Was sind numerische Ungleichungen? Numerische Ungleichungen und ihre Eigenschaften. Grundbegriff der Ungleichheit
Wir haben in der Schule etwas über Ungleichheiten gelernt, wo wir numerische Ungleichungen verwenden. In diesem Artikel betrachten wir die Eigenschaften numerischer Ungleichungen, auf denen die Prinzipien der Arbeit mit ihnen basieren.
Die Eigenschaften von Ungleichungen ähneln denen numerischer Ungleichungen. Die Eigenschaften und ihre Begründung werden betrachtet und Beispiele gegeben.
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Numerische Ungleichungen: Definition, Beispiele
Bei der Einführung des Konzepts der Ungleichungen gehen wir davon aus, dass ihre Definition durch die Art der Aufzeichnung erfolgt. Es gibt algebraische Ausdrücke mit den Vorzeichen ≠,< , >, ≤ , ≥ . Lassen Sie uns eine Definition geben.
Definition 1
Numerische Ungleichheit nennt man eine Ungleichung, bei der beide Seiten Zahlen und numerische Ausdrücke haben.
Wir betrachten numerische Ungleichungen in der Schule, nachdem wir natürliche Zahlen studiert haben. Solche Vergleichsoperationen werden Schritt für Schritt untersucht. Die ersten sehen aus wie 1< 5 , 5 + 7 >3. Nachdem die Regeln ergänzt und die Ungleichungen komplizierter geworden sind, erhalten wir Ungleichungen der Form 5 2 3 > 5, 1 (2), ln 0. 73 - 17 2< 0 .
Eigenschaften numerischer Ungleichungen
Um korrekt mit Ungleichungen arbeiten zu können, müssen Sie die Eigenschaften numerischer Ungleichungen nutzen. Sie entstammen dem Konzept der Ungleichheit. Dieses Konzept wird anhand einer Aussage definiert, die als „mehr“ oder „weniger“ bezeichnet wird.
Definition 2
- die Zahl a ist größer als b, wenn die Differenz a - b eine positive Zahl ist;
- die Zahl a ist kleiner als b, wenn die Differenz a - b eine negative Zahl ist;
- Die Zahl a ist gleich b, wenn die Differenz a - b Null ist.
Die Definition wird beim Lösen von Ungleichungen mit den Beziehungen „kleiner als oder gleich“, „größer als oder gleich“ verwendet. Wir verstehen das
Definition 3
- a ist größer oder gleich b, wenn a - b eine nicht negative Zahl ist;
- a ist kleiner oder gleich b, wenn a - b eine nicht positive Zahl ist.
Die Definitionen werden verwendet, um die Eigenschaften numerischer Ungleichungen zu beweisen.
Grundeigenschaften
Schauen wir uns drei Hauptungleichungen an. Verwendung von Zeichen< и >charakteristisch für folgende Eigenschaften:
Definition 4
- Antireflexivität, was besagt, dass jede Zahl a aus den Ungleichungen a< a и a >a gilt als falsch. Es ist bekannt, dass für jedes a die Gleichheit a − a = 0 gilt, daher erhalten wir a = a. Also ein< a и a >a ist falsch. Zum Beispiel 3< 3 и - 4 14 15 >- 4 14 15 sind falsch.
- Asymmetrie. Wenn die Zahlen a und b so sind, dass a< b , то b >a, und wenn a > b, dann b< a . Используя определение отношений «больше», «меньше» обоснуем его. Так как в первой части имеем, что a < b , тогда a − b является отрицательным числом. А b − a = − (a − b) положительное число, потому как число противоположно отрицательному числу a − b . Отсюда следует, что b >A. Der zweite Teil davon wird auf ähnliche Weise bewiesen.
Beispiel 1
Zum Beispiel gegeben die Ungleichung 5< 11 имеем, что 11 >5, was bedeutet, dass seine numerische Ungleichung − 0, 27 > − 1, 3 als − 1, 3 umgeschrieben wird< − 0 , 27 .
Bevor wir zur nächsten Eigenschaft übergehen, beachten Sie, dass Sie mit Hilfe der Asymmetrie die Ungleichung von rechts nach links und umgekehrt ablesen können. Auf diese Weise können numerische Ungleichungen verändert und vertauscht werden.
Definition 5
- Transitivität. Wenn die Zahlen a, b, c die Bedingung a erfüllen< b и b < c , тогда a < c , и если a >b und b > c , dann a > c .
Beweis 1
Die erste Aussage kann bewiesen werden. Zustand a< b и b < c означает, что a − b и b − c являются отрицательными, а разность а - с представляется в виде (a − b) + (b − c) , что является отрицательным числом, потому как имеем сумму двух отрицательных a − b и b − c . Отсюда получаем, что а - с является отрицательным числом, а значит, что a < c . Что и требовалось доказать.
Der zweite Teil mit der Transitivitätseigenschaft wird auf ähnliche Weise bewiesen.
Beispiel 2
Wir betrachten die analysierte Eigenschaft am Beispiel der Ungleichungen − 1< 5 и 5 < 8 . Отсюда имеем, что − 1 < 8 . Аналогичным образом из неравенств 1 2 >1 8 und 1 8 > 1 32 folgt, dass 1 2 > 1 32.
Numerische Ungleichungen, die mit schwachen Ungleichheitszeichen geschrieben werden, haben die Eigenschaft der Reflexivität, denn a ≤ a und a ≥ a können den Gleichheitsfall a = a annehmen. Sie zeichnen sich durch Asymmetrie und Transitivität aus.
Definition 6
Ungleichungen, die in ihrer Schreibweise die Vorzeichen ≤ und ≥ haben, haben folgende Eigenschaften:
- Reflexivität a ≥ a und a ≤ a gelten als wahre Ungleichungen;
- Antisymmetrie: Wenn a ≤ b, dann ist b ≥ a, und wenn a ≥ b, dann ist b ≤ a.
- Transitivität, wenn a ≤ b und b ≤ c, dann a ≤ c, und auch, wenn a ≥ b und b ≥ c, dann a ≥ c.
Der Beweis erfolgt auf ähnliche Weise.
Weitere wichtige Eigenschaften numerischer Ungleichungen
Zur Ergänzung der Grundeigenschaften von Ungleichungen werden Ergebnisse mit praktischer Bedeutung herangezogen. Das Prinzip der Methode dient zur Schätzung der Werte von Ausdrücken, auf denen die Prinzipien zur Lösung von Ungleichungen basieren.
In diesem Absatz werden die Eigenschaften von Ungleichungen für ein Zeichen strenger Ungleichheit offenbart. Das Gleiche gilt für nicht strenge. Schauen wir uns ein Beispiel an und formulieren die Ungleichung, wenn a< b и c являются любыми числами, то a + c < b + c . Справедливыми окажутся свойства:
- wenn a > b, dann a + c > b + c;
- wenn a ≤ b, dann a + c ≤ b + c;
- wenn a ≥ b, dann a + c ≥ b + c.
Für eine komfortable Präsentation geben wir die entsprechende Stellungnahme ab, die niedergeschrieben und belegt wird, es werden Anwendungsbeispiele aufgezeigt.
Definition 7
Eine Zahl auf beiden Seiten addieren oder berechnen. Mit anderen Worten, wenn a und b der Ungleichung a entsprechen< b , тогда для любого такого числа имеет смысл неравенство вида a + c < b + c .
Beweis 2
Um dies zu beweisen, muss die Gleichung die Bedingung a erfüllen< b . Тогда (a + c) − (b + c) = a + c − b − c = a − b . Из условия a < b получим, что a − b < 0 . Значит, (a + c) − (b + c) < 0 , откуда a + c < b + c . Множество действительных числе могут быть изменены с помощью прибавления противоположного числа – с.
Beispiel 3
Wenn wir beispielsweise beide Seiten der Ungleichung 7 > 3 um 15 erhöhen, erhalten wir 7 + 15 > 3 + 15. Dies entspricht 22 > 18.
Definition 8
Wenn beide Seiten der Ungleichung mit derselben Zahl c multipliziert oder dividiert werden, erhalten wir eine echte Ungleichung. Nimmt man eine negative Zahl, ändert sich das Vorzeichen ins Gegenteil. Ansonsten sieht es so aus: Für a und b gilt die Ungleichung, wenn a< b и c являются положительными числами, то a· c < b · c , а если v является отрицательным числом, тогда a · c >v. Chr.
Beweis 3
Im Fall c > 0 muss die Differenz zwischen der linken und rechten Seite der Ungleichung ermittelt werden. Dann erhalten wir a · c − b · c = (a − b) · c . Ab Zustand a< b , то a − b < 0 , а c >0, dann ist das Produkt (a − b) · c negativ. Daraus folgt, dass a · c − b · c< 0 , где a · c < b · c . Другая часть доказывается аналогичным образом.
Beim Beweis kann die Division durch eine ganze Zahl durch die Multiplikation mit der Umkehrung der gegebenen Zahl, also 1 c, ersetzt werden. Schauen wir uns ein Beispiel für eine Eigenschaft bestimmter Zahlen an.
Beispiel 4
Beide Seiten der Ungleichung 4 sind erlaubt< 6 умножаем на положительное 0 , 5 , тогда получим неравенство вида − 4 · 0 , 5 < 6 · 0 , 5 , где − 2 < 3 . Когда обе части делим на - 4 , то необходимо изменить знак неравенства на противоположный. отсюда имеем, что неравенство примет вид − 8: (− 4) ≥ 12: (− 4) , где 2 ≥ − 3 .
Lassen Sie uns nun die folgenden zwei Ergebnisse formulieren, die bei der Lösung von Ungleichungen verwendet werden:
- Folgerung 1. Wenn sich die Vorzeichen von Teilen einer numerischen Ungleichung ändern, ändert sich das Vorzeichen der Ungleichung selbst in das Gegenteil, als a< b , как − a >− b . Dies folgt der Regel, beide Seiten mit - 1 zu multiplizieren. Es gilt für den Übergang. Zum Beispiel − 6< − 2 , то 6 > 2 .
- Folgerung 2. Wenn Teile einer numerischen Ungleichung durch die entgegengesetzten Zahlen ersetzt werden, ändert sich auch deren Vorzeichen und die Ungleichung bleibt wahr. Daher haben wir, dass a und b positive Zahlen sind, a< b , 1 a >1 b .
Bei der Division beider Seiten der Ungleichung a< b разрешается на число a · b . Данное свойство используется при верном неравенстве 5 >3 2 wir haben das 1 5< 2 3 . При отрицательных a и b c условием, что a < b , неравенство 1 a >1 b ist möglicherweise falsch.
Beispiel 5
Zum Beispiel − 2< 3 , однако, - 1 2 >1 3 sind eine falsche Gleichung.
Alle Punkte sind sich darin einig, dass Aktionen auf Teile der Ungleichung am Ausgang die richtige Ungleichung ergeben. Betrachten wir Eigenschaften, bei denen zunächst mehrere numerische Ungleichungen vorliegen und deren Ergebnis durch Addition oder Multiplikation ihrer Teile erhalten wird.
Definition 9
Wenn die Zahlen a, b, c, d für Ungleichungen a gültig sind< b и c < d , тогда верным считается a + c < b + d . Свойство можно формировать таким образом: почленно складывать числа частей неравенства.
Beweis 4
Beweisen wir, dass (a + c) − (b + d) eine negative Zahl ist, dann erhalten wir a + c< b + d . Из условия имеем, что a < b и c < d . Выше доказанное свойство позволяет прибавлять к обеим частям одинаковое число. Тогда увеличим неравенство a < b на число b , при c < d , получим неравенства вида a + c < b + c и b + c < b + d . Полученное неравенство говорит о том, что ему присуще свойство транзитивности.
Die Eigenschaft wird für die Term-für-Term-Addition von drei, vier oder mehr numerischen Ungleichungen verwendet. Die Zahlen a 1 , a 2 , … , a n und b 1 , b 2 , … , b n erfüllen die Ungleichungen a 1< b 1 , a 2 < b 2 , … , a n < b n , можно доказать метод математической индукции, получив a 1 + a 2 + … + a n < b 1 + b 2 + … + b n .
Beispiel 6
Zum Beispiel, wenn drei numerische Ungleichungen mit demselben Vorzeichen gegeben sind – 5< − 2 , − 1 < 12 и 3 < 4 . Свойство позволяет определять то, что − 5 + (− 1) + 3 < − 2 + 12 + 4 является верным.
Definition 10
Termweise Multiplikation beider Seiten ergibt eine positive Zahl. Wenn ein< b и c < d , где a , b , c и d являются положительными числами, тогда неравенство вида a · c < b · d считается справедливым.
Beweis 5
Um dies zu beweisen, benötigen wir beide Seiten der Ungleichung a< b умножить на число с, а обе части c < d на b . В итоге получим, что неравенства a · c < b · c и b · c < b · d верные, откуда получим свойство транизитивности a · c < b · d .
Diese Eigenschaft gilt als gültig für die Anzahl der Zahlen, mit denen beide Seiten der Ungleichung multipliziert werden müssen. Dann a 1 , a 2 , … , a n Und b 1, b 2, …, b n sind positive Zahlen, wobei eine 1< b 1 , a 2 < b 2 , … , a n < b n , то a 1 · a 2 · … · a n< b 1 · b 2 · … · b n .
Beachten Sie, dass beim Schreiben von Ungleichungen nicht positive Zahlen vorliegen und deren Term-für-Term-Multiplikation zu falschen Ungleichungen führt.
Beispiel 7
Zum Beispiel Ungleichung 1< 3 и − 5 < − 4 являются верными, а почленное их умножение даст результат в виде 1 · (− 5) < 3 · (− 4) , считается, что − 5 < − 12 это является неверным неравенством.
Folge: Termweise Multiplikation von Ungleichungen a< b с положительными с a и b , причем получается a n < b n .
Eigenschaften numerischer Ungleichungen
Betrachten wir die folgenden Eigenschaften numerischer Ungleichungen.
- A< a , a >a - falsche Ungleichungen,
a ≤ a, a ≥ a sind wahre Ungleichungen. - Wenn ein< b , то b >a - Antisymmetrie.
- Wenn ein< b и b < c то a < c - транзитивность.
- Wenn ein< b и c - любоое число, то a + b < b + c .
- Wenn ein< b и c - положительное число, то a · c < b · c ,
Wenn ein< b и c - отрицательное число, то a · c >v. Chr.
Folgerung 1: wenn ein< b , то - a >-B.
Folgerung 2: wenn a und b positive Zahlen sind und a< b , то 1 a >1 b .
- Wenn eine 1< b 1 , a 2 < b 2 , . . . , a n < b n , то a 1 + a 2 + . . . + a n < b 1 + b 2 + . . . + b n .
- Wenn a 1 , a 2 , . . . , a n , b 1 , b 2 , . . . , b n sind positive Zahlen und a 1< b 1 , a 2 < b 2 , . . . , a n < b n , то a 1 · a 2 · . . . · a n < b 1 · b 2 · . . . b n .
Folgerung 1: Wenn A< b , a Und B positive Zahlen sind, dann ein n< b n .
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Lektion und Präsentation zum Thema: „Grundlegende Eigenschaften numerischer Ungleichungen und Methoden zu ihrer Lösung.“
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Kombinatorik und Wahrscheinlichkeitstheorie Gleichungen und Ungleichungen
Einführung in numerische Ungleichungen
Leute, wir sind zum Beispiel bereits auf Ungleichungen gestoßen, als wir anfingen, uns mit dem Konzept der Quadratwurzel vertraut zu machen. Mithilfe von Ungleichungen können Sie intuitiv abschätzen, welche der gegebenen Zahlen größer oder kleiner ist. Für eine mathematische Beschreibung reicht es aus, ein spezielles Symbol hinzuzufügen, das entweder mehr oder weniger bedeutet.Das Schreiben des Ausdrucks $a>b$ in mathematischer Sprache bedeutet, dass die Zahl $a$ größer als die Zahl $b$ ist. Dies bedeutet wiederum, dass $a-b$ eine positive Zahl ist. Wie fast alle mathematischen Objekte haben Ungleichungen bestimmte Eigenschaften. Wir werden diese Eigenschaften in dieser Lektion untersuchen. Eigentum 1. Nachweisen. Diese Eigenschaft lässt sich anhand eines Zahlenstrahls deutlicher darstellen. Wenn $a>b$, dann liegt die Zahl $a$ auf der Zahlengeraden rechts von $b$. Wenn also $b>c$, dann liegt die Zahl $b$ rechts von der Zahl $c$. Eigentum 2. Eigentum 3. Eigentum 4. Nachweisen. Eigentum 5. Nachweisen. Definition. Dann kann Eigenschaft 5 umformuliert werden. Wenn man Ungleichungen gleicher Bedeutung multipliziert, deren linke und rechte Seite positiv sind, erhält man eine Ungleichung gleicher Bedeutung. Eigentum 6. Eigentum 7. Nachweisen. Wir wissen, dass $a-b$ eine positive Zahl ist und das Produkt zweier positiver Zahlen ebenfalls eine positive Zahl ist, d. h. $ab>0$. Eigentum 8. Nachweisen. Eigentum 9. Cauchysche Ungleichung (das arithmetische Mittel ist größer oder gleich dem geometrischen Mittel). Nachweisen. Lösung. B) Verwenden wir Eigenschaft 3. Multiplizieren Sie mit einer negativen Zahl, was bedeutet, dass sich das Vorzeichen der Ungleichung ändert. D) Multiplizieren Sie alle Teile der Ungleichung $3,1 D) Alle Teile der Ungleichung sind positiv, quadrieren wir sie, erhalten wir eine Ungleichung mit derselben Bedeutung. E) Der Grad der Ungleichheit ist ungerade, dann können Sie ihn getrost potenzieren, ohne das Vorzeichen zu ändern. G) Lassen Sie uns Eigenschaft 7 verwenden. Beispiel 2. Lösung. Die Menge aller reellen Zahlen lässt sich als Vereinigung dreier Mengen darstellen: der Menge der positiven Zahlen, der Menge der negativen Zahlen und der Menge bestehend aus einer Zahl – der Zahl Null. Um anzuzeigen, dass die Nummer A positiv, nutzen Sie die Aufnahme a > 0, um eine negative Zahl anzuzeigen, verwenden Sie eine andere Notation A< 0
. Summe und Produkt positiver Zahlen sind ebenfalls positive Zahlen. Wenn die Nummer A negativ, dann die Zahl -A positiv (und umgekehrt). Zu jeder positiven Zahl a gibt es eine positive rationale Zahl R, Was R< а
. Diese Tatsachen liegen der Theorie der Ungleichheiten zugrunde. Per Definition ist die Ungleichung a > b (oder, was dasselbe ist, b).< a) имеет место в том и только в том случае, если а - b >0, d. h. wenn die Zahl a - b positiv ist. Betrachten Sie insbesondere die Ungleichheit A< 0
. Was bedeutet diese Ungleichheit? Nach der obigen Definition bedeutet es das 0 - a > 0, d.h. -a > 0 oder mit anderen Worten, was ist die Zahl? -A positiv. Dies geschieht aber genau dann, wenn die Zahl A Negativ. Also Ungleichheit A< 0
bedeutet, dass die Zahl aber negativ. Auch die Schreibweise wird häufig verwendet ab(oder, was dasselbe ist, ba). (a b) [(a > b) V (a = b)] Beispiel 1. Sind die Ungleichungen 5 0, 0 0 wahr? Die Ungleichung 5 0 ist eine komplexe Aussage, die aus zwei einfachen Aussagen besteht, die durch die logische Verknüpfung „oder“ (Disjunktion) verbunden sind. Entweder 5 > 0 oder 5 = 0. Die erste Aussage 5 > 0 ist wahr, die zweite Aussage 5 = 0 ist falsch. Nach der Definition einer Disjunktion ist eine solch komplexe Aussage wahr. Der Eintrag 00 wird ähnlich besprochen. Ungleichungen der Form a > b, a< b
wir nennen sie streng und Ungleichungen der Form ab, ab- nicht streng. Ungleichheiten a > b Und c > d(oder A< b
Und Mit< d
) werden Ungleichungen gleicher Bedeutung und Ungleichungen genannt a > b Und C< d
- Ungleichheiten mit entgegengesetzter Bedeutung. Beachten Sie, dass sich diese beiden Begriffe (Ungleichungen gleicher und entgegengesetzter Bedeutung) nur auf die Schreibweise der Ungleichungen beziehen und nicht auf die Tatsachen selbst, die durch diese Ungleichungen ausgedrückt werden. Also in Bezug auf Ungleichheit A< b
Ungleichheit Mit< d
ist eine Ungleichung gleicher Bedeutung und in der Notation d>c(bedeutet das Gleiche) – eine Ungleichheit mit entgegengesetzter Bedeutung. Zusammen mit Ungleichungen der Form a>b, ab Es werden sogenannte doppelte Ungleichungen verwendet, also Ungleichungen der Form A< с < b
, ac< b
, A< cb
, A< с < b
(1) A< с
Und Mit< b.
Die Ungleichungen haben eine ähnliche Bedeutung acb, ac< b, а < сb.
Doppelte Ungleichung (1) kann wie folgt geschrieben werden: (A< c < b) [(a < c) & (c < b)] und doppelte Ungleichheit a ≤ c ≤ b kann in folgender Form geschrieben werden: (a c b) [(a< c)V(a = c) & (c < b)V(c = b)] Fahren wir nun mit der Darstellung der grundlegenden Eigenschaften und Handlungsregeln für Ungleichungen fort, nachdem wir uns in diesem Artikel auf die Buchstaben geeinigt haben a, b, c stehen für reelle Zahlen und N bedeutet natürliche Zahl. 1) Wenn a > b und b > c, dann a > c (Transitivität). Nachweisen. Da nach Bedingung a > b Und b > c, dann die Zahlen a - b Und b - c positiv sind, und daher die Zahl a - c = (a - b) + (b - c) ist als Summe positiver Zahlen ebenfalls positiv. Das bedeutet per Definition, dass a > c. 2) Wenn a > b, dann gilt für jedes c die Ungleichung a + c > b + c. Nachweisen. Als a > b, dann die Zahl a - b positiv. Daher die Zahl (a + c) – (b + c) = a + c – b – c = a – b ist auch positiv, d.h. 3) Wenn a + b > c, dann a > b - c, das heißt, jeder Term kann von einem Teil der Ungleichung auf einen anderen übertragen werden, indem das Vorzeichen dieses Termes in das Gegenteil geändert wird. Der Beweis folgt aus Eigenschaft 2) es genügt für beide Seiten der Ungleichung a + b > c Nummer hinzufügen - B. 4) Wenn a > b und c > d, dann a + c > b + d, das heißt, wenn man zwei Ungleichungen derselben Bedeutung addiert, erhält man eine Ungleichung derselben Bedeutung. Nachweisen. Aufgrund der Definition von Ungleichheit reicht es aus, den Unterschied zu zeigen Folge. Aus den Regeln 2) und 4) folgt die folgende Regel zum Subtrahieren von Ungleichungen: if a > b, c > d, Das a - d > b - c(Zum Beweis genügt es, beide Seiten der Ungleichung anzuwenden a + c > b + d Nummer hinzufügen - CD). 5) Wenn a > b, dann gilt für c > 0 ac > bc und für c< 0 имеем ас < bc.
Mit anderen Worten: Bei der Multiplikation beider Seiten einer Ungleichung mit einer positiven Zahl bleibt das Ungleichheitszeichen erhalten (d. h. man erhält eine Ungleichung mit der gleichen Bedeutung), bei der Multiplikation mit einer negativen Zahl ändert sich das Ungleichheitszeichen jedoch ins Gegenteil (d. h. es ergibt sich eine Ungleichung der gegenteiligen Bedeutung. Nachweisen. Wenn a > b, Das a - b ist eine positive Zahl. Daher das Vorzeichen der Differenz AC-BC = Taxi) entspricht dem Vorzeichen der Zahl Mit: Wenn Mit eine positive Zahl ist, dann die Differenz AC - BC ist positiv und daher ac > bс, und wenn Mit< 0
, dann ist dieser Unterschied negativ und daher v. Chr. - Wechselstrom positiv, d.h. v. Chr. > ac. 6) Wenn a > b > 0 und c > d > 0, dann ac > bd, das heißt, wenn alle Terme zweier Ungleichungen gleicher Bedeutung positiv sind, dann erhält man durch Multiplikation dieser Ungleichungen Term für Term eine Ungleichung gleicher Bedeutung. Nachweisen. Wir haben ac - bd = ac - bc + bc - bd = c(a - b) + b(c - d). Als c > 0, b > 0, a - b > 0, c - d > 0, dann ac - bd > 0, d. h. ac > bd. Kommentar. Aus dem Beweis geht hervor, dass die Bedingung vorliegt d > 0 in der Formulierung der Eigenschaft 6) ist unwichtig: Für die Gültigkeit dieser Eigenschaft reicht es aus, dass die Bedingungen erfüllt sind a > b > 0, c > d, c > 0. Wenn (wenn die Ungleichungen erfüllt sind a > b, c > d) Zahlen a, b, c Wird nicht alles positiv sein, dann die Ungleichheit ac > bd möglicherweise nicht erfüllt. Zum Beispiel wann A = 2, B =1, C= -2, D= -3 haben wir a > b, c > D, aber Ungleichheit ac > bd(d. h. -4 > -3) ist fehlgeschlagen. Daher ist die Forderung, dass die Zahlen a, b, c positiv sein müssen, bei der Formulierung der Eigenschaft 6) wesentlich. 7) Wenn a ≥ b > 0 und c > d > 0, dann (Division der Ungleichungen). Nachweisen. Wir haben Kommentar. Beachten wir einen wichtigen Sonderfall der Regel 7), der für a = b = 1 gilt: Wenn c > d > 0, dann. Wenn also die Terme der Ungleichung positiv sind, erhalten wir beim Übergang zu den Kehrwerten eine Ungleichung mit entgegengesetzter Bedeutung. Wir laden die Leser ein, zu überprüfen, ob diese Regel auch gilt in 7) Wenn ab > 0 und c > d > 0, dann (Division von Ungleichungen). Nachweisen. Das. Wir haben oben mehrere Eigenschaften von Ungleichungen bewiesen, die mit dem Zeichen geschrieben wurden >
(mehr). Alle diese Eigenschaften könnten jedoch mit dem Zeichen formuliert werden <
(weniger), da Ungleichheit B< а
bedeutet per Definition dasselbe wie Ungleichheit a > b. Darüber hinaus bleiben die oben bewiesenen Eigenschaften, wie leicht zu überprüfen ist, auch für nichtstrikte Ungleichungen erhalten. Eigenschaft 1) für nichtstrikte Ungleichungen hat beispielsweise die folgende Form: if ab und bc, Das ac. Natürlich schränkt das oben Gesagte die allgemeinen Eigenschaften von Ungleichungen nicht ein. Darüber hinaus gibt es eine ganze Reihe allgemeiner Ungleichungen im Zusammenhang mit der Berücksichtigung von Potenz-, Exponential-, Logarithmus- und trigonometrischen Funktionen. Der allgemeine Ansatz zum Schreiben dieser Art von Ungleichungen ist wie folgt. Wenn einige funktionieren y = f(x) steigt monoton auf dem Segment an [a, b], dann gilt für x 1 > x 2 (wobei x 1 und x 2 zu diesem Segment gehören) f (x 1) > f(x 2). Ebenso, wenn die Funktion y = f(x) nimmt im Intervall monoton ab [a, b], dann wenn x 1 > x 2 (wo x 1 Und X 2 gehören zu diesem Segment) haben wir f(x 1)< f(x 2
). Natürlich unterscheidet sich das Gesagte nicht von der Definition der Monotonie, aber diese Technik eignet sich sehr gut zum Auswendiglernen und Schreiben von Ungleichungen. Also zum Beispiel für jede natürliche Zahl n die Funktion y = x n nimmt entlang des Strahls monoton zu , das ist die Menge der Lösungen des Ungleichheitssystems. 5. Lösung rationaler Ungleichungen mit der Intervallmethode Die Intervallmethode basiert auf der folgenden Eigenschaft des Binomials ( Ha): Punkt x=α teilt den Zahlenstrahl in zwei Teile – rechts vom Punkt α
Binomial- (x‑α)>0, und links vom Punkt α (x-α) . Angenommen, wir müssen die Ungleichung lösen (x-α 1)(x-α 2)...(x-α n)>0, wobei α 1, α 2 ...α n-1, α n feste Zahlen sind, unter denen es keine Gleichen gibt, und so dass α 1 (x-α 1)(x-α 2)...(x ‑ α n)>0 mit der Intervallmethode gehen Sie wie folgt vor: Auf der Zahlenachse werden die Zahlen α 1, α 2 ...α n-1, α n aufgetragen; im Intervall rechts vom größten von ihnen, d.h. Zahlen αn, setzen Sie ein „Plus“-Zeichen, setzen Sie in das darauf folgende Intervall von rechts nach links ein „Minus“-Zeichen, dann ein „Plus“-Zeichen, dann ein „Minus“-Zeichen usw. Dann die Menge aller Lösungen der Ungleichung (x-α 1)(x‑α 2)...(x-α n)>0 ist die Vereinigung aller Intervalle, in denen das Pluszeichen steht, und die Menge der Lösungen der Ungleichung (x-α 1)(x-α 2)...(x‑α n) ist die Vereinigung aller Intervalle, in denen das Minuszeichen steht. 1) Die Lösung rationaler Ungleichungen (d. h. Ungleichungen der Form P(x) Q(x), bei denen es sich um Polynome handelt) basiert auf der folgenden Eigenschaft einer stetigen Funktion: Wenn eine stetige Funktion an den Punkten x1 und x2 verschwindet (x1;x2 ) und zwischen diesen Punkten keine anderen Wurzeln hat, dann behält die Funktion in den Intervallen (x1; x2) ihr Vorzeichen. Um daher Intervalle mit konstantem Vorzeichen der Funktion y=f(x) auf der Zahlengeraden zu finden, markieren Sie alle Punkte, an denen die Funktion f(x) verschwindet oder eine Diskontinuität aufweist. Diese Punkte unterteilen die Zahlengeraden in mehrere Intervalle, in denen die Funktion f(x) stetig ist und nicht verschwindet, d. h. speichert das Zeichen. Um dieses Vorzeichen zu bestimmen, reicht es aus, das Vorzeichen der Funktion an einem beliebigen Punkt des betrachteten Intervalls der Zahlengeraden zu finden. 2) Um Intervalle konstanten Vorzeichens einer rationalen Funktion zu bestimmen, d.h. Um eine rationale Ungleichung zu lösen, markieren wir auf der Zahlengeraden die Wurzeln des Zählers und die Wurzeln des Nenners, die auch die Wurzeln und Haltepunkte der rationalen Funktion sind. Lösen von Ungleichungen mit der Intervallmethode Lösung. Der Bereich akzeptabler Werte wird durch das Ungleichungssystem bestimmt: Für die Funktion f(x)= - 20. Finden f(x): Wo X= 29 und X = 13. F(30) = - 20 = 0,3 > 0, F(5) = - 1 - 20 = - 10 Antwort: }
Den Ausdruck $a schreiben
Wenn $a>b$ und $b>c$, dann $a>c$.
Offensichtlich 10 $ > 5 $ und 5 $ > 2 $ und natürlich 10 $ > 2 $. Aber die Mathematik liebt strenge Beweise für den allgemeinsten Fall.
Wenn $a>b$, dann ist $a-b$ eine positive Zahl. Wenn $b>c$, dann ist $b-c$ eine positive Zahl. Addieren wir die beiden resultierenden positiven Zahlen.
$a-b+b-c=a-c$.
Die Summe zweier positiver Zahlen ist eine positive Zahl, aber dann ist $a-c$ auch eine positive Zahl. Daraus folgt, dass $a>c$. Die Eigenschaft ist nachgewiesen.
Wie aus der Abbildung ersichtlich ist, liegt der Punkt $a$ in unserem Fall rechts vom Punkt $c$, was bedeutet, dass $a>c$.
Wenn $a>b$, dann $a+c>b+c$.
Mit anderen Worten: Wenn die Zahl $a$ größer als die Zahl $b$ ist, bleibt auch das Ungleichheitszeichen erhalten, egal welche Zahl wir zu diesen Zahlen addieren (positiv oder negativ). Diese Eigenschaft ist sehr einfach zu beweisen. Sie müssen eine Subtraktion durchführen. Die hinzugefügte Variable verschwindet und die ursprüngliche Ungleichung ist korrekt.
a) Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einer positiven Zahl multipliziert werden, bleibt das Ungleichheitszeichen erhalten.
Wenn $a>b$ und $c>0$, dann $ac>bc$.
b) Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einer negativen Zahl multipliziert werden, sollte das Vorzeichen der Ungleichung umgekehrt werden.
Wenn $a>b$ und $c Wenn $a
Beim Dividieren sollte man genauso vorgehen (Dividieren durch eine positive Zahl – das Vorzeichen bleibt gleich, Division durch eine negative Zahl – das Vorzeichen ändert sich).
Wenn $a>b$ und $c>d$, dann $a+c>b+d$.
Aus der Bedingung: $a-b$ ist eine positive Zahl und $c-d$ ist eine positive Zahl.
Dann ist die Summe $(a-b)+(c-d)$ ebenfalls eine positive Zahl.
Lassen Sie uns einige Begriffe $(a+c)-(b+d)$ vertauschen.
Durch eine Änderung der Stellen der Begriffe ändert sich die Summe nicht.
Das bedeutet, dass $(a+c)-(b+d)$ eine positive Zahl ist und $a+c>b+d$.
Die Eigenschaft ist nachgewiesen.
Wenn $a, b ,c, d$ positive Zahlen sind und $a>b$, $c>d$, dann $ac>bd$.
Da $a>b$ und $c>0$ sind, gilt unter Verwendung von Eigenschaft 3 $ac>bc$.
Da $c>d$ und $b>0$ sind, gilt unter Verwendung von Eigenschaft 3 $cb>bd$.
Also $ac>bc$ und $bc >bd$.
Dann erhalten wir unter Verwendung von Eigenschaft 1 $ac>bd$. Q.E.D.
Ungleichungen der Form $a>b$ und $c>d$ ($a
Wenn $a>b$ ($a>0$, $b>0$), dann $a^n>b^n$, wobei $n$ eine beliebige natürliche Zahl ist.
Wenn beide Seiten der Ungleichung positive Zahlen sind und auf die gleiche natürliche Potenz erhoben werden, erhält man eine Ungleichung mit derselben Bedeutung.
Hinweis: Wenn $n$ eine ungerade Zahl ist, dann ist Eigenschaft 6 für Zahlen $a$ und $b$ mit beliebigem Vorzeichen erfüllt.
Wenn $a>b$ ($a>0$, $b>0$), dann $\frac(1)(a)
Um diese Eigenschaft zu beweisen, ist es notwendig, $\frac(1)(a)-\frac(1)(b)$ zu subtrahieren, um eine negative Zahl zu erhalten.
$\frac(1)(a)-\frac(1)(b)=\frac(b-a)(ab)=\frac(-(a-b))(ab)$.
Dann ist $\frac(-(a-b))(ab)$ eine negative Zahl. Die Eigenschaft ist nachgewiesen.
Wenn $a>0$, dann gilt die folgende Ungleichung: $a+\frac(1)(a)≥2$.
Betrachten wir den Unterschied.
$a+\frac(1)(a)-2=\frac(a^2-2a+1)(a)=\frac((a-1)^2)(a)$ ist eine nicht negative Zahl.
Die Eigenschaft ist nachgewiesen.
Wenn $a$ und $b$ nicht negative Zahlen sind, dann gilt die Ungleichung: $\frac(a+b)(2)≥\sqrt(ab)$.
Betrachten wir den Unterschied:
$\frac(a+b)(2)-\sqrt(ab)=\frac(a-2\sqrt(ab)+b)(2)=\frac((\sqrt(a)-\sqrt(b ))^2)(2)$ ist eine nicht negative Zahl.
Die Eigenschaft ist nachgewiesen.Beispiele für die Lösung von Ungleichungen
Beispiel 1.
Es ist bekannt, dass $-1,5
b) $-2b$.
c) $a+b$.
d) $a-b$.
e) $b^2$.
e) $a^3$.
g) $\frac(1)(b)$.
a) Verwenden wir Eigenschaft 3. Multiplizieren Sie mit einer positiven Zahl, was bedeutet, dass sich das Ungleichheitszeichen nicht ändert.
$-1.5*3
$-2*3,1>-2*b>-2*5,3$.
$-10.3
c) Addiert man Ungleichungen gleicher Bedeutung, so erhält man eine Ungleichung gleicher Bedeutung.
$-1.5+3.1
Führen wir nun die Additionsoperation durch.
$-1.5-5.3
${3.1}^2
${(-1.5)}^3
$\frac(1)(5.3)<\frac{1}{b}<\frac{1}{3.1}$.
$\frac(10)(53)<\frac{1}{b}<\frac{10}{31}$.
Vergleichen Sie die Zahlen:
a) $\sqrt(5)+\sqrt(7)$ und $2+\sqrt(8)$.
b) $π+\sqrt(8)$ und $4+\sqrt(10)$.
a) Quadrieren wir jede Zahl.
$(\sqrt(5)+\sqrt(7))^2=5+2\sqrt(35)+7=12+\sqrt(140)$.
$(2+\sqrt(8))^2=4+4\sqrt(8)+8=12+\sqrt(128)$.
Berechnen wir die Differenz zwischen den Quadraten dieser Quadrate.
$(\sqrt(5)+\sqrt(7))^2-(2+\sqrt(8))^2=12+\sqrt(140)-12-\sqrt(128)=\sqrt(140) -\sqrt(128)$.
Offensichtlich haben wir eine positive Zahl erhalten, was bedeutet:
$(\sqrt(5)+\sqrt(7))^2>(2+\sqrt(8))^2$.
Da beide Zahlen positiv sind, gilt:
$\sqrt(5)+\sqrt(7)>2+\sqrt(8)$.Probleme, die selbstständig gelöst werden müssen
1. Es ist bekannt, dass $-2,2
a) 4a$.
b) $-3b$.
c) $a+b$.
d) $a-b$.
e) $b^4$.
e) $a^3$.
g) $\frac(1)(b)$.
2. Vergleichen Sie die Zahlen:
a) $\sqrt(6)+\sqrt(10)$ und $3+\sqrt(7)$.
b) $π+\sqrt(5)$ und $2+\sqrt(3)$.
Aufzeichnen ab bedeutet per Definition entweder a > b, oder a = b. Wenn wir den Rekord betrachten ab als unbestimmte Aussage, dann können wir in der Notation der mathematischen Logik schreiben
Acb. Per Definition ein Rekord
bedeutet, dass beide Ungleichungen gelten:
a + c > b + c.
(a + c) - (b + c) positiv. Dieser Unterschied kann wie folgt geschrieben werden:
(a + c) - (b + d) = (a - b) + (c - d).
Da je nach Zustand der Nummer a - b Und CD sind also positiv (a + c) - (b + d) es gibt auch eine positive Zahl.
Der Zähler des Bruchs auf der rechten Seite ist positiv (siehe Eigenschaften 5), 6)), der Nenner ist ebenfalls positiv. Somit,. Damit ist Eigenschaft 7) bewiesen.
