Übergangs- und Rechenoperationen begrenzen. Übergang zur Grenze der Ungleichheiten. Funktionskontinuität und Grenzgang
Rechenoperationen auf konvergenten Folgen führen zu den gleichen Rechenoperationen an ihren Grenzen. In diesem Unterabschnitt zeigen wir, dass die von den Elementen konvergenter Folgen erfüllten Ungleichungen im Limes in die entsprechenden Ungleichungen für die Limes dieser Folgen übergehen.
Satz. Wenn die Elemente einer konvergenten Folge ( x n x n ≥ b (x n ≤ b), dann die Grenze a diese Folge erfüllt die Ungleichung a ≥ b (a ≤ b).
Nachweisen. Lassen Sie alle Elemente x n, zumindest ab einer Zahl, die Ungleichung erfüllen x n ≥ b. Es ist erforderlich, die Ungleichheit zu beweisen a ≥ b. Stellen wir uns das vor a < b. Weil die a- Sequenzlimit ( x n), dann für ein positives ε = b - a Sie können die Nummer angeben N so dass bei n ≥ N die Ungleichheit | x n - a| < b - a. Diese Ungleichung ist äquivalent zu den folgenden beiden Ungleichungen: -( b - a) < x n - a < b - a. Mit dem Recht dieser Ungleichungen erhalten wir x n < b, was der Hypothese des Theorems widerspricht. Ereignis x n ≤ bähnlich behandelt. Der Satz ist bewiesen.
Kommentar. Elemente einer konvergenten Folge ( x n) kann die strikte Ungleichung erfüllen x n > b, jedoch die Grenze a kann gleich sein b. Zum Beispiel wenn, dann x n> 0, jedoch .
Folge 1. Wenn die Elemente x n und ja n konvergente Folgen ( x n) und ( ja n), ausgehend von einer Zahl, die Ungleichung erfüllen x n ≤ ja n, dann erfüllen ihre Grenzen die gleiche Ungleichung:
Tatsächlich sind die Elemente der Folge ( ja n - x n) sind nichtnegativ, und daher ist auch ihr Grenzwert nichtnegativ. Daraus folgt das
Folge 2. Wenn alle Elemente einer konvergenten Folge ( x n) befinden sich auf dem Segment [ a, b], dann seine Grenze c ist auch in diesem Segment.
In der Tat seit a ≤ x n ≤ b, dann a ≤ c ≤ b.
Der folgende Satz spielt in verschiedenen Anwendungen eine wichtige Rolle.
Satz. Lassen ( x n) und ( z n) sind konvergente Folgen mit einem gemeinsamen Grenzwert a. Lassen Sie außerdem, ausgehend von einer Zahl, die Elemente der Folge ( ja n) erfüllen die Ungleichungen x n ≤ ja n ≤ z n. Dann die Folge ( ja n) konvergiert und hat einen Grenzwert a.
Nachweisen. Es genügt uns zu beweisen, dass die Folge ( ja n - a) ist unendlich klein. Bezeichne mit N* die Zahl, ab der die in der Bedingung des Theorems angegebenen Ungleichungen erfüllt sind. Dann gelten, ausgehend von der gleichen Zahl, auch die Ungleichungen x n - a ≤ ja n - a ≤ z n - a. Daraus folgt, wann n ≥ N* Sequenzelemente ( ja n - a) die Ungleichung erfüllen
|ja n - a| ≤max(| x n - a|, |z n - a|}.
Seit und , dann für alle ε > 0 können Sie Zahlen angeben N 1 und N 2 so dass wenn n ≥ N 1 |x n - a| < ε , und wann n ≥ N 2 |z n - a| < ε . Lassen N= maximal ( N*, N 1 , N 2). Ausgehend von dieser Zahl wird die Ungleichung | ja n - a| < ε . Also die Folge ( ja n - a) ist unendlich klein. Der Satz ist bewiesen.
Formulierung: Wenn es 3 Folgen gibt, von denen die Elemente der einen ab einer bestimmten Zahl zwischen den Elementen der anderen beiden mit gleicher Zahl liegen werden, und auch 2 andere Folgen endliche Grenzen haben und diese Grenzen gleich sind, dann unsere Folge wird auch gegen eine endliche Grenze konvergieren, und diese Grenze wird gleich den Grenzen der anderen beiden Folgen sein.
Nachweisen:
ein Grenze a n ist d und Grenze c n ist d
(!) dass auch die Folge b n einen Grenzwert hat und dieser gleich d ist
betrachte E>0
Grenzwert a n ist gleich d, also gibt es eine Zahl N 1 , ab der |a n - d|
dann:
E-d<а n d.h. E-d was zu beweisen war.
Definition 1. Eine Funktion f(x) heißt an einem Punkt x = a stetig, wenn sie in einer zweiseitigen Umgebung dieses Punktes einschließlich dieses Punktes selbst definiert ist, und außerdem
Eine Funktion heißt stetig auf einem Intervall, wenn sie an allen Punkten dieses Intervalls stetig ist.
Haltepunkte und ihre Typen
Definition 2. Die Stelle x = a heißt Unstetigkeitsstelle, wenn die Funktion an dieser Stelle gleiche endliche Grenzen hat, aber an dieser Stelle entweder einen anderen Wert annimmt oder gar nicht definiert ist.
Definition 3. Ein Punkt x = a heißt Unstetigkeitspunkt erster Art, wenn die Funktion an diesem Punkt endliche, aber unterschiedliche einseitige Grenzwerte hat. Gleichzeitig der Unterschied
f(a + 0) - f(a - 0)
heißt der Sprung der Funktion an der Stelle x = a.
Definition 4. Der Punkt x = a heißt Unstetigkeitspunkt zweiter Art, wenn mindestens einer der einseitigen Grenzwerte nicht existiert oder gleich ist.
Satz 1. Wenn die Funktionen f(x) und g(x) im Punkt x = a stetig sind, dann sind die Funktionen f(x) ± g(x), f(x) g(x), , wobei g( a) 0 auch an dieser Stelle stetig.
Satz 2. Wenn die Funktion f(x) im Punkt x = a stetig ist und die Funktion g(y) im Punkt y = b stetig ist, b = f(a), dann ist die komplexe Funktion g(f( x)) ist im Punkt x = a stetig.
Satz 3. Alle elementaren Funktionen sind stetig an allen Punkten, wo sie definiert sind.
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Gegeben sei eine Folge umnummerierter Zahlen x 1 , x 2 ,..., x n ,... , die wir kurz mit oder (x n ) bezeichnen. Diese Folge kann als Funktion der Zahl n geschrieben werden: x n =f(n) , oder x 1 =f(1) , x 2 =f(2),.. ., x n =f(n),.. ..
Jede Sequenz wird angegeben, wenn die Regel für die Bildung ihrer Mitglieder angegeben ist. Die Reihenfolge wird normalerweise durch Formeln wie x n =f(n) oder x n =f(x n-1) , x n =f(x n-1 , x n-2) usw. angegeben, wobei .
Beispiel.Sequenz 2, 4, 8, 16, .. . gegeben durch die Formel x n = 2 n ; geometrische Folge a 1 , a 2 ,..., a n , .. . kann durch die Formel a n = a 1 q n-1 oder a n = a n-1 q definiert werden; Fibonacci-Zahlen 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, .. . sind durch die Formeln x n = x n-1 + x n-2 , n = 3, 4, ..., x 1 = 1 , x 2 = 1 definiert.
Diagramm der Zahlenfolge(x n ) wird durch eine Menge von Punkten M n (n; f(n)) auf der nOx-Ebene gebildet, d. h. Nummernfolgediagramm besteht aus diskreten Punkten.
Die Folge (x n ) heißt steigend, wenn die Bedingung der Form erfüllt ist.
Die Folge (x n ) heißt fallend, wenn die Bedingung der Form erfüllt ist.
Die Folge (x n ) heißt nicht ansteigend, wenn die Bedingung der Form erfüllt ist.
Die Folge (x n ) heißt nicht-fallend, wenn die folgende Bedingung erfüllt ist: .
Solche Folgen nennt man monoton. Die restlichen Sequenzen sind nicht monoton.
Als nächstes wird aufgerufen endlose Folge alle Objekte der gleichen Art.
Beispiel.Zahlenreihe - Zahlenreihe. Einige der Funktionen - Funktionsumfang.
Die Reihenfolge der Elemente einer Reihe ist von Bedeutung. Durch Ändern der Reihenfolge erhalten wir eine weitere Reihe aus denselben Elementen.
Uns interessiert hier nur die Zahlenreihe und ihre Summe, die noch formal (nicht konstruktiv, nicht formalisiert) geschrieben ist, also die Summe aller Glieder irgendeiner unendlichen Zahlenfolge u 1 , u 2 ,..., u n ,.. ., oder u 1 + u 2 +...+u n +.. .. Diese Reihe kann kompakt geschrieben werden als
Das Vorzeichen ist das "Sigma"-Zeichen oder das Vorzeichen der Summe, der sequentiellen Summierung aller Elemente u n von der unteren Grenze n=1 (unten angegeben, kann entweder endlich oder negativ unendlich sein) bis zur oberen Grenze (bei angegeben). die obere, kann eine beliebige Zahl sein, die größer oder gleich der unteren Grenze ist, sowie positiv unendlich).
Die Zahlen u n (n=1, 2, .. .) heißen Glieder der Reihe, und u n ist das gemeinsame Glied der Reihe.
Beispiel.In einem Schulmathematikkurs ist eine geometrisch unendlich fallende Progression gegeben a=aq+aq 2 +...+aq n-1 +.. ., |q|<1 , u 1 =a , u 2 =aq, .. ., u n = aq n-1 . Сумма этого ряда (прогрессии), как известно из школьного курса, равна S=a/(1-q) .
Beispiel. Harmonische Zahlenreihe- Reihe der Form: . Im Folgenden werden wir es genauer betrachten.
Die Zahlenreihe wird als gegeben betrachtet, das heißt, jedes ihrer Elemente wird eindeutig bestimmt, wenn die Regel zum Auffinden ihres gemeinsamen Glieds angegeben ist oder einige numerische Funktion natürliche Argumentation 
, oder u n =f(n) .
Beispiel.Wenn , dann ist die Reihe gegeben , oder in kompakter Notation:
Falls gegeben harmonische Zahlenreihe, dann kann sein gemeinsamer Begriff als geschrieben werden, und die Reihe selbst kann als geschrieben werden
Geben wir die Definition einer endlichen Summe einer Reihe und einer Folge solcher endlicher Summen an.
Die Endsumme der n ersten Terme der Reihe heißt ihre n-te Partialsumme und wird mit S n bezeichnet:
Diese Summe wird nach den üblichen Regeln zum Summieren von Zahlen gefunden. Es gibt unendlich viele solcher Summen, dh man kann sich zu jeder Reihe eine aus Teilsummen zusammengesetzte Reihe vorstellen: S 1 , S 2 ,... , S n , .. . oder eine für diese Reihe gebildete Folge von Partialsummen: .
Die Folge ist nach oben beschränkt, wenn es für alle Folgenglieder eine solche gemeinsame Zahl M gibt, die von allen Folgengliedern nicht überschritten wird, also wenn folgende Bedingung erfüllt ist:
Die Zahlenfolge ist nach unten beschränkt, wenn es für alle Glieder der Folge eine gemeinsame Zahl m gibt, die alle Glieder der Folge überschreitet, also wenn die Bedingung erfüllt ist:
Die Zahlenfolge ist begrenzt, wenn es Zahlen m und M gibt, die allen Gliedern der Folge gemeinsam sind und die Bedingung erfüllen:
Die Nummer a wird aufgerufen der Grenzwert der Zahlenfolge(x n ) , wenn es eine so kleine Zahl gibt, dass alle Glieder der Folge, bis auf eine endliche Anzahl von ersten Gliedern, in die - Umgebung der Zahl a fallen, d.h. sich am Ende um den Punkt verdichten a . Somit müssen alle Punkte x i , i = N 0 , N 0 +1 , N 0 +2, ... in das Intervall fallen. Sequenzen. In diesem Fall hängt die Zahl N 0 von der gewählten Zahl ab, d. h. 
(Abb. 7.1) .
Reis. 7.1.
Mathematisch kann die Existenz einer Folgengrenze geschrieben werden als:
Diese Tatsache wird kurz als geschrieben 
oder , und sagen, dass es gegen die Zahl a konvergiert. Wenn die Folge keinen Grenzwert hat, heißt sie divergent.
Es folgt direkt aus der Definition des Grenzwerts: Wenn wir eine endliche Anzahl von Mitgliedern der Folge verwerfen, hinzufügen oder ändern, wird die Konvergenz nicht verletzt (d. h., wenn die ursprüngliche Folge konvergiert, dann konvergiert die modifizierte Folge) und die Grenzen der ursprünglichen und resultierenden Sequenzen sind gleich.
Beispiel.Annehmen, dass 
, wo , das ist , , 
. Diese Tatsache ist leicht zu beweisen, aber im Moment nehmen wir sie als bewiesene Tatsache an. Dann , : 
. Finde den Wert der Zahl (falls eine solche Nummer existiert). In Betracht ziehen 
. Es gilt folgende Beziehung:
Also, wenn wir eine Zahl nehmen 
, dann ist die Ungleichung erfüllt. Beispielsweise erhalten wir mit dem Wert die Zahl N 0 =99 , also |x n -1|<0,01
. Чем меньше значение
- тем больше значение
N 0
. Например, если , то N 0 =999
.
Wir geben nun zwei äquivalente Definitionen des Grenzwerts der Funktion: die Verwendung des Grenzwerts der Folge und die Verwendung der Korrespondenz kleiner Umgebungen des Arguments und des Werts der Funktion. Die Gültigkeit einer Definition impliziert die Gültigkeit einer anderen. Sei die Funktion y=f(x) definiert 
, außer vielleicht dem Punkt x=x 0 , der der Grenzpunkt von D(f) ist. An diesem Punkt kann die Funktion undefiniert (undefiniert) sein oder eine Unterbrechung haben.
Wenn die Folge gegen Null konvergiert:
dann spricht man von einer infinitesimalen Folge. Es wird auch gesagt, dass sein gemeinsamer Begriff eine infinitesimale Menge ist. Die Folgen (84.3) und (84.4) sind infinitesimal.
Wenden wir die Formulierung des Grenzwertbegriffs auf den Fall einer unendlich kleinen Folge an, d.h. auf den Fall, dass der Grenzwert gleich Null ist, so gelangen wir zu folgender Definition einer unendlich kleinen Folge (äquivalent zu der gegebenen oben): Eine Folge heißt infinitesimal, wenn es für jede gegebene Zahl N eine solche Zahl gibt, dass für alle eine Ungleichheit entsteht
Lassen Sie uns einige nützliche Sätze über Infinitesimalfolgen formulieren (und den ersten als Beispiel beweisen).
Satz 1. Die Summe von zwei oder mehr infinitesimalen Folgen ist eine infinitesimale Folge.
Wir führen den Beweis für den Fall der Summation zweier Folgen. Die Folgen seien infinitesimal. Wenn die Folge durch ihre Addition erhalten wird, dann wird sie auch infinitesimal sein. Gegeben sei nämlich eine beliebige positive Zahl e. Aufgrund der Tatsache, dass sie unendlich klein ist, gibt es eine Zahl N, so dass sie kleiner als die Zahl bei ist. In ähnlicher Weise kann man für die zweite Folge eine (allgemein gesagt andere) Zahl angeben, so dass wir Jetzt haben, wenn größer als die größte der Zahlen , dann gleichzeitig
Aber dann, durch die Eigenschaft "der Modul der Summe überschreitet nicht die Summe der Module" (Punkt 74, Eigenschaft 13), finden wir
was die geforderte Behauptung beweist: Die Infinitesimalfolge wird gelesen als „die größere der beiden Zahlen N und .
Satz 2. Das Produkt einer beschränkten Folge und einer gegen Null konvergierenden Folge ist eine gegen Null konvergierende Folge.
Aus diesem Satz folgt insbesondere, dass das Produkt eines konstanten Werts mit einem Infinitesimal ebenso wie das Produkt mehrerer Infinitesimalwerte untereinander eine Infinitesimalgröße ist. Tatsächlich ist ein konstanter Wert immer ein begrenzter Wert. Dasselbe gilt für das Infinitesimale. Daher kann beispielsweise das Produkt zweier Infinitesimaler als Produkt eines Infinitesimalen durch ein Beschränktes interpretiert werden.
Satz 3. Der Quotient aus der Division einer Folge, die gegen Null konvergiert, durch eine Folge, die einen von Null verschiedenen Grenzwert hat, ist eine Folge, die gegen Null konvergiert.
Der folgende Satz erlaubt die Verwendung von Infinitesimalzahlen in den Beweisen von Grenzwertsätzen (Sätze 6-8).
Satz 4. Der gemeinsame Term einer Folge, die eine Grenze hat, kann als Summe dieser Grenze und einer infinitesimalen Größe dargestellt werden.
Nachweisen. Es gebe eine solche Folge
Aus der Definition der Grenze folgt:
für alle Befriedigung der Ungleichung Bezeichnen und dann bekommen wir das für die angegebenen Werte
d.h. dass es eine infinitesimale Menge gibt. Aber
und dies beweist unseren Satz.
Verna und umgekehrt
Satz 5. Wenn sich ein gemeinsamer Term einer Folge von einem konstanten Wert um einen infinitesimalen Wert unterscheidet, dann ist diese Konstante der Grenzwert dieser Folge.
Wir betrachten nun die in den folgenden drei Sätzen formulierten Regeln für den Grenzübergang.
Satz 6. Der Grenzwert der Summe von zwei oder mehr Folgen, die einen Grenzwert haben, ist gleich der Summe dieser Grenzwerte:
Nachweisen. Es gebe solche Folgen
Dann können wir basierend auf Satz 4 schreiben:
wo sind einige infinitesimale Folgen. Fügen wir die letzten beiden Gleichheiten hinzu:
Der Wert als Summe zweier Konstanten a und b ist konstant, und als Summe zweier infinitesimaler Folgen gibt es nach Theorem 1 eine infinitesimale Folge. Daraus und Satz 5 schließen wir darauf
und dies war zu beweisen.
Der nun geführte Beweis lässt sich leicht auf den Fall einer algebraischen Summe beliebig vieler gegebener Folgen verallgemeinern.
Der Preis eines Vermögenswertes zum aktuellen Zeitpunkt r sei gleich S(T) . Der Ausübungspreis einer Kaufoption auf diesen Vermögenswert mit Ablaufzeit T ist gleich K. Berechnen wir den Preis dieser Option zum Zeitpunkt t. Teilen Sie das Zeitintervall [r, T] in n Perioden gleicher Länge (T - t)/n. Die Berechnung des Call-Optionspreises erfolgt im Rahmen des n-Perioden-Binomial-Optionspreismodells, dessen Limit dann bei n -> oo gefunden wird.
Der Optionspreis im n-Perioden-Binomialmodell wird also durch Formel (3.12) bestimmt. Gemäß der Definition tendiert jo zu In [K/(S(t)dn))/ ln(m/d) als m i —» oo. Nach der Moivre-Laplace-Integralformel
b&j0,n,p) - 1 -F (, b&j0,n,p") -
y/npq J \ l/np"q
wobei Ф(х) = ^ dt - Normalverteilungsfunktion.
Mit der Definition (3.16) der Zahlen und ad erhalten wir das als η -> oo
c \u003d S (r) Ф (гіі) - Ke-r ^-T4 (d2), (3.17)
wo
\ii(S(t)/K) + (r + a2/2)(T - m)
d\
al/T - t
al/T - t
Die gefundene Formel (3.17) für den Call-Optionspreis heißt Black-Scholes-Formel.
Der Beweis von Formel (3.17) verwendet die Entwicklung des Exponenten in der Reihe
ex = 1 + x+^+.... (3.18)
Setzen wir and und d aus Formel (3.17) in die Gleichheit (3.8) ein, die die Zahlen ð id bestimmt, erhalten wir:
erAt - aß/Sch-
R
Entfaltet man die Exponentiale zu einer Reihe nach Formel (3.18) und vernachlässigt man die Terme, die klein gegenüber At sind, erhält man
al / At + (g - a212) At al / At - (g - a212) At
P ~ t = 1 Ich ~ t =
2al/M 2al/M
Wenn es keine Marktpreisunsicherheit gibt, erfüllt der Vermögenspreis S die Gleichung
AS = fiSAt, (2.1)
wobei At klein genug ist. Da At -> 0 wird Gleichung (2.1) differentiell
S" = /J.S.
Seine Lösung S(T) = S(0)emT bestimmt den Preis S(T) des Vermögenswerts zum Zeitpunkt T.
In der Praxis besteht jedoch immer Unsicherheit über den Preis eines Vermögenswerts. Zur Beschreibung der Unsicherheit werden Zeitfunktionen betrachtet, die Zufallsvariablen für jeden Wert des Arguments sind. Diese Eigenschaft definiert einen zufälligen Prozess.
Ein Zufallsprozess w(t) heißt Wiener, wenn r(0) = 0 und die Zufallsvariablen w(t\ + s) - w(t\) und w(t2 + s) - w(t2) normalverteilt sind mit null Erwartung und mit Varianz gleich s und unabhängig für alle t\, t2, s, die nicht überlappende Intervalle (ti,ti + s) und (t2,t2 + s) bilden.
Der Graph des Wiener-Prozesses kann beispielsweise wie folgt erhalten werden. Wir legen eine Zahl h > 0 fest und definieren eine Familie von Zufallsvariablen Wh(t) zu Zeiten t = 0, h, 2h, .... Setze Wh(0) = 0. Differenz AWh = Wh((k+l) h) - Wh(kh) ist eine Zufallsvariable und ergibt sich aus der Tabelle: AWh -6 6 P 1/2 1/2 Münzen. Dann ist der mathematische Erwartungswert der Zufallsvariablen AWh M(AI//1) = 0 und die Varianz D(AWh) = S2. Die Zahl d wird gleich Vh gesetzt, so dass die Varianz ~D(AWh) gleich h ist.
Es stellt sich heraus, dass der Wiener-Prozess w(t) aus der Familie der Zufallsvariablen Wh(t) als h -> 0 erhalten wird. Der Übergang zum Grenzwert selbst ist ziemlich schwierig und wird hier nicht betrachtet. Daher ist der Graph der Familie Wh (t) für kleine h eine gute Annäherung an den Wiener-Prozess. Beispielsweise reicht es für eine visuelle Darstellung des Wiener-Prozesses auf einem Segment, h = 0,01 zu nehmen.
Im einfachsten Fall, wenn /x = 0, also der Aktienmarkt im Durchschnitt nicht wächst und nicht fällt, wird davon ausgegangen
AS = aS Aw,
wobei w(t) ein Wiener-Prozess und a > 0 eine positive Zahl ist. Die Tatsache, dass Vermögenspreissteigerungen proportional zum Preis sind, drückt die natürliche Annahme aus, dass die Unsicherheit des Ausdrucks (S(t + At) - S(t))/S(t) nicht von S abhängt. Das bedeutet, dass der Investor es ist ebenso unsicher, ob Sie bei einem Vermögenspreis von 20 $ und bei einem Vermögenspreis von 100 $ einen Gewinnanteil erhalten.
Das Vermögenspreisverhaltensmodell wird im Allgemeinen durch die Gleichung bestimmt
A S(t) = /j,S(t)At + aS(t)Aw, (2.2)
Der Koeffizient a, der eine Einheit der Unsicherheit ist, wird als Volatilität bezeichnet.
2.2.
Mehr zum Thema Grenzwertübergang:
- Der Übergang zur Marktwirtschaft ist mit dem Übergang zu einem System des modernen Managements verbunden, dessen Hauptgegenstand die Organisation (Unternehmen) und darin der Arbeitnehmer, der Arbeitnehmer ist.
- Grenzwert (Grenzwert eines Wirtschaftsindikators)
Eigenschaften konvergenter Folgen (Beschränktheit, arithmetische Eigenschaften)
Antworten:
Wenn jeder natürlichen Zahl n eine Zahl x n zugeordnet wird, dann sagt man das Folge
x 1, x 2, ..., x n \u003d (x n)
Gemeinsames Element Folge ist eine Funktion von n.
Somit kann die Reihenfolge als Funktion der Ordnungszahl des Elements betrachtet werden.
Sie können eine Sequenz auf verschiedene Arten spezifizieren - die Hauptsache ist, dass eine Methode angegeben wird, um ein beliebiges Mitglied der Sequenz zu erhalten.
Beispiel.(xn) = ((-1)n) oder (xn) = -1; eines; -eines; eines; …
(x n ) = (sinpn/2) oder (x n ) = 1; 0; eines; 0; …
Sequenzen können wie folgt definiert werden: arithmetische Eigenschaften:
1) Multiplikation einer Folge mit einer Zahl m: m(x n ) = (mx n ), d.h. mx 1 , mx 2 , …
2) Addition (Subtraktion) von Folgen: (x n ) ± (y n ) = (x n ± y n ).
3) Produkt von Folgen: (x n )×(y n ) = (x n × y n ).
4) Quotient der Folgen: für (y n ) ¹ 0.
Begrenzte und unbegrenzte Folgen.
Definition. Die Folge (x n ) wird aufgerufen begrenzt, wenn es eine solche Zahl M>0 gibt, dass für jedes n die folgende Ungleichung gilt:
diese. alle Mitglieder der Folge gehören zum Intervall (-M; M).
Definition. von oben begrenzt
Definition. Die Folge (x n ) wird aufgerufen von unten begrenzt falls es zu irgendeinem n eine Zahl M gibt, so dass
Beispiel.(x n ) \u003d n - von unten begrenzt (1, 2, 3, ... ).
Übergang zur Grenze der Ungleichungen für Folgen.
Antworten:
Rechenoperationen auf konvergenten Folgen führen zu den gleichen Rechenoperationen an ihren Grenzen. In diesem Unterabschnitt zeigen wir, dass die von den Elementen konvergenter Folgen erfüllten Ungleichungen im Limes in die entsprechenden Ungleichungen für die Limes dieser Folgen übergehen.
Satz. Wenn die Elemente einer konvergenten Folge ( x n x n ≥ b (x n ≤ b), dann die Grenze a diese Folge erfüllt die Ungleichung a ≥ b (a ≤ b).
Nachweisen. Lassen Sie alle Elemente x n, zumindest ab einer Zahl, die Ungleichung erfüllen x n ≥ b. Es ist erforderlich, die Ungleichheit zu beweisen a ≥ b. Stellen wir uns das vor a < b. Weil die a- Sequenzlimit ( x n), dann für ein positives ε = b - a Sie können die Nummer angeben N so dass bei n ≥ N die Ungleichheit | x n - a| < b - a. Diese Ungleichung ist äquivalent zu den folgenden beiden Ungleichungen: -( b - a) < x n - a < b - a. Mit dem Recht dieser Ungleichungen erhalten wir x n < b, was der Hypothese des Theorems widerspricht. Ereignis x n ≤ bähnlich behandelt. Der Satz ist bewiesen.
Kommentar. Elemente einer konvergenten Folge ( x n) kann die strikte Ungleichung erfüllen x n > b, jedoch die Grenze a kann gleich sein b. Zum Beispiel wenn, dann x n> 0, jedoch
Folge 1. Wenn die Elemente x n und ja n konvergente Folgen ( x n) und ( ja n), ausgehend von einer Zahl, die Ungleichung erfüllen x n ≤ ja n, dann erfüllen ihre Grenzen die gleiche Ungleichung:
Tatsächlich sind die Elemente der Folge ( ja n - x n) sind nichtnegativ, und daher ist auch ihr Grenzwert nichtnegativ
Daraus folgt das
Folge 2. Wenn alle Elemente einer konvergenten Folge ( x n) befinden sich auf dem Segment [ a, b], dann seine Grenze c ist auch in diesem Segment.
In der Tat seit a ≤ x n ≤ b, dann a ≤ c ≤ b.
Der folgende Satz spielt in verschiedenen Anwendungen eine wichtige Rolle.
Satz. Lassen ( x n) und ( z n) sind konvergente Folgen mit einem gemeinsamen Grenzwert a. Lassen Sie außerdem, ausgehend von einer Zahl, die Elemente der Folge ( ja n) erfüllen die Ungleichungen x n ≤ ja n ≤ z n. Dann die Folge ( ja n) konvergiert und hat einen Grenzwert a.
Nachweisen. Es genügt uns zu beweisen, dass die Folge ( ja n - a) ist unendlich klein. Bezeichne mit N* die Zahl, ab der die in der Bedingung des Theorems angegebenen Ungleichungen erfüllt sind. Dann gelten, ausgehend von der gleichen Zahl, auch die Ungleichungen x n - a ≤ ja n - a ≤ z n - a. Daraus folgt, wann n ≥ N* Sequenzelemente ( ja n - a) die Ungleichung erfüllen
|ja n - a| ≤max(| x n - a|, |z n - a|}.
Seit und , dann für alle ε > 0 können Sie Zahlen angeben N 1 und N 2 so dass wenn n ≥ N 1 |x n - a| < ε , und wann n ≥ N 2 |z n - a| < ε . Lassen N= maximal ( N*, N 1 , N 2). Ausgehend von dieser Zahl wird die Ungleichung | ja n - a| < ε . Also die Folge ( ja n - a) ist unendlich klein. Der Satz ist bewiesen.
