Wie man eine axiale Symmetrie herstellt. Axiale und zentrale Symmetrie. Lassen Sie uns ein wenig recherchieren
Bewegungskonzept
Betrachten wir zunächst den Begriff der Bewegung.
Definition 1
Eine Abbildung einer Ebene wird als Bewegung der Ebene bezeichnet, wenn die Abbildung Abstände beibehält.
Es gibt mehrere Theoreme, die sich auf dieses Konzept beziehen.
Satz 2
Wenn sich das Dreieck bewegt, verwandelt es sich in ein gleichförmiges Dreieck.
Satz 3
Jede Figur verwandelt sich bei Bewegung in eine ihr entsprechende Figur.
Axiale und zentrale Symmetrie sind Beispiele für Bewegung. Schauen wir sie uns genauer an.
Axiale Symmetrie
Definition 2
Die Punkte $A$ und $A_1$ heißen symmetrisch bezüglich der Geraden $a$, wenn diese Gerade senkrecht zum Segment $(AA)_1$ steht und durch dessen Mittelpunkt verläuft (Abb. 1).
Bild 1.
Betrachten wir die Achsensymmetrie anhand eines Beispielproblems.
Beispiel 1
Konstruieren Sie ein symmetrisches Dreieck für ein gegebenes Dreieck relativ zu einer seiner Seiten.
Lösung.
Gegeben sei uns ein Dreieck $ABC$. Wir werden seine Symmetrie in Bezug auf die Seite $BC$ konstruieren. Die Seite $BC$ mit Achsensymmetrie wird sich in sich selbst verwandeln (ergibt sich aus der Definition). Punkt $A$ geht wie folgt zu Punkt $A_1$: $(AA)_1\bot BC$, $(AH=HA)_1$. Das Dreieck $ABC$ verwandelt sich in das Dreieck $A_1BC$ (Abb. 2).
Figur 2.
Definition 3
Eine Figur heißt symmetrisch bezüglich der Geraden $a$, wenn jeder symmetrische Punkt dieser Figur in derselben Figur enthalten ist (Abb. 3).
Figur 3.
Abbildung $3$ zeigt ein Rechteck. Es weist axiale Symmetrie in Bezug auf jeden seiner Durchmesser sowie in Bezug auf zwei gerade Linien auf, die durch die Mittelpunkte gegenüberliegender Seiten eines gegebenen Rechtecks gehen.
Zentrale Symmetrie
Definition 4
Die Punkte $X$ und $X_1$ heißen symmetrisch zum Punkt $O$, wenn der Punkt $O$ der Mittelpunkt des Segments $(XX)_1$ ist (Abb. 4).
Figur 4.
Betrachten wir die zentrale Symmetrie anhand eines Beispielproblems.
Beispiel 2
Konstruieren Sie ein symmetrisches Dreieck für ein gegebenes Dreieck an einem seiner Eckpunkte.
Lösung.
Gegeben sei uns ein Dreieck $ABC$. Wir werden seine Symmetrie relativ zum Scheitelpunkt $A$ konstruieren. Der Scheitelpunkt $A$ mit zentraler Symmetrie wird sich in sich selbst verwandeln (ergibt sich aus der Definition). Punkt $B$ geht wie folgt zu Punkt $B_1$: $(BA=AB)_1$, und Punkt $C$ geht wie folgt zu Punkt $C_1$: $(CA=AC)_1$. Das Dreieck $ABC$ verwandelt sich in das Dreieck $(AB)_1C_1$ (Abb. 5).
Abbildung 5.
Definition 5
Eine Figur ist symmetrisch zum Punkt $O$, wenn jeder symmetrische Punkt dieser Figur in derselben Figur enthalten ist (Abb. 6).
Abbildung 6.
Abbildung $6$ zeigt ein Parallelogramm. Es weist eine zentrale Symmetrie um den Schnittpunkt seiner Diagonalen auf.
Beispielaufgabe.
Beispiel 3
Gegeben sei uns ein Segment $AB$. Konstruieren Sie seine Symmetrie in Bezug auf die Linie $l$, die das gegebene Segment nicht schneidet, und in Bezug auf den Punkt $C$, der auf der Linie $l$ liegt.
Lösung.
Lassen Sie uns den Zustand des Problems schematisch darstellen.
Abbildung 7.
Lassen Sie uns zunächst die Achsensymmetrie in Bezug auf die Gerade $l$ darstellen. Da die Achsensymmetrie eine Bewegung ist, wird nach Satz $1$ das Segment $AB$ auf das ihm entsprechende Segment $A"B"$ abgebildet. Um es zu konstruieren, werden wir Folgendes tun: Zeichnen Sie gerade Linien $m\ und\n$ durch die Punkte $A\ und\B$, senkrecht zur geraden Linie $l$. Sei $m\cap l=X,\ n\cap l=Y$. Als nächstes zeichnen wir die Segmente $A"X=AX$ und $B"Y=BY$.
Abbildung 8.
Lassen Sie uns nun die zentrale Symmetrie in Bezug auf den Punkt $C$ darstellen. Da die zentrale Symmetrie eine Bewegung ist, wird nach Satz $1$ das Segment $AB$ auf das ihm entsprechende Segment $A""B""$ abgebildet. Um es zu konstruieren, werden wir Folgendes tun: Zeichnen Sie die Linien $AC\ und\ BC$. Als nächstes zeichnen wir die Segmente $A^("")C=AC$ und $B^("")C=BC$.
Abbildung 9.
Der Zweck der Lektion:
- Bildung des Konzepts der „symmetrischen Punkte“;
- Bringen Sie Kindern bei, symmetrische Punkte zu Daten zu konstruieren.
- lernen, Segmente symmetrisch zu Daten zu konstruieren;
- Festigung des Gelernten (Ausbildung der Rechenkompetenz, Division einer mehrstelligen Zahl durch eine einstellige Zahl).
Auf den Standkarten „für den Unterricht“:
1. Organisatorischer Moment
Grüße.
Der Lehrer macht auf den Stand aufmerksam:
Kinder, beginnen wir die Lektion mit der Planung unserer Arbeit.
Heute unternehmen wir im Mathematikunterricht eine Reise in drei Reiche: das Reich der Arithmetik, der Algebra und der Geometrie. Beginnen wir die Lektion mit dem Wichtigsten für uns heute, mit der Geometrie. Ich erzähle Ihnen ein Märchen, aber „Ein Märchen ist eine Lüge, aber es gibt einen Hinweis darin – eine Lektion für gute Leute.“
": Ein Philosoph namens Buridan hatte einen Esel. Einmal, als er für längere Zeit wegging, legte der Philosoph zwei identische Arme voll Heu vor den Esel. Er stellte eine Bank auf, und zwar links von der Bank und rechts davon Im gleichen Abstand platzierte er völlig identische Heuarme.
Abbildung 1 auf der Tafel:
Der Esel ging von einem Arm voll Heu zum anderen, wusste aber immer noch nicht, mit welchem Arm voll Heu er beginnen sollte. Und am Ende starb er an Hunger.
Warum hat der Esel nicht entschieden, mit welchem Arm voll Heu er beginnen soll?
Was können Sie zu diesen Armen voll Heu sagen?
(Die Heuarme sind genau gleich, sie hatten den gleichen Abstand von der Bank, sind also symmetrisch).
2. Lassen Sie uns ein wenig recherchieren.
Nehmen Sie ein Blatt Papier (jedes Kind hat ein Blatt farbiges Papier auf seinem Schreibtisch) und falten Sie es in der Mitte. Durchstechen Sie es mit dem Schenkel eines Zirkels. Expandieren.
Was hast du bekommen? (2 symmetrische Punkte).
Wie können Sie sicher sein, dass sie wirklich symmetrisch sind? (Lass uns das Blatt falten, die Punkte stimmen überein)
3. Auf dem Schreibtisch:
Denken Sie, dass diese Punkte symmetrisch sind? (Nein). Warum? Wie können wir uns dessen sicher sein?
Figur 3:
Sind diese Punkte A und B symmetrisch?
Wie können wir das beweisen?
(Messen Sie den Abstand von der Geraden zu den Punkten)
Kehren wir zu unseren farbigen Papierstücken zurück.
Messen Sie den Abstand von der Faltlinie (Symmetrieachse) zuerst zu einem und dann zu dem anderen Punkt (aber verbinden Sie diese zuerst mit einem Segment).
Was können Sie zu diesen Entfernungen sagen?
(Das gleiche)
Finden Sie die Mitte Ihres Segments.
Wo ist es?
(Ist der Schnittpunkt der Strecke AB mit der Symmetrieachse)
4. Achten Sie auf die Ecken, entsteht durch den Schnittpunkt des Segments AB mit der Symmetrieachse. (Wir finden es mit Hilfe eines Quadrats heraus, jedes Kind arbeitet an seinem eigenen Arbeitsplatz, eines lernt an der Tafel).
Fazit der Kinder: Das Segment AB steht im rechten Winkel zur Symmetrieachse.
Ohne es zu wissen, haben wir nun eine mathematische Regel entdeckt:
Wenn die Punkte A und B symmetrisch zu einer Geraden oder Symmetrieachse sind, dann steht das diese Punkte verbindende Segment im rechten Winkel oder Senkrecht zu dieser Geraden. (Das Wort „senkrecht“ ist separat auf dem Ständer angegeben). Wir sagen im Refrain laut das Wort „senkrecht“.
5. Achten wir darauf, wie diese Regel in unserem Lehrbuch geschrieben ist.
Arbeiten Sie nach dem Lehrbuch.
Finden Sie symmetrische Punkte relativ zur Geraden. Werden die Punkte A und B symmetrisch zu dieser Linie sein?
6. Arbeite an neuem Material.
Lassen Sie uns lernen, wie man Punkte konstruiert, die symmetrisch zu Daten relativ zu einer geraden Linie sind.
Der Lehrer lehrt das Denken.
Um einen Punkt symmetrisch zu Punkt A zu konstruieren, müssen Sie diesen Punkt von der Geraden um den gleichen Abstand nach rechts verschieben.
7. Wir werden lernen, Segmente symmetrisch zu Daten relativ zu einer geraden Linie zu konstruieren. Arbeiten Sie nach dem Lehrbuch.
Die Schüler argumentieren an der Tafel.
8. Mündliches Zählen.
Hier beenden wir unseren Aufenthalt im „Geometrie“-Königreich und machen eine kleine mathematische Aufwärmübung, indem wir das „Arithmetik“-Königreich besuchen.
Während alle mündlich arbeiten, arbeiten zwei Studierende an einzelnen Tafeln.
A) Division mit Verifizierung durchführen:
B) Nachdem Sie die erforderlichen Zahlen eingegeben haben, lösen Sie das Beispiel und prüfen Sie:
Verbales Zählen.
- Die Lebensdauer einer Birke beträgt 250 Jahre, die einer Eiche ist viermal länger. Wie lange lebt eine Eiche?
- Ein Papagei lebt im Durchschnitt 150 Jahre und ein Elefant dreimal weniger. Wie viele Jahre lebt ein Elefant?
- Der Bär lud Gäste zu sich ein: einen Igel, einen Fuchs und ein Eichhörnchen. Und als Geschenk überreichten sie ihm einen Senftopf, eine Gabel und einen Löffel. Was hat der Igel dem Bären gegeben?
Wir können diese Frage beantworten, wenn wir diese Programme ausführen.
- Senf - 7
- Gabel - 8
- Löffel - 6
(Der Igel gab einen Löffel)
4) Berechnen. Finden Sie ein anderes Beispiel.
- 810: 90
- 360: 60
- 420: 7
- 560: 80
5) Finden Sie ein Muster und helfen Sie beim Notieren der erforderlichen Nummer:
3 9 81 2 16
5 10 20 6 24
9. Jetzt ruhen wir uns ein wenig aus.
Hören wir uns Beethovens Mondscheinsonate an. Eine Minute klassische Musik. Die Schüler legen ihre Köpfe auf den Schreibtisch, schließen die Augen und hören Musik.
10. Reise in das Reich der Algebra.
Erraten Sie die Wurzeln der Gleichung und überprüfen Sie:
Die Schüler lösen Aufgaben an der Tafel und in Notizbüchern. Sie erklären, wie sie es erraten haben.
11. "Blitzturnier“ .
a) Asya kaufte 5 Bagels für a Rubel und 2 Brote für b Rubel. Wie viel kostet der gesamte Kauf?
Lass uns das Prüfen. Teilen wir unsere Meinungen.
12. Zusammenfassend.
Damit haben wir unsere Reise in das Reich der Mathematik abgeschlossen.
Was war für Sie im Unterricht das Wichtigste?
Wem hat unsere Lektion gefallen?
Es war ein Vergnügen mit Ihnen zu arbeiten
Vielen Dank für die Lektion.
Sei g eine feste Linie (Abb. 191). Nehmen wir einen beliebigen Punkt X und lassen die Senkrechte AX auf die Gerade g fallen. Auf der Fortsetzung der Senkrechten über Punkt A hinaus zeichnen wir die Strecke AX" gleich der Strecke AX ein. Punkt X" heißt symmetrisch zu Punkt X relativ zur Geraden g.
Wenn ein Punkt X auf einer Geraden liegt, dann ist der Punkt symmetrisch dazu der Punkt X selbst. Offensichtlich ist der Punkt symmetrisch zum Punkt
Die Transformation einer Figur F in eine Figur F", bei der jeder ihrer Punkte X zu einem Punkt X" geht, der bezüglich einer gegebenen Geraden g symmetrisch ist, wird als Symmetrietransformation bezüglich einer Geraden g bezeichnet. In diesem Fall werden die Figuren F und F" als symmetrisch bezüglich der Geraden g bezeichnet (Abb. 192).
Nimmt eine Symmetrietransformation bezüglich einer Geraden g eine Figur F in sich auf, so heißt diese Figur symmetrisch bezüglich einer Geraden g, und die Gerade g heißt Symmetrieachse der Figur.
Beispielsweise sind Geraden, die durch den Schnittpunkt der Diagonalen eines Rechtecks parallel zu seinen Seiten verlaufen, die Symmetrieachsen des Rechtecks (Abb. 193). Die Geraden, auf denen die Diagonalen einer Raute liegen, sind ihre Symmetrieachsen (Abb. 194).
Satz 9.3. Die Transformation der Symmetrie um eine Gerade ist eine Bewegung.
Nachweisen. Nehmen wir diese Gerade als y-Achse des kartesischen Koordinatensystems (Abb. 195). Ein beliebiger Punkt A (x; y) der Figur F gehe zum Punkt A" (x"; y") der Figur F". Aus der Definition der Symmetrie bezüglich einer Geraden folgt, dass die Punkte A und A" gleiche Ordinaten haben und sich die Abszissen nur im Vorzeichen unterscheiden:
x"= -x.
Nehmen wir zwei beliebige Punkte A(x 1; y 1) und B (x 2; y 2) - Sie gehen zu den Punkten A" (- x 1, y 1) und B" (-x 2; y 2).
AB 2 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2
A"B" 2 =(-x 2 + x 1) 2 +(y 2 -y 1) 2.
Daraus ist klar, dass AB = A „B“. Und das bedeutet, dass die Transformation der Symmetrie um eine Gerade Bewegung ist. Der Satz ist bewiesen.
Du wirst brauchen
- - Eigenschaften symmetrischer Punkte;
- - Eigenschaften symmetrischer Figuren;
- - Herrscher;
- - Quadrat;
- - Kompass;
- - Bleistift;
- - Blatt Papier;
- - ein Computer mit einem Grafikeditor.
Anweisungen
Zeichnen Sie eine gerade Linie a, die die Symmetrieachse sein wird. Wenn seine Koordinaten nicht angegeben sind, zeichnen Sie es willkürlich. Platzieren Sie einen beliebigen Punkt A auf einer Seite dieser Linie. Sie müssen einen symmetrischen Punkt finden.
Hilfreicher Rat
Symmetrieeigenschaften werden in AutoCAD ständig verwendet. Nutzen Sie hierzu die Option „Spiegeln“. Um ein gleichschenkliges Dreieck oder gleichschenkliges Trapez zu konstruieren, reicht es aus, die untere Basis und den Winkel zwischen dieser und der Seite zu zeichnen. Spiegeln Sie sie mit dem angegebenen Befehl und erweitern Sie die Seiten auf die erforderliche Größe. Bei einem Dreieck ist dies der Schnittpunkt, bei einem Trapez ein vorgegebener Wert.
In Grafikeditoren stößt man immer wieder auf Symmetrie, wenn man die Option „vertikal/horizontal spiegeln“ verwendet. In diesem Fall wird als Symmetrieachse eine Gerade angenommen, die einer der vertikalen oder horizontalen Seiten des Bilderrahmens entspricht.
Quellen:
- Wie zeichnet man eine Zentralsymmetrie?
Den Querschnitt eines Kegels zu konstruieren, ist keine so schwierige Aufgabe. Die Hauptsache ist, eine strikte Abfolge von Aktionen einzuhalten. Dann ist diese Aufgabe leicht zu bewältigen und erfordert nicht viel Arbeit von Ihnen.
Du wirst brauchen
- - Papier;
- - Griff;
- - Kreis;
- - Herrscher.
Anweisungen
Bei der Beantwortung dieser Frage müssen Sie zunächst entscheiden, welche Parameter den Abschnitt definieren.
Dies sei die Schnittlinie der Ebene l mit der Ebene und dem Punkt O, der der Schnittpunkt mit ihrem Abschnitt ist.
Der Aufbau ist in Abb. 1 dargestellt. Der erste Schritt beim Konstruieren eines Abschnitts erfolgt durch die Mitte des Abschnitts mit seinem Durchmesser, der senkrecht zu dieser Linie auf l verlängert wird. Das Ergebnis ist Punkt L. Als nächstes zeichnen Sie eine Gerade LW durch Punkt O und konstruieren zwei Leitkegel, die im Hauptabschnitt O2M und O2C liegen. Am Schnittpunkt dieser Hilfslinien liegen Punkt Q sowie der bereits gezeigte Punkt W. Dies sind die ersten beiden Punkte des gewünschten Abschnitts.
Zeichnen Sie nun eine Senkrechte MS an der Basis des Kegels BB1 und konstruieren Sie Erzeuger des senkrechten Abschnitts O2B und O2B1. Zeichnen Sie in diesem Abschnitt durch Punkt O eine gerade Linie RG parallel zu BB1. Т.R und Т.G sind zwei weitere Punkte des gewünschten Abschnitts. Wenn der Querschnitt der Kugel bekannt wäre, könnte sie bereits zu diesem Zeitpunkt gebaut werden. Dabei handelt es sich jedoch überhaupt nicht um eine Ellipse, sondern um etwas Elliptisches, das Symmetrie bezüglich der Strecke QW aufweist. Daher sollten Sie möglichst viele Schnittpunkte bilden, um diese später mit einer glatten Kurve zu verbinden und so eine möglichst zuverlässige Skizze zu erhalten.
Konstruieren Sie einen beliebigen Schnittpunkt. Zeichnen Sie dazu einen beliebigen Durchmesser AN an der Basis des Kegels und konstruieren Sie die entsprechenden Führungen O2A und O2N. Zeichnen Sie durch t.O eine gerade Linie, die durch PQ und WG verläuft, bis sie die neu konstruierten Hilfslinien an den Punkten P und E schneidet. Dies sind zwei weitere Punkte des gewünschten Abschnitts. Wenn Sie auf die gleiche Weise fortfahren, können Sie so viele Punkte finden, wie Sie möchten.
Zwar kann das Verfahren zu ihrer Ermittlung durch Symmetrie in Bezug auf QW etwas vereinfacht werden. Dazu können Sie in der Ebene des gewünschten Abschnitts gerade Linien SS‘ parallel zu RG zeichnen, bis sie die Kegeloberfläche schneiden. Die Konstruktion wird durch Abrunden der konstruierten Polylinie aus Akkorden abgeschlossen. Aufgrund der bereits erwähnten Symmetrie bezüglich QW reicht es aus, die Hälfte des gewünschten Abschnitts zu konstruieren.
Video zum Thema
Tipp 3: So zeichnen Sie eine trigonometrische Funktion grafisch auf
Du musst zeichnen Zeitplan trigonometrisch Funktionen? Beherrschen Sie den Aktionsalgorithmus am Beispiel der Konstruktion einer Sinuskurve. Um das Problem zu lösen, verwenden Sie die Forschungsmethode.
Du wirst brauchen
- - Herrscher;
- - Bleistift;
- - Kenntnisse der Grundlagen der Trigonometrie.
Anweisungen
Video zum Thema
beachten Sie
Wenn die beiden Halbachsen eines Einstreifen-Hyperboloids gleich sind, kann die Figur durch Drehen einer Hyperbel mit Halbachsen erhalten werden, von denen eine die obige und die andere von den beiden gleichen verschieden ist imaginäre Achse.
Hilfreicher Rat
Wenn man diese Figur relativ zu den Oxz- und Oyz-Achsen untersucht, wird deutlich, dass ihre Hauptabschnitte Hyperbeln sind. Und wenn diese räumliche Rotationsfigur durch die Oxy-Ebene geschnitten wird, ist ihr Schnitt eine Ellipse. Die Halsellipse eines Einstreifen-Hyperboloids verläuft durch den Koordinatenursprung, weil z=0.
Die Halsellipse wird durch die Gleichung x²/a² +y²/b²=1 beschrieben, und die anderen Ellipsen setzen sich aus der Gleichung x²/a² +y²/b²=1+h²/c² zusammen.
Quellen:
- Ellipsoide, Paraboloide, Hyperboloide. Geradlinige Generatoren
Die Form eines fünfzackigen Sterns wird vom Menschen seit der Antike häufig verwendet. Wir halten seine Form für schön, weil wir in ihm unbewusst die Zusammenhänge des Goldenen Schnitts erkennen, also Die Schönheit des fünfzackigen Sterns ist mathematisch begründet. Euklid war der erste, der in seinen Elementen den Aufbau eines fünfzackigen Sterns beschrieb. Lassen Sie uns an seiner Erfahrung teilhaben.
Du wirst brauchen
- Herrscher;
- Bleistift;
- Kompass;
- Winkelmesser.
Anweisungen
Bei der Konstruktion eines Sterns kommt es auf die Konstruktion und anschließende Verbindung seiner Spitzen miteinander nacheinander durch eins an. Um den richtigen Kreis zu bilden, müssen Sie den Kreis in fünf Teile teilen.
Konstruieren Sie mit einem Zirkel einen beliebigen Kreis. Markieren Sie seinen Mittelpunkt mit Punkt O.
Markieren Sie Punkt A und zeichnen Sie mit einem Lineal das Liniensegment OA. Jetzt müssen Sie das Segment OA in zwei Hälften teilen. Zeichnen Sie dazu vom Punkt A aus einen Bogen mit dem Radius OA, bis er den Kreis an zwei Punkten M und N schneidet. Konstruieren Sie das Segment MN. Der Punkt E, an dem MN OA schneidet, halbiert das Segment OA.
Stellen Sie die Senkrechte OD auf den Radius OA wieder her und verbinden Sie die Punkte D und E. Machen Sie eine Kerbe B auf OA vom Punkt E mit dem Radius ED.
Markieren Sie nun mithilfe des Liniensegments DB den Kreis in fünf gleiche Teile. Beschriften Sie die Eckpunkte des regelmäßigen Fünfecks der Reihe nach mit Zahlen von 1 bis 5. Verbinden Sie die Punkte in der folgenden Reihenfolge: 1 mit 3, 2 mit 4, 3 mit 5, 4 mit 1, 5 mit 2. Hier ist das regelmäßige Fünfeck Stern, in ein regelmäßiges Fünfeck. Genau so habe ich es gebaut
