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Eigenschaften von Wurzeln einer nicht negativen Zahl. Wie finde ich die Quadratwurzel? Eigenschaften, Beispiele für die Wurzelextraktion

Lektion und Präsentation zum Thema:
„Eigenschaften der Quadratwurzel. Formeln. Lösungsbeispiele, Probleme mit Antworten“

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Eigenschaften der Quadratwurzel

Wir studieren weiterhin Quadratwurzeln. Heute werden wir uns die grundlegenden Eigenschaften von Wurzeln ansehen. Alle grundlegenden Eigenschaften sind intuitiv und stimmen mit allen Vorgängen überein, die wir zuvor durchgeführt haben.

Eigenschaft 1. Die Quadratwurzel des Produkts zweier nicht negativer Zahlen ist gleich dem Produkt der Quadratwurzeln dieser Zahlen: $\sqrt(a*b)=\sqrt(a)*\sqrt(b)$.

Es ist üblich, irgendwelche Eigenschaften zu beweisen, machen wir es.
Sei $\sqrt(a*b)=x$, $\sqrt(a)=y$, $\sqrt(b)=z$. Dann müssen wir beweisen, dass $x=y*z$.
Lassen Sie uns jeden Ausdruck quadrieren.
Wenn $\sqrt(a*b)=x$, dann $a*b=x^2$.
Wenn $\sqrt(a)=y$, $\sqrt(b)=z$, dann erhalten wir durch Quadrieren beider Ausdrücke: $a=y^2$, $b=z^2$.
$a*b=x^2=y^2*z^2$, also $x^2=(y*z)^2$. Wenn die Quadrate zweier nichtnegativer Zahlen gleich sind, dann sind auch die Zahlen selbst gleich, was bewiesen werden musste.

Aus unserer Eigenschaft folgt beispielsweise $\sqrt(5)*\sqrt(3)=\sqrt(15)$.

Anmerkung 1. Die Eigenschaft gilt auch für den Fall, dass mehr als zwei nichtnegative Faktoren unter der Wurzel liegen.
Eigentum 2. Wenn $a≥0$ und $b>0$, dann gilt die folgende Gleichheit: $\sqrt(\frac(a)(b))=\frac(\sqrt(a))(\sqrt(b))$

Das heißt, die Wurzel des Quotienten ist gleich dem Quotienten der Wurzeln.
Nachweisen.
Nutzen wir die Tabelle und beweisen kurz unsere Eigenschaft.

Beispiele für die Verwendung der Eigenschaften von Quadratwurzeln

Beispiel 1.
Berechnen Sie: $\sqrt(81*25*121)$.

Lösung.
Natürlich können wir einen Taschenrechner nehmen, alle Zahlen mit der Wurzel multiplizieren und die Quadratwurzel ziehen. Und wenn Sie keinen Taschenrechner zur Hand haben, was tun?
$\sqrt(81*25*121)=\sqrt(81)*\sqrt(25)*\sqrt(121)=9*5*11=$495.
Antwort: 495.

Beispiel 2. Berechnen Sie: $\sqrt(11\frac(14)(25))$.

Lösung.
Stellen wir die Wurzelzahl als unechten Bruch dar: $11\frac(14)(25)=\frac(11*25+14)(25)=\frac(275+14)(25)=\frac(289)( 25) $.
Lassen Sie uns Eigenschaft 2 verwenden.
$\sqrt(\frac(289)(25))=\frac(\sqrt(289))(\sqrt(25))=\frac(17)(5)=3\frac(2)(5)= 3,4 $.
Antwort: 3.4.

Beispiel 3.
Berechnen Sie: $\sqrt(40^2-24^2)$.

Lösung.
Wir können unseren Ausdruck direkt auswerten, aber er kann fast immer vereinfacht werden. Versuchen wir es.
$40^2-24^2=(40-24)(40+24)=16*64$.
Also $\sqrt(40^2-24^2)=\sqrt(16*64)=\sqrt(16)*\sqrt(64)=4*8=32$.
Antwort: 32.

Leute, bitte beachtet, dass es keine Formeln für die Additions- und Subtraktionsoperationen von Wurzelausdrücken gibt und die unten dargestellten Ausdrücke nicht korrekt sind.
$\sqrt(a+b)≠\sqrt(a)+\sqrt(b)$.
$\sqrt(a-b)≠\sqrt(a)-\sqrt(b)$.

Beispiel 4.
Berechnen Sie: a) $\sqrt(32)*\sqrt(8)$; b) $\frac(\sqrt(32))(\sqrt(8))$.
Lösung.
Die oben dargestellten Eigenschaften wirken sowohl von links nach rechts als auch in umgekehrter Reihenfolge, das heißt:
$\sqrt(a)*\sqrt(b)=\sqrt(a*b)$.
$\frac(\sqrt(a))(\sqrt(b))=\sqrt(\frac(a)(b))$.
Lösen wir damit unser Beispiel.
a) $\sqrt(32)*\sqrt(8)=\sqrt(32*8)=\sqrt(256)=16.$

B) $\frac(\sqrt(32))(\sqrt(8))=\sqrt(\frac(32)(8))=\sqrt(4)=2$.

Antwort: a) 16; b) 2.

Eigentum 3. Wenn $à≥0$ und n eine natürliche Zahl ist, dann gilt: $\sqrt(a^(2n))=a^n$.

Zum Beispiel. $\sqrt(a^(16))=a^8$, $\sqrt(a^(24))=a^(12)$ und so weiter.

Beispiel 5.
Berechnen Sie: $\sqrt(129600)$.

Lösung.
Die uns präsentierte Zahl ist ziemlich groß, zerlegen wir sie in Primfaktoren.
Wir haben erhalten: $129600=5^2*2^6*3^4$ oder $\sqrt(129600)=\sqrt(5^2*2^6*3^4)=5*2^3*3^2 =5*8*9=360 $.
Antwort: 360.

Probleme, die selbstständig gelöst werden müssen

1. Berechnen Sie: $\sqrt(144*36*64)$.
2. Berechnen Sie: $\sqrt(8\frac(1)(36))$.
3. Berechnen Sie: $\sqrt(52^2-48^2)$.
4. Berechnen Sie:
a) $\sqrt(128*\sqrt(8))$;
b) $\frac(\sqrt(128))(\sqrt(8))$.

Wurzelformeln. Eigenschaften von Quadratwurzeln.

Aufmerksamkeit!
Es gibt noch weitere
Materialien im Sonderabschnitt 555.
Für diejenigen, die sehr „nicht sehr…“ sind
Und für diejenigen, die „sehr…“)

In der vorherigen Lektion haben wir herausgefunden, was eine Quadratwurzel ist. Es ist Zeit herauszufinden, welche es gibt Formeln für Wurzeln was sind Eigenschaften von Wurzeln, und was man mit all dem machen kann.

Wurzelformeln, Eigenschaften von Wurzeln und Regeln für die Arbeit mit Wurzeln- Das ist im Wesentlichen dasselbe. Es gibt überraschend wenige Formeln für Quadratwurzeln. Was mich auf jeden Fall glücklich macht! Oder besser gesagt, man kann viele verschiedene Formeln schreiben, aber für die praktische und sichere Arbeit mit Wurzeln reichen nur drei. Alles Weitere ergibt sich aus diesen dreien. Obwohl viele Menschen bei den drei Grundformeln verwirrt sind, ja ...

Beginnen wir mit dem Einfachsten. Da ist sie:

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Sie können das Lösen von Beispielen üben und Ihr Niveau herausfinden. Testen mit sofortiger Verifizierung. Lasst uns lernen – mit Interesse!)

Sie können sich mit Funktionen und Ableitungen vertraut machen.

Eigenschaften von Quadratwurzeln

Bisher haben wir fünf arithmetische Operationen mit Zahlen durchgeführt: Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division und Potenzierung, und in den Berechnungen wurden verschiedene Eigenschaften dieser Operationen aktiv genutzt, zum Beispiel a + b = b + a, an-bn = (ab)n usw.

In diesem Kapitel wird eine neue Operation vorgestellt – das Ziehen der Quadratwurzel aus einer nicht negativen Zahl. Um es erfolgreich nutzen zu können, müssen Sie sich mit den Eigenschaften dieser Operation vertraut machen, was wir in diesem Abschnitt tun werden.

Nachweisen. Führen wir die folgende Notation ein: https://pandia.ru/text/78/290/images/image005_28.jpg" alt="Gleichheit" width="120" height="25 id=">!}.

Genau so werden wir den nächsten Satz formulieren.

(Eine kurze Formulierung, die in der Praxis bequemer zu verwenden ist: Die Wurzel eines Bruchs ist gleich dem Bruch der Wurzeln, oder die Wurzel des Quotienten ist gleich dem Quotienten der Wurzeln.)

Diesmal geben wir nur eine kurze Zusammenfassung des Beweises, und Sie versuchen, angemessene Kommentare zu machen, die denen ähneln, die den Kern des Beweises von Satz 1 bildeten.

Notiz 3. Dieses Beispiel lässt sich natürlich auch anders lösen, insbesondere wenn Sie einen Mikrorechner zur Hand haben: Multiplizieren Sie die Zahlen 36, 64, 9 und ziehen Sie dann die Quadratwurzel aus dem resultierenden Produkt. Sie werden jedoch zustimmen, dass die oben vorgeschlagene Lösung kultureller aussieht.

Hinweis 4. Bei der ersten Methode haben wir die Berechnungen „frontal“ durchgeführt. Der zweite Weg ist eleganter:
wir haben uns beworben Formel a2 - b2 = (a - b) (a + b) und nutzte die Eigenschaft der Quadratwurzeln.

Hinweis 5. Einige „Hitzköpfe“ bieten manchmal diese „Lösung“ für Beispiel 3 an:

Das stimmt natürlich nicht: Sie sehen – das Ergebnis ist nicht das gleiche wie in Beispiel 3. Tatsache ist, dass es keine Eigenschaft gibt https://pandia.ru/text/78/290/images/image014_6.jpg" alt="Aufgabe" width="148" height="26 id=">!} Es gibt nur Eigenschaften, die sich auf die Multiplikation und Division von Quadratwurzeln beziehen. Seien Sie vorsichtig und vorsichtig, lassen Sie sich nicht von Wunschdenken leiten.

Lassen Sie uns zum Abschluss dieses Abschnitts noch eine ganz einfache und gleichzeitig wichtige Eigenschaft erwähnen:
wenn a > 0 und n - natürliche Zahl, Das

Konvertieren von Ausdrücken, die eine Quadratwurzeloperation enthalten

Bisher haben wir nur Transformationen durchgeführt rationale Ausdrücke, wobei wir hierfür die Regeln für Operationen an Polynomen und algebraischen Brüchen, abgekürzte Multiplikationsformeln usw. verwenden. In diesem Kapitel haben wir eine neue Operation eingeführt – die Operation zum Extrahieren der Quadratwurzel; Das haben wir festgestellt

Dabei sind a und b nicht negative Zahlen.

Diese nutzen Formeln können Sie verschiedene Transformationen an Ausdrücken durchführen, die eine Quadratwurzeloperation enthalten. Schauen wir uns mehrere Beispiele an und gehen in allen Beispielen davon aus, dass die Variablen nur nicht negative Werte annehmen.

Beispiel 3. Geben Sie den Multiplikator unter dem Quadratwurzelzeichen ein:

Beispiel 6. Vereinfachen Sie den Ausdruck Lösung. Führen wir sequentielle Transformationen durch:

Fakt 1.
$\bullet$ Nehmen wir eine nichtnegative Zahl $a$ (das heißt $a\geqslant 0$ ). Dann (Arithmetik) Quadratwurzel aus der Zahl $a$ nennt man eine solche nichtnegative Zahl $b$, quadriert erhalten wir die Zahl $a$ : \[\sqrt a=b\quad \text(same as )\quad a=b^2\] Aus der Definition ergibt sich das $a\geqslant 0, b\geqslant 0$. Diese Einschränkungen sind eine wichtige Voraussetzung für die Existenz einer Quadratwurzel und sollten beachtet werden!
Denken Sie daran, dass jede quadrierte Zahl ein nicht negatives Ergebnis ergibt. Das heißt, $100^2=10000\geqslant 0$ und $(-100)^2=10000\geqslant 0$ .
$\bullet$ Was ist $\sqrt(25)$ gleich? Wir wissen, dass $5^2=25$ und $(-5)^2=25$ . Da wir per Definition eine nichtnegative Zahl finden müssen, ist $-5$ nicht geeignet, daher gilt $\sqrt(25)=5$ (da $25=5^2$ ).
Den Wert von $\sqrt a$ zu ermitteln, nennt man Ziehen der Quadratwurzel aus der Zahl $a$ und die Zahl $a$ nennt man Wurzelausdruck.
$\bullet$ Basierend auf der Definition, dem Ausdruck $\sqrt(-25)$, $\sqrt(-4)$ usw. ergibt keinen Sinn.

Fakt 2.
Für schnelle Berechnungen ist es hilfreich, die Quadrattabelle der natürlichen Zahlen von $1$ bis $20$ zu lernen: \[\begin(array)(|ll|) \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13 ^2=169\\ 4^2=16 & \quad14^2=196\\ 5^2=25 & \quad15^2=225\\ 6^2=36 & \quad16^2=256\\ 7^ 2=49 & \quad17^2=289\\ 8^2=64 & \quad18^2=324\\ 9^2=81 & \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2= 400\\ \hline \end(array)\]

Fakt 3.
Welche Operationen können Sie mit Quadratwurzeln durchführen?
$\Kugel$ Die Summe oder Differenz der Quadratwurzeln ist NICHT GLEICH der Quadratwurzel der Summe oder Differenz \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt(a\pm b)\] Wenn Sie also beispielsweise $\sqrt(25)+\sqrt(49)$ berechnen müssen, müssen Sie zunächst die Werte von $\sqrt(25)$ und $\ sqrt(49)\ ) und falten Sie sie dann. Somit, \[\sqrt(25)+\sqrt(49)=5+7=12\] Können bei der Addition von \(\sqrt a+\sqrt b$ die Werte $\sqrt a$ oder $\sqrt b$ nicht gefunden werden, dann wird ein solcher Ausdruck nicht weiter transformiert und bleibt so wie er ist. Beispielsweise können wir in der Summe $\sqrt 2+ \sqrt (49)$ feststellen, dass $\sqrt(49)$ $7$ ist, aber $\sqrt 2$ kann nicht in umgewandelt werden Wie auch immer, Deshalb $\sqrt 2+\sqrt(49)=\sqrt 2+7$. Leider kann dieser Ausdruck nicht weiter vereinfacht werden$\bullet$ Das Produkt/Quotient der Quadratwurzeln ist gleich der Quadratwurzel des Produkts/Quotienten, d. h \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt(ab)\quad \text(s)\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt(a:b)\] (vorausgesetzt, dass beide Seiten der Gleichheiten Sinn ergeben)
Beispiel: $\sqrt(32)\cdot \sqrt 2=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8$; $\sqrt(768):\sqrt3=\sqrt(768:3)=\sqrt(256)=16$; $\sqrt((-25)\cdot (-64))=\sqrt(25\cdot 64)=\sqrt(25)\cdot \sqrt(64)= 5\cdot 8=40$. $\bullet$ Mit diesen Eigenschaften ist es praktisch, Quadratwurzeln großer Zahlen zu finden, indem man sie faktorisiert.
Schauen wir uns ein Beispiel an. Finden wir $\sqrt(44100)$ . Da $44100:100=441$ , dann $44100=100\cdot 441$ . Gemäß dem Kriterium der Teilbarkeit ist die Zahl $441$ durch $9$ teilbar (da die Summe ihrer Ziffern 9 ist und durch 9 teilbar ist), also $441:9=49$, das heißt, $441=9\ cdot 49$ .
So bekamen wir: \[\sqrt(44100)=\sqrt(9\cdot 49\cdot 100)= \sqrt9\cdot \sqrt(49)\cdot \sqrt(100)=3\cdot 7\cdot 10=210\] Schauen wir uns ein anderes Beispiel an: \[\sqrt(\dfrac(32\cdot 294)(27))= \sqrt(\dfrac(16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2)(9\cdot 3))= \sqrt( \ dfrac(16\cdot4\cdot49)(9))=\dfrac(\sqrt(16)\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt(49))(\sqrt9)=\dfrac(4\cdot 2\cdot 7)3 =\dfrac(56)3\]
$\bullet$ Lassen Sie uns am Beispiel des Ausdrucks $5\sqrt2$ zeigen, wie man Zahlen unter dem Quadratwurzelzeichen eingibt (Kurzschreibweise für den Ausdruck $5\cdot \sqrt2$). Da $5=\sqrt(25)$ , dann \ Beachten Sie auch, dass z. B.
1) $\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2$ ,
2) $5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3$
3) $\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a$ .

Warum so? Erklären wir es anhand von Beispiel 1). Wie Sie bereits verstehen, können wir die Zahl $\sqrt2$ nicht irgendwie umwandeln. Stellen wir uns vor, dass $\sqrt2$ eine Zahl $a$ ist. Dementsprechend ist der Ausdruck $\sqrt2+3\sqrt2$ nichts anderes als $a+3a$ (eine Zahl $a$ plus drei weitere gleiche Zahlen $a$). Und wir wissen, dass dies vier solchen Zahlen $a$ entspricht, also $4\sqrt2$ .

Fakt 4.
$\bullet$ Sie sagen oft „Sie können die Wurzel nicht extrahieren“, wenn Sie das Vorzeichen $\sqrt () \ $ der Wurzel (Radikal) nicht entfernen können, wenn Sie den Wert einer Zahl ermitteln . Beispielsweise können Sie die Wurzel der Zahl $16$ ziehen, weil $16=4^2$ , also $\sqrt(16)=4$ . Aber es ist unmöglich, die Wurzel der Zahl $3$ zu ziehen, also $\sqrt3$ zu finden, weil es keine Zahl gibt, die quadriert $3$ ergibt.
Solche Zahlen (oder Ausdrücke mit solchen Zahlen) sind irrational. Zum Beispiel Zahlen $\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt(15)$ usw. sind irrational.
Также иррациональными являются числа $\pi$ (число “пи”, приблизительно равное $3,14$ ), $e$ (это число называют числом Эйлера, приблизительно оно равно $2,7$ ) usw.
$\bullet$ Bitte beachten Sie, dass jede Zahl entweder rational oder irrational sein kann. Und alle rationalen und alle irrationalen Zahlen bilden zusammen eine Menge namens eine Menge reeller Zahlen. Diese Menge wird mit dem Buchstaben $\mathbb(R)$ bezeichnet.
Das bedeutet, dass alle Zahlen, die wir derzeit kennen, reelle Zahlen heißen.

Fakt 5.
$\bullet$ Der Modul einer reellen Zahl $a$ ist eine nicht negative Zahl $|a|$ gleich dem Abstand vom Punkt $a$ zu $0$ auf der echte Linie. Zum Beispiel sind $|3|$ und $|-3|$ gleich 3, da die Abstände von den Punkten $3$ und $-3$ zu $0$ sind gleich und gleich $3 $ .
$\bullet$ Wenn $a$ eine nicht negative Zahl ist, dann ist $|a|=a$ .
Beispiel: $|5|=5$ ; $\qquad |\sqrt2|=\sqrt2$ . $\bullet$ Wenn $a$ eine negative Zahl ist, dann $|a|=-a$ .
Beispiel: $|-5|=-(-5)=5$ ; $\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3$.
Sie sagen, dass bei negativen Zahlen der Modul das Minus „frisst“, während positive Zahlen sowie die Zahl $0$ vom Modul unverändert bleiben.
ABER Diese Regel gilt nur für Zahlen. Если у вас под знаком модуля находится неизвестная $x$ (или какая-то другая неизвестная), например, $|x|$ , про которую мы не знаем, положительная она, равна нулю или отрицательная, то избавиться от модуля wir können nicht. In diesem Fall bleibt dieser Ausdruck derselbe: $|x|$ . $\bullet$ Es gelten die folgenden Formeln: \[(\large(\sqrt(a^2)=|a|))\] \[(\large((\sqrt(a))^2=a)), \text( vorausgesetzt ) a\geqslant 0\] Sehr oft wird der folgende Fehler gemacht: Man sagt, dass $\sqrt(a^2)$ und $(\sqrt a)^2$ ein und dasselbe seien. Dies gilt nur, wenn $a$ eine positive Zahl oder Null ist. Aber wenn $a$ eine negative Zahl ist, dann ist dies falsch. Es genügt, dieses Beispiel zu betrachten. Nehmen wir statt $a$ die Zahl $-1$ . Dann ist $\sqrt((-1)^2)=\sqrt(1)=1$ , aber der Ausdruck $(\sqrt (-1))^2$ existiert überhaupt nicht (schließlich Es ist unmöglich, das Wurzelzeichen für negative Zahlen zu verwenden!).
Deshalb machen wir Sie darauf aufmerksam, dass $\sqrt(a^2)$ nicht gleich $(\sqrt a)^2$ ist! Beispiel 1) $\sqrt(\left(-\sqrt2\right)^2)=|-\sqrt2|=\sqrt2$, Weil $-\sqrt2<0$ ;

$\phantom(00000)$ 2) $(\sqrt(2))^2=2$ . $\bullet$ Da $\sqrt(a^2)=|a|$ , dann ist \[\sqrt(a^(2n))=|a^n|\] (Der Ausdruck $2n$ bezeichnet eine gerade Zahl)
Das heißt, wenn man aus einer Zahl, die bis zu einem gewissen Grad die Wurzel zieht, diesen Grad halbiert.
Beispiel:
1) $\sqrt(4^6)=|4^3|=4^3=64$
2) $\sqrt((-25)^2)=|-25|=25$ (Beachten Sie, dass sich herausstellt, dass die Wurzel der Zahl gleich $-25$ ist, wenn das Modul nicht angegeben wird. ) ; aber wir erinnern uns, dass dies per Definition einer Wurzel nicht passieren kann: Wenn wir eine Wurzel ziehen, sollten wir immer eine positive Zahl oder Null erhalten)
3) $\sqrt(x^(16))=|x^8|=x^8$ (da jede Zahl zu einer geraden Potenz nicht negativ ist)

Fakt 6.
Wie vergleiche ich zwei Quadratwurzeln?
$\bullet$ Für Quadratwurzeln gilt: if $\sqrt a<\sqrt b$ , то $aBeispiel:
1) Vergleiche \(\sqrt(50)$ und $6\sqrt2$ . Lassen Sie uns zunächst den zweiten Ausdruck in umwandeln $\sqrt(36)\cdot \sqrt2=\sqrt(36\cdot 2)=\sqrt(72)$. Da $50<72$ , то и $\sqrt{50}<\sqrt{72}$ . Следовательно, $\sqrt{50}<6\sqrt2$ .
2) Zwischen welchen ganzen Zahlen liegt $\sqrt(50)$?
Da $\sqrt(49)=7$ , $\sqrt(64)=8$ und $49<50<64$ , то $7<\sqrt{50}<8$ , то есть число $\sqrt{50}$ находится между числами $7$ и $8$ .
3) Vergleichen wir $\sqrt 2-1$ und $0.5$ . Nehmen wir an, dass $\sqrt2-1>0.5$ : \[\begin(aligned) &\sqrt 2-1>0.5 \ \big| +1\quad \text((einen auf beiden Seiten hinzufügen))\\ &\sqrt2>0.5+1 \ \big| \ ^2 \quad\text((beide Seiten quadrieren))\\ &2>1.5^2\\ &2>2.25 \end(aligned)\] Wir sehen, dass wir eine falsche Ungleichung erhalten haben. Daher war unsere Annahme falsch und $\sqrt 2-1<0,5$ .
Beachten Sie, dass das Hinzufügen einer bestimmten Zahl zu beiden Seiten der Ungleichung das Vorzeichen nicht beeinflusst. Das Multiplizieren/Dividieren beider Seiten einer Ungleichung mit einer positiven Zahl hat ebenfalls keinen Einfluss auf deren Vorzeichen, aber das Multiplizieren/Dividieren mit einer negativen Zahl kehrt das Vorzeichen der Ungleichung um!
Sie können beide Seiten einer Gleichung/Ungleichung NUR dann quadrieren, wenn beide Seiten nicht negativ sind. Beispielsweise kann man in der Ungleichung aus dem vorherigen Beispiel beide Seiten quadrieren, in der Ungleichung $-3<\sqrt2$ нельзя (убедитесь в этом сами)! $\bullet$ Daran sollte man sich erinnern \[\begin(aligned) &\sqrt 2\ca. 1,4\\ &\sqrt 3\ca. 1,7 \end(aligned)\] Die ungefähre Bedeutung dieser Zahlen zu kennen, wird Ihnen beim Zahlenvergleich helfen! $\bullet$ Um die Wurzel (sofern sie extrahiert werden kann) aus einer großen Zahl zu ziehen, die nicht in der Quadrattabelle enthalten ist, müssen Sie zunächst bestimmen, zwischen welchen „Hundertern“ sie liegt, und dann – zwischen denen „ Zehner“ und bestimmen Sie dann die letzte Ziffer dieser Zahl. Lassen Sie uns anhand eines Beispiels zeigen, wie das funktioniert.
Nehmen wir $\sqrt(28224)$ . Wir wissen, dass $100^2=10\.000$, $200^2=40\.000$ usw. Beachten Sie, dass $28224$ zwischen $10\,000$ und $40\,000$ liegt. Daher liegt $\sqrt(28224)$ zwischen $100$ und $200$ .
Nun bestimmen wir, zwischen welchen „Zehnern“ unsere Zahl liegt (also zum Beispiel zwischen $120$ und $130$). Aus der Quadrattabelle wissen wir auch, dass $11^2=121$ , $12^2=144$ usw., dann $110^2=12100$ , $120^2=14400 \ ) , \(130^2=16900$ , $140^2=19600$ , $150^2=22500$ , $160^2=25600$ , $170^2=28900 \ ). Wir sehen also, dass \(28224$ zwischen $160^2$ und $170^2$ liegt. Daher liegt die Zahl $\sqrt(28224)$ zwischen $160$ und $170$ .
Versuchen wir, die letzte Ziffer zu bestimmen. Erinnern wir uns, welche einstelligen Zahlen quadriert am Ende $4$ ergeben? Dies sind $2^2$ und $8^2$ . Daher endet $\sqrt(28224)$ entweder mit 2 oder 8. Lassen Sie uns dies überprüfen. Finden wir $162^2$ und $168^2$ :
$162^2=162\cdot 162=26224$
$168^2=168\cdot 168=28224$ .
Daher ist $\sqrt(28224)=168$ . Voila!

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