Den Grenzwert einer Zahlenfolge finden. Verschiedene Aktionen mit Grenzen. Der Grenzwertbegriff in der Mathematik

Grenzwerte bereiten allen Mathematikstudenten große Probleme. Um ein Limit zu lösen, muss man manchmal viele Tricks anwenden und aus einer Vielzahl von Lösungsmethoden genau diejenige auswählen, die für ein bestimmtes Beispiel geeignet ist.

In diesem Artikel werden wir Ihnen nicht helfen, die Grenzen Ihrer Fähigkeiten oder die Grenzen der Kontrolle zu verstehen, sondern wir werden versuchen, die Frage zu beantworten: Wie versteht man Grenzen in der höheren Mathematik? Verständnis geht mit Erfahrung einher, daher werden wir gleichzeitig mehrere detaillierte Beispiele zur Lösung von Grenzen mit Erläuterungen geben.

Der Grenzwertbegriff in der Mathematik

Die erste Frage ist: Was ist diese Grenze und die Grenze wovon? Wir können über die Grenzen numerischer Folgen und Funktionen sprechen. Wir interessieren uns für das Konzept des Grenzwerts einer Funktion, da dies das ist, was Studierende am häufigsten antreffen. Doch zunächst die allgemeinste Definition einer Grenze:

Nehmen wir an, es gibt einen variablen Wert. Wenn sich dieser Wert im Veränderungsprozess unbegrenzt einer bestimmten Zahl nähert A , Das A – die Grenze dieses Wertes.

Für eine in einem bestimmten Intervall definierte Funktion f(x)=y Eine solche Zahl wird als Grenzwert bezeichnet A , zu dem die Funktion tendiert, wenn X , tendiert zu einem bestimmten Punkt A . Punkt A gehört zu dem Intervall, in dem die Funktion definiert ist.

Es klingt umständlich, ist aber ganz einfach geschrieben:

Lim- aus dem Englischen Grenze- Grenze.

Es gibt auch eine geometrische Erklärung für die Bestimmung des Grenzwerts, aber wir werden hier nicht auf die Theorie eingehen, da uns mehr die praktische als die theoretische Seite des Problems interessiert. Wenn wir das sagen X tendiert zu einem bestimmten Wert, das bedeutet, dass die Variable nicht den Wert einer Zahl annimmt, sondern sich dieser unendlich nahe annähert.

Lassen Sie uns ein konkretes Beispiel geben. Die Aufgabe besteht darin, die Grenze zu finden.

Um dieses Beispiel zu lösen, ersetzen wir den Wert x=3 in eine Funktion umwandeln. Wir bekommen:

Übrigens, wenn Sie Interesse haben, lesen Sie einen separaten Artikel zu diesem Thema.

In Beispielen X kann zu jedem beliebigen Wert tendieren. Es kann eine beliebige Zahl oder unendlich sein. Hier ist ein Beispiel, wann X tendiert zur Unendlichkeit:

Intuitiv gilt: Je größer die Zahl im Nenner, desto kleiner ist der Wert, den die Funktion annimmt. Also mit unbegrenztem Wachstum X Bedeutung 1/x wird abnehmen und gegen Null gehen.

Wie Sie sehen, müssen Sie zum Lösen des Grenzwerts lediglich den anzustrebenden Wert in die Funktion einsetzen X . Dies ist jedoch der einfachste Fall. Oft ist es nicht so offensichtlich, die Grenze zu finden. Innerhalb der Grenzen gibt es Unsicherheiten der Art 0/0 oder Unendlichkeit/Unendlichkeit . Was ist in solchen Fällen zu tun? Greifen Sie zu Tricks!

Unsicherheiten im Inneren

Unsicherheit der Form Unendlichkeit/Unendlichkeit

Lass es eine Grenze geben:

Wenn wir versuchen, Unendlich in die Funktion einzusetzen, erhalten wir Unendlichkeit sowohl im Zähler als auch im Nenner. Im Allgemeinen ist es erwähnenswert, dass die Auflösung solcher Unsicherheiten ein gewisses Kunststück darstellt: Man muss erkennen, wie man die Funktion so umwandeln kann, dass die Unsicherheit verschwindet. In unserem Fall dividieren wir Zähler und Nenner durch X im Oberstufenstudium. Was wird passieren?

Aus dem oben bereits diskutierten Beispiel wissen wir, dass Terme, die x im Nenner enthalten, gegen Null tendieren. Dann lautet die Lösung des Grenzwerts:

Zur Lösung von Typunsicherheiten Unendlichkeit/Unendlichkeit Teilen Sie Zähler und Nenner durch X im höchsten Maße.

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Eine andere Art von Unsicherheit: 0/0

Wie immer Werte in die Funktion einsetzen x=-1 gibt 0 im Zähler und Nenner. Schauen Sie etwas genauer hin und Sie werden feststellen, dass wir im Zähler eine quadratische Gleichung haben. Lasst uns die Wurzeln finden und schreiben:

Reduzieren wir und erhalten:

Wenn Sie also mit Typunsicherheit konfrontiert sind 0/0 – Faktorisieren Sie Zähler und Nenner.

Um Ihnen das Lösen von Beispielen zu erleichtern, präsentieren wir eine Tabelle mit den Grenzen einiger Funktionen:

L'Hopitals Herrschaft im Inneren

Eine weitere wirkungsvolle Möglichkeit, beide Arten von Unsicherheit zu beseitigen. Was ist die Essenz der Methode?

Wenn der Grenzwert unsicher ist, bilden Sie die Ableitung von Zähler und Nenner ab, bis die Unsicherheit verschwindet.

Die Regel von L'Hopital sieht folgendermaßen aus:

Wichtiger Punkt : Der Grenzwert, in dem die Ableitungen von Zähler und Nenner anstelle von Zähler und Nenner stehen, muss existieren.

Und jetzt - ein echtes Beispiel:

Es herrscht typische Unsicherheit 0/0 . Nehmen wir die Ableitungen von Zähler und Nenner:

Voila, Unsicherheit wird schnell und elegant gelöst.

Wir hoffen, dass Sie diese Informationen in der Praxis sinnvoll anwenden und die Antwort auf die Frage „Wie löst man Grenzwerte in der höheren Mathematik“ finden? Wenn Sie den Grenzwert einer Folge oder den Grenzwert einer Funktion an einem Punkt berechnen müssen und für diese Arbeit absolut keine Zeit ist, kontaktieren Sie uns für eine schnelle und detaillierte Lösung.

Zahlenfolge.
Wie ?

In dieser Lektion erfahren wir viel Interessantes aus dem Leben der Mitglieder einer großen Community namens Vkontakte Zahlenfolgen. Das behandelte Thema bezieht sich nicht nur auf den Verlauf der mathematischen Analyse, sondern berührt auch die Grundlagen Diskrete Mathematik. Darüber hinaus wird das Material insbesondere für die Beherrschung weiterer Turmabschnitte im Rahmen des Studiums benötigt Zahlenreihe Und Funktionsreihe. Man kann banal sagen, dass das wichtig ist, man kann ermutigend sagen, dass es einfach ist, man kann noch viel mehr Routinesätze sagen, aber heute ist die erste, ungewöhnlich faule Schulwoche, deshalb macht es mir furchtbar kaputt, den ersten Absatz zu schreiben =) I Ich habe die Datei bereits in meinem Herzen gespeichert und mich zum Schlafen fertig gemacht, als plötzlich... mein Kopf von der Idee eines aufrichtigen Geständnisses erleuchtet wurde, was meine Seele unglaublich erleichterte und mich dazu drängte, weiterhin mit den Fingern auf der Tastatur zu tippen .

Machen wir eine Pause von den Sommererinnerungen und werfen einen Blick in diese faszinierende und positive Welt des neuen sozialen Netzwerks:

Konzept der Zahlenfolge

Denken wir zunächst über das Wort selbst nach: Was ist Sequenz? Sequenz ist, wenn etwas auf etwas folgt. Zum Beispiel eine Abfolge von Aktionen, eine Abfolge von Jahreszeiten. Oder wenn sich jemand hinter jemandem befindet. Zum Beispiel eine Abfolge von Menschen in einer Schlange, eine Abfolge von Elefanten auf dem Weg zu einer Wasserstelle.

Lassen Sie uns gleich die charakteristischen Merkmale der Sequenz klären. Erstens, Sequenzmitglieder befinden sich streng in einer bestimmten Reihenfolge. Wenn also zwei Personen in der Warteschlange vertauscht werden, ist dies bereits der Fall andere Folge. Zweitens, jeder Sequenzmitglied Sie können eine Seriennummer vergeben:

Genauso ist es auch mit Zahlen. Lassen zu jedem natürlicher Wert nach einer Regel mit einer reellen Zahl abgeglichen. Dann sagen sie, dass eine Zahlenfolge gegeben ist.

Ja, bei mathematischen Problemen enthält die Reihenfolge im Gegensatz zu Lebenssituationen fast immer unendlich viele Zahlen.

Dabei:
angerufen erstes Mitglied Sequenzen;
– zweites Mitglied Sequenzen;
– drittes Mitglied Sequenzen;
…
– nth oder gemeinsames Mitglied Sequenzen;
…

In der Praxis ist die Reihenfolge meist vorgegeben allgemeine Begriffsformel, Zum Beispiel:
– Folge positiver gerader Zahlen:

Somit bestimmt der Datensatz eindeutig alle Mitglieder der Sequenz – dies ist die Regel (Formel), nach der natürliche Werte gelten Zahlen werden in Korrespondenz gebracht. Daher wird die Reihenfolge oft kurz mit einem gebräuchlichen Begriff bezeichnet und anstelle von „x“ können andere lateinische Buchstaben verwendet werden, zum Beispiel:

Folge positiver ungerader Zahlen:

Eine weitere häufige Reihenfolge:

Wie viele wahrscheinlich bemerkt haben, spielt die Variable „en“ die Rolle einer Art Zähler.

Tatsächlich haben wir uns schon in der Mittelschule mit Zahlenfolgen beschäftigt. Lass uns erinnern arithmetische Folge. Ich werde die Definition nicht umschreiben; lassen Sie uns anhand eines konkreten Beispiels auf das Wesentliche eingehen. Sei der erste Term und – Schritt arithmetische Folge. Dann:
– die zweite Amtszeit dieser Progression;
– die dritte Amtszeit dieser Progression;
- vierter;
- fünfter;
…
Und natürlich ist der n-te Term angegeben wiederkehrend Formel

Notiz : In einer wiederkehrenden Formel wird jeder nachfolgende Term durch den vorherigen Term oder sogar durch eine ganze Reihe vorheriger Terme ausgedrückt.

Die resultierende Formel ist in der Praxis von geringem Nutzen – um beispielsweise zu zu gelangen, müssen Sie alle vorherigen Begriffe durchgehen. Und in der Mathematik wurde ein bequemerer Ausdruck für das n-te Glied einer arithmetischen Folge abgeleitet: . In unserem Fall:

Setzen Sie natürliche Zahlen in die Formel ein und überprüfen Sie die Richtigkeit der oben konstruierten Zahlenfolge.

Ähnliche Berechnungen können durchgeführt werden geometrischer Verlauf, dessen n-ter Term durch die Formel gegeben ist, wobei der erste Term ist und – Nenner Fortschreiten. Bei Mathematikaufgaben ist der erste Term oft gleich eins.

Progression legt die Reihenfolge fest ;
Fortschreiten legt die Reihenfolge fest;
Fortschreiten legt die Reihenfolge fest ;
Fortschreiten legt die Reihenfolge fest .

Ich hoffe, jeder weiß, dass –1 zu einer ungeraden Potenz gleich –1 ist und zu einer geraden Potenz – eins.

Fortschritt heißt unendlich abnehmend, if (letzte beiden Fälle).

Fügen wir unserer Liste zwei neue Freunde hinzu, von denen einer gerade an die Matrix des Monitors geklopft hat:

Die Sequenz wird im mathematischen Fachjargon als „Blinker“ bezeichnet:

Auf diese Weise, Sequenzmitglieder können wiederholt werden. Im betrachteten Beispiel besteht die Folge also aus zwei unendlich alternierenden Zahlen.

Kommt es vor, dass eine Folge aus identischen Zahlen besteht? Sicherlich. Es setzt zum Beispiel unendlich viele „Dreier“. Für Ästheten gibt es einen Fall, in dem „en“ noch formal in der Formel vorkommt:

Laden wir einen einfachen Freund zum Tanzen ein:

Was passiert, wenn „en“ auf unendlich ansteigt? Offensichtlich werden die Mitglieder der Sequenz sein unendlich nah gegen Null gehen. Dies ist der Grenzwert dieser Folge, die wie folgt geschrieben ist:

Wenn der Grenzwert einer Folge Null ist, wird sie aufgerufen unendlich klein.

In der Theorie der mathematischen Analyse ist es gegeben strenge Definition der Sequenzgrenze durch die sogenannte Epsilon-Nachbarschaft. Der nächste Artikel wird dieser Definition gewidmet sein, aber schauen wir uns zunächst ihre Bedeutung an:

Stellen wir auf dem Zahlenstrahl die Terme der Folge und der Umgebung symmetrisch bezüglich Null (Limit) dar:


Drücken Sie nun den blauen Bereich mit den Handflächenkanten zusammen und beginnen Sie, ihn zu verkleinern, indem Sie ihn bis zum Rand (roter Punkt) ziehen. Eine Zahl ist die Grenze einer Sequenz, wenn FÜR JEDE vorab ausgewählte -Nachbarschaft (so klein wie Sie möchten) wird drin sein unendlich viele Mitglieder der Sequenz und nur AUSSERHALB davon Finale Anzahl der Mitglieder (oder gar keine). Das heißt, die Epsilon-Nachbarschaft kann mikroskopisch klein und sogar noch kleiner sein, der „unendliche Schwanz“ der Sequenz muss es jedoch früher oder später tun völlig Betreten Sie den Bereich.

Auch die Folge ist infinitesimal: mit dem Unterschied, dass ihre Mitglieder nicht hin und her springen, sondern sich dem Grenzwert ausschließlich von rechts nähern.

Natürlich kann der Grenzwert gleich jeder anderen endlichen Zahl sein, ein elementares Beispiel:

Hier tendiert der Bruch gegen Null und dementsprechend ist die Grenze gleich „zwei“.

Wenn die Reihenfolge es gibt eine endliche Grenze, dann heißt es konvergent(insbesondere, unendlich klein bei ). Sonst - abweichend In diesem Fall sind zwei Möglichkeiten möglich: Entweder existiert die Grenze überhaupt nicht oder sie ist unendlich. Im letzteren Fall wird die Sequenz aufgerufen unendlich groß. Lassen Sie uns die Beispiele des ersten Absatzes durchgehen:

Sequenzen Sind unendlich groß, während sich ihre Mitglieder selbstbewusst in Richtung „plus unendlich“ bewegen:

Auch eine arithmetische Folge mit erstem Term und Schritt ist unendlich groß:

Übrigens divergiert auch jede arithmetische Folge, mit Ausnahme des Falles mit einem Nullschritt – wenn . Der Grenzwert einer solchen Folge existiert und fällt mit dem ersten Term zusammen.

Die Sequenzen haben ein ähnliches Schicksal:

Jede unendlich abnehmende geometrische Progression ist, wie der Name schon sagt, unendlich klein:

Wenn der Nenner der geometrischen Folge ist, dann ist die Folge unendlich groß:

Wenn zum Beispiel, dann existiert die Grenze überhaupt nicht, da die Mitglieder unermüdlich entweder nach „plus Unendlich“ oder nach „minus Unendlich“ springen. Und der gesunde Menschenverstand und Matans Theoreme legen nahe, dass, wenn etwas irgendwohin strebt, dies der einzig geschätzte Ort ist.

Nach einer kleinen Offenbarung Es wird deutlich, dass das „blinkende Licht“ für das unkontrollierbare Werfen verantwortlich ist, das übrigens von selbst auseinandergeht.
Tatsächlich ist es für eine Folge einfach, eine -Umgebung zu wählen, die beispielsweise nur die Zahl –1 einschließt. Dadurch verbleiben unendlich viele Folgenglieder („Plus-Einser“) außerhalb dieser Nachbarschaft. Aber per Definition muss der „unendliche Schwanz“ der Folge ab einem bestimmten Zeitpunkt (natürliche Zahl) sein völlig Gehen Sie in die Nähe Ihres Limits. Fazit: Der Himmel ist die Grenze.

Fakultät ist unendlich groß Reihenfolge:

Darüber hinaus wächst es sprunghaft, sodass es sich um eine Zahl handelt, die mehr als 100 Stellen (Ziffern) hat! Warum genau 70? Darauf fleht mein technischer Mikrorechner um Gnade.

Bei einem Kontrollschuss ist alles etwas komplizierter und wir sind gerade beim praktischen Teil der Vorlesung angelangt, in dem wir Kampfbeispiele analysieren:

Aber jetzt müssen Sie in der Lage sein, die Grenzen von Funktionen zu lösen, zumindest auf der Ebene von zwei grundlegenden Lektionen: Grenzen. Beispiele für Lösungen Und Wunderbare Grenzen. Weil viele Lösungsmethoden ähnlich sein werden. Aber analysieren wir zunächst die grundlegenden Unterschiede zwischen dem Grenzwert einer Folge und dem Grenzwert einer Funktion:

Im Grenzfall der Folge kann die „dynamische“ Variable „en“ dazu tendieren nur bis „plus unendlich“– hin zu zunehmenden natürlichen Zahlen .
Im Grenzwert der Funktion kann „x“ überall hin gerichtet sein – auf „plus/minus unendlich“ oder auf eine beliebige reelle Zahl.

Folge diskret(diskontinuierlich), das heißt, es besteht aus einzelnen isolierten Mitgliedern. Eins, zwei, drei, vier, fünf, der Hase ging spazieren. Das Argument einer Funktion zeichnet sich durch Kontinuität aus, das heißt, „X“ tendiert reibungslos und ohne Zwischenfälle zu dem einen oder anderen Wert. Und dementsprechend werden sich auch die Funktionswerte kontinuierlich ihrer Grenze nähern.

Wegen Diskretion Innerhalb der Sequenzen gibt es ihre eigenen charakteristischen Dinge, wie Fakultäten, „blinkende Lichter“, Progressionen usw. Und jetzt werde ich versuchen, die sequenzspezifischen Grenzen zu analysieren.

Beginnen wir mit den Fortschritten:

Beispiel 1

Finden Sie den Grenzwert der Folge

Lösung: so etwas wie eine unendlich abnehmende geometrische Progression, aber ist das wirklich so? Der Klarheit halber schreiben wir die ersten paar Begriffe auf:

Seitdem reden wir darüber Menge Terme einer unendlich abnehmenden geometrischen Progression, die durch die Formel berechnet wird.

Treffen wir eine Entscheidung:

Wir verwenden die Formel für die Summe einer unendlich abnehmenden geometrischen Progression: . In diesem Fall: – der erste Term, – der Nenner der Progression.

Beispiel 2

Schreiben Sie die ersten vier Terme der Folge und finden Sie ihren Grenzwert

Dies ist ein Beispiel, das Sie selbst lösen können. Um die Unsicherheit im Zähler zu beseitigen, müssen Sie die Formel für die Summe der ersten Terme einer arithmetischen Folge anwenden:
, wobei der erste und a der n-te Term der Progression ist.

Da innerhalb von Sequenzen „en“ immer zu „plus unendlich“ tendiert, ist es nicht verwunderlich, dass Unsicherheit zu den beliebtesten gehört.
Und viele Beispiele werden genauso gelöst wie Funktionsgrenzen!

Oder vielleicht etwas Komplizierteres wie ? Schauen Sie sich Beispiel Nr. 3 des Artikels an Methoden zur Lösung von Grenzen.

Aus formaler Sicht besteht der Unterschied nur in einem Buchstaben – hier „x“ und hier „en“.
Die Technik ist die gleiche – Zähler und Nenner müssen bis zum höchsten Grad durch „en“ dividiert werden.

Außerdem kommt es häufig zu Unsicherheiten innerhalb von Sequenzen. So lösen Sie Grenzen wie finden Sie in den Beispielen Nr. 11-13 desselben Artikels.

Um den Grenzwert zu verstehen, sehen Sie sich Beispiel Nr. 7 der Lektion an Wunderbare Grenzen(Die zweite bemerkenswerte Grenze gilt auch für den diskreten Fall). Die Lösung wird wieder wie ein Durchschlag mit einem einzigen Buchstaben Unterschied sein.

Die nächsten vier Beispiele (Nr. 3-6) sind ebenfalls „zweiseitig“, aber in der Praxis sind sie aus irgendeinem Grund eher für Sequenzgrenzen als für Funktionsgrenzen charakteristisch:

Beispiel 3

Finden Sie den Grenzwert der Folge

Lösung: zuerst die komplette Lösung, dann Schritt-für-Schritt-Kommentare:

(1) Im Zähler verwenden wir die Formel zweimal.

(2) Wir stellen ähnliche Begriffe im Zähler dar.

(3) Um Unsicherheiten zu beseitigen, dividieren Sie Zähler und Nenner durch („en“ bis zum höchsten Grad).

Wie Sie sehen, nichts Kompliziertes.

Beispiel 4

Finden Sie den Grenzwert der Folge

Dies ist ein Beispiel, das Sie selbst lösen können. abgekürzte Multiplikationsformeln helfen.

Innerhalb von s indikativ Sequenzen verwenden eine ähnliche Methode zur Division von Zähler und Nenner:

Beispiel 5

Finden Sie den Grenzwert der Folge

Lösung Ordnen wir es nach dem gleichen Schema an:

Ein ähnlicher Satz gilt übrigens auch für Funktionen: Das Produkt einer beschränkten Funktion und einer Infinitesimalfunktion ist eine Infinitesimalfunktion.

Beispiel 9

Finden Sie den Grenzwert der Folge

Die Definition des endlichen Grenzwerts einer Folge ist gegeben. Verwandte Eigenschaften und äquivalente Definitionen werden besprochen. Es wird definiert, dass Punkt a nicht der Grenzwert der Folge ist. Es werden Beispiele betrachtet, in denen die Existenz einer Grenze anhand der Definition nachgewiesen wird.

Hier betrachten wir die Definition des endlichen Grenzwerts einer Folge. Der Fall einer gegen Unendlich konvergierenden Folge wird auf der Seite „Definition einer unendlich großen Folge“ besprochen.

Definition.
(xn), wenn für jede positive Zahl ε > 0 Es gibt eine von ε abhängige natürliche Zahl N ε, so dass für alle natürlichen Zahlen n > N ε die Ungleichung gilt
| x n - a|< ε .
Die Sequenzgrenze wird wie folgt bezeichnet:
.
Oder bei .

Lassen Sie uns die Ungleichung transformieren:
;
;
.

Ein offenes Intervall (a - ε, a + ε) heißt ε - Umgebung von Punkt a.

Eine Folge, die einen Grenzwert hat, wird aufgerufen konvergente Folge. Es wird auch gesagt, dass die Reihenfolge konvergiert zu einem. Eine Folge, die keine Grenze hat, wird aufgerufen abweichend.

Aus der Definition folgt, dass es, wenn eine Folge einen Grenzwert a hat, unabhängig davon, welche ε-Umgebung des Punktes a wir wählen, außerhalb davon nur eine endliche Anzahl oder gar keine Elemente der Folge geben kann (die leere Menge). . Und jede ε-Umgebung enthält unendlich viele Elemente. Tatsächlich haben wir, nachdem wir eine bestimmte Zahl ε angegeben haben, die Zahl . Per Definition befinden sich also alle Elemente der Folge mit Zahlen in der ε-Umgebung des Punktes a. Die ersten Elemente können überall platziert werden. Das heißt, außerhalb der ε-Umgebung kann es nicht mehr als Elemente geben – also eine endliche Zahl.

Wir stellen außerdem fest, dass die Differenz nicht monoton gegen Null tendieren, also ständig abnehmen muss. Es kann nichtmonoton gegen Null tendieren: Es kann entweder zunehmen oder abnehmen und lokale Maxima aufweisen. Allerdings sollten diese Maxima mit zunehmendem n gegen Null tendieren (möglicherweise auch nicht monoton).

Unter Verwendung der logischen Symbole der Existenz und Universalität kann die Definition einer Grenze wie folgt geschrieben werden:
(1) .

Feststellen, dass a kein Grenzwert ist

Betrachten Sie nun die umgekehrte Aussage, dass die Zahl a nicht der Grenzwert der Folge ist.

Nummer a ist nicht die Grenze der Folge, wenn es so etwas gibt, dass es für jede natürliche Zahl n ein solches natürliches m gibt > n, Was
.

Schreiben wir diese Aussage mit logischen Symbolen.
(2) .

Erkläre das Zahl a ist nicht die Grenze der Folge, bedeutet, dass
Sie können eine solche ε-Umgebung des Punktes a wählen, außerhalb derer es unendlich viele Elemente der Folge gibt.

Schauen wir uns ein Beispiel an. Gegeben sei eine Folge mit einem gemeinsamen Element
(3)
Jede Umgebung eines Punktes enthält unendlich viele Elemente. Allerdings ist dieser Punkt nicht die Grenze der Folge, da jede Umgebung des Punktes auch unendlich viele Elemente enthält. Nehmen wir ε – eine Umgebung eines Punktes mit ε = 1 . Dies wird das Intervall sein (-1, +1) . Alle Elemente außer dem ersten mit geradem n gehören zu diesem Intervall. Aber alle Elemente mit ungeradem n liegen außerhalb dieses Intervalls, da sie die Ungleichung x n erfüllen > 2 . Da die Anzahl der ungeraden Elemente unendlich ist, gibt es auch außerhalb der gewählten Umgebung unendlich viele Elemente. Daher ist der Punkt nicht die Grenze der Sequenz.

Nun werden wir dies zeigen und uns dabei strikt an Aussage (2) halten. Der Punkt ist kein Grenzwert der Folge (3), da es eine solche gibt, dass es für jedes natürliche n ein ungerades gibt, für das die Ungleichung gilt
.

Es kann auch gezeigt werden, dass kein Punkt a ein Grenzwert dieser Folge sein kann. Wir können immer eine ε-Umgebung von Punkt a wählen, die weder Punkt 0 noch Punkt 2 enthält. Und dann wird es außerhalb der gewählten Umgebung unendlich viele Elemente der Folge geben.

Äquivalente Definition

Wir können eine äquivalente Definition des Grenzwerts einer Folge geben, wenn wir das Konzept der ε-Nachbarschaft erweitern. Eine äquivalente Definition erhalten wir, wenn sie statt einer ε-Umgebung eine beliebige Umgebung des Punktes a enthält.

Bestimmen der Umgebung eines Punktes
Nachbarschaft von Punkt A Jedes offene Intervall, das diesen Punkt enthält, wird aufgerufen. Mathematisch ist die Nachbarschaft wie folgt definiert: , wobei ε 1 und ε 2 - beliebige positive Zahlen.

Dann lautet die Definition des Grenzwerts wie folgt.

Äquivalente Definition der Sequenzgrenze
Die Zahl a heißt Grenzwert der Folge, wenn es für irgendeine Umgebung davon eine natürliche Zahl N gibt, so dass alle Elemente der Folge mit Zahlen zu dieser Umgebung gehören.

Diese Definition kann auch in erweiterter Form dargestellt werden.

Die Zahl a heißt Grenzwert der Folge, wenn für jede positive Zahl eine natürliche Zahl N existiert, abhängig davon und so, dass die Ungleichungen für alle natürlichen Zahlen gelten
.

Nachweis der Gleichwertigkeit von Definitionen

Beweisen wir, dass die beiden oben dargestellten Definitionen des Grenzwertes einer Folge äquivalent sind.

Die Zahl a sei der Grenzwert der Folge gemäß der ersten Definition. Das bedeutet, dass es eine Funktion gibt, sodass für jede positive Zahl ε die folgenden Ungleichungen gelten:
(4) bei .

Zeigen wir, dass die Zahl a der Grenzwert der Folge nach der zweiten Definition ist. Das heißt, wir müssen zeigen, dass es eine solche Funktion gibt, so dass für alle positiven Zahlen ε gilt 1 und ε 2 die folgenden Ungleichungen erfüllt sind:
(5) bei .

Lassen Sie uns zwei positive Zahlen haben: ε 1 und ε 2 . Und sei ε das kleinste davon: . Dann ; ; . Lassen Sie uns dies in (5) verwenden:
.
Aber die Ungleichungen sind erfüllt für . Dann sind auch die Ungleichungen (5) erfüllt für .

Das heißt, wir haben eine Funktion gefunden, für die die Ungleichungen (5) für alle positiven Zahlen ε erfüllt sind 1 und ε 2 .
Der erste Teil ist bewiesen.

Nun sei die Zahl a der Grenzwert der Folge gemäß der zweiten Definition. Das bedeutet, dass es für jede positive Zahl ε eine Funktion gibt 1 und ε 2 die folgenden Ungleichungen erfüllt sind:
(5) bei .

Zeigen wir, dass die Zahl a der Grenzwert der Folge nach der ersten Definition ist. Dazu müssen Sie Folgendes eingeben. Dann gelten folgende Ungleichungen:
.
Dies entspricht der ersten Definition mit .
Die Gleichwertigkeit der Definitionen ist nachgewiesen.

Beispiele

Hier sehen wir uns einige Beispiele an, in denen wir beweisen müssen, dass eine gegebene Zahl a der Grenzwert einer Folge ist. In diesem Fall müssen Sie eine beliebige positive Zahl ε angeben und eine Funktion N von ε definieren, sodass die Ungleichung gilt.

Beispiel 1

Beweise das .

(1) .
In unserem Fall ;
.

.
Nutzen wir die Eigenschaften von Ungleichungen. Dann wenn und , dann
.

.
Dann
bei .
Dies bedeutet, dass die Zahl die Grenze der gegebenen Folge ist:
.

Beispiel 2

Beweisen Sie dies anhand der Definition des Grenzwerts einer Folge
.

Schreiben wir die Definition des Grenzwertes einer Folge auf:
(1) .
In unserem Fall , ;
.

Geben Sie positive Zahlen ein und:
.
Nutzen wir die Eigenschaften von Ungleichungen. Dann wenn und , dann
.

Das heißt, für jede positive Zahl können wir jede natürliche Zahl annehmen, die größer oder gleich ist:
.
Dann
bei .
.

Beispiel 3

.

Wir führen die Notation , ein.
Lassen Sie uns den Unterschied transformieren:
.
Für natürliche n = 1, 2, 3, ... wir haben:
.

Schreiben wir die Definition des Grenzwertes einer Folge auf:
(1) .
Geben Sie positive Zahlen ein und:
.
Dann wenn und , dann
.

Das heißt, für jede positive Zahl können wir jede natürliche Zahl annehmen, die größer oder gleich ist:
.
Dabei
bei .
Dies bedeutet, dass die Zahl die Grenze der Folge ist:
.

Beispiel 4

Beweisen Sie dies anhand der Definition des Grenzwerts einer Folge
.

Schreiben wir die Definition des Grenzwertes einer Folge auf:
(1) .
In unserem Fall , ;
.

Geben Sie positive Zahlen ein und:
.
Dann wenn und , dann
.

Das heißt, für jede positive Zahl können wir jede natürliche Zahl annehmen, die größer oder gleich ist:
.
Dann
bei .
Dies bedeutet, dass die Zahl die Grenze der Folge ist:
.

Verweise:
L.D. Kudryavtsev. Kurs der mathematischen Analyse. Band 1. Moskau, 2003.
CM. Nikolski. Kurs der mathematischen Analyse. Band 1. Moskau, 1983.

Für diejenigen, die lernen möchten, Grenzen zu finden, werden wir in diesem Artikel davon erzählen. Wir werden uns nicht intensiv mit der Theorie befassen; Lehrer vermitteln sie normalerweise in Vorlesungen. Daher sollte die „langweilige Theorie“ in Ihren Notizbüchern notiert werden. Ist dies nicht der Fall, können Sie Lehrbücher aus der Bibliothek der Bildungseinrichtung oder aus anderen Internetquellen lesen.

Daher ist das Konzept des Grenzwerts im Studium der höheren Mathematik sehr wichtig, insbesondere wenn Sie mit der Integralrechnung in Berührung kommen und den Zusammenhang zwischen Grenzwert und Integral verstehen. Das aktuelle Material befasst sich mit einfachen Beispielen sowie Lösungsmöglichkeiten.

Beispiele für Lösungen

Beispiel 1

Berechnen Sie a) $ \lim_(x \to 0) \frac(1)(x) $; b)$ \lim_(x \to \infty) \frac(1)(x) $

Lösung

a) $$ \lim \limits_(x \to 0) \frac(1)(x) = \infty $$ b)$$ \lim_(x \to \infty) \frac(1)(x) = 0 $$ Oftmals schicken uns Leute diese Limits mit der Bitte, bei deren Lösung zu helfen. Wir haben uns entschieden, sie als separates Beispiel hervorzuheben und zu erklären, dass diese Grenzen grundsätzlich nur beachtet werden müssen. Wenn Sie Ihr Problem nicht lösen können, dann senden Sie es an uns. Wir bieten eine detaillierte Lösung. Sie können den Fortschritt der Berechnung einsehen und Informationen erhalten. Dies wird Ihnen helfen, Ihre Note rechtzeitig von Ihrem Lehrer zu erhalten!

Antwort

$$ \text(a)) \lim \limits_(x \to 0) \frac(1)(x) = \infty \text( b))\lim \limits_(x \to \infty) \frac(1 )(x) = 0 $$

Was tun mit der Unsicherheit der Form: $ \bigg [\frac(0)(0) \bigg ] $

Beispiel 3

Lösen Sie $ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) $

Lösung

Wie immer beginnen wir damit, den Wert $ x $ in den Ausdruck unter dem Grenzwertzeichen einzusetzen. $$ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac((-1)^2-1)(-1+1)=\frac( 0)(0) $$ Wie geht es jetzt weiter? Was soll am Ende passieren? Da es sich hierbei um Unsicherheit handelt, ist dies noch keine Antwort und wir fahren mit der Berechnung fort. Da wir ein Polynom in den Zählern haben, werden wir es mit der Formel faktorisieren, die jeder aus der Schule kennt: $$ a^2-b^2=(a-b)(a+b) $$. Erinnerst du dich? Großartig! Jetzt machen Sie weiter und verwenden Sie es mit dem Lied :) Wir finden, dass der Zähler $ x^2-1=(x-1)(x+1) $ ist Wir lösen weiterhin unter Berücksichtigung der obigen Transformation: $$ \lim \limits_(x \to -1)\frac(x^2-1)(x+1) = \lim \limits_(x \to -1)\frac((x-1)(x+ 1 ))(x+1) = $$ $$ = \lim \limits_(x \to -1)(x-1)=-1-1=-2 $$

Antwort

$$ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) = -2 $$

Lassen Sie uns den Grenzwert in den letzten beiden Beispielen ins Unendliche verschieben und die Unsicherheit berücksichtigen: $ \bigg [\frac(\infty)(\infty) \bigg ] $

Beispiel 5

Berechnen Sie $ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) $

Lösung

$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac(\infty)(\infty) $ Was zu tun? Was soll ich machen? Keine Panik, denn das Unmögliche ist möglich. Es ist notwendig, das x sowohl im Zähler als auch im Nenner herauszunehmen und es dann zu reduzieren. Versuchen Sie anschließend, den Grenzwert zu berechnen. Lass es uns versuchen... $$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) =\lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2(1-\frac (1)(x^2)))(x(1+\frac(1)(x))) = $$ $$ = \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x(1-\frac(1)(x^2)))((1+\frac(1)(x))) = $$ Wenn wir die Definition aus Beispiel 2 verwenden und x durch Unendlich ersetzen, erhalten wir: $$ = \frac(\infty(1-\frac(1)(\infty)))((1+\frac(1)(\infty))) = \frac(\infty \cdot 1)(1+ 0) = \frac(\infty)(1) = \infty $$

Antwort

$$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \infty $$

Algorithmus zur Berechnung von Grenzwerten

Fassen wir also die Beispiele kurz zusammen und erstellen einen Algorithmus zur Lösung der Grenzwerte:

1. Setzen Sie den Punkt x in den Ausdruck ein, der dem Grenzzeichen folgt. Wenn eine bestimmte Zahl oder Unendlichkeit erreicht wird, ist der Grenzwert vollständig gelöst. Ansonsten haben wir die Unsicherheit: „Null geteilt durch Null“ oder „Unendlich geteilt durch Unendlich“ und fahren mit den nächsten Schritten der Anleitung fort.
2. Um die Unsicherheit von „Null dividiert durch Null“ zu beseitigen, müssen Sie Zähler und Nenner faktorisieren. Reduzieren Sie ähnliche. Ersetzen Sie den Punkt x im Ausdruck unter dem Grenzzeichen.
3. Wenn die Unsicherheit „Unendlich dividiert durch Unendlich“ ist, dann entfernen wir sowohl den Zähler als auch den Nenner x im größtmöglichen Maße. Wir kürzen die X's. Wir setzen die Werte von x unterhalb des Grenzwerts in den verbleibenden Ausdruck ein.

In diesem Artikel haben Sie die Grundlagen zum Lösen von Grenzwerten kennengelernt, die im Analysis-Kurs häufig verwendet werden. Natürlich handelt es sich hierbei nicht um alle Arten von Aufgaben, die von Prüfern angeboten werden, sondern nur um die einfachsten Grenzen. Wir werden in zukünftigen Artikeln über andere Arten von Aufgaben sprechen, aber zuerst müssen Sie diese Lektion lernen, um voranzukommen. Lassen Sie uns besprechen, was zu tun ist, wenn es Wurzeln und Grade gibt, wir werden infinitesimale äquivalente Funktionen, bemerkenswerte Grenzen und die L'Hopital-Regel untersuchen.

Wenn Sie die Grenzen nicht selbst herausfinden können, geraten Sie nicht in Panik. Wir helfen Ihnen gerne weiter!

Konstante Zahl A angerufen Grenze Sequenzen(x n ), falls für eine beliebig kleine positive Zahlε > 0 Es gibt eine Zahl N, die alle Werte hat x n, für die n>N, die Ungleichung erfüllen

|x n - a|< ε. (6.1)

Schreiben Sie es wie folgt auf: oder x n → A.

Ungleichung (6.1) entspricht der doppelten Ungleichung

a- ε< x n < a + ε, (6.2)

was bedeutet, dass die Punkte x n, ausgehend von einer Zahl n>N, innerhalb des Intervalls liegen (a-ε, a+ ε ), d.h. fallen in jedes kleineε -Nachbarschaft eines Punktes A.

Eine Folge mit einem Grenzwert wird aufgerufen konvergent, sonst - abweichend.

Das Konzept einer Funktionsgrenze ist eine Verallgemeinerung des Konzepts einer Folgengrenze, da die Grenze einer Folge als Grenze einer Funktion x n = f(n) eines ganzzahligen Arguments betrachtet werden kann N.

Die Funktion f(x) sei gegeben und sei A - Grenzpunkt Definitionsbereich dieser Funktion D(f), d.h. ein solcher Punkt, dessen Umgebung andere Punkte der Menge D(f) enthält als A. Punkt A kann zur Menge D(f) gehören oder auch nicht.

Definition 1.Die konstante Zahl A heißt Grenze Funktionen f(x) bei x→a, wenn für jede Folge (x n ) von Argumentwerten dazu tendiert A, die entsprechenden Folgen (f(x n)) haben den gleichen Grenzwert A.

Diese Definition heißt indem man den Grenzwert einer Funktion nach Heine definiert, oder " in Sequenzsprache”.

Definition 2. Die konstante Zahl A heißt Grenze Funktionen f(x) bei x→a, wenn, durch Angabe einer beliebig kleinen positiven Zahl ε, kann man ein solches δ finden>0 (abhängig von ε), was für jeden etwas ist X, liegt inε-Umgebungen der Zahl A, d.h. Für X, wodurch die Ungleichung erfüllt wird
0 < x-a< ε , liegen die Werte der Funktion f(x) inε-Umgebung der Zahl A, d.h.|f(x)-A|< ε.

Diese Definition heißt indem man den Grenzwert einer Funktion nach Cauchy definiert, oder „in der Sprache ε - δ “.

Die Definitionen 1 und 2 sind gleichwertig. Wenn die Funktion f(x) als x →a hat Grenze, gleich A, dies wird in der Form geschrieben

. (6.3)

Für den Fall, dass die Folge (f(x n)) für jede Näherungsmethode unbegrenzt zunimmt (oder abnimmt). X bis an deine Grenzen A, dann sagen wir, dass die Funktion f(x) hat unendliche Grenze, und schreibe es in der Form:

Es wird eine Variable (also eine Folge oder Funktion) aufgerufen, deren Grenzwert Null ist unendlich klein.

Eine Variable, deren Grenzwert gleich unendlich ist, wird aufgerufen unendlich groß.

Um den Grenzwert in der Praxis zu finden, werden die folgenden Theoreme verwendet.

Satz 1 . Wenn jede Grenze existiert

(6.4)

(6.5)

(6.6)

Kommentar. Ausdrücke wie 0/0, ∞/∞, ∞-∞ , 0*∞ , - sind unsicher, zum Beispiel das Verhältnis zweier unendlich kleiner oder unendlich großer Größen, und das Finden einer solchen Grenze nennt man „Unsicherheiten aufdecken“.

Satz 2. (6.7)

diese. man kann aufgrund der Potenz mit konstantem Exponenten bis zum Grenzwert gehen, insbesondere ;

(6.8)

(6.9)

Satz 3.

(6.10)

(6.11)

Wo e » 2,7 - Basis des natürlichen Logarithmus. Die Formeln (6.10) und (6.11) heißen die ersten wunderbare Grenze und die zweite bemerkenswerte Grenze.

Die Konsequenzen der Formel (6.11) werden auch in der Praxis genutzt:

(6.12)

(6.13)

(6.14)

insbesondere die Grenze,

Wenn x → a und gleichzeitig x > a, dann schreibe x→a + 0. Wenn insbesondere a = 0, dann schreiben Sie anstelle des Symbols 0+0 +0. Ebenso wenn x→a und gleichzeitig x a-0. Zahlen und heißen entsprechend rechte Grenze Und linke Grenze Funktionen f(x) am Punkt A. Damit es einen Grenzwert der Funktion f(x) als x→ gibta ist dafür notwendig und ausreichend . Die Funktion f(x) wird aufgerufen kontinuierlich am Punkt x 0 wenn Grenze

. (6.15)

Bedingung (6.15) kann wie folgt umgeschrieben werden:

,

das heißt, der Übergang zum Grenzwert unter dem Vorzeichen einer Funktion ist möglich, wenn diese an einem bestimmten Punkt stetig ist.

Wenn Gleichheit (6.15) verletzt ist, dann sagen wir das bei x = xo Funktion f(x) Es hat Lücke Betrachten Sie die Funktion y = 1/x. Der Definitionsbereich dieser Funktion ist die Menge R, außer für x = 0. Der Punkt x = 0 ist ein Grenzpunkt der Menge D(f), da in jeder Umgebung davon, d.h. In jedem offenen Intervall, das den Punkt 0 enthält, gibt es Punkte aus D(f), aber es selbst gehört nicht zu dieser Menge. Der Wert f(x o)= f(0) ist nicht definiert, daher weist die Funktion am Punkt x o = 0 eine Diskontinuität auf.

Die Funktion f(x) wird aufgerufen rechts durchgehend an der Stelle x o wenn die Grenze

,

Und links durchgehend am Punkt x o, wenn die Grenze

.

Stetigkeit einer Funktion an einem Punkt x o ist äquivalent zu seiner Kontinuität an diesem Punkt sowohl nach rechts als auch nach links.

Damit die Funktion im Punkt stetig ist x o, zum Beispiel rechts, ist es erstens notwendig, dass es eine endliche Grenze gibt, und zweitens, dass diese Grenze gleich ist f(x o). Wenn daher mindestens eine dieser beiden Bedingungen nicht erfüllt ist, weist die Funktion eine Diskontinuität auf.

1. Wenn der Grenzwert existiert und nicht gleich f(x o) ist, dann sagt man das Funktion f(x) am Punkt x o hat Bruch erster Art, oder Sprung.

2. Wenn das Limit ist+∞ oder -∞ oder existiert nicht, dann sagt man das in Punkt x o Die Funktion weist eine Unstetigkeit auf zweite Art.

Zum Beispiel ist die Funktion y = cot x bei x→ +0 hat einen Grenzwert gleich +∞, was bedeutet, dass es im Punkt x=0 eine Diskontinuität zweiter Art hat. Funktion y = E(x) (ganzzahliger Teil von X) an Punkten mit ganzen Abszissen weist Unstetigkeiten erster Art oder Sprünge auf.

Eine Funktion, die an jedem Punkt im Intervall stetig ist, wird aufgerufen kontinuierlich V. Eine stetige Funktion wird durch eine durchgezogene Kurve dargestellt.

Viele Probleme, die mit dem kontinuierlichen Wachstum einer bestimmten Menge verbunden sind, führen zur zweiten bemerkenswerten Grenze. Zu diesen Aufgaben gehören beispielsweise: Wachstum von Lagerstätten nach dem Zinseszinsgesetz, Wachstum der Landesbevölkerung, Zerfall radioaktiver Stoffe, Vermehrung von Bakterien usw.

Lassen Sie uns überlegen Beispiel von Ya. I. Perelman, was eine Interpretation der Zahl gibt e im Zinseszinsproblem. Nummer e Es gibt eine Grenze . Bei Sparkassen werden dem Anlagekapital jährlich Zinsgelder hinzugefügt. Erfolgt der Beitritt häufiger, dann wächst das Kapital schneller, da ein größerer Betrag an der Zinsbildung beteiligt ist. Nehmen wir ein rein theoretisches, stark vereinfachtes Beispiel. Lassen Sie 100 Denier auf der Bank hinterlegen. Einheiten basierend auf 100 % pro Jahr. Wenn dem Anlagekapital erst nach einem Jahr Zinsgelder hinzugefügt werden, dann sind es in diesem Zeitraum 100 Höhlen. Einheiten wird sich in 200 Geldeinheiten verwandeln. Nun wollen wir sehen, was aus 100 Denize wird. Einheiten, wenn alle sechs Monate Zinsgelder zum Anlagekapital hinzugefügt werden. Nach sechs Monaten 100 Höhle. Einheiten wird auf 100 anwachsen× 1,5 = 150 und nach weiteren sechs Monaten - 150× 1,5 = 225 (den. Einheiten). Wenn der Beitritt alle 1/3 des Jahres erfolgt, dann nach einem Jahr 100 Höhlen. Einheiten wird zu 100× (1 +1/3) 3 " 237 (den. Einheiten). Wir werden die Bedingungen für die Hinzurechnung von Zinsgeldern auf 0,1 Jahr, auf 0,01 Jahr, auf 0,001 Jahr usw. erhöhen. Dann aus 100 Höhlen. Einheiten nach einem Jahr wird es sein:

100 × (1 +1/10) 10 » 259 (den. Einheiten),

100 × (1+1/100) 100 » 270 (den. Einheiten),

100 × (1+1/1000) 1000 » 271 (den. Einheiten).

Bei einer unbegrenzten Reduzierung der Zinslaufzeit wächst das angesammelte Kapital nicht unbegrenzt, sondern nähert sich einer bestimmten Grenze von etwa 271. Das zu 100 % pro Jahr eingezahlte Kapital kann sich auch bei aufgelaufenen Zinsen nicht um mehr als das 2,71-fache erhöhen wurden jede Sekunde zum Kapital addiert, da das Limit überschritten wurde

Beispiel 3.1.Beweisen Sie anhand der Definition des Grenzwerts einer Zahlenfolge, dass die Folge x n =(n-1)/n einen Grenzwert gleich 1 hat.

Lösung.Wir müssen das beweisen, egal was passiertε > 0, egal was wir nehmen, dafür gibt es eine natürliche Zahl N, so dass für alle n N die Ungleichung gilt|x n -1|< ε.

Nehmen wir ein beliebiges e > 0. Da ; x n -1 =(n+1)/n - 1= 1/n, dann reicht es aus, die Ungleichung 1/n zu lösen, um N zu finden< e. Daher ist n>1/ e und daher kann N als ganzzahliger Teil von 1/ angenommen werden e , N = E(1/ e ). Wir haben damit bewiesen, dass die Grenze .

Beispiel 3.2 . Finden Sie den Grenzwert einer Folge, die durch einen gemeinsamen Term gegeben ist .

Lösung.Wenden wir den Grenzwert des Summensatzes an und ermitteln wir den Grenzwert jedes Termes. Wenn n→ ∞ Zähler und Nenner jedes Termes tendieren gegen Unendlich, und wir können den Quotientengrenzwertsatz nicht direkt anwenden. Daher transformieren wir zunächst x n, indem man Zähler und Nenner des ersten Termes durch dividiert Nr. 2, und der zweite weiter N. Wenn wir dann den Grenzwert des Quotienten und den Grenzwert des Summensatzes anwenden, finden wir:

.

Beispiel 3.3. . Finden .

Lösung. .

Hier haben wir den Grenzwertsatz verwendet: Der Grenzwert eines Grades ist gleich dem Grad des Grenzwertes der Basis.

Beispiel 3.4 . Finden ( ).

Lösung.Es ist unmöglich, den Differenzgrenzensatz anzuwenden, da wir eine Unsicherheit der Form haben ∞-∞ . Lassen Sie uns die allgemeine Termformel umwandeln:

.

Beispiel 3.5 . Gegeben ist die Funktion f(x)=2 1/x. Beweisen Sie, dass es keine Grenze gibt.

Lösung.Lassen Sie uns Definition 1 des Grenzwerts einer Funktion durch eine Folge verwenden. Nehmen wir eine gegen 0 konvergierende Folge ( x n ), d. h. Zeigen wir, dass sich der Wert f(x n)= für verschiedene Sequenzen unterschiedlich verhält. Sei x n = 1/n. Offensichtlich ist dann die Grenze erreicht Wählen wir nun als x n eine Folge mit einem gemeinsamen Term x n = -1/n, die ebenfalls gegen Null tendiert. Daher gibt es keine Begrenzung.

Beispiel 3.6 . Beweisen Sie, dass es keine Grenze gibt.

Lösung.Sei x 1 , x 2 ,..., x n ,... eine Folge für die
. Wie verhält sich die Folge (f(x n)) = (sin x n) für verschiedene x n → ∞?

Wenn x n = p n, dann sin x n = sin p n = 0 für alle N und der Grenzwert If
x n =2 p n+ p /2, dann sin x n = sin(2 p n+ p /2) = sin p /2 = 1 für alle N und damit die Grenze. Es existiert also nicht.

Widget zur Online-Berechnung von Limits

Geben Sie im oberen Fenster anstelle von sin(x)/x die Funktion ein, deren Grenzwert Sie finden möchten. Geben Sie im unteren Fenster die Zahl ein, zu der x tendiert, und klicken Sie auf die Schaltfläche „Berechnen“, um den gewünschten Grenzwert zu erhalten. Und wenn Sie im Ergebnisfenster oben rechts auf Schritte anzeigen klicken, erhalten Sie eine detaillierte Lösung.

Regeln für die Eingabe von Funktionen: sqrt(x) – Quadratwurzel, cbrt(x) – Kubikwurzel, exp(x) – Exponent, ln(x) – natürlicher Logarithmus, sin(x) – Sinus, cos(x) – Kosinus, tan (x) – Tangens, cot(x) – Kotangens, arcsin(x) – Arkussinus, arccos(x) – Arkuskosinus, arctan(x) – Arcustangens. Zeichen: * Multiplikation, / Division, ^ Potenzierung, stattdessen Unendlichkeit Unendlichkeit. Beispiel: Die Funktion wird als sqrt(tan(x/2)) eingegeben.