Transformation des Arguments und Inkrementierung der Funktionsdefinition der Formel. Ableitung einer Funktion. Der ultimative Leitfaden (2019)

Sei x ein beliebiger Punkt in einer Umgebung eines festen Punktes x 0 . die Differenz x – x 0 wird üblicherweise als Inkrement der unabhängigen Variablen (oder Argumentinkrement) am Punkt x 0 bezeichnet und mit Δx bezeichnet. Auf diese Weise,

Δx = x –x 0 ,

woraus folgt das

Funktionsinkrement – die Differenz zwischen zwei Funktionswerten.

Die Funktion sei gegeben bei = f(x), definiert mit dem Wert des Arguments gleich X 0 . Geben wir dem Argument ein Inkrement D X, ᴛ.ᴇ. Betrachten Sie den Wert des Arguments als gleich X 0+D X. Nehmen wir an, dass dieser Argumentwert auch im Gültigkeitsbereich dieser Funktion liegt. Dann ist die Differenz D j = f(x 0+D X) – f(x 0) Es wird allgemein als Inkrement einer Funktion bezeichnet. Funktionsinkrement F(X) am Punkt X- Funktion wird normalerweise mit Δ bezeichnet x f aus der neuen Variablen Δ X definiert als

Δ x f(Δ X) = F(X + Δ X) − F(X).

Finden Sie das Inkrement des Arguments und das Inkrement der Funktion am Punkt x 0 if

Beispiel 2. Finden Sie das Inkrement der Funktion f(x) = x 2, wenn x = 1, ∆x = 0,1

Lösung: f(x) = x 2, f(x+∆x) = (x+∆x) 2

Finden wir das Inkrement der Funktion ∆f = f(x+∆x) - f(x) = (x+∆x) 2 - x 2 = x 2 +2x*∆x+∆x 2 - x 2 = 2x*∆x + ∆x 2 /

Ersetzen wir die Werte x=1 und ∆x= 0,1, erhalten wir ∆f = 2*1*0,1 + (0,1) 2 = 0,2+0,01 = 0,21

Finden Sie das Inkrement des Arguments und das Inkrement der Funktion am Punkt x 0

2.f(x) = 2x 3. x 0 =3 x=2,4

3. f(x) = 2x 2 +2 x 0 =1 x=0,8

4. f(x) = 3x+4 x 0 =4 x=3,8

Definition: Derivat Funktionen An einem Punkt ist es üblich, die Grenze (sofern vorhanden und endlich) des Verhältnisses des Inkrements einer Funktion zum Inkrement des Arguments zu nennen, sofern dieses gegen Null geht.

Die am häufigsten verwendeten Ableitungsnotationen sind:

Auf diese Weise,

Das Finden der Ableitung wird üblicherweise aufgerufen Differenzierung . Eingeführt Definition einer differenzierbaren Funktion: Eine Funktion f, die an jedem Punkt eines bestimmten Intervalls eine Ableitung hat, wird üblicherweise als in diesem Intervall differenzierbar bezeichnet.

Lassen Sie eine Funktion in einer bestimmten Umgebung eines Punktes definieren. Die Ableitung einer Funktion wird normalerweise als Zahl bezeichnet, so dass die Funktion in der Umgebung liegt U(X 0) kann dargestellt werden als

F(X 0 + H) = F(X 0) + Ah + Ö(H)

falls vorhanden.

Bestimmen der Ableitung einer Funktion an einem Punkt.

Lassen Sie die Funktion f(x) auf dem Intervall definiert (a; b), und sind die Punkte dieses Intervalls.

Definition. Ableitung einer Funktion f(x) An einem Punkt ist es üblich, die Grenze des Verhältnisses des Inkrements einer Funktion zum Inkrement des Arguments bei zu nennen. Festgelegt .

Wenn die letzte Grenze einen bestimmten Endwert annimmt, sprechen wir von der Existenz endliche Ableitung am Punkt. Wenn die Grenze unendlich ist, dann sagen wir das Die Ableitung ist an einem bestimmten Punkt unendlich. Wenn das Limit nicht existiert, dann Die Ableitung der Funktion existiert zu diesem Zeitpunkt nicht.

Funktion f(x) Man sagt, dass es an einem Punkt differenzierbar ist, an dem es eine endliche Ableitung hat.

Im Falle der Funktion f(x) an jedem Punkt eines Intervalls differenzierbar (a; b), dann heißt die Funktion in diesem Intervall differenzierbar. Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, jeder Punkt X von dazwischen (a; b) An diesem Punkt können wir den Wert der Ableitung der Funktion anpassen, das heißt, wir haben die Möglichkeit, eine neue Funktion zu definieren, die als Ableitung der Funktion bezeichnet wird f(x) auf dem Intervall (a; b).

Die Operation, die Ableitung zu finden, wird üblicherweise Differenzierung genannt.

1. Argumentinkrement und Funktionsinkrement.

Die Funktion sei gegeben. Nehmen wir zwei Argumentwerte: initial und modifiziert, was normalerweise bezeichnet wird
, Wo - Der Betrag, um den sich das Argument beim Übergang vom ersten zum zweiten Wert ändert, wird aufgerufen Argumentinkrement.

Die Argumentwerte und entsprechen bestimmten Funktionswerten: initial und verändert
, Größe aufgerufen, um den sich der Wert der Funktion ändert, wenn sich das Argument um den Wert ändert Funktionsinkrement.

2. der Begriff des Grenzwertes einer Funktion an einem Punkt.

Nummer wird als Grenzwert der Funktion bezeichnet
mit der Tendenz dazu , falls für eine beliebige Zahl
es gibt so eine Nummer
das vor aller Augen
, wodurch die Ungleichung erfüllt wird
, wird die Ungleichung erfüllt sein
.

Zweite Definition: Eine Zahl wird als Grenzwert einer Funktion bezeichnet, da sie dazu tendiert, wenn es für eine beliebige Zahl eine Umgebung des Punktes gibt, so dass für jede dieser Umgebungen gilt. Festgelegt
.

3. unendlich große und infinitesimale Funktionen an einem Punkt. Eine unendlich kleine Funktion an einem Punkt ist eine Funktion, deren Grenzwert Null ist, wenn sie sich einem bestimmten Punkt nähert. Eine unendlich große Funktion an einem Punkt ist eine Funktion, deren Grenze, wenn sie zu einem bestimmten Punkt tendiert, gleich unendlich ist.

4. Hauptsätze über Grenzen und Konsequenzen daraus (ohne Beweis).

Konsequenz: Der konstante Faktor kann über das Grenzzeichen hinaus genommen werden:

Wenn die Sequenzen und konvergieren und der Grenzwert der Folge ist dann ungleich Null

Konsequenz: Der konstante Faktor kann über das Grenzzeichen hinaus genommen werden.

11. ob es Funktionsbeschränkungen gibt
Und
und der Grenzwert der Funktion ist ungleich Null,

dann gibt es auch eine Grenze ihres Verhältnisses, gleich dem Verhältnis der Grenzen der Funktionen und :

.

12. wenn
, Das
, das Gegenteil gilt auch.

13. Satz über den Grenzwert einer Zwischenfolge. Wenn die Sequenzen
konvergierend, und
Und
Das

5. Grenzwert einer Funktion im Unendlichen.

Die Zahl a heißt Grenzwert einer Funktion im Unendlichen (für x, das gegen Unendlich tendiert), wenn für jede Folge, die gegen Unendlich tendiert
entspricht einer zur Zahl tendierenden Wertefolge A.

6. Grenzen der Zahlenfolge.

Nummer A heißt der Grenzwert einer Zahlenfolge für jede positive Zahl Es gibt eine natürliche Zahl N, so dass für alle N> N Ungleichheit gilt
.

Symbolisch wird dies wie folgt definiert:
gerecht .

Die Tatsache, dass die Zahl A ist der Grenzwert der Folge, der wie folgt bezeichnet wird:

.

7. Zahl „e“. natürliche Logarithmen.

Nummer „e“ stellt den Grenzwert der Zahlenfolge dar, N- tes Mitglied davon
, d.h.

.

Natürlicher Logarithmus – Logarithmus mit Basis e. natürliche Logarithmen werden bezeichnet
ohne Angabe eines Grundes.

Nummer
ermöglicht den Wechsel vom dezimalen zum natürlichen Logarithmus und zurück.

, wird es als Übergangsmodul von natürlichen Logarithmen zu dezimalen Logarithmen bezeichnet.

8. wunderbare Grenzen
,

.

Die erste bemerkenswerte Grenze:

also bei

durch den Grenzwertsatz der Zwischenfolge

zweite bemerkenswerte Grenze:

.

Um die Existenz einer Grenze zu beweisen
Verwenden Sie das Lemma: für jede reelle Zahl
Und
Ungleichheit ist wahr
(2) (at
oder
Ungleichheit wird zur Gleichheit.)

Sequenz (1) kann wie folgt geschrieben werden:

.

Betrachten Sie nun eine Hilfsfolge mit einem gemeinsamen Term
Stellen wir sicher, dass es abnimmt und unten begrenzt ist:
Wenn
, dann nimmt die Folge ab. Wenn
, dann ist die Folge nach unten beschränkt. Zeigen wir das:

aufgrund der Gleichheit (2)

d.h.
oder
. Das heißt, die Folge nimmt ab, und da die Folge nach unten beschränkt ist. Wenn eine Folge absteigend und nach unten beschränkt ist, dann hat sie einen Grenzwert. Dann

hat einen Grenzwert und eine Folge (1), weil

Und
.

L. Euler nannte diese Grenze .

9. einseitige Grenzen, Diskontinuität der Funktion.

Zahl A ist die linke Grenze, wenn für eine beliebige Folge Folgendes gilt: .

Zahl A ist der rechte Grenzwert, wenn für eine beliebige Folge Folgendes gilt: .

Wenn am Punkt A Zugehörigkeit zum Definitionsbereich der Funktion oder ihrer Grenze, die Bedingung der Kontinuität der Funktion wird verletzt, dann der Punkt A wird als Diskontinuitätspunkt oder Diskontinuität einer Funktion bezeichnet. Wenn, wie der Punkt tendiert

12. die Summe der Terme einer unendlich abnehmenden geometrischen Progression. Geometrische Progression ist eine Folge, bei der das Verhältnis zwischen dem nachfolgenden und dem vorherigen Term unverändert bleibt; dieses Verhältnis wird als Nenner der Progression bezeichnet. Summe von zuerst N Mitglieder der geometrischen Progression werden durch die Formel ausgedrückt
Diese Formel lässt sich bequem für eine abnehmende geometrische Progression verwenden – eine Progression, bei der der Absolutwert ihres Nenners kleiner als Null ist. - erstes Mitglied; - Progressionsnenner; - Nummer des genommenen Mitglieds der Sequenz. Die Summe einer unendlich abnehmenden Folge ist die Zahl, der sich die Summe der ersten Terme einer abnehmenden Folge auf unbestimmte Zeit annähert, wenn die Zahl auf unbestimmte Zeit zunimmt.
Das. Die Summe der Terme einer unendlich abnehmenden geometrischen Folge ist gleich .

Lassen X– Argument (unabhängige Variable); y=y(x)– Funktion.

Nehmen wir einen festen Argumentwert x=x 0 und berechnen Sie den Wert der Funktion j 0 =y(x 0 ) . Lassen Sie uns nun willkürlich festlegen Zuwachs (Änderung) des Arguments und bezeichnen es  X ( X kann jedes beliebige Zeichen haben).

Das Inkrementargument ist ein Punkt X 0 +  X. Nehmen wir an, es enthält auch einen Funktionswert y=y(x 0 +  X)(siehe Bild).

Somit wird bei einer willkürlichen Änderung des Werts des Arguments eine Änderung der aufgerufenen Funktion erhalten Zuwachs Funktionswerte:

und ist nicht willkürlich, sondern hängt von der Art der Funktion und dem Wert ab
.

Argument- und Funktionsinkremente können sein Finale, d.h. werden als konstante Zahlen ausgedrückt; in diesem Fall werden sie manchmal als endliche Differenzen bezeichnet.

In der Wirtschaftswissenschaft werden endliche Inkremente häufig berücksichtigt. Die Tabelle zeigt beispielsweise Daten zur Länge des Eisenbahnnetzes eines bestimmten Staates. Offensichtlich wird die Zunahme der Netzwerklänge berechnet, indem der vorherige Wert vom nachfolgenden subtrahiert wird.

Wir betrachten die Länge des Eisenbahnnetzes als Funktion, deren Argument die Zeit (Jahre) ist.

	Eisenbahnlänge zum 31. Dezember, Tausend km.	Zuwachs	Durchschnittliches jährliches Wachstum

Eine Vergrößerung einer Funktion (in diesem Fall der Länge des Eisenbahnnetzes) allein charakterisiert die Funktionsänderung nicht gut. In unserem Beispiel daraus, dass 2,5>0,9 Daraus kann nicht geschlossen werden, dass das Netzwerk schneller gewachsen ist 2000-2003 Jahre als in 2004 B. weil das Inkrement 2,5 bezieht sich auf einen Zeitraum von drei Jahren und 0,9 - in nur einem Jahr. Daher ist es ganz natürlich, dass eine Erhöhung einer Funktion zu einer Einheitenänderung des Arguments führt. Das Inkrement des Arguments beträgt hier Punkte: 1996-1993=3; 2000-1996=4; 2003-2000=3; 2004-2003=1 .

Wir bekommen das, was man in der Wirtschaftsliteratur nennt durchschnittliches jährliches Wachstum.

Sie können den Vorgang des Reduzierens des Inkrements auf die Einheit der Argumentänderung vermeiden, wenn Sie die Funktionswerte für Argumentwerte verwenden, die sich um eins unterscheiden, was nicht immer möglich ist.

In der mathematischen Analysis, insbesondere in der Differentialrechnung, werden infinitesimale (IM) Inkremente von Argument und Funktion berücksichtigt.

Differenzierung einer Funktion einer Variablen (Ableitung und Differential) Ableitung einer Funktion

Inkremente von Argument und Funktion an einem Punkt X 0 können als vergleichbare Infinitesimalgrößen betrachtet werden (siehe Thema 4, Vergleich von BM), d. h. BM der gleichen Ordnung.

Dann hat ihr Verhältnis einen endlichen Grenzwert, der als Ableitung der Funktion in t definiert ist X 0 .

Grenze des Verhältnisses des Inkrements einer Funktion zum BM-Inkrement des Arguments an einem Punkt x=x 0 angerufen Derivat Funktionen an einem bestimmten Punkt.

Die symbolische Bezeichnung einer Ableitung durch einen Strich (oder besser gesagt durch die römische Zahl I) wurde von Newton eingeführt. Sie können auch einen Index verwenden, der anzeigt, mit welcher Variablen die Ableitung berechnet wird, z. B. . Weit verbreitet ist auch eine andere vom Begründer der Ableitungsrechnung, dem deutschen Mathematiker Leibniz, vorgeschlagene Notation:
. Mehr über die Herkunft dieser Bezeichnung erfahren Sie im Abschnitt Funktionsdifferential und Argumentdifferential.

Diese Zahl wird geschätzt GeschwindigkeitÄnderungen in der Funktion, die durch einen Punkt verläuft
.

Lass uns installieren geometrische Bedeutung Ableitung einer Funktion an einem Punkt. Zu diesem Zweck zeichnen wir die Funktion auf y=y(x) und markieren Sie darauf die Punkte, die die Änderung bestimmen y(x) in der Zwischenzeit

Tangente an den Graphen einer Funktion an einem Punkt M 0
Wir werden die Grenzposition der Sekante betrachten M 0 M angesichts dessen
(Punkt M gleitet entlang des Graphen einer Funktion zu einem Punkt M 0 ).

Lassen Sie uns überlegen
. Offensichtlich,
.

Wenn der Punkt M direkt entlang des Funktionsgraphen in Richtung des Punktes M 0 , dann der Wert
wird zu einer bestimmten Grenze tendieren, die wir bezeichnen
. Dabei.

Grenzwinkel  stimmt mit dem Neigungswinkel der Tangente überein, die an den Graphen der Funktion inkl. gezogen wird. M 0 , also die Ableitung
zahlenmäßig gleich Tangentensteigung am angegebenen Punkt.

-

geometrische Bedeutung der Ableitung einer Funktion an einem Punkt.

Somit können wir die Tangenten- und Normalengleichungen schreiben ( normal - Dies ist eine Gerade senkrecht zur Tangente) an den Funktionsgraphen an einem bestimmten Punkt X 0 :

Tangente - .

Normal -
.

Von Interesse sind Fälle, in denen diese Linien horizontal oder vertikal liegen (siehe Thema 3, Sonderfälle der Lage einer Linie in einer Ebene). Dann,

Wenn
;

Wenn
.

Die Definition der Ableitung heißt Differenzierung Funktionen.

 Wenn die Funktion am Punkt X 0 eine endliche Ableitung hat, dann heißt sie differenzierbar an dieser Stelle. Eine Funktion, die an allen Punkten eines bestimmten Intervalls differenzierbar ist, heißt in diesem Intervall differenzierbar.

 Satz . Wenn die Funktion y=y(x) differenzierbar inkl. X 0 , dann ist es an dieser Stelle stetig.

Auf diese Weise, Kontinuität– eine notwendige (aber nicht hinreichende) Bedingung für die Differenzierbarkeit einer Funktion.

Erste Ebene

Ableitung einer Funktion. Der ultimative Leitfaden (2019)

Stellen wir uns eine gerade Straße vor, die durch ein hügeliges Gebiet führt. Das heißt, es geht auf und ab, dreht sich aber nicht nach rechts oder links. Wenn die Achse horizontal und vertikal entlang der Straße ausgerichtet ist, ähnelt die Straßenlinie stark dem Diagramm einer kontinuierlichen Funktion:

Die Achse ist eine bestimmte Höhe von Null; im Leben verwenden wir den Meeresspiegel als diese.

Wenn wir auf einem solchen Weg vorankommen, bewegen wir uns auch nach oben oder unten. Wir können auch sagen: Wenn sich das Argument ändert (Bewegung entlang der Abszissenachse), ändert sich der Wert der Funktion (Bewegung entlang der Ordinatenachse). Lassen Sie uns nun darüber nachdenken, wie wir die „Steilheit“ unserer Straße bestimmen können. Was für ein Wert könnte das sein? Es ist ganz einfach: Wie stark ändert sich die Höhe, wenn man sich eine bestimmte Strecke vorwärts bewegt? Tatsächlich steigen oder fallen wir auf verschiedenen Straßenabschnitten, wenn wir uns einen Kilometer vorwärts bewegen (entlang der x-Achse), relativ zum Meeresspiegel (entlang der y-Achse) um eine unterschiedliche Anzahl von Metern.

Bezeichnen wir den Fortschritt (lesen Sie „Delta x“).

Der griechische Buchstabe (Delta) wird in der Mathematik häufig als Präfix für „Veränderung“ verwendet. Das heißt – das ist eine Mengenänderung, – eine Veränderung; Was ist es dann? Das ist richtig, eine Größenänderung.

Wichtig: Ein Ausdruck ist ein einzelnes Ganzes, eine Variable. Trennen Sie niemals das „Delta“ vom „x“ oder einem anderen Buchstaben! Das ist zum Beispiel .

Wir sind also horizontal vorangekommen. Wenn wir die Straßenlinie mit dem Funktionsgraphen vergleichen, wie bezeichnen wir dann den Anstieg? Sicherlich, . Das heißt, je weiter wir voranschreiten, desto höher steigen wir.

Der Wert lässt sich leicht berechnen: Wenn wir am Anfang in einer Höhe waren und uns nach der Bewegung in einer Höhe befanden, dann. Wenn der Endpunkt niedriger als der Startpunkt ist, ist er negativ – das bedeutet, dass wir nicht aufsteigen, sondern absteigen.

Kommen wir zurück zur „Steilheit“: Dies ist ein Wert, der angibt, um wie viel (steiler) die Höhe zunimmt, wenn man sich eine Distanzeinheit vorwärts bewegt:

Nehmen wir an, dass die Straße auf einem bestimmten Straßenabschnitt beim Vorwärtsfahren um einen Kilometer um einen Kilometer ansteigt. Dann ist die Steigung an dieser Stelle gleich. Und wenn die Straße, während sie sich um m vorwärts bewegt, um km abfällt? Dann ist die Steigung gleich.

Schauen wir uns nun die Spitze eines Hügels an. Nimmt man den Anfang des Abschnitts einen halben Kilometer vor dem Gipfel und das Ende einen halben Kilometer danach, erkennt man, dass die Höhenlage nahezu gleich ist.

Das heißt, nach unserer Logik stellt sich heraus, dass die Steigung hier nahezu gleich Null ist, was eindeutig nicht stimmt. Schon auf einer Strecke von mehreren Kilometern kann sich viel ändern. Für eine angemessenere und genauere Beurteilung der Steilheit müssen kleinere Bereiche berücksichtigt werden. Wenn Sie beispielsweise die Höhenänderung bei einer Bewegung von einem Meter messen, ist das Ergebnis viel genauer. Aber selbst diese Genauigkeit reicht uns möglicherweise nicht aus – denn wenn ein Mast mitten auf der Straße steht, können wir einfach daran vorbeifahren. Welchen Abstand sollten wir dann wählen? Zentimeter? Millimeter? Weniger ist besser!

Im wirklichen Leben reicht es völlig aus, Entfernungen auf den Millimeter genau zu messen. Aber Mathematiker streben immer nach Perfektion. Daher wurde das Konzept erfunden unendlich klein, das heißt, der absolute Wert ist kleiner als jede Zahl, die wir nennen können. Sie sagen zum Beispiel: ein Billionstel! Wie viel weniger? Und dividieren Sie diese Zahl durch – und es wird noch weniger. Usw. Wenn wir schreiben wollen, dass eine Größe unendlich klein ist, schreiben wir so: (wir lesen „x tendiert gegen Null“). Es ist sehr wichtig zu verstehen dass diese Zahl nicht Null ist! Aber sehr nah dran. Das bedeutet, dass man dadurch dividieren kann.

Das Gegenteil von Infinitesimal ist unendlich groß (). Sie sind wahrscheinlich schon darauf gestoßen, als Sie an Ungleichungen gearbeitet haben: Diese Zahl ist modulo größer als jede Zahl, die Sie sich vorstellen können. Wenn Sie die größtmögliche Zahl erhalten, multiplizieren Sie sie einfach mit zwei und Sie erhalten eine noch größere Zahl. Und die Unendlichkeit ist noch größer als das, was passiert. Tatsächlich sind das Unendlich Große und das Unendlich Kleine das Gegenteil voneinander, also at, und umgekehrt: at.

Kommen wir nun zurück zu unserem Weg. Die ideal berechnete Steigung ist die Steigung, die für einen unendlich kleinen Abschnitt des Pfades berechnet wurde, d. h.:

Ich stelle fest, dass bei einer unendlich kleinen Verschiebung auch die Höhenänderung verschwindend gering sein wird. Aber ich möchte Sie daran erinnern, dass unendlich klein nicht gleich Null bedeutet. Wenn man infinitesimale Zahlen durcheinander dividiert, erhält man eine ganz gewöhnliche Zahl, zum Beispiel . Das heißt, ein kleiner Wert kann genau um ein Vielfaches größer sein als ein anderer.

Wozu dient das alles? Die Straße, die Steilheit ... Wir nehmen nicht an einer Autorallye teil, sondern unterrichten Mathematik. Und in der Mathematik ist alles genau gleich, nur anders genannt.

Konzept der Ableitung

Die Ableitung einer Funktion ist das Verhältnis des Inkrements der Funktion zum Inkrement des Arguments für ein infinitesimales Inkrement des Arguments.

Inkrementell in der Mathematik nennt man Veränderung. Das Ausmaß, in dem sich das Argument () ändert, während es sich entlang der Achse bewegt, wird aufgerufen Argumentinkrement und wird bezeichnet. Es wird aufgerufen, um wie viel sich die Funktion (Höhe) bei einer Vorwärtsbewegung entlang der Achse um eine Strecke verändert hat Funktionsinkrement und ist bezeichnet.

Die Ableitung einer Funktion ist also das Verhältnis zu when. Wir bezeichnen die Ableitung mit demselben Buchstaben wie die Funktion, nur mit einem Primzahl oben rechts: oder einfach. Schreiben wir also die Ableitungsformel mit diesen Notationen:

Wie in der Analogie zur Straße ist auch hier die Ableitung positiv, wenn die Funktion zunimmt, und wenn sie abnimmt, ist sie negativ.

Kann die Ableitung gleich Null sein? Sicherlich. Wenn wir beispielsweise auf einer ebenen, horizontalen Straße fahren, ist die Steilheit Null. Und es stimmt, die Höhe ändert sich überhaupt nicht. So ist es auch mit der Ableitung: Die Ableitung einer konstanten Funktion (Konstante) ist gleich Null:

da das Inkrement einer solchen Funktion für jede gleich Null ist.

Erinnern wir uns an das Beispiel auf einem Hügel. Es stellte sich heraus, dass es möglich war, die Enden des Segments auf gegenüberliegenden Seiten des Scheitelpunkts so anzuordnen, dass die Höhe an den Enden gleich ist, das heißt, das Segment ist parallel zur Achse:

Große Segmente sind jedoch ein Zeichen für eine ungenaue Messung. Wir heben unser Segment parallel zu sich selbst an, dann verringert sich seine Länge.

Wenn wir uns schließlich unendlich nahe an der Spitze befinden, wird die Länge des Segments verschwindend klein. Aber gleichzeitig blieb es parallel zur Achse, das heißt, der Höhenunterschied an seinen Enden ist gleich Null (es tendiert nicht dazu, sondern ist gleich). Also die Ableitung

Das kann man so verstehen: Wenn wir ganz oben stehen, verändert eine kleine Verschiebung nach links oder rechts unsere Körpergröße vernachlässigbar.

Es gibt auch eine rein algebraische Erklärung: Links vom Scheitelpunkt nimmt die Funktion zu, rechts ab. Wie wir zuvor herausgefunden haben, ist die Ableitung positiv, wenn eine Funktion zunimmt, und wenn sie abnimmt, ist sie negativ. Aber es ändert sich sanft und ohne Sprünge (da die Straße ihre Neigung nirgends stark ändert). Daher muss zwischen negativen und positiven Werten liegen. Dort wird die Funktion weder zu- noch abfallen – am Scheitelpunkt.

Das Gleiche gilt für den Tiefpunkt (den Bereich, in dem die Funktion links abnimmt und rechts zunimmt):

Etwas mehr über Inkremente.

Also ändern wir das Argument in Größe. Ab welchem ​​Wert wechseln wir? Was ist daraus (das Argument) jetzt geworden? Wir können jeden Punkt wählen und jetzt werden wir von dort aus tanzen.

Betrachten Sie einen Punkt mit einer Koordinate. Der Wert der darin enthaltenen Funktion ist gleich. Dann machen wir das gleiche Inkrement: Wir erhöhen die Koordinate um. Was ist nun das Argument? Sehr leicht: . Welchen Wert hat die Funktion nun? Wo das Argument hingehört, gehört auch die Funktion dazu: . Was ist mit Funktionsinkrement? Nichts Neues: Dies ist immer noch der Betrag, um den sich die Funktion geändert hat:

Üben Sie das Finden von Inkrementen:

1. Finden Sie das Inkrement der Funktion an einem Punkt, an dem das Inkrement des Arguments gleich ist.
2. Dasselbe gilt für die Funktion an einem Punkt.

Lösungen:

An verschiedenen Punkten mit demselben Argumentinkrement ist das Funktionsinkrement unterschiedlich. Das bedeutet, dass die Ableitung an jedem Punkt unterschiedlich ist (wir haben das gleich zu Beginn besprochen – die Steilheit der Straße ist an verschiedenen Punkten unterschiedlich). Wenn wir eine Ableitung schreiben, müssen wir daher angeben, an welcher Stelle:

Power-Funktion.

Eine Potenzfunktion ist eine Funktion, bei der das Argument bis zu einem gewissen Grad (logisch, oder?) ist.

Darüber hinaus – in jedem Umfang: .

Der einfachste Fall ist, wenn der Exponent ist:

Finden wir seine Ableitung an einem Punkt. Erinnern wir uns an die Definition einer Ableitung:

Das Argument ändert sich also von zu. Was ist das Inkrement der Funktion?

Inkrement ist das. Aber eine Funktion ist an jedem Punkt gleich ihrem Argument. Deshalb:

Die Ableitung ist gleich:

Die Ableitung von ist gleich:

b) Betrachten Sie nun die quadratische Funktion (): .

Erinnern wir uns jetzt daran. Dies bedeutet, dass der Wert des Inkrements vernachlässigt werden kann, da er unendlich klein und daher vor dem Hintergrund des anderen Termes unbedeutend ist:

Also haben wir uns eine weitere Regel ausgedacht:

c) Wir setzen die logische Reihe fort: .

Dieser Ausdruck kann auf unterschiedliche Weise vereinfacht werden: Öffnen Sie die erste Klammer mit der Formel für die abgekürzte Multiplikation der Potenz der Summe oder faktorisieren Sie den gesamten Ausdruck mit der Formel für die Differenz der Würfel. Versuchen Sie es selbst mit einer der vorgeschlagenen Methoden.

Also, ich habe folgendes bekommen:

Und erinnern wir uns noch einmal daran. Das bedeutet, dass wir alle Begriffe vernachlässigen können, die Folgendes enthalten:

Wir bekommen: .

d) Ähnliche Regeln können für große Potenzen erhalten werden:

e) Es stellt sich heraus, dass diese Regel für eine Potenzfunktion mit einem beliebigen Exponenten, nicht einmal einer ganzen Zahl, verallgemeinert werden kann:

(2)

Die Regel lässt sich mit den Worten formulieren: „Der Grad wird als Koeffizient vorgezogen und dann um reduziert.“

Wir werden diese Regel später (fast ganz am Ende) beweisen. Schauen wir uns nun einige Beispiele an. Finden Sie die Ableitung der Funktionen:

1. (auf zwei Arten: durch Formel und unter Verwendung der Definition der Ableitung – durch Berechnung des Inkrements der Funktion);

1. . Ob Sie es glauben oder nicht, dies ist eine Potenzfunktion. Wenn Sie Fragen haben wie „Wie ist das? Wo ist der Abschluss?“, denken Sie an das Thema „“!
   Ja, ja, die Wurzel ist auch ein Grad, nur ein Bruch: .
   Das bedeutet, dass unsere Quadratwurzel nur eine Potenz mit einem Exponenten ist:
   .
   Wir suchen die Ableitung mithilfe der kürzlich erlernten Formel:

   Sollte es an dieser Stelle erneut unklar werden, wiederholen Sie das Thema „“!!!“ (ungefähr ein Grad mit negativem Exponenten)

2. . Nun der Exponent:

   Und nun zur Definition (haben Sie es schon vergessen?):
   ;
   .
   Nun vernachlässigen wir wie üblich den Begriff, der Folgendes enthält:
   .

3. . Kombination früherer Fälle: .

Trigonometrische Funktionen.

Hier verwenden wir eine Tatsache aus der höheren Mathematik:

Mit Ausdruck.

Den Nachweis erlernen Sie im ersten Studienjahr (und um dorthin zu gelangen, müssen Sie das Einheitliche Staatsexamen gut bestehen). Jetzt zeige ich es einfach grafisch:

Wir sehen, dass der Punkt im Diagramm ausgeschnitten wird, wenn die Funktion nicht existiert. Aber je näher am Wert, desto näher ist die Funktion daran. Das ist es, was „strebt“.

Zusätzlich können Sie diese Regel mit einem Taschenrechner überprüfen. Ja, ja, keine Scheu, nehmen Sie einen Taschenrechner mit, wir sind noch nicht beim Einheitlichen Staatsexamen.

Lass es uns versuchen: ;

Vergessen Sie nicht, Ihren Rechner auf den Bogenmaßmodus umzustellen!

usw. Wir sehen, je kleiner, desto näher liegt der Wert des Verhältnisses.

a) Betrachten Sie die Funktion. Lassen Sie uns wie üblich das Inkrement ermitteln:

Lassen Sie uns die Sinusdifferenz in ein Produkt umwandeln. Dazu verwenden wir die Formel (denken Sie an das Thema „“): .

Nun die Ableitung:

Machen wir einen Ersatz: . Dann ist es für Infinitesimal auch Infinitesimal: . Der Ausdruck für hat die Form:

Und jetzt erinnern wir uns daran mit dem Ausdruck. Und was wäre, wenn eine unendlich kleine Größe in der Summe (also at) vernachlässigt werden könnte?

Wir erhalten also die folgende Regel: die Ableitung des Sinus ist gleich dem Kosinus:

Dabei handelt es sich um einfache („tabelläre“) Ableitungen. Hier sind sie in einer Liste:

Später werden wir noch einige hinzufügen, aber diese sind die wichtigsten, da sie am häufigsten verwendet werden.

Üben:

1. Finden Sie die Ableitung der Funktion an einem Punkt;
2. Finden Sie die Ableitung der Funktion.

Lösungen:

1. Lassen Sie uns zunächst die Ableitung in allgemeiner Form finden und dann ihren Wert ersetzen:
   ;
   .
2. Hier haben wir so etwas wie eine Potenzfunktion. Versuchen wir, sie dazu zu bringen
   normale Ansicht:
   .
   Großartig, jetzt können Sie die Formel verwenden:
   .
   .
3. . Eeeeeee….. Was ist das????

Okay, Sie haben Recht, wir wissen noch nicht, wie man solche Derivate findet. Hier haben wir eine Kombination mehrerer Arten von Funktionen. Um mit ihnen arbeiten zu können, müssen Sie noch ein paar Regeln lernen:

Exponent und natürlicher Logarithmus.

In der Mathematik gibt es eine Funktion, deren Ableitung für einen beliebigen Wert gleichzeitig gleich dem Wert der Funktion selbst ist. Sie wird „Exponent“ genannt und ist eine Exponentialfunktion

Die Basis dieser Funktion – eine Konstante – ist ein unendlicher Dezimalbruch, also eine irrationale Zahl (wie z. B.). Sie wird „Euler-Zahl“ genannt, weshalb sie mit einem Buchstaben bezeichnet wird.

Also die Regel:

Sehr leicht zu merken.

Nun, gehen wir nicht zu weit, betrachten wir gleich die Umkehrfunktion. Welche Funktion ist die Umkehrung der Exponentialfunktion? Logarithmus:

In unserem Fall ist die Basis die Zahl:

Einen solchen Logarithmus (also einen Logarithmus mit Basis) nennen wir „natürlich“, und wir verwenden dafür eine spezielle Schreibweise: Wir schreiben stattdessen.

Was ist es gleich? Natürlich, .

Auch die Ableitung des natürlichen Logarithmus ist sehr einfach:

Beispiele:

1. Finden Sie die Ableitung der Funktion.
2. Was ist die Ableitung der Funktion?

Antworten: Der Exponential- und der natürliche Logarithmus sind aus abgeleiteter Sicht einzigartig einfache Funktionen. Exponentielle und logarithmische Funktionen mit jeder anderen Basis haben eine andere Ableitung, die wir später analysieren werden, nachdem wir die Regeln der Differenzierung durchgegangen sind.

Differenzierungsregeln

Regeln wofür? Schon wieder ein neuer Begriff?!...

Differenzierung ist der Prozess, die Ableitung zu finden.

Das ist alles. Wie kann man diesen Prozess sonst in einem Wort nennen? Keine Ableitung... Mathematiker nennen das Differential das gleiche Inkrement einer Funktion bei. Dieser Begriff kommt vom lateinischen differentia – Unterschied. Hier.

Bei der Ableitung all dieser Regeln verwenden wir beispielsweise zwei Funktionen und. Wir benötigen auch Formeln für ihre Inkremente:

Insgesamt gibt es 5 Regeln.

Die Konstante wird aus dem Ableitungszeichen entnommen.

Wenn - eine konstante Zahl (Konstante), dann.

Offensichtlich gilt diese Regel auch für den Unterschied: .

Lass es uns beweisen. Lass es sein, oder einfacher.

Beispiele.

Finden Sie die Ableitungen der Funktionen:

1. an einem Punkt;
2. an einem Punkt;
3. an einem Punkt;
4. am Punkt.

Lösungen:

1. (Die Ableitung ist an allen Punkten gleich, da es sich um eine lineare Funktion handelt, erinnern Sie sich?);

Derivat des Produkts

Hier ist alles ähnlich: Lassen Sie uns eine neue Funktion einführen und deren Inkrement ermitteln:

Derivat:

Beispiele:

1. Finden Sie die Ableitungen der Funktionen und;
2. Finden Sie die Ableitung der Funktion an einem Punkt.

Lösungen:

Ableitung einer Exponentialfunktion

Jetzt reichen Ihre Kenntnisse aus, um zu lernen, wie Sie die Ableitung einer beliebigen Exponentialfunktion und nicht nur von Exponenten finden (haben Sie schon vergessen, was das ist?).

Also, wo ist eine Zahl?

Wir kennen bereits die Ableitung der Funktion, also versuchen wir, unsere Funktion auf eine neue Basis zu reduzieren:

Dazu verwenden wir eine einfache Regel: . Dann:

Nun, es hat funktioniert. Versuchen Sie nun, die Ableitung zu finden, und vergessen Sie nicht, dass diese Funktion komplex ist.

Passiert?

Hier prüfen Sie selbst:

Es stellte sich heraus, dass die Formel der Ableitung eines Exponenten sehr ähnlich war: So wie sie war, blieb sie gleich, es erschien nur ein Faktor, der nur eine Zahl, aber keine Variable ist.

Beispiele:
Finden Sie die Ableitungen der Funktionen:

Antworten:

Dies ist lediglich eine Zahl, die ohne Taschenrechner nicht berechnet, also nicht in einfacherer Form niedergeschrieben werden kann. Deshalb belassen wir es in der Antwort in dieser Form.

Ableitung einer logarithmischen Funktion

Hier ist es ähnlich: Die Ableitung des natürlichen Logarithmus kennen Sie bereits:

Um also einen beliebigen Logarithmus mit einer anderen Basis zu finden, zum Beispiel:

Wir müssen diesen Logarithmus auf die Basis reduzieren. Wie ändert man die Basis eines Logarithmus? Ich hoffe, Sie erinnern sich an diese Formel:

Erst jetzt schreiben wir stattdessen:

Der Nenner ist einfach eine Konstante (eine konstante Zahl ohne Variable). Die Ableitung erhält man ganz einfach:

Ableitungen exponentieller und logarithmischer Funktionen werden im Einheitlichen Staatsexamen fast nie gefunden, aber es wird nicht überflüssig sein, sie zu kennen.

Ableitung einer komplexen Funktion.

Was ist eine „komplexe Funktion“? Nein, das ist kein Logarithmus und kein Arkustangens. Diese Funktionen können schwer zu verstehen sein (wenn Sie jedoch Schwierigkeiten mit dem Logarithmus haben, lesen Sie das Thema „Logarithmen“ und es wird Ihnen nichts ausmachen), aber aus mathematischer Sicht bedeutet das Wort „komplex“ nicht „schwierig“.

Stellen Sie sich ein kleines Förderband vor: Zwei Personen sitzen und führen mit einigen Gegenständen Aktionen aus. Zum Beispiel wickelt der erste einen Schokoriegel in eine Hülle und der zweite bindet ihn mit einem Band zusammen. Das Ergebnis ist ein zusammengesetztes Objekt: eine Tafel Schokolade, umwickelt und mit einem Band zusammengebunden. Um einen Schokoriegel zu essen, müssen Sie die umgekehrten Schritte in umgekehrter Reihenfolge ausführen.

Erstellen wir eine ähnliche mathematische Pipeline: Zuerst ermitteln wir den Kosinus einer Zahl und quadrieren dann die resultierende Zahl. Wir bekommen also eine Zahl (Schokolade), ich finde ihren Kosinus (Umschlag) und dann quadrieren Sie, was ich bekommen habe (binden Sie es mit einem Band zusammen). Was ist passiert? Funktion. Dies ist ein Beispiel für eine komplexe Funktion: Um ihren Wert zu ermitteln, führen wir die erste Aktion direkt mit der Variablen aus und dann eine zweite Aktion mit dem Ergebnis der ersten.

Wir können die gleichen Schritte auch in umgekehrter Reihenfolge durchführen: Zuerst quadrieren Sie es, und dann suche ich nach dem Kosinus der resultierenden Zahl: . Es ist leicht zu erraten, dass das Ergebnis fast immer anders ausfallen wird. Ein wichtiges Merkmal komplexer Funktionen: Wenn sich die Reihenfolge der Aktionen ändert, ändert sich auch die Funktion.

Mit anderen Worten, Eine komplexe Funktion ist eine Funktion, deren Argument eine andere Funktion ist: .

Für das erste Beispiel: .

Zweites Beispiel: (das Gleiche). .

Die Aktion, die wir zuletzt ausführen, wird aufgerufen „externe“ Funktion, und die zuerst ausgeführte Aktion - entsprechend „interne“ Funktion(Dies sind informelle Namen, ich verwende sie nur, um das Material in einfacher Sprache zu erklären).

Versuchen Sie selbst herauszufinden, welche Funktion extern und welche intern ist:

Antworten: Das Trennen innerer und äußerer Funktionen ist dem Ändern von Variablen sehr ähnlich: zum Beispiel in einer Funktion

1. Welche Aktion werden wir zuerst durchführen? Berechnen wir zunächst den Sinus und würfeln ihn erst dann. Dies bedeutet, dass es sich um eine interne Funktion handelt, jedoch um eine externe.
   Und die ursprüngliche Funktion ist ihre Zusammensetzung: .
2. Intern: ; extern: .
   Untersuchung: .
3. Intern: ; extern: .
   Untersuchung: .
4. Intern: ; extern: .
   Untersuchung: .
5. Intern: ; extern: .
   Untersuchung: .

Wir ändern Variablen und erhalten eine Funktion.

Nun, jetzt werden wir unsere Tafel Schokolade herausnehmen und nach dem Derivat suchen. Das Verfahren ist immer umgekehrt: Zuerst suchen wir die Ableitung der äußeren Funktion, dann multiplizieren wir das Ergebnis mit der Ableitung der inneren Funktion. Bezogen auf das Originalbeispiel sieht es so aus:

Ein anderes Beispiel:

Lassen Sie uns nun endlich die offizielle Regel formulieren:

Algorithmus zum Finden der Ableitung einer komplexen Funktion:

Es scheint einfach, oder?

Schauen wir uns das anhand von Beispielen an:

Lösungen:

1) Intern: ;

Extern: ;

2) Intern: ;

(Versuchen Sie jetzt bloß nicht, es zu schneiden! Unter dem Kosinus kommt nichts heraus, schon vergessen?)

3) Intern: ;

Extern: ;

Es ist sofort klar, dass es sich um eine komplexe Funktion mit drei Ebenen handelt: Schließlich ist dies bereits eine komplexe Funktion für sich, und wir extrahieren daraus auch die Wurzel, das heißt, wir führen die dritte Aktion aus (wir geben die Schokolade in eine mit Umschlag und Schleife in der Aktentasche). Aber es besteht kein Grund zur Angst: Wir werden diese Funktion trotzdem in der gewohnten Reihenfolge „auspacken“: vom Ende an.

Das heißt, wir differenzieren zuerst die Wurzel, dann den Kosinus und erst dann den Ausdruck in Klammern. Und dann multiplizieren wir alles.

In solchen Fällen ist es sinnvoll, die Aktionen zu nummerieren. Stellen wir uns vor, was wir wissen. In welcher Reihenfolge werden wir Aktionen ausführen, um den Wert dieses Ausdrucks zu berechnen? Schauen wir uns ein Beispiel an:

Je später die Aktion ausgeführt wird, desto „externer“ ist die entsprechende Funktion. Der Aktionsablauf ist derselbe wie zuvor:

Dabei erfolgt die Schachtelung grundsätzlich 4-stufig. Lassen Sie uns die Vorgehensweise festlegen.

1. Radikaler Ausdruck. .

2. Wurzel. .

3. Sinus. .

4. Quadrat. .

5. Alles zusammenfassen:

DERIVAT. KURZ ÜBER DAS WICHTIGSTE

Ableitung einer Funktion- das Verhältnis des Inkrements der Funktion zum Inkrement des Arguments für ein infinitesimales Inkrement des Arguments:

Grundlegende Derivate:

Differenzierungsregeln:

Die Konstante wird aus dem Ableitungszeichen entnommen:

Ableitung der Summe:

Derivat des Produkts:

Ableitung des Quotienten:

Ableitung einer komplexen Funktion:

Algorithmus zum Finden der Ableitung einer komplexen Funktion:

1. Wir definieren die „interne“ Funktion und finden ihre Ableitung.
2. Wir definieren die „externe“ Funktion und finden ihre Ableitung.
3. Wir multiplizieren die Ergebnisse des ersten und zweiten Punktes.

In der Koordinatenebene xOy Betrachten Sie den Graphen der Funktion y=f(x). Lassen Sie uns den Punkt klären M(x 0 ; f (x 0)). Fügen wir eine Abszisse hinzu x 0 Zuwachs Δх. Wir erhalten eine neue Abszisse x 0 +Δx. Dies ist die Abszisse des Punktes N, und die Ordinate wird gleich sein f (x 0 +Δx). Die Änderung der Abszisse führte zu einer Änderung der Ordinate. Diese Änderung wird als Funktionsinkrement bezeichnet und mit bezeichnet Δy.

Δy=f (x 0 +Δx) - f (x 0). Durch Punkte M Und N Lass uns eine Sekante zeichnen MN, was einen Winkel bildet φ mit positiver Achsrichtung Oh. Bestimmen wir den Tangens des Winkels φ aus einem rechtwinkligen Dreieck MPN.

Lassen Δх tendiert gegen Null. Dann die Sekante MN tendiert dazu, eine tangentiale Position einzunehmen MT und der Winkel φ wird zu einem Winkel α . Also der Tangens des Winkels α ist der Grenzwert des Tangens des Winkels φ :

Die Grenze des Verhältnisses des Inkrements einer Funktion zum Inkrement des Arguments, wenn dieses gegen Null tendiert, wird als Ableitung der Funktion an einem bestimmten Punkt bezeichnet:

Geometrische Bedeutung der Ableitung liegt in der Tatsache, dass die numerische Ableitung der Funktion an einem bestimmten Punkt gleich dem Tangens des Winkels ist, der durch die durch diesen Punkt gezogene Tangente an die gegebene Kurve und die positive Richtung der Achse gebildet wird Oh:

Beispiele.

1. Finden Sie das Inkrement des Arguments und das Inkrement der Funktion y= x 2, wenn der Anfangswert des Arguments gleich war 4 , und neu - 4,01 .

Lösung.

Neuer Argumentwert x=x 0 +Δx. Ersetzen wir die Daten: 4,01=4+Δх, daher die Erhöhung des Arguments Δх=4,01-4=0,01. Das Inkrement einer Funktion ist per Definition gleich der Differenz zwischen dem neuen und dem vorherigen Wert der Funktion, d.h. Δy=f (x 0 +Δx) - f (x 0). Da wir eine Funktion haben y=x2, Das Δу=(x 0 +Δx) 2 - (x 0) 2 =(x 0) 2 +2x 0 · Δx+(Δx) 2 - (x 0) 2 =2x 0 · Δx+(Δx) 2 =

2 · 4 · 0,01+(0,01) 2 =0,08+0,0001=0,0801.

Antwort: Argumentinkrement Δх=0,01; Funktionsinkrement Δу=0,0801.

Das Funktionsinkrement könnte anders gefunden werden: Δy=y (x 0 +Δx) -y (x 0)=y(4,01) -y(4)=4,01 2 -4 2 =16,0801-16=0,0801.

2. Finden Sie den Neigungswinkel der Tangente an den Funktionsgraphen y=f(x) am Punkt x 0, Wenn f "(x 0) = 1.

Lösung.

Der Wert der Ableitung am Tangentialpunkt x 0 und ist der Wert des Tangens des Tangentenwinkels (die geometrische Bedeutung der Ableitung). Wir haben: f "(x 0) = tanα = 1 → α = 45°, als tg45°=1.

Antwort: Die Tangente an den Graphen dieser Funktion bildet einen Winkel mit der positiven Richtung der Ox-Achse gleich 45°.

3. Leiten Sie die Formel für die Ableitung der Funktion her y=xn.

Differenzierung ist die Aktion, die Ableitung einer Funktion zu finden.

Verwenden Sie beim Finden von Ableitungen Formeln, die auf der Grundlage der Definition einer Ableitung abgeleitet wurden, genauso wie wir die Formel für den Ableitungsgrad abgeleitet haben: (x n)" = nx n-1.

Das sind die Formeln.

Tabelle der Derivate Das Auswendiglernen wird durch das Aussprechen mündlicher Formulierungen erleichtert:

1. Die Ableitung einer konstanten Größe ist Null.

2. X prim ist gleich eins.

3. Der konstante Faktor kann aus dem Vorzeichen der Ableitung entnommen werden.

4. Die Ableitung eines Grades ist gleich dem Produkt des Exponenten dieses Grades mit einem Grad mit derselben Basis, aber der Exponent ist um eins kleiner.

5. Die Ableitung einer Wurzel ist gleich eins dividiert durch zwei gleiche Wurzeln.

6. Die Ableitung von eins dividiert durch x ist gleich minus eins dividiert durch x im Quadrat.

7. Die Ableitung des Sinus ist gleich dem Kosinus.

8. Die Ableitung des Kosinus ist gleich minus Sinus.

9. Die Ableitung des Tangens ist gleich eins dividiert durch das Quadrat des Kosinus.

10. Die Ableitung des Kotangens ist gleich minus eins geteilt durch das Quadrat des Sinus.

Wir lehren Differenzierungsregeln.

1. Die Ableitung einer algebraischen Summe ist gleich der algebraischen Summe der Ableitungen der Terme.

2. Die Ableitung eines Produkts ist gleich dem Produkt der Ableitung des ersten Faktors und des zweiten Faktors plus dem Produkt des ersten Faktors und der Ableitung des zweiten.

3. Die Ableitung von „y“ dividiert durch „ve“ ist gleich einem Bruch, bei dem der Zähler „y prim multipliziert mit „ve“ minus „y multipliziert mit ve prim“ ist und der Nenner „ve quadriert“ ist.

4. Ein Sonderfall der Formel 3.

Lasst uns gemeinsam lernen!

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