Der Kehrwert der Tangente. Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens in der Trigonometrie: Definitionen, Beispiele

Trigonometrie ist ein Thema, das viele Menschen meiden. Dennoch wird es für Sie sehr interessant, wenn Sie den richtigen Ansatz finden. Trigonometrische Formeln, einschließlich Formeln zum Finden von Tangenten, werden in vielen Bereichen des wirklichen Lebens verwendet. In diesem Artikel geht es um Möglichkeiten, den Tangens eines Winkels zu ermitteln, und es werden Beispiele für die Verwendung dieser Größe im Leben gegeben. Dies wird Ihnen die Motivation geben, sich mit diesem Thema zu befassen.

Entgegen der Meinung der meisten Schulkinder wird Trigonometrie im Leben häufig verwendet. Ein anschauliches Beispiel aus der Praxis wird Ihnen einen Anreiz geben, nicht faul zu sein. Hier sind mehrere Tätigkeitsbereiche, in denen trigonometrische Berechnungen verwendet werden, einschließlich der Ermittlung des Tangens eines Winkels:

• Wirtschaft.
• Astronomie.
• Luftfahrt.
• Maschinenbau.

Im Folgenden finden Sie Möglichkeiten, tg zu finden.

So ermitteln Sie den tg eines Winkels

Den Tangens eines Winkels zu finden ist ganz einfach. Sie können ein bestimmtes Thema studieren und sich nur die Regeln merken, aber all das kann Ihnen während der Prüfung aus dem Kopf gehen. Daher lohnt es sich, dieses Problem intelligent anzugehen. Grundlegende Formeln, die Sie sich merken sollten:

• tg0° = 0
• tg30° = 1/√3
• tg45° = 1
• tg60° = √3
• tg90° = ∞ (unendlich/unsicher)

Bitte beachten Sie, dass die Werte aufsteigend sind: Je größer der Winkel, desto größer der Tangenswert. Dementsprechend erhalten wir bei einem Gradwert eines Winkels von 0° 0. Bei einem Wert von dreißig Grad erhalten wir eins dividiert durch die Wurzel aus drei usw., bis wir 90° erreichen. Damit ist der Tangenswert gleich Unendlich oder Unsicherheit (abhängig von der konkreten Situation).

Diese Ausdrücke ergeben sich aus der Regel zum Ermitteln der Tangente durch ein rechtwinkliges Dreieck. Somit ist der Tangens des Winkels A (tgA) gleich dem Verhältnis der Gegenseite zur Nachbarseite. Stellen Sie sich vor, Sie erhalten ein rechtwinkliges Dreieck, bei dem alle Seiten bekannt sind, die Ecke jedoch nicht. Um das Problem zu lösen, müssen Sie den Tangens des Winkels A ermitteln. Die Größe der Seite, die dem Winkel gegenüberliegt, ist 1 und die angrenzende Seite ist √3. Ihr Verhältnis ergibt 1/√3. Wir wissen bereits, dass der Winkel bei diesem Indikator 30 Grad beträgt. Dementsprechend beträgt der Winkel A = 30°.

In einem rechtwinkligen Dreieck liegen beide Tangenten im rechten Winkel nebeneinander. Die gegenüberliegende Seite dieses Winkels ist die Hypotenuse. Gerade weil wir die beiden Schenkel nicht ineinander teilen können (die Befundbedingung wird verletzt), existiert der Tangens von 90° in diesem Fall nicht.

Darüber hinaus muss man oft den Tangens eines stumpfen Winkels ermitteln. Typischerweise handelt es sich bei Problemen um stumpfe Winkel von 120 oder 150 Grad. Die Formel zum Ermitteln des Tangens eines stumpfen Winkels lautet wie folgt: tg(180-a) = tga.
Zum Beispiel müssen wir den Tangens von 120° finden. Die Frage, die Sie sich stellen müssen, lautet: Wie viel müssen Sie von 180 abziehen, um 120 zu erhalten? Auf jeden Fall 60°. Daraus folgt, dass Tangente 120° und Tangente 60° einander gleich sind und tan120° = √3. Mit der gleichen Logik können Sie einen Tangens von 150 und 180 Grad ermitteln. Ihre Werte betragen 1/√3 bzw. 0. Die Werte der Tangenten anderer Winkel sind in der trigonometrischen Tabelle angegeben, werden jedoch äußerst selten verwendet.

So finden Sie Angle TG online

Es gibt viele Online-Ressourcen zum Ermitteln des Tangens eines Winkels. Eine davon ist die FXYZ-Website. Folge diesem Link. Sie sehen eine Seite, auf der die Grundformeln für den Tangens sowie ein Taschenrechner aufgeführt sind. Die Verwendung des Taschenrechners ist ganz einfach. Sie müssen die entsprechenden Werte eingeben und der Rechner berechnet die Antwort. Dieser einfache Algorithmus hilft Ihnen, wenn Sie etwas vergessen haben. Auf dieser Seite gibt es zwei Rechner. Die eine dient dazu, den Tangentenwert anhand der Längen der Dreiecksschenkel zu ermitteln, die zweite anhand des Winkelwerts. Verwenden Sie den Computer, den die Aufgabe erfordert.

Wie Sie vielleicht bemerkt haben, wird das Ermitteln des Tangens und anderer trigonometrischer Indikatoren im wirklichen Leben sehr häufig verwendet, und das Ermitteln dieser Werte ist überhaupt nicht schwierig. Wenn Sie den Kern des Ergebnisses verstehen, müssen Sie sich nichts merken – Sie können selbst zur richtigen Antwort gelangen. Wenn etwas immer noch nicht klappt, verwenden Sie einen Taschenrechner, aber übertreiben Sie ihn nicht. Niemand wird Ihnen diese Möglichkeit während einer Prüfung, einem Test oder einer Schulprüfung geben. Darüber hinaus müssen Sie, wenn Sie sich an einer Fakultät einschreiben, an der Trigonometrie der höheren Mathematik studiert wird, ohne Grundkenntnisse ernsthaft daran arbeiten, nicht zu kurz zu kommen.

Im fünften Jahrhundert v. Chr. formulierte der antike griechische Philosoph Zenon von Elea seine berühmten Aporien, von denen die berühmteste die Aporie „Achilles und die Schildkröte“ ist. So klingt es:

Nehmen wir an, Achilles rennt zehnmal schneller als die Schildkröte und ist tausend Schritte hinter ihr. Während Achilles diese Strecke zurücklegt, kriecht die Schildkröte hundert Schritte in die gleiche Richtung. Wenn Achilles hundert Schritte läuft, kriecht die Schildkröte weitere zehn Schritte und so weiter. Der Prozess wird bis ins Unendliche weitergehen, Achilles wird die Schildkröte nie einholen.

Diese Argumentation wurde zu einem logischen Schock für alle nachfolgenden Generationen. Aristoteles, Diogenes, Kant, Hegel, Hilbert ... Sie alle betrachteten Zenos Aporie auf die eine oder andere Weise. Der Schock war so stark, dass „ ... Diskussionen dauern bis heute an; die wissenschaftliche Gemeinschaft konnte sich noch nicht auf eine gemeinsame Meinung über das Wesen von Paradoxien einigen ... An der Untersuchung des Themas waren mathematische Analyse, Mengenlehre, neue physikalische und philosophische Ansätze beteiligt ; Keine davon wurde zu einer allgemein akzeptierten Lösung des Problems ...„[Wikipedia, „Zenos Aporia“. Jeder versteht, dass er getäuscht wird, aber niemand versteht, worin die Täuschung besteht.

Aus mathematischer Sicht hat Zenon in seiner Aporie den Übergang von der Quantität zur Quantität deutlich gemacht. Dieser Übergang impliziert eine Anwendung statt einer dauerhaften. Soweit ich weiß, wurde der mathematische Apparat zur Verwendung variabler Maßeinheiten entweder noch nicht entwickelt oder er wurde nicht auf Zenos Aporie angewendet. Die Anwendung unserer üblichen Logik führt uns in eine Falle. Aufgrund der Trägheit des Denkens wenden wir konstante Zeiteinheiten auf den Kehrwert an. Aus physikalischer Sicht sieht es so aus, als würde sich die Zeit verlangsamen, bis sie in dem Moment, in dem Achilles die Schildkröte einholt, völlig zum Stillstand kommt. Wenn die Zeit stehen bleibt, kann Achilles der Schildkröte nicht mehr entkommen.

Wenn wir unsere übliche Logik umdrehen, passt alles zusammen. Achilles läuft mit konstanter Geschwindigkeit. Jeder weitere Abschnitt seines Weges ist zehnmal kürzer als der vorherige. Dementsprechend ist der Zeitaufwand für die Überwindung zehnmal geringer als beim vorherigen. Wenn wir in dieser Situation das Konzept der „Unendlichkeit“ anwenden, wäre es richtig zu sagen: „Achilles wird die Schildkröte unendlich schnell einholen.“

Wie vermeide ich diese logische Falle? Bleiben Sie bei konstanten Zeiteinheiten und wechseln Sie nicht zu reziproken Einheiten. In Zenos Sprache sieht es so aus:

In der Zeit, die Achilles braucht, um tausend Schritte zu laufen, kriecht die Schildkröte hundert Schritte in die gleiche Richtung. Während des nächsten Zeitintervalls, das dem ersten entspricht, wird Achilles weitere tausend Schritte laufen und die Schildkröte wird hundert Schritte kriechen. Jetzt ist Achilles der Schildkröte achthundert Schritte voraus.

Dieser Ansatz beschreibt die Realität angemessen und ohne logische Paradoxien. Dies ist jedoch keine vollständige Lösung des Problems. Einsteins Aussage über die Unwiderstehlichkeit der Lichtgeschwindigkeit ähnelt stark Zenos Aporie „Achilles und die Schildkröte“. Wir müssen dieses Problem noch untersuchen, überdenken und lösen. Und die Lösung muss nicht in unendlich großen Zahlen gesucht werden, sondern in Maßeinheiten.

Eine weitere interessante Aporie von Zeno erzählt von einem fliegenden Pfeil:

Ein fliegender Pfeil ist bewegungslos, da er zu jedem Zeitpunkt in Ruhe ist, und da er zu jedem Zeitpunkt in Ruhe ist, ist er immer in Ruhe.

In dieser Aporie wird das logische Paradox ganz einfach überwunden – es genügt zu klären, dass ein fliegender Pfeil zu jedem Zeitpunkt an verschiedenen Punkten im Raum ruht, was tatsächlich eine Bewegung ist. Hier muss noch ein weiterer Punkt beachtet werden. Anhand eines einzigen Fotos eines Autos auf der Straße ist es unmöglich, die Tatsache seiner Bewegung oder die Entfernung zu ihm zu bestimmen. Um festzustellen, ob sich ein Auto bewegt, benötigt man zwei Fotos, die von demselben Punkt zu unterschiedlichen Zeitpunkten aufgenommen wurden, aus denen man jedoch nicht die Entfernung bestimmen kann. Um die Entfernung zu einem Auto zu bestimmen, benötigt man zwei Fotos, die zu einem Zeitpunkt von verschiedenen Punkten im Raum aufgenommen wurden, aus denen man aber nicht die Tatsache der Bewegung ermitteln kann (natürlich benötigt man noch zusätzliche Daten für Berechnungen, die Trigonometrie hilft einem). ). Worauf ich besonders aufmerksam machen möchte, ist, dass zwei Zeitpunkte und zwei Punkte im Raum unterschiedliche Dinge sind, die nicht verwechselt werden sollten, da sie unterschiedliche Möglichkeiten für die Forschung bieten.

Mittwoch, 4. Juli 2018

Die Unterschiede zwischen Set und Multiset sind auf Wikipedia sehr gut beschrieben. Mal sehen.

Wie Sie sehen können, „kann es in einer Menge nicht zwei identische Elemente geben“, wenn es jedoch identische Elemente in einer Menge gibt, wird eine solche Menge als „Multimenge“ bezeichnet. Vernünftige Wesen werden solch eine absurde Logik niemals verstehen. Dies ist das Niveau sprechender Papageien und dressierter Affen, denen das Wort „völlig“ keine Intelligenz verleiht. Mathematiker fungieren als gewöhnliche Trainer und predigen uns ihre absurden Ideen.

Es war einmal, als die Ingenieure, die die Brücke bauten, in einem Boot unter der Brücke saßen, während sie die Brücke testeten. Wenn die Brücke einstürzte, starb der mittelmäßige Ingenieur unter den Trümmern seiner Schöpfung. Wenn die Brücke der Belastung standhalten konnte, baute der talentierte Ingenieur weitere Brücken.

Egal wie sehr sich Mathematiker hinter dem Satz „Pass auf mich auf, ich bin im Haus“ oder besser gesagt „Mathematik studiert abstrakte Konzepte“ verstecken, es gibt eine Nabelschnur, die sie untrennbar mit der Realität verbindet. Diese Nabelschnur ist Geld. Wenden wir die mathematische Mengenlehre auf die Mathematiker selbst an.

Wir haben sehr gut Mathematik gelernt und jetzt sitzen wir an der Kasse und geben Gehälter aus. Also kommt ein Mathematiker wegen seines Geldes zu uns. Wir zählen ihm den gesamten Betrag ab und legen ihn in verschiedenen Stapeln auf unserem Tisch aus, in die wir Scheine gleichen Nennwerts legen. Dann nehmen wir von jedem Stapel einen Schein und geben dem Mathematiker seinen „mathematischen Gehaltssatz“. Erklären wir dem Mathematiker, dass er die restlichen Rechnungen erst dann erhält, wenn er beweist, dass eine Menge ohne identische Elemente nicht gleich einer Menge mit identischen Elementen ist. Hier beginnt der Spaß.

Zunächst einmal wird die Logik der Abgeordneten funktionieren: „Das lässt sich auf andere übertragen, aber nicht auf mich!“ Dann beginnen sie uns zu versichern, dass Scheine desselben Nennwerts unterschiedliche Scheinnummern haben, was bedeutet, dass sie nicht als die gleichen Elemente betrachtet werden können. Okay, zählen wir die Gehälter in Münzen – auf den Münzen sind keine Zahlen. Hier beginnt der Mathematiker, sich hektisch an die Physik zu erinnern: Verschiedene Münzen haben unterschiedliche Mengen an Schmutz, die Kristallstruktur und Anordnung der Atome ist bei jeder Münze einzigartig ...

Und jetzt habe ich die interessanteste Frage: Wo ist die Grenze, jenseits derer sich die Elemente einer Multimenge in Elemente einer Menge verwandeln und umgekehrt? Eine solche Grenze gibt es nicht – alles wird von Schamanen entschieden, die Wissenschaft lügt hier nicht einmal annähernd.

Schau hier. Wir wählen Fußballstadien mit der gleichen Spielfeldfläche aus. Die Flächen der Felder sind gleich – wir haben also ein Multiset. Aber wenn wir uns die Namen derselben Stadien ansehen, fallen uns viele auf, weil die Namen unterschiedlich sind. Wie Sie sehen, ist dieselbe Menge von Elementen sowohl eine Menge als auch eine Multimenge. Wie richtig? Und hier holt der Mathematiker-Schamane-Sharpist ein Trümpfe-Ass aus dem Ärmel und beginnt, uns entweder von einer Menge oder einer Mehrmenge zu erzählen. Auf jeden Fall wird er uns davon überzeugen, dass er Recht hat.

Um zu verstehen, wie moderne Schamanen mit der Mengenlehre arbeiten und sie mit der Realität in Verbindung bringen, reicht es aus, eine Frage zu beantworten: Wie unterscheiden sich die Elemente einer Menge von den Elementen einer anderen Menge? Ich zeige es Ihnen, ohne „vorstellbar als kein einzelnes Ganzes“ oder „nicht vorstellbar als ein einzelnes Ganzes“.

Sonntag, 18. März 2018

Die Summe der Ziffern einer Zahl ist ein Tanz von Schamanen mit einem Tamburin, der nichts mit Mathematik zu tun hat. Ja, im Mathematikunterricht wird uns beigebracht, die Summe der Ziffern einer Zahl zu ermitteln und sie zu verwenden, aber deshalb sind sie Schamanen, um ihren Nachkommen ihre Fähigkeiten und Weisheit beizubringen, sonst sterben Schamanen einfach aus.

Benötigen Sie einen Nachweis? Öffnen Sie Wikipedia und versuchen Sie, die Seite „Ziffernsumme einer Zahl“ zu finden. Sie existiert nicht. In der Mathematik gibt es keine Formel, mit der man die Ziffernsumme einer beliebigen Zahl ermitteln kann. Schließlich sind Zahlen grafische Symbole, mit denen wir Zahlen schreiben, und in der Sprache der Mathematik klingt die Aufgabe so: „Finden Sie die Summe grafischer Symbole, die eine beliebige Zahl darstellen.“ Mathematiker können dieses Problem nicht lösen, aber Schamanen können es leicht lösen.

Lassen Sie uns herausfinden, was und wie wir tun, um die Summe der Ziffern einer bestimmten Zahl zu ermitteln. Lassen Sie uns also die Zahl 12345 haben. Was muss getan werden, um die Summe der Ziffern dieser Zahl zu ermitteln? Betrachten wir alle Schritte der Reihe nach.

1. Notieren Sie die Nummer auf einem Blatt Papier. Was haben wir getan? Wir haben die Zahl in ein grafisches Zahlensymbol umgewandelt. Dies ist keine mathematische Operation.

2. Wir schneiden ein resultierendes Bild in mehrere Bilder mit einzelnen Zahlen. Das Ausschneiden eines Bildes ist keine mathematische Operation.

3. Konvertieren Sie einzelne Grafiksymbole in Zahlen. Dies ist keine mathematische Operation.

4. Addieren Sie die resultierenden Zahlen. Das ist nun Mathematik.

Die Ziffernsumme der Zahl 12345 beträgt 15. Dabei handelt es sich um die „Schneide- und Nähkurse“, die von Schamanen unterrichtet werden und von Mathematikern genutzt werden. Aber das ist noch nicht alles.

Aus mathematischer Sicht spielt es keine Rolle, in welchem ​​Zahlensystem wir eine Zahl schreiben. In verschiedenen Zahlensystemen ist die Summe der Ziffern derselben Zahl also unterschiedlich. In der Mathematik wird das Zahlensystem als Index rechts von der Zahl angegeben. Mit der großen Zahl 12345 möchte ich mir nichts vormachen, betrachten wir die Zahl 26 aus dem Artikel darüber. Schreiben wir diese Zahl in binären, oktalen, dezimalen und hexadezimalen Zahlensystemen. Wir werden nicht jeden Schritt unter die Lupe nehmen, das haben wir bereits getan. Schauen wir uns das Ergebnis an.

Wie Sie sehen, ist in verschiedenen Zahlensystemen die Summe der Ziffern derselben Zahl unterschiedlich. Dieses Ergebnis hat nichts mit Mathematik zu tun. Es ist das Gleiche, als würde man die Fläche eines Rechtecks ​​in Metern und Zentimetern bestimmen, man käme zu ganz anderen Ergebnissen.

Null sieht in allen Zahlensystemen gleich aus und hat keine Ziffernsumme. Dies ist ein weiteres Argument dafür. Frage an Mathematiker: Wie bezeichnet man in der Mathematik etwas, das keine Zahl ist? Was, für Mathematiker gibt es nichts außer Zahlen? Für Schamanen kann ich das zulassen, für Wissenschaftler jedoch nicht. In der Realität geht es nicht nur um Zahlen.

Das erhaltene Ergebnis sollte als Beweis dafür angesehen werden, dass Zahlensysteme Maßeinheiten für Zahlen sind. Schließlich können wir Zahlen nicht mit unterschiedlichen Maßeinheiten vergleichen. Wenn gleiche Handlungen mit unterschiedlichen Maßeinheiten der gleichen Größe beim Vergleich zu unterschiedlichen Ergebnissen führen, dann hat das nichts mit Mathematik zu tun.

Was ist echte Mathematik? Dies ist der Fall, wenn das Ergebnis einer mathematischen Operation nicht von der Größe der Zahl, der verwendeten Maßeinheit und davon abhängt, wer diese Aktion ausführt.

Schild an der Tür Er öffnet die Tür und sagt:

Oh! Ist das nicht die Damentoilette?
- Junge Frau! Dies ist ein Labor für das Studium der indephilen Heiligkeit der Seelen während ihres Aufstiegs in den Himmel! Heiligenschein oben und Pfeil nach oben. Welche andere Toilette?

Weiblich... Der Heiligenschein oben und der Pfeil nach unten sind männlich.

Wenn ein solches Design-Kunstwerk mehrmals am Tag vor Ihren Augen aufblitzt,

Dann ist es nicht verwunderlich, dass Sie plötzlich ein seltsames Symbol in Ihrem Auto finden:

Persönlich bemühe ich mich, minus vier Grad bei einer kackenden Person zu erkennen (ein Bild) (eine Komposition aus mehreren Bildern: ein Minuszeichen, die Zahl vier, eine Gradangabe). Und ich glaube nicht, dass dieses Mädchen eine Idiotin ist, die sich nicht mit Physik auskennt. Sie hat einfach ein starkes Stereotyp, wenn es darum geht, grafische Bilder wahrzunehmen. Und das lehren uns Mathematiker ständig. Hier ist ein Beispiel.

1A ist nicht „minus vier Grad“ oder „eins a“. Das ist „kackender Mann“ oder die Zahl „sechsundzwanzig“ in hexadezimaler Schreibweise. Wer ständig in diesem Zahlensystem arbeitet, nimmt eine Zahl und einen Buchstaben automatisch als ein grafisches Symbol wahr.

Referenzdaten für Tangens (tg x) und Kotangens (ctg x). Geometrische Definition, Eigenschaften, Diagramme, Formeln. Tabelle der Tangenten und Kotangenten, Ableitungen, Integrale, Reihenentwicklungen. Ausdrücke durch komplexe Variablen. Zusammenhang mit hyperbolischen Funktionen.

Geometrische Definition

|BD| - Länge des Kreisbogens mit Mittelpunkt im Punkt A.
α ist der im Bogenmaß ausgedrückte Winkel.

Tangente ( tan α) ist eine trigonometrische Funktion, die vom Winkel α zwischen der Hypotenuse und dem Schenkel eines rechtwinkligen Dreiecks abhängt und dem Verhältnis der Länge des gegenüberliegenden Schenkels |BC| entspricht zur Länge des benachbarten Beins |AB| .

Kotangens ( ctg α) ist eine trigonometrische Funktion, die vom Winkel α zwischen der Hypotenuse und dem Schenkel eines rechtwinkligen Dreiecks abhängt und dem Verhältnis der Länge des angrenzenden Schenkels |AB| entspricht zur Länge des gegenüberliegenden Beins |BC| .

Tangente

Wo N- ganz.

In der westlichen Literatur wird Tangens wie folgt bezeichnet:
.
;
;
.

Graph der Tangensfunktion, y = tan x

Kotangens

Wo N- ganz.

In der westlichen Literatur wird Kotangens wie folgt bezeichnet:
.
Folgende Notationen werden ebenfalls akzeptiert:
;
;
.

Diagramm der Kotangensfunktion, y = ctg x

Eigenschaften von Tangens und Kotangens

Periodizität

Funktionen y = tg x und y = ctg x sind periodisch mit der Periode π.

Parität

Die Tangens- und Kotangensfunktionen sind ungerade.

Definitions- und Wertebereiche, zunehmend, abnehmend

Die Tangens- und Kotangensfunktionen sind in ihrem Definitionsbereich stetig (siehe Kontinuitätsnachweis). Die Haupteigenschaften von Tangens und Kotangens sind in der Tabelle dargestellt ( N- ganz).

	y = tg x	y = ctg x
Umfang und Kontinuität
Wertebereich	-∞ < y < +∞	-∞ < y < +∞
Zunehmend		-
Absteigend	-
Extreme	-	-
Nullen, y = 0
Schnittpunkte mit der Ordinatenachse, x = 0	y = 0	-

Formeln

Ausdrücke mit Sinus und Cosinus

; ;
; ;
;

Formeln für Tangens und Kotangens aus Summe und Differenz

Die restlichen Formeln sind beispielsweise leicht zu erhalten

Produkt von Tangenten

Formel für Summe und Differenz von Tangenten

Diese Tabelle präsentiert die Werte von Tangenten und Kotangenten für bestimmte Werte des Arguments.

Ausdrücke mit komplexen Zahlen

Ausdrücke durch hyperbolische Funktionen

;
;

Derivate

; .

.
Ableitung n-ter Ordnung nach der Variablen x der Funktion:
.
Formeln für Tangenten ableiten > > > ; für Kotangens > > >

Integrale

Serienerweiterungen

Um die Entwicklung des Tangens in Potenzen von x zu erhalten, müssen Sie mehrere Terme der Entwicklung in einer Potenzreihe für die Funktionen verwenden Sünde x Und weil x und dividiere diese Polynome durcheinander, . Dadurch ergeben sich die folgenden Formeln.

Bei .

bei .
Wo Mrd- Bernoulli-Zahlen. Sie werden entweder aus der Wiederholungsrelation bestimmt:
;
;
Wo .
Oder nach Laplaces Formel:

Umkehrfunktionen

Die Umkehrfunktionen von Tangens und Kotangens sind Arkustangens bzw. Arkuskotangens.

Arcustangens, arctg

, Wo N- ganz.

Arkuskotangens, arcctg

, Wo N- ganz.

Verweise:
IN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Handbuch der Mathematik für Ingenieure und Studenten, „Lan“, 2009.
G. Korn, Handbook of Mathematics for Scientists and Engineers, 2012.

Erinnern wir uns an den Mathematikkurs in der Schule und sprechen wir darüber, was eine Tangente ist und wie man die Tangente eines Winkels findet. Definieren wir zunächst, was Tangente genannt wird. In einem rechtwinkligen Dreieck ist der Tangens eines spitzen Winkels das Verhältnis der Gegenseite zur Nachbarseite. Der benachbarte Schenkel ist derjenige, der an der Bildung des Winkels beteiligt ist, der gegenüberliegende Schenkel ist derjenige, der dem Winkel gegenüberliegt.

Außerdem ist der Tangens eines spitzen Winkels das Verhältnis des Sinus dieses Winkels zu seinem Kosinus. Um das zu verstehen, erinnern wir uns an den Sinus und den Cosinus eines Winkels. Der Sinus eines spitzen Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck ist das Verhältnis der gegenüberliegenden Seite zur Hypotenuse, der Kosinus ist das Verhältnis der benachbarten Seite zur Hypotenuse.

Es gibt auch einen Kotangens, er ist dem Tangens entgegengesetzt. Der Kotangens ist das Verhältnis der Nachbarseite zur Gegenseite und dementsprechend das Verhältnis des Kosinus des Winkels zu seinem Sinus.

Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens sind trigonometrische Funktionen eines Winkels; sie zeigen die Beziehung zwischen den Winkeln und Seiten eines Dreiecks und helfen bei der Berechnung der Seiten eines Dreiecks.

Berechnen Sie den Tangens eines spitzen Winkels

Wie finde ich die Tangente in einem Dreieck? Um keine Zeit mit der Suche nach der Tangente zu verschwenden, finden Sie spezielle Tabellen, die die trigonometrischen Funktionen vieler Winkel angeben. Bei Geometrieaufgaben in der Schule kommen bestimmte Winkel sehr häufig vor, und die Lehrer werden gebeten, sich die Werte ihrer Sinus-, Kosinus-, Tangens- und Kotangenswerte zu merken. Wir bieten Ihnen eine kleine Platte mit den erforderlichen Werten dieser Winkel an.

Wenn der Winkel, dessen Tangente Sie ermitteln müssen, in dieser Tabelle nicht aufgeführt ist, können Sie zwei Formeln verwenden, die wir oben in verbaler Form dargestellt haben.

Die erste Möglichkeit, den Tangens eines Winkels zu berechnen, besteht darin, die Länge des gegenüberliegenden Schenkels durch die Länge des benachbarten Schenkels zu dividieren. Nehmen wir an, die gegenüberliegende Seite ist 4 und die angrenzende Seite ist 8. Um die Tangente zu finden, benötigen Sie 4:8. Der Tangens des Winkels beträgt ½ oder 0,5.

Die zweite Möglichkeit, den Tangens zu berechnen, besteht darin, den Sinuswert eines bestimmten Winkels durch den Wert seines Kosinus zu dividieren. Als Beispiel erhalten wir einen Winkel von 45 Grad. Seine Sünde = Wurzel aus zwei geteilt durch zwei; sein cos ist gleich der gleichen Zahl. Jetzt dividieren wir den Sinus durch den Cosinus und erhalten einen Tangens gleich eins.

Es kommt vor, dass Sie genau diese Formel verwenden müssen, aber nur ein Element bekannt ist – entweder Sinus oder Cosinus. In diesem Fall ist es hilfreich, sich die Formel zu merken

sin2 α + cos2 α = 1. Dies ist die grundlegende trigonometrische Identität. Indem Sie ein unbekanntes Element durch ein bekanntes Element ausdrücken, können Sie seine Bedeutung herausfinden. Und wenn man Sinus und Cosinus kennt, ist es nicht schwer, den Tangens zu finden.

Und wenn Geometrie eindeutig nicht Ihr Ding ist, Sie aber trotzdem Ihre Hausaufgaben machen müssen, können Sie den Online-Rechner zur Berechnung des Tangens eines Winkels nutzen.

Wir haben Ihnen anhand einfacher Beispiele erklärt, wie Sie die Tangente finden. Allerdings können die Aufgabenbedingungen schwieriger sein und es ist nicht immer möglich, alle erforderlichen Daten schnell herauszufinden. In diesem Fall helfen Ihnen der Satz des Pythagoras und verschiedene trigonometrische Funktionen.

In diesem Artikel werden wir das Konzept von untersuchen Tangens des Winkels. Beginnen wir mit dem Konzept eines rechten Winkels. Ein rechter Winkel ist ein Winkel gleich 90 0. Ein Winkel, der weniger als 90 Grad beträgt, wird als spitz bezeichnet. Ein Winkel, der größer als 90 Grad ist, wird als stumpf bezeichnet. In einem Winkel von 180 Grad.

Wir zeichnen ein Dreieck mit dem rechten Winkel C, während die gegenüberliegende Seite die gleiche Bezeichnung hat (c ist die Hypotenuse), und wir machen dasselbe mit anderen Winkeln. Die dem spitzen Winkel gegenüberliegende Seite wird Schenkel genannt.

Sinus und Cosinus werden mithilfe der Bein- und Hypotenuse ermittelt, und zwar:
sinA = a/c
cosA = b/c

Tangentenformel

tan A = a/b

mit anderen Worten Tangentendefinition- ist die Division der gegenüberliegenden Seite durch die benachbarte Seite
Es gibt eine andere äquivalente Tangensformel

tan A = sinA/cosA

steht für Sünde dividiert durch cos.

Kotangens ist fast gleich, nur die Werte sind vertauscht.

ctg A = cosA/sinA

Aufmerksamkeit! Um Eltern und Lehrern der GDZ in Mathematik der 5. Klasse zu helfen (http://spisaly.ru/gdz/5_klass/math). Alle auf der Seite angebotenen Bücher können heruntergeladen oder online studiert werden. Folgen Sie dem Link und erfahren Sie mehr.

Diese trigonometrischen Funktionen erleichtern die Berechnung von Winkeln erheblich. Dank Sinus, Kosinus und Tangens wurde es möglich, alle unbekannten Winkel in einem Dreieck mit einem bekannten zu bestimmen.

Bezeichnungen für Hauptwinkel:
Tangente 30 - 0,577
Tangente 45 - 1,000
Tangente 60 - 1,732

Es gibt eine spezielle, deren Werte durch Division der Werte der Sinus- und Cosinustabellen erhalten werden können. Da dies jedoch ein ziemlich arbeitsintensiver Prozess ist, wird diese Tangententabelle benötigt.

Es gibt viele Probleme, bei denen ein Dreieck Winkel von 90, 30, 60 Grad hat. oder 90, 45, 45 Grad. Bei solchen Zahlen ist es besser, sich ihr Verhältnis zu merken, damit es später einfacher wird.

Im ersten Fall entspricht das Bein gegenüber 30 Grad der Hälfte der Hypotenuse.
Im zweiten Fall überragt die Hypotenuse das Bein um etwa das Zweifache.