Zwei Flugzeuge im Weltraum können. Flugzeug im Weltraum. Gegenseitige Anordnung der Flugzeuge. Vektorparametrische Gleichung einer Geraden

Der Winkel zwischen zwei Ebenen. Bedingungen Parallelität und Rechtwinkligkeit zwei Flugzeuge:
seien zwei Ebenen Q 1 und Q 2 gegeben:

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 =0

A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 =0

Unter dem Winkel zwischen Ebenen versteht man einen der von diesen Ebenen gebildeten Diederwinkel.

Wenn die Ebenen senkrecht stehen, dann sind es auch ihre Normalen, d. h. . Aber dann, d.h.

A 1 A 2 + B 1 B 2 + C 1 C 2 = 0. Die resultierende Gleichheit ist Bedingung der Rechtwinkligkeit zweier Ebenen.

Wenn die Ebenen parallel sind, sind auch ihre Normalen parallel. Dann sind aber bekanntlich die Koordinaten der Vektoren proportional: . Das ist es Zustand der Parallelität zweier Ebenen.

Die relative Position der Linien.

Winkel zwischen Geraden. Bedingungen für Parallelität und Rechtwinkligkeit von Linien.

Der halbe Winkel zwischen diesen Geraden ist der Winkel zwischen den Richtungsvektoren S 1 und S 2.

Um den spitzen Winkel zwischen den Linien L 1 und L 2 zu ermitteln, sollte der Zähler auf der rechten Seite der Formel modulo gebildet werden.

Wenn die Zeilen L 1 und L 2 aufrecht, dann gilt in diesem und nur in diesem Fall cos =0. daher ist der Zähler des Bruchs = 0, d.h. =0.

Wenn die Zeilen L 1 und L 2 parallel, dann sind ihre Richtungsvektoren S 1 und S 2 parallel. daher sind die Koordinaten dieser Vektoren proportional: .

Bedingung, unter der zwei Geraden in derselben Ebene liegen:

=0.

Wenn diese Bedingung erfüllt ist, liegen die Geraden entweder in derselben Ebene, d. h. sie schneiden sich entweder.

Die relative Position einer Geraden und einer Ebene.

Der Winkel zwischen einer Geraden und einer Ebene. Bedingungen für Parallelität und Rechtwinkligkeit einer Geraden und einer Ebene.

Die Ebene sei durch die Gleichung Ax + By + Cz + D=0 und die Gerade L durch die Gleichungen gegeben . Der Winkel zwischen einer Linie und einer Ebene ist jeder von zwei benachbarten Winkeln, die durch eine Linie und ihre Projektion auf die Ebene gebildet werden. Bezeichnen wir mit dem Winkel zwischen der Ebene und der Geraden.

.

Wenn die Gerade L parallel zur Ebene Q ist, dann stehen die Vektoren n und S senkrecht und daher, d.h.

0 ist Parallelitätsbedingung gerade und eben.

Wenn die Gerade L senkrecht zur Ebene Q steht, dann sind die Vektoren n und S parallel. Deshalb Gleichheiten

Sind Rechtwinkligkeitsbedingungen gerade und eben.

Der Schnittpunkt einer Geraden und einer Ebene. Voraussetzung für die Zugehörigkeit zu einer geraden Ebene:

Betrachten Sie die gerade Linie und Ebene Ах + By + Cz + D=0.

Gleichzeitige Ausführung von Gleichheiten:

Ax 0 +By 0 + Cz 0 + D=0 sind Voraussetzung für die Zugehörigkeit zu einer geraden Ebene.

Ellipse.

Als geometrische Ortskurve von Punkten bezeichnet man die Summe der Abstände, von denen aus zwei feste Punkte der Ebene (üblicherweise Brennpunkte genannt) konstant sind Ellipse.

Wenn die Koordinatenachsen so angeordnet sind, dass Ox durch die Brennpunkte F 1 (C,0) und F 2 (-C,0) verläuft und O(0,0) mit dem Mittelpunkt des Segments F 1 F 2 zusammenfällt, dann entlang F 1 M+ F 2 M erhalten wir:

kanonische Ebene der Ellipse ,

b 2 =-(c 2 -a 2).

a und b sind die Halbachsen der Ellipse, a ist die große, b ist die kleine.

Exzentrizität. , (wenn a>b)

(wenn ein

Exzentrizität charakterisiert die Konvexität der Ellipse.

Die Ellipse hat eine Exzentrizität von: 0.

Der Fall =0 tritt nur auf, wenn c = 0, und dies ist der Fall eines Kreises – es handelt sich um eine Ellipse mit einer Exzentrizität von Null.

Schulleiterinnen (D) Als geometrischer Ort von Punkten wird das Verhältnis der Abstände zu einem Punkt der Ellipse zum Abstand von diesem Punkt der Ellipse zum Fokus konstant und gleich bezeichnet Schulleiterinnen. .

Hinweis: Ein Kreis hat keine Leitlinie.

Hyperbel.

Als geometrischer Ort von Punkten wird der Modul der Abstandsdifferenz bezeichnet, von der aus zwei feste Punkte der Ebene konstant sind Hyperbel.

Die kanonische Gleichung einer Hyperbel lautet:
, Wo .

Eine Hyperbel ist eine Gerade zweiter Ordnung.

Eine Hyperbel hat 2 Asymptoten: und

Übertreibung heißt gleichseitig, wenn seine Halbachsen gleich sind. (a=b). Kanonische Gleichung:

Exzentrizität– das Verhältnis des Abstands zwischen den Brennpunkten zum Wert der realen Achse der Hyperbel:

Denn für eine Hyperbel c>a ist die Exzentrizität der Hyperbel >1.

Exzentrizität charakterisiert die Form einer Hyperbel: . Die Exzentrizität einer gleichseitigen Hyperbel ist gleich.

Schulleiterinnen- gerade.

Brennradien: Und .

Es gibt Hyperbeln, die gemeinsame Asymptoten haben. Solche Hyperbeln heißen konjugiert.

Parabel.

Parabel– die Menge aller Punkte der Ebene, von denen jeder gleich weit von einem bestimmten Punkt, dem sogenannten Fokus, und einer bestimmten Linie, der sogenannten Leitlinie, entfernt ist.

Abstand vom Fokus zur Leitlinie – Parabelparameter(p>0).- semifokaler Durchmesser.

Eine Parabel ist eine Gerade zweiter Ordnung.

M(x,y) ist ein beliebiger Punkt der Parabel. Verbinden wir den Punkt M mit F und zeichnen wir das Segment MN senkrecht zur Leitlinie. Nach der Definition einer Parabel ist MF=MN. Mit der Formel für den Abstand zwischen zwei Punkten finden wir: => = =>

=>

Die kanonische Gleichung einer Parabel:
y 2 = 2px.

Ellipsoid.

Untersuchen wir die durch die Gleichung definierte Oberfläche:

Betrachten wir Abschnitte einer Oberfläche mit Ebenen parallel zur xOy-Ebene. Gleichungen solcher Ebenen: z=h, wobei h eine beliebige Zahl ist. Die im Abschnitt erhaltene Linie wird durch zwei Gleichungen bestimmt:

Schauen wir uns die Oberfläche an:

A) wenn dann Die Schnittlinie der Fläche mit den Ebenen z = h existiert nicht.

B) wenn , zerfällt die Schnittlinie in zwei Punkte (0,0,с) und (0,0,-с). Die Ebene z = c, z = - c berührt die gegebene Fläche.

C) wenn , dann können die Gleichungen wie folgt umgeschrieben werden: Wie man sieht, ist die Schnittlinie eine Ellipse mit den Halbachsen a1 = , b1 = . Dabei gilt: Je kleiner h, desto größer sind die Halbachsen. Bei n=0 erreichen sie ihre höchsten Werte. a1=a, b1=b. Die Gleichungen haben die Form:

Die betrachteten Abschnitte ermöglichen es, die Fläche als geschlossene ovale Fläche darzustellen. Die Fläche wird Ellipsoid genannt. Wenn alle Halbachsen gleich sind, wird das dreiachsige Ellipsoid zu einem Rotationsellipsoid, und wenn a=b=c, dann zu einer Kugel.

Hyperboloid und Kegel.

Für zwei Ebenen sind folgende Möglichkeiten der gegenseitigen Anordnung möglich: Sie sind parallel oder schneiden sich in einer Geraden.

Aus der Stereometrie weiß man, dass zwei Ebenen parallel sind, wenn zwei Schnittlinien einer Ebene entsprechend parallel zu zwei Schnittlinien einer anderen Ebene sind. Dieser Zustand wird aufgerufen Zeichen der Parallelität von Ebenen.

Wenn zwei Ebenen parallel sind, schneiden sie eine dritte Ebene entlang paralleler Linien. Darauf aufbauend parallele Ebenen R Und Q ihre Spuren sind parallele Geraden (Abb. 50).

Für den Fall, dass zwei Flugzeuge vorhanden sind R Und Q parallel zur Achse X, ihre horizontalen und frontalen Spuren bei beliebiger gegenseitiger Anordnung der Ebenen verlaufen parallel zur x-Achse, d.h. parallel zueinander. Folglich ist unter solchen Bedingungen die Parallelität der Spuren ein ausreichendes Zeichen für die Parallelität der Ebenen selbst. Um sicherzustellen, dass solche Ebenen parallel sind, müssen Sie sicherstellen, dass auch ihre Profilspuren parallel sind. P w und Q w. Flugzeuge R Und Q in Abbildung 51 sind parallel, aber in Abbildung 52 sind sie trotz der Tatsache nicht parallel P v || Q v, und P h y || Q H.

Wenn die Ebenen parallel sind, sind die Horizontalen einer Ebene parallel zu den Horizontalen der anderen. Die Fronten einer Ebene müssen parallel zu den Fronten der anderen sein, da diese Ebenen parallele Spuren mit demselben Namen haben.

Um zwei einander schneidende Ebenen zu konstruieren, muss man eine Gerade finden, entlang derer sich die beiden Ebenen schneiden. Um diese Linie zu konstruieren, reicht es aus, zwei zu ihr gehörende Punkte zu finden.

Wenn die Ebene durch Spuren gegeben ist, ist es manchmal einfach, diese Punkte mithilfe eines Diagramms und ohne zusätzliche Konstruktionen zu finden. Hier ist die Richtung der zu bestimmenden Linie bekannt und ihre Konstruktion basiert auf der Verwendung eines Punktes im Diagramm.

Gerade parallel zur Ebene

Es kann mehrere Positionen einer Geraden relativ zu einer bestimmten Ebene geben.

Betrachten wir das Zeichen der Parallelität zwischen einer Linie und einer Ebene. Eine Gerade ist parallel zu einer Ebene, wenn sie zu einer beliebigen Geraden in dieser Ebene parallel ist. In Abbildung 53 gibt es eine gerade Linie AB parallel zur Ebene R, da es parallel zur Linie ist MN, die in dieser Ebene liegt.

Wenn eine Linie parallel zu einer Ebene ist R, in dieser Ebene ist es möglich, durch jeden ihrer Punkte eine Linie parallel zu der gegebenen Linie zu zeichnen. Zum Beispiel in Abbildung 53 die Gerade AB parallel zur Ebene R. Wenn durch einen Punkt M, zum Flugzeug gehörend R, zeichne eine gerade Linie N.M., parallel AB, dann wird es im Flugzeug liegen R. In der gleichen Abbildung die gerade Linie CD nicht parallel zur Ebene R, weil gerade KL, was parallel ist CD und geht durch den Punkt ZU auf der Oberfläche R, liegt nicht in dieser Ebene.

Gerade Linie, die eine Ebene schneidet

Um den Schnittpunkt einer Geraden und einer Ebene zu finden, ist es notwendig, die Schnittlinien zweier Ebenen zu konstruieren. Betrachten Sie die Gerade I und die Ebene P (Abb. 54).

Betrachten wir die Konstruktion des Schnittpunkts der Ebenen.

Durch eine Gerade I muss eine Hilfsebene gezeichnet werden Q(projizieren). Linie II ist als Schnittpunkt von Ebenen definiert R Und Q. Der zu konstruierende Punkt K liegt am Schnittpunkt der Linien I und II. An diesem Punkt schneidet die Gerade I die Ebene R.

Bei dieser Konstruktion besteht der Hauptpunkt der Lösung darin, eine Hilfsebene zu zeichnen Q durch diese Linie gehen. Sie können eine Hilfsebene in allgemeiner Position zeichnen. Die Darstellung einer Projektionsebene in einem Diagramm mithilfe dieser Geraden ist jedoch einfacher als das Zeichnen einer allgemeinen Positionsebene. In diesem Fall kann eine Projektionsebene durch eine beliebige Gerade gezogen werden. Basierend darauf wird die Hilfsebene als Projektionsebene ausgewählt.

Zwei Ebenen im Raum können entweder parallel zueinander sein, im Einzelfall zusammenfallen, oder sich schneiden. Ein Sonderfall sich schneidender Ebenen sind zueinander senkrechte Ebenen.

1. Parallele Ebenen. Ebenen sind parallel, wenn zwei Schnittlinien einer Ebene jeweils parallel zu zwei Schnittlinien einer anderen Ebene sind.

Diese Definition wird gut durch das Problem veranschaulicht, eine Ebene durch den Punkt B parallel zu der Ebene zu zeichnen, die durch zwei sich schneidende Geraden ab definiert wird (Abb. 61).

Aufgabe. Gegeben: eine allgemeine Ebene, die durch zwei sich schneidende Linien ab und Punkt B definiert wird.

Es ist erforderlich, eine Ebene durch den Punkt B parallel zur Ebene ab zu zeichnen und diese durch zwei sich schneidende Geraden c und d zu definieren.

Laut Definition sind diese Ebenen parallel zueinander, wenn zwei Schnittlinien einer Ebene jeweils parallel zu zwei Schnittlinien einer anderen Ebene sind.

Um parallele Linien in einem Diagramm zu zeichnen, muss die Eigenschaft der Parallelprojektion genutzt werden – die Projektionen paralleler Linien sind parallel zueinander

d//a, с//b Þ d1//a1, с1//b1; d2//a2 ,с2//b2; d3//a3, c3//b3.

Abbildung 61. Parallele Ebenen

2. Schnittebenen, Ein Sonderfall sind zueinander senkrechte Ebenen. Die Schnittlinie zweier Ebenen ist eine Gerade, zu deren Konstruktion es ausreicht, ihre beiden gemeinsamen Punkte beider Ebenen oder einen Punkt und die Richtung der Schnittlinie der Ebenen zu bestimmen.

Betrachten wir die Konstruktion der Schnittlinie zweier Ebenen, wenn eine davon projiziert wird (Abb. 62).

Aufgabe. Gegeben: Die allgemeine Ebene ist durch das Dreieck ABC gegeben und die zweite Ebene ist eine horizontal projizierende Ebene a.

Es ist erforderlich, eine Schnittlinie der Ebenen zu konstruieren.

Die Lösung des Problems besteht darin, zwei gemeinsame Punkte dieser Ebenen zu finden, durch die eine gerade Linie gezogen werden kann. Die durch das Dreieck ABC definierte Ebene kann als Geraden (AB), (AC), (BC) dargestellt werden. Der Schnittpunkt der Geraden (AB) mit der Ebene a ist Punkt D, die Gerade (AC) ist F. Das Segment definiert die Schnittlinie der Ebenen. Da a eine horizontal projizierende Ebene ist, fällt die Projektion D1F1 mit der Spur der Ebene aP1 zusammen, sodass nur noch die fehlenden Projektionen auf P2 und P3 konstruiert werden müssen.

Abbildung 62. Schnittpunkt einer allgemeinen Positionsebene mit einer horizontal projizierten Ebene

Kommen wir zum allgemeinen Fall. Gegeben seien zwei generische Ebenen a(m,n) und b (ABC) im Raum (Abb. 63)

Abbildung 63. Schnittpunkt von generischen Ebenen

Betrachten wir die Reihenfolge der Konstruktion der Schnittlinie der Ebenen a(m//n) und b(ABC). Um die Schnittlinie dieser Ebenen zu finden, zeichnen wir analog zur vorherigen Aufgabe die Hilfsschnittebenen g und d. Finden wir die Schnittlinien dieser Ebenen mit den betrachteten Ebenen. Die Ebene g schneidet die Ebene a auf einer Geraden (12) und die Ebene b schneidet sich auf einer Geraden (34). Punkt K – der Schnittpunkt dieser Linien gehört gleichzeitig zu drei Ebenen a, b und g und ist somit ein Punkt, der zur Schnittlinie der Ebenen a und b gehört. Die Ebene d schneidet die Ebenen a und b entlang der Geraden (56) bzw. (7C), ihr Schnittpunkt M liegt gleichzeitig in drei Ebenen a, b, d und gehört zur Schnittlinie der Ebenen a und b. Somit wurden zwei Punkte gefunden, die zur Schnittlinie der Ebenen a und b gehören – eine Gerade (SM).

Eine gewisse Vereinfachung bei der Konstruktion der Schnittlinie von Ebenen kann erreicht werden, wenn Hilfsschnittebenen durch gerade Linien gezeichnet werden, die die Ebene definieren.

Zueinander senkrechte Ebenen. Aus der Stereometrie ist bekannt, dass zwei Ebenen senkrecht zueinander stehen, wenn eine von ihnen durch die Senkrechte zur anderen verläuft. Durch den Punkt A ist es möglich, viele Ebenen senkrecht zur gegebenen Ebene a(f,h) zu zeichnen. Diese Ebenen bilden ein Bündel von Ebenen im Raum, deren Achse die Senkrechte ist, die vom Punkt A zur Ebene a absteigt. Um eine Ebene von Punkt A senkrecht zu der durch zwei sich schneidende Linien hf gegebenen Ebene zu zeichnen, ist es notwendig, eine Linie n von Punkt A senkrecht zur Ebene hf zu zeichnen (die horizontale Projektion n steht senkrecht zur horizontalen Projektion der horizontalen Linie). h, Frontalprojektion n steht senkrecht zur Frontalprojektion der Frontalprojektion f). Jede durch die Linie n verlaufende Ebene steht senkrecht zur Ebene hf. Um eine Ebene durch die Punkte A zu definieren, zeichnen Sie daher eine beliebige Linie m. Die durch zwei sich schneidende Geraden mn definierte Ebene steht senkrecht zur Ebene hf (Abb. 64).

Abbildung 64. Zueinander senkrechte Ebenen

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