folgen.

Arithmetische Folge

Arithmetische Folge ist eine Folge, in der jedes Mitglied, beginnend mit dem zweiten, dem vorherigen gleich ist, zu dem die gleiche Zahl hinzugefügt wird.

A 1 , A 2 , A 3 , . . . , ein, . . .

ist eine arithmetische Folge für jede natürliche Zahl N die Bedingung ist erfüllt:

ein +1 = ein + D,

Wo D - eine bestimmte Anzahl.

Somit ist die Differenz zwischen dem nachfolgenden und dem vorherigen Term einer bestimmten arithmetischen Folge immer konstant:

eine 2 - A 1 = eine 3 - A 2 = . . . = ein +1 - ein = D.

Nummer D angerufen Unterschied der arithmetischen Progression.

Um eine arithmetische Folge zu definieren, reicht es aus, ihren ersten Term und ihre Differenz anzugeben.

Zum Beispiel,

Wenn A 1 = 3, D = 4 , dann finden wir die ersten fünf Terme der Folge wie folgt:

eine 1 =3,

eine 2 = eine 1 + D = 3 + 4 = 7,

eine 3 = eine 2 + D= 7 + 4 = 11,

eine 4 = eine 3 + D= 11 + 4 = 15,

A 5 = A 4 + D= 15 + 4 = 19. ◄

Für eine arithmetische Folge mit dem ersten Term A 1 und der Unterschied D ihr N

ein = eine 1 + (N- 1)D.

Zum Beispiel,

Finden Sie das dreißigste Glied der arithmetischen Folge

1, 4, 7, 10, . . .

eine 1 =1, D = 3,

ein 30 = eine 1 + (30 - 1)d = 1 + 29· 3 = 88. ◄

ein n-1 = eine 1 + (N- 2)D,

ein= eine 1 + (N- 1)D,

ein +1 = A 1 + nd,

dann offensichtlich

ein=	a n-1 + a n+1
	2

Jedes Mitglied einer arithmetischen Folge, beginnend mit dem zweiten, ist gleich dem arithmetischen Mittel der vorhergehenden und nachfolgenden Mitglieder.

Die Zahlen a, b und c sind genau dann aufeinanderfolgende Terme einer arithmetischen Folge, wenn einer von ihnen gleich dem arithmetischen Mittel der anderen beiden ist.

Zum Beispiel,

ein = 2N- 7 ist eine arithmetische Folge.

Verwenden wir die obige Aussage. Wir haben:

ein = 2N- 7,

ein n-1 = 2(N- 1) - 7 = 2N- 9,

ein n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2N- 5.

Somit,

ein n+1 + ein n-1	=	2N- 5 + 2N- 9	= 2N- 7 = ein,
2		2

◄

Beachten Sie, dass N Der te Term einer arithmetischen Folge kann nicht nur durch gefunden werden A 1 , aber auch alle vorherigen ein k

ein = ein k + (N- k)D.

Zum Beispiel,

Für A 5 kann aufgeschrieben werden

eine 5 = eine 1 + 4D,

eine 5 = eine 2 + 3D,

eine 5 = eine 3 + 2D,

eine 5 = eine 4 + D. ◄

ein = ein n-k + kd,

ein = ein n+k - kd,

dann offensichtlich

ein=	A n-k +a n+k
	2

Jedes Mitglied einer arithmetischen Folge, beginnend mit dem zweiten, ist gleich der Hälfte der Summe der gleichabständigen Mitglieder dieser arithmetischen Folge.

Darüber hinaus gilt für jede arithmetische Folge die folgende Gleichheit:

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l.

Zum Beispiel,

in der arithmetischen Folge

1) A 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (A 9 + A 11 )/2;

2) 28 = eine 10 = eine 3 + 7D= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) eine 10= 28 = (19 + 37)/2 = (eine 7 + eine 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, als

eine 2 + eine 12= 4 + 34 = 38,

eine 5 + eine 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= a 1 + a 2 + a 3 + . . .+ ein,

Erste N Terme einer arithmetischen Folge ist gleich dem Produkt aus der halben Summe der Extremterme und der Anzahl der Terme:

Daraus folgt insbesondere, dass Sie die Terme summieren müssen

ein k, ein k +1 , . . . , ein,

dann behält die vorherige Formel ihre Struktur:

Zum Beispiel,

in der arithmetischen Folge 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Wenn eine arithmetische Folge angegeben ist, dann die Mengen A 1 , ein, D, N UndS N verbunden durch zwei Formeln:

Sind also die Werte von drei dieser Größen gegeben, dann werden aus diesen Formeln die entsprechenden Werte der anderen beiden Größen ermittelt, zusammengefasst zu einem System aus zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten.

Eine arithmetische Folge ist eine monotone Folge. Dabei:

• Wenn D > 0 , dann nimmt es zu;
• Wenn D < 0 , dann nimmt es ab;
• Wenn D = 0 , dann ist die Folge stationär.

Geometrischer Verlauf

Geometrischer Verlauf ist eine Folge, in der jedes Mitglied, beginnend mit dem zweiten, gleich dem vorherigen multipliziert mit derselben Zahl ist.

B 1 , B 2 , B 3 , . . . , b n, . . .

ist eine geometrische Folge für jede natürliche Zahl N die Bedingung ist erfüllt:

b n +1 = b n · Q,

Wo Q ≠ 0 - eine bestimmte Anzahl.

Somit ist das Verhältnis des nachfolgenden Termes einer gegebenen geometrischen Folge zum vorherigen eine konstante Zahl:

B 2 / B 1 = B 3 / B 2 = . . . = b n +1 / b n = Q.

Nummer Q angerufen Nenner der geometrischen Progression.

Um eine geometrische Folge zu definieren, reicht es aus, ihren ersten Term und Nenner anzugeben.

Zum Beispiel,

Wenn B 1 = 1, Q = -3 , dann finden wir die ersten fünf Terme der Folge wie folgt:

b 1 = 1,

b 2 = b 1 · Q = 1 · (-3) = -3,

b 3 = b 2 · Q= -3 · (-3) = 9,

b 4 = b 3 · Q= 9 · (-3) = -27,

B 5 = B 4 · Q= -27 · (-3) = 81. ◄

B 1 und Nenner Q ihr N Der te Term kann mit der Formel ermittelt werden:

b n = B 1 · qn -1 .

Zum Beispiel,

Finden Sie den siebten Term der geometrischen Folge 1, 2, 4, . . .

B 1 = 1, Q = 2,

B 7 = B 1 · Q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

b n-1 = b 1 · qn -2 ,

b n = b 1 · qn -1 ,

b n +1 = B 1 · qn,

dann offensichtlich

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

Jedes Mitglied der geometrischen Folge, beginnend mit dem zweiten, ist gleich dem geometrischen Mittel (proportional) des vorhergehenden und nachfolgenden Mitglieds.

Da auch das Umgekehrte gilt, gilt folgende Aussage:

Die Zahlen a, b und c sind genau dann aufeinanderfolgende Terme einer geometrischen Folge, wenn das Quadrat einer von ihnen gleich dem Produkt der anderen beiden ist, das heißt, eine der Zahlen ist das geometrische Mittel der anderen beiden.

Zum Beispiel,

Beweisen wir die durch die Formel gegebene Folge b n= -3 2 N ist eine geometrische Folge. Verwenden wir die obige Aussage. Wir haben:

b n= -3 2 N,

b n -1 = -3 2 N -1 ,

b n +1 = -3 2 N +1 .

Somit,

b n 2 = (-3 2 N) 2 = (-3 2 N -1 ) · (-3 · 2 N +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

was die gewünschte Aussage beweist. ◄

Beachten Sie, dass N Der te Term einer geometrischen Folge kann nicht nur durch gefunden werden B 1 , sondern auch jedes frühere Mitglied b k , wofür es genügt, die Formel zu verwenden

b n = b k · qn - k.

Zum Beispiel,

Für B 5 kann aufgeschrieben werden

b 5 = b 1 · Q 4 ,

b 5 = b 2 · q 3,

b 5 = b 3 · q 2,

b 5 = b 4 · Q. ◄

b n = b k · qn - k,

b n = b n - k · q k,

dann offensichtlich

b n 2 = b n - k· b n + k

Das Quadrat jedes Termes einer geometrischen Folge, beginnend mit dem zweiten, ist gleich dem Produkt der gleichabständigen Terme dieser Folge.

Darüber hinaus gilt für jede geometrische Folge die Gleichheit:

b m· b n= b k· b l,

M+ N= k+ l.

Zum Beispiel,

im geometrischen Verlauf

1) B 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = B 5 · B 7 ;

2) 1024 = B 11 = B 6 · Q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) B 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = B 4 · B 8 ;

4) B 2 · B 7 = B 4 · B 5 , als

B 2 · B 7 = 2 · 64 = 128,

B 4 · B 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= B 1 + B 2 + B 3 + . . . + b n

Erste N Mitglieder einer geometrischen Folge mit Nenner Q ≠ 0 berechnet nach der Formel:

Und wann Q = 1 - nach der Formel

S n= nb 1

Beachten Sie Folgendes: Wenn Sie die Terme summieren müssen

b k, b k +1 , . . . , b n,

dann wird die Formel verwendet:

S n- S k -1 = b k + b k +1 + . . . + b n = b k ·	1 - qn - k +1	.
	1 - Q

Zum Beispiel,

im geometrischen Verlauf 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Wenn ein geometrischer Verlauf gegeben ist, dann die Mengen B 1 , b n, Q, N Und S n verbunden durch zwei Formeln:

Wenn also die Werte von drei beliebigen dieser Größen angegeben sind, werden die entsprechenden Werte der anderen beiden Größen aus diesen Formeln bestimmt und zu einem System aus zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten zusammengefasst.

Für eine geometrische Folge mit dem ersten Term B 1 und Nenner Q Folgendes geschieht Eigenschaften der Monotonie :

• Die Progression nimmt zu, wenn eine der folgenden Bedingungen erfüllt ist:

B 1 > 0 Und Q> 1;

B 1 < 0 Und 0 < Q< 1;

• Der Verlauf nimmt ab, wenn eine der folgenden Bedingungen erfüllt ist:

B 1 > 0 Und 0 < Q< 1;

B 1 < 0 Und Q> 1.

Wenn Q< 0 , dann ist die geometrische Folge alternierend: Ihre Terme mit ungeraden Zahlen haben das gleiche Vorzeichen wie ihr erster Term, und Terme mit geraden Zahlen haben das entgegengesetzte Vorzeichen. Es ist klar, dass ein alternierender geometrischer Verlauf nicht monoton ist.

Produkt der ersten N Terme einer geometrischen Folge können mit der Formel berechnet werden:

Pn= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) N / 2 .

Zum Beispiel,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Unendlich abnehmender geometrischer Verlauf

Unendlich abnehmender geometrischer Verlauf wird als unendliche geometrische Folge bezeichnet, deren Nennermodul kleiner ist 1 , also

|Q| < 1 .

Beachten Sie, dass eine unendlich abnehmende geometrische Folge möglicherweise keine abnehmende Folge ist. Es passt zum Anlass

1 < Q< 0 .

Bei einem solchen Nenner ist die Reihenfolge alternierend. Zum Beispiel,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Die Summe einer unendlich abnehmenden geometrischen Progression Nennen Sie die Zahl, der sich die Summe der ersten unendlich nähert N Mitglieder einer Progression mit unbegrenzter Erhöhung der Anzahl N . Diese Zahl ist immer endlich und wird durch die Formel ausgedrückt

S= B 1 + B 2 + B 3 + . . . =	B 1	.
	1 - Q

Zum Beispiel,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

Zusammenhang zwischen arithmetischen und geometrischen Verläufen

Arithmetische und geometrische Verläufe sind eng miteinander verbunden. Schauen wir uns nur zwei Beispiele an.

A 1 , A 2 , A 3 , . . . D , Das

b a 1 , b a 2 , b a 3 , . . . b d .

Zum Beispiel,

1, 3, 5, . . . - Arithmetische Folge mit Differenz 2 Und

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - geometrischer Verlauf mit Nenner 7 2 . ◄

B 1 , B 2 , B 3 , . . . - geometrischer Verlauf mit Nenner Q , Das

log a b 1, log a b 2, log a b 3, . . . - Arithmetische Folge mit Differenz log aQ .

Zum Beispiel,

2, 12, 72, . . . - geometrischer Verlauf mit Nenner 6 Und

lg 2, lg 12, lg 72, . . . - Arithmetische Folge mit Differenz lg 6 . ◄

Beim Algebrastudium an einer weiterführenden Schule (9. Klasse) ist eines der wichtigen Themen das Studium numerischer Folgen, zu denen auch geometrische und arithmetische Progressionen gehören. In diesem Artikel betrachten wir eine arithmetische Folge und Beispiele mit Lösungen.

Was ist eine arithmetische Folge?

Um dies zu verstehen, ist es notwendig, den betreffenden Fortschritt zu definieren und die grundlegenden Formeln bereitzustellen, die später bei der Lösung von Problemen verwendet werden.

Arithmetik oder ist eine Menge geordneter rationaler Zahlen, deren jedes Mitglied sich um einen konstanten Wert vom vorherigen unterscheidet. Dieser Wert wird als Differenz bezeichnet. Das heißt, wenn Sie jedes Mitglied einer geordneten Zahlenreihe und die Differenz kennen, können Sie die gesamte arithmetische Folge wiederherstellen.

Geben wir ein Beispiel. Die folgende Zahlenfolge stellt eine arithmetische Folge dar: 4, 8, 12, 16, ..., da die Differenz in diesem Fall 4 beträgt (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). Die Zahlenmenge 3, 5, 8, 12, 17 kann jedoch nicht mehr der betrachteten Art der Progression zugeordnet werden, da die Differenz dafür kein konstanter Wert ist (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17 - 12).

Wichtige Formeln

Lassen Sie uns nun die Grundformeln vorstellen, die zur Lösung von Problemen mithilfe der arithmetischen Folge erforderlich sind. Bezeichnen wir mit dem Symbol a n das n-te Glied der Folge, wobei n eine ganze Zahl ist. Den Unterschied bezeichnen wir mit dem lateinischen Buchstaben d. Dann gelten folgende Ausdrücke:

1. Um den Wert des n-ten Termes zu bestimmen, eignet sich folgende Formel: a n = (n-1)*d+a 1 .
2. Um die Summe der ersten n Terme zu bestimmen: S n = (a n +a 1)*n/2.

Um Beispiele für arithmetische Progression mit Lösungen in der 9. Klasse zu verstehen, reicht es aus, sich diese beiden Formeln zu merken, da alle Probleme der betrachteten Art auf ihrer Verwendung basieren. Sie sollten auch bedenken, dass die Progressionsdifferenz durch die Formel d = a n – a n-1 bestimmt wird.

Beispiel Nr. 1: Ein unbekanntes Mitglied finden

Lassen Sie uns ein einfaches Beispiel für eine arithmetische Folge und die Formeln geben, die zu ihrer Lösung verwendet werden müssen.

Gegeben sei die Folge 10, 8, 6, 4, ..., Sie müssen darin fünf Begriffe finden.

Aus den Bedingungen des Problems folgt bereits, dass die ersten 4 Terme bekannt sind. Die Quinte kann auf zwei Arten definiert werden:

1. Berechnen wir zunächst die Differenz. Wir haben: d = 8 - 10 = -2. Ebenso könnten Sie zwei beliebige andere Mitglieder nehmen, die nebeneinander stehen. Zum Beispiel d = 4 - 6 = -2. Da bekannt ist, dass d = a n – a n-1, dann ist d = a 5 – a 4, woraus wir erhalten: a 5 = a 4 + d. Wir ersetzen die bekannten Werte: a 5 = 4 + (-2) = 2.
2. Auch bei der zweiten Methode ist die Kenntnis des Unterschieds der betreffenden Progression erforderlich, daher muss dieser zunächst wie oben dargestellt ermittelt werden (d = -2). Da wir wissen, dass der erste Term a 1 = 10 ist, verwenden wir die Formel für die n-Zahl der Folge. Wir haben: a n = (n - 1) * d + a 1 = (n - 1) * (-2) + 10 = 12 - 2*n. Wenn wir n = 5 in den letzten Ausdruck einsetzen, erhalten wir: a 5 = 12-2 * 5 = 2.

Wie Sie sehen, führten beide Lösungen zum gleichen Ergebnis. Beachten Sie, dass in diesem Beispiel die Progressionsdifferenz d ein negativer Wert ist. Solche Folgen werden als absteigend bezeichnet, da jeder nächste Term kleiner ist als der vorherige.

Beispiel Nr. 2: Fortschrittsunterschied

Lassen Sie uns das Problem nun etwas verkomplizieren und ein Beispiel dafür geben, wie man die Differenz einer arithmetischen Folge ermittelt.

Es ist bekannt, dass in manchen algebraischen Folgen der 1. Term gleich 6 und der 7. Term gleich 18 ist. Es ist notwendig, den Unterschied zu finden und diese Folge auf den 7. Term wiederherzustellen.

Verwenden wir die Formel, um den unbekannten Term zu bestimmen: a n = (n - 1) * d + a 1 . Ersetzen wir darin die bekannten Daten aus der Bedingung, also die Zahlen a 1 und a 7, wir haben: 18 = 6 + 6 * d. Aus diesem Ausdruck können Sie die Differenz leicht berechnen: d = (18 - 6) /6 = 2. Damit haben wir den ersten Teil des Problems beantwortet.

Um die Folge auf den 7. Term wiederherzustellen, sollten Sie die Definition einer algebraischen Folge verwenden, also a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d usw. Als Ergebnis stellen wir die gesamte Sequenz wieder her: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2=8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16, a 7 = 18.

Beispiel Nr. 3: Erstellung einer Progression

Machen wir das Problem noch komplizierter. Jetzt müssen wir die Frage beantworten, wie man eine arithmetische Folge findet. Das folgende Beispiel kann gegeben werden: Es werden zwei Zahlen angegeben, zum Beispiel 4 und 5. Es ist notwendig, eine algebraische Folge zu erstellen, damit drei weitere Terme dazwischen platziert werden.

Bevor Sie mit der Lösung dieses Problems beginnen, müssen Sie verstehen, welchen Platz die angegebenen Zahlen im zukünftigen Verlauf einnehmen werden. Da zwischen ihnen drei weitere Terme liegen, ist a 1 = -4 und a 5 = 5. Nachdem wir dies festgestellt haben, gehen wir zum Problem über, das dem vorherigen ähnlich ist. Auch für den n-ten Term verwenden wir die Formel, wir erhalten: a 5 = a 1 + 4 * d. Aus: d = (a 5 - a 1)/4 = (5 - (-4)) / 4 = 2,25. Was wir hier erhalten haben, ist kein ganzzahliger Wert der Differenz, sondern eine rationale Zahl, sodass die Formeln für die algebraische Progression dieselben bleiben.

Nun addieren wir die gefundene Differenz zu einer 1 und stellen die fehlenden Terme der Progression wieder her. Wir erhalten: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 = 2,75 + 2,25 = 5, was übereinstimmte mit den Bedingungen des Problems.

Beispiel Nr. 4: erstes Progressionssemester

Lassen Sie uns weiterhin Beispiele für die arithmetische Folge mit Lösungen geben. Bei allen bisherigen Aufgaben war die erste Zahl der algebraischen Folge bekannt. Betrachten wir nun ein Problem anderer Art: Es seien zwei Zahlen gegeben, wobei a 15 = 50 und a 43 = 37. Es gilt herauszufinden, mit welcher Zahl diese Folge beginnt.

Die bisher verwendeten Formeln setzen die Kenntnis von a 1 und d voraus. In der Problemstellung ist über diese Zahlen nichts bekannt. Dennoch werden wir für jeden Term Ausdrücke aufschreiben, über die Informationen verfügbar sind: a 15 = a 1 + 14 * d und a 43 = a 1 + 42 * d. Wir haben zwei Gleichungen erhalten, in denen es zwei unbekannte Größen gibt (a 1 und d). Dies bedeutet, dass das Problem auf die Lösung eines linearen Gleichungssystems reduziert wird.

Der einfachste Weg, dieses System zu lösen, besteht darin, in jeder Gleichung eine 1 auszudrücken und dann die resultierenden Ausdrücke zu vergleichen. Erste Gleichung: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; zweite Gleichung: a 1 = a 43 - 42 * d = 37 - 42 * d. Wenn wir diese Ausdrücke gleichsetzen, erhalten wir: 50 - 14 * d = 37 - 42 * d, woraus sich die Differenz d = (37 - 50) / (42 - 14) = - 0,464 ergibt (es werden nur 3 Dezimalstellen angegeben).

Wenn Sie d kennen, können Sie jeden der beiden oben genannten Ausdrücke für eine 1 verwenden. Zum Beispiel zuerst: a 1 = 50 - 14 * d = 50 - 14 * (- 0,464) = 56,496.

Wenn Sie Zweifel am erzielten Ergebnis haben, können Sie es überprüfen, beispielsweise den 43. Term der Progression ermitteln, der in der Bedingung angegeben ist. Wir erhalten: a 43 = a 1 + 42 * d = 56,496 + 42 * (- 0,464) = 37,008. Der kleine Fehler ist darauf zurückzuführen, dass bei den Berechnungen auf Tausendstel gerundet wurde.

Beispiel Nr. 5: Betrag

Schauen wir uns nun einige Beispiele mit Lösungen für die Summe einer arithmetischen Folge an.

Gegeben sei eine numerische Folge der folgenden Form: 1, 2, 3, 4, ...,. Wie berechnet man die Summe von 100 dieser Zahlen?

Dank der Entwicklung der Computertechnologie ist es möglich, dieses Problem zu lösen, d. h. alle Zahlen nacheinander zu addieren, was der Computer tut, sobald eine Person die Eingabetaste drückt. Das Problem kann jedoch gedanklich gelöst werden, wenn man beachtet, dass die dargestellte Zahlenreihe eine algebraische Folge ist und ihre Differenz gleich 1 ist. Wenn wir die Formel für die Summe anwenden, erhalten wir: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

Es ist interessant festzustellen, dass dieses Problem „Gaussian“ genannt wird, weil der berühmte Deutsche, damals gerade mal 10 Jahre alt, es zu Beginn des 18. Jahrhunderts in der Lage war, es in seinem Kopf in wenigen Sekunden zu lösen. Der Junge kannte die Formel für die Summe einer algebraischen Folge nicht, aber er bemerkte, dass man immer das gleiche Ergebnis erhält, wenn man die Zahlen am Ende der Folge paarweise addiert, also 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., und da diese Summen genau 50 (100 / 2) betragen, reicht es aus, 50 mit 101 zu multiplizieren, um die richtige Antwort zu erhalten.

Beispiel Nr. 6: Summe der Terme von n bis m

Ein weiteres typisches Beispiel für die Summe einer arithmetischen Folge ist das Folgende: Bei einer gegebenen Zahlenreihe: 3, 7, 11, 15, ... müssen Sie herausfinden, wie hoch die Summe ihrer Terme von 8 bis 14 sein wird .

Das Problem wird auf zwei Arten gelöst. Die erste davon besteht darin, unbekannte Begriffe von 8 bis 14 zu finden und sie dann der Reihe nach zu summieren. Da es nur wenige Begriffe gibt, ist diese Methode nicht sehr arbeitsintensiv. Dennoch wird vorgeschlagen, dieses Problem mit einer zweiten, universelleren Methode zu lösen.

Die Idee besteht darin, eine Formel für die Summe der algebraischen Progression zwischen den Termen m und n zu erhalten, wobei n > m ganze Zahlen sind. Für beide Fälle schreiben wir zwei Ausdrücke für die Summe:

1. S m = m * (a m + a 1) / 2.
2. S n = n * (a n + a 1) / 2.

Da n > m ist, ist es offensichtlich, dass die 2. Summe die erste enthält. Die letzte Schlussfolgerung bedeutet, dass wir die notwendige Antwort auf das Problem erhalten, wenn wir die Differenz zwischen diesen Summen nehmen und den Term a m hinzufügen (im Falle der Differenzbildung wird sie von der Summe S n subtrahiert). Wir haben: S mn = S n - S m + a m =n * (a 1 + a n) / 2 - m *(a 1 + a m)/2 + a m = a 1 * (n - m) / 2 + a n * n/2 + a m * (1- m/2). In diesen Ausdruck müssen Formeln für a n und a m eingesetzt werden. Dann erhalten wir: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d *(3 * m - m 2 - 2) / 2.

Die resultierende Formel ist etwas umständlich, allerdings hängt die Summe S mn nur von n, m, a 1 und d ab. In unserem Fall ist a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Wenn wir diese Zahlen ersetzen, erhalten wir: S mn = 301.

Wie aus den obigen Lösungen hervorgeht, basieren alle Probleme auf der Kenntnis des Ausdrucks für den n-ten Term und der Formel für die Summe der Menge der ersten Terme. Bevor Sie mit der Lösung eines dieser Probleme beginnen, wird empfohlen, die Bedingung sorgfältig zu lesen, klar zu verstehen, was Sie finden müssen, und erst dann mit der Lösung fortzufahren.

Ein weiterer Tipp ist, nach Einfachheit zu streben, d. h. wenn Sie eine Frage ohne komplexe mathematische Berechnungen beantworten können, müssen Sie genau das tun, da in diesem Fall die Wahrscheinlichkeit, einen Fehler zu machen, geringer ist. Beispielsweise könnte man im Beispiel einer arithmetischen Folge mit Lösung Nr. 6 bei der Formel S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m, und stehen bleiben Teilen Sie das Gesamtproblem in separate Teilaufgaben auf (in diesem Fall finden Sie zunächst die Begriffe a n und a m).

Wenn Sie Zweifel am erzielten Ergebnis haben, empfiehlt es sich, es zu überprüfen, wie dies in einigen der angegebenen Beispiele der Fall war. Wir haben herausgefunden, wie man eine arithmetische Folge findet. Wenn Sie es herausfinden, ist es nicht so schwierig.