Den Radius finden. Typische Aufgaben lösen. So ermitteln Sie den Radius eines eingeschriebenen Kreises

Sehr oft stellt sich bei der Lösung von Schulaufgaben in Physik oder Naturwissenschaften die Frage: Wie findet man den Umfang eines Kreises, wenn man den Durchmesser kennt? Tatsächlich gibt es keine Schwierigkeiten, dieses Problem zu lösen; Sie müssen sich nur klar vorstellen, was Formeln Hierzu sind Konzepte und Definitionen erforderlich.

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Grundlegende Konzepte und Definitionen

1. Der Radius ist die Verbindungslinie der Mittelpunkt des Kreises und sein beliebiger Punkt. Es wird mit dem lateinischen Buchstaben r bezeichnet.
2. Ein Akkord ist eine Linie, die zwei beliebige Elemente verbindet Punkte, die auf einem Kreis liegen.
3. Der Durchmesser ist die Verbindungslinie zwei Punkte eines Kreises, die durch seinen Mittelpunkt verlaufen. Es wird mit dem lateinischen Buchstaben d bezeichnet.
4. ist eine Linie, die aus allen Punkten besteht, die sich in gleichen Abständen von einem ausgewählten Punkt befinden, der als Mittelpunkt bezeichnet wird. Wir bezeichnen seine Länge mit dem lateinischen Buchstaben l.

Die Fläche eines Kreises ist das gesamte Territorium in einem Kreis eingeschlossen. Es wird gemessen in quadratischen Einheiten und wird mit dem lateinischen Buchstaben s bezeichnet.

Anhand unserer Definitionen kommen wir zu dem Schluss, dass der Durchmesser eines Kreises gleich seiner größten Sehne ist.

Aufmerksamkeit! Aus der Definition des Kreisradius können Sie den Durchmesser eines Kreises ermitteln. Das sind zwei gegenläufig angelegte Radien!

Durchmesser eines Kreises.

Ermitteln des Umfangs und der Fläche eines Kreises

Wenn uns der Radius eines Kreises gegeben ist, dann wird der Durchmesser des Kreises durch die Formel beschrieben d = 2*r. Um also die Frage zu beantworten, wie man den Durchmesser eines Kreises ermittelt, indem man seinen Radius kennt, reicht die letzte Frage aus mit zwei multiplizieren.

Die Formel für den Umfang eines Kreises, ausgedrückt als Radius, hat die Form l = 2*P*r.

Aufmerksamkeit! Der lateinische Buchstabe P (Pi) bezeichnet das Verhältnis des Umfangs eines Kreises zu seinem Durchmesser und ist ein nichtperiodischer Dezimalbruch. In der Schulmathematik gilt er als bisher bekannter Tabellenwert von 3,14!

Schreiben wir nun die vorherige Formel um, um den Umfang eines Kreises anhand seines Durchmessers zu ermitteln, und erinnern wir uns daran, wie groß sein Unterschied im Verhältnis zum Radius ist. Es wird sich herausstellen: l = 2*P*r = 2*r*P = P*d.

Aus dem Mathematikkurs wissen wir, dass die Formel, die die Fläche eines Kreises beschreibt, die Form hat: s = П*r^2.

Schreiben wir nun die vorherige Formel um, um die Fläche eines Kreises durch seinen Durchmesser zu ermitteln. Wir bekommen,

s = П*r^2 = П*d^2/4.

Eine der schwierigsten Aufgaben in diesem Thema ist die Bestimmung der Fläche eines Kreises durch den Umfang und umgekehrt. Machen wir uns die Tatsache zunutze, dass s = П*r^2 und l = 2*П*r. Von hier aus erhalten wir r = l/(2*P). Setzen wir den resultierenden Ausdruck für den Radius in die Formel für die Fläche ein, erhalten wir: s = l^2/(4P). Ganz ähnlich wird der Umfang durch die Kreisfläche bestimmt.

Bestimmung der Radiuslänge und des Durchmessers

Wichtig! Lassen Sie uns zunächst lernen, wie man den Durchmesser misst. Es ist ganz einfach: Zeichnen Sie einen beliebigen Radius und verlängern Sie ihn in die entgegengesetzte Richtung, bis er den Bogen schneidet. Die resultierende Distanz messen wir mit einem Kompass und nutzen ein beliebiges metrisches Werkzeug, um herauszufinden, wonach wir suchen!

Beantworten wir die Frage, wie man den Durchmesser eines Kreises ermittelt, indem man seine Länge kennt. Dazu drücken wir es aus der Formel l = П*d aus. Wir erhalten d = l/P.

Wir wissen bereits, wie man seinen Durchmesser aus dem Umfang eines Kreises ermittelt, und auf die gleiche Weise können wir auch seinen Radius ermitteln.

l = 2*P*r, also r = l/2*P. Um den Radius zu ermitteln, muss er im Allgemeinen als Durchmesser ausgedrückt werden und umgekehrt.

Angenommen, Sie müssen jetzt den Durchmesser bestimmen und dabei die Fläche des Kreises kennen. Wir nutzen die Tatsache, dass s = П*d^2/4. Lassen Sie uns von hier aus d ausdrücken. Es klappt d^2 = 4*s/P. Um den Durchmesser selbst zu bestimmen, müssen Sie extrahieren Quadratwurzel der rechten Seite. Es stellt sich heraus, dass d = 2*sqrt(s/P).

Typische Aufgaben lösen

1. Lassen Sie uns herausfinden, wie Sie den Durchmesser ermitteln, wenn der Umfang angegeben ist. Es sei gleich 778,72 Kilometer. Erforderlich, um d zu finden. d = 778,72/3,14 = 248 Kilometer. Merken wir uns, was ein Durchmesser ist und bestimmen wir gleich den Radius; dazu teilen wir den oben ermittelten Wert d in die Hälfte. Es klappt r = 248/2 = 124 Kilometer
2. Betrachten wir, wie wir die Länge eines gegebenen Kreises ermitteln können, indem wir seinen Radius kennen. Lassen Sie r einen Wert von 8 dm 7 cm haben. Rechnen wir das alles in Zentimeter um, dann ist r gleich 87 Zentimeter. Verwenden wir die Formel, um die unbekannte Länge eines Kreises zu ermitteln. Dann ist unser gewünschter Wert gleich l = 2*3,14*87 = 546,36 cm. Lassen Sie uns unseren erhaltenen Wert in ganze Zahlen metrischer Größen umrechnen: l = 546,36 cm = 5 m 4 dm 6 cm 3,6 mm.
3. Wir müssen die Fläche eines bestimmten Kreises mithilfe der Formel anhand seines bekannten Durchmessers bestimmen. Sei d = 815 Meter. Erinnern wir uns an die Formel zum Ermitteln der Fläche eines Kreises. Ersetzen wir die Werte, die uns hier gegeben wurden, wir erhalten s = 3,14*815^2/4 = 521416,625 Quadratfuß. M.
4. Jetzt lernen wir, wie man die Fläche eines Kreises ermittelt, indem man die Länge seines Radius kennt. Der Radius sei 38 cm. Wir verwenden die uns bekannte Formel. Ersetzen wir hier den Wert, den uns die Bedingung gibt. Sie erhalten Folgendes: s = 3,14*38^2 = 4534,16 Quadratfuß. cm.
5. Die letzte Aufgabe besteht darin, anhand des bekannten Umfangs die Fläche eines Kreises zu bestimmen. Sei l = 47 Meter. s = 47^2/(4P) = 2209/12,56 = 175,87 Quadrat. M.

Umfang

Anweisungen

Wenn nur der Durchmesser bekannt ist, sieht die Formel wie folgt aus: „R = D/2“.

Wenn Länge Kreis unbekannt ist, es aber Daten zur Länge eines bestimmten Segments gibt, dann sieht die Formel wie folgt aus: „R = (h^2*4 + L^2)/8*h“, wobei h die Höhe des Segments ist (is der Abstand von der Mitte der Sehne zum am weitesten hervorstehenden Teil des angegebenen Bogens) und L ist die Länge des Segments (die nicht die Länge der Sehne ist). Eine Sehne ist ein Segment, das zwei Punkte verbindet Kreis.

beachten Sie

Es ist notwendig, zwischen den Begriffen „Kreis“ und „Kreis“ zu unterscheiden. Ein Kreis ist Teil einer Ebene, die wiederum durch einen Kreis mit einem bestimmten Radius begrenzt wird. Um den Radius zu ermitteln, müssen Sie die Fläche des Kreises kennen. In diesem Fall lautet die Gleichung „R = (S/π)^1/2“, wobei S die Fläche ist. Um die Fläche zu berechnen, muss man wiederum den Radius kennen („S = πr^2“).

Ich kenne nur die Länge Durchmesser Kreise können Sie nicht nur berechnen Quadrat Kreis, aber auch die Fläche einiger anderer geometrischer Figuren. Dies folgt aus der Tatsache, dass die Durchmesser der Kreise, die um solche Figuren herum eingeschrieben oder umschrieben sind, mit den Längen ihrer Seiten oder Diagonalen übereinstimmen.

Anweisungen

Wenn Sie etwas finden müssen Quadrat(S) entsprechend seiner bekannten Länge Durchmesser(D), multipliziere pi (π) mit seiner Länge Durchmesser, und dividiere das Ergebnis durch vier: S=π ²*D²/4. Zum Beispiel ist ein Kreis zwanzig Zentimeter lang Quadrat lässt sich wie folgt berechnen: 3,14² * 20² / 4 = 9,86 * 400 / 4 = 986 Zentimeter.

Wenn Sie etwas finden müssen Quadrat Quadrat (S) entlang des Durchmessers des Kreises (D) um es herum, konstruieren Sie die Länge Durchmesser quadrieren und das Ergebnis halbieren: S=D²/2. Wenn beispielsweise der Durchmesser des umschriebenen Kreises zwanzig Zentimeter beträgt, dann Quadrat Das Quadrat lässt sich wie folgt berechnen: 20² / 2 = 400 / 2 = 200 Quadratzentimeter.

Wenn Quadrat Das Quadrat (S) muss durch den Durchmesser des darin eingeschriebenen Kreises (D) ermittelt werden, es reicht aus, die Länge zu konstruieren Durchmesser im Quadrat: S=D². Wenn der Durchmesser des eingeschriebenen Kreises beispielsweise zwanzig Zentimeter beträgt, dann Quadrat Das Quadrat lässt sich wie folgt berechnen: 20² = 400 Quadratzentimeter.

Wenn Sie etwas finden müssen Quadrat(S) nach bekanntem Durchmesser m eingeschriebene (d) und umschriebene (D) Kreise um ihn herum, dann konstruiere die Länge Durchmesser Bilden Sie den eingeschriebenen Kreis in ein Quadrat, teilen Sie ihn durch vier und addieren Sie zum Ergebnis die Hälfte des Produkts aus den Längen des eingeschriebenen und umschriebenen Kreises: S=d²/4 + D*d/2. Wenn beispielsweise der Durchmesser des umschriebenen Kreises zwanzig Zentimeter beträgt und der eingeschriebene Kreis zehn Zentimeter beträgt, dann Quadrat Das Dreieck lässt sich wie folgt berechnen: 10² / 4 + 20 * 10/2 = 25 + 100 = 125 Quadratzentimeter.

Verwenden Sie die integrierte Suchmaschine von Google, um die erforderlichen Berechnungen durchzuführen. Zum Beispiel, um diese Suchmaschine zu verwenden Quadrat Um ein rechtwinkliges Dreieck gemäß dem Beispiel aus dem vierten Schritt zu erstellen, müssen Sie den folgenden Suchbegriff eingeben: „10^2 / 4 + 20*10/2“ und die Eingabetaste drücken.

Quellen:

• wie man die Fläche eines Kreises anhand des Durchmessers ermittelt

Ein Kreis ist eine flache geometrische Figur, deren alle Punkte den gleichen und ungleich Null Abstand von einem ausgewählten Punkt haben, der als Mittelpunkt des Kreises bezeichnet wird. Eine gerade Linie, die zwei beliebige Punkte eines Kreises verbindet und durch den Mittelpunkt verläuft, heißt Durchmesser. Die Gesamtlänge aller Grenzen einer zweidimensionalen Figur, die üblicherweise als Umfang bezeichnet wird, wird häufiger als „Umfang“ eines Kreises bezeichnet. Wenn Sie den Umfang eines Kreises kennen, können Sie dessen Durchmesser berechnen.

Anweisungen

Um den Durchmesser zu ermitteln, nutzen Sie eine der Haupteigenschaften eines Kreises, nämlich dass das Verhältnis der Länge seines Umfangs zum Durchmesser für absolut alle Kreise gleich ist. Natürlich blieb die Konstanz den Mathematikern nicht verborgen, und dieser Anteil hat längst seinen eigenen bekommen – das ist die Zahl Pi (π ist das erste griechische Wort „ Kreis" und "Umfang"). Der Zahlenwert hierfür wird durch die Länge eines Kreises bestimmt, dessen Durchmesser gleich eins ist.

Verwenden Sie etwas, um die Länge des Durchmessers zu berechnen, wenn Sie dies nicht im Kopf tun können. Sie können beispielsweise das verwenden, das in die Suchmaschine Nigma oder Google integriert ist – es handelt sich um mathematische Operationen, die in „menschlicher“ Sprache eingegeben werden. Wenn der bekannte Umfang beispielsweise vier Meter beträgt, können Sie zum Ermitteln des Durchmessers „menschlich“ die Suchmaschine fragen: „4 Meter geteilt durch Pi.“ Gibt man aber beispielsweise „4/pi“ in das Suchfeld ein, dann versteht die Suchmaschine diese Problemformulierung. In jedem Fall lautet die Antwort „1,27323954 Meter“.

Verwenden Sie die Windows-Rechnersoftware, wenn Sie mit Schnittstellen mit normalen Tasten vertrauter sind. Um nicht in den tiefen Ebenen des Hauptmenüs des Systems nach einem Link zum Starten zu suchen, drücken Sie die Tastenkombination WIN + R, geben Sie den Befehl calc ein und drücken Sie die Eingabetaste. Die Benutzeroberfläche dieses Programms unterscheidet sich geringfügig von herkömmlichen Taschenrechnern, sodass die Division des Umfangs durch Pi wahrscheinlich keine Schwierigkeiten bereiten wird.

Die Frage nach dem Durchmesser des Globus ist nicht so einfach, wie es auf den ersten Blick erscheinen mag, denn der Begriff „Globus“ ist sehr willkürlich. Eine echte Kugel hat immer den gleichen Durchmesser, unabhängig davon, wo ein Segment gezeichnet wird, das zwei Punkte auf der Kugeloberfläche verbindet und durch den Mittelpunkt verläuft.

In Bezug auf die Erde scheint dies nicht möglich zu sein, da ihre Kugelform alles andere als ideal ist (in der Natur gibt es überhaupt keine idealen geometrischen Figuren und Körper; es handelt sich um abstrakte geometrische Konzepte). Um die Erde genau zu bezeichnen, mussten Wissenschaftler sogar ein spezielles Konzept einführen – „Geoid“.

Offizieller Durchmesser der Erde

Der Durchmesser der Erde wird dadurch bestimmt, wo er gemessen wird. Der Einfachheit halber werden zwei Indikatoren als offiziell anerkannter Durchmesser verwendet: der Durchmesser der Erde am Äquator und der Abstand zwischen Nord- und Südpol. Der erste Indikator beträgt 12.756,274 km und der zweite 12.714, der Unterschied zwischen ihnen beträgt etwas weniger als 43 km.

Diese Zahlen machen keinen großen Eindruck; sie liegen sogar unter der Entfernung zwischen Moskau und Krasnodar – zwei Städten im selben Land. Es war jedoch nicht einfach, sie herauszufinden.

Berechnung des Durchmessers der Erde

Der Durchmesser des Planeten wird nach der gleichen geometrischen Formel berechnet wie jeder andere Durchmesser.

Um den Umfang eines Kreises zu ermitteln, müssen Sie seinen Durchmesser mit der Zahl Pi multiplizieren. Um den Durchmesser der Erde zu ermitteln, müssen Sie daher ihren Umfang im entsprechenden Abschnitt (entlang des Äquators oder in der Polebene) messen und ihn durch die Zahl pi dividieren.

Der erste Mensch, der versuchte, den Erdumfang zu messen, war der antike griechische Wissenschaftler Eratosthenes von Kyrene. Er bemerkte, dass in Siena (heute Assuan) am Tag der Sommersonnenwende die Sonne im Zenit stand und den Grund eines tiefen Brunnens beleuchtete. In Alexandria war es an diesem Tag 1/50 des Kreises vom Zenit entfernt. Daraus schloss der Wissenschaftler, dass die Entfernung von Alexandria nach Syene 1/50 des Erdumfangs beträgt. Die Entfernung zwischen diesen Städten beträgt 5.000 griechische Stadien (ca. 787,5 km), daher beträgt der Erdumfang 250.000 Stadien (ca. 39.375 km).

Moderne Wissenschaftler verfügen über fortschrittlichere Messmittel, deren theoretische Grundlage jedoch der Idee von Eratosthenes entspricht. An zwei Punkten, die mehrere hundert Kilometer voneinander entfernt liegen, wird der Stand der Sonne oder bestimmter Sterne am Himmel erfasst und die Differenz der Ergebnisse der beiden Messungen in Grad berechnet. Wenn man die Entfernung in Kilometern kennt, kann man leicht die Länge eines Grads berechnen und diese dann mit 360 multiplizieren.

Um die Größe der Erde zu klären, werden sowohl Laserentfernungs- als auch Satellitenbeobachtungssysteme eingesetzt.

Heute geht man davon aus, dass der Erdumfang am Äquator 40.075,017 km und am Äquator 40.007,86 km beträgt. Eratosthenes täuschte sich nur geringfügig.

Sowohl der Umfang als auch der Durchmesser der Erde nehmen aufgrund der ständig auf die Erde fallenden Meteoritenmasse zu, dieser Prozess verläuft jedoch sehr langsam.

Quellen:

• Wie die Erde im Jahr 2019 vermessen wurde

Ein Kreis ist eine geschlossene Kurve, bei der alle Punkte den gleichen Abstand vom Mittelpunkt haben. Diese Figur ist flach. Daher ist die Lösung des Problems, bei dem es darum geht, den Umfang zu ermitteln, recht einfach. Wir werden uns im heutigen Artikel alle verfügbaren Methoden ansehen.

Figurenbeschreibungen

Neben einer recht einfachen beschreibenden Definition gibt es drei weitere mathematische Merkmale eines Kreises, die für sich genommen die Antwort auf die Frage enthalten, wie man den Umfang findet:

• Besteht aus den Punkten A und B und allen anderen, von denen AB im rechten Winkel gesehen werden kann. Der Durchmesser dieser Figur entspricht der Länge des betrachteten Segments.
• Beinhaltet nur die Punkte X, bei denen das Verhältnis AX/BX konstant und ungleich eins ist. Wenn diese Bedingung nicht erfüllt ist, handelt es sich nicht um einen Kreis.
• Es besteht aus Punkten, für die jeweils die folgende Gleichung gilt: Die Summe der Quadrate der Abstände zu den beiden anderen ist ein gegebener Wert, der immer mehr als die Hälfte der Länge der Strecke zwischen ihnen beträgt.

Terminologie

Nicht jeder in der Schule hatte einen guten Mathematiklehrer. Daher wird die Antwort auf die Frage, wie man den Umfang ermittelt, noch dadurch erschwert, dass nicht jeder die grundlegenden geometrischen Konzepte kennt. Der Radius ist ein Segment, das den Mittelpunkt einer Figur mit einem Punkt auf einer Kurve verbindet. Ein Sonderfall in der Trigonometrie ist der Einheitskreis. Eine Sehne ist ein Segment, das zwei Punkte auf einer Kurve verbindet. Unter diese Definition fällt beispielsweise das bereits besprochene AB. Der Durchmesser ist die Sehne, die durch die Mitte verläuft. Die Zahl π ist gleich der Länge eines Einheitshalbkreises.

Grundformeln

Die Definitionen folgen direkt den geometrischen Formeln, mit denen Sie die Hauptmerkmale eines Kreises berechnen können:

1. Die Länge ist gleich dem Produkt aus der Zahl π und dem Durchmesser. Die Formel wird normalerweise wie folgt geschrieben: C = π*D.
2. Der Radius entspricht dem halben Durchmesser. Sie kann auch berechnet werden, indem der Quotient aus dem Umfang dividiert durch die doppelte Zahl π berechnet wird. Die Formel sieht so aus: R = C/(2* π) = D/2.
3. Der Durchmesser ist gleich dem Quotienten aus Umfang geteilt durch π oder dem Doppelten des Radius. Die Formel ist ganz einfach und sieht so aus: D = C/π = 2*R.
4. Die Fläche eines Kreises ist gleich dem Produkt aus π und dem Quadrat des Radius. Ebenso kann der Durchmesser in dieser Formel verwendet werden. In diesem Fall ist die Fläche gleich dem Quotienten aus dem Produkt aus π und dem Quadrat des Durchmessers dividiert durch vier. Die Formel kann wie folgt geschrieben werden: S = π*R 2 = π*D 2 /4.

So ermitteln Sie den Umfang eines Kreises anhand des Durchmessers

Um die Erklärung zu vereinfachen, bezeichnen wir die für die Berechnung erforderlichen Merkmale der Figur mit Buchstaben. C sei die gewünschte Länge, D der Durchmesser und π etwa gleich 3,14. Wenn wir nur eine bekannte Größe haben, kann das Problem als gelöst betrachtet werden. Warum ist das im Leben notwendig? Angenommen, wir beschließen, einen runden Pool mit einem Zaun zu umgeben. Wie berechnet man die erforderliche Spaltenanzahl? Und hier hilft die Fähigkeit, den Umfang zu berechnen. Die Formel lautet wie folgt: C = π D. In unserem Beispiel wird der Durchmesser anhand des Radius des Beckens und des erforderlichen Abstands vom Zaun bestimmt. Angenommen, unser künstlicher Teich zu Hause ist 20 Meter breit und wir werden die Pfosten in einem Abstand von zehn Metern davon platzieren. Der Durchmesser des resultierenden Kreises beträgt 20 + 10*2 = 40 m. Die Länge beträgt 3,14*40 = 125,6 Meter. Wir benötigen 25 Pfosten, wenn der Abstand zwischen ihnen etwa 5 m beträgt.

Länge durch Radius

Beginnen wir wie immer damit, den Merkmalen des Kreises Buchstaben zuzuordnen. Tatsächlich sind sie universell, sodass Mathematiker aus verschiedenen Ländern nicht unbedingt die Sprachen des anderen beherrschen müssen. Nehmen wir an, dass C der Umfang des Kreises ist, r sein Radius und π ungefähr gleich 3,14 ist. Die Formel sieht in diesem Fall so aus: C = 2*π*r. Offensichtlich ist dies eine absolut korrekte Gleichung. Wie wir bereits herausgefunden haben, ist der Durchmesser eines Kreises gleich dem Doppelten seines Radius, daher sieht diese Formel so aus. Auch im Leben kann diese Methode oft nützlich sein. Wir backen zum Beispiel einen Kuchen in einer speziellen Schiebeform. Damit es nicht schmutzig wird, brauchen wir eine dekorative Hülle. Aber wie schneidet man einen Kreis der erforderlichen Größe aus? Hier kommt die Mathematik zur Rettung. Wer weiß, wie man den Umfang eines Kreises ermittelt, wird sofort sagen, dass man die Zahl π mit dem doppelten Radius der Form multiplizieren muss. Wenn sein Radius 25 cm beträgt, beträgt die Länge 157 Zentimeter.

Beispielprobleme

Wir haben uns bereits mehrere praktische Fälle der gewonnenen Erkenntnisse zur Ermittlung des Kreisumfangs angesehen. Aber oft geht es uns nicht um sie, sondern um die wirklichen mathematischen Probleme, die im Lehrbuch enthalten sind. Schließlich gibt der Lehrer dafür Punkte! Schauen wir uns also ein komplexeres Problem an. Nehmen wir an, der Umfang des Kreises beträgt 26 cm. Wie ermittelt man den Radius einer solchen Figur?

Beispiellösung

Schreiben wir zunächst auf, was wir erhalten: C = 26 cm, π = 3,14. Denken Sie auch an die Formel: C = 2* π*R. Daraus können Sie den Radius des Kreises extrahieren. Somit ist R= C/2/π. Kommen wir nun zur eigentlichen Berechnung. Teilen Sie zunächst die Länge durch zwei. Wir erhalten 13. Jetzt müssen wir durch den Wert der Zahl π dividieren: 13/3,14 = 4,14 cm. Es ist wichtig, nicht zu vergessen, die Antwort richtig zu schreiben, das heißt mit Maßeinheiten, sonst ist die gesamte praktische Bedeutung von Solche Probleme gehen verloren. Darüber hinaus können Sie für eine solche Unaufmerksamkeit eine um einen Punkt schlechtere Note erhalten. Und so ärgerlich es auch sein mag, Sie müssen sich mit diesem Zustand abfinden.

Das Biest ist nicht so gruselig, wie es dargestellt wird

Damit haben wir eine so schwierige Aufgabe auf den ersten Blick gemeistert. Wie sich herausstellt, müssen Sie lediglich die Bedeutung der Begriffe verstehen und sich ein paar einfache Formeln merken. Mathe ist nicht so gruselig, man muss sich nur ein wenig anstrengen. Geometrie wartet also auf Sie!

ist eine flache Figur, die eine Menge von Punkten mit gleichem Abstand vom Mittelpunkt darstellt. Sie haben alle den gleichen Abstand und bilden einen Kreis.

Ein Segment, das den Mittelpunkt eines Kreises mit Punkten auf seinem Umfang verbindet, heißt Radius. In jedem Kreis sind alle Radien gleich. Eine gerade Linie, die zwei Punkte auf einem Kreis verbindet und durch den Mittelpunkt verläuft, heißt Durchmesser. Die Formel für die Fläche eines Kreises wird mithilfe einer mathematischen Konstante berechnet – der Zahl π..

Das ist interessant : Zahl π. stellt das Verhältnis des Umfangs eines Kreises zur Länge seines Durchmessers dar und ist ein konstanter Wert. Der Wert π = 3,1415926 wurde nach der Arbeit von L. Euler im Jahr 1737 verwendet.

Die Fläche eines Kreises kann mit der Konstante π berechnet werden. und der Radius des Kreises. Die Formel für die Fläche eines Kreises in Bezug auf den Radius sieht so aus:

Schauen wir uns ein Beispiel für die Berechnung der Fläche eines Kreises anhand des Radius an. Gegeben sei uns ein Kreis mit dem Radius R = 4 cm und wir ermitteln die Fläche der Figur.

Die Fläche unseres Kreises wird 50,24 Quadratmeter betragen. cm.

Es gibt eine Formel Fläche eines Kreises durch Durchmesser. Es wird auch häufig zur Berechnung der notwendigen Parameter verwendet. Diese Formeln können zum Finden verwendet werden.

Betrachten wir ein Beispiel für die Berechnung der Fläche eines Kreises anhand seines Durchmessers und kennen seinen Radius. Gegeben sei ein Kreis mit dem Radius R = 4 cm. Zunächst ermitteln wir den Durchmesser, der bekanntlich das Doppelte des Radius beträgt.


Nun verwenden wir die Daten für ein Beispiel zur Berechnung der Fläche eines Kreises mit der obigen Formel:

Wie Sie sehen, ist das Ergebnis die gleiche Antwort wie in den ersten Berechnungen.

Die Kenntnis der Standardformeln zur Berechnung der Kreisfläche wird Ihnen in Zukunft dabei helfen, diese leicht zu bestimmen Sektorbereich und fehlende Werte leicht finden.

Wir wissen bereits, dass die Formel für die Fläche eines Kreises berechnet wird, indem der konstante Wert π mit dem Quadrat des Kreisradius multipliziert wird. Der Radius kann durch den Umfang ausgedrückt werden und der Ausdruck in der Formel für die Fläche eines Kreises durch den Umfang ersetzt werden:
Setzen wir nun diese Gleichheit in die Formel zur Berechnung der Kreisfläche ein und erhalten wir eine Formel zum Ermitteln der Kreisfläche anhand des Umfangs

Betrachten wir ein Beispiel für die Berechnung der Fläche eines Kreises anhand des Umfangs. Gegeben sei ein Kreis mit der Länge l = 8 cm. Setze den Wert in die abgeleitete Formel ein:

Die Gesamtfläche des Kreises beträgt 5 Quadratmeter. cm.

Fläche eines um ein Quadrat umschriebenen Kreises

Es ist sehr einfach, die Fläche eines um ein Quadrat umschriebenen Kreises zu ermitteln.

Dazu benötigen Sie lediglich die Seite des Quadrats und Kenntnisse einfacher Formeln. Die Diagonale des Quadrats ist gleich der Diagonale des umschriebenen Kreises. Wenn man die Seite a kennt, kann man sie mit dem Satz des Pythagoras finden: von hier aus.
Nachdem wir die Diagonale gefunden haben, können wir den Radius berechnen: .
Und dann setzen wir alles in die Grundformel für die Fläche eines um ein Quadrat umschriebenen Kreises ein:

Im Kurs lernen Schüler weiterführender Schulen den Kreis und den Kreis als geometrische Figur und alles, was mit dieser Figur zusammenhängt. Die Kinder lernen Begriffe wie Radius und Durchmesser, Umfang oder Umfang, Fläche eines Kreises kennen. Zu diesem Thema erfahren sie etwas über die mysteriöse Zahl Pi – das ist die Ludolph-Zahl, wie sie früher genannt wurde. Pi ist irrational, weil seine Dezimaldarstellung unendlich ist. In der Praxis wird die verkürzte Version mit drei Zahlen verwendet: 3.14. Diese Konstante drückt das Verhältnis der Länge eines Kreises zu seinem Durchmesser aus.
Sechstklässler lösen Probleme, indem sie aus denselben Daten und der Zahl „Pi“ die verbleibenden Eigenschaften eines Kreises und eines Kreises ableiten. In Notizbüchern und an der Tafel zeichnen sie maßstabsgetreu abstrakte Kugeln und führen bedeutungslose Berechnungen durch.

Aber in der Praxis

In der Praxis kann ein solches Problem beispielsweise dann auftreten, wenn die Notwendigkeit besteht, eine Strecke mit einer bestimmten Länge anzulegen, um einen Wettbewerb mit Start und Ziel an einem Ort abzuhalten. Nachdem Sie den Radius berechnet haben, können Sie mit einem Kompass in der Hand die Passage dieser Route auf dem Plan auswählen und dabei die Optionen unter Berücksichtigung der geografischen Merkmale der Region berücksichtigen. Durch Verschieben des Kompassschenkels – des äquidistanten Zentrums von der zukünftigen Route – ist es bereits zu diesem Zeitpunkt möglich, unter Berücksichtigung der natürlichen Unterschiede im Relief vorherzusagen, wo in den Abschnitten Anstiege und wo Gefälle auftreten werden. Sie können auch sofort entscheiden, in welchen Bereichen Sie Ständer für Ventilatoren am besten aufstellen.

Radius von einem Kreis

Nehmen wir also an, dass Sie für einen Autocross-Wettbewerb eine kreisförmige Strecke mit einer Länge von 10.000 m benötigen. Hier ist die notwendige Formel, um den Radius (R) eines Kreises anhand seiner bekannten Länge (C) zu bestimmen:
R=C/2п (п – Zahl gleich 3,14).
Durch Ersetzen der verfügbaren Werte können Sie leicht das Ergebnis erhalten:
R = 10.000:3,14 = 3.184,71 (m) oder 3 km 184 m und 71 cm.

Vom Radius zur Fläche

Wenn Sie den Radius des Kreises kennen, können Sie leicht bestimmen, welcher Bereich aus der Landschaft entfernt wird. Formel für die Fläche eines Kreises (S): S=пR2
Bei R = 3.184,71 m beträgt es: S = 3,14 x 3.184,71 x 3.184,71 = 31.847.063 (m²) oder fast 32 Quadratkilometer.

Ähnliche Berechnungen können beim Zaunbau hilfreich sein. Sie haben zum Beispiel genügend Material für einen Zaun. Wenn Sie diesen Wert als Umfang des Kreises verwenden, können Sie dessen Durchmesser (Radius) und Fläche leicht bestimmen und sich somit visuell die Größe des zukünftigen eingezäunten Bereichs vorstellen.