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Beweis, dass die Mittellinie eines Trapezes parallel zu den Basen verläuft. Diagonalen eines Trapezes

\[(\Large(\text(Freies Trapez)))\]

Definitionen

Ein Trapez ist ein konvexes Viereck, bei dem zwei Seiten parallel und die anderen beiden Seiten nicht parallel sind.

Die parallelen Seiten eines Trapezes werden als Basen bezeichnet, die anderen beiden Seiten als laterale Seiten.

Die Höhe eines Trapezes ist die Senkrechte, die von einem beliebigen Punkt einer Basis zu einer anderen Basis gezogen wird.

Sätze: Eigenschaften eines Trapezes

1) Die Summe der Winkel an der Seite beträgt $180^\circ$ .

2) Die Diagonalen teilen das Trapez in vier Dreiecke, von denen zwei ähnlich und die anderen beiden gleich groß sind.

Nachweisen

1) Weil $AD\parallel BC$, dann sind die Winkel $\angle BAD$ und $\angle ABC$ für diese Geraden und die Transversallinie $AB$ einseitig, also $\angle BAD +\angle ABC=180^\circ$.

2) Weil $AD\parallel BC$ und $BD$ eine Sekante sind, dann liegt $\angle DBC=\angle BDA$ kreuzweise.
Auch $\angle BOC=\angle AOD$ als vertikal.
Daher in zwei Winkeln $\triangle BOC \sim \triangle AOD$.

Lasst uns das beweisen $S_(\triangle AOB)=S_(\triangle COD)$. Sei $h$ die Höhe des Trapezes. Dann $S_(\triangle ABD)=\frac12\cdot h\cdot AD=S_(\triangle ACD)$. Dann: \

Definition

Die Mittellinie eines Trapezes ist ein Segment, das die Mittelpunkte der Seiten verbindet.

Satz

Die Mittellinie des Trapezes verläuft parallel zu den Basen und entspricht deren Halbsumme.

Nachweisen*

1) Lassen Sie uns die Parallelität beweisen.

Zeichnen wir durch den Punkt $M$ die Gerade $MN"\parallel AD$ ($N"\in CD$ ). Dann, nach dem Satz von Thales (seit $MN"\parallel AD\parallel BC, AM=MB$) Punkt $N"$ ist die Mitte des Segments $CD$. Dies bedeutet, dass die Punkte $N$ und $N"$ zusammenfallen.

2) Lassen Sie uns die Formel beweisen.

Machen wir $BB"\perp AD, CC"\perp AD$ . Lassen $BB"\cap MN=M", CC"\cap MN=N"$.

Dann sind nach dem Satz von Thales $M"$ und $N"$ die Mittelpunkte der Segmente $BB"$ bzw. $CC"$. Das bedeutet, dass $MM"$ die Mittellinie von $\triangle ABB"$ ist, $NN"$ die Mittellinie von $\triangle DCC"$ ist. Deshalb: \

Weil $MN\parallel AD\parallel BC$ und $BB", CC"\perp AD$, dann sind $B"M"N"C$ und $BM"N"C$ Rechtecke. Nach dem Satz von Thales folgt aus $MN\parallel AD$ und $AM=MB$ $B"M"=M"B$. Daher ist $B"M"N"C "$ und $BM"N"C$ sind gleiche Rechtecke, daher gilt $M"N"=B"C"=BC$ .

Auf diese Weise:

\ \[=\dfrac12 \left(AB"+B"C"+BC+C"D\right)=\dfrac12\left(AD+BC\right)\]

Satz: Eigenschaft eines beliebigen Trapezes

Die Mittelpunkte der Grundflächen, der Schnittpunkt der Diagonalen des Trapezes und der Schnittpunkt der Verlängerungen der Seitenflächen liegen auf derselben Geraden.

Nachweisen*
Es wird empfohlen, sich nach dem Studium des Themas „Ähnlichkeit von Dreiecken“ mit dem Beweis vertraut zu machen.

1) Beweisen wir, dass die Punkte $P$ , $N$ und $M$ auf derselben Geraden liegen.

Zeichnen wir eine gerade Linie $PN$ ($P$ ist der Schnittpunkt der Verlängerungen der Seitenflächen, $N$ ist die Mitte von $BC$). Es soll die Seite $AD$ im Punkt $M$ schneiden. Beweisen wir, dass $M$ der Mittelpunkt von $AD$ ist.

Betrachten Sie $\triangle BPN$ und $\triangle APM$. Sie sind in zwei Winkeln ähnlich ($\angle APM$ – allgemein, $\angle PAM=\angle PBN$ entsprechend bei $AD\parallel BC$ und $AB$ Sekante). Bedeutet: \[\dfrac(BN)(AM)=\dfrac(PN)(PM)\]

Betrachten Sie $\triangle CPN$ und $\triangle DPM$. Sie sind in zwei Winkeln ähnlich ($\angle DPM$ – allgemein, $\angle PDM=\angle PCN$ entsprechend bei $AD\parallel BC$ und $CD$ Sekante). Bedeutet: \[\dfrac(CN)(DM)=\dfrac(PN)(PM)\]

Von hier $\dfrac(BN)(AM)=\dfrac(CN)(DM)$. Aber $BN=NC$ also $AM=DM$ .

2) Beweisen wir, dass die Punkte $N, O, M$ auf derselben Geraden liegen.

Sei $N$ der Mittelpunkt von $BC$ und $O$ der Schnittpunkt der Diagonalen. Zeichnen wir eine gerade Linie $NO$ , sie schneidet die Seite $AD$ im Punkt $M$ . Beweisen wir, dass $M$ der Mittelpunkt von $AD$ ist.

$\triangle BNO\sim \triangle DMO$ entlang zweier Winkel ($\angle OBN=\angle ODM$, die kreuzweise bei $BC\parallel AD$ und $BD$ Sekante liegen; $\angle BON=\angle DOM$ als Vertikale). Bedeutet: \[\dfrac(BN)(MD)=\dfrac(ON)(OM)\]

Ebenfalls $\triangle CON\sim \triangle AOM$. Bedeutet: \[\dfrac(CN)(MA)=\dfrac(ON)(OM)\]

Von hier $\dfrac(BN)(MD)=\dfrac(CN)(MA)$. Aber $BN=CN$ also $AM=MD$ .

\[(\Large(\text(Gleichschenkliges Trapez)))\]

Definitionen

Ein Trapez heißt rechteckig, wenn einer seiner Winkel richtig ist.

Ein Trapez heißt gleichschenklig, wenn seine Seiten gleich sind.

Sätze: Eigenschaften eines gleichschenkligen Trapezes

1) Ein gleichschenkliges Trapez hat gleiche Basiswinkel.

2) Die Diagonalen eines gleichschenkligen Trapezes sind gleich.

3) Zwei Dreiecke, die aus Diagonalen und einer Basis bestehen, sind gleichschenklig.

Nachweisen

1) Betrachten Sie das gleichschenklige Trapez $ABCD$.

Von den Eckpunkten $B$ und $C$ lassen wir die Senkrechten $BM$ und $CN$ zur Seite $AD$ fallen. Da $BM\perp AD$ und $CN\perp AD$ , dann ist $BM\parallel CN$ ; $AD\parallel BC$ , dann ist $MBCN$ ein Parallelogramm, daher ist $BM = CN$ .

Betrachten Sie die rechtwinkligen Dreiecke $ABM$ und $CDN$. Da ihre Hypotenusen gleich sind und der Schenkel $BM$ gleich dem Schenkel $CN$ ist, sind diese Dreiecke gleich, daher gilt $\angle DAB = \angle CDA$.

Weil $AB=CD, \angle A=\angle D, AD$- allgemein, dann entsprechend dem ersten Zeichen. Daher ist $AC=BD$ .

3) Weil $\triangle ABD=\triangle ACD$, dann $\angle BDA=\angle CAD$ . Daher ist das Dreieck $\triangle AOD$ gleichschenklig. Ebenso wird bewiesen, dass $\triangle BOC$ gleichschenklig ist.

Sätze: Zeichen eines gleichschenkligen Trapezes

1) Wenn ein Trapez gleiche Grundwinkel hat, dann ist es gleichschenklig.

2) Wenn ein Trapez gleiche Diagonalen hat, dann ist es gleichschenklig.

Nachweisen

Betrachten Sie das Trapez $ABCD$ mit $\angle A = \angle D$ .

Vervollständigen wir das Trapez zum Dreieck $AED$, wie in der Abbildung gezeigt. Da $\angle 1 = \angle 2$ ist, ist das Dreieck $AED$ gleichschenklig und $AE = ED$ . Die Winkel $1$ und $3$ sind gleich wie entsprechende Winkel für Parallellinien $AD$ und $BC$ und Querlinien $AB$. Ebenso sind die Winkel $2$ und $4$ gleich, aber $\angle 1 = \angle 2$. $\angle 3 = \angle 1 = \angle 2 = \angle 4$, daher ist das Dreieck $BEC$ auch gleichschenklig und $BE = EC$ .

Zusammenfassend $AB = AE - BE = DE - CE = CD$, also $AB = CD$, was bewiesen werden musste.

2) Sei $AC=BD$. Weil $\triangle AOD\sim \triangle BOC$, dann bezeichnen wir ihren Ähnlichkeitskoeffizienten als $k$ . Wenn dann $BO=x$ , dann $OD=kx$ . Ähnlich wie $CO=y \Rightarrow AO=ky$ .

Weil $AC=BD$ , dann $x+kx=y+ky \Rightarrow x=y$ . Das bedeutet, dass $\triangle AOD$ gleichschenklig ist und $\angle OAD=\angle ODA$ .

Also nach dem ersten Zeichen $\triangle ABD=\triangle ACD$ ($AC=BD, \angle OAD=\angle ODA, AD$- allgemein). Also, $AB=CD$ , warum.

Die Strecke, die die Mittelpunkte der Diagonalen eines Trapezes verbindet, ist gleich der halben Differenz der Grundflächen
Dreiecke, die durch die Basen eines Trapezes gebildet werden, und die Segmente der Diagonalen bis zu ihrem Schnittpunkt sind ähnlich
Dreiecke, die aus Segmenten der Diagonalen eines Trapezes gebildet werden, deren Seiten auf den Seiten des Trapezes liegen, sind gleich groß (haben die gleiche Fläche)
Wenn Sie die Seiten des Trapezes in Richtung der kleineren Basis verlängern, schneiden sie sich in einem Punkt mit der geraden Linie, die die Mittelpunkte der Basen verbindet
Ein Segment, das die Basen eines Trapezes verbindet und durch den Schnittpunkt der Diagonalen des Trapezes verläuft, wird durch diesen Punkt im Verhältnis geteilt, das dem Verhältnis der Längen der Basen des Trapezes entspricht
Ein Segment parallel zu den Basen des Trapezes, das durch den Schnittpunkt der Diagonalen gezogen wird, wird durch diesen Punkt in zwei Hälften geteilt, und seine Länge ist gleich 2ab/(a + b), wobei a und b die Basen des Trapezes sind Trapez

Eigenschaften eines Segments, das die Mittelpunkte der Diagonalen eines Trapezes verbindet

Verbinden wir die Mittelpunkte der Diagonalen des Trapezes ABCD, wodurch wir ein Segment LM erhalten.
Ein Segment, das die Mittelpunkte der Diagonalen eines Trapezes verbindet liegt auf der Mittellinie des Trapezes.

Dieses Segment parallel zur Basis des Trapezes.

Die Länge des Segments, das die Mittelpunkte der Diagonalen eines Trapezes verbindet, ist gleich der Hälfte der Differenz seiner Basen.

LM = (AD - BC)/2
oder
LM = (a-b)/2

Eigenschaften von Dreiecken, die durch die Diagonalen eines Trapezes gebildet werden

Dreiecke, die durch die Basen eines Trapezes und den Schnittpunkt der Diagonalen des Trapezes gebildet werden - sind ähnlich.
Die Dreiecke BOC und AOD sind ähnlich. Da die Winkel BOC und AOD vertikal sind, sind sie gleich.
Die Winkel OCB und OAD sind kreuzweise liegende Innenwinkel mit Parallellinien AD und BC (die Basen des Trapezes sind parallel zueinander) und einer Sekantenlinie AC, daher sind sie gleich.
Die Winkel OBC und ODA sind aus dem gleichen Grund gleich (intern kreuzweise).

Da alle drei Winkel eines Dreiecks gleich den entsprechenden Winkeln eines anderen Dreiecks sind, sind diese Dreiecke ähnlich.

Was folgt daraus?

Um Probleme in der Geometrie zu lösen, wird die Ähnlichkeit von Dreiecken wie folgt genutzt. Wenn wir die Längen zweier entsprechender Elemente ähnlicher Dreiecke kennen, ermitteln wir den Ähnlichkeitskoeffizienten (wir dividieren das eine durch das andere). Von hier aus sind die Längen aller anderen Elemente im exakt gleichen Verhältnis zueinander.

Eigenschaften von seitlich liegenden Dreiecken und Diagonalen eines Trapezes

Betrachten Sie zwei Dreiecke, die auf den Seiten des Trapezes AB und CD liegen. Dies sind die Dreiecke AOB und COD. Trotz der Tatsache, dass die Größen der einzelnen Seiten dieser Dreiecke völlig unterschiedlich sein können, aber Die Flächen der Dreiecke, die durch die Seitenflächen und den Schnittpunkt der Diagonalen des Trapezes gebildet werden, sind gleich, das heißt, die Dreiecke sind gleich groß.

Wenn wir die Seiten des Trapezes zur kleineren Basis hin verlängern, ergibt sich der Schnittpunkt der Seiten fallen mit einer geraden Linie zusammen, die durch die Mitte der Basen verläuft.

Somit kann jedes Trapez zu einem Dreieck erweitert werden. Dabei:

Dreiecke, die durch die Basen eines Trapezes mit einem gemeinsamen Scheitelpunkt am Schnittpunkt der verlängerten Seiten gebildet werden, sind ähnlich
Die Gerade, die die Mittelpunkte der Grundflächen des Trapezes verbindet, ist zugleich der Median des konstruierten Dreiecks

Eigenschaften eines Segments, das die Basen eines Trapezes verbindet

Wenn Sie ein Segment zeichnen, dessen Enden auf den Basen eines Trapezes liegen, das am Schnittpunkt der Diagonalen des Trapezes (KN) liegt, dann ist das Verhältnis seiner konstituierenden Segmente von der Seite der Basis zum Schnittpunkt der Diagonalen (KO/ON) wird gleich dem Verhältnis der Basen des Trapezes sein(v. Chr./n. Chr.).

KO/ON = BC/AD

Diese Eigenschaft ergibt sich aus der Ähnlichkeit der entsprechenden Dreiecke (siehe oben).

Eigenschaften eines Segments parallel zu den Basen eines Trapezes

Wenn wir ein Segment parallel zu den Basen des Trapezes zeichnen und durch den Schnittpunkt der Diagonalen des Trapezes verlaufen, dann hat es die folgenden Eigenschaften:

Angegebene Distanz (KM) halbiert durch den Schnittpunkt der Diagonalen des Trapezes
Länge des Segments durch den Schnittpunkt der Diagonalen des Trapezes und parallel zu den Basen verläuft, ist gleich KM = 2ab/(a + b)

Formeln zum Ermitteln der Diagonalen eines Trapezes

a, b- trapezförmige Sockel

CD- Seiten des Trapezes

d1 d2- Diagonalen eines Trapezes

α β - Winkel mit einer größeren Basis des Trapezes

Formeln zum Ermitteln der Diagonalen eines Trapezes durch die Grundflächen, Seiten und Winkel an der Grundfläche

Die erste Formelgruppe (1-3) spiegelt eine der Haupteigenschaften von Trapezdiagonalen wider:

1. Die Summe der Quadrate der Diagonalen eines Trapezes ist gleich der Summe der Quadrate der Seiten plus dem doppelten Produkt seiner Grundflächen. Diese Eigenschaft von Trapezdiagonalen kann als separater Satz bewiesen werden

2 . Diese Formel wird durch Transformation der vorherigen Formel erhalten. Das Quadrat der zweiten Diagonale wird durch das Gleichheitszeichen geworfen, woraufhin die Quadratwurzel aus der linken und rechten Seite des Ausdrucks gezogen wird.

3 . Diese Formel zum Ermitteln der Länge der Diagonale eines Trapezes ähnelt der vorherigen, mit dem Unterschied, dass auf der linken Seite des Ausdrucks eine weitere Diagonale übrig bleibt

Die nächste Gruppe von Formeln (4-5) hat eine ähnliche Bedeutung und drückt eine ähnliche Beziehung aus.

Mit der Formelgruppe (6-7) können Sie die Diagonale eines Trapezes ermitteln, wenn die größere Basis des Trapezes, eine Seite und der Winkel an der Basis bekannt sind.

Formeln zum Ermitteln der Diagonalen eines Trapezes durch die Höhe

Notiz. Diese Lektion bietet Lösungen für Geometrieprobleme zu Trapezen. Wenn Sie für ein Geometrieproblem der Art, die Sie interessiert, keine Lösung gefunden haben, stellen Sie im Forum eine Frage.

Aufgabe.
Die Diagonalen des Trapezes ABCD (AD | | BC) schneiden sich im Punkt O. Ermitteln Sie die Länge der Basis BC des Trapezes, wenn die Basis AD = 24 cm, Länge AO = 9 cm, Länge OS = 6 cm.

Lösung.
Die Lösung dieses Problems ist ideologisch absolut identisch mit den vorherigen Problemen.

Die Dreiecke AOD und BOC sind in drei Winkeln ähnlich – AOD und BOC sind vertikal und die übrigen Winkel sind paarweise gleich, da sie durch den Schnittpunkt einer Geraden und zweier paralleler Geraden gebildet werden.

Da die Dreiecke ähnlich sind, stehen alle ihre geometrischen Abmessungen in Beziehung zueinander, ebenso wie die geometrischen Abmessungen der Segmente AO und OC, die uns gemäß den Bedingungen des Problems bekannt sind. Also

AO/OC = AD/BC
9/6 = 24/v.Chr
BC = 24 * 6 / 9 = 16

Antwort: 16 cm

Aufgabe .
Im Trapez ABCD ist bekannt, dass AD=24, BC=8, AC=13, BD=5√17. Finden Sie die Fläche des Trapezes.

Lösung .
Um die Höhe eines Trapezes von den Eckpunkten der kleineren Basis B und C aus zu ermitteln, senken wir zwei Höhen auf die größere Basis. Da das Trapez ungleich ist, bezeichnen wir die Länge AM = a, die Länge KD = b ( Nicht zu verwechseln mit der Notation in der Formel Finden der Fläche eines Trapezes). Da die Grundflächen des Trapezes parallel sind und wir zwei Höhen senkrecht zur größeren Grundfläche abgesenkt haben, ist MBCK ein Rechteck.

Bedeutet
AD = AM+BC+KD
a + 8 + b = 24
a = 16 - b

Die Dreiecke DBM und ACK sind rechteckig, ihre rechten Winkel werden also durch die Höhen des Trapezes gebildet. Bezeichnen wir die Höhe des Trapezes mit h. Dann nach dem Satz des Pythagoras

H 2 + (24 - a) 2 = (5√17) 2
Und
h 2 + (24 - b) 2 = 13 2

Berücksichtigen wir, dass a = 16 - b, dann in der ersten Gleichung
h 2 + (24 - 16 + b) 2 = 425
h 2 = 425 - (8 + b) 2

Setzen wir den Wert des Quadrats der Höhe in die zweite Gleichung ein, die wir mit dem Satz des Pythagoras erhalten haben. Wir bekommen:
425 - (8 + b) 2 + (24 - b) 2 = 169
-(64 + 16b + b) 2 + (24 - b) 2 = -256
-64 - 16b - b 2 + 576 - 48b + b 2 = -256
-64b = -768
b = 12

Also KD = 12
Wo
h 2 = 425 - (8 + b) 2 = 425 - (8 + 12) 2 = 25
h = 5

Ermitteln Sie die Fläche eines Trapezes durch seine Höhe und die Hälfte der Summe seiner Grundflächen
, wo a b – die Basis des Trapezes, h – die Höhe des Trapezes
S = (24 + 8) * 5 / 2 = 80 cm 2

Antwort: Die Fläche des Trapezes beträgt 80 cm2.

Ein Trapez ist ein Sonderfall eines Vierecks, bei dem ein Seitenpaar parallel ist. Der Begriff „Trapez“ kommt vom griechischen Wort τράπεζα und bedeutet „Tisch“, „Tisch“. In diesem Artikel werden wir uns mit den Arten von Trapezen und ihren Eigenschaften befassen. Darüber hinaus werden wir herausfinden, wie einzelne Elemente davon berechnet werden, beispielsweise die Diagonale eines gleichschenkligen Trapezes, die Mittellinie, die Fläche usw. Das Material wird im Stil der elementaren Volksgeometrie präsentiert, d. h. in einer leicht zugänglichen Form .

allgemeine Informationen

Lassen Sie uns zunächst herausfinden, was ein Viereck ist. Diese Figur ist ein Sonderfall eines Polygons mit vier Seiten und vier Eckpunkten. Zwei Eckpunkte eines Vierecks, die nicht benachbart sind, werden als gegenüberliegend bezeichnet. Das Gleiche gilt für zwei nicht benachbarte Seiten. Die Haupttypen von Vierecken sind Parallelogramm, Rechteck, Raute, Quadrat, Trapez und Deltamuskel.

Kommen wir also zurück zu den Trapezen. Wie bereits erwähnt, hat diese Figur zwei parallele Seiten. Sie werden Basen genannt. Die anderen beiden (nicht parallelen) sind die lateralen Seiten. In den Prüfungsmaterialien und verschiedenen Tests findet man häufig Probleme im Zusammenhang mit Trapezen, deren Lösung oft Kenntnisse erfordert, die der Student nicht im Programm vorsieht. Der Schulgeometriekurs führt die Schüler in die Eigenschaften von Winkeln und Diagonalen sowie in die Mittellinie eines gleichschenkligen Trapezes ein. Darüber hinaus weist die erwähnte geometrische Figur aber noch weitere Merkmale auf. Aber dazu später mehr...

Arten von Trapezen

Es gibt viele Arten dieser Figur. Am häufigsten wird jedoch davon ausgegangen, dass zwei davon gleichschenklig und rechteckig sind.

1. Ein rechteckiges Trapez ist eine Figur, bei der eine der Seiten senkrecht zu den Grundflächen steht. Ihre beiden Winkel betragen immer neunzig Grad.

2. Ein gleichschenkliges Trapez ist eine geometrische Figur, deren Seiten einander gleich sind. Das bedeutet, dass auch die Winkel an den Basen paarweise gleich sind.

Die Hauptprinzipien der Methodik zur Untersuchung der Eigenschaften eines Trapezes

Das Hauptprinzip beinhaltet die Verwendung des sogenannten Aufgabenansatzes. Tatsächlich besteht keine Notwendigkeit, neue Eigenschaften dieser Figur in den theoretischen Kurs der Geometrie einzuführen. Sie können im Prozess der Lösung verschiedener Probleme (vorzugsweise Systemprobleme) entdeckt und formuliert werden. Gleichzeitig ist es sehr wichtig, dass der Lehrer weiß, welche Aufgaben den Schülern zu einem bestimmten Zeitpunkt im Bildungsprozess zugewiesen werden müssen. Darüber hinaus kann jede Eigenschaft eines Trapezes als Schlüsselaufgabe im Aufgabensystem dargestellt werden.

Das zweite Prinzip ist die sogenannte spiralförmige Organisation der Untersuchung der „bemerkenswerten“ Eigenschaften des Trapezes. Dies impliziert eine Rückkehr im Lernprozess zu einzelnen Merkmalen einer gegebenen geometrischen Figur. Dies erleichtert es den Schülern, sich an sie zu erinnern. Zum Beispiel die Eigenschaft von vier Punkten. Dies kann sowohl beim Studium der Ähnlichkeit als auch anschließend mithilfe von Vektoren nachgewiesen werden. Und die Äquivalenz von Dreiecken, die an die Seitenseiten einer Figur angrenzen, kann bewiesen werden, indem man nicht nur die Eigenschaften von Dreiecken mit gleicher Höhe anwendet, die auf die Seiten gezeichnet werden, die auf derselben Geraden liegen, sondern auch die Formel S = 1/2( ab*sinα). Darüber hinaus können Sie an einem beschrifteten Trapez oder einem rechtwinkligen Dreieck an einem beschrifteten Trapez usw. arbeiten.

Die Verwendung „außerschulischer“ Merkmale einer geometrischen Figur im Inhalt eines Schulkurses ist eine aufgabenbasierte Technologie zu deren Vermittlung. Die ständige Bezugnahme auf die untersuchten Eigenschaften beim Durcharbeiten anderer Themen ermöglicht den Studierenden ein tieferes Verständnis des Trapezes und sichert den Erfolg bei der Lösung der gestellten Probleme. Beginnen wir also mit dem Studium dieser wunderbaren Figur.

Elemente und Eigenschaften eines gleichschenkligen Trapezes

Wie bereits erwähnt, hat diese geometrische Figur gleiche Seiten. Es wird auch als korrektes Trapez bezeichnet. Warum ist es so bemerkenswert und warum hat es diesen Namen bekommen? Die Besonderheit dieser Figur besteht darin, dass nicht nur die Seiten und Winkel an den Basen gleich sind, sondern auch die Diagonalen. Darüber hinaus beträgt die Winkelsumme eines gleichschenkligen Trapezes 360 Grad. Aber das ist nicht alles! Von allen bekannten Trapezen kann nur ein gleichschenkliges als Kreis beschrieben werden. Dies liegt daran, dass die Summe der entgegengesetzten Winkel dieser Figur 180 Grad beträgt und man nur unter dieser Bedingung einen Kreis um ein Viereck beschreiben kann. Die nächste Eigenschaft der betrachteten geometrischen Figur besteht darin, dass der Abstand vom Scheitelpunkt der Basis zur Projektion des gegenüberliegenden Scheitelpunkts auf die gerade Linie, die diese Basis enthält, gleich der Mittellinie ist.

Lassen Sie uns nun herausfinden, wie man die Winkel eines gleichschenkligen Trapezes ermittelt. Betrachten wir eine Lösung für dieses Problem, vorausgesetzt, dass die Abmessungen der Seiten der Figur bekannt sind.

Lösung

Typischerweise wird ein Viereck mit den Buchstaben A, B, C, D bezeichnet, wobei BS und AD die Basen sind. Bei einem gleichschenkligen Trapez sind die Seiten gleich. Wir gehen davon aus, dass ihre Größe gleich X ist und die Größe der Basen gleich Y und Z ist (jeweils kleiner und größer). Um die Berechnung durchzuführen, ist es notwendig, die Höhe H aus dem Winkel B zu zeichnen. Das Ergebnis ist ein rechtwinkliges Dreieck ABN, wobei AB die Hypotenuse und BN und AN die Schenkel sind. Wir berechnen die Größe des Beins AN: Wir subtrahieren die kleinere von der größeren Basis und dividieren das Ergebnis durch 2. Wir schreiben es in Form einer Formel: (Z-Y)/2 = F. Jetzt berechnen wir die Spitze Winkel des Dreiecks verwenden wir die cos-Funktion. Wir erhalten den folgenden Eintrag: cos(β) = X/F. Jetzt berechnen wir den Winkel: β=arcos (X/F). Wenn wir außerdem einen Winkel kennen, können wir den zweiten bestimmen. Dazu führen wir eine elementare arithmetische Operation durch: 180 - β. Alle Winkel sind definiert.

Es gibt eine zweite Lösung für dieses Problem. Zuerst senken wir es von der Ecke auf die Höhe H ab. Wir berechnen den Wert des Beins BN. Wir wissen, dass das Quadrat der Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks gleich der Summe der Quadrate der Schenkel ist. Wir erhalten: BN = √(X2-F2). Als nächstes verwenden wir die trigonometrische Funktion tg. Als Ergebnis gilt: β = arctan (BN/F). Es wurde ein spitzer Winkel gefunden. Als nächstes definieren wir es ähnlich wie die erste Methode.

Eigenschaft der Diagonalen eines gleichschenkligen Trapezes

Schreiben wir zunächst vier Regeln auf. Wenn die Diagonalen in einem gleichschenkligen Trapez senkrecht zueinander stehen, dann gilt:

Die Höhe der Figur entspricht der Summe der Grundflächen dividiert durch zwei;

Seine Höhe und Mittellinie sind gleich;

Der Mittelpunkt des Kreises ist der Punkt, an dem;

Wenn die laterale Seite durch den Tangentialpunkt in die Segmente H und M geteilt wird, dann ist sie gleich der Quadratwurzel des Produkts dieser Segmente;

Das durch die Tangentenpunkte, den Scheitelpunkt des Trapezes und den Mittelpunkt des eingeschriebenen Kreises gebildete Viereck ist ein Quadrat, dessen Seite gleich dem Radius ist;

Die Fläche einer Figur ist gleich dem Produkt der Grundflächen und dem Produkt aus der halben Summe der Grundflächen und ihrer Höhe.

Beweis des Satzes

Wir akzeptieren, dass die Figur ABSD (AD und BS sind die Basen des Trapezes) durch die Diagonalen VD und AC geteilt wird. Ihr Schnittpunkt ist O. Wir erhalten vier Dreiecke: AOS – an der unteren Basis, BOS – an der oberen Basis, ABO und SOD an den Seiten. Die Dreiecke SOD und BOS haben eine gemeinsame Höhe, wenn die Segmente BO und OD ihre Basen sind. Wir stellen fest, dass die Differenz zwischen ihren Flächen (P) gleich der Differenz zwischen diesen Segmenten ist: PBOS/PSOD = BO/OD = K. Daher ist PSOD = PBOS/K. Ebenso haben die Dreiecke BOS und AOB eine gemeinsame Höhe. Als Basis nehmen wir die Segmente CO und OA. Wir erhalten PBOS/PAOB = CO/OA = K und PAOB = PBOS/K. Daraus folgt, dass PSOD = PAOB.

Um den Stoff zu festigen, wird den Schülern empfohlen, den Zusammenhang zwischen den Flächen der resultierenden Dreiecke, in die das Trapez durch seine Diagonalen unterteilt ist, zu finden, indem sie das folgende Problem lösen. Es ist bekannt, dass die Dreiecke BOS und AOD gleiche Flächen haben; es ist notwendig, die Fläche des Trapezes zu ermitteln. Da PSOD = PAOB, bedeutet dies PABSD = PBOS+PAOD+2*PSOD. Aus der Ähnlichkeit der Dreiecke BOS und AOD folgt BO/OD = √(PBOS/PAOD). Daher ist PBOS/PSOD = BO/OD = √(PBOS/PAOD). Wir erhalten PSOD = √(PBOS*PAOD). Dann ist PABSD = PBOS+PAOD+2*√(PBOS*PAOD) = (√PBOS+√PAOD)2.

Eigenschaften der Ähnlichkeit

Wenn wir dieses Thema weiterentwickeln, können wir weitere interessante Merkmale von Trapezen nachweisen. Mit Hilfe der Ähnlichkeit kann man also die Eigenschaft eines Segments beweisen, das durch den Punkt verläuft, der durch den Schnittpunkt der Diagonalen dieser geometrischen Figur parallel zu den Basen gebildet wird. Lösen wir dazu das folgende Problem: Es ist notwendig, die Länge des Segments RK zu ermitteln, das durch den Punkt O verläuft. Aus der Ähnlichkeit der Dreiecke AOD und BOS folgt AO/OS = AD/BS. Aus der Ähnlichkeit der Dreiecke AOP und ASB folgt AO/AC=RO/BS=AD/(BS+AD). Von hier aus erhalten wir RO=BS*BP/(BS+BP). In ähnlicher Weise folgt aus der Ähnlichkeit der Dreiecke DOC und DBS, dass OK = BS*AD/(BS+AD). Von hier aus erhalten wir RO=OK und RK=2*BS*AD/(BS+AD). Ein Segment, das durch den Schnittpunkt der Diagonalen verläuft, parallel zu den Basen und zwei seitliche Seiten verbindet, wird durch den Schnittpunkt in zwei Hälften geteilt. Seine Länge ist das harmonische Mittel der Grundflächen der Figur.

Betrachten Sie die folgende Eigenschaft eines Trapezes, die als Eigenschaft von vier Punkten bezeichnet wird. Die Schnittpunkte der Diagonalen (O), der Schnittpunkt der Fortsetzung der Seiten (E) sowie die Mittelpunkte der Grundflächen (T und F) liegen immer auf derselben Geraden. Dies lässt sich leicht mit der Ähnlichkeitsmethode beweisen. Die resultierenden Dreiecke BES und AED sind ähnlich, und in jedem von ihnen teilen die Mediane ET und EJ den Scheitelwinkel E in gleiche Teile. Daher liegen die Punkte E, T und F auf derselben Geraden. Ebenso liegen die Punkte T, O und Zh auf derselben Geraden. All dies ergibt sich aus der Ähnlichkeit der Dreiecke BOS und AOD. Daraus schließen wir, dass alle vier Punkte – E, T, O und F – auf derselben Geraden liegen.

Mithilfe ähnlicher Trapeze können Sie die Schüler bitten, die Länge des Segments (LS) zu ermitteln, das die Figur in zwei ähnliche Teile teilt. Dieses Segment muss parallel zu den Basen sein. Da die resultierenden Trapeze ALFD und LBSF ähnlich sind, gilt BS/LF = LF/AD. Daraus folgt, dass LF=√(BS*AD). Wir stellen fest, dass das Segment, das das Trapez in zwei ähnliche Teile teilt, eine Länge hat, die dem geometrischen Mittel der Längen der Grundflächen der Figur entspricht.

Betrachten Sie die folgende Ähnlichkeitseigenschaft. Es basiert auf einem Segment, das das Trapez in zwei gleiche Figuren teilt. Wir nehmen an, dass das Trapez ABSD durch die Strecke EH in zwei ähnliche geteilt wird. Vom Scheitelpunkt B wird eine Höhe weggelassen, die durch das Segment EN in zwei Teile geteilt wird – B1 und B2. Wir erhalten: PABSD/2 = (BS+EN)*B1/2 = (AD+EN)*B2/2 und PABSD = (BS+AD)*(B1+B2)/2. Als nächstes stellen wir ein System zusammen, dessen erste Gleichung (BS+EN)*B1 = (AD+EN)*B2 und die zweite (BS+EN)*B1 = (BS+AD)*(B1+B2)/2 lautet. Daraus folgt, dass B2/B1 = (BS+EN)/(AD+EN) und BS+EN = ((BS+AD)/2)*(1+B2/B1). Wir finden, dass die Länge des Segments, das das Trapez in zwei gleiche Teile teilt, gleich dem quadratischen Mittelwert der Längen der Basen ist: √((BS2+AD2)/2).

Ähnlichkeitsbefunde

Somit haben wir Folgendes bewiesen:

1. Das Segment, das die Mittelpunkte der Seiten eines Trapezes verbindet, ist parallel zu AD und BS und entspricht dem arithmetischen Mittel von BS und AD (der Länge der Basis des Trapezes).

2. Die Linie, die durch den Punkt O des Schnittpunkts der Diagonalen parallel zu AD und BS verläuft, ist gleich dem harmonischen Mittel der Zahlen AD und BS (2*BS*AD/(BS+AD)).

3. Das Segment, das das Trapez in ähnliche Teile teilt, hat die Länge des geometrischen Mittels der Basen BS und AD.

4. Ein Element, das eine Zahl in zwei gleiche Teile teilt, hat die Länge des quadratischen Mittelwerts der Zahlen AD und BS.

Um das Material zu festigen und den Zusammenhang zwischen den betrachteten Segmenten zu verstehen, muss der Schüler sie für ein bestimmtes Trapez konstruieren. Er kann die Mittellinie und das Segment, das durch den Punkt O – den Schnittpunkt der Diagonalen der Figur – verläuft, problemlos parallel zu den Basen darstellen. Aber wo werden sich der dritte und vierte befinden? Diese Antwort führt den Schüler zur Entdeckung der gewünschten Beziehung zwischen Durchschnittswerten.

Ein Segment, das die Mittelpunkte der Diagonalen eines Trapezes verbindet

Betrachten Sie die folgende Eigenschaft dieser Figur. Wir gehen davon aus, dass die Strecke MH parallel zu den Basen verläuft und die Diagonalen halbiert. Nennen wir die Schnittpunkte Ш und Ш. Dieses Segment entspricht der halben Differenz der Basen. Schauen wir uns das genauer an. MS ist die Mittellinie des ABS-Dreiecks und entspricht BS/2. MSH ist die Mittellinie des Dreiecks ABD, sie entspricht AD/2. Dann erhalten wir ShShch = MSh-MSh, also ShShch = AD/2-BS/2 = (AD+VS)/2.

Schwerpunkt

Schauen wir uns an, wie dieses Element für eine gegebene geometrische Figur bestimmt wird. Dazu ist es notwendig, die Sockel in entgegengesetzte Richtungen zu verlängern. Was bedeutet das? Sie müssen die untere Basis zur oberen Basis hinzufügen – in jede Richtung, zum Beispiel nach rechts. Und wir verlängern den unteren um die Länge des oberen nach links. Als nächstes verbinden wir sie diagonal. Der Schnittpunkt dieses Segments mit der Mittellinie der Figur ist der Schwerpunkt des Trapezes.

Beschriftete und umschriebene Trapeze

Lassen Sie uns die Merkmale solcher Figuren auflisten:

1. Ein Trapez kann nur dann in einen Kreis eingeschrieben werden, wenn es gleichschenklig ist.

2. Ein Trapez kann um einen Kreis herum beschrieben werden, vorausgesetzt, dass die Summe der Längen seiner Grundflächen gleich der Summe der Längen der Seiten ist.

Folgerungen des Inkreises:

1. Die Höhe des beschriebenen Trapezes entspricht immer zwei Radien.

2. Die Seite des beschriebenen Trapezes wird vom Kreismittelpunkt aus im rechten Winkel betrachtet.

Die erste Folgerung ist offensichtlich, aber um die zweite zu beweisen, muss festgestellt werden, dass der Winkel SOD richtig ist, was tatsächlich auch nicht schwierig ist. Aber wenn Sie diese Eigenschaft kennen, können Sie bei der Lösung von Problemen ein rechtwinkliges Dreieck verwenden.

Lassen Sie uns nun diese Konsequenzen für ein gleichschenkliges Trapez spezifizieren, das in einen Kreis eingeschrieben ist. Wir stellen fest, dass die Höhe das geometrische Mittel der Grundflächen der Figur ist: H=2R=√(BS*AD). Beim Üben der grundlegenden Technik zur Lösung von Trapezproblemen (das Prinzip des Zeichnens zweier Höhen) muss der Schüler die folgende Aufgabe lösen. Wir gehen davon aus, dass BT die Höhe der gleichschenkligen Figur ABSD ist. Es müssen die Segmente AT und TD gefunden werden. Mit der oben beschriebenen Formel wird dies nicht schwierig sein.

Lassen Sie uns nun herausfinden, wie Sie den Radius eines Kreises anhand der Fläche des umschriebenen Trapezes bestimmen. Wir verringern die Höhe vom Scheitelpunkt B zur Basis AD. Da der Kreis in ein Trapez eingeschrieben ist, gilt BS+AD = 2AB oder AB = (BS+AD)/2. Aus dem Dreieck ABN ergibt sich sinα = BN/AB = 2*BN/(BS+AD). PABSD = (BS+BP)*BN/2, BN=2R. Wir erhalten PABSD = (BS+BP)*R, daraus folgt R = PABSD/(BS+BP).

Alle Formeln für die Mittellinie eines Trapezes

Jetzt ist es an der Zeit, mit dem letzten Element dieser geometrischen Figur fortzufahren. Lassen Sie uns herausfinden, was die Mittellinie des Trapezes (M) ist:

1. Durch die Basen: M = (A+B)/2.

2. Durch Höhe, Sockel und Ecken:

M = A-H*(ctgα+ctgβ)/2;

M = B+N*(ctgα+ctgβ)/2.

3. Durch Höhe, Diagonalen und den Winkel zwischen ihnen. Beispielsweise sind D1 und D2 die Diagonalen eines Trapezes; α, β - Winkel zwischen ihnen:

M = D1*D2*sinα/2N = D1*D2*sinβ/2N.

4. Durchgangsfläche und Höhe: M = P/N.

Das Konzept der Mittellinie des Trapezes

Erinnern wir uns zunächst daran, welche Art von Figur als Trapez bezeichnet wird.

Definition 1

Ein Trapez ist ein Viereck, bei dem zwei Seiten parallel und die anderen beiden nicht parallel sind.

In diesem Fall werden parallele Seiten als Basen des Trapezes und nicht parallele Seiten als laterale Seiten des Trapezes bezeichnet.

Definition 2

Die Mittellinie eines Trapezes ist ein Segment, das die Mittelpunkte der Seiten des Trapezes verbindet.

Trapezmittelliniensatz

Nun führen wir den Satz über die Mittellinie eines Trapezes ein und beweisen ihn mit der Vektormethode.

Satz 1

Die Mittellinie des Trapezes verläuft parallel zu den Basen und entspricht deren Halbsumme.

Nachweisen.

Gegeben sei ein Trapez $ABCD$ mit den Basen $AD\ und\ BC$. Und sei $MN$ die Mittellinie dieses Trapezes (Abb. 1).

Abbildung 1. Mittellinie des Trapezes

Beweisen wir, dass $MN||AD\ und\ MN=\frac(AD+BC)(2)$.

Betrachten Sie den Vektor $\overrightarrow(MN)$. Als nächstes verwenden wir die Polygonregel, um Vektoren hinzuzufügen. Einerseits verstehen wir das

Andererseits

Addieren wir die letzten beiden Gleichheiten und erhalten

Da $M$ und $N$ die Mittelpunkte der Seiten des Trapezes sind, gilt:

Wir bekommen:

Somit

Aus derselben Gleichheit (da $\overrightarrow(BC)$ und $\overrightarrow(AD)$ kodirektional und daher kollinear sind) erhalten wir $MN||AD$.

Der Satz ist bewiesen.

Beispiele für Probleme zum Konzept der Mittellinie eines Trapezes

Beispiel 1

Die Seitenflächen des Trapezes betragen jeweils 15 cm und 17 cm. Der Umfang des Trapezes beträgt $52\cm$. Finden Sie die Länge der Mittellinie des Trapezes.

Lösung.

Bezeichnen wir die Mittellinie des Trapezes mit $n$.

Die Summe der Seiten ist gleich

Da der Umfang also $52\ cm$ beträgt, ist die Summe der Basen gleich

Nach Satz 1 erhalten wir also

Antwort:$10\cm$.

Beispiel 2

Die Enden des Kreisdurchmessers sind $9$ cm bzw. $5$ cm von seiner Tangente entfernt. Ermitteln Sie den Durchmesser dieses Kreises.

Lösung.

Gegeben sei ein Kreis mit Mittelpunkt im Punkt $O$ und Durchmesser $AB$. Zeichnen wir eine Tangente $l$ und konstruieren die Abstände $AD=9\ cm$ und $BC=5\ cm$. Zeichnen wir den Radius $OH$ (Abb. 2).

Figur 2.

Da $AD$ und $BC$ die Abstände zur Tangente sind, dann $AD\bot l$ und $BC\bot l$ und da $OH$ der Radius ist, dann $OH\bot l$, also $OH |\left|AD\right||BC$. Aus all dem erhalten wir, dass $ABCD$ ein Trapez ist und $OH$ seine Mittellinie ist. Nach Satz 1 erhalten wir

Ein Viereck, bei dem nur zwei Seiten parallel sind, heißt Trapez.

Die parallelen Seiten eines Trapezes werden als seine bezeichnet Gründe dafür, und die Seiten, die nicht parallel sind, werden aufgerufen Seiten. Wenn die Seiten gleich sind, ist ein solches Trapez gleichschenklig. Der Abstand zwischen den Basen wird als Höhe des Trapezes bezeichnet.

Mittellinien-Trapez

Die Mittellinie ist ein Segment, das die Mittelpunkte der Seiten des Trapezes verbindet. Die Mittellinie des Trapezes verläuft parallel zu seinen Basen.

Satz:

Wenn die Gerade, die die Mitte einer Seite kreuzt, parallel zu den Grundflächen des Trapezes verläuft, dann halbiert sie die zweite Seite des Trapezes.

Satz:

Die Länge der Mittellinie entspricht dem arithmetischen Mittel der Längen ihrer Basen

MN || AB || Gleichstrom
AM = MD; BN=NC

MN Mittellinie, AB und CD – Basen, AD und BC – laterale Seiten

MN = (AB + DC)/2

Satz:

Die Länge der Mittellinie eines Trapezes entspricht dem arithmetischen Mittel der Längen seiner Grundflächen.

Die Hauptaufgabe: Beweisen Sie, dass die Mittellinie eines Trapezes ein Segment halbiert, dessen Enden in der Mitte der Basen des Trapezes liegen.

Mittellinie des Dreiecks

Das Segment, das die Mittelpunkte zweier Seiten eines Dreiecks verbindet, wird Mittellinie des Dreiecks genannt. Es verläuft parallel zur dritten Seite und seine Länge entspricht der Hälfte der Länge der dritten Seite.
Satz: Wenn eine Linie, die den Mittelpunkt einer Seite eines Dreiecks schneidet, parallel zur anderen Seite des Dreiecks ist, dann halbiert sie die dritte Seite.

AM = MC und BN = NC =>

Anwenden der Mittellinieneigenschaften eines Dreiecks und Trapezes

Teilen eines Segments in eine bestimmte Anzahl gleicher Teile.
Aufgabe: Teilen Sie das Segment AB in 5 gleiche Teile.
Lösung:
Sei p ein zufälliger Strahl, dessen Ursprung Punkt A ist und der nicht auf der Linie AB liegt. Wir legen nacheinander 5 gleiche Segmente auf p beiseite AA 1 = A 1 A 2 = A 2 A 3 = A 3 A 4 = A 4 A 5
Wir verbinden A 5 mit B und zeichnen solche Geraden durch A 4, A 3, A 2 und A 1, die parallel zu A 5 B verlaufen. Sie schneiden AB jeweils in den Punkten B 4, B 3, B 2 und B 1. Diese Punkte teilen das Segment AB in 5 gleiche Teile. Tatsächlich sehen wir aus dem Trapez BB 3 A 3 A 5, dass BB 4 = B 4 B 3. Auf die gleiche Weise erhalten wir aus dem Trapez B 4 B 2 A 2 A 4 B 4 B 3 = B 3 B 2

Während aus dem Trapez B 3 B 1 A 1 A 3, B 3 B 2 = B 2 B 1.
Dann folgt aus B 2 AA 2, dass B 2 B 1 = B 1 A. Zusammenfassend erhalten wir:
AB 1 = B 1 B 2 = B 2 B 3 = B 3 B 4 = B 4 B
Es ist klar, dass wir, um das Segment AB in eine weitere Anzahl gleicher Teile zu unterteilen, die gleiche Anzahl gleicher Segmente auf den Strahl p projizieren müssen. Und fahren Sie dann wie oben beschrieben fort.

Typ