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Biographie von Euklid. Wer ist Euklid und wofür ist er berühmt: eine Geschichte über den antiken Mathematiker, seine Entdeckungen und Beiträge zur Wissenschaft. Nachteil der Mathematik Euklids

EUCLID (Eukleides)

III Jahrhundert v. Chr e.

Euklid (sonst Euklid) ist ein antiker griechischer Mathematiker und Autor der ersten theoretischen Abhandlung über Mathematik, die uns überliefert ist. Biografische Informationen über Euklid sind äußerst rar. Es ist nur bekannt, dass Euklids Lehrer in Athen Schüler Platons waren und dass er während der Herrschaft von Ptolemaios I. (306–283 v. Chr.) an der Akademie von Alexandria lehrte. Euklid ist der erste Mathematiker der alexandrinischen Schule.

Das Hauptwerk von Archimedes sind „Prinzipien“ (lat. Elementa) – enthält eine Darstellung der Planimetrie, Stereometrie und einer Reihe von Themen der Zahlentheorie (z. B. Euklidischer Algorithmus); besteht aus 13 Büchern, zu denen zwei Bücher über die fünf regelmäßigen Polyeder hinzukommen, die manchmal Hypsicles von Alexandria zugeschrieben werden. In den „Elementen“ fasste er die bisherige Entwicklung der griechischen Mathematik zusammen und legte den Grundstein für die Weiterentwicklung der Mathematik. Euklidische Elemente blieben mehr als zweitausend Jahre lang das Hauptwerk der Elementarmathematik.

Unter anderen mathematischen Werken von Euklid sind „Über die Teilung der Figuren“, die in arabischer Übersetzung erhalten sind, vier Bücher „Kegelschnitte“ zu erwähnen, deren Material in das gleichnamige Werk von Apollonius von Perge, as. aufgenommen wurde sowie „Porismen“, von denen man sich eine Vorstellung von der „Mathematischen Sammlung“ des Papstes von Alexandria machen kann.

Die Werke Euklids geben eine systematische Darstellung des sogenannten. Euklidische Geometrie, dessen Axiomensystem auf folgenden Grundbegriffen basiert: Punkt, Linie, Ebene, Bewegung und den folgenden Beziehungen: „Ein Punkt liegt auf einer Linie in einer Ebene“, „ein Punkt liegt zwischen zwei anderen“. In der modernen Darstellung wird das Axiomensystem der Euklidischen Geometrie in die folgenden fünf Gruppen eingeteilt.

I. Axiome der Kombination. 1) Durch jeweils zwei Punkte kann man eine Gerade ziehen und darüber hinaus nur eine. 2) Jede Linie enthält mindestens zwei Punkte. Es gibt mindestens drei Punkte, die nicht auf derselben Linie liegen. 3) Durch alle drei Punkte, die nicht auf derselben Linie liegen, können Sie eine Ebene zeichnen, und zwar nur eine. 4) Auf jeder Ebene gibt es mindestens drei Punkte und es gibt mindestens vier Punkte, die nicht in derselben Ebene liegen. 5) Wenn zwei Punkte einer gegebenen Geraden auf einer gegebenen Ebene liegen, dann liegt die Gerade selbst auf dieser Ebene. 6) Wenn zwei Ebenen einen gemeinsamen Punkt haben, dann haben sie einen weiteren gemeinsamen Punkt (und daher eine gemeinsame Linie).

II. Ordnungsaxiome. 1) Liegt Punkt B zwischen A und C, dann liegen alle drei auf derselben Geraden. 2) Für jeden Punkt A, B gibt es einen Punkt C, sodass B zwischen A und C liegt. 3) Von den drei Punkten auf einer Geraden liegt nur einer zwischen den beiden anderen. 4) Wenn eine Gerade eine Seite eines Dreiecks schneidet, dann schneidet sie dessen andere Seite oder geht durch einen Scheitelpunkt (Segment AB ist definiert als die Menge der Punkte, die zwischen A und B liegen; die Seiten des Dreiecks werden entsprechend bestimmt).

III. Axiome der Bewegung. 1) Bewegung ordnet Punkte Punkten, Geraden, Ebenen einer Ebene zu und behält dabei die Zugehörigkeit von Punkten zu Geraden und Ebenen bei. 2) Zwei aufeinanderfolgende Bewegungen ergeben erneut Bewegung, und für jede Bewegung gibt es eine Umkehrung. 3) Wenn Punkte vergeben werden A, A" und Halbebenen A, A", begrenzt durch verlängerte Halblinien ein, ein", die aus Punkten stammen A, A", dann gibt es eine Bewegung, und zwar die einzige, die übersetzt A, A, A V A", A", A"(Halblinie und Halbebene lassen sich anhand der Konzepte Kombination und Ordnung leicht definieren).

IV. Axiome der Kontinuität. 1) Axiom des Archimedes: Jedes Segment kann von jedem Segment abgedeckt werden, indem es ausreichend oft auf das erste verschoben wird (das Verschieben eines Segments erfolgt durch Bewegung). 2) Cantors Axiom: Wenn man eine Folge von ineinander eingebetteten Segmenten erhält, dann haben sie alle mindestens einen gemeinsamen Punkt.

V. Euklids Parallelismus-Axiom. Durch den Punkt A aus der Reihe A in einem durchfliegenden Flugzeug A Und A, können Sie nur eine gerade Linie zeichnen, die sich nicht schneidet A.

Die Entstehung der euklidischen Geometrie steht in engem Zusammenhang mit visuellen Vorstellungen über die Welt um uns herum (gerade Linien – gespannte Fäden, Lichtstrahlen usw.). Der lange Prozess der Vertiefung unseres Verständnisses hat zu einem abstrakteren Verständnis der Geometrie geführt. Die Entdeckung einer anderen als der euklidischen Geometrie durch N. I. Lobachevsky zeigte, dass unsere Vorstellungen vom Raum nicht a priori sind. Mit anderen Worten: Die euklidische Geometrie kann nicht behaupten, die einzige Geometrie zu sein, die die Eigenschaften des uns umgebenden Raums beschreibt. Die Entwicklung der Naturwissenschaften (hauptsächlich Physik und Astronomie) hat gezeigt, dass die euklidische Geometrie die Struktur des uns umgebenden Raums nur mit einer gewissen Genauigkeit beschreibt und nicht zur Beschreibung der Eigenschaften des Raums geeignet ist, die mit der Bewegung von Körpern mit nahen Geschwindigkeiten verbunden sind zu beleuchten. Somit kann die euklidische Geometrie als erste Näherung zur Beschreibung der Struktur des realen physikalischen Raums betrachtet werden.

Euklid ist der erste Mathematiker der alexandrinischen Schule. Sein Hauptwerk „Principia“ (????????, in lateinischer Form – „Elemente“) enthält eine Darstellung der Planimetrie, Stereometrie und einer Reihe von Fragen der Zahlentheorie; darin fasste er die bisherige Entwicklung der griechischen Mathematik zusammen und legte den Grundstein für die Weiterentwicklung der Mathematik. Unter anderen Werken zur Mathematik sind „Über die Zahlenteilung“ zu erwähnen, erhalten in arabischer Übersetzung, 4 Bücher „Kegelschnitte“, deren Material auch in das gleichnamige Werk von Apollonius von Perge aufgenommen wurde als „Porismen“, eine Vorstellung davon kann der „Mathematischen Sammlung“ des Papstes von Alexandria entnommen werden. Euklid – Autor von Werken zu Astronomie, Optik, Musik usw.

Biografie

Die zuverlässigsten Informationen über das Leben Euklids werden üblicherweise als die wenigen Informationen angesehen, die in den Kommentaren des Proklos zum ersten Buch von Euklids Elementen enthalten sind. Proklos stellt fest, dass „diejenigen, die über die Geschichte der Mathematik schrieben“, die Entwicklung dieser Wissenschaft nicht in die Zeit Euklids brachten, und weist darauf hin, dass Euklid älter als Platons Kreis, aber jünger als Archimedes und Eratosthenes war und „zur Zeit lebte“. Ptolemaios I. Soter“, „weil Archimedes, der unter Ptolemaios dem Ersten lebte, Euklid erwähnt und insbesondere sagt, dass Ptolemaios ihn gefragt habe, ob es einen kürzeren Weg gäbe, Geometrie zu studieren als die Elemente; und er antwortete, dass es keinen Königsweg zur Geometrie gibt.

Weitere Akzente zum Porträt Euklids lassen sich bei Pappus und Stobaios finden. Pappus berichtet, dass Euklid sanft und freundlich zu jedem war, der auch nur im geringsten zur Entwicklung der mathematischen Wissenschaften beitragen konnte, und Stobaeus erzählt eine weitere Anekdote über Euklid. Nachdem er begonnen hatte, Geometrie zu studieren und den ersten Satz analysiert hatte, fragte ein junger Mann Euklid: „Welchen Nutzen werde ich aus dieser Wissenschaft ziehen?“ Euklid rief den Sklaven und sagte: „Gib ihm drei Obolen, denn er will mit seinen Studien Gewinn machen.“

Einige moderne Autoren interpretieren die Aussage von Proklos – Euklid lebte zur Zeit von Ptolemaios I. Soter – in dem Sinne, dass Euklid am Hofe von Ptolemaios lebte und der Gründer des Alexandrinischen Museion war. Es sollte jedoch beachtet werden, dass diese Idee im 17. Jahrhundert in Europa etabliert wurde, als mittelalterliche Autoren Euklid mit dem Schüler des Sokrates, dem Philosophen Euklid von Megara, identifizierten. Ein anonymes arabisches Manuskript aus dem 12. Jahrhundert berichtet:

Nach seinen philosophischen Ansichten war Euklid höchstwahrscheinlich ein Platoniker.

Euklids Elemente

Euklids Hauptwerk heißt „Die Elemente“. Bücher mit demselben Titel, die konsequent alle grundlegenden Fakten der Geometrie und der theoretischen Arithmetik darstellten, wurden zuvor von Hippokrates von Chios, Leontes und Theudius zusammengestellt. Euklids Elemente verdrängten jedoch alle diese Werke und blieben mehr als zwei Jahrtausende lang das grundlegende Lehrbuch der Geometrie. Bei der Erstellung seines Lehrbuchs bezog Euklid vieles von dem ein, was seine Vorgänger geschaffen hatten, verarbeitete dieses Material und fügte es zusammen.

Die Anfänge bestehen aus dreizehn Büchern. Dem ersten und einigen anderen Büchern ist eine Liste mit Definitionen vorangestellt. Dem ersten Buch ist außerdem eine Liste von Postulaten und Axiomen vorangestellt. In der Regel definieren Postulate Grundkonstruktionen (z. B. „Es ist erforderlich, dass eine Gerade durch zwei beliebige Punkte gezogen werden kann“) und Axiome – allgemeine Schlussregeln beim Arbeiten mit Größen (z. B. „Wenn zwei Größen sind“) gleich einem Drittel, sie sind unter euch gleich").

In Buch I werden die Eigenschaften von Dreiecken und Parallelogrammen untersucht; Die Krönung dieses Buches ist der berühmte Satz des Pythagoras für rechtwinklige Dreiecke. Buch II, das auf die Pythagoräer zurückgeht, ist der sogenannten „geometrischen Algebra“ gewidmet. Die Bücher III und IV beschreiben die Geometrie von Kreisen sowie eingeschriebenen und umschriebenen Polygonen; Bei der Arbeit an diesen Büchern könnte Euklid auf die Schriften des Hippokrates von Chios zurückgegriffen haben. In Buch V wird die von Eudoxos von Knidos entwickelte allgemeine Proportionstheorie vorgestellt und in Buch VI auf die Theorie ähnlicher Figuren angewendet. Die Bücher VII–IX sind der Zahlentheorie gewidmet und gehen auf die Pythagoräer zurück; Der Autor von Buch VIII könnte Archytas von Tarentum gewesen sein. In diesen Büchern werden Theoreme über Proportionen und geometrische Progressionen behandelt, eine Methode zum Ermitteln des größten gemeinsamen Teilers zweier Zahlen vorgestellt (heute als Euklid-Algorithmus bekannt), gerade perfekte Zahlen konstruiert und die Unendlichkeit der Menge der Primzahlen bewiesen. In Buch X, das den umfangreichsten und komplexesten Teil der Elemente darstellt, wird eine Klassifizierung der Irrationalitäten erstellt; es ist möglich, dass sein Autor Theaitetus von Athen ist. Buch XI enthält die Grundlagen der Stereometrie. Im XII. Buch werden mit der Methode der Erschöpfung Theoreme über die Flächenverhältnisse von Kreisen sowie die Volumina von Pyramiden und Kegeln bewiesen; Als Autor dieses Buches gilt allgemein Eudoxos von Knidos. Schließlich ist Buch XIII der Konstruktion von fünf regelmäßigen Polyedern gewidmet; Es wird angenommen, dass einige der Bauwerke von Theaitetus von Athen entwickelt wurden.

In den uns überlieferten Manuskripten sind zu diesen dreizehn Büchern zwei weitere hinzugekommen. Buch XIV gehört zu den alexandrinischen Hypsikeln (ca. 200 v. Chr.), und Buch Sophia in Konstantinopel (Anfang des 6. Jahrhunderts n. Chr.).

Die Elemente bilden eine allgemeine Grundlage für spätere geometrische Abhandlungen von Archimedes, Apollonius und anderen antiken Autoren; die darin bewiesenen Sätze gelten als allgemein bekannt. Kommentare zu den Elementen wurden in der Antike von Heron, Porphyrius, Pappus, Proklos und Simplicius verfasst. Ein Kommentar von Proklos zu Buch I ist erhalten, ebenso ein Kommentar von Pappus zu Buch X (in arabischer Übersetzung). Von antiken Autoren geht die Kommentartradition auf die Araber und dann auf das mittelalterliche Europa über.

Bei der Schaffung und Entwicklung der modernen Wissenschaft spielten die Prinzipien auch eine wichtige ideologische Rolle. Sie blieben ein Muster einer mathematischen Abhandlung, die die wichtigsten Bestimmungen einer bestimmten mathematischen Wissenschaft streng und systematisch darlegte.

Andere Werke von Euklid

Von den anderen Werken Euklids sind folgende erhalten:

Daten (?????????) – darüber, was zur Definition einer Zahl erforderlich ist;
Über Teilung (???? ?????????????) – teilweise erhalten und nur in arabischer Übersetzung; gibt die Aufteilung geometrischer Figuren in Teile an, die gleich sind oder in einem bestimmten Verhältnis zueinander bestehen;
Phänomene (?????????) – Anwendungen der sphärischen Geometrie auf die Astronomie;
Optik (??????) – über die geradlinige Ausbreitung von Licht.

Aus kurzen Beschreibungen wissen wir:

Porismen (?????????) – über die Bedingungen, die Kurven bestimmen;
Konische Abschnitte (??????);
Oberflächliche Stellen (????? ???? ?????????) – über die Eigenschaften von Kegelschnitten;
Pseudariya (????????????) – über Fehler in geometrischen Beweisen;

Euklid wird außerdem Folgendes zugeschrieben:

Katoptrie (????????????) – Theorie der Spiegel; die Behandlung von Theon von Alexandria ist erhalten;
Teilung des Kanons (????????? ?????????) – eine Abhandlung über elementare Musiktheorie.

Euklid und antike Philosophie

Bereits seit der Zeit der Pythagoräer und Platons galten Arithmetik, Musik, Geometrie und Astronomie (die sogenannten „mathematischen“ Wissenschaften; später von Boethius quadrivius genannt) als Modell systematischen Denkens und als Vorstufe für das Studium der Philosophie . Es ist kein Zufall, dass eine Legende entstand, der zufolge über dem Eingang von Platons Akademie die Inschrift „Niemand darf hierher eintreten, der sich nicht mit Geometrie auskennt“ angebracht war.

Geometrische Zeichnungen, in denen durch das Zeichnen von Hilfslinien die implizite Wahrheit deutlich wird, dienen als Illustration für die von Platon im Menon und anderen Dialogen entwickelte Erinnerungslehre. Sätze der Geometrie werden Theoreme genannt, weil es zum Verständnis ihrer Wahrheit notwendig ist, die Zeichnung nicht mit bloßem Sinnessinn, sondern mit den „Augen des Geistes“ wahrzunehmen. Jede Zeichnung für einen Satz stellt eine Idee dar: Wir sehen diese Figur vor uns und denken und ziehen Schlussfolgerungen für alle Figuren desselben Typs gleichzeitig.

Ein gewisser „Platonismus“ Euklids hängt auch damit zusammen, dass in Platons Timaios die Lehre von den vier Elementen betrachtet wird, die vier regelmäßigen Polyedern (Tetraeder – Feuer, Oktaeder – Luft, Ikosaeder – Wasser, Würfel – Erde) entsprechen Das fünfte Polyeder, das Dodekaeder, „gehörte zur Gestalt des Universums.“ In diesem Zusammenhang können die Principia als eine mit allen notwendigen Prämissen und Zusammenhängen entwickelte Lehre über den Aufbau von fünf regulären Polyedern – den sogenannten „platonischen Körpern“ – betrachtet werden, die im Beweis der Tatsache gipfelt, dass es keine anderen regulären Polyeder gibt Feststoffe außer diesen fünf.

Auch für die in der Zweiten Analytik entwickelte Beweislehre des Aristoteles liefern die Elemente reichhaltiges Material. „Geometrie in den Elementen“ ist als ein schlussfolgerndes Wissenssystem aufgebaut, in dem alle Aussagen sequentiell eine nach der anderen entlang einer Kette abgeleitet werden, basierend auf einer kleinen Menge anfänglicher Aussagen, die ohne Beweise akzeptiert werden. Laut Aristoteles müssen solche Ausgangsaussagen existieren, da die Folgerungskette irgendwo beginnen muss, um nicht endlos zu sein. Darüber hinaus versucht Euklid, Aussagen allgemeiner Natur zu beweisen, was auch dem Lieblingsbeispiel des Aristoteles entspricht: „Wenn es jedem gleichschenkligen Dreieck innewohnt, Winkel zu haben, die sich zu zwei rechten Winkeln addieren, dann ist dies inhärent, nicht weil es so ist.“ nicht gleichschenklig, sondern weil es ein Dreieck ist“ (An. Post.85b12).

Pseudo-Euklid

Euklid werden zwei wichtige Abhandlungen zur antiken Musiktheorie zugeschrieben: die Harmonische Einleitung und die Einteilung des Kanons. Über den wahren Autor dieser Werke ist nichts bekannt. Henry Meibom (1555-1625) versah die Harmonische Einleitung mit ausführlichen Anmerkungen und war zusammen mit der Abteilung des Kanons der Erste, der sie verbindlich den Werken Euklids zuordnete. Bei der anschließenden detaillierten Analyse dieser Abhandlungen wurde festgestellt, dass die erste Spuren der pythagoräischen Tradition aufweist (zum Beispiel werden darin alle Halbtöne als gleich angesehen) und die zweite sich durch einen aristotelischen Charakter auszeichnet (zum Beispiel die Möglichkeit von das Teilen eines Tons in zwei Hälften wird verweigert). Der Darstellungsstil der „Harmonischen Einleitung“ zeichnet sich durch Dogmatismus und Kontinuität aus; der Stil der „Teilung des Kanons“ ähnelt in gewisser Weise den „Elementen“ von Euklid, da er auch Sätze und Beweise enthält.

Karl Jahn (1836-1899) war der Meinung, dass die Abhandlung „Harmonische Einführung“ von Kleonidas verfasst wurde, da sein Name in einigen Manuskripten auftaucht. Neben den Namen Euklid und Kleonidas werden in den Manuskripten Pappus und Anonymous als Autoren erwähnt. In den meisten wissenschaftlichen Publikationen wird der Autor lieber als Pseudo-Euklid bezeichnet.

Die griechische Abhandlung des Pseudo-Euklid mit russischer Übersetzung und Anmerkungen von G. A. Ivanov wurde 1894 in Moskau veröffentlicht

Wir laden Sie ein, einen so großen Mathematiker wie Euklid zu treffen. Eine Biografie, eine Zusammenfassung seiner Hauptwerke und einige interessante Fakten über diesen Wissenschaftler stellen wir in unserem Artikel vor. Euklid (Lebensjahre - 365-300 v. Chr.) - Mathematiker aus der hellenischen Zeit. Er arbeitete in Alexandria unter Ptolemaios I. Soter. Es gibt zwei Hauptversionen seines Geburtsortes. Nach dem ersten – in Athen, nach dem zweiten – in Tyrus (Syrien).

Biographie von Euklid: interessante Fakten

Davon gibt es im Leben nicht viel. Es gibt eine Nachricht von Pappus von Alexandria. Dieser Mann war ein Mathematiker, der in der 2. Hälfte des 3. Jahrhunderts n. Chr. lebte. Er bemerkte, dass der Wissenschaftler, an dem wir interessiert waren, freundlich und sanft zu allen war, die irgendwie zur Entwicklung bestimmter mathematischer Wissenschaften beitragen könnten.

Es gibt auch eine Legende von Archimedes. Seine Hauptfigur ist Euklid. Eine Kurzbiografie für Kinder enthält diese Legende meist, da sie sehr interessant ist und bei jungen Lesern das Interesse an diesem Mathematiker wecken kann. Es heißt, dass König Ptolemaios Geometrie studieren wollte. Es stellte sich jedoch heraus, dass dies nicht einfach ist. Dann rief der König den Wissenschaftler Euklid an und fragte ihn, ob es eine einfache Möglichkeit gäbe, diese Wissenschaft zu verstehen. Aber Euklid antwortete, dass es keinen Königsweg zur Geometrie gebe. So kam dieser populär gewordene Ausdruck in Form einer Legende zu uns.

Zu Beginn des 3. Jahrhunderts v. Chr. e. gründete das Alexandria Museum und Euklid. Eine kurze Biografie und seine Entdeckungen sind mit diesen beiden Institutionen verbunden, die auch Bildungszentren waren.

Euklid – Platons Schüler

Dieser Wissenschaftler durchlief die von Platon gegründete Akademie (sein Porträt ist unten dargestellt). Er lernte die wichtigste philosophische Idee dieses Denkers kennen, die darin bestand, dass es eine unabhängige Welt der Ideen gibt. Man kann mit Sicherheit sagen, dass Euklid, dessen Biographie nur wenige Details enthält, ein Platoniker der Philosophie war. Diese Haltung stärkte den Wissenschaftler in dem Verständnis, dass alles, was er geschaffen und in seinen „Prinzipien“ dargelegt hat, ewige Existenz hat.

Der Denker, an dem wir interessiert sind, wurde 205 Jahre später als Pythagoras, 63 Jahre später als Platon, 33 Jahre später als Eudoxos und 19 Jahre später als Aristoteles geboren. Er lernte ihre philosophischen und mathematischen Werke entweder unabhängig oder über Vermittler kennen.

Die Verbindung zwischen Euklids Elementen und den Werken anderer Wissenschaftler

Proclus Diadochus, ein neuplatonischer Philosoph (Lebensjahre - 412-485), Autor von Kommentaren zu den „Elementen“, äußerte die Idee, dass dieses Werk Platons Kosmologie und die „Pythagoräische Lehre ...“ widerspiegelt. In seinem Werk skizzierte Euklid die Theorie des Goldenen Schnitts (Bücher 2, 6 und 13) und (Buch 13). Als Anhänger des Platonismus verstand der Wissenschaftler, dass seine „Prinzipien“ zu Platons Kosmologie und zu den von seinen Vorgängern entwickelten Ideen über die numerische Harmonie, die das Universum charakterisiert, beitrugen.

Proklos Diadochos war nicht der Einzige, der die platonischen Körper schätzte und sich (in seinen Lebensjahren – 1571–1630) auch für sie interessierte. Dieser deutsche Astronom stellte fest, dass es in der Geometrie zwei Schätze gibt – den Goldenen Schnitt (Unterteilung eines Segments in das mittlere und das extreme Verhältnis) und den Satz des Pythagoras. Den Wert des letzten von ihnen verglich er mit Gold und den ersten mit einem Edelstein. Johannes Kepler nutzte die platonischen Körper zur Erstellung seiner kosmologischen Hypothese.

Bedeutung „gestartet“

Das Buch „Elemente“ ist das Hauptwerk Euklids. Die Biographie dieses Wissenschaftlers ist natürlich von weiteren Werken geprägt, auf die wir am Ende des Artikels eingehen werden. Anzumerken ist, dass auch Werke mit dem Titel „Grundsätze“, in denen alle wichtigen Fakten der theoretischen Arithmetik und Geometrie dargelegt sind, von seinen Vorgängern zusammengestellt wurden. Einer von ihnen ist Hippokrates von Chios, ein Mathematiker, der im 5. Jahrhundert v. Chr. lebte. e. Auch Theudius (2. Hälfte des 4. Jahrhunderts v. Chr.) und Leontes (4. Jahrhundert v. Chr.) schrieben Bücher mit diesem Titel. Mit dem Aufkommen der euklidischen „Prinzipien“ wurden jedoch alle diese Werke außer Gebrauch gesetzt. Euklids Buch war mehr als zweitausend Jahre lang das grundlegende Lehrbuch der Geometrie. Der Wissenschaftler nutzte bei der Erstellung seiner Arbeit viele Errungenschaften seiner Vorgänger. Euklid verarbeitete die verfügbaren Informationen und führte das Material zusammen.

In seinem Buch fasste der Autor die Entwicklung der Mathematik im antiken Griechenland zusammen und schuf eine solide Grundlage für weitere Entdeckungen. Darin besteht die Bedeutung von Euklids Hauptwerk für die Weltphilosophie, die Mathematik und die gesamte Wissenschaft im Allgemeinen. Es wäre falsch zu glauben, dass es darin besteht, die Mystik von Platon und Pythagoras in ihrem Pseudouniversum zu stärken.

Viele Wissenschaftler schätzten Euklids Elemente, darunter auch Albert Einstein. Er bemerkte, dass dies eine erstaunliche Arbeit sei, die dem menschlichen Geist das nötige Selbstvertrauen für weitere Aktivitäten verlieh. Einstein sagte, dass der Mensch, der diese Schöpfung in seiner Jugend nicht bewunderte, nicht für theoretische Forschung geboren wurde.

Axiomatische Methode

Es sollte gesondert auf die Bedeutung der Arbeit des Wissenschaftlers hingewiesen werden, an der wir interessiert sind, in der brillanten Demonstration in seinen „Grundsätzen“. Diese Methode in der modernen Mathematik ist die schwerwiegendste Methode zur Untermauerung von Theorien. Auch in der Mechanik findet es breite Anwendung. Der große Wissenschaftler Newton baute seine „Grundsätze der Naturphilosophie“ nach dem Vorbild des Werks von Euklid auf.

Grundbestimmungen von „Anfänge“

Das Buch „Principia“ erläutert systematisch die euklidische Geometrie. Sein Koordinatensystem basiert auf Konzepten wie Ebene, Gerade, Punkt, Bewegung. Die darin verwendeten Beziehungen sind die folgenden: „Ein Punkt liegt auf einer Linie, die auf einer Ebene liegt“ und „Ein Punkt liegt zwischen zwei anderen Punkten.“

Das System der Bestimmungen der euklidischen Geometrie, das in einer modernen Darstellung dargestellt wird, ist normalerweise in 5 Gruppen von Axiomen unterteilt: Bewegung, Ordnung, Kontinuität, Kombination und Parallelität der euklidischen.

In den dreizehn Büchern „Prinzipien“ stellte der Wissenschaftler Arithmetik, Stereometrie, Planimetrie und Beziehungen nach Eudoxos vor. Es ist zu beachten, dass die Darstellung in dieser Arbeit streng deduktiv erfolgt. Jedes Buch von Euklid beginnt mit Definitionen, und im ersten Buch folgen Axiome und Postulate. Als nächstes kommen Sätze, unterteilt in Probleme (bei denen Sie etwas aufbauen müssen) und Theoreme (bei denen Sie etwas beweisen müssen).

Nachteil der Mathematik Euklids

Der Hauptnachteil besteht darin, dass die Axiomatik dieses Wissenschaftlers nicht vollständig ist. Es fehlen die Axiome der Bewegung, Kontinuität und Ordnung. Daher musste der Wissenschaftler oft seinem Auge vertrauen und auf seine Intuition zurückgreifen. Die Bücher 14 und 15 sind spätere Ergänzungen zu dem von Euklid verfassten Werk. Es gibt nur eine sehr kurze Biografie über ihn, daher lässt sich nicht mit Sicherheit sagen, ob die ersten 13 Bücher von einer Person verfasst wurden oder das Ergebnis der gemeinsamen Arbeit einer von einem Wissenschaftler geleiteten Schule sind.

Weiterentwicklung der Wissenschaft

Die Entstehung der euklidischen Geometrie ist mit der Entstehung visueller Darstellungen der uns umgebenden Welt verbunden (Lichtstrahlen, gespannte Fäden als Veranschaulichung gerader Linien usw.). Dann vertieften sie sich, wodurch ein abstrakteres Verständnis einer Wissenschaft wie der Geometrie entstand. N. I. Lobatschewski (Lebensjahre - 1792–1856) – russischer Mathematiker, der eine wichtige Entdeckung machte. Er stellte fest, dass es eine Geometrie gibt, die sich von der Euklidischen unterscheidet. Dies veränderte die Vorstellungen der Wissenschaftler über den Weltraum. Es stellte sich heraus, dass sie keineswegs a priori sind. Mit anderen Worten: Die in Euklids Elementen dargelegte Geometrie kann nicht als die einzige angesehen werden, die die Eigenschaften des uns umgebenden Raums beschreibt. Die Entwicklung der Naturwissenschaften (vor allem Astronomie und Physik) hat gezeigt, dass sie ihre Struktur nur mit einer gewissen Genauigkeit beschreibt. Darüber hinaus kann es nicht auf den gesamten Raum als Ganzes angewendet werden. Die euklidische Geometrie ist die erste Annäherung an das Verständnis und die Beschreibung ihrer Struktur.

Lobatschewskis Schicksal erwies sich übrigens als tragisch. Für seine kühnen Gedanken wurde er in der wissenschaftlichen Welt nicht akzeptiert. Der Kampf dieses Wissenschaftlers war jedoch nicht umsonst. Für den Siegeszug von Lobatschewskis Ideen sorgte Gauß, dessen Korrespondenz in den 1860er Jahren veröffentlicht wurde. Unter den Briefen befanden sich begeisterte Rezensionen des Wissenschaftlers über Lobatschewskis Geometrie.

Andere Werke von Euklid

Die Biographie Euklids als Wissenschaftler ist in unserer Zeit von großem Interesse. Er machte wichtige Entdeckungen in der Mathematik. Dies wird durch die Tatsache bestätigt, dass das Buch „Prinzipien“ seit 1482 mehr als fünfhundert Auflagen in verschiedenen Sprachen der Welt erlebt hat. Die Biographie des Mathematikers Euklid ist jedoch nicht nur durch die Entstehung dieses Buches geprägt. Er besitzt eine Reihe von Werken zu Optik, Astronomie, Logik und Musik. Eines davon ist das Buch „Data“, das die Bedingungen beschreibt, die es ermöglichen, das eine oder andere mathematische Maximalbild als „Daten“ zu betrachten. Ein weiteres Werk Euklids ist ein Buch über Optik, das Informationen über die Perspektive enthält. Der Wissenschaftler, an dem wir interessiert sind, hat auch einen Aufsatz über Katoptrie geschrieben (in dieser Arbeit skizzierte er die Theorie der Verzerrungen, die in Spiegeln auftreten). Bekannt ist auch Euklids Buch mit dem Titel „Division of Figures“. Das Werk zur Mathematik „ist leider nicht erhalten geblieben.

Sie haben also einen so großartigen Wissenschaftler wie Euklid getroffen. Wir hoffen, dass Sie seine kurze Biografie nützlich fanden.

Lebensgeschichte
Euklidische Geometrie

Die Geometrie entstand wie andere Wissenschaften aus den Bedürfnissen der Praxis. Das Wort „Geometrie“ selbst ist griechisch und bedeutet „Landvermessung“.
Die Menschen standen schon sehr früh vor der Notwendigkeit, Grundstücke zu vermessen. Dies erforderte ein gewisses Maß an geometrischen und arithmetischen Kenntnissen. Nach und nach begannen die Menschen, die Eigenschaften komplexerer geometrischer Formen zu messen und zu untersuchen.
„Aus den ägyptischen Papyri und alten babylonischen Texten, die uns überliefert sind, geht klar hervor, dass die Menschen bereits 2000 Jahre v. Chr. in der Lage waren, die Flächen von Dreiecken, Rechtecken und Trapezen zu bestimmen und die Fläche eines Kreises ungefähr zu berechnen. “ schreibt I.G. Bashmakova. - Sie kannten auch Formeln zur Bestimmung des Volumens von Würfel, Zylinder, Kegel, Pyramide und Pyramidenstumpf. Bald wurden Informationen über die Geometrie nicht nur für die Vermessung der Erde notwendig. Die Entwicklung der Architektur und etwas später der Astronomie stellten neue Anforderungen an die Geometrie. Sowohl in Ägypten als auch in Babylon wurden kolossale Tempel gebaut, deren Bau nur auf der Grundlage vorläufiger Berechnungen durchgeführt werden konnte.
...Und doch existierte die Geometrie als Wissenschaft noch nicht, obwohl die Menschheit ein so umfangreiches Wissen über geometrische Fakten gesammelt hatte.
Die Geometrie wurde erst zu einer Wissenschaft, nachdem sie begann, systematisch logische Beweise anzuwenden und geometrische Sätze nicht nur durch direkte Messungen, sondern auch durch Schlussfolgerungen abzuleiten, indem sie eine Position aus einer anderen ableitete und sie in einer allgemeinen Form festlegte. Normalerweise wird diese Revolution in der Geometrie mit dem Namen des Wissenschaftlers und Philosophen des 6. Jahrhunderts v. Chr., Pythagoras von Samos, in Verbindung gebracht.“
Alle damit verbundenen neuen Probleme und Theorien führten jedoch zu einer Verbesserung der Methoden der mathematischen Beweise selbst und die Notwendigkeit, ein harmonisches logisches System in der Geometrie zu schaffen, nahm zu.
„Aber wie baut man ein solches System auf? - fragt I.G. Bashmakova. - Schließlich beweisen wir jeden einzelnen Vorschlag anhand einiger anderer Vorschläge. Diese Sätze werden wiederum durch Bezugnahme auf einige dritte Sätze usw. bewiesen. Wir könnten diese Verweise bis ins Unendliche fortsetzen, und der Beweisprozess würde niemals enden. Wie sein? Dieser Umstand wurde bereits in der Antike bemerkt und dann wurde eine Lösung gefunden. Spätestens im 4. Jahrhundert v. Chr. wählten griechische Mathematiker bei der Konstruktion der Geometrie einige Sätze aus, die ohne Beweise akzeptiert wurden, und leiteten daraus alle anderen Sätze streng logisch ab. Ohne Beweise akzeptierte Sätze wurden Axiome und Postulate genannt.
Das perfekteste Beispiel einer solchen Theorie seit mehr als zweitausend Jahren war Euklids Elemente, geschrieben um 300 v. Chr.“
Über das Leben Euklids (ca. 365 v. Chr. – 300 v. Chr.) ist fast nichts bekannt. Über ihn sind nur wenige Legenden überliefert. Der erste Kommentator der Elemente, Proklos (5. Jahrhundert n. Chr.), konnte nicht angeben, wo und wann Euklid geboren und starb. Laut Proklos lebte „dieser gelehrte Mann“ während der Herrschaft von Ptolemaios I. Auf den Seiten eines arabischen Manuskripts aus dem 12. Jahrhundert sind einige biografische Daten erhalten: „Euklid, Sohn des Naukrates, bekannt unter dem Namen „Geometra“, a Wissenschaftler der alten Zeit, griechischer Herkunft, syrischer Wohnsitz, ursprünglich aus Tyrus.
Einer der Legenden zufolge beschloss König Ptolemaios, Geometrie zu studieren. Es stellte sich jedoch heraus, dass dies nicht so einfach ist. Dann rief er Euklid an und bat ihn, ihm einen einfachen Weg zur Mathematik zu zeigen. „Es gibt keinen Königsweg zur Geometrie“, antwortete ihm der Wissenschaftler. So kam dieser populäre Ausdruck in Form einer Legende zu uns.
Um seinen Staat zu verherrlichen, lockte König Ptolemaios I. Wissenschaftler und Dichter ins Land und errichtete für sie einen Musentempel – das Museion. Es gab Studienräume, botanische und zoologische Gärten, ein astronomisches Büro, einen astronomischen Turm, Räume für Einzelarbeit und vor allem eine prächtige Bibliothek. Zu den eingeladenen Wissenschaftlern gehörte Euklid, der in Alexandria, der Hauptstadt Ägyptens, eine mathematische Schule gründete und für deren Schüler sein grundlegendes Werk verfasste.
In Alexandria gründete Euklid eine mathematische Schule und schrieb ein großartiges Werk über Geometrie, das unter dem allgemeinen Titel „Elemente“ zusammengefasst ist – das Hauptwerk seines Lebens. Es wird angenommen, dass es um 325 v. Chr. geschrieben wurde.
Euklids Vorgänger – Thales, Pythagoras, Aristoteles und andere – haben viel zur Entwicklung der Geometrie beigetragen. Aber das waren alles einzelne Fragmente und kein einziges logisches Schema.
Sowohl Zeitgenossen als auch Anhänger Euklids waren von der Systematik und Logik der präsentierten Informationen fasziniert. „Prinzipien“ besteht aus 13 Büchern, die nach einem einzigen logischen Schema aufgebaut sind. Jedes der Bücher beginnt mit einer Definition der darin verwendeten Konzepte (Punkt, Linie, Ebene, Figur usw.) und wird dann auf der Grundlage einer kleinen Anzahl grundlegender Bestimmungen (5 Axiome und 5 Postulate) akzeptiert Beweis, das gesamte System der Geometrie ist aufgebaut.
Zu dieser Zeit bedeutete die Entwicklung der Wissenschaft nicht, dass Methoden der praktischen Mathematik vorhanden waren. Die Bücher I–IV befassten sich mit der Geometrie, ihr Inhalt geht auf die Werke der pythagoräischen Schule zurück. In Buch V wurde die Proportionslehre entwickelt, die an Eudoxos von Knidos angrenzte. Die Bücher VII–IX enthielten die Zahlenlehre und repräsentierten die Entwicklung der pythagoräischen Primärquellen. Die Bücher X–XII enthalten Definitionen von Flächen in der Ebene und im Raum (Stereometrie), die Theorie der Irrationalität (insbesondere in Buch X); Buch XIII enthält Studien über normale Körper, die auf Theaitetus zurückgehen.
Euklids „Grundsätze“ sind eine Darstellung der Geometrie, die heute noch unter dem Namen Euklidische Geometrie bekannt ist. Als Postulate wählte Euklid Sätze, die aussagten, was durch einfache Konstruktionen mit Zirkel und Lineal überprüft werden konnte. Euklid akzeptierte auch einige allgemeine Axiome, zum Beispiel, dass zwei Größen, die getrennt einer dritten Größe entsprechen, einander gleich sind. Auf der Grundlage solcher Postulate und Axiome entwickelte Euklid streng und systematisch die gesamte Planimetrie.
In den Principia beschreibt er die metrischen Eigenschaften des Raumes, den die moderne Wissenschaft als euklidischen Raum bezeichnet.
Der euklidische Raum ist die Arena physikalischer Phänomene der klassischen Physik, deren Grundlagen von Galileo und Newton gelegt wurden. Dieser Raum ist leer, grenzenlos, isotrop und hat drei Dimensionen. Euklid gab der atomistischen Idee des leeren Raums, in dem sich Atome bewegen, mathematische Sicherheit. Euklids einfachstes geometrisches Objekt ist ein Punkt, den er als etwas definiert, das keine Teile hat. Mit anderen Worten: Ein Punkt ist ein unteilbares Raumatom.
Die Unendlichkeit des Raumes wird durch drei Postulate charakterisiert:

1. Von jedem Punkt zu jedem Punkt können Sie eine gerade Linie zeichnen.
2. Eine begrenzte Linie kann entlang einer Geraden kontinuierlich verlängert werden.
3. Ein Kreis kann von jedem Mittelpunkt aus und durch jede Lösung beschrieben werden.“

Die Parallelenlehre und das berühmte fünfte Postulat („Wenn eine Gerade, die auf zwei Geraden fällt, Innenwinkel und auf einer Seite weniger als zwei rechte Winkel bildet, dann treffen sich diese beiden Geraden bei unendlicher Ausdehnung auf der Seite, auf der die Winkel kleiner sind.“ als zwei rechte Winkel“) bestimmen die Eigenschaften des euklidischen Raums und seiner Geometrie, die sich von nichteuklidischen Geometrien unterscheiden.
Von den Elementen wird üblicherweise gesagt, dass sie nach der Bibel das beliebteste schriftliche Denkmal der Antike seien. Das Buch hat seine eigene, sehr bemerkenswerte Geschichte. Zweitausend Jahre lang war es ein Nachschlagewerk für Schulkinder und diente als Einführungskurs in Geometrie. Die Elemente erfreuten sich großer Beliebtheit, und fleißige Schreiber in verschiedenen Städten und Ländern fertigten viele Kopien davon an. Später wurden die „Prinzipien“ von Papyrus auf Pergament und dann auf Papier übertragen. Im Laufe von vier Jahrhunderten wurden die Elemente 2.500 Mal veröffentlicht: Im Durchschnitt wurden jährlich 6–7 Ausgaben veröffentlicht. Bis zum 20. Jahrhundert galt das Buch als das wichtigste Lehrbuch der Geometrie nicht nur für Schulen, sondern auch für Universitäten.
Euklids „Prinzipien“ wurden von den Arabern und später von europäischen Wissenschaftlern gründlich untersucht. Sie wurden in die wichtigsten Weltsprachen übersetzt. Die ersten Schriften wurden 1533 in Basel gedruckt. Interessanterweise stammt die erste Übersetzung ins Englische aus dem Jahr 1570 von Henry Billingway, einem Londoner Kaufmann.
Natürlich wurden nicht alle Merkmale des euklidischen Raums sofort entdeckt, sondern als Ergebnis jahrhundertelanger wissenschaftlicher Denkarbeit, aber der Ausgangspunkt dieser Arbeit waren Euklids „Elemente“. Kenntnisse über die Grundlagen der euklidischen Geometrie sind heute weltweit ein notwendiger Bestandteil der Allgemeinbildung.
Wir können mit Sicherheit sagen, dass Euklid nicht nur den Grundstein für die Geometrie, sondern für die gesamte antike Mathematik gelegt hat.
Erst im 19. Jahrhundert erreichte die Erforschung der Grundlagen der Geometrie ein neues, höheres Niveau. Es konnte herausgefunden werden, dass Euklid nicht alle Axiome aufgelistet hat, die tatsächlich zur Konstruktion der Geometrie benötigt werden. Tatsächlich verwendete der Wissenschaftler sie in seinen Beweisen, formulierte sie jedoch nicht.
Dennoch schmälert all das in keiner Weise die Rolle von Euklid, der als erster zeigte, wie eine mathematische Theorie aufgebaut werden kann und sollte. Er schuf die deduktive Methode, die sich in der Mathematik fest etabliert hat. Das bedeutet, dass alle nachfolgenden Mathematiker gewissermaßen Schüler Euklids sind.

Euklid oder Euklid (altgriechisch Εὐκλείδης, von „guter Ruhm“, Zeit des Wohlstands). Lebte um 300 v. Chr. e. Antiker griechischer Mathematiker, Autor der ersten überlieferten theoretischen Abhandlung über Mathematik. Biografische Informationen über Euklid sind äußerst rar. Als verlässlich gilt lediglich, dass seine wissenschaftliche Tätigkeit im 3. Jahrhundert in Alexandria stattfand. Chr e.

Euklid ist der erste Mathematiker der alexandrinischen Schule. Sein Hauptberuf „Anfänge“(Στοιχεῖα, in lateinischer Form – „Elemente“) enthält eine Darstellung der Planimetrie, Stereometrie und einer Reihe von Fragen der Zahlentheorie; darin fasste er die bisherige Entwicklung der antiken griechischen Mathematik zusammen und legte den Grundstein für die Weiterentwicklung der Mathematik.

Unter anderen Werken zur Mathematik ist darauf hinzuweisen „Über die Zahlenteilung“, erhalten in arabischer Übersetzung, 4 Bücher „Kegelschnitte“, deren Material in das gleichnamige Werk von Apollonius von Perge aufgenommen wurde, sowie „Porismen“, eine Vorstellung davon kann dem „ Mathematische Sammlung“ von Pappus von Alexandria. Euklid – Autor von Werken zu Astronomie, Optik, Musik usw.

Nachdem er begonnen hatte, Geometrie zu studieren und den ersten Satz analysiert hatte, fragte ein junger Mann Euklid: „Welchen Nutzen werde ich aus dieser Wissenschaft ziehen?“ Euklid rief den Sklaven und sagte: „Gib ihm drei Obolen, denn er will mit seinen Studien Gewinn machen.“ Die Historizität der Geschichte ist fraglich, da eine ähnliche Geschichte über Platon erzählt wird.

Im Allgemeinen ist die Datenmenge über Euklid so gering, dass es eine (wenn auch nicht weit verbreitete) Version gibt, dass es sich um das Sammelpseudonym einer Gruppe alexandrinischer Wissenschaftler handelt.

Euklids „Elemente“:

In Buch I werden die Eigenschaften von Dreiecken und Parallelogrammen untersucht; Die Krönung dieses Buches ist der berühmte Satz für rechtwinklige Dreiecke.

Buch II, das auf die Pythagoräer zurückgeht, ist der sogenannten „geometrischen Algebra“ gewidmet.

Die Bücher III und IV beschreiben die Geometrie von Kreisen sowie eingeschriebenen und umschriebenen Polygonen; Bei der Arbeit an diesen Büchern könnte Euklid auf die Schriften des Hippokrates von Chios zurückgegriffen haben.

In Buch V wird die von Eudoxos von Knidos entwickelte allgemeine Proportionstheorie vorgestellt und in Buch VI auf die Theorie ähnlicher Figuren angewendet.

Die Bücher VII–IX sind der Zahlentheorie gewidmet und gehen auf die Pythagoräer zurück; Der Autor von Buch VIII könnte Archytas von Tarentum gewesen sein. In diesen Büchern werden Theoreme über Proportionen und geometrische Progressionen behandelt, eine Methode zum Ermitteln des größten gemeinsamen Teilers zweier Zahlen vorgestellt (heute als Euklid-Algorithmus bekannt), gerade perfekte Zahlen konstruiert und die Unendlichkeit der Menge der Primzahlen bewiesen.

In Buch X, das den umfangreichsten und komplexesten Teil der Elemente darstellt, wird eine Klassifizierung der Irrationalitäten erstellt; es ist möglich, dass sein Autor Theaitetus von Athen ist.

Buch XI enthält die Grundlagen der Stereometrie.

Im XII. Buch werden mit der Methode der Erschöpfung Theoreme über die Flächenverhältnisse von Kreisen sowie die Volumina von Pyramiden und Kegeln bewiesen; Als Autor dieses Buches gilt allgemein Eudoxos von Knidos.

Schließlich ist Buch XIII der Konstruktion von fünf regelmäßigen Polyedern gewidmet; Es wird angenommen, dass einige der Bauwerke von Theaitetus von Athen entwickelt wurden.

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