Relative Frequenz. Stabilität relativer Frequenzen. Statistische Definition der Wahrscheinlichkeit

Relative Frequenz. Relative Frequenzstabilität

Die relative Häufigkeit gehört neben der Wahrscheinlichkeit zu den Grundbegriffen der Wahrscheinlichkeitstheorie.

Relative Frequenz Ereignisse ist das Verhältnis der Anzahl der Versuche, bei denen das Ereignis auftrat, zur Gesamtzahl der tatsächlich durchgeführten Versuche. Somit wird die relative Häufigkeit von Ereignis A durch die Formel bestimmt

Dabei ist m die Häufigkeit des Auftretens des Ereignisses und n die Gesamtzahl der Versuche.

Beim Vergleich der Definitionen von Wahrscheinlichkeit und relativer Häufigkeit kommen wir zu dem Schluss: Die Definition von Wahrscheinlichkeit erfordert nicht, dass die Tests tatsächlich durchgeführt werden; Bei der Bestimmung der relativen Häufigkeit wird davon ausgegangen, dass die Tests tatsächlich durchgeführt wurden. Mit anderen Worten: Die Wahrscheinlichkeit wird vor dem Experiment berechnet und die relative Häufigkeit nach dem Experiment.

Beispiel 1. Die Inspektionsabteilung hat in einer Charge von 80 zufällig ausgewählten Teilen drei nicht standardmäßige Teile gefunden. Relative Häufigkeit des Vorkommens nicht standardmäßiger Teile

Beispiel 2. Es wurden 24 Schüsse auf das Ziel abgefeuert, wobei 19 Treffer verzeichnet wurden. Relative Zieltrefferquote

Langzeitbeobachtungen haben gezeigt, dass, wenn Experimente unter identischen Bedingungen durchgeführt werden, bei denen die Anzahl der Tests jeweils ausreichend groß ist, die relative Häufigkeit die Eigenschaft der Stabilität aufweist. Diese Eigenschaft ist dass sich in verschiedenen Experimenten die relative Häufigkeit kaum ändert (je weniger, desto mehr Tests werden durchgeführt) und um eine bestimmte konstante Zahl schwankt. Es stellte sich heraus, dass diese konstante Zahl die Wahrscheinlichkeit des Eintretens des Ereignisses darstellt.

Wenn also die relative Häufigkeit experimentell ermittelt wird, kann die resultierende Zahl als ungefährer Wahrscheinlichkeitswert verwendet werden.

Der Zusammenhang zwischen relativer Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit wird im Folgenden detaillierter und präziser beschrieben. Lassen Sie uns nun die Eigenschaft der Stabilität anhand von Beispielen veranschaulichen.

Beispiel 3. Laut schwedischer Statistik wird die relative Häufigkeit der Geburten von Mädchen im Jahr 1935 pro Monat durch die folgenden Zahlen charakterisiert (die Zahlen sind nach Monaten geordnet, beginnend mit Januar): 0,486; 0,489; 0,490; 0,471; 0,478; 0,482; 0,462; 0,484; 0,485; 0,491; 0,482; 0,473.

Die relative Häufigkeit schwankt um die Zahl 0,482, was als Näherungswert für die Wahrscheinlichkeit, Mädchen zu bekommen, angesehen werden kann.

Beachten Sie, dass statistische Daten aus verschiedenen Ländern ungefähr den gleichen relativen Häufigkeitswert ergeben.

Beispiel 4. Es wurden viele Versuche zum Münzwerfen durchgeführt und die Häufigkeit des Erscheinens des „Wappens“ gezählt. Die Ergebnisse mehrerer Experimente sind in der Tabelle aufgeführt. 1.

Dabei weichen die relativen Häufigkeiten geringfügig von der Zahl 0,5 ab und der Strom ist umso geringer, je größer die Anzahl der Tests ist. Beispielsweise beträgt die Abweichung bei 4040 Versuchen 0,0069 und bei 24.000 Versuchen nur 0,0005. Berücksichtigt man, dass die Wahrscheinlichkeit des Erscheinens eines „Wappens“ beim Münzwurf 0,5 beträgt, ergibt sich wiederum eine relative Häufigkeit schwankt um die Wahrscheinlichkeit.

Es ist bekannt, dass ein zufälliges Ereignis aufgrund eines Tests auftreten kann oder auch nicht. Gleichzeitig gibt es jedoch unterschiedliche Möglichkeiten für unterschiedliche Ereignisse im selben Prozess. Schauen wir uns ein Beispiel an. Befinden sich in einer Urne hundert sorgfältig gemischte identische Kugeln, von denen nur zehn schwarz und der Rest weiß sind, dann besteht bei zufälliger Ziehung einer Kugel eine größere Chance, dass eine weiße erscheint. Die Möglichkeit des Eintretens dieses oder jenes Ereignisses in einem bestimmten Test hat ein numerisches Maß, das als Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses bezeichnet wird, und gemäß der Wahrscheinlichkeitstheorie kann man berechnen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, einen schwarzen oder weißen Ball zu sehen .

Klassische Definition von Wahrscheinlichkeit

Nehmen wir an, dass während eines bestimmten Tests das Auftreten von $n$ elementaren gleich möglichen Ereignissen möglich ist. Von dieser Menge ist die Zahl $m$ die Anzahl derjenigen Elementarereignisse, die das Eintreten eines bestimmten Ereignisses $A$ begünstigen. Dann ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $A$ die Beziehung $P\left(A\right)=\frac(m)(n) $.

Beispiel Nr. 1.

In der Urne befinden sich 3 weiße und 5 schwarze Kugeln, die sich nur in der Farbe unterscheiden. Der Test besteht darin, zufällig eine Kugel aus einer Urne zu ziehen. Wir betrachten das Ereignis $A$ als „das Erscheinen einer weißen Kugel“. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $A$.

Während des Tests kann jede der acht Kugeln entnommen werden. Alle diese Ereignisse sind elementar, weil sie unvereinbar sind und eine vollständige Gruppe bilden. Es ist auch klar, dass alle diese Ereignisse gleichermaßen möglich sind. Um die Wahrscheinlichkeit $P\left(A\right)$ zu berechnen, können Sie also ihre klassische Definition verwenden. Als Lösung haben wir: $n=8$, $m=3$, und die Wahrscheinlichkeit, das Weiße aus den Kugeln zu extrahieren, ist gleich $P\left(A\right)=\frac(3)(8 ) $.

Aus der klassischen Wahrscheinlichkeitsdefinition ergeben sich folgende Eigenschaften:

• die Wahrscheinlichkeit eines zuverlässigen Ereignisses $V$ ist immer gleich eins, also $P\left(V\right)=1$; Dies erklärt sich aus der Tatsache, dass ein zuverlässiges Ereignis von allen Elementarereignissen begünstigt wird, d. h. $m=n$;
• die Wahrscheinlichkeit eines unmöglichen Ereignisses $H$ ist immer Null, d. h. $P\left(H\right)=0$; Dies erklärt sich aus der Tatsache, dass das unmögliche Ereignis von keinem der elementaren Ereignisse begünstigt wird, d. h. $m=0$;
• Die Wahrscheinlichkeit eines zufälligen Ereignisses $A$ erfüllt immer die Bedingung $0

Somit erfüllt im allgemeinen Fall die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses die Ungleichung $0\le P\left(A\right)\le 1$.

Relative Frequenz und ihre Stabilität

Definition 1

Nehmen wir an, dass eine ziemlich große Anzahl von Versuchen durchgeführt wird, bei denen bei jedem ein bestimmtes Ereignis $A$ auftreten kann oder auch nicht. Solche Tests werden als Testreihe bezeichnet.

Nehmen wir an, dass eine Reihe von $n$-Versuchen durchgeführt wird, bei denen das Ereignis $A$ $m$-mal auftritt. Hier wird die Zahl $m$ als absolute Häufigkeit des Ereignisses $A$ bezeichnet, und das Verhältnis $\frac(m)(n) $ wird als relative Häufigkeit des Ereignisses $A$ bezeichnet. Beispielsweise funktionierten von $n=20$ Feuerlöschern, die während des Brandes verwendet wurden, $m=3$ Feuerlöscher nicht (Ereignis $A$). Dabei ist $m=3$ die absolute Häufigkeit des Ereignisses $A$ und $\frac(m)(n) =\frac(3)(20) $ ist die relative Häufigkeit.

Praktische Erfahrung und gesunder Menschenverstand legen nahe, dass die relativen Häufigkeitswerte für kleine $n$ nicht stabil sein können, aber wenn die Anzahl der Tests erhöht wird, sollten sich die relativen Häufigkeitswerte stabilisieren.

Beispiel Nr. 2.

Der Trainer wählt fünf von zehn Jungen für die Teilnahme am Team aus. Auf wie viele Arten kann er ein Team bilden, wenn zwei bestimmte Jungen, die den Kern des Teams bilden, im Team sein sollen?

Entsprechend den Aufgabenbedingungen werden ab sofort zwei Jungen dem Team beitreten. Daher müssen noch drei von acht Jungen ausgewählt werden. In diesem Fall ist nur die Zusammensetzung wichtig, sodass sich die Rollen aller Teammitglieder nicht unterscheiden. Das bedeutet, dass wir es mit Kombinationen zu tun haben.

Kombinationen von $n$ Elementen mal $m$ sind Kombinationen, die aus $m$ Elementen bestehen und sich durch mindestens ein Element voneinander unterscheiden, jedoch nicht durch die Reihenfolge der Elemente.

Die Anzahl der Kombinationen wird mit der Formel $C_(n)^(m) =\frac(n) berechnet{m!\cdot \left(n-m\right)!} $.!}

Somit ist die Anzahl der verschiedenen Möglichkeiten, ein Team aus drei Jungen zu bilden und sie aus acht Jungen auszuwählen, die Anzahl der Kombinationen von 8 Elementen von 3:

$C_(8)^(3) =\frac(8{3!\cdot \left(8-3\right)!} =\frac{8!}{3!\cdot 5!} =\frac{6\cdot 7\cdot 8}{1\cdot 2\cdot 3} =56$!}

Beispiel Nr. 3.

Auf einem Regal im Büro liegen 15 Bücher in zufälliger Reihenfolge, davon 5 zum Thema Algebra. Der Lehrer nimmt zufällig drei Bücher. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass sich mindestens eines der mitgenommenen Bücher mit Algebra befasst.

Die Ereignisse $A$ (mindestens eines der drei entnommenen Bücher ist ein Algebrabuch) und $\bar(A)$ (keines der drei entnommenen Bücher ist ein Algebrabuch) sind entgegengesetzt, daher P(A) + P( $ \bar(A)$) = 1. Daher ist P(A) = 1-P($\bar(A)$). Somit ist die gewünschte Wahrscheinlichkeit P(A) = 1 - $C_(10)^(3)\, /C_(15)^(3)\, $= 1 - 24/91 = 67/91.

Beispiel Nr. 4.

Von den zwanzig Aktiengesellschaften sind vier ausländische. Der Bürger kaufte jeweils eine Aktie von sechs Aktiengesellschaften. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass es sich bei zwei der erworbenen Aktien um Aktien ausländischer Aktiengesellschaften handelt?

Die Gesamtzahl der Kombinationen zur Auswahl von Aktiengesellschaften entspricht der Anzahl der Kombinationen von 20 mal 6, also $(\rm C)_((\rm 20))^((\rm 6)) $. Die Anzahl der günstigen Ergebnisse ist definiert als das Produkt $(\rm C)_((\rm 4))^((\rm 2)) \cdot (\rm C)_((\rm 16))^(( \rm 4) ) $, wobei der erste Faktor die Anzahl der Kombinationen der Wahl ausländischer Aktiengesellschaften aus vier angibt. Jede dieser Kombinationen kann jedoch auch bei Aktiengesellschaften vorkommen, die nicht im Ausland ansässig sind. Die Anzahl der Kombinationen solcher Aktiengesellschaften beträgt $(\rm C)_((\rm 16))^((\rm 4)) $. Daher wird die gewünschte Wahrscheinlichkeit in der Form $(\rm P)=\frac((\rm C)_((\rm 4))^((\rm 2)) \cdot (\rm C)_ geschrieben ((\rm 16 ))^((\rm 4)) )((\rm C)_((\rm 20))^((\rm 6)) ) =0,28$.

Beispiel Nr. 5.

In einer Charge von 18 Teilen gibt es 4 nicht standardmäßige Teile. 5 Teile werden zufällig ausgewählt. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass zwei dieser fünf Teile nicht dem Standard entsprechen.

Die Anzahl aller gleich möglichen inkompatiblen Ergebnisse $n$ ist gleich der Anzahl der Kombinationen von 18 mal 5, d. h. $n=C_(18)^(5) =8568$.

Zählen wir die Anzahl der Ergebnisse $m$, die für Ereignis A günstig sind. Unter den 5 zufällig ausgewählten Details sollten 3 Standard- und 2 Nicht-Standard-Details vorhanden sein. Die Anzahl der Möglichkeiten, zwei nicht standardmäßige Teile aus vier verfügbaren nicht standardmäßigen Teilen auszuwählen, entspricht der Anzahl der Kombinationen von 4 mal 2: $C_(4)^(2) =6$.

Die Anzahl der Möglichkeiten, drei Standardteile aus 14 verfügbaren Standardteilen auszuwählen, beträgt $C_(14)^(3) =364$.

Jede Gruppe von Standardteilen kann mit jeder Gruppe von Nicht-Standardteilen kombiniert werden, sodass die Gesamtzahl der Kombinationen $m$ $m=C_(4)^(2) \cdot C_(14)^(3) =6 beträgt \cdot 364=2184$.

Die erforderliche Wahrscheinlichkeit von Ereignis A ist gleich dem Verhältnis der Anzahl der für das Ereignis günstigen Ergebnisse $m$ zur Anzahl $n$ aller gleichermaßen möglichen und inkompatiblen Ereignisse $P(A)=\frac(2184)(8568) =0,255.$

Beispiel Nr. 6.

Eine Urne enthält 5 schwarze und 6 weiße Kugeln. Es werden 4 Bälle zufällig gezogen. Finden Sie die Wahrscheinlichkeit, dass sich darunter mindestens eine weiße Kugel befindet.

Das Ereignis $$ sei, dass unter den gezogenen Kugeln mindestens eine weiß ist.

Betrachten wir das umgekehrte Ereignis $\bar()$ – unter den gezogenen Kugeln gibt es keine einzige weiße. Das bedeutet, dass alle 4 gezogenen Kugeln schwarz sind.

Wir verwenden kombinatorische Formeln.

Anzahl der Möglichkeiten, vier von elf Bällen zu erobern:

$n=!_(11)^(4) =\frac(11{4!\cdot (11-4)!} =330$!}

Anzahl der Möglichkeiten, vier schwarze Kugeln aus elf zu entfernen:

$m=!_(5)^(4) =\frac(5{4!\cdot (5-4)!} =5$!}

Wir bekommen: $\; (\bar())=\frac(m)(n) =\frac(5)(330) =\frac(1)(66) $; $P(A)=1-\; (\bar(A))=1-\frac(1)(66) =\frac(65)(66) $.

Antwort: Die Wahrscheinlichkeit, dass unter den vier gezogenen Kugeln keine einzige weiße Kugel ist, beträgt $\frac(65)(66) $.

Relative Frequenz. Relative Frequenzstabilität

Die relative Häufigkeit eines Ereignisses ist das Verhältnis der Anzahl der Versuche, bei denen das Ereignis auftrat, zur Gesamtzahl der tatsächlich durchgeführten Versuche. Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, die relative Häufigkeit von Ereignis A wird durch die Formel bestimmt

Dabei ist m die Häufigkeit des Auftretens des Ereignisses und n die Gesamtzahl der Versuche.

Die Bestimmung der Wahrscheinlichkeit erfordert nicht, dass die Tests tatsächlich durchgeführt werden; Bei der Ermittlung der relativen Häufigkeit wird davon ausgegangen, dass die Tests tatsächlich durchgeführt wurden. Mit anderen Worten: Die Wahrscheinlichkeit wird vor dem Experiment berechnet und die relative Häufigkeit wird nach dem Experiment berechnet.

Langzeitbeobachtungen haben gezeigt, dass, wenn Experimente unter identischen Bedingungen durchgeführt werden, bei denen die Anzahl der Tests jeweils ausreichend groß ist, die relative Häufigkeit die Eigenschaft der Stabilität aufweist. Diese Eigenschaft besteht darin, dass sich in verschiedenen Experimenten die relative Häufigkeit kaum ändert (je weniger, desto mehr Tests werden durchgeführt) und um eine bestimmte konstante Zahl schwankt. Es stellte sich heraus, dass diese konstante Zahl die Wahrscheinlichkeit des Eintretens des Ereignisses darstellt.

Wenn jedoch die relative Häufigkeit experimentell ermittelt wird, kann die resultierende Zahl als ungefährer Wahrscheinlichkeitswert verwendet werden.

Beispiel 1. Es wurden mehrfach Münzwurfexperimente durchgeführt, bei denen die Anzahl der Auftritte des „Wappens“ gezählt wurde. Die Ergebnisse mehrerer Experimente sind in der Tabelle aufgeführt.

Die relative Häufigkeit ist unbedeutend. Sie weichen von der Zahl 0,5 ab, und zwar je weniger, desto größer die Anzahl der Tests.

Wenn wir berücksichtigen, dass die Wahrscheinlichkeit des Erscheinens von ʼʼГʼʼ beim Werfen einer Münze = 0,5 ist, dann sind wir wieder davon überzeugt, dass es einen Zusammenhang gibt. Die Frequenz schwankt um die Spitze herum.

Die schwächste Seite des Klassikers. Die Grundidee besteht darin, dass es sehr oft unmöglich ist, das Ergebnis eines Tests nur in Form elementarer Ereignisse darzustellen. Noch schwieriger ist es, die Gründe anzugeben, die es uns ermöglichen, die Elemente als gleichermaßen möglich zu betrachten. Aus diesem Grund neben dem Klassiker. Die Definition von ver-ti wird verwendet usw.
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Definition von ver-ti Insbesondere statistisch: Ereignisse werden als statistische Wahrheit angesehen. Frequenz oder eine Zahl in der Nähe davon.

Gleichzeitig hat die Definition der statistischen Ver-ti ihr eigenes „ʼʼ-ʼʼ. Zum Beispiel die Mehrdeutigkeit der statistischen Daten. Im betrachteten Beispiel kann die Qualität der Ereigniswahrheit also nicht nur 0,5, sondern auch 0,5069 und 0,5016 usw. angenommen werden.

Das Konzept von geometrische ver.ʼʼ comp. nächste:

Der Weg zum Bereich G wird durch einen Punkt zufällig geworfen. Der Ausdruck „zufällig geworfen“ wird üblicherweise in dem Sinne verstanden, dass ein geworfener Punkt jeden Punkt im Bereich G treffen kann. Es wird angenommen, dass er irgendeinen Punkt trifft. Ein Teil der Region G ist proportional zum Maß dieses Teils (Länge, Fläche, Volumen) und hängt nicht von seiner Lage und Form ab.

Das. Wenn g Teil der Region G ist, dann ist die Wahrscheinlichkeit, in die Region g zu gelangen, per Definition = P(g) = Maß g/Maß G. Beachten Sie, dass hier die Regel Ω aller Elementarergebnisse die Gesamtheit aller Punkte der Fläche G darstellt und daher aus einer unendlichen Menge elementarer Ereignisse besteht => der Begriff „geom“. „Ver-t“ kann als Verallgemeinerung des Begriffs „klassisch“ betrachtet werden. Glauben Sie an Experimente mit unendlich vielen Ergebnissen.

Besprechungsaufgabe. Lösung: Bezeichnen wir mit x und y die Ankunftszeitpunkte der Personen A und B. Das Treffen findet statt, wenn |x-y|≤10.

Wenn Sie x und y als kartesische Koordinaten auf einem Quadrat darstellen, werden alle möglichen Ergebnisse durch einen Punkt in einem Quadrat mit einer Seitenlänge von 60 dargestellt.

10≤y-x≤10

Buffons Problem. Lösung: Führen wir die folgende Notation ein: x – der Abstand von der Mitte der Nadel zur nächsten Parallele;

φ ist der Winkel, den diese Parallele mit der Nadel bildet.

Die Position der Nadel wird vollständig durch die gegebenen spezifischen Werte von x und φ bestimmt. Außerdem ist x Є(0;a), φЄ(0;π). Mit anderen Worten: Die Mitte der Nadel kann in jeden Punkt eines Rechtecks ​​mit den Seiten a und π fallen.

Das. Dieses Rechteck kann als Figur G betrachtet werden, deren Punkte alle möglichen Positionen der Nadelmitte darstellen. Offensichtlich ist die Fläche dieser Figur = πa.

Suchen wir eine Figur g, deren jeder Punkt das Ereignis begünstigt, an dem wir interessiert sind, ᴛ.ᴇ. Jeder Punkt der Figur kann als Mittelpunkt der Nadel dienen, deren Kanten von einer Parallele gekreuzt werden.

Die Nadel schneidet die Parallele, die ihr am nächsten liegt, vorausgesetzt: x≤l·sinφ

Diese. wenn die Mitte der Nadel einen der Punkte der in Abb. (2) schattierten Figur trifft. Das. die schattierte Figur kann man sich als g vorstellen. Finden wir seinen Bereich:

Antwort: 2l/aπ

Relative Frequenz. Stabilität der relativen Häufigkeit – Konzept und Typen. Klassifizierung und Merkmale der Kategorie „Relative Häufigkeit. Stabilität der relativen Häufigkeit“ 2017, 2018.

Es gibt mehrere Definitionen des Wahrscheinlichkeitsbegriffs. Geben wir die klassische Definition. Es ist mit dem Konzept eines günstigen Ergebnisses verbunden. Diese elementaren Ergebnisse (e.i.), in Kat. Wenn das Ereignis, an dem wir interessiert sind, eintritt, nennen wir es günstig für dieses Ereignis. Def.: Ich glaube, das Ereignis A wird aufgerufen. das Verhältnis der Anzahl der für dieses Ereignis günstigen Ergebnisse zur Gesamtzahl aller gleichermaßen möglichen inkompatiblen Ergebnisse. ich., eine vollständige Gruppe bildend. P(A) = m/n, wobei m die Anzahl von e ist. d.h. günstig für Ereignis A; n – Anzahl aller möglichen e. Und. Tests. Aus der Definition der Wahrscheinlichkeit ergeben sich ihre Eigenschaften:1) ver.(c) eines zuverlässigen Ereignisses ist immer gleich 1. Weil. die Veranstaltung zuverlässig ist, dann ist alles e. Und. Studien begünstigen dieses Ereignis, d.h. m=n. P(A)=n/n = 1; 2) V. unmöglich persönlich. ist gleich 0. Weil Ereignis ist unmöglich, dann gibt es kein e. d.h., günstig für dieses Ereignis, bedeutet m=0. P(A) = 0/n = 0; 3) Der Wert eines Zufallsereignisses ist ein nicht negativer Wert zwischen 0 und 1, d. h. 0

4. Relative Häufigkeit. Relative Frequenzstabilität.

Die relative Häufigkeit (RF) eines Ereignisses ist das Verhältnis der Anzahl der Versuche, bei denen das Ereignis auftrat, zur Gesamtzahl der tatsächlich durchgeführten Versuche. (NICHT Omega!!!). W(A) = m/n, wobei m die Anzahl der Vorkommen von Ereignis A und n die Gesamtzahl der Versuche ist. Für die Bestimmung der Wahrscheinlichkeit ist es nicht erforderlich, dass die Tests tatsächlich durchgeführt werden. Bei der Definition von OC wird davon ausgegangen, dass die Tests tatsächlich durchgeführt wurden, d. h. ver. berechnet vor dem Experiment und OC nach dem Experiment. Wenn die Experimente unter den gleichen Bedingungen durchgeführt werden, ist dies bei jeder Katze der Fall. Ist die Anzahl der Tests groß genug, dann weist das OC Stabilität auf. Diese Eigenschaft liegt darin begründet, dass sich der OC in verschiedenen Experimenten wenig ändert, je weniger, je mehr Tests durchgeführt werden, und um eine bestimmte konstante Zahl schwankt. Diese Nummer ist ver. Eintritt des Ereignisses. Das. Es wurde experimentell festgestellt, dass das OR als ungefährer Wahrscheinlichkeitswert angesehen werden kann.

5.Statistische Wahrscheinlichkeit.

Die klassische Definition der Wahrscheinlichkeit geht davon aus, dass die Anzahl der elementaren Ergebnisse eines Versuchs endlich ist. In der Praxis gibt es oft Tests, die Zahl der möglichen Ergebnisse ist kategorisch. endlos. In solchen Fällen ist die klassische Definition nicht anwendbar. Zusammen mit dem Klassiker def. Statistiken verwenden. Def: stat. ver. (st.v.) Ereignisse - relative Häufigkeit (RF) oder eine Zahl in der Nähe davon. Heilige Wahrscheinlichkeiten, die sich aus dem Klassischen ergeben. Definitionen bleiben auch in statistischen Fällen erhalten. Wenn das Ereignis zuverlässig ist, dann ist sein PR = 1, d. h. st.v. auch =1. Wenn das Ereignis unmöglich ist, dann ist OCH = 0, d.h. st.v. also = 0. Für jedes Ereignis 0W(A) 1, weiter. st.v. liegt zwischen 0 und 1. Für die Existenz von st.v. Erforderlich: 1) Die Fähigkeit zur Ausübung ist, zumindest grundsätzlich, unbeschränkt. Anzahl der Tests bei jeder Katze. das Ereignis eintritt oder nicht eintritt; 2) Stabilität der Häufigkeit des Auftretens eines Ereignisses in verschiedenen Serien einer ausreichend großen Anzahl von Tests. Der Nachteil der Statistik Definition ist die Mehrdeutigkeit von Art. Wenn sich beispielsweise aufgrund einer ausreichend großen Anzahl von Tests herausstellt, dass der OC sehr nahe bei 0,6 liegt, kann dieser Wert als st.v angenommen werden. Als Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses kann man aber nicht nur 0,6, sondern auch 0,59 und 0,61 annehmen.

Gegenstand der Wahrscheinlichkeitstheorie. Versuch. Klassifizierung von Ereignissen.

Die Wahrscheinlichkeitstheorie ist ein Zweig der Mathematik, der die Muster untersucht, die in massiv homogenen Tests (MOT) auftreten.

Ein Test ist eine Reihe von Bedingungen und Aktionen.

MY sind Tests, die theoretisch unbegrenzt fortgeführt werden können (Studien, Sozialbefragungen, Münzwurf).

Das Ergebnis des Tests ist das mögliche Ergebnis des Tests.

Ein Ereignis ist eine Abstraktion des Ergebnisses eines Tests (ob ein Phänomen im MY aufgetreten ist oder nicht).

Beispielsweise ist das Werfen einer Münze ein Test und das Erscheinen von „Kopf“ ein Ereignis.

Das Ereignis wird normalerweise durch große Lats gekennzeichnet. Buchstaben A, B, C.

ARTEN VON VERANSTALTUNGEN:

1. Zuverlässig ist ein Ereignis, das bei jedem Ergebnis des Tests auftritt.

2. Unmöglich – wird bei keinem Ergebnis des Tests passieren.

3. Zufällig – kann als Ergebnis des Tests auftreten oder auch nicht.

Beispielsweise wird ein Würfel geworfen.

Ereignis A – Punktzahl nicht > 6: zuverlässig.

Ereignis B – Punktezahl > 6: unmöglich.

Ereignis C – 1 bis 6: zufällig.

ZUFÄLLIGE EREIGNISSE

1. Gleichermaßen möglich – solche, bei denen die einzelnen Testergebnisse gleich sind.

Z. B. das Ziehen eines Königs, eines Asses, einer Dame oder eines Buben aus einem Kartenspiel.

2. Eindeutig möglich – beispielsweise wenn mindestens einer von ihnen im Test mit Sicherheit auftritt.

Zum Beispiel gibt es in einer Familie zwei Kinder: A – 2 Jungen, B – 2 Mädchen, C – 1 Monat und 1 Tag.

Kombinatorik. Grundformeln der Kombinatorik.

Kombinatorik ist die Wissenschaft der Verbindungen. Unter einer Verbindung versteht man jede Ansammlung von Elementen einer bestimmten Menge.

Beispielsweise sitzen viele Schüler in einem Klassenzimmer.

Alle Verbindungen sind in 3 Gruppen unterteilt:

1) Platzierungen. Als R-mi von n Elementen nach m() werden solche Verbindungen bezeichnet, die sich entweder in der Zusammensetzung der Elemente oder in der Reihenfolge der Verbindung der Elemente oder in beidem unterscheiden.

Anm = n!/(n-m)!

Aufgabe. Wie viele verschiedene zweistellige Zahlen können aus einer Ziffernfolge (1;2;3;4) gebildet werden, und zwar so, dass die Ziffern der Zahl unterschiedlich sind?

Und von 4 bis 2 = 4!/(4-2)! = 24/2=12

2) Kombinationen. Kombinationen von n Elementen über m sind solche Verbindungen, die sich nur in der Zusammensetzung der Elemente voneinander unterscheiden (die Reihenfolge ist nicht wichtig)

Von n nach m = n!/m!*(n-m)!

Aufgabe. Auf wie viele Arten kann eine Gruppe von 30 Personen Gutscheine für das Sanatorium Ussuri verteilen?

C von 30 auf 3 = 30!/3!*(30-3)! = 28*29*30/1*2*3 = 4060.

3) Permutationen (Pn). Permutationen von n Elementen sind solche Verbindungen, die alle n Elemente umfassen und sich nur in der Reihenfolge ihrer Verbindung voneinander unterscheiden.

Aufgabe. Auf wie viele Arten können 6 Kadetten auf dem Exerzierplatz in einer Reihe angeordnet werden?

SUMMENREGEL – Wenn Objekt a auf verschiedene Weisen aus einer Menge ausgewählt werden kann und Objekt b auf verschiedene Arten r, dann kann die Auswahl eines der Elemente a oder Balkens auf verschiedene Arten r + s erfolgen.

PRODUKTREGEL - Wenn Objekt a auf unterschiedliche Weisen ausgewählt werden kann und nach jeder solchen Auswahl Objekt b auf unterschiedliche r Arten ausgewählt werden kann, dann kann die Auswahl eines Elementpaars auf unterschiedliche r * s-Arten durchgeführt werden (a und b = r * s).

Klassische Definition von Wahrscheinlichkeit. Eigenschaften der Wahrscheinlichkeit.

Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A ist das Verhältnis der Anzahl der für dieses Ereignis günstigen Ergebnisse zur Gesamtzahl aller gleichermaßen möglichen inkompatiblen Elementarergebnisse, die die vollständige Gruppe bilden (P(A) = m/n).

V-TI-IMMOBILIEN:

1) Anzahl zuverlässiger Ereignisse = 1.

Weil D ein zuverlässiges Ereignis ist, dann begünstigt jedes mögliche Ergebnis des Tests das Ereignis, d. h. m=n.

P(D) = m/n = n/n = 1/

2) Die Anzahl der unmöglichen Ereignisse ist Null. Weil Ereignis N unmöglich ist, dann begünstigt keines der Elementarergebnisse das Ereignis, d. h. m=0.

P(D) = m/n = 0/n = 0/

3) Der Wert eines Zufallsereignisses ist eine positive Zahl zwischen 0 und 1. Das Zufallsereignis S wird nur von einem Element aus der Gesamtzahl begünstigt. Testergebnisse, d.h.

0

Somit erfüllt der Wert eines Ereignisses die doppelte Ungleichung: 0<=P(A)<=1.

Relative Frequenz. Stabilität relativer Frequenzen. Statistische Definition der Wahrscheinlichkeit.

Die relative Häufigkeit eines Ereignisses ist das Verhältnis der Anzahl der Versuche, bei denen das Ereignis auftrat, zur Gesamtzahl der tatsächlich durchgeführten Versuche.

W(A)=m/n, wobei m die Anzahl der Vorkommnisse des Ereignisses und n die Gesamtzahl der Versuche ist.

Der Wert deutet darauf hin, aber die relative Häufigkeit legt fest. V erfordert nicht, dass Ereignisse stattfinden, die relative Häufigkeit jedoch schon. Mit anderen Worten: Bestimmte Ereignisse werden vor den Experimenten berechnet und rel. Frequenz - nachher.

Relative Frequenzstabilität.

Langzeitbeobachtungen haben gezeigt, dass, wenn Experimente unter identischen Bedingungen durchgeführt werden, bei denen die Anzahl der Tests jeweils ausreichend groß ist, die relative Häufigkeit die Eigenschaft der Stabilität aufweist.

Diese Eigenschaft besteht darin, dass sich die relative Frequenz in verschiedenen Experimenten kaum ändert und um eine bestimmte konstante Zahl schwankt.

Es stellte sich heraus, dass diese konstante Zahl das Auftreten des Ereignisses W(A) = P(A) ist.

Der STATISTISCHE Wert eines Ereignisses ist die Zahl, um die sich die relativen Häufigkeiten dieses Ereignisses gruppieren. Unter konstanten Bedingungen und einer unbegrenzten Erhöhung der Anzahl von Tests weicht die relative Häufigkeit geringfügig von dieser Zahl ab.